Topologia ciała. „geometria gumy” czyli topologia oczami studenta
Ten samouczek jest dobrym początkiem dla każdego, kto chce nauczyć się modelować najwyższej klasy postacie. Znany w swoim środowisku Jahirul Amin opowie o znaczeniu prawidłowej topologii, jednolitej siatki, znaczeniu wielokątów czworokątnych i wielu innych.
Przed zanurzeniem się w jacuzzi 3D sugeruję krótki program edukacyjny i pluskanie się w płytkiej wodzie. Poniżej poruszymy podstawy modelowania wielokątnego, bez znajomości których nie ma sensu iść dalej.
Wstęp
Kiedy geometria staje się pomocą modelarza lub animatora, na pierwszym miejscu pojawia się idealny układ siatki. Następnie powinna wejść w grę dobra topologia, która zmniejszy liczbę defektów w animacji postaci. Innymi słowy, prawidłowo (i na czas) utworzony wielokąt zaoszczędzi nie tylko godziny, ale i dni Twojego życia.
3-gon vs 4-gon vs N-gon
Jaka jest więc różnica między wielokątami 3-, 4- i N-gonowymi? Odpowiedź jest oczywista: pierwszy ma 3 boki, drugi 4, trzeci ma ich dowolną liczbę, większą niż 4. Jeżeli modelujesz postać do dalszej animacji to polecamy używaj tylko czworokątów. Proces deformowania i dzielenia wielokątów czworokątnych jest znacznie łatwiejszy, a zniekształcenia tekstur są mniejsze.
Zaleca się ukrywanie trójkątów przed oczami własnymi i innych osób. Na przykład pod pachami lub w okolicy pachwiny postaci. Z kolei na wielokąty nakładany jest niewypowiedziany zakaz – nie powinny one istnieć. Powodują zniekształcenia i powodują wiele problemów przy riggingu i edycji grup wierzchołków (tzw. „malowanie ciężarami”).
Wreszcie model składający się głównie z czterech wielokątów będzie łatwiejszy do wyeksportowania do innych programów do modelowania, takich jak Mudbox.
Radość wielokątów cztero- i trzykątnych oraz groza N-gonu
Kontury twarzy, które z definicji przypominają N-gon, powinny być jak najbardziej zbliżone do formatu czworokątnego. Trochę - położenie wielokątów powinno być w zasadzie możliwie jednolite. Tego wymaga geometria o tej samej nazwie. Przestrzeganie tych zasad ułatwi przejście przez etap riggingu oraz pomoże przy deformowaniu postaci w procesie animacji. Dodatkowo zmniejszona zostanie skala zniekształceń związanych z użyciem tekstur, choć tutaj nie powinniśmy zapominać o znaczeniu samego skanu UV.
Aby wykonać opisane zadanie, Maya udostępnia narzędzie Sculpt Geometry.
Narzędzie Sculpt Geometry w programie Maya pomoże Ci „wygładzić” siatkę modelu
Odpowiedzialny za płynne przejście każdej pojedynczej krawędzi (inaczej Edge Flow). Może to wydawać się proste, ale w praktyce jest to bardzo podstępne.
Jeśli planujesz stworzyć realistyczną postać, zaleca się przestudiowanie podstaw anatomii przed rozpoczęciem pracy. Podążając za budową ludzkiego ciała i naturalnym ruchem mięśni, animator ostatecznie uzyskuje kopię bliską oryginałowi. Jest to szczególnie wyraźnie widoczne podczas procesu deformacji. Zalecamy zacząć od procesu powstawania zmarszczek i rozciągania skóry.
W przypadku postaci stylizowanych i kreskówkowych Edge Flow ma znacznie mniejsze znaczenie. Mimo to gorąco polecam zdobycie przynajmniej podstawowej wiedzy o anatomii człowieka.
Aby kształt był realistyczny, utwórz dobrą topologię i pamiętaj o uwzględnieniu płynnego kierunku siatki (krawędzie, wielokąty).
Nie jest to również wielorakie. Oznacza, że trójwymiarowego obiektu nie da się wyciąć i spłaszczyć.
Przykład: Utwórz sześcian, wybierz dowolną krawędź (krawędź) i wyciągnij ją Edytuj siatkę > Wyciągnij. Przed tobą znajduje się obiekt o pewnym kształcie. (Przykład poniżej po lewej) Gdyby kostka była wykonana z papieru, to po rozłożeniu otrzymalibyśmy figurę w kształcie krzyża o zaburzonych proporcjach. Użycie takiego obiektu w operacjach boolowskich jest praktycznie niemożliwe.
Aby naprawić sytuację, użyj narzędzia Oczyszczanie.
Naruszenie topologii geometrii może spowodować dziesiątki problemów. Zachowaj czujność i okresowo sprawdzaj figurę pod różnymi kątami.
Każda pętla (krawędź krawędziowa) musi mieć cel
Z reguły modelowanie rozpoczyna się od prymitywnej figury (na przykład sześcianu), której konstrukcja jest następnie komplikowana przez dodanie pętli krawędziowych.
Ważne jest, aby każdy nowy element powstawał w konkretnym celu. Są sytuacje, w których „mniej” równa się „lepiej”. Zrozumienie zasad optymalizacji modelu przychodzi dopiero wraz z doświadczeniem, więc nie zniechęcaj się i pracuj dalej.
Nie komplikuj sobie życia: szczegóły powinny być odpowiednie
Wszystko, co staramy się zrobić na ekranie, jest odbiciem otaczającego nas świata w jego różnych formach i przejawach. Dlatego tak ważne jest, aby od czasu do czasu wstać od stołu. Ważne nie tylko dla programistów, ale także dla animatorów, riggerów, reżyserów oświetlenia itp.
