0 डिग्री सेल्सियस के तापमान की लंबाई होती है। भौतिकी के पाठों में गणित की परीक्षा के लिए तैयार होना (या गणित के पाठों में भौतिकी की परीक्षा के लिए)
0°C के तापमान पर, रेल की लंबाई L0 = 10m होती है। पटरियों के बीच पटरियां बिछाते समय 4.5 एमएम का गैप छोड़ा गया था।
अंतराल वह दूरी है जो पटरियों के बीच छोड़ी जाती है ताकि गर्म होने पर वे फैल सकें। और हीटिंग घर्षण के कारण होता है जो तब होता है जब ट्रेन रेल के साथ गुजरती है।
आइए मीटर में अंतर व्यक्त करें: 4.5 मिमी = 4.5 10-3 मी।
L(t°) = L0 + गैप - रेल की लंबाई जब t° से गर्म करने के बाद बढ़ाई जाती है।
दूसरी ओर, L(t°) = L0(1+α t°). समानता के सही भागों को समान करें, इन मात्राओं को प्रतिस्थापित करें, कोष्ठक खोलें, हमें मिलता है:
10 + 4.5 10-3 = 10 + 10 1.2 10-5 t° --> t° 12 10-5 = 4.5 10-3 --> t°=450 / 12 = 37.5°.
उत्तर: 37.5
0 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर रेल की लंबाई L0 = 12.5 मीटर है। पटरियों के बीच पटरियां बिछाते समय 6 एमएम का गैप छोड़ा गया था।
जैसे ही तापमान बढ़ता है, रेल का थर्मल विस्तार होगा, और इसकी लंबाई कानून के अनुसार बदल जाएगी L(t°) = L0 (1 + αt°), जहां α = 1.2 10-5 (°C)-1 है थर्मल विस्तार गुणांक, t° तापमान (डिग्री सेल्सियस में) है। किस पर न्यूनतम तापमानक्या पटरियों के बीच कोई गैप होगा? (अपना उत्तर डिग्री सेल्सियस में व्यक्त करें।)
0°C के तापमान पर, रेल की लंबाई L0 = 15m होती है। पटरियों के बीच पटरियां बिछाते समय 6.3 एमएम का गैप छोड़ा गया था।
जैसे ही तापमान बढ़ता है, रेल का थर्मल विस्तार होगा, और इसकी लंबाई कानून के अनुसार बदल जाएगी L(t°) = L0 (1 + αt°), जहां α = 1.2 10-5 (°C)-1 है थर्मल विस्तार गुणांक, t° तापमान (डिग्री सेल्सियस में) है। किस न्यूनतम तापमान पर पटरियों के बीच का अंतर समाप्त हो जाएगा? (अपना उत्तर डिग्री सेल्सियस में व्यक्त करें।)
बारिश के बाद कुएं में पानी का स्तर बढ़ सकता है। लड़का छोटे कंकड़ के कुएं में गिरने के समय को मापकर और सूत्र h = -5t2 द्वारा गणना करके इसे निर्धारित करता है। बारिश से पहले कंकड़ गिरने का समय 0.6 सेकेंड था। मापित समय में 0.2 s से अधिक परिवर्तन करने के लिए वर्षा के बाद जल स्तर की न्यूनतम ऊँचाई क्या होनी चाहिए? (एम में अपना उत्तर व्यक्त करें।)
बारिश के बाद कुएं में पानी का स्तर बढ़ सकता है। लड़का छोटे कंकड़ के कुएं में गिरने के समय को मापकर और सूत्र h = -5t2 द्वारा गणना करके इसे निर्धारित करता है। बारिश से पहले कंकड़ गिरने का समय 1 s था। मापित समय में 0.2 s से अधिक परिवर्तन करने के लिए वर्षा के बाद जल स्तर की न्यूनतम ऊँचाई क्या होनी चाहिए? (एम में अपना उत्तर व्यक्त करें।)
उत्तर: 1.8।
