तरंग हस्तक्षेप। खड़ी तरंगें
अध्याय 7
लहर की। तरंग समीकरण
जिन गतियों पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं, भौतिकी के लगभग सभी क्षेत्रों में एक अन्य प्रकार की गति होती है - लहर की. इस आंदोलन की एक विशिष्ट विशेषता, जो इसे अद्वितीय बनाती है, यह है कि यह पदार्थ के कण नहीं हैं जो लहर में फैलते हैं, लेकिन उनकी स्थिति (विक्षोभ) में परिवर्तन होता है।
अंतरिक्ष में समय के साथ फैलने वाले क्षोभ कहलाते हैं लहर की . तरंगें यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय हैं।
लोचदार तरंगेंलोचदार माध्यम के गड़बड़ी का प्रचार कर रहे हैं।
एक लोचदार माध्यम का गड़बड़ी संतुलन की स्थिति से इस माध्यम के कणों का कोई विचलन है। किसी भी स्थान पर माध्यम के विरूपण के परिणामस्वरूप गड़बड़ी उत्पन्न होती है।
उन सभी बिंदुओं की समग्रता जहां तरंग एक निश्चित समय पर पहुंचती है, एक सतह बनाती है जिसे कहा जाता है लहर सामने .
अग्रभाग के आकार के अनुसार तरंगों को गोलाकार और समतल में विभाजित किया जाता है। दिशा तरंग मोर्चे का प्रसार निर्धारित किया जाता हैतरंग मोर्चे के लंबवत, कहा जाता है खुशी से उछलना . एक गोलाकार तरंग के लिए, किरणें एक रेडियल डायवर्जेंट बीम होती हैं। एक समतल तरंग के लिए, एक किरण समानांतर रेखाओं का एक पुंज होता है।
किसी भी यांत्रिक तरंग में, दो प्रकार की गति एक साथ मौजूद होती है: माध्यम के कणों का दोलन और एक विक्षोभ का प्रसार।
एक तरंग जिसमें माध्यम के कणों का दोलन और क्षोभ का प्रसार एक ही दिशा में होता है, कहलाती है अनुदैर्ध्य (अंजीर.7.2 एक).
एक तरंग जिसमें माध्यम के कण क्षोभ के प्रसार की दिशा के लम्बवत् दोलन करते हैं, कहलाती है आड़ा (चित्र। 7.2 बी)।
एक अनुदैर्ध्य तरंग में, गड़बड़ी माध्यम के एक संपीड़न (या विरलन) का प्रतिनिधित्व करती है, और अनुप्रस्थ तरंग में, वे दूसरों के सापेक्ष माध्यम की कुछ परतों के विस्थापन (कतरनी) होते हैं। अनुदैर्ध्य तरंगें सभी मीडिया (तरल, ठोस और गैसीय) में फैल सकती हैं, जबकि अनुप्रस्थ तरंगें केवल ठोस में ही फैल सकती हैं।
प्रत्येक तरंग किसी न किसी गति से चलती है . अंतर्गत लहर की गति υ अशांति के प्रसार की गति को समझें।तरंग की गति उस माध्यम के गुणों से निर्धारित होती है जिसमें यह तरंग फैलती है। ठोस में अनुदैर्ध्य तरंगों की गति अनुप्रस्थ तरंगों की गति से अधिक होती है।
वेवलेंथλ वह दूरी है जिस पर एक तरंग अपने स्रोत में दोलन की अवधि के बराबर समय में फैलती है. चूँकि तरंग की गति एक स्थिर मान है (किसी दिए गए माध्यम के लिए), तरंग द्वारा तय की गई दूरी गति के गुणनफल और इसके प्रसार के समय के बराबर होती है। तो तरंग दैर्ध्य
समीकरण (7.1) से यह पता चलता है कि अंतराल λ से एक दूसरे से अलग हुए कण एक ही चरण में दोलन करते हैं। तब हम तरंगदैर्घ्य की निम्नलिखित परिभाषा दे सकते हैं: तरंगदैर्ध्य एक ही प्रावस्था में दोलन करते हुए दो निकटतम बिंदुओं के बीच की दूरी है।
आइए हम एक समतल तरंग का समीकरण प्राप्त करें, जो हमें किसी भी समय तरंग के किसी भी बिंदु के विस्थापन को निर्धारित करने की अनुमति देता है। तरंग को स्रोत से बीम के साथ कुछ गति v के साथ फैलने दें।
स्रोत सरल हार्मोनिक दोलनों को उत्तेजित करता है, और किसी भी समय तरंग के किसी भी बिंदु का विस्थापन समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है
एस = Asinωt (7. 2)
तब माध्यम का बिंदु, जो तरंग स्रोत से x दूरी पर है, हार्मोनिक दोलन भी करेगा, लेकिन समय में देरी के साथ, अर्थात। कंपन को स्रोत से उस बिंदु तक फैलने में लगने वाला समय। समय के किसी भी क्षण में संतुलन की स्थिति के सापेक्ष दोलन बिंदु का विस्थापन संबंध द्वारा वर्णित किया जाएगा
यह समतल तरंग समीकरण है। यह तरंग निम्नलिखित मापदंडों द्वारा विशेषता है:
· एस - लोचदार माध्यम के संतुलन बिंदु की स्थिति से विस्थापन, जिस तक दोलन पहुंच गया है;
· ω - स्रोत द्वारा उत्पन्न दोलनों की चक्रीय आवृत्ति, जिसके साथ माध्यम के बिंदु भी दोलन करते हैं;
· υ - तरंग प्रसार वेग (चरण वेग);
एक्स - माध्यम के उस बिंदु की दूरी जहां दोलन पहुंच गया है और जिसका विस्थापन एस के बराबर है;
· टी - दोलनों की शुरुआत से गिना जाने वाला समय;
तरंगदैर्घ्य λ को व्यंजक (7. 3) में प्रस्तुत करने पर, समतल तरंग समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
(7. 4)
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तरंग हस्तक्षेप। खड़ी तरंगें। स्थायी तरंग समीकरण
समान आवृत्ति ω और आयाम A की दो विपरीत समतल तरंगों के व्यतिकरण के परिणामस्वरूप स्थायी तरंगें बनती हैं।
कल्पना कीजिए कि बिंदु S पर एक वाइब्रेटर है, जिससे एक समतल तरंग SO किरण के साथ फैलती है। बिंदु O पर बाधा तक पहुँचने के बाद, तरंग परावर्तित होगी और विपरीत दिशा में जाएगी, अर्थात। बीम के साथ दो यात्रा करने वाली समतल तरंगें फैलती हैं: आगे और पीछे। ये दो तरंगें सुसंगत हैं, क्योंकि वे एक ही स्रोत से उत्पन्न होती हैं और एक-दूसरे पर आरोपित होने से एक-दूसरे के साथ हस्तक्षेप करती हैं।
व्यतिकरण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली माध्यम की दोलनशील अवस्था को स्थायी तरंग कहते हैं।
आइए सीधी और पश्चगामी यात्रा तरंग का समीकरण लिखें:
सीधा - ; उलटना -
जहाँ S 1 और S 2 किरण SO पर एक मनमाना बिंदु का विस्थापन है। योग की ज्या के सूत्र को ध्यान में रखते हुए, परिणामी विस्थापन के बराबर है
इस प्रकार, स्थायी तरंग समीकरण का रूप है
कारक cosωt दर्शाता है कि SO बीम पर माध्यम के सभी बिंदु एक आवृत्ति के साथ सरल हार्मोनिक दोलन करते हैं। अभिव्यक्ति को खड़ी लहर का आयाम कहा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आयाम SO(x) किरण पर बिंदु की स्थिति से निर्धारित होता है।
अधिकतम मूल्यएम्पलीट्यूड के अंक होंगे जिसके लिए
या (n = 0, 1, 2,...)
कहाँ से, या (4.70)
एक स्थायी लहर के एंटीनोड्स .
न्यूनतम मूल्य, शून्य के बराबर, वे अंक होंगे जिनके लिए
या (एन = 0, 1, 2, ....)
कहाँ से या (4.71)
ऐसे निर्देशांक वाले बिंदुओं को कहा जाता है स्थायी तरंग नोड्स . भावों (4.70) और (4.71) की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि पड़ोसी एंटीनोड्स और पड़ोसी नोड्स के बीच की दूरी λ/2 के बराबर है।
चित्र में, ठोस रेखा किसी समय में माध्यम के दोलन बिंदुओं के विस्थापन को दर्शाती है, बिंदीदार वक्र T / 2 के माध्यम से समान बिंदुओं की स्थिति को दर्शाता है। प्रत्येक बिंदु वाइब्रेटर (x) से इसकी दूरी द्वारा निर्धारित आयाम के साथ दोलन करता है।
एक यात्रा तरंग के विपरीत, एक स्थायी तरंग में कोई ऊर्जा हस्तांतरण नहीं होता है। गतिहीन रहने वाले नोड्स के बीच की सीमा के भीतर ऊर्जा बस क्षमता से (संतुलन की स्थिति से माध्यम के बिंदुओं के अधिकतम विस्थापन के साथ) गतिज (जब बिंदु संतुलन की स्थिति से गुजरती है) से गुजरती है।
नोड्स के बीच की सीमा के भीतर खड़ी लहर के सभी बिंदु एक ही चरण में और नोड के विपरीत पक्षों पर - एंटीपेज़ में दोलन करते हैं।
खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं, उदाहरण के लिए, जब अनुप्रस्थ कंपन उत्तेजित होते हैं तो दोनों सिरों पर फैले एक तार में। इसके अलावा, फिक्सिंग के स्थानों में एक स्थायी लहर के नोड्स होते हैं।
यदि एक सिरे (ध्वनि तरंग) पर खुले हुए वायु स्तम्भ में एक स्थायी तरंग स्थापित हो जाए तो खुले सिरे पर एक प्रस्पंद (एंटीनोड) बन जाता है और दूसरे सिरे पर एक गाँठ बन जाती है।
ध्वनि। डॉपलर प्रभाव
गैस, तरल और ठोस पदार्थों में फैलने वाली अनुदैर्ध्य लोचदार तरंगें अदृश्य हैं। हालाँकि, कुछ शर्तों के तहत उन्हें सुना जा सकता है। इसलिए, यदि हम एक लंबे स्टील शासक के कंपन को उत्तेजित करते हैं, जो एक शिकंजे में जकड़ा हुआ है, तो हम इससे उत्पन्न तरंगों को नहीं सुनेंगे। लेकिन अगर हम रूलर के उभरे हुए हिस्से को छोटा कर दें और इस तरह उसके दोलनों की आवृत्ति बढ़ा दें, तो हम पाएंगे कि रूलर बजने लगेगा।
लोचदार तरंगें जो मानव में श्रवण संवेदन उत्पन्न करती हैं, कहलाती हैं ध्वनि तरंगेंया केवल ध्वनि.