Przyjrzyj się bliżej powierzchni, jej strukturze i cieniu. Jak odbija światło? Jak przebiega proces deformacji? Odpowiedź na te i inne pytania pomoże Ci podjąć właściwą decyzję przy modelowaniu dowolnego obiektu.
Tym artykułem rozpoczynam serię lekcji na temat organicznego modelowania 3D. Artykuł ten dotyczy w szczególności zasad modelowania, tj. absolutnie nie zależy od funkcji Twojego (dowolnego) pakietu 3D. Seria artykułów obejmować będzie następujące zagadnienia:
- formularz,
- proporcje,
- słupy,
- topologia
- i wiele więcej.
Metod modelowania jest ogromna i wszystkie mają swoje zalety i wady, tzw nie ma czegoś takiego jak „najlepsza metoda modelowania”.
Powód, dla którego wybrałem tę ścieżkę formy- ona pracuje. Zawsze też chciałam zostać rzeźbiarką. Zanim przejdę do szczegółów, lubię szkicować ogólny kształt. Dzięki temu osiągnąłem tak wiele i dlatego zdecydowałem się napisać ten artykuł, aby pomóc początkującym w organicznym modelowaniu 3D i pokazać im kształt, zanim zaczną cokolwiek robić.
Pierwszą rzeczą, od której zacząłem, był kształt głowy i poczułem się sfrustrowany, ponieważ próbowałem to zrobić bez żadnych informacji referencyjnych (nie Bibliografia- z źródła angielskiego), używając wyłącznie swojej wyobraźni. Zamiast szkicować z grubsza kształt, mój umysł był zajęty pytaniami typu: „Ile cięć jest potrzebnych? Dlaczego? Gdzie i kiedy?”
Martwiłam się nie tylko o głowę, ale także o oczy, nos i usta (a jeszcze do nich nawet nie doszłam). Mój umysł był zdezorientowany i zupełnie nie wiedziałem, jak stworzyć tę głowę… aż pewnego dnia udało mi się naszkicować podstawową głowę bokserską i oto… zobacz moment prawdy! Byłam tak podekscytowana, że postanowiłam zrobić to jeszcze raz! I tak znowu i znowu, aż znudziło mi się to i byłem wyczerpany.
Patrząc wstecz, wydaje mi się to takie proste i proste. Wystarczyło stworzyć pudełko i dokonać kilku cięć i zmian!
Jeśli jednak jest to takie proste, to dlaczego tak długo się z tym męczyłem? Czy wszyscy możemy to zrobić bez problemów, których doświadczyłem? Cóż, moja odpowiedź brzmi TAK! Ale tylko jeśli masz to na myśli właściwy sposób myślenia. Na przykład nie miałem go, kiedy zaczynałem.
Teraz sobie to uświadomiłem kiedy uczymy się modelowania 3D, to jesteśmy sprawiedliwi w ogóle nie uczymy 3D! Tak naprawdę szukamy odpowiedniego „nastawienia”. Jeśli więc doświadczasz w czymś trudności, nie oznacza to, że brakuje Ci umiejętności lub wiedzy. Dzieje się tak dlatego, że nie masz odpowiedniego nastawienia, aby robić to, co próbujesz zrobić.
Kiedy już przeprogramujesz swój umysł, kontrolę przejmie racjonalny umysł i zaczniesz robić rzeczy w sposób naturalny. Zatem to jest pierwsza rzecz, którą musimy spróbować odbudować – sposób myślenia.
Mentalność
Rysowanie profilu (konturu): łączenie punktów
Ten mały przykład pomoże Ci zmienić sposób myślenia.
Najpierw spójrz na ten obraz. Teraz narysujemy profil za pomocą kropek i połączymy je. Gdybyś miał tylko dwa punkty (na czole i brodzie), aby je połączyć. Jak byś to zrobił? Odpowiedź: od czoła do brody, bo inaczej po prostu nie ma.
Jeśli jednak zwiększysz liczbę punktów, nie tylko ci na to pozwolą bardziej kształtuj profil Dokładnie, ale też na to pozwolą na wiele sposobów, a to już prowadzi do tworzenie stylu(artystyczny).
Bardzo ważne jest, aby o tym pamiętać, gdy trzeba wykonać cięcia lub wiedzieć, gdzie je zakończyć.
Cięcie wpustowe (KR) i cięcie wypełniające (FC).
Na początku bardzo trudno było mi zrozumieć, gdzie i ile cięć powinienem wykonać, tworząc konkretny kształt. Szukałem więc analogii do tego procesu. Okazało się, że to analogia Animacja.
Animacja ma koncepcję Kluczowego personelu(KK). Krótko mówiąc, tak jest charakterystyczne pozy charakter w pewnym chwila czasu. Koncepcja ta obejmuje również Ramy pośrednie(PrK), które wypełniają przedziały czasowe między Kluczowego personelu.
To nie tylko przyspiesza proces, ale także ułatwia. Im więcej masz klatek pośrednich (wypełnień), tym płynniejszy i bardziej precyzyjny będzie ruch.
Jeśli jesteś animatorem, masz moc kontrolowania liczby PRK. Jest to bardzo podobne do wycinania wielokątów w 3D.
Rysowanie dużej liczby PK i zarządzanie nimi wszystkimi jest bardzo żmudną pracą. To samo dotyczy przesuwania dużej liczby wierzchołków w 3D - jest to bardzo pracochłonne.
Ideą CD są jointy. Kiedy modelarz szkicuje zgrubny kształt, zawsze zaczyna od KR, który zawsze wygląda szorstko. Jeśli edytor, którego używasz, obsługuje kości, użyj go, aby to rozgryźć. Zegnij/skręć kości w stawach, aby zobaczyć swoją ogólną formę w pozycjach.
Gdy wszystkie płyty CD będą już gotowe, masz dwie możliwości:
- Wygładź model.
