4 डिग्री के बहुपद का अपघटन। बहुपदों के गुणनखंडन के जटिल मामले
समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय, अक्सर ऐसे बहुपद का गुणनखंड करना आवश्यक हो जाता है जिसकी घात तीन या अधिक हो। इस लेख में हम ऐसा करने का सबसे आसान तरीका देखेंगे।
हमेशा की तरह, आइए मदद के लिए सिद्धांत की ओर रुख करें।
बेज़ाउट का प्रमेयबताता है कि एक बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करने पर शेषफल होता है।
लेकिन यह प्रमेय ही नहीं है जो हमारे लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि इसका परिणाम:
यदि संख्या किसी बहुपद का मूल है, तो बहुपद द्विपद से बिना शेषफल के विभाज्य होता है।
हमारे सामने यह कार्य है कि हम किसी तरह बहुपद का कम से कम एक मूल खोजें, फिर बहुपद को इससे विभाजित करें कि बहुपद का मूल कहां है। परिणामस्वरूप, हमें एक बहुपद प्राप्त होता है जिसकी घात मूल घात से एक कम है। और फिर, यदि आवश्यक हो, तो आप प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं।
यह कार्य दो भागों में विभाजित है: बहुपद का मूल कैसे ज्ञात करें, और बहुपद को द्विपद में कैसे विभाजित करें.
आइए इन बिंदुओं पर बारीकी से नजर डालें।
1. बहुपद का मूल कैसे ज्ञात करें।
सबसे पहले, हम जाँचते हैं कि क्या संख्याएँ 1 और -1 बहुपद के मूल हैं।
निम्नलिखित तथ्य यहां हमारी सहायता करेंगे:
यदि किसी बहुपद के सभी गुणांकों का योग शून्य हो, तो वह संख्या बहुपद का मूल होती है।
उदाहरण के लिए, एक बहुपद में गुणांकों का योग शून्य के बराबर होता है:। यह जांचना आसान है कि बहुपद का मूल क्या है।
यदि किसी बहुपद के सम अंशों पर गुणांकों का योग विषम अंशों पर गुणांकों के योग के बराबर है, तो वह संख्या बहुपद का मूल है।मुक्त पद को सम डिग्री पर गुणांक माना जाता है, क्योंकि a एक सम संख्या है।
उदाहरण के लिए, एक बहुपद में सम डिग्री पर गुणांकों का योग : होता है, और विषम डिग्री पर गुणांक का योग : होता है। यह जांचना आसान है कि बहुपद का मूल क्या है।
यदि न तो 1 और न ही -1 बहुपद की जड़ें हैं, तो हम आगे बढ़ते हैं।
कम डिग्री वाले बहुपद के लिए (अर्थात, एक बहुपद जिसमें अग्रणी गुणांक - का गुणांक - एक के बराबर है), विएटा सूत्र मान्य है:
बहुपद की जड़ें कहाँ हैं.
बहुपद के शेष गुणांकों से संबंधित विएटा सूत्र भी हैं, लेकिन यह वह है जो हमें रूचि देता है।
विएटा के इस सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है यदि बहुपद की जड़ें पूर्णांक हैं, तो वे इसके मुक्त पद के विभाजक हैं, जो एक पूर्णांक भी है।
इस पर आधारित, हमें बहुपद के मुक्त पद को गुणनखंडों में विघटित करना होगा, और क्रमिक रूप से, छोटे से बड़े तक, यह जांचना होगा कि कौन सा गुणनखंड बहुपद का मूल है।
उदाहरण के लिए, बहुपद पर विचार करें
मुफ़्त सदस्य विभाजक: ; ; ;
बहुपद के सभी गुणांकों का योग बराबर होता है, इसलिए संख्या 1 बहुपद का मूल नहीं है।
सम घातों पर गुणांकों का योग:
विषम घातों पर गुणांकों का योग:
इसलिए, संख्या -1 भी बहुपद का मूल नहीं है।
आइए जाँच करें कि क्या संख्या 2 बहुपद का मूल है: इसलिए, संख्या 2 बहुपद का मूल है। इसलिए, बेज़ौट के प्रमेय के अनुसार, बहुपद द्विपद द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य है।
2. एक बहुपद को द्विपद में कैसे विभाजित करें।
एक बहुपद को एक स्तम्भ द्वारा द्विपद में विभाजित किया जा सकता है।
हम बहुपद को द्विपद स्तंभ में विभाजित करते हैं:
एक बहुपद को द्विपद में विभाजित करने का एक और तरीका है - हॉर्नर की योजना।
समझने के लिए ये वीडियो देखें एक बहुपद को एक स्तंभ द्वारा द्विपद से कैसे विभाजित करें, और हॉर्नर की योजना का उपयोग करें।
मैं ध्यान देता हूं कि यदि, किसी कॉलम से विभाजित करते समय, मूल बहुपद में अज्ञात की कुछ डिग्री अनुपस्थित होती है, तो हम उसके स्थान पर 0 लिखते हैं - जैसे कि हॉर्नर योजना के लिए एक तालिका संकलित करते समय।
इसलिए, यदि हमें एक बहुपद को द्विपद में विभाजित करने की आवश्यकता है और विभाजन के परिणामस्वरूप हमें एक बहुपद मिलता है, तो हम हॉर्नर योजना का उपयोग करके बहुपद के गुणांक पा सकते हैं:
हम भी उपयोग कर सकते हैं हॉर्नर की योजनायह जांचने के लिए कि दी गई संख्या बहुपद का मूल है या नहीं: यदि संख्या बहुपद का मूल है, तो बहुपद को विभाजित करने पर शेषफल शून्य होता है, अर्थात हॉर्नर की दूसरी पंक्ति के अंतिम कॉलम में योजना, हमें 0 मिलता है।
हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हुए, हम "एक पत्थर से दो पक्षियों को मारते हैं": साथ ही हम जांचते हैं कि क्या संख्या एक बहुपद का मूल है और इस बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करते हैं।