बारिश के बाद कुएं में पानी का स्तर बढ़ सकता है। लड़का छोटे कंकड़ के कुएं में गिरने के समय को मापकर और सूत्र h = -5t2 द्वारा गणना करके इसे निर्धारित करता है। बारिश से पहले कंकड़ गिरने का समय 0.8 सेकेंड था। मापित समय में 0.1 s से अधिक परिवर्तन करने के लिए वर्षा के बाद जल स्तर की न्यूनतम ऊँचाई क्या होनी चाहिए? (एम में अपना उत्तर व्यक्त करें।)
उत्तर: 0.75।
मान लीजिए h1 बारिश से पहले का पानी का स्तर है, h2 बारिश के बाद का पानी का स्तर है, t1 बारिश से पहले सतह पर पत्थर गिरने का समय है, t2 बारिश के बाद गिरने का समय है।
शून्य चिह्न के लिए हम पृथ्वी की सतह पर स्थित एक बिंदु लेते हैं, तो h1 और h2 जल स्तर के निर्देशांक हैं और वे ऋणात्मक हैं, जिसे सूत्र h = - 5t2 से देखा जा सकता है।
बारिश के बाद पानी का स्तर |h1 - h2| बढ़ गया मीटर।
स्थिति के अनुसार t1=0.6s, और t2 0.2 s से अधिक घट गया, अर्थात टी 2 ≤ 0.4 एस।
|एच1 - एच2| = | -5 टी12 - (-5 टी22)| = | -5 0.62 +5 0.42| = 5|0.62 - 0.42| \u003d 5 0.2 \u003d 1 (मीटर)।
एच1=एच(0.6) = -5*0.36= -1.8
एच2=एच(0.4) = -5*0.16 = -0.8
एच2-एच1 = -0.8-(-1.8) = 1
वे। बारिश के बाद, पिछला स्तर 1 मीटर बढ़ जाएगा।
0°C के तापमान पर, रेल की लंबाई l0 = 20 मीटर है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, रेल का थर्मल विस्तार होता है, और इसकी लंबाई, मीटर में व्यक्त की जाती है, कानून के अनुसार बदलती है l(t°) = l0(1 + a t°), जहाँ a = 1.2 10-5(°C)-1 थर्मल विस्तार का गुणांक है, t° तापमान (डिग्री सेल्सियस में) है।
रेल बढ़ाव अंतर है, मीटर में केवल 3 मिमी व्यक्त किया जाना चाहिए।
l(t°) - l0 =0.003 --> 20(1 + 1.2 10-5 t°) - 20 = 0.003 --> 24 10-5 t° = 3 10-3 --> t°= 12.5°C
अक्सर ऐसा होता है कि एक कार्य B12 में एक फ़ंक्शन और एक सूत्र दोनों होते हैं। ऐसी समस्याओं में, मुख्य चर के अलावा, अतिरिक्त अज्ञात भी होते हैं, जिनके मूल्यों को पाठ में कहीं खोजा जाना चाहिए।
सामान्य समाधान योजना सूत्रों की समस्याओं से लगभग अलग नहीं है (पाठ देखें "समस्या B12 में सूत्रों के साथ कार्य करना")। संक्षेप में: पाठ में संख्याएँ खोजें और उन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यदि आप सब कुछ सही करते हैं, तो आपको एक चर के साथ एक मानक समीकरण प्राप्त होता है।
एक कार्य। एक रेडियोधर्मी समस्थानिक के क्षय के दौरान, कानून के अनुसार इसका द्रव्यमान घटता है:
जहाँ m 0 (mg) समस्थानिक का प्रारंभिक द्रव्यमान है, t (min) प्रारंभिक क्षण से बीता हुआ समय है, T (min) आधा जीवन है। प्रारंभिक समय में समस्थानिक का द्रव्यमान m 0 = 56 mg होता है। इसकी अर्ध-आयु T = 7 मिनट है। समस्थानिक का द्रव्यमान कितने मिनट में 7 मिलीग्राम हो जाएगा?