Czasami tworzę CR, a następnie po prostu pozwalam, aby kod odpowiedzialny za podzielenie modelu na większą liczbę wielokątów (podpodział) wykonał za mnie wszystkie CR. Wadą jest to, że nie wygląda to realistycznie. Zatem następnym krokiem będzie zastosowanie miękkiego rozświetlacza w celu skorygowania kształtu. Czasami może to zaoszczędzić dużo czasu (ale to zależy od tego, co modelujesz). - Dodaj ZR ręcznie.
W większości przypadków preferuję pracę ręczną, ponieważ w ten sposób mogę kontrolować liczbę punktów i ich lokalizację.
Należy pamiętać, że koncepcja cięć kluczowych i wypełniających jest przydatna nie tylko do tworzenia kształtów, ale także do wyszczególniania siatki. KR i ZR utworzone za pomocą podziału są jednym ze sposobów optymalizacji siatki (pośladki, uda itp.). Ponadto czasami cięcie wypełniające może stać się cięciem kluczowym, w zależności od tego, jak na to spojrzeć. Jesteś stwórcą, więc wszystko jest w Twojej mocy.
Ważne jest również to, że koncepcja ta doskonale sprawdza się również w przypadku topologii/pętli (pętle kluczowe i wypełniające).
Main and Fill to bardzo interesująca koncepcja, ponieważ można ją zastosować niemal do wszystkiego! Następnym razem, gdy spojrzysz na siatkę topologii, spróbuj znaleźć pętlę kluczową, ponieważ każda głowa ma co najmniej jedną z nich.
Z tego co widziałem istnieją takie topologie głowic:
- Pętla C
- Pętla X
- Pętla elektroniczna
- I masa innych
O tym wszystkim opowiem później, ale na razie skupmy się na formie.
Zaokrąglanie
To najczęstszy błąd wszystkich początkujących. Tworzą Key Cuts, a następnie Filler pomiędzy nimi i pozostawiają wszystko bez najmniejszej zmiany. Jeśli nie zaokrąglisz swojego GR, wynik będzie kwadratowy (nienaturalny, nieorganiczny) i będziesz musiał ciężko pracować, aby to później naprawić. Jeśli za każdym razem, gdy będziesz tworzyć kolejne Wycięcie Wypełniające, odpowiednio dopasujesz je do kształtu, oszczędzisz sobie ciągłego przerabiania siatki.
Podążanie za liniami formy (linie ciała, gładkość linii).
Kolejnym częstym błędem jest NIE podążanie za gładkimi liniami obiektu. Pamiętaj, że jest to symulacja organiczna, więc staraj się myśleć organicznie. Szkicując części ciała, takie jak ogon lub zakrzywione ciało, spróbuj wyobrazić sobie zakrzywiony cylinder. I odpowiednio twórz bloki.
Strach, pośpiech i wątpliwości
Jest to wyzwanie mentalne, gdy dopiero zaczynasz przygodę z modelowaniem 3D.
Za każdym razem, gdy robisz coś po raz pierwszy, doświadczasz wielkich trudności. Rzecz w tym, żeby się nie poddawać! Każdy przez to przechodzi. Rzadko spotyka się osobę, która przeszła przez ten początkowy etap i nie opowiada o tym, jak cierpiała.
Dlatego moja rada: spokojnie, zwolnij, nie ma tu pośpiechu. Spróbuj spędzić miesiąc lub dwa bawiąc się swoją formą. Zacznij od obiektów, które pozwalają popełnić wiele błędów, takich jak stworzenia. I po prostu ćwicz. Jeśli okaże się bzdurą, usuń ją i zacznij od nowa.
Na początku wszystko będzie Ci układać się powoli, ale w miarę wykonywania podobnych zadań Twoja prędkość będzie cały czas rosła. Właśnie dlatego potrzebujemy praktyki, aby robić wszystko lepiej i szybciej.
Kiedy tworzysz model po raz pierwszy, może to być bardzo zabawny proces. Wszystko dzięki „spojrzeniu na całość”.
Weźmy na przykład postać ludzką. Powiedzmy, że zaczynasz od tułowia i używasz wyciągnięcia, aby go rozciągnąć. Jeśli nie masz jeszcze nóg i rąk/głowy, to wszystko wygląda bardzo komicznie. Aby „to” wyglądało na ludzkie należy skompletować wszystkie pozostałe części ciała.
Nie ma więc potrzeby tracić zainteresowania ze względu na okropne skutki braku wszystkich elementów na swoim miejscu. Wystarczy wycisnąć wszystkie części ciała i umieścić je w odpowiednich miejscach, a dopiero wtedy „to” zacznie wyglądać jak postać ludzka.
Ćwiczyć
Temat symulacji
Najpierw porozmawiajmy o temacie modelowania.
Jeśli robisz modelowanie postaci, wtedy oczywiście zaczniesz od głowy i będziesz schodził w dół. Uproszczona głowa, tułów, a następnie ręce i nogi. Po kilku tygodniach zdasz sobie sprawę, że głowa jest najprostszą częścią ciała, ponieważ stanowi tylko jedną bryłę, całkowicie widoczną z jednego punktu. A wszystko, czego potrzebujesz do modelowania, to powiększanie i pomniejszanie (głowy).
Inne części ciała (ramiona, nogi) będą trudniejsze, ponieważ wymagają obracania i powiększania modelu w rzutni. A ponieważ dopiero zaczynasz przygodę z grafiką 3D, prawdopodobnie nie jesteś przyzwyczajony do pełnego wykorzystania obrotu, obracania, przesuwania i powiększania rzutni.
Na początek, aby uniknąć niepotrzebnych trudności, skorzystaj z referencji. A kiedy już to opanujesz, spróbuj modelować z pamięci.
Tworzenie ręki z pamięci po raz pierwszy jest trudne. Spróbuj więc najpierw skorzystać z obrazków/zdjęć referencyjnych, a później z pamięci.