उदाहरण।प्रश्न हल करें:
1. हम मुक्त पद के विभाजकों को लिखते हैं, और हम मुक्त पद के विभाजकों के बीच बहुपद के मूलों की तलाश करेंगे।
24 के विभाजक:
2. जांचें कि क्या संख्या 1 बहुपद का मूल है।
बहुपद के गुणांकों का योग, इसलिए, संख्या 1 बहुपद का मूल है।
3. हॉर्नर योजना का उपयोग करके मूल बहुपद को द्विपद में विभाजित करें।
ए) तालिका की पहली पंक्ति में मूल बहुपद के गुणांक लिखें।
चूँकि युक्त सदस्य गायब है, तालिका के उस कॉलम में जिसमें at का गुणांक लिखा जाना चाहिए, हम 0 लिखते हैं। बाईं ओर, हम पाया गया मूल लिखते हैं: संख्या 1।
बी) तालिका की पहली पंक्ति भरें।
अंतिम कॉलम में, जैसा कि अपेक्षित था, हमें शून्य मिला, हमने मूल बहुपद को बिना किसी शेषफल के द्विपद में विभाजित किया। विभाजन से उत्पन्न बहुपद के गुणांक तालिका की दूसरी पंक्ति में नीले रंग में दिखाए गए हैं:
यह जाँचना आसान है कि संख्याएँ 1 और -1 बहुपद के मूल नहीं हैं
सी)आइए तालिका जारी रखें। आइए जाँचें कि क्या संख्या 2 बहुपद का मूल है:
अतः बहुपद की घात, जो एक से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, मूल बहुपद की घात से कम होती है, इसलिए गुणांकों की संख्या और स्तंभों की संख्या एक से कम होती है।
अंतिम कॉलम में, हमें -40 मिला - एक संख्या जो शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए, बहुपद एक शेषफल के साथ द्विपद से विभाज्य है, और संख्या 2 बहुपद का मूल नहीं है।
सी) आइए जाँच करें कि क्या संख्या -2 बहुपद का मूल है। चूँकि पिछला प्रयास असफल रहा था, ताकि गुणांकों को लेकर कोई भ्रम न हो, मैं इस प्रयास से संबंधित पंक्ति को मिटा दूँगा:
महान! शेषफल में हमें शून्य प्राप्त हुआ, अत: बहुपद को बिना शेषफल वाले द्विपद में विभाजित किया गया, अत: संख्या -2 बहुपद का मूल है। बहुपद के गुणांक, जो बहुपद को द्विपद से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं, तालिका में हरे रंग में दिखाए गए हैं।
विभाजन के परिणामस्वरूप, हमें एक वर्ग त्रिपद प्राप्त हुआ , जिनकी जड़ें विएटा के प्रमेय द्वारा आसानी से पाई जाती हैं:
तो, मूल समीकरण की जड़ें:
{}
उत्तर: ( }
गुणनखंड बनाने के लिए भावों को सरल बनाना आवश्यक है। इसे और कम करने में सक्षम होने के लिए यह आवश्यक है। एक बहुपद का अपघटन तब समझ में आता है जब उसकी डिग्री दूसरे से कम न हो। प्रथम घात वाले बहुपद को रैखिक कहा जाता है।
Yandex.RTB R-A-339285-1
लेख एक बहुपद के गुणनखंडन के लिए अपघटन, सैद्धांतिक नींव और तरीकों की सभी अवधारणाओं को प्रकट करेगा।
लिखित
प्रमेय 1जब घात n वाला कोई बहुपद P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप में हो। . . + ए 1 एक्स + ए 0, उच्चतम डिग्री ए एन और एन रैखिक कारकों (एक्स - एक्स आई) के साथ एक स्थिर कारक के साथ एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, आई = 1, 2, …, एन, फिर पी एन (एक्स) = ए एन (एक्स - एक्स एन) (एक्स - एक्स एन - 1) . . . · (x - x 1) , जहां x i , i = 1 , 2 , … , n - ये बहुपद के मूल हैं।
प्रमेय जटिल प्रकार x i , i = 1 , 2 , … , n की जड़ों के लिए और जटिल गुणांक a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n के लिए अभिप्रेत है। यह किसी भी अपघटन का आधार है।
जब a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n रूप के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हों, तो सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में घटित होंगे। उदाहरण के लिए, मूल x 1 और x 2 P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के बहुपद से संबंधित हैं। . . + a 1 x + a 0 को जटिल संयुग्म माना जाता है, तो अन्य मूल वास्तविक होते हैं, इसलिए हम पाते हैं कि बहुपद P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · का रूप लेता है। . . (x - x 3) x 2 + p x + q, जहाँ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
टिप्पणी
एक बहुपद के मूलों को दोहराया जा सकता है। बीजगणित के प्रमेय के प्रमाण, बेज़ाउट के प्रमेय के परिणामों पर विचार करें।
बीजगणित का मौलिक प्रमेय
प्रमेय 2घात n वाले किसी भी बहुपद में कम से कम एक मूल होता है।
बेज़ाउट का प्रमेय
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप के बहुपद को विभाजित करने के बाद। . . + a 1 x + a 0 पर (x - s) , तो हमें शेषफल मिलता है, जो बिंदु s पर बहुपद के बराबर है, तो हमें मिलता है
