अफ्रीका की सबसे लंबी नदी का नाम। नील और अफ्रीका की अन्य प्रमुख नदियाँ
कार्य:
1. छात्रों को से मिलवाएं अलग - अलग प्रकारकोणों के प्रकार (आयताकार, न्यून, अधिक) के आधार पर त्रिभुज। रेखाचित्रों में त्रिभुज और उनके प्रकार खोजना सीखें। बुनियादी ज्यामितीय अवधारणाओं और उनके गुणों को ठीक करने के लिए: सीधी रेखा, खंड, किरण, कोण।
2. सोच, कल्पना, गणितीय भाषण का विकास।
3. ध्यान, गतिविधि की शिक्षा।
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण।
हमें कितने चाहिए दोस्तों?
हमारे कुशल हाथों के लिए?
दो वर्ग बनाएं
और उनका एक बड़ा घेरा है।
और फिर कुछ और मंडलियां
त्रिभुज टोपी।
तो यह बहुत, बहुत निकला
हंसमुख अजीब।
द्वितीय. पाठ के विषय की घोषणा।
आज पाठ में हम ज्यामिति के शहर के चारों ओर एक यात्रा करेंगे और त्रिभुज माइक्रोडिस्ट्रिक्ट का दौरा करेंगे (अर्थात, हम उनके कोणों के आधार पर विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे, हम इन त्रिभुजों को चित्रों में खोजना सीखेंगे।) हम कमांड द्वारा "प्रतियोगिता खेल" के रूप में एक पाठ का संचालन करेगा।
1 टीम - "सेगमेंट"।
2 टीम - "रे"।
टीम 3 - "कॉर्नर"।
और मेहमान जूरी का प्रतिनिधित्व करेंगे।
जूरी रास्ते में हमारा मार्गदर्शन करेगी
और ध्यान के बिना नहीं छोड़ेंगे। (अंक 5,4,3,... से मूल्यांकन करें)।
और हम ज्योमेट्री के शहर का किस पर चक्कर लगाएंगे? याद रखें कि शहर में किस प्रकार के यात्री परिवहन हैं? हम में से बहुत सारे हैं, हम किसे चुनें? (बस)।
बस। स्पष्ट रूप से, संक्षेप में। बोर्डिंग शुरू होती है।
आइए आराम करें और अपनी यात्रा शुरू करें। टीम के कप्तानों को टिकट मिलता है।
लेकिन ये टिकट आसान नहीं हैं, और टिकट "कार्य" हैं।
III. कवर की गई सामग्री की पुनरावृत्ति।
पहला पड़ाव"दोहराना।"
सभी टीमों के लिए प्रश्न।
चित्र में एक सीधी रेखा ज्ञात कीजिए और उसके गुणों के नाम लिखिए।
अंत और किनारे के बिना, रेखा सीधी है!
इसके साथ कम से कम सौ साल चलते हैं,
आपको सड़क का अंत नहीं मिलेगा!
- सीधी रेखा का न तो आदि है और न ही अंत - यह अनंत है, इसलिए इसे मापा नहीं जा सकता।
चलो हमारी प्रतियोगिता शुरू करते हैं।
अपनी टीम के नामों की रक्षा करना।
(सभी टीमें पहले प्रश्नों को पढ़ती हैं और चर्चा करती हैं। बदले में, टीम के कप्तान प्रश्नों को पढ़ते हैं, 1 टीम 1 प्रश्न पढ़ती है)।
1. आरेखण में एक खंड दिखाएँ। कट किसे कहते हैं। इसके गुणों का नाम बताइए।
- एक सीधी रेखा का वह भाग जो दो बिंदुओं से घिरा होता है, रेखाखंड कहलाता है। एक रेखा खंड की शुरुआत और अंत होता है, इसलिए इसे एक शासक के साथ मापा जा सकता है।
(टीम 2 1 प्रश्न पढ़ती है)।
1. ड्राइंग में बीम दिखाएं। किरण किसे कहते हैं। इसके गुणों का नाम बताइए।
- यदि आप एक बिंदु को चिह्नित करते हैं और उसमें से एक सीधी रेखा का एक हिस्सा खींचते हैं, तो आपको एक बीम की एक छवि मिलती है। वह बिंदु जहाँ से रेखा का एक भाग खींचा जाता है, किरण का आरंभ कहलाता है।
बीम का कोई अंत नहीं है, इसलिए इसे मापा नहीं जा सकता।