Po co w ogóle robić to z pamięci? Chcę tylko sprawdzić, czy poprawiło się twoje zrozumienie kształtu dłoni (lub innego przedmiotu, który tworzysz).
Jeśli ty modeluj różne stworzenia, to tutaj sytuacja jest taka sama. Zacznij od głowy, potem ciała, a na końcu wszystkiego poniżej. Nie ograniczaj się, modelując tylko jedną część. Przeskakuj z jednej części na drugą (na przykład ja to robię), dzięki czemu (dzięki zmianie rodzaju aktywności) będziesz stale interesował się tym procesem.
Wyrzucać.
Zanim zaczniesz wytłaczać części, takie jak ręce i nogi, powinieneś wiedzieć, że można to zrobić tylko na dwa sposoby. Ma to związek z modelowaniem kąta.
Metoda A jest oczywiście szybsza, ale i tak prędzej czy później dojdziemy do metody B. Można także przekształcić A w B, stosując metodę polaryzacji (więcej o tym później). Uwaga również kształt linii (czerwony).
Widziałem wiele odmian metody A tworzenia realistyczna ludzka ręka. Chociaż metoda B jest odpowiednia dla nierealistyczne postacie na przykład kreskówki i tym podobne.
Jeśli obracanie się przy każdym wyciąganiu sprawia ci trudność, użyj metody A. Ale tak naprawdę nie ma znaczenia, którą metodę wybierzesz, ponieważ możesz w miarę upływu czasu konwertować jedną topologię na inną.
Na tym kończy się pierwsza część artykułu. Możesz zadawać pytania, jeśli coś jest niejasne.
Zakończę kilkoma najlepsze.
To jest moje tłumaczenie doskonałej serii postów SomeArtist na subdivisionmodeling.com (które zostały usunięte, ponieważ forum przestało istnieć).
Subskrybuj aktualizacje bloga(Tutaj ).P.S.Żółw barbarzyński na zdjęciu tytułowym wykonał Amerykanin Jesse Sandifer. Symulacja została przeprowadzona w całości w Błotnik, a następnie cała scena została zmontowana 3dsMax i wizualizowane przez siły Vray. Photoshopa używany do teksturowania i obróbki końcowej. Aby zapoznać się z innymi typami postaci, a także omówieniem dzieła, przeczytaj
WSTĘPRodzi się przyszły odkrywca
nie mając 30 lat, studiując na studiach magisterskich,
i dużo wcześniej niż wtedy, kiedy
rodzice po raz pierwszy zabiorą go do przedszkola.
Aleksander Iljicz Sarenkow
Doktor nauk pedagogicznych, profesor Moskiewskiego Państwowego Uniwersytetu Pedagogicznego
Wraz z rozwojem nowych technologii gwałtownie wzrosło zapotrzebowanie na osoby posiadające innowacyjne myślenie oraz umiejętność stawiania i rozwiązywania nowych problemów. Dlatego matematyczne przygotowanie uczniów staje się coraz ważniejsze niż kiedykolwiek. Warto w tym miejscu przypomnieć wypowiedź wielkiego rosyjskiego uczonego Michaiła Wasiljewicza Łomonosowa: „Matematyki należy uczyć tylko wtedy, bo to porządkuje umysł”.
Każdy człowiek ma wizualną koncepcję przestrzeni, ciał i kształtów geometrycznych. Na szkolnym kursie geometrii będziemy studiować różne ciała i ich właściwości.
Ale to będzie w przyszłości, ale na razie interesuje mnie pytanie: „Co to jest wstęga Möbiusa?” Zapytacie mnie, dlaczego mnie to interesuje. Odpowiem. Naprawdę kocham czytać. Zwłaszcza science-fiction. Jednym z moich ulubionych pisarzy science fiction jest Arthur C. Clarke.
W swojej opowieści „Ściana ciemności” jeden z bohaterów podróżuje po niezwykłej planecie, zakrzywionej w kształcie wstęgi Mobiusa. Zainteresowało mnie, co to za figura i jakie ma właściwości.
Po zapoznaniu się z odpowiednią literaturą i źródłami internetowymi dowiedziałem się, że zagadnienie to bada osobna dziedzina matematyki – topologia. Dlatego też moja praca poświęcona jest rozwiązaniu najprostszego problemu badawczego w tej dziedzinie.
Cel pracy można sformułować jako poznanie jednej z najciekawszych i najbardziej niezwykłych dziedzin matematyki, jaką jest topologia oraz badanie właściwości topologicznych niektórych obiektów.
Aby osiągnąć cel rozwiązałem następujące zadania:
zrozumieć, co bada ta nauka;
przestudiować historię jego pochodzenia;
rozważyć właściwości topologiczne niektórych obiektów;
poznać praktyczne zastosowanie topologii.
Trafność wybranego tematu polega na tym, że w ostatnim czasie nauka ta w coraz większym stopniu przenika do tak podstawowych obszarów wiedzy człowieka, jak fizyka, chemia i biologia. Dlatego znajomość jego podstaw staje się istotna dla mieszkającej w nim osoby z wykształceniem technicznymXXIwiek.
GŁÓWNYM ELEMENTEM
Topologia jako nauka i przesłanki jej powstania
W przeciwieństwie do innych gałęzi geometrii, gdzie stosunek długości, powierzchni, kątów i innych cech ilościowych obiektów ma ogromne znaczenie, topologia nie jest tym wszystkim zainteresowana, ponieważ badane są tutaj inne jakościowe pytania dotyczące struktur geometrycznych.
Zacznijmy rozumieć podstawy tej fascynującej nauki. Jeśli sięgniemy do źródeł literackich, znajdziemy następującą definicję tego pojęcia.
Topologia - dział matematyki badający właściwości figur (lub przestrzeni), które zachowują się pod wpływem ciągłych odkształceń, takich jak rozciąganie, ściskanie lub zginanie.