स्थिति के अनुसार, निम्नलिखित मात्राएँ ज्ञात हैं: m 0 = 56; T \u003d 7. उन्हें फ़ंक्शन में बदलें - हमें m (t) \u003d 56 2 -t / 7 मिलता है। उस क्षण को खोजना आवश्यक है जब एम (टी) = 7 मिलीग्राम। आइए समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
56 2 −t /7 = 7;
2 −t / 7 = 1/8 - हर चीज़ को 56 से भाग दिया;
2 −t / 7 \u003d 2 −3 - 1/8 को 2 −3 के रूप में दर्शाया गया;
-t/7 = -3;
टी = 21।
एक कार्य। एकाधिकार उद्यमों में से एक के लिए, इसकी कीमत p (हजार रूबल) पर उत्पादों q (प्रति माह इकाइयां) की मांग की मात्रा की निर्भरता सूत्र द्वारा दी गई है: q = 75 - 5p । मूल्य का अधिकतम स्तर पी (हजार रूबल में) निर्धारित करें, जिस पर महीने के लिए कंपनी के राजस्व का मूल्य आर = क्यू · पी कम से कम 270 हजार रूबल होगा।
इसलिए, हमारे पास एक फलन r = q p है, और q एक अज्ञात मात्रा है। इसके अलावा, चर q अपने आप में एक फलन है: धारणा के अनुसार, q = 75 - 5p। इस व्यंजक को फलन r में प्रतिस्थापित करें। हम पाते हैं:
आर = (75 - 5पी ) पी = 75पी - 5पी 2 .
अब हमारे पास एक ऐसा कार्य है जो मूल्य के संदर्भ में लाभ व्यक्त करता है। सभी कीमतें हजारों रूबल में निर्धारित की गई हैं - यह स्थिति से निम्नानुसार है। साथ ही, शर्त के अनुसार, लाभ कम से कम 270 हजार रूबल होना चाहिए, इसलिए आप r = 270 लिख सकते हैं। चलिए समीकरण बनाते हैं और हल करते हैं:
270 = 75p - 5p 2 ;
5p 2 - 75p + 270 = 0 - सब कुछ बाईं ओर ले जाया गया;
पी 2 - 15p + 54 = 0 - सब कुछ 5 से विभाजित;
... (तय करना द्विघात समीकरण)
पी 1 = 6; पी 2 = 9।
चूंकि हम रुचि रखते हैं सबसे ज़्यादा कीमत, पी 2 = 9 चुनें।
एक कार्य। 0 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर, रेल की लंबाई l 0 = 20 मीटर होती है। पटरियों के बीच पटरियां बिछाते समय 9 एमएम का गैप छोड़ा गया था। जैसे ही तापमान बढ़ता है, रेल का थर्मल विस्तार होगा, और इसकी लंबाई कानून l (t) \u003d l 0 (1 + a t) के अनुसार बदल जाएगी, जहाँ a \u003d 1.2 10 −5 (°C) -1 गुणांक थर्मल विस्तार है, टी तापमान (डिग्री सेल्सियस में) है। किस न्यूनतम तापमान पर पटरियों के बीच का अंतर समाप्त हो जाएगा? अपना उत्तर डिग्री सेल्सियस में व्यक्त करें।
प्रारंभ में, हम दो मात्राएँ जानते हैं: l 0 = 20 और a = 1.2 · 10 −5। सबसे सूक्ष्म बिंदु यह समझना है कि एल (टी) किसके बराबर है। अर्थात्: जब रेल को इन्हीं 9 मिमी से बढ़ाया जाएगा तो अंतर गायब हो जाएगा। इसकी लंबाई 20 मीटर थी, और अब यह 20 मीटर + 9 मिमी है।
चलिए सब कुछ मीट्रिक सिस्टम में बदलते हैं। एक मीटर में 1000 मिमी होते हैं, इसलिए 9 मिमी \u003d 9 10 −3 मीटर कुल, एल (टी) \u003d 20 + 9 10 −3। आइए इस रिकॉर्ड को इस रूप में छोड़ दें, हम जोड़ नहीं देंगे। परिणामी समीकरण है:
20 + 9 10 −3 \u003d 20 (1 + 1.2 10 −5 टी)।
आइए कोष्ठक खोलें - और स्पष्ट परिवर्तनों के बाद, समीकरण काफी सरल हो जाएगा:
20 + 9 10 −3 \u003d 20 + 20 1.2 10 −5 टी;
9 10 −3 \u003d 24 10 −5 टी - दोनों पक्षों से संख्या 20 हटा दी गई थी।
दोनों पक्षों को 10 5 से गुणा करें और प्राप्त करें:
9 10 −3 + 5 = 24 10 −5 + 5 टी;
9 10 2 = 24t सामान्य रैखिक समीकरण है;
टी = 900/24 = 37.5।
जैसा कि आप देख सकते हैं, रेल की समस्या काफी कठिन निकली। और गणित में ट्रायल परीक्षा लिखने वाले कई लोग इस कार्य का सामना नहीं कर पाए। ज्यादातर मामलों में, छात्र भूल गए कि अंतिम लंबाई एल (टी) मूल लंबाई एल 0 और बढ़ाव का योग है, जिसे अभी भी मीटर में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।
उपरोक्त समाधानों से सामान्य निष्कर्ष:
- कभी-कभी रेडियोधर्मी समस्थानिकों के बारे में समस्याओं में वे पदार्थ के नाम का संकेत देते हैं - इस पर ध्यान न दें। हालांकि कॉपर -64, यहां तक कि क्सीनन -133 - जो भी हो। ये संख्याएँ समाधान में भाग नहीं लेती हैं, लेकिन केवल समस्या के पाठ को रोकती हैं। शायद कार्य लेखक जानबूझ कर ऐसा करते हैं;
- एकाधिकार उद्यमों के बारे में समस्याओं में माप की इकाइयों से डरना नहीं चाहिए। यहां तक कि अगर यह सैकड़ों हजारों रूबल है, तो समस्या में संकेतित संख्याओं को शून्य देना आवश्यक नहीं है। जो दिया गया है उसका उपयोग करें - और सही उत्तर प्राप्त करें;
- कब हम बात कर रहे हेरेल के बारे में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि एल (टी) पूरी रेल की लंबाई है, न कि केवल इसकी लम्बाई। बढ़ाव (या गैप) को ही मीटर में बदलना होगा। उदाहरण के लिए, 4.5 मिमी 4.5 x 10 −3 मीटर है। इसके अलावा, रेल की लंबाई और अंतराल को जोड़ने में जल्दबाजी न करें। कोष्ठक खोलना बेहतर है - सूत्र जटिल है, लेकिन गणना की मात्रा कई गुना कम हो जाएगी। और आपको 10 −5 की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, अन्यथा आपको सौ-हजारवाँ भाग मिलेगा और आप बहुत दुखी होंगे।
जटिल कार्य B12
लेकिन रेल सब कुछ नहीं है! और भी जटिल कार्य हैं जिनके लिए वास्तव में सक्षम सोच की आवश्यकता होती है। उनकी तुलना में पटरियां भी आराम कर रही हैं। इस परीक्षा में इसी तरह की समस्या के आने की संभावना कम है, लेकिन यह जानना नितांत आवश्यक है कि उन्हें कैसे हल किया जाता है।
आइए ऐसी दो समस्याओं पर विचार करें। वे वास्तव में पेश किए गए थे परीक्षण परीक्षाअंक शास्त्र। कुछ ही उनका सामना करने में कामयाब रहे।
