Testarea unei torpile atomice. Torpilă Doomsday: de ce Rusia are nevoie de arme nucleare subacvatice
Știință și viață 1981 Nr. 10
Fiecare dintre noi este interesat de ceva. Unii colectează timbre, pietre, cutii de chibrituri; alții fac tâmplărie sau plantează flori, alții își bat mintea peste studiile de șah. Iar autorul acestor rânduri se amuză cu numerele, în principal cu cele naturale. Acest hobby are aproape o jumătate de secol, dar nu a slăbit, încă aduce bucurie și duce la descoperiri neașteptate. Vor fi primite aceste descoperiri? uz practic? Am avut astfel de cazuri. Vor fi mai multe? Nu stiu. Benjamin Franklin răspunde la această întrebare astfel: „La ce folosește un nou-născut?” De fapt, care? Timpul va spune. Între timp, să vorbim despre o astfel de distracție care se termină destul de curios. Și să începem de departe.
Să luăm orice număr natural cu mai multe cifre, să calculăm suma cifrelor sale, apoi să adăugăm din nou cifrele sumei rezultate și să repetăm asta până ajungem la un număr cu o singură cifră. Aceasta este ceea ce vom numi suma finală a cifrelor unui număr dat și, pentru concizie, o vom desemna CSC.
De exemplu, RCV al numărului 27816365 este 2, deoarece 2+7+8+1+6+3+6+5=38, apoi 3+8=11 și în final 1+1=2.
Orice număr natural împărțit la 9 va da restul ca CCV al dividendului. Dacă numărul este divizibil cu 9, atunci, în mod natural, restul este zero.
Să fie dat un număr natural:
10 n *a+10 n-1 *b+10 n-2 *c+...+10p+r.
Să ne imaginăm așa:
(10-1) n *а+(10-1) n-1 *b+(10-1) n-2 *c+...+ (10-1)*р+a+b+c+...+ p+r.
Este clar că termenii care conțin factori de forma (10-1) k sunt multipli ai nouă. Următoarea sumă de cifre ale unui număr dat (a+b+c...+p+r) poate fi reprezentată și ca:
(10-1) m *a 1 +(10-1) m-1 *b 1 +(10-1) m-2 *c 1 +...(10-1)*p 1 +a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1 (1)
Noua sumă de cifre (a 1 +b 1 +c 1 +...+p 1 +r 1) este deja mai mică decât cea anterioară. Continuând acest proces, vom ajunge cu siguranță la restul, care se va dovedi a fi un număr dintr-o singură cifră, cu alte cuvinte, la CSC-ul unui număr dat.
Să luăm în considerare același lucru în exemplul de mai sus:
27816365=10*2+10*7+10*8+10*1+10*6+10*3+10*6+5=
=(10-1)*2+(10-1)*7+(10-1)*8+(10-1)*1+(10-1)*6+(10-1)*3+(10-1)*6+2+7+8+1+6+3+6+5.
Prin urmare, pentru a calcula CSC, nu este necesar să adăugați toate numerele. Este suficient să aruncați toate nouă în număr: 2+7; 8+1; 6+3, iar în numerele rămase 6 și 5 rămâne de aruncat 6+3. Ca rezultat, obținem CSC = 2.
De aici rezultă că diferența dintre un număr dat (A) și CSC-ul său este întotdeauna un multiplu de nouă. Este obișnuit să spunem că A este comparabil cu CSC modulo 9, dar este scris astfel:
A = KSC (modul 9), (1)
(există trei rânduri aici - un semn de comparație).
Să aranjam acum toate numerele naturale din tabelul 1, astfel încât în fiecare rând CVC-ul lor să fie constant și egal cu numărul cel mai din stânga al rândului.
1 | 10 | 19 | 28 | 37 | 46 | 55 | 64 | 73 | ... |
2 | 11 | 20 | 29 | 38 | 47 | 56 | 65 | 74 | ... |
3 | 12 | 21 | 30 | 39 | 48 | 57 | 66 | 75 | ... |
4 | 13 | 22 | 31 | 40 | 49 | 58 | 67 | 76 | ... |
5 | 14 | 23 | 32 | 41 | 50 | 59 | 68 | 77 | ... |
6 | 15 | 24 | 33 | 42 | 51 | 60 | 69 | 78 | ... |
7 | 16 | 25 | 34 | 43 | 52 | 61 | 70 | 79 | ... |
8 | 17 | 26 | 35 | 44 | 53 | 62 | 71 | 80 | ... |
9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | ... |
tabelul 1
Dacă notăm numerele primei coloane cu un i (i=1..9), atunci orice număr în i-a linie(A i) va fi scris astfel:
A i = a i (mod 9). (2)
Comparațiile pot fi adăugate (și, prin urmare, multiplicate și ridicate la o putere) ca și egalități obișnuite:
A 1 =
a 1 (mod 9)
+
A 2 =
a 2 (mod 9)
A 1 + A 2 = (a 1 +a 2) (mod 9) (3)
Să demonstrăm. Din (3) rezultă că
(A 1 -a 1)/9=B 1 și (A 2 -a 2)/9=B 2
unde B 1 și B 2 sunt numere naturale. Aceasta înseamnă că suma lor este, de asemenea, un număr natural. Aici urmează rezultatul în egalitate (3).
Puteți găsi cu ușurință dovezile pentru produs și vă puteți grada.