Wyjaśnijmy spotykane tutaj pojęcie „odkształcenia ciągłego”. Odkształcenie ciągłe to odkształcenie figury, w którym nie ma pęknięć (to znaczy naruszenia integralności figury) ani sklejenia (to znaczy identyfikacji jej punktów).
Każda gałąź matematyki ma swoją podstawową ideę. Topologia nie jest wyjątkiem. Główną ideą topologii jest idea ciągłości, to znaczy topologia bada te właściwości obiektów geometrycznych, które zachowują się w wyniku ciągłych przekształceń.
Transformacje ciągłe charakteryzują się tym, że punkty znajdujące się „blisko siebie” przed transformacją pozostają takie także po zakończeniu transformacji. Podczas transformacji topologicznych obiekty mogą się rozciągać i zginać, ale nie mogą się rozrywać ani łamać.
Aby zobrazować definicję topologii, należy powiedzieć, że z punktu widzenia tej nauki obiekty takie jak filiżanka herbaty i pączek są od siebie nie do odróżnienia. Dlatego wśród naukowców krąży powiedzenie, że matematyk studiujący topologię to osoba, która nie potrafi odróżnić bajgla od filiżanki herbaty. To stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ ściskając i rozciągając kawałek gumy, z której wykonane są te przedmioty, możesz przechodzić z jednego ciała do drugiego.
Rysunek 1Proces przekształcania filiżanki w pączka (torus)
Wybierzmy się na wycieczkę historyczną i wróćmy doXVIIIwieku, kiedy położono podwaliny tej nauki.
Jednym z naukowców, którzy stali u początków tej nauki, jest niemiecki matematyk i mechanikXVIIIwieku Leonharda Eulera. W 1752 roku udowodnił wzór Kartezjusza wyrażający zależność pomiędzy liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian prostych wielościanów:
Gdzie, .
Kolejnym wkładem Eulera w rozwój topologii było rozwiązanie słynnego problemu mostu. Chodziło o wyspę na rzece Pregol w Królewcu (w miejscu, gdzie rzeka rozdziela się na dwie odnogi – Starą i Nową Pregol) oraz siedem mostów łączących wyspę z brzegami (ryc. 2).
Należało sprawdzić, czy da się obejść wszystkie siedem mostów ciągłą trasą, odwiedzając każdy z nich tylko raz i wracając do punktu wyjścia. Euler zastąpił masy lądowe kropkami, a mosty liniami. Euler nazwał powstały schematliczyć (Rys. 3), punkty są jego wierzchołkami, a linie są jego krawędziami.
Rysunek 2Problem mostów w Królewcu
L - lewy brzeg , R - prawy brzeg ,
Rysunek 3Wykres
Naukowiec podzielił wierzchołki na parzyste i nieparzyste, w zależności od liczby krawędzi wychodzących z wierzchołka. Euler udowodnił, że wszystkie krawędzie grafu można przejść dokładnie raz po ciągłej trasie zamkniętej tylko wtedy, gdy graf zawiera tylko wierzchołki parzyste.
Ponieważ graf w zadaniu mostów w Królewcu zawiera tylko wierzchołki nieparzyste, wymagana trasa spaceru nie istnieje.
Problem ten ilustruje praktyczne zastosowanie pojęcia „grafu jednokursowego”, które pojawiło się w słowniku topologii w rXXwiek. Wykres nazywa sięjednokierunkowy , jeśli da się to „narysować jednym pociągnięciem”, tj. przejść przez to wszystko ciągłym ruchem, nie przechodząc dwukrotnie przez tę samą krawędź.
Zatem wykres problemu mostów w Królewcu nie jest jednokursowy i dlatego problem nie ma rozwiązania.
Termin „topologia” po raz pierwszy pojawia się w liście do jego nauczyciela Mullera, który niemiecki matematyk i fizyk, profesor uniwersytetu w Getyndze Johann Listing napisał w 1836 roku. Topologia ogólna, wywodząca się zXIXwieku, ostatecznie w drugiej połowie uformowała się w niezależną dyscyplinę matematycznąXXwiek. W dużej mierze ułatwiły to prace akademika P.S. Aleksandrowa.
Właściwości topologiczne obiektów
Topologia w literaturze popularnonaukowej często nazywana jest geometrią gumy. Aby to zrozumieć, trzeba sobie wyobrazić, że obiekt geometryczny jest wykonany z gumy i jednocześnie ma następujące właściwości: można go ściskać, rozciągać, skręcać (czyli poddawać wszelkiego rodzaju odkształceniom), ale nie można go rozerwane i sklejone.
Na przykład małą kulkę można napompować do wielkości dużej, następnie przekształcić w elipsę, a następnie zdeformować w hantle.
Rysunek 4Proces deformacji obiektów
W podobny sposób możesz zamienić powierzchnię kuli w powierzchnię sześcianu, stożka i innych figur. Istnieją w matematyce właściwości, których nie naruszają żadne ciągłe odkształcenia. To jest towłaściwości topologiczne . Jedna z gałęzi topologii, topologia ogólna, bada te właściwości.
Właściwości badane w geometrii szkolnej (euklidesowej) nie są topologiczne. Na przykład prostolinijność nie jest właściwością topologiczną, ponieważ linia prosta może się wygiąć i zakrzywić. Trójkątność również nie jest właściwością topologiczną, ponieważ trójkąt można w sposób ciągły odkształcać w okrąg.
Długości odcinków, kątów, powierzchni - wszystkie te pojęcia zmieniają się wraz z ciągłymi przekształceniami. Przykładem właściwości topologicznej jest obecność „dziury” w torusie (pączku). Ponadto ważne jest, aby otwór nie był częścią torusa. Bez względu na to, jak dużym ciągłym odkształceniom ulega torus, dziura pozostanie.
