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त्रिभुजों का न्यूनकोण, समकोण तथा अधिककोण में विभाजन। पक्षानुपात के आधार पर वर्गीकरण त्रिभुजों को विषमबाहु, समबाहु और समद्विबाहु में विभाजित करता है। इसके अलावा, प्रत्येक त्रिभुज एक साथ दो से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, यह एक ही समय में आयताकार और बहुमुखी हो सकता है।
कोनों के प्रकार से प्रकार का निर्धारण करते समय, बहुत सावधान रहें। अधिककोण त्रिभुज ऐसे त्रिभुज को कहा जाएगा जिसका एक कोण 90 डिग्री से अधिक हो। एक समकोण त्रिभुज की गणना एक समकोण (90 डिग्री के बराबर) से की जा सकती है। हालाँकि, किसी त्रिभुज को न्यूनकोण के रूप में वर्गीकृत करने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि इसके तीनों कोण न्यूनकोण हैं।
दृश्य को परिभाषित करना त्रिकोणपहलू अनुपात के आधार पर, सबसे पहले आपको तीनों भुजाओं की लंबाई पता करनी होगी। हालाँकि, यदि शर्त के अनुसार भुजाओं की लंबाई आपको नहीं दी गई है, तो कोण आपकी मदद कर सकते हैं। एक त्रिभुज बहुमुखी होगा, जिसकी तीनों भुजाएँ हों अलग-अलग लंबाई. यदि भुजाओं की लंबाई अज्ञात है, तो एक त्रिभुज को स्केलीन के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है यदि इसके तीनों कोण अलग-अलग हैं। एक विषमबाहु त्रिभुज अधिककोण, समकोण या न्यूनकोण हो सकता है।
एक त्रिभुज समद्विबाहु होता है यदि उसकी तीन में से दो भुजाएँ बराबर हों। यदि भुजाओं की लंबाई आपको नहीं दी गई है, तो दो समान कोणों द्वारा निर्देशित रहें। एक समद्विबाहु त्रिभुज, विषमकोण की तरह, अधिक कोण वाला, समकोण और न्यून कोण वाला हो सकता है।
एक समबाहु त्रिभुज केवल ऐसा हो सकता है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई समान हो। इसके सभी कोण भी एक दूसरे के बराबर हैं और उनमें से प्रत्येक 60 डिग्री के बराबर है। इससे यह स्पष्ट है कि समबाहु त्रिभुज सदैव न्यून कोण वाले होते हैं।
सलाह 2: अधिक और न्यून त्रिभुज की पहचान कैसे करें
बहुभुजों में सबसे सरल त्रिभुज है। यह एक ही तल में स्थित, लेकिन एक ही सीधी रेखा पर नहीं, खंडों द्वारा जोड़े में जुड़े तीन बिंदुओं की मदद से बनता है। हालाँकि, त्रिकोण हैं अलग - अलग प्रकार, जिसका अर्थ है कि उनके पास है विभिन्न गुण.
अनुदेश
यह तीन प्रकारों में अंतर करने की प्रथा है: कुंठित, तीव्र और आयताकार। यह कोनों की तरह है. अधिक त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसका एक कोण अधिक कोण होता है। अधिक कोण वह होता है जो नब्बे डिग्री से अधिक लेकिन एक सौ अस्सी डिग्री से कम होता है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC में, कोण ABC 65° है, कोण BCA 95° है, और कोण CAB 20° है। कोण ABC और CAB 90° से कम हैं, लेकिन कोण BCA बड़ा है, इसलिए त्रिभुज अधिक कोण है।
न्यूनकोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसके सभी कोण न्यूनकोण होते हैं। न्यून कोण वह होता है जो नब्बे डिग्री से कम और शून्य डिग्री से अधिक होता है। उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC में, कोण ABC 60° है, कोण BCA 70° है, और कोण CAB 50° है। तीनों कोण 90° से कम हैं, इसलिए यह एक त्रिभुज है। यदि आप जानते हैं कि किसी त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो इसका मतलब है कि सभी कोण भी एक-दूसरे के बराबर होते हैं, और साथ ही वे साठ डिग्री के बराबर होते हैं। तदनुसार, ऐसे त्रिभुज में सभी कोण नब्बे डिग्री से कम होते हैं, और इसलिए ऐसा त्रिभुज न्यूनकोण होता है।
यदि किसी त्रिभुज में एक कोण नब्बे डिग्री के बराबर है, तो इसका मतलब है कि यह चौड़े कोण प्रकार या न्यून कोण प्रकार से संबंधित नहीं है। यह एक समकोण त्रिभुज है.