मानव कान 16 हर्ट्ज से 20,000 हर्ट्ज आवृत्ति ν के साथ लोचदार यांत्रिक तरंगों को समझने में सक्षम है। आवृत्ति ν के साथ लोचदार तरंगें<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 हर्ट्ज - अल्ट्रासोनिक।
16 Hz से 20000 Hz तक की आवृत्ति को ध्वनि कहते हैं। ध्वनि आवृत्ति के साथ दोलन करने वाला कोई भी पिंड (ठोस, तरल या गैसीय) वातावरण में ध्वनि तरंग बनाता है।
गैसों और तरल पदार्थों में, ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य संपीड़न और विरलन तरंगों के रूप में फैलती हैं। माध्यम का संपीड़न और रेयरफैक्शन, जो ध्वनि स्रोत (स्ट्रिंग्स, ट्यूनिंग फोर्क लेग्स, वोकल कॉर्ड्स, आदि) के कंपन के परिणामस्वरूप होता है, थोड़ी देर के बाद मानव कान तक पहुंचता है और, ईयरड्रम को मजबूर कंपन बनाने का कारण बनता है, किसी व्यक्ति में कुछ श्रवण संवेदनाएँ पैदा करना।
ध्वनि तरंगें निर्वात में संचरित नहीं हो सकती हैं क्योंकि वहां कंपन करने के लिए कुछ भी नहीं है। इसे एक साधारण प्रयोग द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। यदि हम वायु पम्प के शीशे के गुम्बद के नीचे एक विद्युत घंटी रख दें, जैसे ही हवा बाहर निकाली जाती है, तो हम पाएंगे कि ध्वनि तब तक क्षीण और क्षीण होती जाएगी जब तक कि वह पूरी तरह से बंद न हो जाए।
गैसों में ध्वनि. यह ज्ञात है कि एक आंधी के दौरान हम पहले बिजली की चमक देखते हैं और उसके बाद ही गड़गड़ाहट सुनते हैं। यह देरी इसलिए होती है क्योंकि हवा में ध्वनि की गति प्रकाश की गति से बहुत कम होती है। हवा में ध्वनि की गति पहली बार 1646 में फ्रांसीसी वैज्ञानिक मारिन मेर्सन द्वारा मापी गई थी। 1235 किमी/घंटा
ध्वनि की गति माध्यम के तापमान पर निर्भर करती है। यह बढ़ते तापमान के साथ बढ़ता है और घटते तापमान के साथ घटता है।
ध्वनि की गति उस गैस के घनत्व पर निर्भर नहीं करती जिसमें यह ध्वनि फैलती है। हालाँकि, यह इसके अणुओं के द्रव्यमान पर निर्भर करता है। गैस के अणुओं का द्रव्यमान जितना बड़ा होता है, उसमें ध्वनि की गति उतनी ही कम होती है। तो, एक तापमान पर
0 ºС हाइड्रोजन में ध्वनि की गति 1284 m/s और कार्बन डाइऑक्साइड में - 259 m/s है।
द्रवों में ध्वनि। द्रवों में ध्वनि की गति सामान्यतः गैसों में ध्वनि की गति से अधिक होती है। जल में ध्वनि की गति सर्वप्रथम 1826 में मापी गई थी। प्रयोग स्विट्जरलैंड में जिनेवा झील पर किए गए थे। एक नाव पर उन्होंने बारूद में आग लगा दी और उसी समय पानी में डूबी घंटी को मारा। इस घंटी की आवाज़, एक विशेष हॉर्न की मदद से, पानी में भी उतरी, दूसरी नाव पर पकड़ी गई, जो पहले से 14 किमी की दूरी पर स्थित थी। पानी में ध्वनि की गति प्रकाश की चमक और ध्वनि संकेत के आने के बीच के समय के अंतर से निर्धारित होती है। 8 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर, यह 1435m/s के बराबर निकला।
द्रवों में, ध्वनि की गति सामान्यतः बढ़ते तापमान के साथ घट जाती है। जल इस नियम का अपवाद है। इसमें बढ़ते तापमान के साथ ध्वनि की गति बढ़ जाती है और अधिकतम 74 डिग्री सेल्सियस के तापमान पर पहुंच जाती है, और तापमान में और वृद्धि के साथ यह घट जाती है।
यह कहा जाना चाहिए कि मानव कान पानी के नीचे "काम" नहीं करता है। इस मामले में अधिकांश ध्वनि कर्ण पटल से परिलक्षित होती है और इसलिए श्रवण संवेदनाओं का कारण नहीं बनती है। यह वह था जिसने एक समय में हमारे पूर्वजों को पानी के नीचे की दुनिया को "मौन की दुनिया" मानने का कारण दिया था। इसलिए अभिव्यक्ति "मछली की तरह मूक।" हालाँकि, यहां तक कि लियोनार्डो दा विंची ने सुझाव दिया कि पानी में डूबे हुए ओअर पर अपना कान लगाकर पानी के नीचे की आवाज़ सुनें। इस विधि का उपयोग करके, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि मछलियाँ वास्तव में काफी बातूनी हैं।
ठोस पदार्थों में ध्वनि. ठोसों में ध्वनि की गति द्रवों से भी अधिक होती है। केवल यहाँ यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ तरंगें दोनों ठोस पदार्थों में फैल सकती हैं। इन तरंगों की गति, जैसा कि हम जानते हैं, अलग-अलग होती है। उदाहरण के लिए, स्टील में, अनुप्रस्थ तरंगें 3300 m/s की गति से और अनुदैर्ध्य तरंगें 6100 m/s की गति से फैलती हैं। तथ्य यह है कि एक ठोस में ध्वनि की गति हवा की तुलना में अधिक होती है, इसे निम्नानुसार सत्यापित किया जा सकता है। यदि आपका मित्र रेल के एक छोर से टकराता है और आप अपना कान दूसरे छोर पर रखते हैं, तो दो हिट सुनाई देंगी। आवाज पहले रेल से और फिर हवा से आपके कान तक पहुंचेगी।
पृथ्वी की चालकता अच्छी है। इसलिए, पुराने दिनों में, एक घेराबंदी के दौरान, "श्रोताओं" को किले की दीवारों में रखा गया था, जो पृथ्वी द्वारा प्रेषित ध्वनि से यह निर्धारित कर सकते थे कि दुश्मन दीवारों को खोद रहा है या नहीं। जमीन पर कान लगाने से भी दुश्मन के घुड़सवारों के दृष्टिकोण का पता लगाना संभव हो गया।
श्रव्य ध्वनियों के अलावा, इन्फ्रासाउंड तरंगें पृथ्वी की पपड़ी में फैलती हैं, जिसे मानव कान अब नहीं मानता है। ऐसी तरंगें भूकंप के दौरान आ सकती हैं।
ज्वालामुखी विस्फोट और परमाणु बमों के विस्फोट के दौरान जमीन और हवा दोनों में फैलने वाली शक्तिशाली इन्फ्रासोनिक तरंगें उत्पन्न होती हैं। वातावरण में हवा के भंवर, कार्गो डिस्चार्ज, गन शॉट, हवा, समुद्री लहरों के बहने वाले शिखर, जेट विमान के काम करने वाले इंजन आदि भी इन्फ्रासाउंड के स्रोत के रूप में काम कर सकते हैं।
अल्ट्रासाउंड भी मानव कान द्वारा नहीं माना जाता है। हालांकि, कुछ जानवर, जैसे चमगादड़ और डॉल्फ़िन, इसका उत्सर्जन कर सकते हैं और इसे पकड़ सकते हैं। प्रौद्योगिकी में, अल्ट्रासाउंड का उत्पादन करने के लिए विशेष उपकरणों का उपयोग किया जाता है।
हस्तक्षेप का एक बहुत ही महत्वपूर्ण मामला देखा जाता है जब समान आयाम वाली समतल तरंगें अध्यारोपित होती हैं। परिणामी दोलन प्रक्रिया कहलाती है खड़ी लहर.
व्यावहारिक रूप से खड़ी तरंगें तब उत्पन्न होती हैं जब तरंगें बाधाओं से परावर्तित होती हैं। बैरियर पर आपतित तरंग और उसकी ओर चलने वाली परावर्तित तरंग, एक दूसरे पर अध्यारोपित, एक स्थायी तरंग देती है।
विपरीत दिशाओं में प्रसार करने वाले एक ही आयाम के दो साइनसोइडल समतल तरंगों के हस्तक्षेप के परिणाम पर विचार करें।
तर्क की सरलता के लिए, हम मानते हैं कि दोनों तरंगें मूल में एक ही चरण में दोलनों का कारण बनती हैं।
इन दोलनों के समीकरणों का रूप है:
दोनों समीकरणों को जोड़ने और परिणाम को परिवर्तित करने के लिए, साइन के योग के सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
- स्थायी तरंग समीकरण.
हार्मोनिक दोलनों के समीकरण के साथ इस समीकरण की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि परिणामी दोलनों का आयाम इसके बराबर है:
चूंकि, और, तब।
माध्यम के उन बिन्दुओं पर, जहाँ कोई दोलन नहीं हैं, अर्थात्। . इन बिंदुओं को कहा जाता है स्थायी तरंग नोड्स.
उन बिंदुओं पर जहां, दोलन आयाम का सबसे बड़ा मान है, के बराबर। इन बिंदुओं को कहा जाता है एक स्थायी लहर के एंटीनोड्स. स्थिति से एंटीनोड निर्देशांक पाए जाते हैं, क्योंकि , तब ।
यहां से:
इसी तरह, नोड्स के निर्देशांक स्थिति से पाए जाते हैं:
कहाँ:
नोड्स और एंटीनोड्स के निर्देशांक के सूत्रों से, यह इस प्रकार है कि पड़ोसी एंटिनोड्स के बीच की दूरी, साथ ही पड़ोसी नोड्स के बीच की दूरी के बराबर है। एंटीनोड्स और नोड्स एक दूसरे के सापेक्ष तरंग दैर्ध्य के एक चौथाई द्वारा स्थानांतरित होते हैं।
आइए हम एक स्थायी और यात्रा तरंग में दोलनों की प्रकृति की तुलना करें। एक यात्रा तरंग में, प्रत्येक बिंदु दोलन करता है, जिसका आयाम अन्य बिंदुओं के आयाम से भिन्न नहीं होता है। लेकिन विभिन्न बिंदुओं में उतार-चढ़ाव होता है विभिन्न चरण.
