बॉडी टोपोलॉजी. एक छात्र की नजर से "रबर ज्यामिति" या टोपोलॉजी
यह ट्यूटोरियल उन लोगों के लिए एक अच्छी शुरुआत है जो सीखना चाहते हैं कि शीर्ष स्तर के पात्रों का मॉडल कैसे बनाया जाए। अपने सर्कल में प्रसिद्ध जहीरुल अमीन सही टोपोलॉजी, एकसमान जाल, चतुर्भुज बहुभुज के महत्व और बहुत कुछ के महत्व के बारे में बात करेंगे।
3डी भँवर में गोता लगाने से पहले, मेरा सुझाव है कि एक छोटा शैक्षिक कार्यक्रम करें और उथले पानी में इधर-उधर उछल-कूद करें। नीचे हम बहुभुज मॉडलिंग की बुनियादी बातों पर बात करेंगे, जिनके ज्ञान के बिना आगे बढ़ना व्यर्थ है।
परिचय
जब ज्यामिति एक मॉडलर या एनिमेटर की सहायता बन जाती है, तो आदर्श जाल लेआउट पहले आता है। इसके बाद, एक अच्छी टोपोलॉजी चलन में आनी चाहिए, जिससे चरित्र एनीमेशन में दोषों की संख्या कम हो जाएगी। दूसरे शब्दों में, सही ढंग से (और समय पर) बनाया गया बहुभुज आपके जीवन के न केवल घंटे बल्कि दिन बचाएगा।
3-गॉन बनाम 4-गॉन बनाम एन-गॉन
तो 3-, 4-, और एन-गॉन बहुभुज के बीच क्या अंतर है? उत्तर स्पष्ट है: पहले की 3 भुजाएँ हैं, दूसरे की 4 हैं, तीसरे की कोई भी संख्या है, 4 से अधिक। यदि आप आगे के एनीमेशन के लिए किसी चरित्र का मॉडलिंग कर रहे हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं केवल चतुर्भुजों का प्रयोग करें. चतुष्कोणीय बहुभुजों को विकृत करने और विभाजित करने की प्रक्रिया बहुत आसान है, और आपको कम बनावट विरूपण का सामना करना पड़ेगा।
त्रिकोणों को अपनी और अन्य लोगों की नज़रों से छिपाने की अनुशंसा की जाती है। उदाहरण के लिए, बगल में या चरित्र के कमर क्षेत्र में। बदले में, बहुभुजों पर एक अनकहा प्रतिबंध लगाया जाता है - उनका अस्तित्व नहीं होना चाहिए। जब शीर्ष समूहों (उर्फ "वेट-पेंटिंग") में हेराफेरी और संपादन की बात आती है तो वे विकृति पैदा करते हैं और बहुत परेशानी पैदा करते हैं।
अंत में, एक मॉडल जिसमें मुख्य रूप से क्वाड बहुभुज होते हैं, उसे मडबॉक्स जैसे अन्य मॉडलिंग कार्यक्रमों में निर्यात करना आसान होगा।
चार और तीन-गॉन बहुभुजों की खुशियाँ और एन-गॉन का आतंक
चेहरे की आकृति, जो परिभाषा के अनुसार एन-गॉन से मिलती जुलती है, को यथासंभव चतुष्कोणीय प्रारूप के करीब लाया जाना चाहिए। इसका थोड़ा - बहुभुजों का स्थान सैद्धांतिक रूप से यथासंभव एक समान होना चाहिए. इसी नाम की ज्यामिति यही कहती है। इन नियमों का पालन करने से रिगिंग चरण से गुजरना आसान हो जाएगा और एनीमेशन प्रक्रिया के दौरान चरित्र को विकृत करते समय मदद मिलेगी। इसके अलावा, बनावट के उपयोग से जुड़े विरूपण के पैमाने को कम किया जाएगा, हालांकि यहां हमें यूवी स्कैन के महत्व के बारे में नहीं भूलना चाहिए।
वर्णित कार्य को करने के लिए, माया मूर्तिकला ज्यामिति उपकरण प्रदान करती है।
माया में स्कल्प्ट ज्योमेट्री टूल आपके मॉडल के जाल को "सुचारू" करने में आपकी मदद करेगा
प्रत्येक व्यक्तिगत किनारे (उर्फ एज फ्लो) के सुचारू संक्रमण के लिए जिम्मेदार। यह सुनने में साधारण लग सकता है, लेकिन व्यवहार में यह बहुत ही कपटपूर्ण बात है।
यदि आप एक यथार्थवादी चरित्र बनाने के लिए तैयार हैं, तो काम शुरू करने से पहले शरीर रचना विज्ञान की मूल बातों का अध्ययन करने की सिफारिश की जाती है। मानव शरीर की संरचना और मांसपेशियों की प्राकृतिक गति का अनुसरण करके, एनिमेटर अंततः एक प्रति प्राप्त करता है जो मूल के करीब होती है। यह विशेष रूप से विरूपण प्रक्रिया के दौरान स्पष्ट रूप से देखा जाता है। हम अनुशंसा करते हैं कि झुर्रियाँ बनने और त्वचा में खिंचाव की प्रक्रिया शुरू करें।
शैलीबद्ध और कार्टून चरित्रों के लिए, एज फ्लो बहुत कम महत्वपूर्ण है। लेकिन फिर भी, मैं मानव शरीर रचना विज्ञान की कम से कम बुनियादी समझ प्राप्त करने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूँ।
आकार को यथार्थवादी बनाने के लिए, एक अच्छी टोपोलॉजी बनाएं और जाल (किनारों, बहुभुज) की चिकनी दिशा को ध्यान में रखना सुनिश्चित करें।
यह भी अगुणित है। अर्थात किसी त्रिआयामी वस्तु को काट कर समतल नहीं किया जा सकता।
उदाहरण: एक घन बनाएं, किसी भी किनारे (किनारे) का चयन करें और इसे बाहर निकालें मेष संपादित करें > बाहर निकालें। आपके सामने कुछ आकार की एक वस्तु है। (बाईं ओर नीचे उदाहरण) यदि घन कागज से बना होता, तो सामने आने पर आपको टूटे हुए अनुपात के साथ एक क्रॉस-आकार की आकृति मिलती। बूलियन परिचालन में ऐसी वस्तु का उपयोग करना व्यावहारिक रूप से असंभव है।
स्थिति को ठीक करने के लिए क्लीनअप टूल का उपयोग करें।
ज्यामिति टोपोलॉजी का उल्लंघन दर्जनों समस्याएं पैदा कर सकता है। सतर्क रहें और समय-समय पर विभिन्न कोणों से आकृति का निरीक्षण करें।
प्रत्येक लूप (एज एज) का एक लक्ष्य होना चाहिए
एक नियम के रूप में, मॉडलिंग एक आदिम आकृति (उदाहरण के लिए, एक घन) से शुरू होती है, जिसकी संरचना बाद में किनारे के लूप जोड़कर जटिल हो जाती है।
यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक नया तत्व एक विशिष्ट उद्देश्य से बनाया जाए। ऐसी स्थितियाँ हैं जिनमें "कम" का अर्थ "बेहतर" है। मॉडल अनुकूलन के सिद्धांतों को समझना केवल अनुभव के साथ आता है, इसलिए निराश न हों और काम करते रहें।
अपने जीवन को जटिल न बनाएं: विवरण उचित होना चाहिए
स्क्रीन पर हम जो कुछ भी करने की कोशिश कर रहे हैं वह हमारे चारों ओर की दुनिया का उसके विभिन्न रूपों और अभिव्यक्तियों में प्रतिबिंब है। यही कारण है कि समय-समय पर टेबल से उठना बहुत महत्वपूर्ण है। न केवल डेवलपर्स के लिए, बल्कि एनिमेटरों, रिगर्स, लाइटिंग निर्देशकों आदि के लिए भी महत्वपूर्ण है।
सतह, उसकी संरचना और छाया पर करीब से नज़र डालें। यह प्रकाश को किस प्रकार परावर्तित करता है? विरूपण प्रक्रिया कैसे होती है? इन और अन्य प्रश्नों के उत्तर आपको किसी वस्तु की मॉडलिंग करते समय सही निर्णय लेने में मदद करेंगे।
इस लेख के साथ मैं ऑर्गेनिक 3डी मॉडलिंग पर पाठों की एक श्रृंखला शुरू करता हूं। यह लेख विशेष रूप से मॉडलिंग के सिद्धांतों के बारे में है, अर्थात। यह बिल्कुल आपके (किसी भी) 3D पैकेज की विशेषताओं पर निर्भर नहीं करता है। लेखों की श्रृंखला में निम्नलिखित विषय शामिल होंगे:
- रूप,
- अनुपात,
- डंडे,
- टोपोलॉजी
- और भी बहुत कुछ।
मॉडलिंग के तरीकों की एक बड़ी संख्या है और उनमें से सभी के अपने फायदे और नुकसान हैं "सर्वोत्तम मॉडलिंग विधि" जैसी कोई चीज़ नहीं है.