यदि त्रिभुज का प्रकार पहलू अनुपात द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो वे समबाहु, विषमबाहु और समद्विबाहु होंगे। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाएँ समान होती हैं, और यह, जैसा कि आपने पाया, इंगित करता है कि त्रिभुज न्यूनकोण है। यदि किसी त्रिभुज में केवल दो समान भुजाएँ हैं या यदि भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो यह अधिककोण, समकोण या न्यूनकोण हो सकता है। इसलिए, इन मामलों में, पैराग्राफ 1, 2 या 3 के अनुसार, कोणों की गणना या माप करना और निष्कर्ष निकालना आवश्यक है।
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स्रोत:
- कुंठित त्रिकोण
दो या दो से अधिक त्रिभुजों की समानता उस स्थिति से मेल खाती है जब इन त्रिभुजों की सभी भुजाएँ और कोण बराबर हों। हालाँकि, इस समानता को सिद्ध करने के लिए कई सरल मानदंड हैं।
आपको चाहिये होगा
- ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक, कागज की शीट, साधारण पेंसिल, चांदा, रूलर।
अनुदेश
अपनी सातवीं कक्षा की ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक को त्रिभुजों की समानता के चिह्नों वाले पैराग्राफ में खोलें। आप देखेंगे कि ऐसे कई बुनियादी चिह्न हैं जो दो त्रिभुजों की समानता को सिद्ध करते हैं। यदि दो त्रिभुज जिनकी समानता का परीक्षण किया जा रहा है वे मनमाने हैं, तो उनके लिए तीन मुख्य समानता मानदंड हैं। यदि कोई ज्ञात हो अतिरिक्त जानकारीत्रिभुजों के बारे में, तो मुख्य तीन चिह्नों को कई अन्य चिह्नों द्वारा पूरक किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह समकोण त्रिभुजों की समानता के मामले में लागू होता है।
त्रिभुजों की समानता के बारे में पहला नियम पढ़ें। जैसा कि ज्ञात है, यह हमें त्रिभुजों को समान मानने की अनुमति देता है यदि यह सिद्ध किया जा सके कि दो त्रिभुजों का कोई एक कोण और दो आसन्न भुजाएँ समान हैं। इस नियम को समझने के लिए कागज की एक शीट पर चांदे की सहायता से एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों से बने दो समान निश्चित कोण बनाएं। दोनों मामलों में खींचे गए कोने के शीर्ष से समान भुजाओं को रूलर से मापें। चांदे का उपयोग करके, दो बने त्रिभुजों के कोणों को मापें, सुनिश्चित करें कि वे बराबर हैं।
त्रिभुजों की समानता की कसौटी को समझने के लिए ऐसे व्यावहारिक उपायों का सहारा न लेने के लिए, समानता की पहली कसौटी का प्रमाण पढ़ें। तथ्य यह है कि त्रिभुजों की समानता के बारे में प्रत्येक नियम का एक सख्त सैद्धांतिक प्रमाण है, नियमों को याद रखने के लिए इसका उपयोग करना सुविधाजनक नहीं है।
त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिह्न पढ़ें। इसमें कहा गया है कि दो त्रिभुज सर्वांगसम होंगे यदि ऐसे दो त्रिभुजों की कोई एक भुजा और दो आसन्न कोण सर्वांगसम हों। याद रखने के लिए यह नियम, त्रिभुज की खींची गई भुजा और उससे सटे दो कोनों की कल्पना करें। कल्पना करें कि कोनों की भुजाओं की लंबाई धीरे-धीरे बढ़ती है। अंततः, वे एक-दूसरे को काटेंगे और तीसरा कोण बनाएंगे। इस मानसिक कार्य में, यह महत्वपूर्ण है कि मानसिक रूप से बढ़ी हुई भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु, साथ ही परिणामी कोण, तीसरी भुजा और उससे सटे दो कोणों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।
यदि आपको अध्ययनाधीन त्रिभुजों के कोणों के बारे में कोई जानकारी नहीं दी गई है, तो त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरे परीक्षण का उपयोग करें। इस नियम के अनुसार, दो त्रिभुज समान माने जाते हैं यदि उनमें से एक की तीनों भुजाएँ दूसरे की संगत तीन भुजाओं के बराबर हों। इस प्रकार, यह नियम कहता है कि त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई विशिष्ट रूप से त्रिभुज के सभी कोणों को निर्धारित करती है, जिसका अर्थ है कि वे विशिष्ट रूप से त्रिभुज को ही निर्धारित करते हैं।
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आज हम जा रहे हैं ज्यामिति के देश में, जहां हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।
ज्यामितीय आकृतियों की जांच करें और उनमें से "अतिरिक्त" खोजें (चित्र 1)।
चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण
हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।
चावल। 2. चतुर्भुज
इसका मतलब है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।
चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण
त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंड होते हैं।
बिन्दु कहलाते हैं त्रिकोण शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।
त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।त्रिभुजों को कोण के अनुसार वर्गीकृत किया गया है तीव्र, आयताकार और कुंठित.
एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90° से कम हों (चित्र 4)।
चावल। 4. न्यूनकोण त्रिभुज
एक त्रिभुज समकोण कहलाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।
चावल। 5. समकोण त्रिभुज
एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण अधिक कोण हो, अर्थात 90° से अधिक हो (चित्र 6)।
चावल। 6. अधिक त्रिभुज
समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।
चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज
इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर बने कोण बराबर होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .
चावल। 8. न्यून एवं अधिक समद्विबाहु त्रिभुज
समबाहु त्रिभुज उसे कहते हैं, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।
चावल। 9. समबाहु त्रिभुज
एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा न्यूनकोण.
बहुमुखी त्रिभुज उस त्रिभुज को कहा जाता है, जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है (चित्र 10)।
चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज
कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में विभाजित करें (चित्र 11)।
चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण
सबसे पहले, आइए कोणों के आकार के अनुसार वितरित करें।
न्यूनकोण त्रिभुज: क्रमांक 1, क्रमांक 3.
समकोण त्रिभुज: #2, #6.
अधिक त्रिभुज: #4, #5.
इन त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में विभाजित किया गया है।
स्केलीन त्रिकोण: संख्या 4, संख्या 6।
समद्विबाहु त्रिभुज: क्रमांक 2, क्रमांक 3, क्रमांक 5।
समबाहु त्रिभुज: क्रमांक 1.
रेखाचित्रों की समीक्षा करें.
इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (चित्र 12)।
चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण
आप इस तरह बहस कर सकते हैं.
तार के पहले टुकड़े को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। इसे चित्र में तीसरे स्थान पर दिखाया गया है।
तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग हिस्सों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक स्केलीन त्रिकोण बना सकें। इसे चित्र में सबसे पहले दिखाया गया है।
तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में विभाजित किया गया है, जहां दोनों भागों की लंबाई समान है, इसलिए आप इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बना सकते हैं। इसे चित्र में दूसरे स्थान पर दिखाया गया है।
आज पाठ में हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित हुए।
ग्रन्थसूची
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गृहकार्य
1. वाक्यांश समाप्त करें.
a) त्रिभुज एक आकृति है जिसमें ..., एक ही सीधी रेखा पर नहीं, और ..., इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।
ख) अंक कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….
ग) कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज हैं..., ..., ....
d) समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज हैं..., ..., ....
2. ड्रा
ए) एक समकोण त्रिभुज
बी) एक तीव्र त्रिकोण;
ग) एक अधिक त्रिभुज;
घ) एक समबाहु त्रिभुज;
ई) स्केलीन त्रिकोण;
ई) एक समद्विबाहु त्रिभुज।
3. अपने साथियों के लिए पाठ के विषय पर एक कार्य बनाएं।
ज्यामिति का विज्ञान हमें बताता है कि त्रिभुज, वर्ग, घन क्या है। में आधुनिक दुनियाबिना किसी अपवाद के सभी स्कूलों में इसका अध्ययन करते हैं। इसके अलावा, एक विज्ञान जो सीधे अध्ययन करता है कि त्रिकोण क्या है और इसमें क्या गुण हैं त्रिकोणमिति है। वह डेटा से जुड़ी सभी घटनाओं का विस्तार से पता लगाती है। हम आज अपने लेख में बात करेंगे कि त्रिकोण क्या है। उनके प्रकारों का वर्णन नीचे किया जाएगा, साथ ही उनसे संबंधित कुछ प्रमेयों का भी वर्णन किया जाएगा।
त्रिभुज क्या है? परिभाषा
यह एक समतल बहुभुज है. इसके तीन कोने हैं, जो इसके नाम से ही स्पष्ट है। इसकी तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष भी हैं, जिनमें से पहला खंड है, दूसरा बिंदु है। यह जानते हुए कि दो कोण किसके बराबर हैं, आप संख्या 180 में से पहले दो का योग घटाकर तीसरा कोण ज्ञात कर सकते हैं।
त्रिभुज क्या हैं?