एक कार्य। तारों के प्रभावी तापमान को निर्धारित करने के लिए, स्टीफन-बोल्ट्जमैन कानून का उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार एक गर्म शरीर की विकिरण शक्ति सीधे उसके सतह क्षेत्र और तापमान की चौथी शक्ति के समानुपाती होती है:
जहाँ σ = 5.7 10 −8 एक नियतांक है, क्षेत्र को में मापा जाता है वर्ग मीटर, तापमान केल्विन में है, और शक्ति वाट में है।
यह ज्ञात है कि एक निश्चित तारे का क्षेत्रफल S = (1/128) · 10 20 m 2 है, और इससे निकलने वाली शक्ति P 1.14 · 10 25 W से कम नहीं है। सबसे छोटा निर्धारित करें संभव तापमानयह सितारा। अपना उत्तर डिग्री केल्विन में दें।
बेशक, चौथी शक्ति और दस की शक्तियों वाली संख्या वाला सूत्र खतरनाक दिखता है। लेकिन हकीकत में सब कुछ इतना बुरा नहीं है। हम शक्ति P, क्षेत्रफल S और अचर σ जानते हैं। उन्हें सूत्र में रखकर, हम प्राप्त करते हैं:
1.14 10 25 \u003d 5.7 10 −8 (1/128) 10 20 टी 4।
हम माप की इकाइयाँ नहीं लिखते - वे केवल समीकरण को रोकते हैं। समाधान को सरल बनाने के लिए, आइए दोनों पक्षों को 128 से गुणा करें, और फिर जितना हो सके कारकों की संख्या कम करें। हमारे पास है:
1.14 10 25 128 = 5.7 10 −8 (1/128) 10 20 टी 4 128;
1.14 128 10 25 \u003d 5.7 10 −8 10 20 टी 4 - लाल रंग में चिह्नित कारकों को कम किया;
1.14 128 10 25 \u003d 5.7 10 12 टी 4;
1.14 128 10 25 - 12 \u003d 5.7 10 12 - 12 टी 4 - सब कुछ 10 12 से विभाजित;
1.14 128 10 13 \u003d 5.7 टी 4;
1.14 128 10 13: 5.7 = 5.7 टी 4: 5.7 - सब कुछ 5.7 से विभाजित करें;
0.2 128 10 13 \u003d टी 4 - क्योंकि 1.14: 5.7 \u003d 0.2;
2 10 −1 128 10 13 \u003d टी 4 - दर्ज 0.2 \u003d 2 10 −1;
256 10 12 \u003d टी 4 - समूह दो और दस;
टी 4 \u003d 10 12 2 8 - 256 \u003d 2 8 के बाद से;
टी = 10 3 2 2 = 1000 4 = 4000।
अंतिम चरण में, हम चौथी जड़ पाते हैं। मैं आपको याद दिला दूं: जड़ निकालने से की डिग्री कम हो जाती है हर कोईगुणक।
सामान्यतया, समीकरण में दो वास्तविक जड़ें होंगी: T 1 \u003d 4000 और T 2 \u003d -4000। लेकिन केल्विन में तापमान ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए दूसरा विकल्प हमें रूचि नहीं देता है।
एक कार्य। एक उच्च बेलनाकार टैंक की साइड की दीवार में एक क्रेन बहुत नीचे तय की गई है। इसे खोलने के बाद, टैंक से पानी बहना शुरू हो जाता है, जबकि इसमें पानी के स्तंभ की ऊंचाई, मीटर में व्यक्त की जाती है, कानून के अनुसार बदल जाती है:
जहां टी नल खोले जाने के बाद से सेकंड में बीता हुआ समय है, एच 0 = 20 मीटर पानी के स्तंभ की प्रारंभिक ऊंचाई है, के = 1/50 नल और टैंक के क्रॉस-आंशिक क्षेत्रों का अनुपात है, और g गुरुत्व का त्वरण है (मान लीजिए g = 10 m/s 2)।
नल खोलने के बाद कितने सेकंड में पानी की मूल मात्रा का एक चौथाई टैंक में रहेगा?