जिस कारण मैंने यह रास्ता चुना फार्म- वह काम करती है। मैं भी हमेशा से एक मूर्तिकार बनना चाहता था। विस्तार में जाने से पहले, मैं एक खुरदुरी आकृति का रेखाचित्र बनाना पसंद करता हूँ। इसकी वजह यह है कि मैंने बहुत कुछ हासिल किया है और यही कारण है कि मैंने ऑर्गेनिक 3डी मॉडलिंग में शुरुआती लोगों की मदद करने और कुछ भी शुरू करने से पहले उन्हें आकार दिखाने के लिए यह लेख लिखने का फैसला किया।
सबसे पहली चीज़ जो मैंने शुरू की वह थी सिर का आकार और मैं निराश हो गया क्योंकि मैंने बिना किसी संदर्भ जानकारी के इसे बनाने की कोशिश की (नहीं) प्रतिक्रिया दें संदर्भ- अंग्रेजी संदर्भ से), केवल अपनी कल्पना का उपयोग करके। किसी खुरदरी आकृति का रेखाचित्र बनाने के बजाय, मेरा दिमाग ऐसे सवालों में व्यस्त था: "कितने कट की आवश्यकता है? क्यों? कहाँ और कब?"
मैं न केवल अपने सिर के बारे में चिंतित था, बल्कि अपनी आंखों, नाक और मुंह के बारे में भी चिंतित था (और मैं अभी तक उन तक नहीं पहुंचा था)। मेरा दिमाग उलझन में था और मैं पूरी तरह से असमंजस में था कि इस सिर को कैसे बनाया जाए... जब तक कि एक दिन मैं एक बुनियादी बॉक्सिंग सिर का स्केच बनाने और देखने में कामयाब नहीं हो गया... सत्य का क्षण देखें! मैं इतना उत्साहित था कि मैंने इसे दोबारा करने का फैसला किया! और फिर बार-बार, जब तक मैं इससे थक नहीं गया और थक नहीं गया।
पीछे मुड़कर देखने पर मुझे यह बहुत बुनियादी और सरल लगता है। बस एक बॉक्स बनाने और कुछ कट और संपादन करने की आवश्यकता थी!
हालाँकि, यदि यह इतना सरल है, तो मुझे इसके साथ इतने लंबे समय तक संघर्ष क्यों करना पड़ा? क्या हम सब मेरे द्वारा अनुभव की गई समस्याओं के बिना ऐसा कर सकते हैं? ख़ैर, मेरा उत्तर हाँ है! लेकिन केवल तभी जब आपका मतलब यह हो सही मानसिकता. उदाहरण के लिए, जब मैंने पहली बार शुरुआत की थी तो मेरे पास एक भी नहीं था।
अब मुझे जो एहसास हुआ वह यह है जब हम 3डी मॉडलिंग सीखते हैं, तो हम बस हैं हम 3D बिल्कुल नहीं सिखाते! हम वास्तव में सही "मानसिकता" की तलाश कर रहे हैं। इसलिए जब आप किसी चीज़ में कठिनाइयों का अनुभव करते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपके पास कौशल या ज्ञान की कमी है। यह सब इसलिए है क्योंकि आप जो करने की कोशिश कर रहे हैं उसे करने की आपकी मानसिकता सही नहीं है।
एक बार जब आप अपने दिमाग को फिर से व्यवस्थित कर लेंगे, तो आपका तर्कसंगत दिमाग काम संभाल लेगा और आप स्वाभाविक रूप से काम करना शुरू कर देंगे। तो यह पहली चीज़ है जिसे हमें फिर से बनाने का प्रयास करना है - मानसिकता।
मानसिकता
एक प्रोफ़ाइल (समोच्च) बनाना: बिंदुओं को जोड़ना
यह छोटा सा उदाहरण आपको अपनी मानसिकता बदलने में मदद करेगा।
सबसे पहले, बस इस छवि को देखें। अब हम डॉट्स का उपयोग करके एक प्रोफ़ाइल बनाएंगे और उन्हें कनेक्ट करेंगे। यदि आपके पास उन्हें जोड़ने के लिए केवल दो बिंदु (आपके माथे और ठोड़ी पर) हैं। आपको इसे कैसे करना होगा? उत्तर: माथे से ठुड्डी तक, क्योंकि कोई दूसरा रास्ता ही नहीं है।
हालाँकि, यदि आप अंकों की संख्या बढ़ाते हैं, तो वे न केवल आपको अनुमति देंगे प्रोफ़ाइल को और अधिक आकार दें बिल्कुल, लेकिन वे इसे करने भी देंगे कई मायनों में, और यह पहले से ही होता है शैली निर्माण(कलात्मक)।
जब आपको कटौती करने की आवश्यकता हो या यह जानना हो कि उन्हें कहां समाप्त करना है तो इसे ध्यान में रखना बहुत महत्वपूर्ण है।
की कट (केआर) और फिल कट (एफसी)।
पहले तो मेरे लिए यह समझना बहुत मुश्किल था कि कोई विशेष आकार बनाते समय मुझे कहाँ और कितने कट लगाने चाहिए। इसलिए मैं इस प्रक्रिया के लिए एक सादृश्य की तलाश में था। यह सादृश्य निकला एनिमेशन.
एनीमेशन की एक अवधारणा है प्रधान कार्मिक(केके). संक्षेप में, यह है विशिष्ट मुद्राएँएक निश्चित में चरित्र समय का क्षण. इस अवधारणा में यह भी शामिल है मध्यवर्ती फ़्रेम(पीआरके), जो समय अंतराल भरते हैं बीच मेंप्रधान कार्मिक।
यह न केवल प्रक्रिया को गति देता है, बल्कि इसे आसान भी बनाता है। आपके पास जितने अधिक मध्यवर्ती फ़्रेम (भरण कट) होंगे, गति उतनी ही सहज और अधिक सटीक होगी।
यदि आप एक एनिमेटर हैं, तो पीआरके की संख्या को नियंत्रित करना आपके अधिकार में है। यह बहुभुजों को 3D में काटने के समान है।
बड़ी संख्या में पीसी बनाना और उन सभी को प्रबंधित करना बहुत कठिन काम है। यही बात 3डी में बड़ी संख्या में शीर्षों को स्थानांतरित करने के लिए भी लागू होती है - यह बहुत श्रमसाध्य है।
सीडी के पीछे का विचार जोड़ है। जब एक मॉडलर किसी खुरदुरे आकार का रेखाचित्र बनाता है, तो वह हमेशा केआर से शुरुआत करता है, जो हमेशा खुरदुरा दिखता है। यदि आप जिस संपादक का उपयोग कर रहे हैं वह पासा का समर्थन करता है, तो इसका पता लगाने के लिए इसका उपयोग करें। मुद्राओं में अपना स्थूल रूप देखने के लिए जोड़ों पर हड्डियों को मोड़ें/मोड़ें।
एक बार सभी सीडी तैयार हो जाने पर, आपके पास दो विकल्प हैं:
- मॉडल को चिकना करें.