इन्हें विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है।
सबसे पहले, उन्हें न्यून कोण, अधिक कोण और आयताकार में विभाजित किया गया है। पहले में न्यूनकोण होते हैं, अर्थात् वे जो 90 डिग्री से कम होते हैं। अधिक कोणों में, एक कोण अधिक कोण होता है, अर्थात एक जो 90 डिग्री से अधिक के बराबर होता है, अन्य दो न्यून कोण होते हैं। न्यूनकोण त्रिभुजों में समबाहु त्रिभुज भी शामिल होते हैं। ऐसे त्रिभुजों की सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। वे सभी 60 डिग्री के बराबर हैं, इसकी गणना सभी कोणों के योग (180) को तीन से विभाजित करके आसानी से की जा सकती है।
सही त्रिकोण
समकोण त्रिभुज क्या है इसके बारे में बात न करना असंभव है।
ऐसी आकृति का एक कोण 90 डिग्री (सीधा) के बराबर होता है, अर्थात इसकी दो भुजाएँ लंबवत होती हैं। अन्य दो कोण न्यूनकोण हैं। वे बराबर हो सकते हैं, फिर यह समद्विबाहु होगा। पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज से संबंधित है। इसकी मदद से आप पहले दो को जानकर तीसरा पक्ष ढूंढ सकते हैं। इस प्रमेय के अनुसार, यदि आप एक पैर के वर्ग को दूसरे पैर के वर्ग में जोड़ते हैं, तो आप कर्ण का वर्ग प्राप्त कर सकते हैं। पैर के वर्ग की गणना ज्ञात पैर के वर्ग को कर्ण के वर्ग से घटाकर की जा सकती है। त्रिभुज क्या है इसके बारे में बोलते हुए, हम समद्विबाहु को याद कर सकते हैं। यह वह है जिसकी दो भुजाएँ बराबर हैं और दो कोण भी बराबर हैं।
पैर और कर्ण क्या है?
पैर त्रिभुज की उन भुजाओं में से एक है जो 90 डिग्री का कोण बनाती है। कर्ण शेष भुजा है जो समकोण के विपरीत है। इससे पैर पर एक लम्ब उतारा जा सकता है। आसन्न पाद और कर्ण के अनुपात को कोज्या कहा जाता है, और विपरीत पाद को ज्या कहा जाता है।
- इसकी विशेषताएं क्या हैं?
यह आयताकार है. इसके पैर तीन और चार हैं और कर्ण पाँच है। यदि आपने देखा कि इस त्रिभुज के पैर तीन और चार के बराबर हैं, तो आप निश्चिंत हो सकते हैं कि कर्ण पाँच के बराबर होगा। साथ ही, इस सिद्धांत के अनुसार, यह आसानी से निर्धारित किया जा सकता है कि पैर तीन के बराबर होगा यदि दूसरा चार के बराबर है, और कर्ण पांच के बराबर है। इस कथन को सिद्ध करने के लिए, आप पाइथागोरस प्रमेय को लागू कर सकते हैं। यदि दो पैर 3 और 4 हैं, तो 9 + 16 = 25, 25 का मूल 5 है, अर्थात कर्ण 5 है। इसके अलावा, मिस्र के त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है, जिसकी भुजाएँ 6, 8 और 10 हैं ; 9, 12 और 15 और अन्य संख्याएँ जिनका अनुपात 3:4:5 है।
त्रिभुज और क्या हो सकता है?