Powierzchnie jednostronne
Każdy z nas ma pojęcie o tym, czym jest „powierzchnia”. Po prostu otaczają nas różne powierzchnie: powierzchnia kartki papieru, powierzchnia jeziora, powierzchnia globu...
Z reguły wyobrażamy sobie powierzchnię z dwiema stronami: zewnętrzną i wewnętrzną, przednią i tylną itp. Czy w tak zwyczajnej koncepcji może być coś nieoczekiwanego, a nawet tajemniczego? Okazuje się, że można.
W 1858 roku niemiecki matematyk i astronom August Ferdinand Möbius (1790-1868) odkrył powierzchnię, która później stała się znana jako „wstęga Möbiusa”. Legenda głosi, że Mobiusowi w odkryciu jego „liścia” pomogła służąca, która nieprawidłowo uszyła końce zwykłej wstążki.
Wstęga Möbiusa to najprostsza jednostronna powierzchnia z krawędzią. Możliwe jest przedostanie się z jednego punktu takiej powierzchni do drugiego bez przekraczania krawędzi.
Powtórzmy to odkrycie. Stwórzmy badaną powierzchnię i przestudiujmy jej właściwości.
Do pracy potrzebujemy kartki papieru A4, linijki, ołówka, nożyczek i kleju.
Rysunek 5Narzędzia
Na kartce papieru narysuj dwa paski o szerokości 4 cm i wytnij je. Będą to półfabrykaty, z których wykonamy naszą taśmę (arkusz).
Rysunek 6Tworzenie pustego miejsca
Z jednego paska przykleimy zwykły pierścień, a z drugiego wstęgę Möbiusa. Aby to zrobić, obróć drugi pasek o pół obrotu i sklej końce ze sobą.
Rysunek 7Etapy pracy
To właśnie powinniśmy otrzymać.
Rysunek 8Wynik pracy
Zacznijmy badać właściwości otrzymanych liczb. Nie da się odróżnić przedniej strony wstęgi Möbiusa od tylnej. Nieustannie przekształcają się w siebie. Zadanie pomalowania różnych stron pierścionka różnymi kolorami nie sprawi żadnych trudności. Zobaczmy to na prostym przykładzie. Weź flamaster, zaznacz kropkę i zacznij malować w sposób ciągły po jednej stronie. Zobaczysz, że zamalowana zostanie tylko jego wewnętrzna powierzchnia.
Rysunek 9Kolorystyka pierścionka
Ale czy będzie to prawdą w przypadku naszego drugiego obiektu papierowego? Powtórzmy eksperyment, wybierając jako powierzchnię doświadczalną nie pierścień, ale wstęgę Möbiusa.
Rysunek 10Kolorowanie wstęgi Möbiusa
Widzisz, że cały arkusz stał się kolorowy. Ale nadal rysowaliśmy flamastrem tylko po jednej stronie. Z tego możemy to wywnioskowaćże wstęga, z której wykonana jest wstęga Möbiusa, ma dwie strony, a sam wstęga ma jedną .
Jeśli będziemy poruszać się wzdłuż krawędzi wstęgi Möbiusa, to po pełnym zakręcie znajdziemy się na drugiej krawędzi i nadejdziemy z przeciwnej strony.
Kontynuujmy nasze badania i zastanówmy się, jak nasze dwie figury (pierścień i wstęga Möbiusa) zachowają się po przecięciu. Jeśli przetniesz pierścionek wzdłuż linii środkowej, otrzymasz dwa węższe pierścienie
Rysunek 11Cięcie pierścionka
Rysunek 12Wynik cięcia pierścienia
Jeśli przetniesz wstęgę Möbiusa wzdłuż linii środkowej, nie rozdzieli się ona na dwa pierścienie, jak miało to miejsce w eksperymencie z pierścieniami. Otrzymamy jeden pierścień, ale dwa razy dłuższy (powstały pierścień będzie miał dwustronną powierzchnię).
Rysunek 13Cięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej
Co się stanie, jeśli przetniesz wstęgę Möbiusa wzdłuż linii leżącej blisko krawędzi? Aby dojść do początku cięcia, będziemy musieli przejść dwa razy dłużej niż cięcie tego arkusza wzdłuż linii środkowej. Otrzymasz dwa zazębiające się pierścienie, jeden duży i wąski, a drugi mały i szeroki. Najciekawsze jest to, że duży pierścień będzie miał powierzchnię jednostronną, a mały będzie miał powierzchnię dwustronną.
Jeśli wykonasz wstęgę Möbiusa, która jest skręcona o 3 półobroty (540 stopni), a następnie przetniesz ją na pół, otrzymasz wstęgę Möbiusa skręconą w węzeł.
Można uzyskać ciekawe rzeczy, jeśli złożysz papier jak akordeon, a następnie uformujesz z niego pasek Möbiusa i przetniesz go na pół lub jedną trzecią. Przed nami pojawią się trzy splatające się pierścienie.
Jako badaczy właściwości tej figury interesowało nas pytanie: czy zawsze można stworzyć wstęgę Möbiusa? Okazało się, że jeśli weźmiemy kwadratową kartkę papieru i wytniemy z niej pasek, nie uda nam się uzyskać interesującej nas figury.
Powstaje wówczas nowe pytanie: jaki powinien być stosunek długości i szerokości wstęgi, aby zawsze można było z niej uzyskać wstęgę Möbiusa? Udowodniono matematycznie, że jeśli szerokość paska przyjmiemy jako 1, to długość powinna wynosić 1,73.
Praktyczne zastosowanie topologii
Gdy mowa o topologii, osobie zaznajomionej z tym zagadnieniem pierwszą rzeczą, która przychodzi na myśl, jest wstęga Möbiusa. Dlatego w zakresie praktycznego zastosowania tej nauki w różnych gałęziach działalności człowieka najczęściej spotyka się użycie tej konkretnej figury.