कभी-कभी मैं एक सीआर बनाता हूं, और फिर मॉडल को बड़ी संख्या में बहुभुज (उपविभाजन) में विभाजित करने के लिए जिम्मेदार कोड को मेरे लिए सभी सीआर पूरा करने देता हूं। नकारात्मक पक्ष यह है कि यह यथार्थवादी नहीं दिखता। तो अगला कदम आकार को सही करने के लिए एक नरम हाइलाइट का उपयोग करना है। कभी-कभी इससे काफी समय बच सकता है (लेकिन यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप क्या मॉडलिंग कर रहे हैं)। - ZR को मैन्युअल रूप से जोड़ें.
ज्यादातर मामलों में, मैं मैन्युअल काम को प्राथमिकता देता हूं, क्योंकि इस तरह से मैं बिंदुओं की संख्या और उनके स्थान को नियंत्रित कर सकता हूं।
कृपया ध्यान दें कि कुंजी और भरण कट की यह अवधारणा न केवल आकृतियाँ बनाने के लिए उपयोगी है, बल्कि आपके जाल का विवरण देने के लिए भी उपयोगी है। विभाजन का उपयोग करके बनाए गए केआर और जेडआर जाल (नितंबों, जांघों आदि) को अनुकूलित करने के तरीकों में से एक हैं। इसके अलावा, कभी-कभी एक फिल कट एक कुंजी कट बन सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप इसे कैसे देखते हैं। आप निर्माता हैं, इसलिए सब कुछ आपकी शक्ति में है।
यह भी महत्वपूर्ण है कि यह अवधारणा टोपोलॉजी/लूप (कुंजी और भरण लूप) के लिए भी बढ़िया काम करती है।
मुख्य और भरण एक बहुत ही दिलचस्प अवधारणा है क्योंकि इसे लगभग किसी भी चीज़ पर लागू किया जा सकता है! अगली बार जब आप टोपोलॉजी जाल को देखें, तो कुंजी लूप ढूंढने का प्रयास करें, क्योंकि प्रत्येक सिर में इनमें से कम से कम एक होता है।
मैंने जो देखा उसके आधार पर, ऐसी प्रमुख टोपोलॉजी हैं:
- सी-लूप
- एक्स-लूप
- ई-लूप
- और दूसरों का एक समूह
मैं इस सब के बारे में बाद में बात करूंगा, लेकिन अभी फॉर्म पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
गोलाई
यह सभी शुरुआती लोगों की सबसे आम गलती है। वे की कट्स बनाते हैं, और फिर उनके बीच फिलर बनाते हैं और बिना किसी मामूली बदलाव के यह सब छोड़ देते हैं। यदि आप अपने जीआर को पूर्णांकित नहीं करते हैं, तो परिणाम वर्गाकार (अप्राकृतिक, अकार्बनिक) होगा और आपको बाद में इसे ठीक करने के लिए कड़ी मेहनत करनी होगी। यदि, हर बार जब आप अगला फिलिंग कट बनाते हैं, तो आप इसे आकार में सही ढंग से फिट करते हैं, तो आप जाल पर लगातार काम करने से खुद को बचा लेंगे।
रूप की रेखाओं (शरीर रेखाएँ, रेखाओं की चिकनाई) का अनुसरण करना।
एक और आम गलती विषय की सहज रेखाओं का पालन न करना है। याद रखें, यह एक जैविक अनुकरण है, इसलिए जैविक रूप से सोचने का प्रयास करें। शरीर के हिस्सों जैसे पूंछ या मुड़े हुए शरीर का रेखाचित्र बनाते समय, एक घुमावदार सिलेंडर की कल्पना करने का प्रयास करें। और उसके अनुसार ब्लॉक बनाएं।
डर, जल्दबाजी और संदेह
जब आप 3डी मॉडलिंग में शुरुआत कर रहे हों तो यह एक मानसिक स्तर की चुनौती है।
हर बार जब आप पहली बार कुछ करते हैं तो आपको बड़ी कठिनाई का अनुभव होता है। मुद्दा यह है कि हार मत मानो! हर कोई इससे गुजरता है. ऐसे व्यक्ति से मिलना दुर्लभ है जो इस प्रारंभिक चरण से गुज़रा हो और इस बारे में बात न करता हो कि उसे कैसे कष्ट हुआ।
तो यहाँ मेरी सलाह है: आराम करो, धीरे करो, यहाँ कोई भीड़ नहीं है। अपने फॉर्म के साथ खेलने में एक या दो महीने बिताने का प्रयास करें। उन वस्तुओं से शुरुआत करें जो आपको बहुत सारी गलतियाँ करने की अनुमति देती हैं, जैसे कि जीव। और बस अभ्यास करें. यदि यह बकवास लगता है, तो इसे हटा दें और फिर से शुरू करें।
सबसे पहले, आपके लिए सब कुछ धीरे-धीरे काम करेगा, लेकिन जैसे-जैसे आप समान कार्य करेंगे, आपकी गति हर समय बढ़ती जाएगी। यही कारण है कि हमें हर काम को बेहतर और तेजी से करने के लिए अभ्यास की आवश्यकता है।
जब आप पहली बार कोई मॉडल बनाते हैं तो यह एक बहुत ही मजेदार प्रक्रिया हो सकती है। यह सब "संपूर्ण रूप से देखो" के कारण।
उदाहरण के लिए, मानव आकृति को ही लीजिए। मान लीजिए कि आप धड़ से शुरू करते हैं और इसे फैलाने के लिए एक्सट्रूड का उपयोग करते हैं। यदि आपके पास अभी तक पैर और हाथ/सिर नहीं हैं, तो यह सब बहुत हास्यास्पद लगता है। "इसे" मानवीय दिखाने के लिए, आपको शरीर के शेष सभी अंगों को पूरा करना होगा।
इसलिए सभी टुकड़ों को सही स्थान पर न रखने के भयानक परिणाम के कारण रुचि खोने की कोई आवश्यकता नहीं है। आपको बस शरीर के सभी अंगों को बाहर निकालकर सही जगह पर रखना होगा, तभी "यह" एक मानव आकृति की तरह दिखना शुरू हो जाएगा।
अभ्यास
सिमुलेशन विषय
सबसे पहले बात करते हैं मॉडलिंग विषय की।
यदि आप कर रहे हैं चरित्र मॉडलिंग, तो आप स्पष्ट रूप से सिर से शुरू करेंगे और नीचे की ओर काम करेंगे। एक सरलीकृत सिर, धड़, और फिर हाथ और पैर। कुछ हफ़्तों के बाद आपको एहसास होगा कि सिर शरीर का सबसे सरल हिस्सा है, क्योंकि यह केवल एक ब्लॉक है, जो एक बिंदु से पूरी तरह से दिखाई देता है। और आपको मॉडल बनाने के लिए बस इसे (सिर) ज़ूम इन और ज़ूम आउट करना है।
शरीर के अन्य अंग (हाथ, पैर) अधिक चुनौतीपूर्ण होंगे क्योंकि उन्हें व्यूपोर्ट में मॉडल को घुमाने और ज़ूम करने की आवश्यकता होगी। और चूंकि आप 3डी में नए हैं, इसलिए संभावना है कि आप व्यूपोर्ट में रोटेशन, स्पिन, पैन और ज़ूम का पूरा उपयोग करने के अभ्यस्त नहीं हैं।
सबसे पहले, अनावश्यक कठिनाइयों से बचने के लिए संदर्भों का उपयोग करें। और एक बार जब आप इसमें पारंगत हो जाएं, तो स्मृति से मॉडलिंग का प्रयास करें।
पहली बार स्मृति से हाथ बनाना कठिन है। इसलिए पहले संदर्भ चित्रों/फ़ोटो का उपयोग करने का प्रयास करें और बाद में मेमोरी का।
आखिर यह स्मृति से क्यों करें? बस यह देखने के लिए कि क्या हाथ के आकार (या जो भी वस्तु आप बना रहे हैं) के बारे में आपकी समझ में सुधार हुआ है।
अगर आप विभिन्न प्राणियों का मॉडल बनाएं, तो यहां भी स्थिति वैसी ही है। सिर से शुरू करें, फिर शरीर और फिर नीचे की हर चीज़ से। सिर्फ एक हिस्से की मॉडलिंग करके खुद को सीमित न रखें। एक हिस्से से दूसरे हिस्से पर जाएं (उदाहरण के लिए, मैं यह करता हूं), इसलिए आप (गतिविधि के प्रकार को बदलने के लिए धन्यवाद) इस प्रक्रिया में लगातार रुचि बनाए रखेंगे।
बाहर निकालना.