त्रिभुजों को अंकित और परिचालित भी किया जा सकता है। वह आकृति जिसके चारों ओर वृत्त का वर्णन किया गया है, अंकित कहलाती है, इसके सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। परिबद्ध त्रिभुज वह है जिसमें एक वृत्त अंकित होता है। इसके सभी पक्ष कुछ बिंदुओं पर इसके संपर्क में हैं।
कैसा है
किसी भी आकृति का क्षेत्रफल मापा जाता है वर्ग इकाइयाँ(वर्ग मीटर, वर्ग मिलीमीटर, वर्ग सेंटीमीटर, वर्ग डेसीमीटर, आदि) इस मान की गणना त्रिकोण के प्रकार के आधार पर विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। कोणों वाली किसी भी आकृति का क्षेत्रफल उसकी भुजा को विपरीत कोण से उस पर डाले गए लंब से गुणा करके और इस आकृति को दो से विभाजित करके पाया जा सकता है। आप दोनों पक्षों को गुणा करके भी यह मान ज्ञात कर सकते हैं। फिर इस संख्या को इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा करें और इसे दो से विभाजित करें। किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को जानते हुए, लेकिन उसके कोणों को न जानते हुए, आप दूसरे तरीके से क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको आधी परिधि ढूंढनी होगी। फिर इस संख्या में से बारी-बारी से घटाएं अलग-अलग पक्षऔर परिणामी चार मानों को गुणा करें। इसके बाद, जो संख्या सामने आई उसका पता लगाएं। एक उत्कीर्ण त्रिभुज का क्षेत्रफल सभी भुजाओं को गुणा करके और परिणामी संख्या को जिसके चारों ओर परिचालित है, चार गुना से विभाजित करके पाया जा सकता है।
वर्णित त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार पाया जाता है: हम परिधि के आधे हिस्से को उसमें अंकित वृत्त की त्रिज्या से गुणा करते हैं। यदि तब इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है: हम भुजा का वर्ग करते हैं, परिणामी आकृति को तीन के मूल से गुणा करते हैं, फिर इस संख्या को चार से विभाजित करते हैं। इसी प्रकार, आप एक त्रिभुज की ऊँचाई की गणना कर सकते हैं जिसमें सभी भुजाएँ समान हैं, इसके लिए उनमें से एक को तीन के मूल से गुणा करना होगा, और फिर विभाजित करना होगा दिया गया नंबरदो के लिए।
त्रिभुज प्रमेय
इस आकृति से जुड़े मुख्य प्रमेय ऊपर वर्णित पाइथागोरस प्रमेय और कोसाइन हैं। दूसरा (साइन) यह है कि यदि आप किसी भी भुजा को उसके विपरीत कोण की साइन से विभाजित करते हैं, तो आप उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या को दो से गुणा कर सकते हैं। तीसरा (कोज्या) यह है कि यदि दोनों भुजाओं के वर्गों के योग को उनके गुणनफल में से दो से गुणा करके तथा उनके बीच स्थित कोण की कोज्या को घटा दिया जाए तो तीसरी भुजा का वर्ग प्राप्त होगा।
डाली त्रिकोण - यह क्या है?
इस अवधारणा का सामना करने वाले कई लोग पहले सोचते हैं कि यह ज्यामिति में किसी प्रकार की परिभाषा है, लेकिन ऐसा बिल्कुल नहीं है। डाली त्रिकोण है साधारण नामतीन स्थान जो प्रसिद्ध कलाकार के जीवन से निकटता से जुड़े हुए हैं। इसके "शीर्ष" वह घर हैं जहां साल्वाडोर डाली रहते थे, वह महल जो उन्होंने अपनी पत्नी को दिया था, और अतियथार्थवादी चित्रों का संग्रहालय। इन जगहों की सैर के दौरान आप बहुत कुछ सीख सकते हैं। रोचक तथ्यपूरी दुनिया में मशहूर इस अजीबोगरीब रचनात्मक कलाकार के बारे में।
गणित का अध्ययन करते समय छात्र विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों से परिचित होने लगते हैं। आज हम बात करेंगे विभिन्न प्रकार केत्रिभुज।
परिभाषा
ज्यामितीय आकृतियाँ जिनमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, त्रिभुज कहलाते हैं।
बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंडों को भुजाएँ कहा जाता है, और बिंदुओं को शीर्ष कहा जाता है। शीर्षों को बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: ए, बी, सी।
भुजाओं को उन दो बिंदुओं के नाम से दर्शाया जाता है जिनसे वे बने हैं - एबी, बीसी, एसी। प्रतिच्छेद करते हुए भुजाएँ कोण बनाती हैं। निचला भाग आकृति का आधार माना जाता है।
चावल। 1. त्रिभुज एबीसी।
त्रिभुजों के प्रकार
त्रिभुजों को कोणों और भुजाओं के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज के अपने गुण होते हैं।
कोनों में तीन प्रकार के त्रिभुज होते हैं:
- तीव्र कोण वाला;
- आयताकार;
- कुंठित.
