एकसमान वृत्तीय गति। एक स्थिर मोडुलो गति के साथ एक सर्कल में एक पिंड की गति
एक स्थिर मोडुलो गति के साथ एक सर्कल में एक पिंड की गति- यह एक ऐसा आंदोलन है जिसमें शरीर समान चापों का वर्णन किसी भी समान अंतराल के लिए करता है।
वृत्त पर पिंड की स्थिति निर्धारित होती है त्रिज्या वेक्टर\(~\vec r\) वृत्त के केंद्र से खींचा गया। त्रिज्या सदिश का मापांक वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है आर(चित्र एक)।
समय के दौरान टीशरीर एक बिंदु से आगे बढ़ रहा है लेकिनबिल्कुल पर, जीवा के बराबर \(~\Delta \vec r\) चलता है अब, और चाप की लंबाई के बराबर पथ की यात्रा करता है मैं.
त्रिज्या सदिश कोण . द्वारा घुमाया जाता है φ . कोण रेडियन में व्यक्त किया जाता है।
प्रक्षेपवक्र (वृत्त) के साथ शरीर की गति \(~\vec \upsilon\) को स्पर्शरेखा के साथ प्रक्षेपवक्र के लिए निर्देशित किया जाता है। यह कहा जाता है रैखिक गति. रैखिक वेग मापांक वृत्ताकार चाप की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है मैंसमय अंतराल के लिए टीजिसके लिए यह चाप पास किया गया है:
\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)
एक अदिश भौतिक मात्रा जो संख्यात्मक रूप से त्रिज्या सदिश के घूर्णन कोण के अनुपात के बराबर होती है, उस समय अंतराल के दौरान जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ था, कहलाती है कोणीय गति:
\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)
कोणीय वेग का SI मात्रक रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) है।
एक वृत्त में एकसमान गति के साथ, कोणीय वेग और रैखिक वेग मापांक स्थिरांक हैं: ω = स्थिरांक; υ = स्थिरांक
यदि त्रिज्या वेक्टर \(~\vec r\) और कोण का मापांक है तो शरीर की स्थिति निर्धारित की जा सकती है φ , जो यह अक्ष के साथ बनाता है बैल(कोणीय समन्वय)। अगर शुरुआती समय में टी 0 = 0 कोणीय निर्देशांक है φ 0 , और समय पर टीयह बराबर है φ , फिर घूर्णन कोण φ समय में त्रिज्या-सदिश \(~\Delta t = t - t_0 = t\) \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\) के बराबर है। तब अंतिम सूत्र से हम प्राप्त कर सकते हैं एक वृत्त के अनुदिश एक भौतिक बिंदु की गति का गतिज समीकरण:
\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)
यह आपको किसी भी समय शरीर की स्थिति निर्धारित करने की अनुमति देता है। टी. यह ध्यान में रखते हुए कि \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), हम प्राप्त करते हैं\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \दाहिना तीर\]
\(~\upsilon = \omega R\) - रैखिक और कोणीय वेग के बीच संबंध के लिए सूत्र।
समय अंतराल Τ , जिसके दौरान शरीर एक पूर्ण क्रांति करता है, कहलाता है रोटेशन अवधि:
\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)
कहाँ पे एन- समय के दौरान शरीर द्वारा किए गए चक्करों की संख्या टी.