इससे पहले कि आप हाथ और पैर जैसे हिस्सों को बाहर निकालना शुरू करें, आपको पता होना चाहिए कि इसे करने के केवल दो तरीके हैं। इसका संबंध इस बात से है कि कोण को कैसे मॉडल किया जाए।
विधि ए, निश्चित रूप से, तेज़ है, लेकिन फिर भी, देर-सबेर आप विधि बी पर आएँगे। आप ध्रुवीकरण विधि का उपयोग करके ए को बी में भी परिवर्तित कर सकते हैं (इस पर बाद में अधिक जानकारी)। यह भी ध्यान दें रेखा आकार (लाल)।
मैंने सृजन के लिए विधि ए के कई रूप देखे हैं यथार्थवादी मानव हाथ. जबकि विधि बी इसके लिए उपयुक्त है अवास्तविक पात्र, उदाहरण के लिए, कार्टून वगैरह।
यदि आपको हर बार बाहर निकालते समय घुमाने में कठिनाई होती है, तो विधि ए का उपयोग करें। लेकिन इससे वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सी विधि चुनते हैं, क्योंकि आप जैसे-जैसे आगे बढ़ते हैं, आप एक टोपोलॉजी को दूसरे में परिवर्तित कर सकते हैं।
यह लेख का पहला भाग समाप्त करता है। यदि कुछ अस्पष्ट है तो आप प्रश्न पूछ सकते हैं।
मैं कुछ के साथ अपनी बात समाप्त करना चाहता हूँ सर्वश्रेष्ठ.
यह Subdivisionmodeling.com पर SomArtist की पोस्टों की एक उत्कृष्ट श्रृंखला का मेरा अनुवाद है (जिन्हें हटा दिया गया था क्योंकि मंच का अस्तित्व समाप्त हो गया था)।
ब्लॉग अपडेट की सदस्यता लें(यहाँ )।पी.एस.शीर्षक चित्र में जंगली कछुआ अमेरिकी जेसी सैंडिफ़र द्वारा बनाया गया था। अनुकरण पूरी तरह से किया गया था मडबॉक्स, फिर पूरे दृश्य को इकट्ठा किया गया 3डीएस मैक्सऔर बलों द्वारा कल्पना की गई वी. फोटोशॉपटेक्सचरिंग और पोस्ट-प्रोसेसिंग के लिए उपयोग किया जाता है। अन्य प्रकार के चरित्रों के साथ-साथ कार्य की चर्चा के लिए पढ़ें
परिचयएक भावी खोजकर्ता का जन्म हुआ है
30 वर्ष की आयु में नहीं, स्नातक विद्यालय में पढ़ रहा हूँ,
और उस समय से बहुत पहले जब
उसके माता-पिता उसे पहली बार किंडरगार्टन ले जाएंगे।
अलेक्जेंडर इलिच सावेनकोव
शैक्षणिक विज्ञान के डॉक्टर, मॉस्को स्टेट पेडागोगिकल यूनिवर्सिटी के प्रोफेसर
नई प्रौद्योगिकियों के विकास के साथ, नवीन सोच और नई समस्याओं को उठाने और हल करने की क्षमता वाले लोगों की मांग तेजी से बढ़ी है। इसलिए, छात्रों की गणितीय तैयारी पहले से कहीं अधिक प्रासंगिक होती जा रही है। यहां महान रूसी वैज्ञानिक मिखाइल वासिलीविच लोमोनोसोव के कथन को याद करना उचित होगा: "गणित तभी पढ़ाया जाना चाहिए क्योंकि यह दिमाग को व्यवस्थित करता है।"
प्रत्येक व्यक्ति के पास अंतरिक्ष, पिंडों और ज्यामितीय आकृतियों की एक दृश्य अवधारणा होती है। स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में हम विभिन्न निकायों और उनके गुणों का अध्ययन करेंगे।
लेकिन यह भविष्य में होगा, लेकिन अभी मुझे इस प्रश्न में दिलचस्पी है: "मोबियस स्ट्रिप क्या है?" आप मुझसे पूछेंगे कि मुझे इसमें दिलचस्पी क्यों है. मैं उत्तर दूंगा। मुझे पढ़ना बहुत पसंद है. विशेषकर विज्ञान कथा। मेरे पसंदीदा विज्ञान कथा लेखकों में से एक आर्थर सी. क्लार्क हैं।
उनकी कहानी "द वॉल ऑफ डार्कनेस" में, एक पात्र मोबियस पट्टी के आकार में घुमावदार एक असामान्य ग्रह से यात्रा करता है। मुझे इस बात में दिलचस्पी हो गई कि यह किस प्रकार की आकृति है और इसके गुण क्या हैं।
प्रासंगिक साहित्य और इंटरनेट स्रोतों का अध्ययन करने के बाद, मुझे पता चला कि इस मुद्दे का अध्ययन गणित की एक अलग शाखा - टोपोलॉजी में किया जाता है। इसीलिए मेरा काम इस क्षेत्र में सबसे सरल शोध समस्या को हल करने के लिए समर्पित है।
कार्य का उद्देश्य गणित की सबसे दिलचस्प और असामान्य शाखाओं में से एक की समझ प्राप्त करना, अर्थात् टोपोलॉजी और कुछ वस्तुओं के टोपोलॉजिकल गुणों के अध्ययन के रूप में तैयार किया जा सकता है।
लक्ष्य प्राप्त करने के लिए, मैंने निम्नलिखित कार्य हल किए:
समझें कि यह विज्ञान क्या अध्ययन करता है;
इसकी उत्पत्ति के इतिहास का अध्ययन करें;
कुछ वस्तुओं के टोपोलॉजिकल गुणों पर विचार करें;
टोपोलॉजी के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में जानें।
चुने गए विषय की प्रासंगिकता इस तथ्य में निहित है कि हाल ही में यह विज्ञान भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान जैसे मानव ज्ञान के बुनियादी क्षेत्रों में तेजी से प्रवेश कर रहा है। इसलिए, इसमें रहने वाले तकनीकी रूप से शिक्षित व्यक्ति के लिए इसकी मूल बातों का ज्ञान महत्वपूर्ण हो जाता हैXXIशतक।
मुख्य हिस्सा
एक विज्ञान के रूप में टोपोलॉजी और इसके उद्भव के लिए आवश्यक शर्तें
ज्यामिति की अन्य शाखाओं के विपरीत, जहां वस्तुओं की लंबाई, क्षेत्रफल, कोण और अन्य मात्रात्मक विशेषताओं का अनुपात बहुत महत्वपूर्ण है, टोपोलॉजी को इन सब में कोई दिलचस्पी नहीं है, क्योंकि यहां ज्यामितीय संरचनाओं के बारे में अन्य गुणात्मक प्रश्नों का अध्ययन किया जाता है।
आइए इस आकर्षक विज्ञान की मूल बातें समझना शुरू करें। यदि हम साहित्यिक स्रोतों की ओर मुड़ें, तो हम इस अवधारणा की निम्नलिखित परिभाषा पा सकते हैं।
टोपोलॉजी - गणित की एक शाखा जो आकृतियों (या रिक्त स्थान) के गुणों का अध्ययन करती है जो निरंतर विकृतियों, जैसे खिंचाव, संपीड़न या झुकने के तहत संरक्षित होती हैं।
आइए हम यहां सामने आने वाली "निरंतर विकृति" की अवधारणा को समझाएं। निरंतर विरूपण एक आकृति का विरूपण है जिसमें कोई टूटना नहीं है (अर्थात, आकृति की अखंडता का उल्लंघन) या ग्लूइंग (अर्थात, इसके बिंदुओं की पहचान)।
गणित की प्रत्येक शाखा का एक मूल विचार होता है। टोपोलॉजी कोई अपवाद नहीं है. टोपोलॉजी का मुख्य विचार निरंतरता का विचार है, अर्थात टोपोलॉजी ज्यामितीय वस्तुओं के उन गुणों का अध्ययन करती है जो निरंतर परिवर्तनों के तहत संरक्षित रहते हैं।