Niesamowite właściwości wstęgi Möbiusa są źródłem inspiracji dla pisarzy i poetów. Jako przykład chciałbym podać krótki fragment wiersza Natalii Iwanowej:
Wstęga Moebiusa jest symbolem matematyki,
Co służy za koronę najwyższej mądrości...
Jest pełen nieświadomego romansu:
W nim nieskończoność jest zwinięta w pierścień.
Jest w tym prostota, a wraz z nią złożoność,
które jest niedostępne nawet dla mądrych:
Tutaj samolot zmienił się na naszych oczach
W powierzchnię bez początku i końca.
Flatland Edwina Abbotta i jego kontynuacja Spherland, napisana przez Davida Burgera w 1976 roku, słusznie są uważane za klasyczną książkę o życiu w przestrzeni dwuwymiarowej.
Flatlander żyje na planecie w kształcie dwuwymiarowej powierzchni. Jeśli jego wszechświat jest nieskończoną płaszczyzną, może on podróżować na dowolną odległość w dowolnym kierunku. Ale jeśli powierzchnia, na której żyje, jest zamknięta jak kula, to jest nieograniczona i skończona.
Niezależnie od tego, w którą stronę pójdzie Płaszczak, jadąc prosto i nigdzie się nie skręcając, z pewnością powróci do miejsca, w którym rozpoczął swoją podróż. Kiedy Płaszczanin podróżuje po świecie na kuli, ma się wrażenie, jakby poruszał się po pasku sklejonym w pierścień.
Ale jeśli mieszkaniec tej planety podróżuje wzdłuż wstęgi Mobiusa, to wracając do punktu wyjścia, znajdzie swoje serce nie po lewej stronie, ale po prawej! Podobną sytuację opisuje fantastyczna opowieść H.G. Wellsa „The Plattner Story”. Człowiek, będąc w czwartym wymiarze, powrócił na Ziemię jako swój lustrzany sobowtór – z sercem umieszczonym po prawej stronie.
W produkcji przenośnik taśmowy wykonywany jest w formie wstęgi Möbiusa. Ta cecha konstrukcyjna pozwala wydłużyć żywotność paska, ponieważ jego powierzchnia zużywa się równomiernie.
Rysunek 14Przenośnik taśmowy
Stosunkowo niedawno głównym urządzeniem do przesyłania informacji z komputera do druku była drukarka igłowa. W głowicy drukującej taśma barwiąca również została ułożona w formie paska Möbiusa.
Rysunek 15Drukarka matrycowa
Ponieważ mówimy o komputerach, sieć komputerowa służy do łączenia kilku maszyn w jedną całość. Jednym z podstawowych pojęć technologii sieciowej jest pojęcie topologii sieci.Topologia – ogólny schemat sieci komputerowej, pokazujący fizyczną lokalizację komputerów i połączenia między nimi.
Rysunek 16Przykłady topologii sieci komputerowych
Kształt wstęgi Möbiusa jest z powodzeniem stosowany w architekturze. Podajmy kilka podobnych przykładów.
Rysunek 18Logotypy wzorowane na pasku Mobius
Istnieje hipoteza, że sama spirala DNA jest fragmentem wstęgi Mobiusa i dlatego kod genetyczny jest tak trudny do rozszyfrowania i dostrzeżenia. Ponadto taka struktura dość logicznie wyjaśnia przyczynę początku śmierci biologicznej - spirala zamyka się i następuje samozagłada.
Rysunek 19Helisa DNA
Artyści i graficy również nie zlekceważyli interesującego nas tematu. Wyznacznikiem w tym zakresie jest twórczość holenderskiego grafikaXXwieku przez Maurice’a Eschera. Znany jest ze swoich litografii, w których po mistrzowsku zgłębiał plastyczne aspekty nieskończoności i symetrii.
O swojej twórczości mówił: „Chociaż nie mam zielonego pojęcia o naukach ścisłych, czasami wydaje mi się, że bliżej mi do matematyków niż do kolegów-artystów”.
Rysunek 20Litografie Maurice'a Eschera
WNIOSEK
Topologia jest najmłodsza i najbardziej
potężna gałąź geometrii, to oczywiste
wykazuje owocny wpływ
sprzeczności między intuicją a logiką.
Richarda Coranta
Amerykański matematyk
Rosyjskie przysłowie ludowe mówi: „Koniec jest zwieńczeniem sprawy”. Tak więc moja mała podróż do fascynującego i niezwykłego świata topologii dobiegła końca. Czas podsumować.
W trakcie pracy zapoznałem się z nowym dla mnie obszarem matematyki – topologią. Przeanalizowałem niektóre z najprostszych pojęć stosowanych w tej nauce i dostępnych do zrozumienia bez poważnego wykształcenia matematycznego.
W praktyce odtworzył najsłynniejszą powierzchnię topologiczną – wstęgę Möbiusa i zbadał jej ogólne właściwości. Zapoznałem się także z praktycznym zastosowaniem powierzchni topologicznych w różnych sferach działalności człowieka.
Tym samym wszystkie zadania, które postawiłem na początku tej pracy, zostały pomyślnie rozwiązane. Mam nadzieję, że moja znajomość tego obszaru matematyki w przyszłości nie będzie już tak powierzchowna, co da podstawy do kontynuowania pracy nad wybranym tematem w miarę gromadzenia się wiedzy matematycznej.
BIBLIOGRAFIA
Matematyczny słownik encyklopedyczny / Yu.V. Prochorow [i inni]. – M.: Wydawnictwo „Encyklopedia Radziecka”, 1988. – 340 s.
Boltyansky, V.G. Topologia wizualna / V.G. Boltyansky, V.A. Efremowicz – M.: Nauka, 1975. – 160 s.