सभी कोण तीव्र कोणत्रिभुज न्यूनकोण हैं, अर्थात् डिग्री मापप्रत्येक 90 0 से अधिक नहीं है।
आयताकारत्रिभुज में एक समकोण होता है। अन्य दो कोण सदैव न्यूनकोण होंगे, क्योंकि अन्यथा त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक हो जाएगा, जो असंभव है। जो भुजा समकोण के विपरीत होती है उसे कर्ण कहते हैं और अन्य दो पाद। कर्ण हमेशा पैर से बड़ा होता है।
कुंठितत्रिभुज में एक अधिककोण है। यानी 90 डिग्री से बड़ा कोण. ऐसे त्रिभुज में अन्य दो कोण न्यूनकोण होंगे।
चावल। 2. कोनों में त्रिभुजों के प्रकार.
पाइथागोरस त्रिभुज एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3, 4, 5 हैं।
इसके अलावा, बड़ा पक्ष कर्ण है।
इन त्रिभुजों का उपयोग अक्सर बनाने के लिए किया जाता है सरल कार्यज्यामिति में. इसलिए, याद रखें: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 हैं, तो तीसरी भुजाएँ निश्चित रूप से 5 होंगी। इससे गणना सरल हो जाएगी।
भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार:
- समबाहु;
- समद्विबाहु;
- बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।
समभुजत्रिभुज वह त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। ऐसे त्रिभुज के सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं, अर्थात यह सदैव न्यूनकोण होता है।
समद्विबाहुत्रिभुज एक त्रिभुज है जिसकी केवल दो समान भुजाएँ होती हैं। इन पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और तीसरे को आधार कहा जाता है। इसके अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर और हमेशा न्यून कोण होते हैं।
बहुमुखीया एक मनमाना त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसमें सभी लंबाई और सभी कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं।
यदि समस्या में आंकड़ों के बारे में कोई स्पष्टीकरण नहीं है, तो यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है हम बात कर रहे हैंएक मनमाना त्रिभुज के बारे में.
चावल। 3. भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार।
एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग, चाहे उसका प्रकार कुछ भी हो, 1800 होता है।
बड़े कोण के विपरीत बड़ी भुजा होती है। और किसी भी भुजा की लंबाई हमेशा उसकी अन्य दो भुजाओं के योग से कम होती है। इन गुणों की पुष्टि त्रिभुज असमानता प्रमेय द्वारा की जाती है।
एक स्वर्णिम त्रिभुज की अवधारणा है. यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें दो भुजाएँ आधार के समानुपाती और एक निश्चित संख्या के बराबर होती हैं। ऐसी आकृति में, कोण 2:2:1 के अनुपात के समानुपाती होते हैं।
काम:
क्या कोई त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 3 सेमी, 4 सेमी हैं?
समाधान:
इस समस्या को हल करने के लिए, आपको असमानता a का उपयोग करने की आवश्यकता है
हमने क्या सीखा?
से पदार्थ 5वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम से, हमने सीखा कि त्रिभुजों को भुजाओं और कोणों के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। त्रिभुजों में कुछ गुण होते हैं जिनका उपयोग समस्याओं को हल करते समय किया जा सकता है।
त्रिभुज - परिभाषा और सामान्य अवधारणाएँ
त्रिभुज एक ऐसा सरल बहुभुज है, जिसमें तीन भुजाएँ होती हैं और कोणों की संख्या समान होती है। इसके तल 3 बिंदुओं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले 3 खंडों द्वारा सीमित हैं।
किसी भी त्रिभुज के सभी शीर्षों को, उसकी विविधता की परवाह किए बिना, बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, और इसकी भुजाओं को विपरीत शीर्षों के संगत पदनामों द्वारा दर्शाया जाता है, केवल बड़े अक्षरों में नहीं, बल्कि छोटे अक्षरों में। इसलिए, उदाहरण के लिए, A, B, और C लेबल वाले शीर्षों वाले त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हैं।
यदि हम यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक त्रिभुज पर विचार करें, तो यह ऐसा है ज्यामितीय आकृति, जो तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों का उपयोग करके बनाया गया था जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं।
ऊपर दी गई तस्वीर को ध्यान से देखिए. इस पर, बिंदु A, B और C इस त्रिभुज के शीर्ष हैं, और इसके खंडों को त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाता है। इस बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष इसके अंदर कोने बनाता है।
त्रिभुजों के प्रकार
त्रिभुजों के आकार, कोणों के अनुसार उन्हें निम्न प्रकारों में विभाजित किया जाता है: आयताकार;
न्यून कोण वाला;
कुंठित.