(टीम 3 1 प्रश्न पढ़ती है)।
1. ड्राइंग पर कोण दिखाएं। कोण किसे कहते हैं। इसके गुणों का नाम बताइए।
- एक बिंदु से दो किरणें खींचकर, हम प्राप्त करते हैं ज्यामितीय आकृतिजिसे कोण कहते हैं। कोण का एक शीर्ष होता है, और किरणें स्वयं कोण की भुजाएँ कहलाती हैं। कोणों को एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके डिग्री में मापा जाता है।
Fizkultminutka (संगीत के लिए)।
चतुर्थ। नई सामग्री का अध्ययन करने की तैयारी।
दूसरा पड़ाव"आश्चर्यजनक"।
टहलने के दौरान पेंसिल विभिन्न कोणों से मिली। मैं उन्हें नमस्ते कहना चाहता था, लेकिन मैं उनमें से प्रत्येक का नाम भूल गया। पेंसिल को मदद करनी होगी।
(अध्ययन के कोणों की जाँच एक समकोण के मॉडल का उपयोग करके की जाती है)।
टीमों को असाइनमेंट। प्रश्न # 2 पढ़ें और चर्चा करें।
टीम 1 प्रश्न 2 पढ़ती है।
2. एक समकोण ज्ञात कीजिए, एक परिभाषा दीजिए।
- 90° के कोण को समकोण कहते हैं।
टीम 2 प्रश्न 2 पढ़ती है।
2. एक न्यून कोण ज्ञात कीजिए, परिभाषा दीजिए।
- समकोण से छोटा कोण न्यून कोण कहलाता है।
टीम 3 प्रश्न 2 पढ़ती है।
2. एक अधिक कोण ज्ञात कीजिए, परिभाषा दीजिए।
समकोण से बड़ा कोण अधिक कोण कहलाता है।
माइक्रोडिस्ट्रिक्ट में जहां पेंसिल चलना पसंद करती थी, सभी कोने अन्य निवासियों से अलग थे कि हम तीनों हमेशा चलते थे, एक साथ चाय पीते थे, एक साथ सिनेमा जाते थे। और पेंसिल को समझ नहीं आ रहा था कि तीन कोण मिलकर किस तरह की ज्यामितीय आकृति बनाते हैं?
एक कविता आपको एक सुराग देगी।
तुम मुझ पर, तुम उस पर
हम सब को देखो।
हमारे पास सब कुछ है, हमारे पास सब कुछ है
हमारे पास केवल तीन हैं!
किस आकृति का उल्लेख किया जा रहा है?
- त्रिकोण के बारे में।
त्रिभुज किसे कहते हैं?
- त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें तीन शीर्ष, तीन कोण और तीन भुजाएँ होती हैं।
(शिक्षार्थी चित्र में एक त्रिभुज दिखाते हैं, शीर्षों, कोणों और भुजाओं को नाम देते हैं)।
कोने: ए, बी, सी (अंक)
कोण: बीएसी, एबीसी, बीसीए।
भुजाएँ: AB, BC, CA (सेगमेंट)।
वी। शारीरिक शिक्षा:
अपने पैर को 8 बार स्टंप करें,
9 बार ताली बजाओ
हम 10 बार स्क्वाट करेंगे,
और 6 बार झुकें
हम सीधे कूदेंगे
इतने सारे (त्रिकोण प्रदर्शन)
अरे, हाँ, गिनती! खेल और भी बहुत कुछ!
VI. नई सामग्री सीखना।
जल्द ही कोने दोस्त बन गए और अविभाज्य हो गए।
और अब हम माइक्रोडिस्ट्रिक्ट कहेंगे: ट्राएंगल्स माइक्रोडिस्ट्रिक्ट।
तीसरा पड़ाव "ज़्नायका" है।
इन त्रिभुजों के नाम क्या हैं?
आइए उन्हें नाम दें। और आइए स्वयं परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें।
टीम 3 जवाब।
1 टीम अधिक त्रिभुज ढूंढेगी और उन्हें दिखाएगी।
2 कमांड समकोण त्रिभुज ढूंढेगा और दिखाएगा।
3 कमांड न्यूनकोण त्रिभुज ढूंढेगा और दिखाएगा।
आठवीं। अगला पड़ाव है सोच।
सभी टीमों को असाइनमेंट।
6 छड़ियों को खिसकाने के बाद लालटेन से 4 बराबर त्रिभुज बना लें।
त्रिभुज किस प्रकार के कोण होते हैं? (तीव्र कोण)।
IX. पाठ का सारांश।
हम किस मोहल्ले में गए थे?