निरंतर परिवर्तनों की विशेषता यह है कि परिवर्तन से पहले "एक दूसरे के करीब" स्थित बिंदु परिवर्तन पूरा होने के बाद भी वैसे ही बने रहते हैं। टोपोलॉजिकल परिवर्तनों के दौरान, वस्तुओं को फैलने और झुकने की अनुमति होती है, लेकिन उन्हें फटने या टूटने की अनुमति नहीं होती है।
टोपोलॉजी की परिभाषा की कल्पना करने के लिए, यह कहा जाना चाहिए कि इस विज्ञान के दृष्टिकोण से, चाय का कप और डोनट जैसी वस्तुएं एक दूसरे से अप्रभेद्य हैं। इसीलिए वैज्ञानिकों के बीच एक मुहावरा है जो कहता है कि एक गणितज्ञ जो टोपोलॉजी का अध्ययन करता है वह एक ऐसा व्यक्ति है जो एक बैगेल और एक चाय के कप में अंतर नहीं कर सकता है। यह कथन सत्य है क्योंकि रबर के जिस टुकड़े से ये वस्तुएं बनी हैं, उसे निचोड़ने और खींचने से आप एक शरीर से दूसरे शरीर में जा सकते हैं।
चित्रकला 1एक कप को डोनट में बदलने की प्रक्रिया (टोरस)
आइए एक ऐतिहासिक भ्रमण करें और वापस लौटेंXVIIIसदी जब इस विज्ञान की नींव रखी गई थी।
इस विज्ञान के मूल में खड़े वैज्ञानिकों में से एक जर्मन गणितज्ञ और मैकेनिक हैंXVIIIसदी लियोनहार्ड यूलर। 1752 में, उन्होंने सरल पॉलीहेड्रा के शीर्षों, किनारों और चेहरों की संख्या के बीच संबंध व्यक्त करने वाले डेसकार्टेस के सूत्र को सिद्ध किया:
कहाँ, ।
टोपोलॉजी के विकास में यूलर का अगला योगदान प्रसिद्ध ब्रिज समस्या का समाधान था। यह कोनिग्सबर्ग में प्रीगोल नदी पर एक द्वीप के बारे में था (उस स्थान पर जहां नदी दो शाखाओं में विभाजित होती है - पुराना और नया प्रीगोल) और द्वीप को बैंकों से जोड़ने वाले सात पुल (चित्र 2)।
यह पता लगाना आवश्यक था कि क्या एक सतत मार्ग के साथ सभी सात पुलों के चारों ओर घूमना संभव है, प्रत्येक को केवल एक बार देखना और शुरुआती बिंदु पर लौटना संभव है। यूलर ने भूमि द्रव्यमान को बिंदुओं से और पुलों को रेखाओं से बदल दिया। यूलर ने परिणामी योजना को बुलायागिनती करना (चित्र 3), बिंदु इसके शीर्ष हैं, और रेखाएँ इसके किनारे हैं।
चित्रकला 2कोएनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या
एल - बायां किनारा , आर - दायां किनारा ,
चित्रकला 3ग्राफ़
वैज्ञानिक ने शीर्ष से निकलने वाले किनारों की संख्या के आधार पर शीर्षों को सम और विषम में विभाजित किया। यूलर ने सिद्ध किया कि किसी ग्राफ़ के सभी किनारों को निरंतर बंद मार्ग पर ठीक एक बार ही पार किया जा सकता है, यदि ग्राफ़ में केवल सम शीर्ष हों।
चूँकि कोनिग्सबर्ग पुल समस्या के ग्राफ़ में केवल विषम शीर्ष हैं, इसलिए आवश्यक पैदल मार्ग मौजूद नहीं है।
यह समस्या "यूनिकर्सल ग्राफ़" की अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग को दर्शाती है, जो टोपोलॉजी के शब्दकोश में दिखाई दी थीXXशतक। ग्राफ कहा जाता हैयूनिकर्सल , अगर इसे "एक झटके से खींचा जा सकता है," यानी। एक ही किनारे से दो बार गुजरे बिना, निरंतर गति में इन सभी से गुजरें।
इस प्रकार, कोनिग्सबर्ग ब्रिज समस्या का ग्राफ एकसमान नहीं है और इसलिए समस्या का कोई समाधान नहीं है।
शब्द "टोपोलॉजी" पहली बार उनके स्कूल शिक्षक मुलर को लिखे एक पत्र में दिखाई देता है, जिसे जर्मन गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी, गौटिंगेन विश्वविद्यालय के प्रोफेसर जोहान लिस्टिंग ने 1836 में लिखा था। सामान्य टोपोलॉजी, की उत्पत्तिउन्नीसवींसदी, अंततः दूसरी छमाही में एक स्वतंत्र गणितीय अनुशासन के रूप में गठित हुईXXशतक। यह काफी हद तक शिक्षाविद् पी.एस. के कार्यों से सुगम हुआ। अलेक्जेंड्रोवा।
वस्तुओं के टोपोलॉजिकल गुण
लोकप्रिय विज्ञान साहित्य में टोपोलॉजी को अक्सर रबर ज्यामिति कहा जाता है। इसे समझने के लिए, आपको यह कल्पना करने की आवश्यकता है कि एक ज्यामितीय वस्तु रबर से बनी है और साथ ही इसमें निम्नलिखित गुण हैं: इसे संपीड़ित किया जा सकता है, खींचा जा सकता है, मोड़ा जा सकता है (अर्थात सभी प्रकार के विरूपण के अधीन किया जा सकता है), लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है फटा हुआ और एक साथ चिपका हुआ।
उदाहरण के लिए, एक छोटी गेंद को फुलाकर बड़ी गेंद के आकार में लाया जा सकता है, फिर उसे दीर्घवृत्त में बदला जा सकता है, फिर डम्बल में विकृत किया जा सकता है।
चित्रकला 4वस्तुओं को विकृत करने की प्रक्रिया
इसी तरह, आप एक गेंद की सतह को घन, शंकु और अन्य आकृतियों की सतह में बदल सकते हैं। गणित में ऐसे गुण हैं जिनका किसी भी निरंतर विरूपण के तहत उल्लंघन नहीं किया जाता है। यह वही हैटोपोलॉजिकल गुण . टोपोलॉजी की शाखाओं में से एक, सामान्य टोपोलॉजी, इन गुणों का अध्ययन करती है।
स्कूल (यूक्लिडियन) ज्यामिति में जिन गुणों का अध्ययन किया जाता है वे टोपोलॉजिकल नहीं हैं। उदाहरण के लिए, सीधापन कोई टोपोलॉजिकल गुण नहीं है, क्योंकि एक सीधी रेखा मुड़ सकती है और टेढ़ी हो सकती है। त्रिकोणीयता भी एक टोपोलॉजिकल गुण नहीं है, क्योंकि एक त्रिकोण को लगातार एक वृत्त में विकृत किया जा सकता है।
खंडों की लंबाई, कोण, क्षेत्रफल - ये सभी अवधारणाएँ निरंतर परिवर्तनों के साथ बदलती रहती हैं। टोपोलॉजिकल संपत्ति का एक उदाहरण टोरस (डोनट) में एक "छेद" की उपस्थिति है। इसके अलावा, यह महत्वपूर्ण है कि छेद टोरस का हिस्सा न हो। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि टोरस कितनी निरंतर विकृति से गुजरता है, छेद बना रहेगा।
एकतरफ़ा सतहें
हममें से प्रत्येक को इस बात का अंदाज़ा है कि "सतह" क्या है। हम बस विभिन्न सतहों से घिरे हुए हैं: कागज की एक शीट की सतह, एक झील की सतह, ग्लोब की सतह...