पी एन एक्स = ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 +। . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , जहां Q n - 1 (x) घात n - 1 वाला एक बहुपद है।
बेज़ाउट के प्रमेय से परिणाम
जब बहुपद P n (x) का मूल s माना जाता है, तो P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +। . . + ए 1 एक्स + ए 0 = (एक्स - एस) क्यू एन - 1 (एक्स)। जब समाधान का वर्णन करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है तो यह परिणाम पर्याप्त होता है।
एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन
a x 2 + b x + c के रूप के एक वर्ग त्रिपद को रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। तब हम पाते हैं कि a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , जहां x 1 और x 2 मूल (जटिल या वास्तविक) हैं।
इससे पता चलता है कि अपघटन स्वयं बाद में द्विघात समीकरण को हल करने के लिए कम हो जाता है।
उदाहरण 1
एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड बनाएँ।
समाधान
समीकरण 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र के अनुसार विवेचक का मान ज्ञात करना होगा, फिर हमें D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9 मिलता है। इसलिए हमारे पास वह है
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
यहां से हमें पता चलता है कि 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
जाँच करने के लिए, आपको कोष्ठक खोलने होंगे। तब हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
सत्यापन के बाद, हम मूल अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं। यानी हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विस्तार सही है।
उदाहरण 2
3 x 2 - 7 x - 11 के रूप का एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड बनाएं।
समाधान
हम पाते हैं कि 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 के रूप में परिणामी द्विघात समीकरण की गणना करना आवश्यक है।
जड़ों को खोजने के लिए, आपको विवेचक का मान निर्धारित करना होगा। हमें वह मिल गया
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 डी = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + डी 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - डी 2 3 = 7 - 1816
यहां से हमें पता चलता है कि 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6।
उदाहरण 3
बहुपद 2 x 2 + 1 का गुणनखंड करें।
समाधान
अब आपको द्विघात समीकरण 2 x 2 + 1 = 0 को हल करना होगा और उसके मूल ज्ञात करने होंगे। हमें वह मिल गया
2 एक्स 2 + 1 = 0 एक्स 2 = - 1 2 एक्स 1 = - 1 2 = 1 2 आई एक्स 2 = - 1 2 = - 1 2 आई
इन जड़ों को जटिल संयुग्म कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि अपघटन को स्वयं 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i के रूप में दर्शाया जा सकता है।
उदाहरण 4
वर्ग त्रिपद x 2 + 1 3 x + 1 का विस्तार करें।
समाधान
सबसे पहले आपको x 2 + 1 3 x + 1 = 0 के रूप का एक द्विघात समीकरण हल करना होगा और उसके मूल ज्ञात करने होंगे।
एक्स 2 + 1 3 एक्स + 1 = 0 डी = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 एक्स 1 = - 1 3 + डी 2 1 = - 1 3 + 35 3 आई 2 = - 1 + 35 आई 6 = - 1 6 + 35 6 आई एक्स 2 = - 1 3 - डी 2 1 = - 1 3 - 35 3 आई 2 = - 1 - 35 आई 6 = - 1 6 - 35 6 आई
जड़ें प्राप्त करने के बाद, हम लिखते हैं
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
टिप्पणी
यदि विवेचक का मान ऋणात्मक है, तो बहुपद दूसरे क्रम के बहुपद बने रहेंगे। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि हम उन्हें रैखिक कारकों में विघटित नहीं करेंगे।
दूसरे से अधिक घात वाले बहुपद का गुणनखंडन करने की विधियाँ
अपघटन एक सार्वभौमिक विधि अपनाता है। अधिकांश मामले बेज़ौट के प्रमेय के परिणाम पर आधारित हैं। ऐसा करने के लिए, आपको मूल x 1 के मान का चयन करना होगा और बहुपद को 1 से विभाजित करके (x - x 1) से विभाजित करके इसकी डिग्री को कम करना होगा। परिणामी बहुपद को मूल x 2 खोजने की आवश्यकता है, और खोज प्रक्रिया तब तक चक्रीय है जब तक हमें पूर्ण विस्तार नहीं मिल जाता।
यदि मूल नहीं मिलता है, तो गुणनखंडन की अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है: समूहीकरण, अतिरिक्त पद। यह विषय उच्च घातों और पूर्णांक गुणांक वाले समीकरणों का समाधान मानता है।
सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना
उस स्थिति पर विचार करें जब मुक्त पद शून्य के बराबर हो, तो बहुपद का रूप P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो जाता है। . . + ए 1 एक्स .