आप किस प्रकार के त्रिभुजों से परिचित हैं?
अधिक बच्चे पूर्वस्कूली उम्रजानिए त्रिभुज कैसा दिखता है। लेकिन वे क्या हैं, लोग पहले से ही स्कूल में समझने लगे हैं। एक प्रकार एक अधिक त्रिभुज है। यह क्या है, इसे समझने के लिए सबसे आसान तरीका है कि किसी चित्र को उसकी छवि के साथ देखा जाए। और सिद्धांत रूप में, इसे वे "सरल बहुभुज" कहते हैं जिसमें तीन भुजाएँ और शीर्ष होते हैं, जिनमें से एक है
अवधारणाओं को समझना
ज्यामिति में, तीन भुजाओं वाली इस प्रकार की आकृतियाँ होती हैं: न्यून-कोण, समकोण और अधिक-कोण त्रिभुज। इसके अलावा, इन सरल बहुभुजों के गुण सभी के लिए समान हैं। तो, सभी सूचीबद्ध प्रजातियों के लिए, ऐसी असमानता देखी जाएगी। किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग आवश्यक रूप से तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है।
लेकिन यह सुनिश्चित करने के लिए कि हम बात कर रहे हेयह एक पूर्ण आकृति के बारे में है, न कि अलग-अलग शीर्षों के एक सेट के बारे में, कि यह जांचना आवश्यक है कि मुख्य स्थिति देखी गई है: एक अधिक त्रिभुज के कोणों का योग 180 o है। तीन भुजाओं वाली अन्य प्रकार की आकृतियों के लिए भी यही सच है। सच है, एक अधिक त्रिभुज में कोणों में से एक 90 o से भी अधिक होगा, और शेष दो अनिवार्य रूप से नुकीले होंगे। इस मामले में, यह सबसे बड़ा कोण है जो सबसे लंबी भुजा के विपरीत होगा। सच है, ये एक अधिक त्रिभुज के सभी गुणों से दूर हैं। लेकिन केवल इन विशेषताओं को जानकर भी, छात्र ज्यामिति में कई समस्याओं को हल कर सकते हैं।
तीन शीर्षों वाले प्रत्येक बहुभुज के लिए, यह भी सत्य है कि किसी भी भुजा को जारी रखने पर हमें एक कोण प्राप्त होता है जिसका आकार होगा योग के बराबर हैदो आंतरिक शीर्ष इसके निकट नहीं हैं। एक अधिक त्रिभुज के परिमाप की गणना उसी तरह की जाती है जैसे अन्य आकृतियों के लिए की जाती है। यह इसकी सभी भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होता है। गणितज्ञों को निर्धारित करने के लिए, विभिन्न सूत्र प्राप्त किए गए थे, जो इस बात पर निर्भर करता था कि प्रारंभ में कौन सा डेटा मौजूद था।
सही शैली
ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण शर्तों में से एक सही ड्राइंग है। गणित के शिक्षक अक्सर कहते हैं कि यह न केवल यह देखने में मदद करेगा कि आपको क्या दिया गया है और आपको क्या चाहिए, बल्कि सही उत्तर के 80% के करीब भी पहुंचेगा। इसलिए यह जानना महत्वपूर्ण है कि एक अधिक त्रिभुज की रचना कैसे की जाती है। यदि आप केवल एक काल्पनिक आकृति चाहते हैं, तो आप तीन भुजाओं वाला कोई भी बहुभुज बना सकते हैं ताकि इनमें से एक कोण 90 डिग्री से अधिक हो।
यदि भुजाओं की लंबाई या कोणों की डिग्री के कुछ मान दिए गए हैं, तो उनके अनुसार एक अधिक कोण वाला त्रिभुज बनाना आवश्यक है। उसी समय, कोणों को यथासंभव सटीक रूप से चित्रित करने का प्रयास करना आवश्यक है, एक प्रोट्रैक्टर की मदद से उनकी गणना करना और कार्य में दी गई शर्तों के अनुपात में पक्षों को प्रदर्शित करना।
मुख्य पंक्तियाँ
अक्सर, स्कूली बच्चों के लिए केवल यह जानना पर्याप्त नहीं होता है कि कुछ आंकड़े कैसे दिखने चाहिए। वे खुद को इस जानकारी तक सीमित नहीं रख सकते कि कौन सा त्रिभुज अधिक कोण वाला है और कौन सा समकोण है। गणित का पाठ्यक्रम यह प्रदान करता है कि आंकड़ों की मुख्य विशेषताओं के बारे में उनका ज्ञान अधिक पूर्ण होना चाहिए।