एक स्थायी तरंग में, दो पड़ोसी नोड्स के बीच स्थित माध्यम के सभी कण एक ही चरण में अलग-अलग आयामों के साथ दोलन करते हैं। नोड से गुजरते समय, दोलनों का चरण अचानक बदल जाता है, क्योंकि चिन्ह बदल जाता है।
रेखांकन के रूप में, एक स्थायी लहर को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
उस समय जब माध्यम के सभी बिंदुओं में अधिकतम विस्थापन होता है, जिसकी दिशा चिन्ह द्वारा निर्धारित की जाती है। इन विस्थापनों को चित्र में ठोस तीरों द्वारा दिखाया गया है।
अवधि के एक चौथाई के बाद, जब सभी बिंदुओं का विस्थापन शून्य के बराबर होता है। कण अलग-अलग गति से लाइन से गुजरते हैं।
अवधि के एक और चौथाई के बाद, जब , कणों का फिर से अधिकतम विस्थापन होगा, लेकिन विपरीत दिशा में (धराशायी तीर)।
लोचदार प्रणालियों में दोलनशील प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय, न केवल विस्थापन, बल्कि कण वेग, साथ ही माध्यम के सापेक्ष विरूपण के परिमाण को एक दोलन मान के रूप में लिया जा सकता है।
अप्रगामी तरंग की गति में परिवर्तन के नियम को ज्ञात करने के लिए हम प्रत्यास्थ तरंग के विस्थापन समीकरण द्वारा अवकलन करते हैं और विरूपता में परिवर्तन के नियम को ज्ञात करने के लिए हम अप्रगामी तरंग के समीकरण द्वारा अवकलन करते हैं।
इन समीकरणों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि वेग के नोड्स और एंटीनोड्स विस्थापन के नोड्स और एंटिनोड्स के साथ मेल खाते हैं; विरूपण के नोड्स और एंटीनोड्स क्रमशः वेग और विस्थापन के एंटीनोड्स और नोड्स के साथ मेल खाते हैं।
स्ट्रिंग कंपन
दोनों सिरों पर खींचे गए तार में, जब अनुप्रस्थ कंपन उत्तेजित होते हैं, तो खड़ी तरंगें स्थापित होती हैं, और गांठों को उन स्थानों पर स्थित होना चाहिए जहां स्ट्रिंग तय होती है। इसलिए, स्ट्रिंग में केवल ऐसे दोलन उत्तेजित होते हैं, जिनमें से आधी लंबाई स्ट्रिंग की लंबाई पर पूर्णांक संख्या में फिट होती है।
इससे स्थिति इस प्रकार है:
स्ट्रिंग की लंबाई कहां है।
या अन्यथा। ये तरंग दैर्ध्य आवृत्तियों के अनुरूप होते हैं, जहां तरंग का चरण वेग होता है। इसका मान डोरी के तनाव बल और उसके द्रव्यमान से निर्धारित होता है।
पर मौलिक आवृत्ति है।
पर - स्ट्रिंग की प्राकृतिक कंपन आवृत्तियाँ या मकसद.
डॉपलर प्रभाव
आइए सबसे सरल मामलों पर विचार करें, जब तरंगों का स्रोत और प्रेक्षक माध्यम के सापेक्ष एक सीधी रेखा में चलते हैं:
1. ध्वनि स्रोत माध्यम के सापेक्ष गति के साथ चलता है, ध्वनि रिसीवर आराम पर है।
इस मामले में, दोलन अवधि के दौरान, ध्वनि तरंग स्रोत से कुछ दूरी पर चली जाएगी, और स्रोत स्वयं के बराबर दूरी पर चलेगा।
यदि स्रोत को रिसीवर से हटा दिया जाता है, अर्थात। तरंग प्रसार की दिशा के विपरीत दिशा में आगे बढ़ें, फिर तरंग दैर्ध्य।
यदि ध्वनि स्रोत को रिसीवर के करीब लाया जाता है, अर्थात। तरंग प्रसार की दिशा में आगे बढ़ें, फिर।
रिसीवर द्वारा कथित ध्वनि की आवृत्ति है:
दोनों मामलों के लिए उनके मूल्यों के बजाय स्थानापन्न करें:
इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि स्रोत की दोलन आवृत्ति कहां है, समानता रूप लेती है:
इस भिन्न के अंश और हर दोनों को से विभाजित करें, फिर:
2. ध्वनि स्रोत स्थिर है, और रिसीवर माध्यम के सापेक्ष गति से चल रहा है।
इस मामले में, माध्यम में तरंग दैर्ध्य नहीं बदलता है और अभी भी के बराबर है। एक ही समय में, दो क्रमिक आयाम जो दोलनों की एक अवधि के समय में भिन्न होते हैं, गतिमान रिसीवर तक पहुँचते हैं, एक समय अंतराल द्वारा रिसीवर के साथ तरंग की बैठक के क्षणों में भिन्न होंगे, जिसका मूल्य है अधिक या कम, यह इस बात पर निर्भर करता है कि रिसीवर दूर जा रहा है या स्रोत ध्वनि के पास आ रहा है। समय के दौरान ध्वनि एक दूरी पर फैलती है, और रिसीवर कुछ दूरी पर चलेगा। इन मात्राओं का योग हमें तरंग दैर्ध्य देता है:
रिसीवर द्वारा महसूस किए गए दोलनों की अवधि संबंध द्वारा इन दोलनों की आवृत्ति से संबंधित है:
समानता (1) से इसकी अभिव्यक्ति के बजाय, हम प्राप्त करते हैं:
क्योंकि , स्रोत की दोलन आवृत्ति कहाँ है, और , तब:
3. ध्वनि स्रोत और रिसीवर माध्यम के सापेक्ष गति कर रहे हैं। पिछले दो मामलों में प्राप्त परिणामों को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं:
ध्वनि तरंगें
यदि हवा में फैलने वाली लोचदार तरंगों की आवृत्ति 20 से 20,000 हर्ट्ज तक होती है, तो जब वे मानव कान तक पहुँचती हैं, तो वे ध्वनि की अनुभूति पैदा करती हैं। इसलिए, इस आवृत्ति रेंज में स्थित तरंगों को ध्वनि तरंगें कहा जाता है। 20 हर्ट्ज से कम आवृत्ति वाली प्रत्यास्थ तरंगें कहलाती हैं infrasound . 20,000 हर्ट्ज से अधिक आवृत्ति वाली तरंगें कहलाती हैं अल्ट्रासाउंड. अल्ट्रासाउंड और इन्फ्रासाउंड को मानव कान द्वारा नहीं सुना जा सकता है।
ध्वनि संवेदनाओं की विशेषता पिच, टिमब्रे और लाउडनेस है। ध्वनि की पिच कंपन की आवृत्ति से निर्धारित होती है। हालाँकि, ध्वनि स्रोत एक नहीं, बल्कि आवृत्तियों के पूरे स्पेक्ट्रम का उत्सर्जन करता है। किसी दिए गए ध्वनि में मौजूद कंपन आवृत्तियों के सेट को इसका कहा जाता है ध्वनिक स्पेक्ट्रम. ध्वनिक स्पेक्ट्रम की सभी आवृत्तियों के बीच कंपन ऊर्जा वितरित की जाती है। ध्वनि की पिच एक द्वारा निर्धारित की जाती है - मौलिक आवृत्ति, यदि यह आवृत्ति अन्य आवृत्तियों के हिस्से की तुलना में ऊर्जा की काफी बड़ी मात्रा में होती है।
यदि स्पेक्ट्रम में आवृत्तियों का एक सेट होता है जो आवृत्ति रेंज में होता है, तो ऐसे स्पेक्ट्रम को कहा जाता है निरंतर(उदाहरण - शोर)।
यदि स्पेक्ट्रम में असतत आवृत्तियों के दोलनों का एक समूह होता है, तो ऐसे स्पेक्ट्रम को कहा जाता है शासन(उदाहरण - संगीतमय ध्वनियाँ)।
ध्वनि का ध्वनिक स्पेक्ट्रम, इसकी प्रकृति और आवृत्तियों के बीच ऊर्जा के वितरण पर निर्भर करता है, ध्वनि संवेदना की मौलिकता को निर्धारित करता है, जिसे ध्वनि का समय कहा जाता है। विभिन्न संगीत वाद्ययंत्रों में अलग-अलग ध्वनिक स्पेक्ट्रम होते हैं, अर्थात। स्वर में भिन्न।
ध्वनि की तीव्रता विभिन्न मात्राओं की विशेषता है: माध्यम के कणों का दोलन, उनका वेग, दबाव बल, उनमें तनाव आदि।
यह इनमें से प्रत्येक मात्रा के दोलनों के आयाम को दर्शाता है। हालाँकि, चूंकि ये मात्राएँ आपस में जुड़ी हुई हैं, इसलिए यह सलाह दी जाती है कि एकल ऊर्जा विशेषता का परिचय दिया जाए। 1877 में किसी भी प्रकार की तरंगों के लिए इस तरह की विशेषता प्रस्तावित की गई थी। पर। उमोव।
आइए हम मानसिक रूप से यात्रा की लहर के सामने से एक मंच को काट दें। समय में, यह क्षेत्र एक दूरी तय करेगा, लहर की गति कहाँ है।
दोलन माध्यम के इकाई आयतन की ऊर्जा द्वारा निरूपित करें। तब संपूर्ण आयतन की ऊर्जा के बराबर होगी।
इस ऊर्जा को समय के साथ क्षेत्र के माध्यम से फैलने वाली लहर द्वारा स्थानांतरित किया गया था।
इस व्यंजक को और से विभाजित करने पर, हम प्रति इकाई समय में इकाई क्षेत्र के माध्यम से तरंग द्वारा हस्तांतरित ऊर्जा प्राप्त करते हैं। यह मान एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है और कहा जाता है उमोव वेक्टर
ध्वनि क्षेत्र के लिए उमोव वेक्टरध्वनि की शक्ति कहलाती है।
ध्वनि शक्ति ध्वनि की तीव्रता की एक भौतिक विशेषता है। हम इसका मूल्यांकन विषयगत रूप से करते हैं, जैसे आयतनध्वनि। मानव कान उन ध्वनियों को मानता है जिनकी शक्ति एक निश्चित न्यूनतम मान से अधिक होती है, जो विभिन्न आवृत्तियों के लिए भिन्न होती है। यह मान कहलाता है सुनने की दहलीजध्वनि। Hz के क्रम की मध्यम आवृत्तियों के लिए, श्रवण दहलीज के क्रम का है।
आदेश की एक बहुत बड़ी ध्वनि शक्ति के साथ, स्पर्श के अंगों द्वारा कान को छोड़कर ध्वनि को माना जाता है, और कानों में दर्द होता है।
तीव्रता मान जिस पर ऐसा होता है कहलाता है दर्द की इंतिहा. दर्द की दहलीज, साथ ही सुनवाई की दहलीज, आवृत्ति पर निर्भर करती है।