यह देखा जा सकता है कि ऐसे बहुपद का मूल x 1 \u003d 0 के बराबर होगा, तो आप बहुपद को अभिव्यक्ति P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप में निरूपित कर सकते हैं। . . + ए 1 एक्स = = एक्स (ए एन एक्स एन - 1 + ए एन - 1 एक्स एन - 2 +... + ए 1)
इस विधि को सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने वाला माना जाता है।
उदाहरण 5
तृतीय डिग्री बहुपद 4 x 3 + 8 x 2 - x का गुणनखंड करें।
समाधान
हम देखते हैं कि x 1 = 0 दिए गए बहुपद का मूल है, तो हम संपूर्ण व्यंजक में से x को कोष्ठक में रख सकते हैं। हम पाते हैं:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
आइए वर्ग त्रिपद 4 x 2 + 8 x - 1 के मूल ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ें। आइए विवेचक और मूल खोजें:
डी = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + डी 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - डी 2 4 = - 1 - 5 2
फिर यह उसी का अनुसरण करता है
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
आरंभ करने के लिए, आइए एक अपघटन विधि पर विचार करें जिसमें फॉर्म P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + के पूर्णांक गुणांक शामिल हैं। . . + ए 1 एक्स + ए 0, जहां उच्चतम शक्ति का गुणांक 1 है।
जब बहुपद में पूर्णांक मूल होते हैं, तो उन्हें मुक्त पद का विभाजक माना जाता है।
उदाहरण 6
अभिव्यक्ति f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 का विस्तार करें।
समाधान
विचार करें कि क्या पूर्णांक जड़ें हैं। संख्या - 18 के विभाजक लिखना आवश्यक है। हमें वह ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 मिलता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस बहुपद के मूल पूर्णांक हैं। आप हॉर्नर योजना के अनुसार जांच कर सकते हैं। यह बहुत सुविधाजनक है और आपको बहुपद के विस्तार गुणांक को तुरंत प्राप्त करने की अनुमति देता है:
यह इस प्रकार है कि x \u003d 2 और x \u003d - 3 मूल बहुपद की जड़ें हैं, जिन्हें फॉर्म के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:
एफ (एक्स) = एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 = (एक्स - 2) (एक्स 3 + 5 एक्स 2 + 9 एक्स + 9) = = (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)
हम x 2 + 2 x + 3 के रूप के एक वर्ग त्रिपद के अपघटन की ओर मुड़ते हैं।
चूँकि विवेचक नकारात्मक है, इसका मतलब है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।
उत्तर: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
टिप्पणी
इसे हॉर्नर की योजना के बजाय एक बहुपद द्वारा मूल चयन और विभाजन का उपयोग करने की अनुमति है। आइए हम P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के विस्तार पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। . . + ए 1 एक्स + ए 0, जिसका उच्चतम एक के बराबर नहीं है।
यह मामला भिन्नात्मक परिमेय भिन्नों के लिए होता है।
उदाहरण 7
f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 का गुणनखंड करें।
समाधान
चर y = 2 x को बदलना आवश्यक है, किसी को उच्चतम डिग्री पर 1 के बराबर गुणांक वाले बहुपद में जाना चाहिए। आपको व्यंजक को 4 से गुणा करके प्रारंभ करना होगा। हमें वह मिल गया
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
जब फॉर्म g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 के परिणामी फ़ंक्शन में पूर्णांक जड़ें होती हैं, तो उनका पता मुक्त पद के विभाजकों में से होता है। प्रविष्टि इस प्रकार दिखेगी:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
आइए परिणामस्वरूप शून्य प्राप्त करने के लिए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन g (y) की गणना के लिए आगे बढ़ें। हमें वह मिल गया
जी (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ग्राम (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ग्राम (2) ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ग्राम (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ग्राम (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 ग्राम (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 ग्राम (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 ग्राम (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 ग्राम (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 ग्राम (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
हम पाते हैं कि y = - 5, y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 के रूप के समीकरण का मूल है, जिसका अर्थ है कि x = y 2 = - 5 2 मूल फलन का मूल है।
उदाहरण 8
एक कॉलम 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 को x + 5 2 से विभाजित करना आवश्यक है।
समाधान
हम लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
भाजक की जाँच करने में बहुत समय लगेगा, इसलिए x 2 + 7 x + 3 के रूप में परिणामी वर्ग त्रिपद का गुणनखंड लेना अधिक लाभदायक है। शून्य के बराबर करके, हम विभेदक ज्ञात करते हैं।
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 एक्स + 7 2 + 37 2
अत: यह उसका अनुसरण करता है
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
बहुपद का गुणनखंड करते समय कृत्रिम तरकीबें
सभी बहुपदों में परिमेय जड़ें अंतर्निहित नहीं होती हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कारकों को खोजने के लिए विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है। लेकिन सभी बहुपदों को एक उत्पाद के रूप में विघटित या प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।
समूहीकरण विधि
ऐसे मामले होते हैं जब आप एक सामान्य गुणनखंड खोजने के लिए बहुपद के पदों को समूहित कर सकते हैं और उसे कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं।
उदाहरण 9
बहुपद x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 का गुणनखंड बनाएँ।
समाधान
क्योंकि गुणांक पूर्णांक हैं, तो मूल संभवतः पूर्णांक भी हो सकते हैं। जाँच करने के लिए, हम इन बिंदुओं पर बहुपद के मान की गणना करने के लिए मान 1 , - 1 , 2 और - 2 लेते हैं। हमें वह मिल गया