Aici sunt cateva exemple:
21 =
3 (modul 9)
+
32 =
5 (modul 9)
=
53 =
8 (modul 9),
21*32 =
15 (modul 9),
in caz contrar
21*32 =
6 (modul 9).
În consecință, pentru a afla în ce rând din Tabelul 1 este plasată suma (produsul, puterea) numerelor naturale, este suficient să adunăm (înmulțim, ridicăm la o putere) CSC-ul lor.
Să facem un alt tabel (2) de grade, începând cu pătratele primelor nouă numere naturale și să scriem CSC-ul lor între paranteze.
Din Tabelul 2 este clar că CSC-ul în orice rând se repetă la fiecare 6 grade. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare grade de la a doua la a șaptea.
1 2 =1 (1) | 1 3 =1 (1) | 1 4 =1 (1) | 1 5 =1 (1) | 1 6 =1 (1) | 1 7 =1 (1) | 1 8 =1 (1) |
2 2 =4 (4) | 2 3 =8 (8) | 2 4 =16 (7) | 2 5 =32 (5) | 2 6 =64 (1) | 2 7 =128 (2) | 2 8 =256 (4) |
3 2 =9 (9) | 3 3 =27 (9) | 3 4 =81 (9 | 3 5 =243 (9) | 3 6 =729 (9) | 3 7 =2187 (9 | 3 8 =6561 (9) |
4 2 =16 (7) | 4 3 =64 (1) | 4 4 =256 (4) | 4 5 =1024 (7) | 4 6 =4096 (1) | 4 7 =16384 (4) | 4 8 =65536 (7) |
5 2 =25 (7) | 5 3 =125 (8) | 5 4 =625 (4) | 5 5 =3125 (2) | 5 6 =15625 (1) | 5 7 =78125 (5) | 5 8 =390625 (7) |
6 2 =36 (9) | 6 3 =216 (9) | 6 4 =1296 (9) | 6 5 =7776 (9) | 6 6 =46656 (1) | 6 7 =279936 (9) | 6 8 =1679616 (9) |
7 2 =49 (4) | 7 3 =343 (1) | 7 4 =2401 (7) | 7 5 =16807 (4) | 7 6 =117649 (1) | 7 7 =423543 (7) | 7 8 =5764801 (4) |
8 2 =64 (1) | 8 3 =512 (8) | 8 4 =4096 (1) | 8 5 =32762 (8) | 8 6 =262144 (1) | 8 7 =2097152 (8) | 8 8 =16777216 (1) |
9 2 =81 (1) | 9 3 =729 (9) | 9 4 =6561 (9) | 9 5 =59049 (9) | 9 6 =531441 (9) | 9 7 =4782969 (9) | 9 8 =43046721 (9) |
masa 2
O mulțime de lucruri interesante sunt dezvăluite când se compară primul și al doilea tabel. De exemplu: nu există grade (cu excepția primei) pentru care CSC ar fi egal cu trei sau șase. CSC pentru gradul al șaselea este egal doar cu unul sau nouă, iar pentru gradul al treilea este, de asemenea, egal cu opt. Pentru gradul al doilea și al patrulea, CSC-urile au aceleași valori - 1, 4, 7, 9 - dar patru și șapte au schimbat locurile.
Sau iată un alt lucru: CSC = 2 apare doar de două ori - în 5 5 și 2 7 , iar CSC = 5 - tot în două cazuri - în 2 5 și 5 7 . Bazele gradelor în ambele cazuri sunt aceleași, dar indicatorii lor și-au schimbat locurile.
O mulțime de lucruri pot fi găsite în aceste tabele. Totuși, toate acestea sunt o vorbă, un basm înainte.
A trecut mult timp până când a fost descoperită o proprietate nouă și, după părerea mea, remarcabilă a tabelului 1. S-a dovedit că toate numerele perfecte par (excluzând șase) sunt situate doar în primul său rând. (Permiteți-mi să vă reamintesc: numerele sunt numite perfecte dacă sunt egale cu suma tuturor divizorilor lor minori). Cu alte cuvinte, toate (cu excepția primului) numere perfecte pare (S) sunt comparabile cu unul modulo 9:
Numere perfecte, despre care despre care vorbim(și nu le cunoaștem pe celelalte) sunt calculate folosind formula lui Euclid:
S=2 p-1 (2 p -1) (5)
unde ambele p și (2 p -1) trebuie să fie numere prime. (Numerele prime sunt numere care sunt divizibile numai cu ele însele și unul.)
Deci, să trecem la dovadă. Este clar că numărul p, ca orice număr prim (cu excepția doi), este impar. Din tabelul 2 este clar că exponentul impar al lui doi poate fi fie 3, fie 5, fie 7. În acest caz, CVC-urile acestor grade sunt, respectiv, egale cu 8, 5 și 2. În acest caz, CVC-urile de ( 2 p -1) sunt egale cu 7, 4 și 1. În ceea ce privește exponentul primului factor din (5), adică p-1, este egal fie cu 2, fie cu 4, fie cu 6, iar CSC-urile dintre aceste puteri 2 p -1 sunt egale cu 4, 7 și respectiv 1.
Rămâne de înmulțit CSC-ul ambilor factori ai ecuației (5): 7*4; 4*7; 1*1, care dă 28, 28 și 1. KSC dintre toate acestea trei lucrări este egal cu 1. Ceea ce trebuia demonstrat!