ध्वनियों की धारणा के लिए एक व्यक्ति के पास एक जटिल उपकरण है। ध्वनि कंपन को ऑरिकल द्वारा एकत्र किया जाता है और श्रवण नहर के माध्यम से ईयरड्रम पर कार्य किया जाता है। इसके कंपन एक छोटी गुहा में प्रेषित होते हैं जिसे कोक्लीअ कहा जाता है। कोक्लीअ के अंदर बड़ी संख्या में फाइबर होते हैं जिनमें अलग-अलग लंबाई और तनाव होते हैं और इसके परिणामस्वरूप, अलग-अलग प्राकृतिक कंपन आवृत्तियां होती हैं। जब ध्वनि लगाई जाती है, तो प्रत्येक तंतु एक स्वर में प्रतिध्वनित होता है जिसकी आवृत्ति तंतु की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है। हियरिंग एड में गुंजयमान आवृत्तियों का सेट हमारे द्वारा कथित ध्वनि कंपन के क्षेत्र को निर्धारित करता है।
मात्रा, विषयगत रूप से हमारे कान द्वारा मूल्यांकन किया जाता है, ध्वनि तरंगों की तीव्रता की तुलना में बहुत धीरे-धीरे बढ़ता है। जबकि तीव्रता तेजी से बढ़ती है, मात्रा तेजी से बढ़ती है। इस आधार पर, प्रबलता के स्तर को किसी दी गई ध्वनि की तीव्रता के मूल के रूप में ली गई तीव्रता के अनुपात के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आयतन स्तर की इकाई कहलाती है सफेद. छोटी इकाइयों का भी प्रयोग किया जाता है - डेसीबल(सफेद से 10 गुना कम)।
ध्वनि अवशोषण गुणांक कहां है।
ध्वनि अवशोषण गुणांक का मान ध्वनि की आवृत्ति के वर्ग के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए कम ध्वनियाँ उच्च की तुलना में दूर तक फैलती हैं।
बड़े कमरों के लिए वास्तु ध्वनिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है प्रतिध्वनिया परिसर का शोर। ध्वनियाँ, घेरने वाली सतहों से कई प्रतिबिंबों का अनुभव करती हैं, श्रोता द्वारा कुछ लंबे समय के लिए माना जाता है। यह हम तक पहुँचने वाली ध्वनि की शक्ति को बढ़ाता है, हालाँकि, यदि अनुरणन बहुत लंबा है, तो अलग-अलग ध्वनियाँ एक-दूसरे पर आरोपित हो जाती हैं और भाषण अब स्पष्ट रूप से नहीं माना जाता है। इसलिए, अनुरणन को कम करने के लिए हॉल की दीवारों को विशेष ध्वनि-अवशोषित सामग्री से ढका जाता है।
कोई भी कंपन निकाय ध्वनि कंपन के स्रोत के रूप में काम कर सकता है: एक घंटी ईख, एक ट्यूनिंग कांटा, एक वायलिन स्ट्रिंग, पवन उपकरणों में हवा का एक स्तंभ, आदि। ये वही निकाय ध्वनि के रिसीवर के रूप में भी काम कर सकते हैं जब वे पर्यावरण के कंपन से गति में आते हैं।
अल्ट्रासाउंड
दिशा पाने के लिए, यानी समतल के करीब, उत्सर्जक का तरंग आयाम तरंग दैर्ध्य से कई गुना अधिक होना चाहिए। हवा में ध्वनि तरंगों की लंबाई 15 मीटर तक होती है, तरल और ठोस निकायों में तरंग दैर्ध्य और भी लंबा होता है। इसलिए, एक उत्सर्जक का निर्माण करना व्यावहारिक रूप से असंभव है जो इस लंबाई की एक निर्देशित लहर पैदा करेगा।
अल्ट्रासोनिक कंपन की आवृत्ति 20,000 हर्ट्ज से अधिक होती है, इसलिए उनकी तरंग दैर्ध्य बहुत कम होती है। जैसे-जैसे तरंग दैर्ध्य घटता है, तरंग प्रसार की प्रक्रिया में विवर्तन की भूमिका भी कम होती जाती है। इसलिए, अल्ट्रासोनिक तरंगों को प्रकाश पुंज के समान निर्देशित बीम के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।
अल्ट्रासोनिक तरंगों को उत्तेजित करने के लिए दो घटनाओं का उपयोग किया जाता है: रिवर्स पीजोइलेक्ट्रिक प्रभावऔर चुंबकीय विरूपण.
उलटा पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव यह है कि कुछ क्रिस्टल (रोशेल नमक, क्वार्ट्ज, बेरियम टाइटेनेट, आदि) की प्लेट एक विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में थोड़ी विकृत हो जाती है। इसे धातु की प्लेटों के बीच रखकर, जिस पर एक वैकल्पिक वोल्टेज लगाया जाता है, प्लेट के मजबूर कंपन का कारण बनना संभव है। ये कंपन पर्यावरण में संचरित होते हैं और उसमें एक अल्ट्रासोनिक तरंग उत्पन्न करते हैं।
मैग्नेटोस्ट्रिक्शन इस तथ्य में निहित है कि चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में फेरोमैग्नेटिक पदार्थ (लोहा, निकल, उनके मिश्र धातु, आदि) विकृत होते हैं। इसलिए, एक फेरोमैग्नेटिक रॉड को एक वैकल्पिक चुंबकीय क्षेत्र में रखकर, यांत्रिक कंपन को उत्तेजित करना संभव है।
ध्वनिक वेग और त्वरण के उच्च मूल्य, साथ ही अल्ट्रासोनिक कंपन का अध्ययन करने और प्राप्त करने के लिए अच्छी तरह से विकसित तरीके, कई तकनीकी समस्याओं को हल करने के लिए उनका उपयोग करना संभव बनाते हैं। आइए उनमें से कुछ को सूचीबद्ध करें।
1928 में, सोवियत वैज्ञानिक एस.वाई। सोकोलोव ने दोष का पता लगाने के प्रयोजनों के लिए अल्ट्रासाउंड का उपयोग करने का सुझाव दिया, अर्थात। धातु उत्पादों में छिपे हुए आंतरिक दोषों जैसे कि गोले, दरारें, लहरें, धातुमल समावेशन आदि का पता लगाने के लिए। यदि दोष का आकार अल्ट्रासाउंड की तरंग दैर्ध्य से अधिक है, तो अल्ट्रासोनिक पल्स दोष से परिलक्षित होता है और वापस आ जाता है। उत्पाद में अल्ट्रासोनिक दालों को भेजकर और परिलक्षित प्रतिध्वनि संकेतों को रिकॉर्ड करके, न केवल उत्पादों में दोषों की उपस्थिति का पता लगाना संभव है, बल्कि इन दोषों के आकार और स्थान का न्याय करना भी संभव है। यह विधि वर्तमान में उद्योग में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।
निर्देशित अल्ट्रासोनिक बीम को स्थान के प्रयोजनों के लिए व्यापक आवेदन मिला है, अर्थात। पानी में वस्तुओं का पता लगाने और उनसे दूरी निर्धारित करने के लिए। पहली बार अल्ट्रासोनिक स्थान का विचार एक उत्कृष्ट फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी द्वारा व्यक्त किया गया था पी. लैंगविनऔर पनडुब्बियों का पता लगाने के लिए प्रथम विश्व युद्ध के दौरान उनके द्वारा विकसित किया गया था। वर्तमान में, सोनार के सिद्धांतों का उपयोग हिमशैल, मछली के स्कूल आदि का पता लगाने के लिए किया जाता है। ये विधियाँ जहाज के तल के नीचे समुद्र की गहराई (इको साउंडर) भी निर्धारित कर सकती हैं।
बड़े-आयाम वाली अल्ट्रासोनिक तरंगों का उपयोग वर्तमान में व्यापक रूप से इंजीनियरिंग में ठोस पदार्थों के यांत्रिक प्रसंस्करण के लिए किया जाता है, छोटी वस्तुओं की सफाई (घड़ी की कल, पाइपलाइनों आदि के कुछ हिस्सों) को एक तरल, degassing, आदि में रखा जाता है।
उनके पारित होने के दौरान माध्यम में मजबूत दबाव स्पंदन पैदा करना, अल्ट्रासोनिक तरंगें कई विशिष्ट घटनाओं का कारण बनती हैं: एक तरल में निलंबित कणों का पीस (फैलाव), इमल्शन का निर्माण, प्रसार प्रक्रियाओं का त्वरण, रासायनिक प्रतिक्रियाओं की सक्रियता, जैविक वस्तुओं पर प्रभाव, आदि।
समान आयाम और विपरीत दिशाओं में संचरित होने वाली आवृत्ति की दो ज्यावक्रीय समतल तरंगों के व्यतिकरण के परिणाम पर विचार करें। तर्क की सरलता के लिए, हम मानते हैं कि इन तरंगों के समीकरणों का रूप है:
इसका मतलब यह है कि मूल बिंदु पर दोनों तरंगें एक ही कला में दोलन करती हैं। बिंदु A पर समन्वय x के साथ, दोलन मात्रा का कुल मान, सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार (देखें § 19), है
इस समीकरण से पता चलता है कि माध्यम के प्रत्येक बिंदु पर (एक निश्चित समन्वय के साथ) सीधी और पश्च तरंगों के हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप एक ही आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन होता है, लेकिन एक आयाम के साथ
x-निर्देशांक के मान पर निर्भर करता है। माध्यम के उन बिंदुओं पर जहां कोई कंपन नहीं होता है: इन बिंदुओं को कंपन के नोड कहा जाता है।
उन बिंदुओं पर जहां दोलनों के आयाम का सबसे बड़ा मूल्य होता है, इन बिंदुओं को दोलनों के एंटीनोड कहा जाता है। यह दिखाना आसान है कि पड़ोसी नोड्स या पड़ोसी एंटीनोड के बीच की दूरी एंटिनोड और निकटतम नोड के बीच की दूरी के बराबर है, जब x सूत्र (5.16) में कोसाइन द्वारा बदलता है, तो यह अपने संकेत को उलट देता है (इसका तर्क बदल जाता है, यदि भीतर एक आधा तरंग - एक नोड से दूसरे में - माध्यम के कण एक दिशा में विचलित हो जाते हैं, फिर पड़ोसी अर्ध-लहर के भीतर, माध्यम के कण विपरीत दिशा में विक्षेपित हो जाएंगे।
सूत्र (5.16) द्वारा वर्णित माध्यम में तरंग प्रक्रिया को स्थायी तरंग कहा जाता है। रेखांकन के रूप में, एक स्थायी तरंग को चित्र में दिखाए अनुसार चित्रित किया जा सकता है। 1.61। आइए हम मान लें कि y में संतुलन की स्थिति से माध्यम के बिंदुओं का विस्थापन है; तब सूत्र (5.16) "स्थिर विस्थापन तरंग" का वर्णन करता है। समय के किसी बिंदु पर, जब माध्यम के सभी बिंदुओं में अधिकतम विस्थापन होता है, जिसकी दिशा, x निर्देशांक के मान के आधार पर, चिह्न द्वारा निर्धारित की जाती है। इन विस्थापनों को चित्र में दिखाया गया है। 1.61 ठोस तीरों के साथ। अवधि के एक चौथाई के बाद, जब माध्यम के सभी बिंदुओं का विस्थापन शून्य के बराबर होता है; माध्यम के कण अलग-अलग गति से रेखा से गुजरते हैं। अवधि के एक और चौथाई के बाद, जब माध्यम के कणों का फिर से अधिकतम विस्थापन होगा, लेकिन विपरीत दिशा में; इन ऑफसेट में दिखाया गया है