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
इससे पता चलता है कि जड़ें नहीं हैं, अपघटन और समाधान की एक अलग विधि का उपयोग करना आवश्यक है।
समूहीकरण आवश्यक है:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 एक्स) + एक्स 2 - 2 = = एक्स 2 (एक्स 2 - 2) + 4 एक्स (एक्स 2 - 2) + एक्स 2 - 2 = = (एक्स 2 - 2) (एक्स 2 + 4 एक्स + 1)
मूल बहुपद को समूहीकृत करने के बाद इसे दो वर्ग त्रिपदों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हमें गुणनखंड बनाना होगा। हमें वह मिल गया
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 एक्स 1 = - 4 - डी 2 1 = - 2 - 3 एक्स 2 = - 4 - डी 2 1 = - 2 - 3 ⇒ एक्स 2 + 4 एक्स + 1 = एक्स + 2 - 3 एक्स + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
टिप्पणी
समूहीकरण की सरलता का मतलब यह नहीं है कि शब्दों का चयन करना काफी आसान है। इसे हल करने का कोई निश्चित तरीका नहीं है, इसलिए विशेष प्रमेयों और नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।
उदाहरण 10
बहुपद x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 का गुणनखंड बनाएँ।
समाधान
दिए गए बहुपद का कोई पूर्णांक मूल नहीं है। शर्तों को समूहीकृत किया जाना चाहिए. हमें वह मिल गया
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 एक्स - 2) - (एक्स 2 + 2 एक्स - 2) = (एक्स 2 + एक्स - 1) (एक्स 2 + 2 एक्स - 2)
फैक्टरिंग के बाद, हमें वह मिलता है
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए संक्षिप्त गुणन और न्यूटन के द्विपद सूत्रों का उपयोग करना
उपस्थिति अक्सर यह स्पष्ट नहीं करती है कि अपघटन के दौरान किस तरीके का उपयोग किया जाए। परिवर्तन किए जाने के बाद, आप पास्कल के त्रिभुज से युक्त एक रेखा बना सकते हैं, अन्यथा उन्हें न्यूटन का द्विपद कहा जाता है।
उदाहरण 11
बहुपद x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 का गुणनखंड करें।
समाधान
अभिव्यक्ति को रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
कोष्ठक में योग के गुणांकों का क्रम अभिव्यक्ति x + 1 4 द्वारा दर्शाया गया है।
तो हमारे पास x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 है।
वर्गों का अंतर लगाने पर हमें प्राप्त होता है
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 एक्स + 1 2 + 3
उस अभिव्यक्ति पर विचार करें जो दूसरे कोष्ठक में है। यह स्पष्ट है कि वहाँ कोई घोड़े नहीं हैं, इसलिए वर्गों के अंतर का सूत्र फिर से लागू किया जाना चाहिए। हमें ऐसी अभिव्यक्ति मिलती है
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 एक्स + 1 2 + 3 = = एक्स + 1 - 3 4 एक्स + 1 + 3 4 एक्स 2 + 2 एक्स + 1 + 3
उदाहरण 12
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 का गुणनखंड करें।
समाधान
चलिए अभिव्यक्ति बदलते हैं. हमें वह मिल गया
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
घनों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करना आवश्यक है। हम पाते हैं:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 एक्स 2 + एक्स 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
बहुपद का गुणनखंड करते समय एक चर को प्रतिस्थापित करने की एक विधि
एक चर बदलते समय, डिग्री कम हो जाती है और बहुपद गुणनखंडित हो जाता है।
उदाहरण 13
x 6 + 5 x 3 + 6 के रूप के एक बहुपद का गुणनखंड बनाएँ।
समाधान
शर्त से यह स्पष्ट है कि प्रतिस्थापन y = x 3 करना आवश्यक है। हम पाते हैं:
एक्स 6 + 5 एक्स 3 + 6 = वाई = एक्स 3 = वाई 2 + 5 वाई + 6
परिणामी द्विघात समीकरण की जड़ें y = - 2 और y = - 3 हैं
एक्स 6 + 5 एक्स 3 + 6 = वाई = एक्स 3 = वाई 2 + 5 वाई + 6 = = वाई + 2 वाई + 3 = एक्स 3 + 2 एक्स 3 + 3
घनों के योग के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करना आवश्यक है। हमें इस प्रकार के भाव मिलते हैं:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 एक्स + 3 3 एक्स 2 - 3 3 एक्स + 9 3
यानी हमने वांछित विस्तार प्राप्त कर लिया है.
ऊपर चर्चा किए गए मामले एक बहुपद पर विभिन्न तरीकों से विचार करने और उसका गुणनखंड करने में मदद करेंगे।
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बहुपदों का गुणनखंडन एक समान परिवर्तन है, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुपद कई कारकों - बहुपद या एकपदी के उत्पाद में बदल जाता है।
बहुपदों को गुणनखंडित करने के कई तरीके हैं।
विधि 1. सामान्य कारक को ब्रैकेट करना।
यह परिवर्तन गुणन के वितरण नियम पर आधारित है: ac + bc = c(a + b)। परिवर्तन का सार विचाराधीन दो घटकों में सामान्य कारक को अलग करना और कोष्ठक से "बाहर रखना" है।
आइए हम बहुपद 28x 3 - 35x 4 का गुणनखंड करें।
समाधान।
1. हम तत्वों 28x3 और 35x4 के लिए एक सामान्य भाजक पाते हैं। 28 और 35 के लिए यह 7 होगा; x 3 और x 4 - x 3 के लिए। दूसरे शब्दों में, हमारा सामान्य गुणनखंड 7x3 है।
2. हम प्रत्येक तत्व को कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाते हैं, जिनमें से एक
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x।
3. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x)।
विधि 2. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना। इस पद्धति में महारत हासिल करने की "महारत" अभिव्यक्ति में संक्षिप्त गुणन के सूत्रों में से एक पर ध्यान देना है।
आइए हम बहुपद x 6 - 1 का गुणनखंड करें।
समाधान।
1. हम इस अभिव्यक्ति में वर्गों के अंतर के सूत्र को लागू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम x 6 को (x 3) 2 के रूप में, और 1 को 1 2 के रूप में निरूपित करते हैं, अर्थात। 1. अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार होगा:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1)।
2. परिणामी अभिव्यक्ति के लिए, हम घनों के योग और अंतर के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1)।
इसलिए,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).