Deoarece nu am stabilit nicio restricție nici pentru factorul (2 p -1) și nici pentru exponentul p (cu excepția faptului că trebuie să fie impar), atunci nu numai numerele perfecte, ci și toate numerele cu p impar, calculate folosind formula ( 5), sunt situate numai în primul rând al tabelului 1.
Nu este o proprietate curioasă a formulei lui Euclid?
Din câte știu, numărul de adepți ai rubricii „Matematical Leisure”, care rulează în revistă de aproape 20 de ani, nu a scăzut, iar printre aceștia se numără mulți cititori care sunt interesați de distracția cu cifre. Pentru cei care nu s-au implicat încă în asta, vă sfătuim: jucați-vă cu numerele! Nu o sa regreti!
§ 4. Numerele perfecte
Numerologia (sau gematria, așa cum se numește uneori) a fost un hobby popular printre grecii antici. Explicația naturală pentru aceasta este că numerele din Grecia antică erau înfățișați cu litere ale alfabetului grecesc și, prin urmare, fiecărui cuvânt scris, fiecărui nume îi corespundea un anumit număr. Oamenii ar putea compara proprietățile numerelor corespunzătoare numelor lor.
Divizori sau părți alicote numerele jucate rol importantîn numerologie. În acest sens, ideal sau, așa cum se numesc, perfect numerele erau numere care erau compuse din părțile lor alicote, adică egale cu suma divizorilor lor. Trebuie remarcat aici că grecii antici nu au inclus numărul în sine ca parte a divizorilor săi.
Cel mai mic număr perfect este 6:
Este urmată de numărul 28:
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Adesea, un matematician, pasionat de rezolvarea unei probleme și de a avea una sau mai multe soluții particulare la această problemă, încearcă să găsească modele care ar putea oferi cheia găsirii unei soluții generale. Numerele perfecte pe care le-am indicat pot fi scrise sub formă
6 = 2 3 = 2(2 2 - 1),
28 = 2 2 7 = 2 2 (2 3 - 1),
496 = 24 31 = 2 4 (2 5 - 1).
Aceasta ne conduce la o ipoteză:
Un număr este perfect dacă este reprezentat ca
R = 2 p-1 (2p - 1) = 2p q, (3.4.1)
q = 2p - 1
este un număr prim Mersenne.
Acest rezultat, cunoscut grecilor, este ușor de demonstrat. Divizori de numere R, inclusiv numărul în sine R, evident următoarele numere sunt:
1, 2, 2 2…, 2 r-1,
q, 2q, 2 2 q..., 2 r-1 q.
Să notăm suma acestor divizori
1 + 2 +… + 2 R-1 + q(1 + 2 +… + 2 R-1),
care este egal cu
(1 + 2 +… + 2 R-1)(q + 1) = (1 + 2 +… + 2 R-1) 2 R
Dacă nu vă amintiți formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice,
S = 1 + 2 +… + 2 R-1 ,
apoi înmulțiți această sumă cu 2:
2S = 2 + 2 2 +… +2 R-1 + 2R,
și apoi, scăzând S, obține
S= 2p - 1 = q.
Astfel, suma tuturor divizorilor unui număr R Există
2 p q = 2 2 p-1 q,
și suma tuturor divizorilor cu excepția numărului însuși R = 2 p-1 q, este egal
2 2 p-1 q - 2 p-1 q = 2 p-1 q= R.
Deci numărul nostru este perfect.
Din acest rezultat rezultă că fiecare număr prim Mersenne generează un număr perfect. În § 2 al celui de-al doilea capitol s-a spus că se cunosc doar 23 de numere prime Mersenne, prin urmare, cunoaștem și 23 de numere perfecte. Există și alte tipuri de numere perfecte? Toate numerele perfecte de forma (3.4.1) sunt pare; se poate dovedi că orice număr perfect par are forma (3.4.1). Întrebarea rămâne: există numere perfecte impare? În prezent nu cunoaștem niciun astfel de număr, iar întrebarea existenței numerelor perfecte impare este una dintre cele mai cunoscute probleme din teoria numerelor. Dacă un astfel de număr ar putea fi descoperit, ar fi o realizare majoră. Ați putea fi tentat să găsiți un astfel de număr încercând diverse numere impare. Dar nu recomandăm să faceți acest lucru, deoarece conform rapoartelor recente ale lui Brian Tuckerman de la IBM (1968), un număr perfect impar trebuie să aibă macar 36 de caractere.
Sistemul de sarcini 3.4.
1. Folosind lista de numere prime Mersenne, găsiți al patrulea și al cincilea număr perfect.
Din cartea Căutători de autografe extraordinare autor Levshin Vladimir ArturoviciNUMERE, NUMERE, NUMERE... „Există o astfel de carte”, a început Mate, „Dialoguri despre matematică”. A fost scrisă de remarcabilul matematician maghiar al secolului nostru Alfred Rényi. Forma dialogului nu a fost aleasă de el întâmplător, la fel cum nu întâmplător Galileo Galilei a apelat probabil la ea odată.