चावल। 1.61 धराशायी तीर। बिंदु स्थायी विस्थापन तरंग के एंटीनोड हैं; इस तरंग के बिंदु नोड।
एक पारंपरिक प्रसार या यात्रा तरंग के विपरीत, एक स्थायी तरंग की विशिष्ट विशेषताएं इस प्रकार हैं (मतलब क्षीणन की अनुपस्थिति में समतल तरंगें):
1) एक स्थायी तरंग में, सिस्टम के विभिन्न भागों में दोलन आयाम अलग-अलग होते हैं; सिस्टम में दोलनों के नोड और एंटीनोड हैं। एक "यात्रा" तरंग में, ये आयाम हर जगह समान होते हैं;
2) सिस्टम के क्षेत्र में एक नोड से पड़ोसी तक, माध्यम के सभी बिंदु एक ही चरण में दोलन करते हैं; पड़ोसी खंड में जाने पर, दोलनों के चरण उलट जाते हैं। एक यात्रा तरंग में, दोलनों के चरण, सूत्र (5.2) के अनुसार, बिंदुओं के निर्देशांक पर निर्भर करते हैं;
3) स्थिर तरंग में ऊर्जा का एकतरफा स्थानांतरण नहीं होता, जैसा कि यात्रा तरंग में होता है।
लोचदार प्रणालियों में दोलनशील प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय, दोलन मूल्य y को न केवल प्रणाली के कणों के विस्थापन या वेग के रूप में लिया जा सकता है, बल्कि सापेक्ष विरूपण के मूल्य या संपीड़न, तनाव, या में तनाव के मूल्य के रूप में भी लिया जा सकता है। कतरनी, आदि एक ही समय में, एक खड़ी लहर में, उन जगहों पर जहां कण वेग के एंटीनोड्स बनते हैं, विरूपण नोड्स स्थित होते हैं, और इसके विपरीत, वेग नोड्स विरूपण एंटीनोड्स के साथ मेल खाते हैं। ऊर्जा का गतिज से क्षमता में परिवर्तन और इसके विपरीत प्रणाली के खंड के भीतर एंटिनोड से पड़ोसी नोड तक होता है। हम यह मान सकते हैं कि ऐसा प्रत्येक खंड पड़ोसी वर्गों के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान नहीं करता है। ध्यान दें कि गतिमान कणों की गतिज ऊर्जा का रूपांतरण माध्यम के विकृत वर्गों की संभावित ऊर्जा में एक अवधि में दो बार होता है।
ऊपर, प्रत्यक्ष और पिछड़ी तरंगों के हस्तक्षेप को देखते हुए (अभिव्यक्ति (5.16) देखें), हमें इन तरंगों की उत्पत्ति में कोई दिलचस्पी नहीं थी। आइए अब मान लें कि जिस माध्यम में कंपन फैलता है, उसके सीमित आयाम होते हैं, उदाहरण के लिए, कंपन किसी ठोस शरीर में होता है - एक छड़ या तार में, तरल या गैस के स्तंभ में, आदि। ऐसे माध्यम में एक तरंग का प्रसार होता है ( पिंड), सीमाओं से परावर्तित होता है, इसलिए, इस पिंड के आयतन के भीतर, बाहरी स्रोत के कारण होने वाली तरंगों का हस्तक्षेप और सीमाओं से परावर्तित होना लगातार होता है।
सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें; मान लीजिए, किसी छड़ या डोरी के एक बिंदु (चित्र 1.62) पर, एक आवृत्ति के साथ एक दोलन गति एक बाहरी साइनसोइडल स्रोत की मदद से उत्तेजित होती है; हम समय संदर्भ की उत्पत्ति चुनते हैं ताकि इस बिंदु पर विस्थापन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सके
जहां बिंदु पर दोलन आयाम रॉड में प्रेरित तरंग रॉड के दूसरे छोर से 0% परावर्तित होगी और विपरीत दिशा में जाएगी
दिशा। आइए निर्देशांक x वाली छड़ के एक निश्चित बिंदु पर प्रत्यक्ष और परावर्तित तरंगों के व्यतिकरण का परिणाम ज्ञात करें। तर्क की सरलता के लिए, हम मानते हैं कि छड़ में कंपन ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है और इसलिए प्रत्यक्ष और परावर्तित तरंगों के आयाम बराबर होते हैं।
किसी समय पर, जब एक बिंदु पर दोलन करने वाले कणों का विस्थापन y के बराबर होता है, तो छड़ के किसी अन्य बिंदु पर, प्रत्यक्ष तरंग के कारण होने वाला विस्थापन, तरंग सूत्र के अनुसार, के बराबर होगा
परावर्तित तरंग भी उसी बिंदु A से होकर गुजरती है। परावर्तित तरंग द्वारा बिंदु A पर होने वाले विस्थापन का पता लगाने के लिए (उसी समय उस समय की गणना करना आवश्यक है जिसके दौरान तरंग यात्रा करेगी और बिंदु से वापस आएगी क्योंकि परावर्तित तरंग द्वारा बिंदु पर होने वाला विस्थापन होगा के बराबर
इस मामले में, यह माना जाता है कि परावर्तन की प्रक्रिया में छड़ के परावर्तक सिरे पर दोलन चरण में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है; कुछ मामलों में ऐसा चरण परिवर्तन (चरण हानि कहा जाता है) होता है और इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए।
प्रत्यक्ष और परावर्तित तरंगों द्वारा छड़ के विभिन्न बिंदुओं पर होने वाले कंपन के योग से एक स्थायी तरंग प्राप्त होती है; वास्तव में,
जहां कुछ निरंतर चरण है, एक्स समन्वय और मात्रा से स्वतंत्र है
बिंदु पर दोलन आयाम है; यह x निर्देशांक पर निर्भर करता है, अर्थात, यह छड़ के विभिन्न स्थानों में भिन्न होता है।
आइए हम छड़ के उन बिंदुओं के निर्देशांकों का पता लगाएं जिन पर खड़ी तरंग के नोड और एंटीनोड बनते हैं। कोसाइन शून्य हो जाता है या एक तर्क मानों पर होता है जो गुणक होते हैं
एक पूर्णांक कहाँ है। इस संख्या के विषम मान के लिए, कोसाइन गायब हो जाता है और सूत्र (5.19) स्थायी तरंग के नोड्स के निर्देशांक देता है; यहां तक कि हमें एंटीनोड्स के निर्देशांक भी मिलते हैं।
ऊपर, केवल दो तरंगों को जोड़ा गया था: एक प्रत्यक्ष से आने वाली और एक परावर्तित होने वाली। हालांकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि रॉड की सीमा पर परावर्तित लहर फिर से परिलक्षित होगी और सीधी लहर की दिशा में जाएगी। ऐसे प्रतिबिंब
रॉड के सिरों से बहुत कुछ होगा, और इसलिए दो के नहीं, बल्कि रॉड में मौजूद सभी तरंगों के हस्तक्षेप के परिणाम का पता लगाना आवश्यक है।
आइए मान लें कि कंपन के एक बाहरी स्रोत ने कुछ समय के लिए छड़ में तरंगें उत्पन्न कीं, जिसके बाद बाहर से कंपन ऊर्जा का प्रवाह बंद हो गया। इस दौरान रॉड में रिफ्लेक्शन हुआ, वह समय कहां है जिसके दौरान रॉड के एक छोर से दूसरे छोर तक तरंग गुजरी। नतीजतन, रॉड में एक साथ आगे की दिशा में यात्रा करने वाली तरंगें और विपरीत दिशा में यात्रा करने वाली तरंगें मौजूद होंगी।
आइए मान लें कि एक जोड़ी तरंगों (प्रत्यक्ष और परावर्तित) के हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप, बिंदु A पर विस्थापन y के बराबर निकला। आइए हम उस स्थिति का पता लगाएं जिसके तहत तरंगों के प्रत्येक जोड़े के कारण होने वाले सभी विस्थापन y की दिशा रॉड के बिंदु A पर समान होती है और इसलिए जुड़ जाती है। इसके लिए, एक बिंदु पर प्रत्येक जोड़ी तरंगों के कारण होने वाले दोलनों के चरणों को अगली जोड़ी तरंगों के कारण होने वाले दोलनों के चरण से भिन्न होना चाहिए। लेकिन प्रत्येक तरंग फिर से एक समय के बाद प्रसार की समान दिशा के साथ बिंदु A पर लौटती है, अर्थात, यह इस अंतराल के बराबर चरण में पिछड़ जाती है, जहां एक पूर्णांक है, हम प्राप्त करते हैं
यानी, रॉड की लंबाई के साथ आधी-तरंगों की एक पूर्णांक संख्या फिट होनी चाहिए। ध्यान दें कि इस स्थिति के तहत, आगे की दिशा में यात्रा करने वाली सभी तरंगों के चरण एक पूर्णांक से भिन्न होते हैं; बिल्कुल उसी तरह, विपरीत दिशा में जाने वाली सभी तरंगों के चरण एक दूसरे से भिन्न होते हैं।इसलिए, यदि तरंगों की एक जोड़ी (आगे और पीछे) रॉड के साथ विस्थापन का वितरण सूत्र (5.17) द्वारा निर्धारित करती है। , फिर ऐसी तरंगों के जोड़े के हस्तक्षेप से विस्थापन का वितरण नहीं बदलेगा; केवल दोलनों का आयाम बढ़ेगा। यदि सूत्र (5.18) के अनुसार दो तरंगों के व्यतिकरण के दौरान दोलनों का अधिकतम आयाम बराबर है, तो कई तरंगों के व्यतिकरण के साथ यह अधिक होगा। आइए हम इसे निरूपित करें क्योंकि अभिव्यक्ति (5.18) के बजाय छड़ के साथ दोलन आयाम का वितरण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाएगा
भाव (5.19) और (5.20) उन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं जिन पर कोसाइन का मान या 1 है:
जहां एक पूर्णांक है खड़ी लहर के नोड्स के निर्देशांक इस सूत्र से विषम मानों के लिए प्राप्त किए जाएंगे, फिर रॉड की लंबाई के आधार पर, अर्थात मूल्य