Starova, OA Topologia / O.A. Starova // Matematyka. Wszystko dla nauczyciela. – 2013. – nr 9. – s. 28-34.
Stewart, J. Topologia / J. Stewart // Kwant. – 1992. – nr 7. – s. 25 28-30.
Projekt dla dzieci zdolnych: Szkarłatne Żagle [Zasoby elektroniczne] – Tryb dostępu:http:// portal. ru/ ap/ blogu/ naukowo- techniczny- tvorchestvo/ lista- myobiusa– data dostępu: 18.01.2017
Prasolow, V.V. Topologia wizualna / V.V. Prasolow. – M.: MTsNMO, 1995. – 110 s.
Abbott, E. Flatland / E. Abbott. – M.: Mir, 1976. – 130 s.
Temat rozmowy: TOPOLOGIA.
Topologia (od starożytnego greckiego τόπος – miejsce i λόγος – słowo, doktryna) to dziedzina matematyki badająca w najbardziej ogólnej formie zjawisko ciągłości, w szczególności właściwości przestrzeni, które pozostają niezmienione pod wpływem ciągłych odkształceń, na przykład łączność, orientacja. W przeciwieństwie do geometrii, topologia nie uwzględnia właściwości metrycznych obiektów (na przykład odległości między parą punktów). Na przykład z topologicznego punktu widzenia okrąg i pączek (pełny torus) są nie do odróżnienia.
Ale to jest w matematyce. Jak układają się sprawy z bohaterami? Pozwólcie, że ujmę to własnymi słowami.
Topologia to zdolność siatki do prawidłowego reagowania na odkształcenia. Czy to animacja, kompresja, rozciąganie czy inne rodzaje deformacji. Osiąga się to poprzez umiejętne konstruowanie wielokątnej siatki postaci. Są na to pewne zasady. Z niektórymi z nich możesz się zapoznać.
Jest też koncepcja RETOPOLOGIA. Zmiana siatki topologicznej przy maksymalnym zachowaniu kształtu obiektu. Celem retopologii jest skorygowanie poprzedniej (nieprawidłowej) topologii i/lub zmniejszenie liczby wielokątów.
Prawie wszystkie nowoczesne pakiety grafiki 3D posiadają narzędzia do retopologii. Osobiście próbowałem:
1. Maya - zarówno standardowe narzędzia, jak i wtyczki.
2. Max - standardowe narzędzia (horror), wtyczki i skrypty (lubiłem wrapit, ale znowu nie tak bardzo)
3. Zbrush - ciasny i niewygodny..
4. Topogun - w końcu znalazłem coś, co mi się spodobało... gdybym tego nie spotkał
5. 3DCoat.... tu zdałem sobie sprawę, że jest to jak dotąd najwygodniejszy sposób na retopologię i odwijanie UV... choć na początku trudno było to rozgryźć... ale kiedy zrozumiałem zasadę programu - to to... teraz chodzi o retopologię. (nie traktuj tego jako reklamy.)
Cóż, skoro zaczął się ten alkohol, opublikuję kilka moich zdjęć na temat topologii.
Głowa i twarz
Znalazłem stary render tej głowy.
topologia twarzy humanoidalnej postaci. Można z niego zrobić zarówno kobietę, jak i dziecko... nie mówiąc już o mężczyźnie.
a oto dowód. zrobione szybko, ale wyraźnie.
Więc. mężczyzna, elf, stworzenie, kobieta i dziewczynka w wieku około 15 lat...
Nie twierdzę, że jest to jedyna kompetentna topologia i że jest to JEDYNY sposób, aby to zrobić.
Niektóre studia modelują postacie z zamkniętymi oczami. Pozwala to pozbyć się niektórych problemów przy zamykaniu oka i uniknąć deformacji powieki podczas deformacji policzka.
nadgarstek.
Zwracam uwagę, że są tu wierzchołki, które pomieszczą 6 jeży... ale w tych miejscach nie ma żadnych problemów, bo deformacje są minimalne. Naturalnie z tego pędzla można wykonać rękę kobiety, mężczyzny, dziecka... lub kogokolwiek...
Wiosłować.
męska czaszka. Istnieje wiele różnic między czaszkami męskimi i żeńskimi.
Różnice są następujące:
Czaszki męskie i żeńskie mają wiele różnic. Mianowicie:
1. Męska czaszka jest masywniejsza od żeńskiej i ma raczej kwadratowy kształt. Czaszka kobiety jest lekko skierowana ku górze i bardziej zaokrąglona.
2. U kobiet czaszka górna krawędź oczodołu jest lekko spiczasta, u mężczyzn zaś ma gładszą krzywiznę
3. W wyniku ewolucji mięśnie twarzy stały się bardziej rozwinięte. W związku z tym miejsce przyczepu mięśni do czaszki jest znacznie bardziej widoczne u mężczyzn. W końcu wojownik i myśliwy potrzebują potężnych szczęk do walki i zmagania.
4. Mocna dolna szczęka mężczyzny ma kształt kwadratu, podczas gdy u kobiety jest okrągła.
5. Głębokość czaszki u mężczyzn jest większa niż u kobiet. Zapewnia to względne bezpieczeństwo.
6. Łuki brwiowe męskiej czaszki są zauważalnie bardziej wystające. Chronią oczy przed bezpośrednim działaniem promieni słonecznych.
7. Kły u mężczyzn są znacznie większe niż u kobiet. Wojownik i myśliwy byli zmuszeni jeść w ruchu, dlatego aktywnie przeżuwali jedzenie i robili to dość szybko.
Ręka i ciało.
Jeśli ciało jest kobiece lub nie ma wyraźnie określonych mięśni, możesz zignorować szkła powiększające, które tworzą mięśnie. Dotyczy to dłoni. Zwracam uwagę na białe wielokąty. wychodzą spod mięśnia piersiowego i okrążają mięsień naramienny.