एक नियम के रूप में, हम दो पक्षों वाली एक सतह की कल्पना करते हैं: बाहरी और भीतरी, आगे और पीछे, आदि। क्या ऐसी सामान्य अवधारणा में कुछ अप्रत्याशित और रहस्यमय भी हो सकता है? यह पता चला है कि यह कर सकता है.
1858 में, जर्मन गणितज्ञ और खगोलशास्त्री ऑगस्ट फर्डिनेंड मोबियस (1790-1868) ने एक सतह की खोज की जिसे बाद में "मोबियस स्ट्रिप" के रूप में जाना जाने लगा। किंवदंती के अनुसार, मोबियस को उसकी "पत्ती" खोजने में एक नौकरानी ने मदद की थी जिसने एक साधारण रिबन के सिरों को गलत तरीके से सिल दिया था।
मोबियस पट्टी एक किनारे वाली सबसे सरल एकतरफ़ा सतह है। ऐसी सतह के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक किनारों को पार किए बिना जाना संभव है।
आइए इस खोज को दोहराएँ। आइए अध्ययनाधीन सतह बनाएं और उसके गुणों का अध्ययन करें।
काम के लिए हमें कागज की एक A4 शीट, एक रूलर, एक पेंसिल, कैंची और गोंद चाहिए।
चित्रकला 5औजार
कागज की एक शीट पर 4 सेमी चौड़ी दो पट्टियां बनाएं और उन्हें काट लें। ये रिक्त स्थान होंगे जिनसे हम अपना टेप (शीट) बनाएंगे।
चित्रकला 6रिक्त बनाना
एक पट्टी से हम एक साधारण अंगूठी चिपकाएंगे, और दूसरी से - एक मोबियस पट्टी। ऐसा करने के लिए, दूसरी पट्टी को आधा मोड़ें और सिरों को एक साथ चिपका दें।
चित्रकला 7कार्य के चरण
यही तो हमें मिलना चाहिए.
चित्रकला 8कार्य का परिणाम
आइए परिणामी आकृतियों के गुणों पर शोध करना शुरू करें। मोबियस पट्टी के सामने वाले हिस्से को पिछले हिस्से से अलग करना असंभव है। वे लगातार एक-दूसरे में परिवर्तित होते रहते हैं। अंगूठी के विभिन्न किनारों को अलग-अलग रंगों से रंगने के कार्य में कोई कठिनाई नहीं होगी। आइए इसे एक सरल उदाहरण से देखें। एक फेल्ट-टिप पेन लें, एक बिंदु चिह्नित करें और एक तरफ लगातार पेंटिंग करना शुरू करें। आप देखेंगे कि केवल इसकी आंतरिक सतह पर ही रंग किया जाएगा।
चित्रकला 9अंगूठी का रंग
लेकिन क्या यह हमारे दूसरे पेपर ऑब्जेक्ट के लिए सच होगा? आइए प्रयोग को दोहराएं, प्रयोगात्मक सतह के रूप में एक अंगूठी नहीं, बल्कि एक मोबियस पट्टी चुनें।
चित्रकला 10मोबियस पट्टी को रंगना
आप देखिए कि पूरी शीट रंगीन हो गई है. लेकिन हमने अभी भी फेल्ट-टिप पेन को केवल एक तरफ ही खींचा है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैंकि जिस पट्टी से मोबियस पट्टी बनाई जाती है उसके दो किनारे होते हैं, और पट्टी में एक पक्ष होता है .
यदि हम मोबियस पट्टी के किनारे के साथ आगे बढ़ते हैं, तो एक पूर्ण मोड़ के बाद हम खुद को दूसरे किनारे पर पाएंगे और विपरीत दिशा से आएंगे।
आइए अपना शोध जारी रखें और इस प्रश्न पर विचार करें कि हमारी दो आकृतियाँ (अंगूठी और मोबियस पट्टी) कटने पर कैसा व्यवहार करेंगी। यदि आप रिंग को मध्य रेखा के साथ काटते हैं, तो आपको दो संकरी रिंग मिलेंगी
चित्रकला 11अंगूठी काटना
चित्रकला 12रिंग कटिंग का परिणाम
यदि आप मोबियस पट्टी को मध्य रेखा के साथ काटते हैं, तो यह दो रिंगों में विभाजित नहीं होगी, जैसा कि रिंग प्रयोग में हुआ था। हमें एक अंगूठी मिलेगी, लेकिन दोगुनी लंबी (परिणामस्वरूप अंगूठी में दो तरफा सतह होगी)।
चित्रकला 13मध्य रेखा के साथ मोबियस पट्टी काटना
यदि आप मोबियस पट्टी को किनारे के निकट स्थित रेखा के साथ काटते हैं तो क्या होता है? कट की शुरुआत तक पहुंचने के लिए, हमें इस शीट को मध्य रेखा के साथ काटने में दोगुना समय लगाना होगा। आपको दो इंटरलॉकिंग रिंग मिलेंगी, एक बड़ी और संकीर्ण, और दूसरी छोटी और चौड़ी। सबसे दिलचस्प तथ्य यह है कि बड़ी अंगूठी में एक तरफा सतह होगी, और छोटी अंगूठी में दो तरफा सतह होगी।
यदि आप एक मोबियस पट्टी बनाते हैं जिसे 3 आधे मोड़ (540 डिग्री) पर घुमाया जाता है, और फिर इसे आधे में काट दिया जाता है, तो आपको एक गाँठ में मुड़ी हुई मोबियस पट्टी मिलेगी।
आप दिलचस्प चीजें प्राप्त कर सकते हैं यदि आप कागज को एक अकॉर्डियन की तरह मोड़ें, फिर उसमें से एक मोबियस पट्टी बनाएं और इसे आधा या एक तिहाई में काट लें। तीन इंटरलॉकिंग रिंग हमारे सामने आएंगी।
इस आकृति के गुणों के शोधकर्ताओं के रूप में, हम इस प्रश्न में रुचि रखते थे: क्या मोबियस पट्टी बनाना हमेशा संभव है? यह पता चला कि यदि हम कागज की एक चौकोर शीट लेते हैं और उसमें से एक पट्टी काटते हैं, तो हम वह आंकड़ा प्राप्त नहीं कर पाएंगे जिसमें हम रुचि रखते हैं।
फिर एक नया प्रश्न उठता है: पट्टी की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात क्या होना चाहिए ताकि इसका उपयोग हमेशा मोबियस पट्टी प्राप्त करने के लिए किया जा सके? यह गणितीय रूप से सिद्ध हो चुका है कि यदि हम पट्टी की चौड़ाई 1 मानते हैं, तो लंबाई 1.73 होनी चाहिए।
टोपोलॉजी का व्यावहारिक अनुप्रयोग
जब वे टोपोलॉजी के बारे में बात करते हैं, तो मोबियस स्ट्रिप पहली चीज़ है जो इस मुद्दे से परिचित व्यक्ति के दिमाग में आती है। इसलिए, मानव गतिविधि की विभिन्न शाखाओं में इस विज्ञान के व्यावहारिक अनुप्रयोग के क्षेत्र में, इस विशेष आकृति का उपयोग सबसे अधिक बार सामने आता है।
मोबियस पट्टी के अद्भुत गुण लेखकों और कवियों के लिए प्रेरणा स्रोत के रूप में काम करते हैं। उदाहरण के तौर पर, मैं नतालिया इवानोवा की एक कविता का एक संक्षिप्त अंश देना चाहूंगा:
मोएबियस पट्टी गणित का प्रतीक है,
जो सर्वोच्च ज्ञान के मुकुट के रूप में कार्य करता है...