एंटीनोड निर्देशांक सम मानों के साथ प्राप्त किए जाएंगे
अंजीर पर। 1.63 योजनाबद्ध रूप से एक छड़ में एक खड़ी लहर दिखाता है, जिसकी लंबाई; बिंदु एंटीनोड हैं, बिंदु इस स्थायी तरंग के नोड हैं।
इंच। यह दिखाया गया था कि आवधिक बाहरी प्रभावों की अनुपस्थिति में, सिस्टम में कोडिंग गतियों की प्रकृति और सबसे ऊपर, मुख्य मात्रा - दोलन आवृत्ति - सिस्टम के आयाम और भौतिक गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रत्येक ऑसिलेटरी सिस्टम की अपनी, अंतर्निहित ऑसिलेटरी गति होती है; इस उतार-चढ़ाव को देखा जा सकता है यदि सिस्टम को संतुलन से बाहर कर दिया जाए और फिर बाहरी प्रभावों को समाप्त कर दिया जाए।
इंच। 4 घंटे मैंने मुख्य रूप से गांठदार मापदंडों के साथ दोलन प्रणाली पर विचार किया, जिसमें कुछ निकायों (बिंदु) में जड़त्वीय द्रव्यमान और अन्य निकायों (स्प्रिंग्स) में लोचदार गुण थे। इसके विपरीत, ऑसिलेटरी सिस्टम जिसमें द्रव्यमान और लोच प्रत्येक प्राथमिक मात्रा में निहित होते हैं, वितरित मापदंडों वाले सिस्टम कहलाते हैं। इनमें ऊपर चर्चा की गई छड़ें, तार, साथ ही तरल या गैस के स्तंभ (वायु संगीत वाद्ययंत्र में) आदि शामिल हैं। ऐसी प्रणालियों के लिए, खड़ी तरंगें प्राकृतिक कंपन हैं; इन तरंगों की मुख्य विशेषता - तरंग दैर्ध्य या नोड्स और एंटीनोड्स का वितरण, साथ ही दोलनों की आवृत्ति - केवल सिस्टम के आकार और गुणों से निर्धारित होती है। सिस्टम पर बाहरी (आवधिक) क्रिया की अनुपस्थिति में स्थायी तरंगें भी मौजूद हो सकती हैं; यह क्रिया केवल सिस्टम में खड़ी तरंगों को उत्पन्न करने या बनाए रखने या दोलनों के आयाम को बदलने के लिए आवश्यक है। विशेष रूप से, यदि वितरित मापदंडों के साथ एक प्रणाली पर एक बाहरी क्रिया उसके प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति पर होती है, अर्थात, एक खड़ी लहर की आवृत्ति, तो अनुनाद घटना होती है, जिसे चैप में माना गया था। 5. विभिन्न आवृत्तियों के लिए समान है।
इस प्रकार, वितरित मापदंडों वाली प्रणालियों में, प्राकृतिक दोलन - स्थायी तरंगें - आवृत्तियों के एक पूरे स्पेक्ट्रम की विशेषता होती हैं जो एक दूसरे के गुणक होते हैं। इनमें से सबसे छोटी आवृत्ति सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य के अनुरूप होती है जिसे मौलिक आवृत्ति कहा जाता है; बाकी) ओवरटोन या हार्मोनिक्स हैं।
प्रत्येक प्रणाली को न केवल दोलनों के ऐसे स्पेक्ट्रम की उपस्थिति से, बल्कि विभिन्न आवृत्तियों के दोलनों के बीच ऊर्जा के एक निश्चित वितरण द्वारा भी चित्रित किया जाता है। संगीत वाद्ययंत्रों के लिए, यह वितरण ध्वनि को एक विशिष्ट विशेषता देता है, तथाकथित ध्वनि समय, जो विभिन्न उपकरणों के लिए अलग है।
उपरोक्त गणना एक मुक्त दोलन "लंबाई की छड़ को संदर्भित करती है। हालाँकि, हमारे पास आमतौर पर एक या दोनों सिरों पर तय की गई छड़ें होती हैं (उदाहरण के लिए, दोलन तार), या छड़ के साथ बन्धन के एक या अधिक बिंदु होते हैं। आंदोलनों को विस्थापन मजबूर किया जाता है। नोड्स। उदाहरण के लिए,
यदि रॉड में एक, दो, तीन फिक्सिंग पॉइंट आदि पर स्थायी तरंगें प्राप्त करना आवश्यक है, तो इन बिंदुओं को मनमाने ढंग से नहीं चुना जा सकता है, लेकिन रॉड के साथ स्थित होना चाहिए ताकि वे गठित स्टैंडिंग वेव के नोड्स पर हों . यह दिखाया गया है, उदाहरण के लिए, अंजीर में। 1.64। उसी चित्र में, बिंदीदार रेखा कंपन के दौरान छड़ के बिंदुओं के विस्थापन को दर्शाती है; विस्थापन एंटीनोड हमेशा मुक्त सिरों पर बनते हैं, और निश्चित सिरों पर विस्थापन नोड। पाइपों में हवा के स्तंभों को दोलन करने के लिए, ठोस दीवारों को प्रतिबिंबित करने पर विस्थापन नोड्स (और वेग) प्राप्त होते हैं; ट्यूबों के खुले सिरों पर विस्थापन और वेग के एंटीनोड्स बनते हैं।
यदि एक माध्यम में कई तरंगें एक साथ फैलती हैं, तो माध्यम के कणों के दोलन उन दोलनों के ज्यामितीय योग के रूप में निकलते हैं जो कण प्रत्येक तरंग के अलग-अलग प्रसार के दौरान बनाते हैं। नतीजतन, तरंगें एक दूसरे को परेशान किए बिना बस एक दूसरे को ओवरलैप करती हैं। इस कथन को तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत कहते हैं। सुपरपोज़िशन का सिद्धांत कहता है कि एक साथ कई तरंगों के प्रसार के कारण होने वाली गति फिर से एक निश्चित तरंग प्रक्रिया है। ऐसी प्रक्रिया, उदाहरण के लिए, एक आर्केस्ट्रा की आवाज़ है। यह अलग-अलग वाद्य यंत्रों द्वारा हवा के ध्वनि कंपन के एक साथ उत्तेजना से उत्पन्न होता है। यह उल्लेखनीय है कि जब तरंगें अध्यारोपित होती हैं, तो विशेष परिघटनाएँ उत्पन्न हो सकती हैं। उन्हें जोड़ का प्रभाव कहा जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, तरंगों का सुपरपोजिशन। इन प्रभावों में सबसे महत्वपूर्ण हस्तक्षेप और विवर्तन हैं।
हस्तक्षेप अंतरिक्ष में कंपन की ऊर्जा के समय-स्थिर पुनर्वितरण की घटना है, जिसके परिणामस्वरूप कुछ स्थानों पर कंपन बढ़ जाता है और दूसरों में कमजोर हो जाता है। यह घटना तब होती है जब तरंगों को एक चरण अंतर के साथ जोड़ा जाता है जो समय के साथ बनी रहती है, तथाकथित सुसंगत तरंगें। बड़ी संख्या में तरंगों के व्यतिकरण को सामान्यतः विवर्तन कहते हैं। व्यतिकरण और विवर्तन में कोई मूलभूत अंतर नहीं है। इन घटनाओं की प्रकृति समान है। हम खुद को केवल एक बहुत ही महत्वपूर्ण हस्तक्षेप प्रभाव पर चर्चा करने तक सीमित रखते हैं, जो कि खड़ी तरंगों का निर्माण है।
खड़ी तरंगों के निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त उन सीमाओं की उपस्थिति है जो उन पर आपतित तरंगों को दर्शाती हैं। स्थायी तरंगें घटना और परावर्तित तरंगों के योग के परिणामस्वरूप बनती हैं। इस तरह की घटनाएं काफी आम हैं। तो, किसी भी वाद्य यंत्र की ध्वनि का प्रत्येक स्वर एक खड़ी लहर से उत्तेजित होता है। यह तरंग या तो एक तार (तार वाले यंत्र) में या वायु के एक स्तंभ (पवन यंत्र) में बनती है। इन मामलों में परावर्तक सीमाएं स्ट्रिंग के लगाव के बिंदु और पवन उपकरणों की आंतरिक गुहाओं की सतहें हैं।
प्रत्येक स्थायी तरंग में निम्नलिखित गुण होते हैं। अंतरिक्ष के पूरे क्षेत्र जिसमें लहर उत्तेजित होती है, को कोशिकाओं में इस तरह विभाजित किया जा सकता है कि कोशिकाओं की सीमाओं पर दोलन पूरी तरह से अनुपस्थित हों। इन सीमाओं पर स्थित बिंदुओं को स्थायी तरंग के नोड कहा जाता है। प्रत्येक कोशिका के आंतरिक बिंदुओं पर दोलनों के चरण समान होते हैं। पड़ोसी कोशिकाओं में दोलन एक दूसरे की ओर, यानी एंटीफेज में होते हैं। एक सेल के भीतर, दोलनों का आयाम अंतरिक्ष में भिन्न होता है और किसी स्थान पर अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है। जिन बिंदुओं पर यह देखा जाता है उन्हें स्थायी तरंग के एंटीनोड कहा जाता है। अंत में, खड़ी तरंगों की एक विशिष्ट संपत्ति उनकी आवृत्ति स्पेक्ट्रम की असततता है। एक खड़ी लहर में, दोलन केवल कड़ाई से परिभाषित आवृत्तियों के साथ हो सकते हैं, और उनमें से एक से दूसरे में संक्रमण एक छलांग में होता है।
खड़ी लहर के एक सरल उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि सीमित लंबाई की एक डोरी को अक्ष के अनुदिश खींचा जाता है; इसके सिरे कठोर रूप से स्थिर हैं, और बायाँ सिरा निर्देशांक के मूल में है। तब दाएँ सिरे का निर्देशांक होगा। आइए एक तार में एक लहर को उत्तेजित करें
,
बाएँ से दाएँ फैल रहा है। तरंग डोरी के दाहिने सिरे से परावर्तित होगी। आइए मान लें कि यह ऊर्जा हानि के बिना होता है। इस मामले में, परावर्तित तरंग में समान आयाम और घटना तरंग के समान आवृत्ति होगी। इसलिए, परावर्तित तरंग का रूप होना चाहिए:
इसके चरण में एक स्थिरांक होता है जो प्रतिबिंब पर चरण परिवर्तन को निर्धारित करता है। चूँकि परावर्तन डोरी के दोनों सिरों पर होता है और ऊर्जा की हानि के बिना, समान आवृत्ति की तरंगें एक साथ डोरी में फैलती हैं। इसलिए, जोड़ते समय हस्तक्षेप होना चाहिए। आइए परिणामी तरंग का पता लगाएं।
यह स्थायी तरंग समीकरण है। इससे यह पता चलता है कि स्ट्रिंग के प्रत्येक बिंदु पर एक आवृत्ति के साथ कंपन होता है। इस स्थिति में, एक बिंदु पर दोलनों का आयाम बराबर होता है
.