सबसे पहले, आइए जानें कि वांछित एच (टी) किसके बराबर है। शर्त के अनुसार पानी की मूल मात्रा का एक चौथाई टैंक में रहना चाहिए। इसलिए एच (टी) \u003d (1/4) 20 \u003d 5 मीटर।
अब जबकि सभी पैरामीटर ज्ञात हैं, चलिए संख्याओं को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं। गणनाओं को जटिल न करने के लिए, हम निम्नलिखित पर ध्यान देते हैं:
इस प्रकार, रूट के बजाय, आप संख्या 20 को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं। हमारे पास है:
5 \u003d 20 - 20 (1/50) टी + (10/2) (1/50) 2 टी 2;
0 \u003d 15 - 20 (1/50) टी + 5 (1/50) 2 टी 2 - सब कुछ एक दिशा में ले जाया गया;
(1/50) 2 t 2 − 4 (1/50) t + 3 = 0 - हर चीज को 5 से विभाजित किया।
चलिए चर में बदलाव करते हैं: (1/50) t = x। तब (1/50) 2 t 2 \u003d x 2, और पूरे समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:
x 2 − 4x + 3 = 0;
(x - 3) (x - 1) \u003d 0 - द्विघात समीकरण की जड़ों का अनुमान बिना किसी भेदभाव के आसानी से लगाया जा सकता है (पाठ "वीटा प्रमेय" देखें);
एक्स 1 = 3; x2 = 1।
अब याद करते हैं कि x क्या है। चूंकि हमने x = (1/50) t परिवर्तन किया है, हमारे पास:
टी = 50x;
टी 1 \u003d 50 3 \u003d 150;
टी 2 \u003d 50 1 \u003d 50।
इसलिए, हमारे पास उत्तर के लिए दो उम्मीदवार हैं: संख्या 50 और 150। ध्यान दें कि समय t = 100 पर, जल स्तंभ की ऊंचाई है:
एच (100) = 20 − 20 (1/50) 100 + 5 (1/50) 2 100 2 = 20 − 40 + 20 = 0.
दूसरे शब्दों में, t = 100 सेकंड के बाद, पानी पूरी तरह से टैंक से बाहर निकल जाएगा, और समीकरण H (t) अपना भौतिक अर्थ खो देता है। इसलिए, संस्करण t = 150 हमें रूचि नहीं देता है। केवल टी = 50 शेष रहता है।
अंत में, मैं एक बार फिर अंतिम कार्य पर ध्यान देना चाहूंगा। हमने मूल t = 150 को समाप्त कर दिया, क्योंकि यह प्रारंभ से बहुत दूर स्थित है - जहाँ मूल सूत्र सभी भौतिक अर्थ खो देता है। तुलना करना:
- गणित की दृष्टि से हमारे पास एक मानक है द्विघात फंक्शन, जिसका ग्राफ एक परवलय है। और यह बिलकुल सामान्य है कि एक द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं;
- लेकिन भौतिकी की दृष्टि से, चिह्न t = 100 के बाद, ग्राफ का अस्तित्व ही नहीं होता है। क्योंकि 100 सेकंड के बाद, पानी पूरी तरह से टैंक से बाहर निकल जाता है, और फ़ंक्शन एच (टी) विचाराधीन प्रक्रिया का वर्णन करना बंद कर देता है। इस निशान से परे स्थित सब कुछ बकवास है जो हमें रूचि नहीं देता है।
स्टार प्रॉब्लम में, हमने एक पॉजिटिव रूट चुना, जिसके द्वारा निर्देशित भी भौतिक अर्थ. ये उदाहरण स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करते हैं कि बिना पीछे देखे गणितीय समीकरणों से "दूर हो जाना" कितना खतरनाक है वास्तविक स्थितियाँकार्यों। ध्यान से!