समकोण त्रिभुज वे त्रिभुज होते हैं जिनमें एक समकोण होता है और अन्य दो न्यूनकोण होते हैं।
न्यूनकोण त्रिभुज वे होते हैं जिनके सभी कोण न्यूनकोण होते हैं।
और यदि किसी त्रिभुज में एक अधिककोण हो और अन्य दो कोण न्यूनकोण हों, तो ऐसा त्रिभुज अधिककोण के अंतर्गत आता है।
आपमें से हर कोई अच्छी तरह से जानता है कि सभी त्रिभुजों की भुजाएँ समान नहीं होती हैं। और इसकी भुजाओं की लंबाई के अनुसार त्रिभुजों को निम्न में विभाजित किया जा सकता है:
समद्विबाहु;
समबाहु;
बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।
कार्य: ड्रा अलग - अलग प्रकारत्रिभुज। उन्हें एक परिभाषा दीजिए. आप उनमें क्या अंतर देखते हैं?
त्रिभुजों के मूल गुण
हालाँकि ये सरल बहुभुज कोणों या भुजाओं के आकार में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं, लेकिन प्रत्येक त्रिभुज में बुनियादी गुण होते हैं जो इस आकृति की विशेषता हैं।
किसी भी त्रिभुज में:
इसके सभी कोणों का योग 180º होता है।
यदि यह समबाहु है तो इसका प्रत्येक कोण 60º के बराबर होता है।
एक समबाहु त्रिभुज में एक दूसरे से समान और समान कोण होते हैं।
बहुभुज की भुजा जितनी छोटी होगी, उसके विपरीत कोण उतना ही छोटा होगा, और इसके विपरीत, बड़ी भुजा के विपरीत बड़ा कोण होगा।
यदि भुजाएँ समान हैं, तो उनके विपरीत स्थित हैं समान कोण, और इसके विपरीत।
यदि हम एक त्रिभुज लें और उसकी भुजा को फैलाएँ, तो अंत में हम एक बाह्य कोण बनाएंगे। वह योग के बराबर हैभीतरी कोने.
किसी भी त्रिभुज में, इसकी भुजा, चाहे आप इनमें से कोई भी चुनें, फिर भी अन्य 2 भुजाओं के योग से कम, लेकिन उनके अंतर से अधिक होगी:
1.ए< b + c, a >बी-सी;
2.बी< a + c, b >एसी;
3.सी< a + b, c >ए-बी.
व्यायाम
तालिका त्रिभुज के पहले से ज्ञात दो कोणों को दर्शाती है। सभी कोणों का कुल योग जानकर, त्रिभुज का तीसरा कोण किसके बराबर है और तालिका में दर्ज करें:
1. तीसरा कोण कितने अंश का होता है?
2. यह किस प्रकार के त्रिभुज से संबंधित है?
तुल्यता त्रिकोण
मैं हस्ताक्षर करता हूँ
द्वितीय संकेत
तृतीय संकेत
त्रिभुज की ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका
त्रिभुज की ऊँचाई - आकृति के शीर्ष से उसकी विपरीत भुजा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज की ऊँचाई कहलाता है। त्रिभुज की सभी ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। किसी त्रिभुज की सभी तीन ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसका लम्बकेन्द्र होता है।
किसी दिए गए शीर्ष से खींचा गया और उसे विपरीत दिशा के मध्य में जोड़ने वाला खंड माध्यिका है। माध्यिकाओं, साथ ही त्रिभुज की ऊँचाइयों में, प्रतिच्छेदन का एक सामान्य बिंदु होता है, जिसे त्रिभुज का तथाकथित गुरुत्वाकर्षण केंद्र या केन्द्रक कहा जाता है।
त्रिभुज का समद्विभाजक एक खंड है जो एक कोण के शीर्ष और विपरीत दिशा में एक बिंदु को जोड़ता है, और इस कोण को आधे में भी विभाजित करता है। त्रिभुज के सभी समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र कहा जाता है।
वह खंड जो त्रिभुज की दोनों भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है, मध्य रेखा कहलाता है।
ऐतिहासिक सन्दर्भ
त्रिभुज जैसी आकृति प्राचीन काल में जानी जाती थी। इस आकृति और इसके गुणों का उल्लेख चार हजार साल पहले मिस्र के पपीरी पर किया गया था। थोड़ी देर बाद, पायथागॉरियन प्रमेय और हेरॉन के सूत्र के लिए धन्यवाद, एक त्रिकोण की संपत्ति का अध्ययन और अधिक हो गया उच्च स्तर, लेकिन फिर भी, यह दो हजार साल से भी पहले हुआ था।