चूंकि डोरी के सिरे स्थिर हैं, इसलिए वहां कोई कंपन नहीं है। यह इस शर्त से चलता है कि . तो हम समाप्त करते हैं:
.
अब यह स्पष्ट है कि जिन बिंदुओं पर कोई दोलन नहीं होता है। ये बिंदु स्थायी तरंग के नोड हैं। उसी स्थान पर, जहाँ, दोलन आयाम अधिकतम होता है, यह जोड़े गए दोलनों के आयाम के दोगुने मान के बराबर होता है। ये बिंदु खड़ी लहर के एंटीनोड हैं। एंटीनोड्स और नॉट्स की उपस्थिति ठीक हस्तक्षेप है: कुछ जगहों पर दोलनों को बढ़ाया जाता है, जबकि अन्य में वे गायब हो जाते हैं। एक पड़ोसी नोड और एक एंटीनोड के बीच की दूरी स्पष्ट स्थिति से पाई जाती है:। क्योंकि तब । इसलिए, आसन्न नोड्स के बीच की दूरी है।
यह स्थायी तरंग समीकरण से देखा जा सकता है कि कारक शून्य से गुजरने पर यह राशि बदल लेता है। इसके अनुसार, नोड के विभिन्न पक्षों पर दोलनों का चरण भिन्न होता है। इसका मतलब यह है कि नोड के विपरीत दिशा में स्थित बिंदु एंटीपेज़ में दोलन करते हैं। दो पड़ोसी नोड्स के बीच संलग्न सभी बिंदु एक ही चरण में दोलन करते हैं।
इस प्रकार, जब आपतित और परावर्तित तरंगों को जोड़ते हैं, तो वास्तव में तरंग गति का वह पैटर्न प्राप्त करना संभव होता है जिसकी विशेषता पहले बताई गई थी। इस मामले में, जिन कोशिकाओं पर एक-आयामी मामले में चर्चा की गई थी, वे पड़ोसी नोड्स और लंबाई वाले खंडों के बीच संलग्न हैं।
अंत में, आइए हम यह सुनिश्चित करें कि जिस तरंग पर हमने विचार किया है वह केवल कड़ाई से परिभाषित दोलन आवृत्तियों पर ही मौजूद हो सकती है। आइए हम इस तथ्य का उपयोग करें कि डोरी के दाहिने सिरे पर कोई कंपन नहीं है, अर्थात . इसलिए पता चला है। यह समानता संभव है यदि , जहां एक स्वेच्छ धनात्मक पूर्णांक हो।
6.1 एक लोचदार माध्यम में स्थायी तरंगें
सुपरपोज़िशन के सिद्धांत के अनुसार, जब कई तरंगें एक साथ एक लोचदार माध्यम में फैलती हैं, तो उनका सुपरपोज़िशन होता है, और तरंगें एक-दूसरे को परेशान नहीं करती हैं: माध्यम के कणों के दोलन दोलनों का सदिश योग होते हैं जो कण बनाते हैं प्रत्येक तरंग के अलग-अलग प्रसार के दौरान।
तरंगें जो माध्यम के दोलनों का निर्माण करती हैं, जिनके बीच चरण अंतर अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर स्थिर होते हैं, कहलाते हैं सुसंगत.
सुसंगत तरंगों को जोड़ने पर, घटना उत्पन्न होती है दखल अंदाजी, जो इस तथ्य में समाहित है कि अंतरिक्ष में कुछ बिंदुओं पर तरंगें एक दूसरे को मजबूत करती हैं, और अन्य बिंदुओं पर वे कमजोर होती हैं। हस्तक्षेप का एक महत्वपूर्ण मामला तब देखा जाता है जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो विपरीत समतल तरंगें अध्यारोपित होती हैं। परिणामी दोलन कहलाते हैं खड़ी लहर. अक्सर, खड़ी तरंगें तब उत्पन्न होती हैं जब एक यात्रा तरंग एक बाधा से परावर्तित होती है। इस मामले में, आपतित तरंग और उसकी ओर परावर्तित तरंग, जब एक साथ जोड़े जाते हैं, तो एक स्थायी तरंग देते हैं।
हमें स्थायी तरंग समीकरण प्राप्त होता है। आइए अक्ष के अनुदिश एक दूसरे की ओर संचरित होने वाली दो समतल आवर्त तरंगें लें एक्सऔर समान आवृत्ति और आयाम वाले:
कहाँ पे - पहली लहर के पारित होने के दौरान माध्यम के बिंदुओं के दोलनों का चरण;
- दूसरी लहर के पारित होने के दौरान माध्यम के बिंदुओं के दोलनों का चरण।
अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर चरण अंतर एक्सनेटवर्क समय पर निर्भर नहीं होगा, यानी स्थिर रहेगा:
अतः दोनों तरंगें सुसंगत होंगी।
मानी गई तरंगों के योग से उत्पन्न माध्यम के कणों का दोलन इस प्रकार होगा:
हम नियम (4.4) के अनुसार कोणों के कोसाइन के योग को बदलते हैं और प्राप्त करते हैं:
कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हम मूल का चयन करते हैं ताकि चरण अंतर हो और समय की उत्पत्ति, ताकि चरणों का योग शून्य के बराबर हो: .
तब तरंगों के योग के लिए समीकरण रूप लेगा:
समीकरण (6.6) कहा जाता है स्थायी तरंग समीकरण. इससे यह देखा जा सकता है कि खड़ी तरंग की आवृत्ति यात्रा तरंग की आवृत्ति के बराबर होती है, और यात्रा तरंग के विपरीत आयाम मूल से दूरी पर निर्भर करता है:
. (6.7)
(6.7) को ध्यान में रखते हुए, स्थायी तरंग समीकरण रूप लेता है:
. (6.8)
इस प्रकार, माध्यम के बिंदु यात्रा तरंग की आवृत्ति के साथ एक आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं, और एक आयाम के साथ एक, अक्ष पर बिंदु की स्थिति के आधार पर एक्स. तदनुसार, कोज्या नियम के अनुसार आयाम बदलता है और इसकी अपनी उच्चिष्ठ और निम्निष्ठता होती है (चित्र 6.1)।
|
आयाम के मिनिमा और मैक्सिमा के स्थान की कल्पना करने के लिए, हम (5.29) के अनुसार, तरंग संख्या को इसके मूल्य से बदलते हैं:
तब आयाम के लिए व्यंजक (6.7) रूप लेता है
(6.10)
इससे यह स्पष्ट हो जाता है कि विस्थापन आयाम अधिकतम होता है , अर्थात। उन बिंदुओं पर जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं:
, (6.11)
कहाँ पे
यहाँ से हम उन बिंदुओं के निर्देशांक प्राप्त करते हैं जहाँ विस्थापन का आयाम अधिकतम है:
; (6.12)
वे बिन्दु जहाँ माध्यम के दोलनों का आयाम अधिकतम होता है, कहलाते हैं तरंग एंटीनोड्स.