अतः प्रत्येक विद्यार्थी को समद्विभाजक, माध्यिका, लंब समद्विभाजक और ऊँचाई की परिभाषा समझनी चाहिए। इसके अलावा, उसे उनके मूल गुणों को जानना चाहिए।
तो, द्विभाजक कोण को आधे में विभाजित करते हैं, और विपरीत पक्ष को खंडों में विभाजित करते हैं जो आसन्न पक्षों के समानुपाती होते हैं।
माध्यिका किसी भी त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों में विभाजित करती है। जिस बिंदु पर वे प्रतिच्छेद करते हैं, उनमें से प्रत्येक को 2 खंडों में 2: 1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है, जब इसे ऊपर से देखा जाता है जहां से यह उत्पन्न हुआ था। इस मामले में, सबसे बड़ा माध्यिका हमेशा अपने सबसे छोटे पक्ष की ओर खींची जाती है।
ऊंचाई पर भी कम ध्यान नहीं दिया जाता है। यह कोने से विपरीत दिशा में लंबवत है। एक अधिक त्रिभुज की ऊँचाई की अपनी विशेषताएँ होती हैं। यदि इसे एक नुकीले शीर्ष से खींचा जाता है, तो यह इस सरल बहुभुज की तरफ नहीं, बल्कि इसके विस्तार पर पड़ता है।
लंब समद्विभाजक वह रेखाखंड है जो त्रिभुज के फलक के केंद्र से निकलता है। इसी समय, यह इसके समकोण पर स्थित है।
मंडलियों के साथ काम करना
ज्यामिति के अध्ययन की शुरुआत में, बच्चों के लिए यह समझना पर्याप्त है कि एक अधिक कोण वाले त्रिभुज को कैसे बनाया जाए, इसे अन्य प्रकारों से अलग करना सीखें और इसके मूल गुणों को याद रखें। लेकिन हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह ज्ञान पर्याप्त नहीं है। उदाहरण के लिए, परीक्षा में अक्सर परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों के बारे में प्रश्न होते हैं। उनमें से पहला त्रिभुज के तीनों शीर्षों को स्पर्श करता है, और दूसरे में सभी भुजाओं वाला एक उभयनिष्ठ बिंदु है।
एक उत्कीर्ण या परिबद्ध अधिक कोण वाले त्रिभुज की रचना करना पहले से कहीं अधिक कठिन है, क्योंकि इसके लिए आपको सबसे पहले यह पता लगाना होगा कि वृत्त का केंद्र और उसकी त्रिज्या कहाँ होनी चाहिए। वैसे, आवश्यक उपकरणइस मामले में, न केवल एक शासक के साथ एक पेंसिल, बल्कि एक कम्पास भी बन जाएगा।
तीन भुजाओं वाले उत्कीर्ण बहुभुजों का निर्माण करते समय समान कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। गणितज्ञों ने विभिन्न सूत्र विकसित किए हैं जो आपको उनके स्थान को यथासंभव सटीक रूप से निर्धारित करने की अनुमति देते हैं।
उत्कीर्ण त्रिभुज
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यदि वृत्त तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है, तो इसे परिवृत्त वृत्त कहा जाता है। इसकी मुख्य संपत्ति यह है कि यह केवल एक ही है। यह पता लगाने के लिए कि एक अधिक त्रिभुज का परिबद्ध वृत्त कैसे स्थित होना चाहिए, यह याद रखना चाहिए कि इसका केंद्र तीन मध्य लंबों के चौराहे पर है जो आकृति के किनारों पर जाते हैं। यदि तीन शीर्षों वाले न्यूनकोण बहुभुज में यह बिंदु इसके अंदर होगा, तो अधिक कोण वाले बहुभुज में - इसके बाहर।
उदाहरण के लिए, यह जानते हुए कि एक अधिक त्रिभुज की एक भुजा उसकी त्रिज्या के बराबर है, कोई ज्ञात फलक के विपरीत कोण ज्ञात कर सकता है। इसकी ज्या ज्ञात भुजा की लंबाई को 2R (जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है) से भाग देने के परिणाम के बराबर होगी। यानी कोण का पाप ½ के बराबर होगा। तो कोण 150 o होगा।