Din cartea Invitație la teoria numerelor de Ore Oistin§ 4. Numere figurate În teoria numerelor întâlnim adesea pătrate, adică numere precum 32 = 9, 72 = 49, 102 = 100 și, în mod similar, cuburi, adică numere precum 23 = 8, 33 = 27, 53 = 125. Smochin. 2. Această imagine geometrică a operației numerice în cauză face parte din bogat
Din cartea Trucuri și ghicitori științifice autor Perelman Yakov IsidoroviciCAPITOLUL 2 NUMERE SIMPLE § 1. Numere prime și compuse Trebuie să fie una dintre primele proprietăți ale numerelor, deschis de om, a fost că unii dintre ei pot fi factorizați în doi sau mai mulți factori, de exemplu, 6 = 2 3, 9 = 3 3, 30 = 2 15 = 3 10, în timp ce alții, de exemplu, 3, 7, 13 , 37, nu
Din cartea Apologia matematicii sau despre matematica ca parte a culturii spirituale autor Uspensky Vladimir Andreevici§ 2. Numerele prime Mersenne Timp de câteva secole a existat o căutare a numerelor prime. Mulți matematicieni au concurat pentru onoarea de a fi descoperitorii celui mai mare număr prim cunoscut. Desigur, s-ar putea alege mai multe foarte numere mari, care nu au așa ceva
Din cartea Matematica iubirii. Modele, dovezi și căutare solutie perfecta de Fray Hannah§ 3. Numere prime Fermat Există şi un alt tip de numere prime cu mari şi interesanta poveste. Ele au fost introduse pentru prima dată de juristul francez Pierre Fermat (1601–1665), care a devenit faimos pentru remarcabilul său lucrări de matematică. Primele cinci numere prime
Din carte Viața secretă numere [ramuri curioase ale matematicii] de Navarro Joaquin§ 5. Numerele prietenoase Numerele prietenoase fac, de asemenea, parte din moștenirea pe care am moștenit-o din numerologia greacă. Dacă două persoane aveau nume astfel încât valorile lor numerice să fie satisfăcute următoarea condiție: suma părților (divizorilor) uneia dintre ele a fost egală cu cea de-a doua
Din cartea Volumul 9. Ghicitoarea Fermat. Provocarea de trei secole la matematică autor Violant-și-Holtz Albert§ 2. Numerele coprime Numărul 1 este un divizor comun pentru orice pereche de numere a și b. Se poate întâmpla ca unitatea să fie singurul lor divizor comun, adică d0 = D(a, b) = 1. (4.2.1) În acest caz, spunem că numerele a și b sunt relativ prime.Exemplu. (39, 22) = 1.Dacă numerele au un comun
Din cartea autorului§ 1. Numere „Totul este un număr” - învățau vechii pitagoreici. Cu toate acestea, numărul de numere pe care le-au folosit este nesemnificativ în comparație cu dansul fantastic al numerelor care ne înconjoară astăzi în Viata de zi cu zi. Numerele uriașe apar atunci când numărăm și când
Din cartea autorului44. Ce numere? Ce două numere întregi, dacă sunt înmulțite, fac șapte? Amintiți-vă că ambele numere trebuie să fie numere întregi, deci răspunsuri ca 31/2? 2 sau 21/3? 3, nu
Din cartea autorului47. Trei numere Care trei numere întregi, dacă sunt înmulțite, dau aceeași sumă obținută din ele Din cartea autorului
Numere magice Ca și în cazul multor sondaje anterioare, respondenții au descoperit că numărul mediu de parteneri sexuali pe viață a fost relativ scăzut: aproximativ șapte pentru femeile heterosexuale și aproximativ treisprezece pentru bărbații heterosexuali.
Din cartea autoruluiCapitolul 1 Numere Albert! Nu-i mai spune lui Dumnezeu ce să facă! Niels Bohr către Albert Einstein La început au fost numărul și cifra. Când omul a încercat să le stăpânească, s-a născut știința, iar omul a început să învețe lumea. Dezvoltarea științei a fost adesea însoțită de amuzante,
Din cartea autoruluiAnexă Numere ondulate Un număr figurativ este un număr care poate fi reprezentat ca puncte aranjate sub forma unui poligon regulat. Aceste numere pentru o lungă perioadă de timp a servit ca obiect al unei atenții deosebite a matematicienilor. Grecii le-au atribuit proprietăți magice,
Eigendivisor un număr natural este orice divizor, altul decât numărul însuși. Dacă un număr este egal cu suma propriilor divizori, atunci se numește perfect. Deci, 6 = 3 + 2 + 1 este cel mai mic dintre toate numerele perfecte (1 nu contează), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 este un alt astfel de număr.
Numerele perfecte sunt cunoscute din cele mai vechi timpuri și i-au interesat pe oamenii de știință în orice moment. În Elementele lui Euclid s-a dovedit că dacă un număr prim are forma 2 n– 1 (astfel de numere se numesc numere prime Mersenne), apoi numărul 2 n–1 (2 n– 1) – perfect. Și în secolul al XVIII-lea, Leonhard Euler a demonstrat că orice număr par perfect are această formă.
Sarcină
Încercați să demonstrați aceste fapte și să găsiți încă câteva numere perfecte.
Sfat 1
a) Pentru a demonstra o afirmație din Principia (ce se întâmplă dacă un număr prim are forma 2 n– 1, atunci numărul este 2 n –1 (2n– 1) - perfect), este convenabil să se ia în considerare funcția sigma, care este egală cu suma tuturor divizorilor pozitivi ai unui număr natural n. De exemplu, σ (3) = 1 + 3 = 4 și σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Această funcție are proprietate utilă: ea multiplicativ, acesta este σ (ab) = σ (A)σ (b); egalitatea este valabilă pentru oricare două numere naturale între prime AȘi b (prim reciproc sunt numere care nu au divizori comuni). Puteți încerca să dovediți această proprietate sau să o acceptați cu credință.