तरंग का आयाम उन बिंदुओं पर शून्य होता है जहां . ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक, कहलाते हैं लहर की गांठें, शर्त को पूरा करता है:
, (6.13)
कहाँ पे
(6.13) से यह देखा जा सकता है कि नोड्स के निर्देशांक में मान हैं:
, (6.14)
अंजीर पर। 6.2 एक खड़ी लहर का एक अनुमानित दृश्य दिखाता है, नोड्स और एंटीनोड्स का स्थान चिह्नित किया गया है। यह देखा जा सकता है कि विस्थापन के पड़ोसी नोड्स और एंटिनोड्स एक दूसरे से समान दूरी पर हैं।
|
आसन्न एंटीनोड और नोड्स के बीच की दूरी का पता लगाएं। (6.12) से हम एंटीनोड्स के बीच की दूरी प्राप्त करते हैं:
(6.15)
नोड्स के बीच की दूरी (6.14) से प्राप्त की जाती है:
(6.16)
प्राप्त संबंधों (6.15) और (6.16) से, यह देखा जा सकता है कि पड़ोसी नोड्स के साथ-साथ पड़ोसी एंटीनोड्स के बीच की दूरी स्थिर और बराबर है; नोड्स और एंटीनोड एक दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित हो जाते हैं (चित्र। 6.3)।
तरंगदैर्घ्य की परिभाषा से, हम स्थायी तरंग की लंबाई के लिए एक व्यंजक लिख सकते हैं: यह यात्रा तरंग की लंबाई के आधे के बराबर है:
आइए खाते में (6.17), नोड्स और एंटीनोड्स के निर्देशांक के लिए अभिव्यक्तियां लिखें:
, (6.18)
, (6.19)
गुणक, जो खड़ी तरंग के आयाम को निर्धारित करता है, शून्य मान से गुजरने पर अपना चिन्ह बदलता है, जिसके परिणामस्वरूप नोड के विपरीत पक्षों पर दोलनों का चरण भिन्न होता है। नतीजतन, नोड के विभिन्न पक्षों पर स्थित सभी बिंदु एंटी-फेज में दोलन करते हैं। पड़ोसी नोड्स के बीच सभी बिंदु चरण में दोलन करते हैं।
|
नोड्स सशर्त रूप से माध्यम को स्वायत्त क्षेत्रों में विभाजित करते हैं जिसमें हार्मोनिक दोलन स्वतंत्र रूप से होते हैं। क्षेत्रों के बीच गति का कोई हस्तांतरण नहीं होता है, और इसलिए, क्षेत्रों के बीच कोई ऊर्जा प्रवाह नहीं होता है। यानी अक्ष के साथ गड़बड़ी का कोई संचरण नहीं है। इसलिए लहर को खड़ी कहा जाता है।
तो, समान आवृत्तियों और आयामों की दो विपरीत दिशा वाली यात्रा तरंगों से एक स्थायी तरंग का निर्माण होता है। इन तरंगों में से प्रत्येक का यूमोव वैक्टर मापांक में बराबर और दिशा में विपरीत होता है, और जब जोड़ा जाता है तो वे शून्य देते हैं। इसलिए, एक खड़ी लहर ऊर्जा स्थानांतरित नहीं करती है।
6.2 खड़ी तरंगों के उदाहरण
6.2.1 एक तार में स्थायी तरंग
लंबाई की एक स्ट्रिंग पर विचार करें एल, दोनों सिरों पर स्थिर (चित्र 6.4)।
आइए अक्ष को डोरी के अनुदिश रखें एक्सताकि स्ट्रिंग के बाएं सिरे में निर्देशांक हो एक्स = 0, और अधिकार एक्स = एल. समीकरण द्वारा वर्णित स्ट्रिंग में कंपन होते हैं:
आइए हम विचारित स्ट्रिंग के लिए सीमा शर्तों को लिखें। चूँकि इसके सिरे स्थिर हैं, फिर निर्देशांक वाले बिंदुओं पर एक्स = 0और एक्स = एलबिना हिचकिचाहट:
(6.22)
आइए हम लिखित सीमा स्थितियों के आधार पर स्ट्रिंग कंपनों के समीकरण का पता लगाएं। हम खाते में (6.21) लेते हुए, स्ट्रिंग के बाएं सिरे के लिए समीकरण (6.20) लिखते हैं:
संबंध (6.23) किसी भी समय के लिए रहता है टीदो मामलों में:
1. . यह संभव है अगर स्ट्रिंग में कोई कंपन नहीं है ()। इस मामले में कोई दिलचस्पी नहीं है और हम इस पर विचार नहीं करेंगे।
2. . यहाँ चरण है। यह केस हमें स्ट्रिंग कंपन के लिए समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देगा।
स्ट्रिंग के दाहिने सिरे के लिए प्राप्त चरण मान को सीमा स्थिति (6.22) में प्रतिस्थापित करें:
. (6.25)
मान लें कि
, (6.26)
(6.25) से हम पाते हैं:
पुनः, दो स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जिनमें सम्बन्ध (6.27) संतुष्ट होता है। मामला जब स्ट्रिंग में कोई कंपन नहीं है (), तो हम विचार नहीं करेंगे।
दूसरे मामले में, समानता होनी चाहिए:
और यह तभी संभव है जब ज्या तर्क एक पूर्णांक का गुणक हो:
हम मूल्य को त्याग देते हैं, क्योंकि इस मामले में, जिसका अर्थ होगा या तो शून्य स्ट्रिंग लंबाई ( एल = 0) या वेव-न्यू नंबर के = 0. तरंग संख्या और तरंग दैर्ध्य के बीच संबंध (6.9) को ध्यान में रखते हुए, यह स्पष्ट है कि तरंग संख्या शून्य के बराबर होने के लिए, तरंग दैर्ध्य को अनंत होना होगा, और इसका अर्थ होगा दोलनों की अनुपस्थिति।
यह (6.28) से देखा जा सकता है कि दोनों सिरों पर तय स्ट्रिंग के कंपन के दौरान तरंग संख्या केवल कुछ असतत मान ले सकती है:
(6.9) को ध्यान में रखते हुए, हम (6.30) को इस प्रकार लिखते हैं:
स्ट्रिंग में संभावित तरंग दैर्ध्य के लिए हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
दूसरे शब्दों में, स्ट्रिंग की लंबाई से अधिक एलपूर्णांक होना चाहिए एनआधा लहर:
संगत दोलन आवृत्तियों को (5.7) से निर्धारित किया जा सकता है:
यहाँ तरंग का चरण वेग है, जो (5.102) के अनुसार, स्ट्रिंग के रैखिक घनत्व और स्ट्रिंग तनाव बल पर निर्भर करता है:
(6.34) को (6.33) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम स्ट्रिंग की संभावित कंपन आवृत्तियों का वर्णन करते हुए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
, (6.36)
आवृत्तियाँ कहलाती हैं प्राकृतिक आवृत्तितार। आवृत्ति (जब एन = 1):
(6.37)
बुलाया मौलिक आवृत्ति(या मुख्य स्वर) तार। आवृत्तियों पर निर्धारित एन> 1बुलाया मकसदया हार्मोनिक्स. हार्मोनिक संख्या है एन-1. उदाहरण के लिए, आवृत्ति:
पहले हार्मोनिक और आवृत्ति से मेल खाती है:
दूसरे हार्मोनिक से मेल खाता है, और इसी तरह। चूँकि एक स्ट्रिंग को असतत प्रणाली के रूप में स्वतंत्रता की असीमित संख्या के साथ दर्शाया जा सकता है, प्रत्येक हार्मोनिक है फैशनस्ट्रिंग कंपन। सामान्य स्थिति में, स्ट्रिंग कंपन मोड्स का एक सुपरपोजिशन है।
प्रत्येक हार्मोनिक की अपनी तरंग दैर्ध्य होती है। मुख्य स्वर के लिए (के साथ एन = 1) तरंग दैर्ध्य:
क्रमशः पहले और दूसरे हार्मोनिक्स के लिए (पर एन = 2 और एन = 3) तरंग दैर्ध्य होंगे:
चित्र 6.5 एक स्ट्रिंग द्वारा किए गए कई कंपन मोड का दृश्य दिखाता है।
इस प्रकार, निश्चित सिरों वाली एक स्ट्रिंग शास्त्रीय भौतिकी के ढांचे के भीतर एक असाधारण मामले का एहसास करती है - दोलन आवृत्ति (या तरंग दैर्ध्य) का एक असतत स्पेक्ट्रम। एक या दोनों क्लैम्प्ड सिरों वाली एक इलास्टिक रॉड उसी तरह से व्यवहार करती है, जैसा कि पाइपों में वायु स्तंभ में उतार-चढ़ाव करते हैं, जिसकी चर्चा बाद के खंडों में की जाएगी।
6.2.2 गति पर प्रारंभिक स्थितियों का प्रभाव
निरंतर स्ट्रिंग। फूरियर विश्लेषण
कंपन आवृत्तियों के एक असतत स्पेक्ट्रम के अलावा, क्लैम्प्ड सिरों के साथ एक स्ट्रिंग के कंपन में एक और महत्वपूर्ण गुण होता है: स्ट्रिंग के कंपन का विशिष्ट रूप कंपन के उत्तेजना की विधि पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रारंभिक स्थितियों से। आइए अधिक विस्तार से विचार करें।
समीकरण (6.20), जो किसी डोरी में खड़ी तरंग की एक विधा का वर्णन करता है, अवकल तरंग समीकरण (5.61) का एक विशेष हल है। चूँकि एक स्ट्रिंग का कंपन सभी संभावित मोड्स (एक स्ट्रिंग के लिए - एक अनंत संख्या) से बना होता है, तो तरंग समीकरण का सामान्य समाधान (5.61) विशेष समाधानों की अनंत संख्या से बना होता है:
, (6.43)
कहाँ पे मैंदोलन मोड संख्या है। अभिव्यक्ति (6.43) को ध्यान में रखते हुए लिखा गया है कि स्ट्रिंग के सिरे तय हो गए हैं:
और आवृत्ति कनेक्शन को भी ध्यान में रखते हुए मैंवें मोड और इसकी तरंग संख्या:
(6.46)
यहां - तरंग संख्या मैंवें फैशन;
पहली विधा की तरंग संख्या है;
आइए हम प्रत्येक दोलन मोड के लिए प्रारंभिक चरण का मान ज्ञात करें। इसके लिए उस समय टी = 0आइए स्ट्रिंग को फ़ंक्शन द्वारा वर्णित आकार दें एफ 0 (एक्स), अभिव्यक्ति जिसके लिए हम (6.43) से प्राप्त करते हैं:
. (6.47)
अंजीर पर। 6.6 मेरे कार्य द्वारा वर्णित स्ट्रिंग के आकार का एक उदाहरण दिखाता है एफ 0 (एक्स).
|
समय पर टी = 0स्ट्रिंग अभी भी आराम पर है, यानी इसके सभी बिंदुओं की गति शून्य के बराबर है। (6.43) से हम स्ट्रिंग बिंदुओं की गति के लिए एक अभिव्यक्ति पाते हैं:
और इसमें स्थानापन्न करके टी = 0, हम प्रारंभिक समय में स्ट्रिंग के बिंदुओं की गति के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:
. (6.49)
चूंकि समय के प्रारंभिक क्षण में गति शून्य के बराबर है, तो स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं के लिए अभिव्यक्ति (6.49) शून्य के बराबर होगी, यदि। यह इस प्रकार है कि सभी मोड के लिए प्रारंभिक चरण भी शून्य () है। इसे ध्यान में रखते हुए, व्यंजक (6.43), जो डोरी की गति का वर्णन करता है, रूप लेता है:
, (6.50)
और अभिव्यक्ति (6.47), जो स्ट्रिंग के प्रारंभिक आकार का वर्णन करती है, ऐसा दिखता है:
. (6.51)
एक स्ट्रिंग में एक स्थायी तरंग एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है जो अंतराल पर आवधिक है, जहां दो स्ट्रिंग लंबाई के बराबर है (चित्र। 6.7):
यह इस तथ्य से देखा जा सकता है कि अंतराल पर आवधिकता का अर्थ है:
फलस्वरूप,
जो हमें अभिव्यक्ति (6.52) पर लाता है।
गणितीय विश्लेषण से ज्ञात होता है कि किसी भी आवधिक कार्य को उच्च सटीकता के साथ फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है:
, (6.57)
जहां , फूरियर गुणांक हैं।