यदि आपको एक अधिक कोण वाले त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आपको इसकी भुजाओं की लंबाई (c, v, b) और इसके क्षेत्रफल S के बारे में जानकारी की आवश्यकता होगी। आखिरकार, त्रिज्या की गणना निम्नानुसार की जाती है : (सी एक्स वी एक्स बी): 4 एक्स एस। वैसे, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपके पास किस प्रकार का आंकड़ा है: एक बहुमुखी अधिक त्रिभुज, समद्विबाहु, दाएं या तीव्र। किसी भी स्थिति में, उपरोक्त सूत्र के लिए धन्यवाद, आप तीन भुजाओं वाले दिए गए बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
परिचालित त्रिभुज
खुदा हुआ हलकों के साथ काम करना भी काफी आम है। एक सूत्र के अनुसार, ऐसी आकृति की त्रिज्या, परिधि के ½ से गुणा करके, त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होगी। सच है, इसका पता लगाने के लिए, आपको एक अधिक त्रिभुज की भुजाओं को जानना होगा। वास्तव में, परिधि के ½ को निर्धारित करने के लिए, उनकी लंबाई को जोड़ना और 2 से विभाजित करना आवश्यक है।
यह समझने के लिए कि एक अधिक त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र कहाँ होना चाहिए, तीन समद्विभाजक खींचना आवश्यक है। ये वे रेखाएँ हैं जो कोनों को समद्विभाजित करती हैं। यह उनके चौराहे पर है कि सर्कल का केंद्र स्थित होगा। इस मामले में, यह दोनों तरफ से समान दूरी पर होगा।
एक अधिक त्रिभुज में अंकित ऐसे वृत्त की त्रिज्या भागफल (p-c) x (p-v) x (p-b) : p के बराबर होती है। इसके अलावा, p त्रिभुज का आधा परिमाप है, c, v, b इसकी भुजाएँ हैं।
स्कूल में पढ़ा जाने वाला सबसे सरल बहुभुज एक त्रिभुज है। यह छात्रों के लिए अधिक समझ में आता है और कम कठिनाइयों का सामना करता है। इस तथ्य के बावजूद कि वहाँ हैं विभिन्न प्रकारत्रिभुज जिनमें विशेष गुण होते हैं।
त्रिभुज किसे कहते हैं?
तीन बिंदुओं और रेखाखंडों द्वारा निर्मित। पूर्व को शीर्ष कहा जाता है, बाद वाले को भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, सभी तीन खंडों को जोड़ा जाना चाहिए ताकि उनके बीच कोने बन जाएं। इसलिए आकृति का नाम "त्रिकोण"।
कोनों में नामों में अंतर
चूँकि वे नुकीले, मोटे और सीधे हो सकते हैं, इसलिए इन नामों से त्रिभुजों के प्रकार निर्धारित होते हैं। तदनुसार, ऐसे आंकड़ों के तीन समूह हैं।
- प्रथम। यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण हों, तो वह न्यूनकोण त्रिभुज कहलाता है। सब कुछ तार्किक है।
- दूसरा। इनमें से एक कोण अधिक है, इसलिए त्रिभुज अधिक कोण है। आसान कहीं नहीं।
- तीसरा। 90 अंश के बराबर एक कोण होता है, जिसे समकोण कहते हैं। त्रिभुज आयताकार हो जाता है।
पक्षों के नामों में अंतर
भुजाओं की विशेषताओं के आधार पर, निम्न प्रकार के त्रिभुजों को प्रतिष्ठित किया जाता है:
सामान्य मामला बहुमुखी है, जिसमें सभी पक्षों की मनमानी लंबाई होती है;
समद्विबाहु, जिसके दो पक्ष समान संख्यात्मक मान रखते हैं;
समबाहु, इसकी सभी भुजाओं की लंबाई समान है।
यदि कार्य निर्दिष्ट नहीं है विशिष्ट दृश्यत्रिकोण, तो आपको एक मनमाना आकर्षित करने की आवश्यकता है। जिसमें सभी कोण न्यून होते हैं, और भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है।
सभी त्रिभुजों के लिए सामान्य गुण
- यदि आप त्रिभुज के सभी कोणों को जोड़ दें, तो आपको 180º के बराबर एक संख्या प्राप्त होती है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस तरह का है। यह नियम हमेशा लागू होता है।
- त्रिभुज की किसी भी भुजा का संख्यात्मक मान अन्य दो को एक साथ जोड़ने से कम होता है। इसके अलावा, यह उनके अंतर से अधिक है।