यह अचेतन रोमांस से भरपूर है:
इसमें अनंत को एक वलय में घुमाया गया है।
इसमें सरलता है, और इसके साथ जटिलता भी है,
जो बुद्धिमानों के लिए भी अप्राप्य है:
यहां विमान हमारी आंखों के सामने बदल गया है
आरंभ या अंत से रहित सतह में।
एडविन एबॉट की फ़्लैटलैंड और डेविड बर्गर द्वारा 1976 में लिखी गई इसकी अगली कड़ी स्फ़रलैंड को द्वि-आयामी अंतरिक्ष में जीवन के बारे में एक क्लासिक किताब माना जाता है।
फ़्लैटलैंडर द्वि-आयामी सतह के आकार वाले ग्रह पर रहता है। यदि उसका ब्रह्माण्ड एक अनंत तल है, तो वह किसी भी दिशा में कितनी भी दूरी तय कर सकता है। लेकिन यदि वह सतह जिस पर वह रहता है, एक गोले की तरह बंद है, तो वह असीमित और सीमित है।
फ़्लैटलैंडर जिस भी दिशा में जाए, सीधे चलते हुए और कहीं भी मुड़े बिना, वह निश्चित रूप से वहीं लौट आएगा जहां से उसने अपनी यात्रा शुरू की थी। जब एक फ्लैटलैंडर एक गोले पर दुनिया भर में यात्रा करता है, तो ऐसा लगता है जैसे वह एक अंगूठी में चिपकी हुई पट्टी के साथ घूम रहा है।
लेकिन अगर इस ग्रह का कोई निवासी मोबियस पट्टी के साथ यात्रा करता है, तो शुरुआती बिंदु पर लौटने पर, वह अपना दिल बाईं ओर नहीं, बल्कि दाईं ओर पाएगा! इसी तरह की स्थिति का वर्णन एच.जी. वेल्स की शानदार कहानी, "द प्लैटनर स्टोरी" में किया गया है। एक आदमी, चौथे आयाम में होने के बाद, अपने दर्पण के दोगुने के रूप में पृथ्वी पर लौटा - जिसका हृदय दाहिनी ओर स्थित था।
उत्पादन में, एक कन्वेयर बेल्ट मोबियस स्ट्रिप के रूप में बनाई जाती है। यह डिज़ाइन सुविधा आपको बेल्ट की सेवा जीवन को बढ़ाने की अनुमति देती है, क्योंकि इसकी सतह समान रूप से घिसती है।
चित्रकला 14वाहक पट्टा
अपेक्षाकृत हाल ही में, कंप्यूटर से प्रिंटिंग तक जानकारी आउटपुट करने का मुख्य उपकरण एक डॉट मैट्रिक्स प्रिंटर था। इसके प्रिंट हेड में स्याही रिबन को मोबियस पट्टी के रूप में भी व्यवस्थित किया गया था।
चित्रकला 15मैट्रिक्स प्रिंटर
चूँकि हम कंप्यूटर के बारे में बात कर रहे हैं, एक कंप्यूटर नेटवर्क का उपयोग कई मशीनों को एक साथ जोड़ने के लिए किया जाता है। नेटवर्क प्रौद्योगिकी के मूल शब्दों में से एक नेटवर्क टोपोलॉजी की अवधारणा है।टोपोलॉजी - कंप्यूटर नेटवर्क का एक सामान्य आरेख, जो कंप्यूटरों की भौतिक स्थिति और उनके बीच के कनेक्शन को दर्शाता है।
चित्रकला 16कंप्यूटर नेटवर्क टोपोलॉजी के उदाहरण
मोबियस पट्टी का आकार वास्तुकला में काफी सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है। आइये कुछ ऐसे ही उदाहरण देते हैं.
चित्रकला 18मोबियस स्ट्रिप पर आधारित लोगो
एक परिकल्पना है कि डीएनए सर्पिल स्वयं मोबियस स्ट्रिप का एक टुकड़ा है और यही कारण है कि आनुवंशिक कोड को समझना और समझना इतना कठिन है। इसके अलावा, ऐसी संरचना काफी तार्किक रूप से जैविक मृत्यु की शुरुआत का कारण बताती है - सर्पिल अपने आप बंद हो जाता है और आत्म-विनाश होता है।
चित्रकला 19डीएनए हेलिक्स
कलाकारों और ग्राफ़िक कलाकारों ने भी उस विषय को नज़रअंदाज़ नहीं किया जिसमें हमारी रुचि है। इस संबंध में संकेत डच ग्राफिक कलाकार का काम हैXXमौरिस एस्चर द्वारा शतक। वह अपने लिथोग्राफ के लिए जाने जाते हैं, जिसमें उन्होंने अनंतता और समरूपता के प्लास्टिक पहलुओं की उत्कृष्टता से खोज की।
उन्होंने अपने काम के बारे में कहा: "हालाँकि मैं सटीक विज्ञान से बिल्कुल अनभिज्ञ हूँ, लेकिन कभी-कभी मुझे ऐसा लगता है कि मैं अपने साथी कलाकारों की तुलना में गणितज्ञों के अधिक करीब हूँ।"
चित्रकला 20मौरिस एस्चर द्वारा लिथोग्राफ
निष्कर्ष
टोपोलॉजी सबसे नवीन एवं सर्वाधिक है
ज्यामिति की शक्तिशाली शाखा, स्पष्ट रूप से
फलदायक प्रभाव प्रदर्शित करता है
अंतर्ज्ञान और तर्क के बीच विरोधाभास.
रिचर्ड कूरेंट
अमेरिकी गणितज्ञ
एक रूसी लोक कहावत है: "अंत ही मामले का शिखर है।" तो टोपोलॉजी की आकर्षक और असामान्य दुनिया में मेरी छोटी यात्रा समाप्त हो गई है। यह जायजा लेने का समय है.