विधि 3. समूहीकरण। समूहीकरण विधि में एक बहुपद के घटकों को इस तरह से संयोजित करना शामिल है कि उन पर संचालन करना आसान हो (जोड़, घटाव, एक सामान्य कारक निकालना)।
हम बहुपद x 3 - 3x 2 + 5x - 15 का गुणनखंड बनाते हैं।
समाधान।
1. घटकों को इस प्रकार समूहित करें: पहला दूसरे के साथ, और तीसरा चौथे के साथ
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15)।
2. परिणामी अभिव्यक्ति में, हम सामान्य गुणनखंडों को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं: पहले मामले में x 2 और दूसरे में 5।
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3)।
3. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड x - 3 निकालते हैं और प्राप्त करते हैं:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5)।
इसलिए,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).
आइए सामग्री ठीक करें।
बहुपद a 2 - 7ab + 12b 2 का गुणनखंड करें।
समाधान।
1. हम एकपदी 7ab को योग 3ab + 4ab के रूप में निरूपित करते हैं। अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार होगा:
ए 2 - (3एबी + 4एबी) + 12बी 2।
आइए कोष्ठक खोलें और प्राप्त करें:
ए 2 - 3एबी - 4एबी + 12बी 2।
2. बहुपद के घटकों को इस प्रकार समूहित करें: पहला को दूसरे के साथ और तीसरा चौथे के साथ। हम पाते हैं:
(ए 2 - 3एबी) - (4एबी - 12बी 2)।
3. आइए सामान्य कारकों को निकालें:
(ए 2 - 3एबी) - (4एबी - 12बी 2) = ए (ए - 3बी) - 4बी (ए - 3बी)।
4. आइए सामान्य गुणनखंड निकालें (ए - 3बी):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
इसलिए,
ए 2 - 7एबी + 12बी 2 =
= ए 2 - (3एबी + 4एबी) + 12बी 2 =
= ए 2 - 3एबी - 4एबी + 12बी 2 =
= (ए 2 - 3एबी) - (4एबी - 12बी 2) =
= ए(ए - 3बी) - 4बी(ए - 3बी) =
= (ए - 3 बी) ∙ (ए - 4 बी)।
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घात n के किसी भी बीजगणितीय बहुपद को प्रपत्र के n-रैखिक कारकों और एक स्थिर संख्या के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो उच्चतम घात x पर बहुपद का गुणांक है, अर्थात।
कहाँ - बहुपद की जड़ें हैं.
बहुपद का मूल एक संख्या (वास्तविक या सम्मिश्र) होता है जो बहुपद को शून्य में बदल देता है। एक बहुपद की जड़ें वास्तविक जड़ें और जटिल संयुग्मी जड़ें दोनों हो सकती हैं, फिर बहुपद को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:
पहली और दूसरी डिग्री के कारकों के उत्पाद में डिग्री "एन" के बहुपदों का विस्तार करने के तरीकों पर विचार करें।
विधि संख्या 1.अनिश्चित गुणांक की विधि.