Folosind funcția sigma pentru a demonstra perfecțiunea unui număr N = 2n –1 (2n– 1) se rezumă la verificarea σ (N) = 2N. În acest scop, multiplicativitatea acestei funcții este utilă.
b) O altă soluție nu utilizează construcții suplimentare precum funcția sigma. Se bazează numai pe definiția unui număr perfect: trebuie să scrieți toți divizorii numărului 2 n–1 (2 n– 1) și găsiți suma lor. Ar trebui să fie același număr.
Sfat 2
Demonstrarea că orice număr perfect par este o putere a lui doi înmulțită cu un prim Mersenne este, de asemenea, convenabil folosind funcția sigma. Lăsa N- orice număr par perfect. Apoi σ (N) = 2N. Să ne imaginăm N la fel de N = 2k· m, Unde m- numar impar. De aceea σ (N) = σ (2k· m) = σ (2k)σ (m) = (1 + 2 + ... + 2k)σ (m) = (2k +1 – 1)σ (m).
Se pare că 22 k· m = (2k +1 – 1)σ (m). Deci 2 k+1 – 1 împarte produsul 2 k+1 · m, iar din 2 k+1 – 1 și 2 k+1 sunt relativ prim, atunci m trebuie să fie divizibil cu 2 k+1 – 1. Adică m poate fi scris sub forma m = (2k+1 – 1) M. Înlocuind această expresie în egalitatea anterioară și reducând cu 2 k+1 – 1, obținem 2 k+1 · M = σ (m). Acum rămâne un singur pas, deși nu cel mai evident, până la sfârșitul probei.
Soluţie
Indiciile conțin o mare parte din dovezile pentru ambele fapte. Să completăm pașii lipsă aici.
1. Teorema lui Euclid.
a) Mai întâi trebuie să demonstrați că funcția sigma este într-adevăr multiplicativă. De fapt, deoarece fiecare număr natural poate fi descompus în mod unic factori primi(această afirmație se numește teorema fundamentală a aritmeticii), este suficient să se demonstreze că σ (pq) = σ (p)σ (q), Unde pȘi q- diverse numere prime. Dar este destul de evident că în acest caz σ (p) = 1 + p, σ (q) = 1 + q, A σ (pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).
Acum să completăm demonstrația primului fapt: dacă un număr prim are forma 2 n– 1, apoi numărul N = 2n –1 (2n– 1) – perfect. Pentru a face acest lucru, este suficient să verificați asta σ (N) = 2N(deoarece funcția sigma este suma toata lumea divizori ai numărului, adică suma proprii divizori plus numărul însuși). Verificăm: σ (N) = σ (2n –1 (2n – 1)) = σ (2n –1)σ (2n – 1) = (1 + 2 + ... + 2n–1)·((2 n – 1) + 1) = (2n- 12 n = 2N. Aici a fost folosit de aceea ori de 2 n– 1 este un număr prim, atunci σ (2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.
b) Să completăm a doua soluție. Găsiți toți divizorii corespunzători ai numărului 2 n –1 (2n- 1). Acesta este 1; puteri a două 2, 2 2, ..., 2 n-1; număr prim p = 2n- 1; precum și divizori de tip 2 m· p, unde 1 ≤ m ≤ n– 2. Însumarea tuturor divizorilor este astfel împărțită în calculul sumelor a două progresii geometrice. Prima începe cu 1, iar a doua începe cu un număr p; ambele au un numitor egal cu 2. Conform formulei pentru suma elementelor unei progresii geometrice, suma tuturor elementelor primei progresii este egală cu 1 + 2 + ... + 2 n –1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n– 1 (și acesta este egal p). A doua progresie dă p·(2 n –1 – 1)/(2 – 1) = p·(2 n-unsprezece). În total, se dovedește p + p·(2 n –1 – 1) = 2n-1 · p- de ce ai nevoie.
Cel mai probabil, Euclid nu era familiarizat cu funcția sigma (și într-adevăr cu conceptul de funcție), așa că demonstrația sa este prezentată într-un limbaj ușor diferit și este mai aproape de soluția de la punctul b). Este conținută în propoziția 36 din Cartea a IX-a a Elementelor și este disponibilă, de exemplu, .
2. Teorema lui Euler.
Înainte de a demonstra teorema lui Euler, observăm de asemenea că dacă 2 n– 1 este un număr prim Mersenne, atunci n trebuie să fie și un număr prim. Ideea este că dacă n = km- compus, atunci 2 km – 1 = (2k)m– 1 este divizibil cu 2 k– 1 (din moment ce expresia x m– 1 se împarte la X– 1, aceasta este una dintre formulele de înmulțire prescurtate). Și asta contrazice simplitatea numărului 2 n– 1. Enunț invers - „dacă n- prim, apoi 2 n– 1 este și prim” - nu este adevărat: 2 11 – 1 = 23·89.
Să revenim la teorema lui Euler. Scopul nostru este de a demonstra că orice număr par perfect are forma obținută de Euclid. Sugestia 2 a subliniat primii pași ai dovezii, lăsând ultimul pas de făcut. De la egalitate 2 k+1 · M = σ (m) urmează că m impartit de M. Dar m este de asemenea divizibil prin sine. în care M + m = M + (2k+1 – 1) M = 2 k+1 · M = σ (m). Aceasta înseamnă că numărul m nu există alți divizori decât MȘi m. Mijloace, M= 1, a m- un număr prim care are forma 2 k+1 – 1. Apoi N = 2k· m = 2k(2k+1 – 1), care este ceea ce a fost cerut.