अपने काम के दौरान, मैं अपने लिए गणित के एक नए क्षेत्र - टोपोलॉजी से परिचित हुआ। मैंने इस विज्ञान द्वारा उपयोग की जाने वाली और गंभीर गणितीय प्रशिक्षण के बिना समझ में आने वाली कुछ सरलतम अवधारणाओं की जांच की।
व्यवहार में, उन्होंने सबसे प्रसिद्ध टोपोलॉजिकल सतह - मोबियस स्ट्रिप को फिर से बनाया और इसके सामान्य गुणों का अध्ययन किया। मैं मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में टोपोलॉजिकल सतहों के व्यावहारिक अनुप्रयोग से भी परिचित हो गया।
इस प्रकार, इस कार्य की शुरुआत में मेरे द्वारा निर्धारित सभी कार्य सफलतापूर्वक हल हो गए। मुझे आशा है कि भविष्य में गणित के इस क्षेत्र से मेरा परिचय इतना सतही नहीं होगा, जो मेरे गणितीय ज्ञान के संचय के साथ-साथ चुने हुए विषय पर काम जारी रखने का आधार प्रदान करता है।
ग्रंथ सूची
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प्रतिभाशाली बच्चों के लिए परियोजना: स्कार्लेट सेल्स [इलेक्ट्रॉनिक संसाधन] - एक्सेस मोड:एचटीटीपी:// nportal. आरयू/ एपी/ ब्लॉग/ वैज्ञानिक- तकनीकी- tvorchestvo/ सूची- myobiusa– अभिगमन तिथि: 01/18/2017
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बातचीत का विषय: टोपोलॉजी.
टोपोलॉजी (प्राचीन ग्रीक से τόπος - स्थान और λόγος - शब्द, सिद्धांत) गणित की एक शाखा है जो अपने सबसे सामान्य रूप में निरंतरता की घटना का अध्ययन करती है, विशेष रूप से अंतरिक्ष के गुणों का अध्ययन करती है जो निरंतर विकृतियों के तहत अपरिवर्तित रहते हैं, उदाहरण के लिए, कनेक्टिविटी, उन्मुखता. ज्यामिति के विपरीत, टोपोलॉजी वस्तुओं के मीट्रिक गुणों (उदाहरण के लिए, बिंदुओं की एक जोड़ी के बीच की दूरी) पर विचार नहीं करती है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, एक वृत्त और एक डोनट (ठोस टोरस) अप्रभेद्य हैं।
लेकिन यह गणित में है. किरदारों के साथ चीजें कैसी चल रही हैं? मुझे इसे अपने शब्दों में कहने दीजिए.
टोपोलॉजी एक जाल की विकृतियों पर सही ढंग से प्रतिक्रिया करने की क्षमता है। चाहे वह एनीमेशन हो, कम्प्रेशन हो, स्ट्रेचिंग हो या अन्य प्रकार की विकृति हो। यह किसी पात्र के बहुभुज जाल का सक्षम रूप से निर्माण करके प्राप्त किया जाता है। इसके लिए कुछ नियम हैं. आप उनमें से कुछ से स्वयं को परिचित कर सकते हैं।
एक अवधारणा यह भी है पुन: टोपोलॉजी. यथासंभव वस्तु के आकार को संरक्षित करते हुए टोपोलॉजिकल जाल को बदलना। रेटोपोलॉजी का उद्देश्य पिछली (गलत) टोपोलॉजी को ठीक करना और/या बहुभुजों की संख्या को कम करना है।
लगभग सभी आधुनिक 3डी ग्राफ़िक्स पैकेजों में रेटोपोलॉजी के लिए उपकरण होते हैं। मैंने व्यक्तिगत रूप से प्रयास किया:
1. माया - मानक उपकरण और प्लगइन्स दोनों।
2. अधिकतम - मानक उपकरण (डरावनी), प्लगइन्स और स्क्रिप्ट (मुझे रैपिट पसंद आया, लेकिन फिर उतना नहीं)
3. ज़ब्रुश - तंग और असुविधाजनक..
4. टोपोगुन - आख़िरकार मुझे कुछ पसंद आया... अगर मैं उससे नहीं मिला होता
5. 3DCoat... यहां मुझे एहसास हुआ कि यह अब तक रेटोपोलॉजी और यूवी अनरैपिंग के लिए सबसे सुविधाजनक है... हालांकि पहले इसे समझना मुश्किल था... लेकिन जब मैंने प्रोग्राम के सिद्धांत को समझा - तो यही है यह... अब रेटोपोलॉजी ही इसके बारे में है। (इसे विज्ञापन के रूप में न लें।)
खैर, जब से यह शराब शुरू हुई है, मैं टोपोलॉजी के विषय पर अपनी कुछ तस्वीरें पोस्ट करूंगा।
सिर और चेहरा
मुझे इस सिर का एक पुराना रेंडर मिला।
एक मानवीय चरित्र के चेहरे की टोपोलॉजी। आप उससे एक महिला और एक बच्चा दोनों बना सकते हैं... एक पुरुष का तो जिक्र ही नहीं।
और यहाँ प्रमाण है. जल्दी से, लेकिन स्पष्ट रूप से किया गया।
इसलिए। एक आदमी, एक योगिनी, एक प्राणी, एक औरत, और लगभग 15 साल की एक लड़की...
मैं यह दावा नहीं करता कि यह एकमात्र सक्षम टोपोलॉजी है, और इसे करने का यही एकमात्र तरीका है।
कुछ स्टूडियो आँखें बंद करके पात्रों का मॉडल बनाते हैं। इससे आप आंख बंद करते समय कुछ समस्याओं से छुटकारा पा सकते हैं, और गाल विकृत होने पर पलक की विकृति से बच सकते हैं।
कलाई।
मैं इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करता हूं कि यहां शिखर हैं जो 6 हेजहोग को समायोजित कर सकते हैं ... लेकिन इन स्थानों में कोई समस्या नहीं है क्योंकि विकृतियां न्यूनतम हैं। स्वाभाविक रूप से, इस ब्रश से आप किसी महिला, पुरुष, बच्चे... या किसी का भी हाथ बना सकते हैं...
खोपड़ी.
नर खोपड़ी. नर और मादा खोपड़ी के बीच कई अंतर हैं।
अंतर इस प्रकार हैं:
नर और मादा खोपड़ी में कई अंतर होते हैं। अर्थात्:
1. नर की खोपड़ी मादा की तुलना में अधिक विशाल होती है और इसका आकार चौकोर होता है। महिला की खोपड़ी थोड़ी ऊपर की ओर नुकीली और अधिक गोल है।
2. महिला की खोपड़ी में आंख के गर्तिका का ऊपरी किनारा थोड़ा नुकीला होता है, जबकि पुरुष में इसका घुमाव चिकना होता है
3. विकास के परिणामस्वरूप चेहरे की मांसपेशियां अधिक विकसित हो गई हैं। नतीजतन, वह स्थान जहां मांसपेशियां खोपड़ी से जुड़ती हैं वह पुरुषों में अधिक ध्यान देने योग्य होता है। आख़िरकार, एक योद्धा और एक शिकारी को युद्ध और संघर्ष के लिए शक्तिशाली जबड़ों की आवश्यकता होती है।
4. पुरुष का मजबूत निचला जबड़ा चौकोर आकार का होता है, जबकि महिला का गोलाकार।
5. पुरुषों की खोपड़ी की गहराई महिलाओं की तुलना में अधिक होती है। यह सापेक्ष सुरक्षा प्रदान करता है.
6. नर खोपड़ी पर भौंह की लकीरें काफ़ी अधिक उभरी हुई होती हैं। वे आपकी आँखों को सीधी धूप से बचाते हैं।
7. पुरुषों के कुत्ते महिलाओं की तुलना में बहुत बड़े होते हैं। योद्धा और शिकारी को चलते समय खाने के लिए मजबूर किया जाता था, और इसलिए, वे सक्रिय रूप से भोजन चबाते थे और यह काम बहुत जल्दी करते थे।
हाथ और शरीर.
यदि शरीर महिला है या स्पष्ट रूप से परिभाषित मांसपेशियों के बिना है, तो आप मांसपेशियों को बनाने वाले आवर्धक चश्मे को अनदेखा कर सकते हैं। यह बात हाथों पर लागू होती है। मैं आपका ध्यान सफ़ेद बहुभुजों की ओर आकर्षित करता हूँ। वे पेक्टोरल मांसपेशी के नीचे से आते हैं और डेल्टोइड के चारों ओर जाते हैं।