ऐसे रूपांतरित व्यंजक के गुणांक अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। विधि का सार यह है कि दिए गए बहुपद को जिस प्रकार के कारकों में विघटित किया जाता है, वह पहले से ज्ञात होता है। अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करते समय, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
पृ.1. दो बहुपद समान रूप से समान होते हैं यदि उनके गुणांक x की समान घातों पर समान हों।
पी.2. कोई भी तृतीय-डिग्री बहुपद रैखिक और वर्ग गुणनखंडों के उत्पाद में विघटित हो जाता है।
पृ.3. चौथी डिग्री का कोई भी बहुपद दूसरी डिग्री के दो बहुपदों के गुणनफल में विघटित हो जाता है।
उदाहरण 1.1.घन अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना आवश्यक है:
पृ.1. स्वीकृत कथनों के अनुसार, घन अभिव्यक्ति के लिए समान समानता सत्य है:
पी.2. अभिव्यक्ति के दाएँ पक्ष को निम्नलिखित शब्दों के रूप में दर्शाया जा सकता है:
पृ.3. हम घन अभिव्यक्ति की संगत शक्तियों के लिए गुणांकों की समानता की स्थिति से समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं।
समीकरणों की इस प्रणाली को गुणांकों के चयन की विधि (यदि एक साधारण शैक्षणिक समस्या है) द्वारा हल किया जा सकता है या समीकरणों की गैर-रेखीय प्रणालियों को हल करने के तरीकों का उपयोग किया जा सकता है। समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने पर, हम पाते हैं कि अनिश्चित गुणांकों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
इस प्रकार, मूल अभिव्यक्ति निम्नलिखित रूप में कारकों में विघटित हो जाती है:
किसी समीकरण का मूल खोजने की प्रक्रिया को स्वचालित करने के लिए इस पद्धति का उपयोग विश्लेषणात्मक गणना और कंप्यूटर प्रोग्रामिंग दोनों में किया जा सकता है।
विधि संख्या 2.वियतनाम सूत्र
विएटा सूत्र डिग्री एन और इसकी जड़ों के बीजीय समीकरणों के गुणांक से संबंधित सूत्र हैं। ये सूत्र फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा (1540 - 1603) के कार्यों में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किए गए थे। इस तथ्य के कारण कि वियतनाम केवल सकारात्मक वास्तविक जड़ों पर विचार करता था, इसलिए, उसे इन सूत्रों को सामान्य स्पष्ट रूप में लिखने का अवसर नहीं मिला।
घात n वाले किसी भी बीजगणितीय बहुपद के लिए जिसके n वास्तविक मूल हों,
निम्नलिखित संबंध मान्य हैं, जो एक बहुपद की जड़ों को उसके गुणांकों से जोड़ते हैं:
किसी बहुपद के मूल खोजने की शुद्धता की जांच करने के साथ-साथ दिए गए मूलों से बहुपद बनाने के लिए विएटा के सूत्रों का उपयोग करना सुविधाजनक है।
उदाहरण 2.1.उदाहरण के तौर पर घन समीकरण का उपयोग करके विचार करें कि एक बहुपद की जड़ें उसके गुणांकों से कैसे संबंधित हैं
विएटा सूत्रों के अनुसार, एक बहुपद की जड़ों और उसके गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार है:
घात n वाले किसी भी बहुपद के लिए समान संबंध बनाए जा सकते हैं।
विधि संख्या 3. तर्कसंगत जड़ों के साथ द्विघात समीकरण का गुणनखंडन
विएटा के अंतिम सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक बहुपद की जड़ें उसके मुक्त पद और अग्रणी गुणांक के विभाजक हैं। इस संबंध में, यदि समस्या की स्थिति में पूर्णांक गुणांक के साथ डिग्री n का बहुपद शामिल है
तो इस बहुपद का एक परिमेय मूल (अघुलनशील अंश) होता है, जहाँ p मुक्त पद का भाजक है, और q अग्रणी गुणांक का भाजक है। इस मामले में, घात n के एक बहुपद को (बेज़ाउट प्रमेय) के रूप में दर्शाया जा सकता है:
एक बहुपद जिसकी घात प्रारंभिक बहुपद की घात से 1 कम है, घात n वाले बहुपद को एक द्विपद से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है, उदाहरण के लिए, हॉर्नर योजना का उपयोग करके या सबसे सरल तरीके से - एक "कॉलम"।
उदाहरण 3.1.बहुपद का गुणनखंडन करना आवश्यक है
पृ.1. इस तथ्य के कारण कि उच्चतम पद पर गुणांक एक के बराबर है, तो इस बहुपद की तर्कसंगत जड़ें अभिव्यक्ति के मुक्त पद के विभाजक हैं, अर्थात। पूर्ण संख्याएँ हो सकती हैं . प्रस्तुत संख्याओं में से प्रत्येक को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि प्रस्तुत बहुपद का मूल है।
आइए मूल बहुपद को द्विपद से विभाजित करें:
आइए हॉर्नर की योजना का उपयोग करें
मूल बहुपद के गुणांक शीर्ष रेखा में सेट होते हैं, जबकि शीर्ष रेखा का पहला कक्ष खाली रहता है।
पाया गया रूट दूसरी पंक्ति के पहले सेल में लिखा गया है (इस उदाहरण में, संख्या "2" लिखी गई है), और कोशिकाओं में निम्नलिखित मानों की गणना एक निश्चित तरीके से की जाती है और वे के गुणांक हैं बहुपद, जो बहुपद को द्विपद से विभाजित करने पर प्राप्त होगा। अज्ञात गुणांकों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
पहली पंक्ति के संबंधित सेल से मान दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में स्थानांतरित किया जाता है (इस उदाहरण में, संख्या "1" लिखी गई है)।
दूसरी पंक्ति के तीसरे सेल में पहले सेल और दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल के उत्पाद का मूल्य और पहली पंक्ति के तीसरे सेल का मूल्य शामिल है (इस उदाहरण में, 2 ∙ 1 -5 = -3) .
दूसरी पंक्ति के चौथे सेल में पहले सेल और दूसरी पंक्ति के तीसरे सेल के उत्पाद का मूल्य और पहली पंक्ति के चौथे सेल का मूल्य शामिल है (इस उदाहरण में 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).