Deci, formulele sunt dovedite. Să le folosim pentru a găsi câteva numere perfecte. La n= 2 formula dă 6, iar când n= 3 se dovedește a fi 28; Acestea sunt primele două numere perfecte. Conform proprietății numerelor prime Mersenne, trebuie să alegem un astfel de prim n că 2 n– 1 va fi, de asemenea, un număr prim și compus n poate să nu fie luate în considerare deloc. La n= 5 este egal cu 2 n– 1 = 32 – 1 = 31, asta ni se potrivește. Iată al treilea număr perfect - 16·31 = 496. Pentru orice eventualitate, să-i verificăm perfecțiunea în mod explicit. Să notăm toți divizorii proprii ai lui 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Suma lor este 496, deci totul este în ordine. Următorul număr perfect se obține prin n= 7 este 8128. Primul Mersenne corespunzător este 2 7 – 1 = 127 și este destul de ușor de verificat că este într-adevăr prim. Dar al cincilea număr perfect se obține atunci când n= 13 și este egal cu 33 550 336. Dar verificarea manuală este deja foarte plictisitoare (totuși, acest lucru nu a împiedicat pe cineva să-l descopere încă din secolul al XV-lea!).
Postfaţă
Primele două numere perfecte - 6 și 28 - sunt cunoscute din timpuri imemoriale. Euclid (și noi, urmându-l), folosind formula pe care am dovedit-o din Elemente, am găsit al treilea și al patrulea număr perfect - 496 și 8128. Adică, la început se cunoșteau doar două, iar apoi patru numere cu frumoasa proprietate a lui. „fiind egal cu suma divizorilor lor” Nu mai găseau astfel de numere și chiar și acestea, la prima vedere, nu aveau nimic în comun. În cele mai vechi timpuri, oamenii erau înclinați să dea sens mistic fenomenelor misterioase și de neînțeles, motiv pentru care numerele perfecte au primit statut special. pitagoreici, care au furnizat influență puternică asupra dezvoltării științei și culturii de atunci a contribuit și el la aceasta. „Totul este un număr”, au spus ei; numărul 6 din predarea lor avea special proprietăți magice. Iar primii interpreți ai Bibliei au explicat că lumea a fost creată tocmai în ziua a șasea, deoarece numărul 6 este cel mai perfect dintre numere, pentru că este primul dintre ele. De asemenea, multora li s-a părut că nu este o coincidență faptul că Luna se învârte în jurul Pământului în aproximativ 28 de zile.
Al cincilea număr perfect - 33.550.336 - a fost găsit abia în secolul al XV-lea. Aproape un secol și jumătate mai târziu, italianul Cataldi a găsit al șaselea și al șaptelea numere perfecte: 8.589.869.056 și 137.438.691.328. n= 17 și n= 19 în formula lui Euclid. Vă rugăm să rețineți că numărul este deja de miliarde și este înfricoșător chiar să vă imaginați că toate calculele au fost făcute fără calculatoare și computere!
După cum știm, Leonhard Euler a demonstrat că orice număr perfect par trebuie să aibă forma 2 n –1 (2n– 1) și 2 n– 1 ar trebui să fie simplu. Al optulea număr - 2 305 843 008 139 952 128 - a fost găsit și de Euler în 1772. Aici n= 31. După realizările sale, s-ar putea spune cu prudență că ceva a devenit clar pentru știință chiar și despre numerele perfecte. Da, cresc repede și sunt greu de calculat, dar cel puțin este clar cum se face: trebuie să luați numerele Mersenne 2 n– 1 și caută printre ei unele simple. Nu se știe aproape nimic despre numerele perfecte impare. Până în prezent, nu a fost găsit niciun astfel de număr, în ciuda faptului că toate numerele de până la 10.300 au fost testate (se pare că limita inferioară a fost împinsă și mai mult, rezultatele corespunzătoare pur și simplu nu au fost încă publicate). Pentru comparație: numărul de atomi din partea vizibilă a Universului este estimat la aproximativ 1080. Nu s-a dovedit că numerele perfecte impare nu există, pur și simplu pot fi foarte număr mare. Chiar atât de mare încât puterea noastră de calcul nu o va atinge niciodată. Dacă un astfel de număr există sau nu este una dintre problemele deschise ale matematicii de astăzi. Căutarea pe computer a numerelor perfecte impare este efectuată de participanții la proiectul OddPerfect.org.
Să revenim la numerele pare perfecte. Al nouălea număr a fost găsit în 1883 de un preot rural din provincia Perm I.M. Pervushin. Acest număr are 37 de cifre. Astfel, până la începutul secolului al XX-lea, au fost găsite doar 9 numere perfecte. În această perioadă au apărut mașinile de aritmetică mecanică, iar la mijlocul secolului au apărut primele calculatoare. Cu ajutorul lor, lucrurile au mers mai repede. În prezent, au fost găsite 47 de numere perfecte. Mai mult, doar primele patruzeci sunt cunoscute numere de serie. Încă aproximativ șapte numere nu s-a stabilit încă exact care sunt acestea. Căutarea de noi numere prime Mersenne (și odată cu ele noi numere perfecte) este efectuată în principal de membrii proiectului GIMPS (mersenne.org).