XV में - XVI सदियोंत्रिभुज के गुणों पर बहुत अधिक शोध करना शुरू किया, और परिणामस्वरूप, प्लैनिमेट्री जैसा विज्ञान उत्पन्न हुआ, जिसे "न्यू ट्राइएंगल ज्योमेट्री" कहा गया।
रूस के एक वैज्ञानिक एन.आई. लोबचेव्स्की ने त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान में बहुत बड़ा योगदान दिया। उनके कार्यों को बाद में गणित और भौतिकी और साइबरनेटिक्स दोनों में आवेदन मिला।
त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान के लिए धन्यवाद, त्रिकोणमिति जैसे विज्ञान का उदय हुआ। यह किसी व्यक्ति के लिए उसकी व्यावहारिक आवश्यकताओं के लिए आवश्यक साबित हुआ, क्योंकि मानचित्रों को संकलित करते समय, क्षेत्रों को मापते समय और यहां तक कि विभिन्न तंत्रों को डिजाइन करते समय इसका उपयोग आवश्यक है।
सबसे प्रसिद्ध त्रिभुज कौन सा है? निःसंदेह, यह बरमूडा त्रिभुज है! 50 के दशक में इसे इसका नाम इसलिए मिला भौगोलिक स्थितिबिंदु (त्रिभुज के शीर्ष), जिसके भीतर, मौजूदा सिद्धांत के अनुसार, इससे जुड़ी विसंगतियाँ उत्पन्न हुईं। बरमूडा त्रिभुज की चोटियाँ बरमूडा, फ्लोरिडा और प्यूर्टो रिको हैं।
कार्य: सिद्धांत किस बारे में हैं बरमूडा त्रिभुजतुमने सुना?
क्या आप जानते हैं कि लोबचेव्स्की के सिद्धांत में किसी त्रिभुज के कोणों को जोड़ने पर उनका योग सदैव 180º से कम आता है। रीमैनियन ज्यामिति में, एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180º से अधिक होता है, जबकि यूक्लिड के लेखन में यह 180 डिग्री के बराबर होता है।
गृहकार्य
किसी दिए गए विषय पर क्रॉसवर्ड पहेली हल करें
क्रॉसवर्ड प्रश्न:
1. त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में स्थित सीधी रेखा पर खींचे गए लंब का क्या नाम है?
2. आप एक शब्द में किसी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का योग कैसे बता सकते हैं?
3. उस त्रिभुज का नाम बताइए जिसकी दोनों भुजाएँ बराबर हों?
4. उस त्रिभुज का नाम बताइए जिसका कोण 90° के बराबर हो?
5. त्रिभुज की भुजाओं से बड़े त्रिभुज का क्या नाम है?
6. समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा का नाम?
7. किसी भी त्रिभुज में इनकी संख्या सदैव तीन होती है।
8. उस त्रिभुज का क्या नाम है जिसका एक कोण 90° से अधिक है?
9. हमारी आकृति के शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य से जोड़ने वाले खंड का नाम?
10. एक साधारण बहुभुज ABC में, बड़ा अक्षर A है...?
11. उस खण्ड का क्या नाम है जो त्रिभुज के कोण को आधा भाग में विभाजित करता है?
त्रिभुजों के बारे में प्रश्न:
1. एक परिभाषा दीजिए.
2. इसकी कितनी ऊंचाई है?
3. एक त्रिभुज में कितने समद्विभाजक होते हैं?
4. इसके कोणों का योग क्या है?
5. आप इस सरल बहुभुज के किस प्रकार को जानते हैं?
6. त्रिभुजों के उन बिंदुओं के नाम बताइए जिन्हें अद्भुत कहा जाता है।
7. कौन सा उपकरण कोण माप सकता है?
8. यदि घड़ी की सुईयां 21 घंटे दिखाती हैं। घंटे की सूइयाँ कौन सा कोण बनाती हैं?
9. यदि किसी व्यक्ति को "बाईं ओर", "चारों ओर" का आदेश दिया जाए तो वह किस कोण पर मुड़ता है?
10. आप ऐसी कौन सी अन्य परिभाषाएँ जानते हैं जो एक आकृति से जुड़ी हैं जिसमें तीन कोण और तीन भुजाएँ हैं?