इस प्रकार, मूल बहुपद का गुणनखंडन किया जाता है:
विधि संख्या 4.आशुलिपि गुणन सूत्रों का उपयोग करना
संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग गणनाओं को सरल बनाने के साथ-साथ बहुपदों को कारकों में विघटित करने के लिए किया जाता है। संक्षिप्त गुणन सूत्र व्यक्तिगत समस्याओं के समाधान को सरल बनाना संभव बनाते हैं।
फैक्टरिंग के लिए प्रयुक्त सूत्र
इस पाठ में, हम बहुपद के गुणनखंडन की पहले से अध्ययन की गई सभी विधियों को याद करेंगे और उनके अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करेंगे, इसके अलावा, हम एक नई विधि - पूर्ण वर्ग विधि का अध्ययन करेंगे और सीखेंगे कि विभिन्न समस्याओं को हल करने में इसे कैसे लागू किया जाए।
विषय:गुणनखंडन बहुपद
पाठ:बहुपदों का गुणनखंडन। पूर्ण वर्ग चयन विधि. विधियों का संयोजन
किसी बहुपद के गुणनखंडन की मुख्य विधियों को याद करें जिनका पहले अध्ययन किया गया था:
कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने की विधि, अर्थात वह गुणनखंड जो बहुपद के सभी सदस्यों में मौजूद हो। एक उदाहरण पर विचार करें:
याद रखें कि एकपदी घातों और संख्याओं का गुणनफल है। हमारे उदाहरण में, दोनों सदस्यों में कुछ सामान्य, समान तत्व हैं।
तो, आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:
;
याद रखें कि रेंडर किए गए गुणक को ब्रैकेट से गुणा करके, आप रेंडरिंग की शुद्धता की जांच कर सकते हैं।
समूहीकरण विधि. बहुपद में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना हमेशा संभव नहीं होता है। इस मामले में, आपको इसके सदस्यों को समूहों में इस तरह से विभाजित करने की आवश्यकता है कि प्रत्येक समूह में आप एक सामान्य कारक निकाल सकें और उसे तोड़ने का प्रयास कर सकें ताकि समूहों में कारकों को निकालने के बाद, एक सामान्य कारक सामने आए। संपूर्ण अभिव्यक्ति और विस्तार जारी रखा जा सकता है। एक उदाहरण पर विचार करें:
क्रमशः पहले पद को चौथे के साथ, दूसरे को पांचवें के साथ और तीसरे को छठे के साथ समूहित करें:
आइए समूहों में सामान्य कारकों को निकालें:
अभिव्यक्ति में एक सामान्य कारक होता है. आइए इसे बाहर निकालें:
संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग. एक उदाहरण पर विचार करें:
;
आइए अभिव्यक्ति को विस्तार से लिखें:
जाहिर है, हमारे सामने अंतर के वर्ग का सूत्र है, क्योंकि दो भावों के वर्गों का योग होता है और उसमें से उनका दोहरा गुणनफल घटा दिया जाता है। आइए सूत्र के अनुसार रोल करें:
आज हम दूसरा तरीका सीखेंगे - पूर्ण वर्ग चयन विधि। यह योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्र पर आधारित है। उन्हें याद करें:
योग (अंतर) के वर्ग का सूत्र;
इन सूत्रों की ख़ासियत यह है कि इनमें दो भावों के वर्ग और उनका दोहरा गुणनफल होता है। एक उदाहरण पर विचार करें:
आइए अभिव्यक्ति लिखें:
तो पहली अभिव्यक्ति है , और दूसरी .
योग या अंतर के वर्ग का सूत्र बनाने के लिए, व्यंजकों का दोहरा गुणनफल पर्याप्त नहीं है। इसे जोड़ने और घटाने की आवश्यकता है:
आइए योग का पूरा वर्ग संक्षिप्त करें:
आइए परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:
हम वर्गों के अंतर के सूत्र को लागू करते हैं, याद रखें कि दो अभिव्यक्तियों के वर्गों का अंतर उनके अंतर का गुणनफल और योग है:
तो, इस विधि में, सबसे पहले, यह तथ्य शामिल है कि अभिव्यक्ति ए और बी की पहचान करना आवश्यक है जो वर्ग हैं, यानी, यह निर्धारित करने के लिए कि इस उदाहरण में कौन से अभिव्यक्ति वर्ग हैं। उसके बाद, आपको दोहरे उत्पाद की उपस्थिति की जांच करने की आवश्यकता है और यदि यह नहीं है, तो इसे जोड़ें और घटाएं, इससे उदाहरण का अर्थ नहीं बदलेगा, लेकिन बहुपद को वर्ग के सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। यदि संभव हो तो वर्गों का योग या अंतर और अंतर।
आइए उदाहरणों को हल करने की ओर आगे बढ़ें।
उदाहरण 1 - गुणनखंडन:
ऐसे व्यंजक खोजें जो वर्गांकित हों:
आइए लिखें कि उनका दोहरा उत्पाद क्या होना चाहिए:
आइए दोहरे गुणनफल को जोड़ें और घटाएँ:
आइए योग के पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करें और समान दें:
हम वर्गों के अंतर के सूत्र के अनुसार लिखेंगे:
उदाहरण 2 - समीकरण हल करें:
;
समीकरण के बाईं ओर एक त्रिपद है। आपको इसे ध्यान में रखना होगा। हम अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करते हैं:
हमारे पास पहली अभिव्यक्ति का वर्ग और दोहरा उत्पाद है, दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग गायब है, आइए इसे जोड़ें और घटाएं:
आइए हम पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करें और समान पद दें:
आइए वर्गों के अंतर का सूत्र लागू करें:
तो हमारे पास समीकरण है
हम जानते हैं कि उत्पाद तभी शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो। इसके आधार पर हम समीकरण लिखेंगे:
आइए पहला समीकरण हल करें:
आइए दूसरा समीकरण हल करें:
उत्तर: या
;
हम पिछले उदाहरण के समान कार्य करते हैं - अंतर का वर्ग चुनें।