În 2008, participanții la proiect au găsit primul număr prim cu mai mult de 10.000.000 = 107 cifre. Pentru aceasta ei au primit un premiu de 100 000 $, și premii în bani de 150 000 $ și 250 000 $ sunt promise și pentru numere prime formate din mai mult de 10 8 și, respectiv, 10 9 cifre. Se așteaptă ca cei care au găsit numere prime Mersenne mai mici, dar nu au descoperit încă, să primească o recompensă din acești bani. Adevărat, pe computerele moderne, verificarea numerelor de această lungime pentru primalitate va dura ani, iar aceasta este probabil o chestiune de viitor. Cel mai mare număr prim de astăzi este 243112609 – 1. Este format din 12.978.189 de cifre. Rețineți că, mulțumită testului Lucas-Lehmer (a se vedea dovezile sale: O dovadă a testului Lucas-Lehmer), verificarea caracterului primar al numerelor Mersenne este mult simplificată: nu este nevoie să încercați să găsiți cel puțin un divizor al următorului candidat (acesta este un loc de muncă foarte intensiv în muncă, care pentru un număr atât de mare este practic imposibil acum).
Numerele perfecte au câteva proprietăți aritmetice distractive:
- Fiecare număr perfect par este, de asemenea, un număr triunghiular, adică poate fi reprezentat ca 1 + 2 + ... + k = k(k+ 1)/2 pentru unii k.
- Fiecare număr perfect par, cu excepția lui 6, este suma cuburilor de numere naturale impare succesive. De exemplu, 28 = 1 3 + 3 3 și 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3.
- În sistemul numeric binar, numărul perfect este 2 n –1 (2n– 1) se scrie foarte simplu: mai întâi merg n unități și apoi - n– 1 zerouri (asta decurge din formula lui Euclid). De exemplu, 6 10 = 110 2, 28 10 = 11100 2, 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2.
- Suma reciprocelor tuturor divizorilor unui număr perfect (numărul însuși este implicat și aici) este egală cu 2. De exemplu, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1 /28 = 2.
Numărul 6 este divizibil prin el însuși și, de asemenea, cu 1, 2 și 3, iar 6 = 1+2+3.
Numărul 28 are cinci alți factori decât el însuși: 1, 2, 4, 7 și 14, cu 28 = 1+2+4+7+14.
Se poate observa că nu orice număr natural este egal cu suma tuturor divizorilor săi care diferă de acest număr. Numerele care au această proprietate au fost denumite perfect.
Chiar și Euclid (secolul al III-lea î.Hr.) a indicat că numerele chiar perfecte pot fi obținute din formula: 2 p –1 (2p– 1) cu condiția ca Rși 2 p Există numere prime. În acest fel, au fost găsite aproximativ 20 de numere pare perfecte. Până acum, nu se cunoaște niciun număr perfect impar și întrebarea existenței lor rămâne deschisă. Cercetările asupra unor astfel de numere au început de către pitagoreici, care le-au atribuit lor și combinațiilor lor o semnificație mistică specială.
Primul cel mai mic număr perfect este 6
(1 + 2 + 3 = 6).
Poate de aceea locul al șaselea a fost considerat cel mai onorabil la sărbători printre vechii romani.
Al doilea cel mai mare număr perfect este 28
(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
Unele societăți învățate și academii ar fi trebuit să aibă 28 de membri. La Roma, în 1917, în timpul lucrărilor subterane, au fost descoperite sediul uneia dintre cele mai vechi academii: o sală și în jurul ei 28 de camere - doar numărul membrilor academiei.
Pe măsură ce numerele naturale cresc, numerele perfecte devin mai puțin comune. Al treilea număr perfect - 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), al patrulea – 8128 , a cincea - 33 550 336 , al șaselea - 8 589 869 056 , al șaptelea - 137 438 691 328 .
Primele patru numere perfecte sunt: 6,
28, 496, 8128
au fost descoperite cu mult timp în urmă, acum 2000 de ani. Aceste numere sunt date în Aritmetica lui Nicomachus din Geraz, un filozof, matematician și teoretician al muzicii antice grecești.
Al cincilea număr perfect a fost descoperit în 1460, acum aproximativ 550 de ani. Acest număr 33550336
descoperit de matematicianul german Regiomontanus (secolul al XV-lea).
În secolul al XVI-lea, omul de știință german Scheibel a găsit și alte două numere perfecte: 8 589 869 056 Și 137 438 691 328 . Ele corespund cu p = 17 și p = 19. La începutul secolului al XX-lea s-au găsit încă trei numere perfecte (pentru p = 89, 107 și 127). Ulterior, căutarea a încetinit până la mijlocul secolului al XX-lea, când, odată cu apariția computerelor, au devenit posibile calcule dincolo de capacitățile umane. În prezent sunt cunoscute 47 de numere pare perfecte.
Natura perfectă a numerelor 6 și 28 a fost recunoscută de multe culturi, observând că Luna orbitează Pământul la fiecare 28 de zile și susținând că Dumnezeu a creat lumea în 6 zile.
În eseul său „Cetatea lui Dumnezeu”, Sfântul Augustin a exprimat ideea că, deși Dumnezeu ar putea crea lumea într-o clipă, El a ales să o creeze în 6 zile pentru a reflecta asupra perfecțiunii lumii. Potrivit Sfântului Augustin, numărul 6 nu este absolut pentru că Dumnezeu l-a ales, ci pentru că perfecțiunea este inerentă naturii acestui număr. „Numărul 6 este perfect în sine, și nu pentru că Domnul a creat toate lucrurile în 6 zile; mai degrabă, dimpotrivă, Dumnezeu a creat tot ce există în 6 zile pentru că acest număr este perfect. Și ar rămâne perfect chiar dacă nu ar exista o creație în 6 zile.”