- प्रत्येक बाहरी कोने का एक मान होता है जो दो आंतरिक कोनों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जो इसके निकट नहीं होते हैं। इसके अलावा, यह हमेशा आसन्न आंतरिक से बड़ा होता है।
- त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा हमेशा सबसे छोटे कोण के विपरीत होती है। इसके विपरीत, यदि भुजा बड़ी है, तो कोण सबसे बड़ा होगा।
ये गुण हमेशा मान्य होते हैं, चाहे किसी भी प्रकार के त्रिभुजों को समस्याओं में क्यों न माना जाए। बाकी सभी विशिष्ट विशेषताओं से अनुसरण करते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के गुण
- आधार से सटे कोण बराबर होते हैं।
- आधार की ओर खींची गई ऊँचाई भी माध्यिका और समद्विभाजक होती है।
- त्रिभुज की भुजाओं पर बनी ऊँचाई, माध्यिकाएँ और समद्विभाजक क्रमशः एक दूसरे के बराबर होते हैं।
एक समबाहु त्रिभुज के गुण
यदि ऐसी कोई आकृति है, तो थोड़ा ऊपर वर्णित सभी गुण सत्य होंगे। क्योंकि एक समबाहु हमेशा एक समद्विबाहु होगा। लेकिन इसके विपरीत नहीं, एक समद्विबाहु त्रिभुज जरूरी नहीं कि समबाहु हो।
- इसके सभी कोण एक दूसरे के बराबर हैं और इनका मान 60º है।
- समबाहु त्रिभुज की कोई भी माध्यिका उसकी ऊँचाई और समद्विभाजक होती है। और वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं। उनके मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, एक सूत्र है जिसमें पक्ष का गुणनफल होता है वर्गमूल 3 में से 2 से विभाजित।
एक समकोण त्रिभुज के गुण
- दो न्यून कोणों का योग 90º तक होता है।
- कर्ण की लंबाई हमेशा किसी भी पैर की लंबाई से अधिक होती है।
- कर्ण तक खींची गई माध्यिका का संख्यात्मक मान उसके आधे के बराबर होता है।
- यदि पैर 30º के कोण के विपरीत स्थित हो तो पैर उसी मान के बराबर होता है।
- ऊंचाई, जो 90º के मान के साथ ऊपर से खींची गई है, की पैरों पर एक निश्चित गणितीय निर्भरता है: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / 2 में। यहां: ए, सी - पैर, एन - ऊंचाई।
विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों की समस्या
नंबर 1। एक समद्विबाहु त्रिभुज दिया गया है। इसका परिमाप ज्ञात है और 90 सेमी के बराबर है इसकी भुजाओं को जानना आवश्यक है। जैसा अतिरिक्त शर्त: पार्श्व भुजा आधार से 1.2 गुना कम है।
परिधि का मान सीधे उन मात्राओं पर निर्भर करता है जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। तीनों भुजाओं का योग 90 सेमी देगा। अब आपको एक त्रिभुज का चिन्ह याद रखना होगा, जिसके अनुसार वह समद्विबाहु है। यानी दोनों पक्ष बराबर हैं। आप दो अज्ञात के साथ एक समीकरण बना सकते हैं: 2a + b \u003d 90. यहाँ a पक्ष है, b आधार है।
यह एक अतिरिक्त शर्त का समय है। इसके बाद, दूसरा समीकरण प्राप्त होता है: b \u003d 1.2a। आप इस अभिव्यक्ति को पहले वाले में बदल सकते हैं। यह पता चला है: 2a + 1.2a \u003d 90. परिवर्तनों के बाद: 3.2a \u003d 90. इसलिए a \u003d 28.125 (सेमी)। अब इसका कारण पता करना आसान है। दूसरी स्थिति से ऐसा करना सबसे अच्छा है: v \u003d 1.2 * 28.125 \u003d 33.75 (सेमी)।
जाँच करने के लिए, आप तीन मान जोड़ सकते हैं: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (सेमी)। ठीक है।
उत्तर: त्रिभुज की भुजाएँ 28.125 सेमी, 28.125 सेमी, 33.75 सेमी हैं।
नंबर 2. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। आपको इसकी ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है।
समाधान। उत्तर खोजने के लिए, उस क्षण पर लौटने के लिए पर्याप्त है जहां त्रिभुज के गुणों का वर्णन किया गया था। यह एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक ज्ञात करने का सूत्र है।