Lev Nikolaevici Tolstoi s-a „lăudat” de mai multe ori în glumă că data
nașterea lui la 28 august (conform calendarului de atunci) este un număr perfect.
Anul nașterii L.N. Tolstoi (1828) – de asemenea număr interesant: ultimele două cifre (28) formează un număr perfect; Dacă schimbați primele cifre, obțineți 8128 - al patrulea număr perfect.
Numerele perfecte
Uneori numerele perfecte sunt considerate un caz special de numere prietenoase: fiecare număr perfect este prietenos cu el însuși. Nicomachus din Gheras, celebrul filozof și matematician, a scris: „Numerele perfecte sunt frumoase. Dar se știe că lucrurile sunt rare și puține la număr, lucrurile urâte se găsesc din abundență. Aproape toate numerele sunt redundante și insuficiente, în timp ce sunt puține. numere perfecte.” Dar câte dintre ele sunt? Nicomah, care a trăit în secolul I d.Hr., nu știa.
Un număr se numește perfect egal cu suma toți divizorii săi (inclusiv 1, dar excluzând numărul însuși).
Primul număr perfect frumos despre care îl cunoșteau matematicienii din Grecia Antică a fost numărul „6”. Pe locul șase la sărbătoarea invitată se afla cel mai respectat, cel mai onorat oaspete. Legendele biblice susțin că lumea a fost creată în șase zile, deoarece nu există un număr mai perfect între numerele perfecte decât „6”, deoarece este primul dintre ele.
Să luăm în considerare numărul 6. Numărul are divizori 1, 2, 3 și numărul însuși 6. Dacă adunăm alții divizori decât numărul însuși 1 + 2 + 3, atunci obținem 6. Aceasta înseamnă că numărul 6 este prietenos cu sine și este primul număr perfect.
Următorul număr perfect cunoscut anticilor a fost „28”. Martin Gardner a văzut o semnificație specială în acest număr. În opinia sa, Luna se reînnoiește în 28 de zile, deoarece numărul „28” este perfect. La Roma, în 1917, în timpul lucrărilor subterane, a fost descoperită o structură ciudată: în jurul unui mare holul central Sunt douăzeci și opt de celule. Aceasta a fost clădirea Academiei Neopitagoreene de Științe. Avea douăzeci și opt de membri. Până de curând, multe societăți învățate trebuiau să aibă același număr de membri, adesea pur și simplu prin obicei, motivele pentru care au fost de mult uitate. Înainte de Euclid, erau cunoscute doar aceste două numere perfecte și nimeni nu știa dacă există alte numere perfecte sau câte astfel de numere ar putea exista.
Datorită formulei sale, Euclid a reușit să găsească încă două numere perfecte: 496 și 8128.
Timp de aproape o mie cinci sute de ani oamenii au cunoscut doar patru numere perfecte și nimeni nu știa dacă ar putea exista alte numere care să poată fi reprezentate în formula euclidiană și nimeni nu putea spune dacă sunt posibile numere perfecte care nu satisfac formula euclidiană.
Formula lui Euclid vă permite să demonstrați cu ușurință numeroase proprietăți ale numerelor perfecte.
Toate numerele perfecte sunt triunghiulare. Aceasta înseamnă că, luând un număr perfect de bile, putem forma oricând un triunghi echilateral din ele.
Toate numerele perfecte, cu excepția lui 6, pot fi reprezentate ca sume parțiale ale unei serii de cuburi de numere impare succesive 1 3 + 3 3 + 5 3 ...
Suma reciprocelor tuturor divizorilor unui număr perfect, inclusiv pe el însuși, este întotdeauna egală cu 2.
În plus, perfecțiunea numerelor este strâns legată de binar. Numere: 4=22, 8=2? 2? 2, 16 = 2? 2? 2? 2, etc. se numesc puteri ale lui 2 și pot fi reprezentate ca 2n, unde n este numărul de doi înmulțit. Toate puterile numărului 2 nu devin perfecte, deoarece suma divizorilor lor este întotdeauna cu unul mai mică decât numărul însuși.
Toate numerele perfecte (cu excepția lui 6) se termină în notație zecimală cu 16, 28, 36, 56, 76 sau 96.
Cifre sociabile
Conceptele de numere perfecte și prietenoase sunt adesea menționate în literatura despre matematică distractivă. Cu toate acestea, din anumite motive, se spune puțin despre faptul că numerele pot fi și prieteni între companii. Conceptul de numere de companie este bine explicat în sursele în limba engleză.
Compania este un grup de k numere în care suma divizorilor proprii ai primului număr este egală cu al doilea, suma divizorilor proprii ai celui de-al doilea este egală cu al treilea etc. Și primul număr este egal cu suma divizorilor proprii ai numărului k-lea.
Sunt companii cu 4, 5, 6, 8, 9 și chiar 28 de participanți, dar trei nu au fost găsite. Un exemplu de cinci, singurul cunoscut până acum: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.
- „Cronicile lui Amber”. Cărți în ordine. Recenzii. Roger Zelazny „Cronicile lui Amber Roger Zelazny Cei nouă prinți ai chihlimbarului a continuat
- Ciupercă de orez: beneficii și daune
- Energia umană: cum să vă aflați potențialul energetic Energia vitală umană după data nașterii
- Semne zodiacale pe elemente - Horoscop