n \u003d a * 3 / 2, जहाँ n ऊँचाई है, a भुजा है।
प्रतिस्थापन और गणना निम्नलिखित परिणाम देते हैं: n = 6 3 (सेमी)।
इस फॉर्मूले को याद रखने की जरूरत नहीं है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि ऊंचाई त्रिभुज को दो आयताकारों में विभाजित करती है। इसके अलावा, यह एक पैर निकला, और इसमें कर्ण मूल एक का पक्ष है, दूसरा पैर ज्ञात पक्ष का आधा है। अब आपको पाइथागोरस प्रमेय को लिखने और ऊंचाई के लिए एक सूत्र प्राप्त करने की आवश्यकता है।
उत्तर: ऊंचाई 6 3 सेमी है।
संख्या 3। एमकेआर दिया गया है - एक त्रिभुज, 90 डिग्री जिसमें कोण के बनाता है। एमपी और केआर ज्ञात हैं, वे क्रमशः 30 और 15 सेमी के बराबर हैं। आपको कोण पी के मूल्य को खोजने की जरूरत है।
समाधान। यदि आप एक चित्र बनाते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि MP कर्ण है। इसके अलावा, यह सीडी के पैर से दोगुना बड़ा है। फिर से, आपको गुणों की ओर मुड़ना होगा। उनमें से एक सिर्फ कोनों से संबंधित है। इससे स्पष्ट है कि KMR का कोण 30º है। तो वांछित कोण P 60º के बराबर होगा। यह एक अन्य गुण से अनुसरण करता है जिसमें कहा गया है कि दो न्यून कोणों का योग 90º के बराबर होना चाहिए।
उत्तर: कोण R 60º है।
संख्या 4. आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात करने होंगे। उसके बारे में यह ज्ञात है कि आधार पर कोण से बाह्य कोण 110º है।
समाधान। चूंकि केवल बाहरी कोना दिया गया है, इसलिए इसका उपयोग किया जाना चाहिए। यह आंतरिक के साथ बनता है बाहर कोण।तो वे 180º तक जोड़ते हैं। यानी त्रिभुज के आधार पर कोण 70º के बराबर होगा। चूँकि यह समद्विबाहु है, दूसरे कोण का मान समान है। यह तीसरे कोण की गणना करने के लिए बनी हुई है। सभी त्रिभुजों के उभयनिष्ठ गुण से, कोणों का योग 180º होता है। तो तीसरे को 180º - 70º - 70º = 40º के रूप में परिभाषित किया गया है।
उत्तर: कोण 70º, 70º, 40º हैं।
पाँच नंबर। यह ज्ञात है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के विपरीत कोण 90º होता है। आधार पर एक बिंदु अंकित है। इसे समकोण से जोड़ने वाला खंड इसे 1 से 4 के अनुपात में विभाजित करता है। आपको छोटे त्रिभुज के सभी कोणों को जानना होगा।
समाधान। कोनों में से एक को तुरंत निर्धारित किया जा सकता है। क्यों कि सही त्रिकोणऔर समद्विबाहु, तो जो इसके आधार पर स्थित हैं, वे 45º, यानी 90º / 2 होंगे।
उनमें से दूसरा स्थिति में ज्ञात संबंध को खोजने में मदद करेगा। चूँकि यह 1 से 4 के बराबर होता है, इसलिए इसे जिन भागों में विभाजित किया जाता है, वे केवल 5 होते हैं। इसलिए, त्रिभुज का छोटा कोण ज्ञात करने के लिए, आपको 90º/5 = 18º की आवश्यकता होती है। तीसरे का पता लगाना बाकी है। ऐसा करने के लिए, 180º (एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग) से, आपको 45º और 18º घटाना होगा। गणना सरल है, और यह पता चला है: 117º।
शायद ज्यामिति में सबसे बुनियादी, सरल और दिलचस्प आकृति एक त्रिभुज है। मैं जानता हूँ उच्च विद्यालयइसके मुख्य गुणों का अध्ययन किया जाता है, लेकिन कभी-कभी इस विषय पर ज्ञान अधूरा बनता है। त्रिभुजों के प्रकार प्रारंभ में उनके गुणों का निर्धारण करते हैं। लेकिन यह दृश्य मिश्रित रहता है। तो आइए अब इस विषय पर करीब से नज़र डालते हैं।
त्रिभुजों के प्रकार निर्भर करते हैं डिग्री उपायकोने। ये आकृतियाँ न्यून, आयताकार और तिरछी हैं। यदि सभी कोण 90 डिग्री से अधिक नहीं हैं, तो आकृति को सुरक्षित रूप से न्यूनकोण कहा जा सकता है। यदि त्रिभुज का कम से कम एक कोण 90 डिग्री है, तो आप एक आयताकार उप-प्रजाति के साथ काम कर रहे हैं। तद्नुसार, अन्य सभी मामलों में, जो माना जाता है उसे अधिक कोण वाला कहा जाता है।
तीव्र कोण वाली उप-प्रजातियों के लिए कई कार्य हैं। बानगीद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का आंतरिक स्थान है। अन्य मामलों में, यह शर्त पूरी नहीं हो सकती है। आकृति "त्रिकोण" का प्रकार निर्धारित करना मुश्किल नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक कोण की कोज्या जानना पर्याप्त है। यदि कोई मान शून्य से कम, इसलिए त्रिभुज किसी भी स्थिति में तिरछा है। शून्य घातांक के मामले में, आकृति का एक समकोण होता है। सभी सकारात्मक मूल्यआपको यह बताने की गारंटी है कि आपके पास एक तीव्र कोण वाला दृश्य है।
सही त्रिकोण के बारे में नहीं कहना असंभव है। यह सबसे आदर्श दृश्य है, जहां माध्यिका, समद्विभाजक और ऊंचाई के सभी प्रतिच्छेदन बिंदु मेल खाते हैं। उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों का केंद्र भी एक ही स्थान पर स्थित है। समस्याओं को हल करने के लिए, आपको केवल एक पक्ष जानने की जरूरत है, क्योंकि शुरू में कोण आपके लिए निर्धारित होते हैं, और अन्य दो पक्ष ज्ञात होते हैं। यानी आंकड़ा केवल एक पैरामीटर द्वारा दिया गया है। वे हैं मुख्य विशेषता- आधार पर दो भुजाओं और कोणों की समानता।
कभी-कभी यह प्रश्न होता है कि दी गई भुजाओं वाला कोई त्रिभुज है या नहीं। क्या आपसे वास्तव में पूछा जा रहा है कि क्या दिया गया विवरणमुख्य प्रकारों के तहत। उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाओं का योग तीसरे से कम है, तो वास्तव में ऐसी कोई आकृति नहीं होती है। यदि कार्य 3,5,9 भुजाओं वाले त्रिभुज के कोणों के कोसाइन को खोजने के लिए कहता है, तो यहां स्पष्ट को जटिल गणितीय चाल के बिना समझाया जा सकता है। मान लीजिए आप बिंदु A से बिंदु B तक जाना चाहते हैं। एक सीधी रेखा में दूरी 9 किलोमीटर है। हालाँकि, आपको याद आया कि आपको स्टोर में बिंदु C पर जाने की आवश्यकता है। ए से सी की दूरी 3 किलोमीटर है, और सी से बी - 5। इस प्रकार, यह पता चलता है कि स्टोर से गुजरते समय, आप एक किलोमीटर कम चलेंगे। लेकिन चूंकि बिंदु C रेखा AB पर स्थित नहीं है, इसलिए आपको एक अतिरिक्त दूरी तय करनी होगी। यहां एक विरोधाभास पैदा होता है। बेशक, यह एक काल्पनिक व्याख्या है। गणित यह साबित करने के एक से अधिक तरीके जानता है कि सभी प्रकार के त्रिभुज मूल पहचान का पालन करते हैं। यह कहता है कि दो पक्षों का योग अधिक लंबाईतीसरा।
प्रत्येक प्रकार में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1) सभी कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
2) हमेशा एक ऑर्थोसेंटर होता है - तीनों ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु।
3) शीर्षों से खींची गई तीनों माध्यिकाएं आंतरिक कोने, एक स्थान पर प्रतिच्छेद करें।
4) किसी भी त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है। एक वृत्त को अंकित करना भी संभव है ताकि उसके संपर्क के केवल तीन बिंदु हों और वह बाहरी पक्षों से आगे न जाए।
अब आप विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के मूल गुणों से परिचित हो गए हैं। भविष्य में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि किसी समस्या को हल करते समय आप किससे निपट रहे हैं।