समय के दौरान टी = Τ शरीर पथ \(~l = 2 \pi R\) को पार करता है। फलस्वरूप,
\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)
मूल्य ν , अवधि का व्युत्क्रम, यह दर्शाता है कि शरीर प्रति इकाई समय में कितने चक्कर लगाता है, कहलाता है रफ़्तार:
\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)
फलस्वरूप,
\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)
साहित्य
हाई स्कूल में अक्सेनोविच एल.ए. भौतिकी: सिद्धांत। कार्य। टेस्ट: प्रो. सामान्य प्रदान करने वाले संस्थानों के लिए भत्ता। वातावरण, शिक्षा / एल.ए. अक्सनोविच, एन.एन. रकीना, के.एस. फ़ारिनो; ईडी। के एस फरिनो। - एमएन .: अदुकात्सिया आई व्यखवन्ने, 2004. - सी। 18-19।
एक सर्कल में एक शरीर के आंदोलन की विशेषता वाले भौतिक मूल्य।
1. अवधि (टी) - समय की अवधि जिसके दौरान शरीर एक पूर्ण क्रांति करता है।
, जहां टी वह समय है जिसके दौरान एन क्रांतियां की जाती हैं।
2. आवृत्ति () - प्रति इकाई समय में शरीर द्वारा किए गए क्रांतियों की संख्या।
(हर्ट्ज)
3. अवधि और आवृत्ति का संबंध:
4. गति () जीवाओं के अनुदिश निर्देशित होती है।
5. कोणीय गति (घूर्णन कोण)।
यूनिफ़ॉर्म सर्कुलर मूवमेंट - यह एक ऐसा मूवमेंट है जिसमें गति का मॉड्यूल नहीं बदलता है।
6. रैखिक गति (वृत्त के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित।
7. कोणीय वेग
8. रैखिक और कोणीय वेगों का संबंध
कोणीय वेग उस वृत्त की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है जिसके साथ शरीर चलता है। यदि समस्या एक ही डिस्क पर स्थित बिंदुओं की गति पर विचार करती है, लेकिन इसके केंद्र से अलग-अलग दूरी पर, तो यह ध्यान में रखना चाहिए कि इन बिंदुओं का कोणीय वेग समान है।
9. केन्द्राभिमुख (सामान्य) त्वरण ()।
चूँकि किसी वृत्त के अनुदिश गति करते समय वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है, तो वृत्त के अनुदिश गति त्वरण के साथ होती है। यदि पिंड वृत्त के अनुदिश समान रूप से गति करता है, तो इसमें केवल अभिकेंद्री (सामान्य) त्वरण होता है, जो त्रिज्या के अनुदिश वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। त्वरण को सामान्य कहा जाता है, क्योंकि किसी दिए गए बिंदु पर त्वरण वेक्टर रैखिक वेग वेक्टर के लंबवत (सामान्य रूप से) स्थित होता है। .
यदि शरीर एक मोडुलो-बदलती गति के साथ एक सर्कल में चलता है, तो सामान्य त्वरण के साथ, जो दिशा में गति में परिवर्तन की विशेषता है, एक स्पर्शरेखा त्वरण प्रकट होता है, जो गति मोडुलो () में परिवर्तन की विशेषता है। वृत्त की स्पर्शरेखा त्वरण को निर्देशित किया। एक वृत्त में असमान गति के दौरान पिंड का कुल त्वरण पाइथागोरस प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है:
यांत्रिक गति की सापेक्षता
संदर्भ के विभिन्न फ्रेमों के संबंध में किसी पिंड की गति पर विचार करते समय, प्रक्षेपवक्र, पथ, गति, विस्थापन भिन्न हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति चलती बस में बैठा है। बस के सापेक्ष इसका प्रक्षेपवक्र एक बिंदु है, और सूर्य के सापेक्ष - एक वृत्त का एक चाप, पथ, गति, बस के सापेक्ष विस्थापन शून्य के बराबर है, और पृथ्वी के सापेक्ष शून्य से भिन्न है। यदि हम संदर्भ के एक गतिशील और स्थिर फ्रेम के सापेक्ष किसी पिंड की गति पर विचार करते हैं, तो वेगों के योग के शास्त्रीय नियम के अनुसार, संदर्भ के निश्चित फ्रेम के सापेक्ष शरीर की गति गति के वेक्टर योग के बराबर होती है। संदर्भ के गतिमान फ्रेम के सापेक्ष शरीर का और निश्चित एक के सापेक्ष संदर्भ के गतिमान फ्रेम की गति:
उसी प्रकार
वेगों के योग के नियम का उपयोग करने के विशेष मामले
1) पृथ्वी के सापेक्ष पिंडों की गति
बी) शरीर एक दूसरे की ओर बढ़ते हैं
2) एक दूसरे के सापेक्ष निकायों की गति
a) पिंड एक ही दिशा में चलते हैं
बी) शरीर अलग-अलग दिशाओं में चलते हैं (एक दूसरे की ओर)
3) चलते समय तट के सापेक्ष शरीर की गति
ए) डाउनस्ट्रीम
b) धारा के विपरीत, पानी के सापेक्ष शरीर की गति कहाँ है, धारा की गति है।
4) निकायों के वेग एक दूसरे के कोण पर निर्देशित होते हैं।
उदाहरण के लिए: a) एक पिंड नदी के उस पार तैरता है, जो प्रवाह के लंबवत चलता है
b) शरीर नदी के उस पार तैरता है, जो तट के लंबवत चलता है
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ग) शरीर एक साथ अनुवाद और घूर्णी गति में भाग लेता है, उदाहरण के लिए, एक चलती कार का पहिया। शरीर के प्रत्येक बिंदु में शरीर की गति की दिशा में निर्देशित एक अनुवादिक गति होती है और एक घूर्णन गति वृत्त को स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित करती है। इसके अलावा, पृथ्वी के सापेक्ष किसी भी बिंदु की गति का पता लगाने के लिए, सदिश रूप से अनुवाद और घूर्णी गति की गति को जोड़ना आवश्यक है:
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गतिकी
न्यूटन के नियम
न्यूटन का पहला नियम (जड़ता का नियम)
संदर्भ के ऐसे फ्रेम हैं, जिनके संबंध में शरीर आराम पर है या एक सीधी रेखा में चलता है और समान रूप से, यदि अन्य निकाय उस पर कार्य नहीं करते हैं या निकायों के कार्यों को मुआवजा (संतुलित) दिया जाता है।
अन्य निकायों की कार्रवाई की अनुपस्थिति में या अन्य निकायों की कार्रवाई के लिए क्षतिपूर्ति करते समय शरीर की गति के संरक्षण की घटना को कहा जाता है जड़ता
संदर्भ के फ्रेम जिसमें न्यूटन के नियम पूरे होते हैं, संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम (ISR) कहलाते हैं। IFR में पृथ्वी से जुड़े या पृथ्वी के सापेक्ष त्वरण न होने वाली संदर्भ प्रणालियाँ शामिल हैं। पृथ्वी के सापेक्ष त्वरण के साथ गतिमान संदर्भ के फ्रेम गैर-जड़त्वीय हैं, उनमें न्यूटन के नियम पूरे नहीं होते हैं। गैलीलियो के सापेक्षता के शास्त्रीय सिद्धांत के अनुसार, सभी IFR समान हैं, सभी IFR में यांत्रिकी के नियमों का एक ही रूप है, सभी IFR में सभी यांत्रिक प्रक्रियाएं समान रूप से आगे बढ़ती हैं (IFR के अंदर किए गए कोई भी यांत्रिक प्रयोग यह निर्धारित नहीं कर सकते हैं कि क्या यह आराम पर है या एक सीधी रेखा में और समान रूप से चलता है)।
न्यूटन का दूसरा नियम
जब शरीर पर बल लगाया जाता है तो शरीर की गति बदल जाती है। किसी भी शरीर में जड़ता का गुण होता है . जड़ता -शरीर की यह संपत्ति, इस तथ्य में शामिल है कि शरीर की गति को बदलने में समय लगता है, शरीर की गति तुरंत नहीं बदल सकती है। वह पिंड, जो एक ही बल की क्रिया के तहत अपनी गति को अधिक बदलता है, कम निष्क्रिय होता है। जड़ता का माप शरीर का द्रव्यमान है।
किसी पिंड का त्वरण उस पर कार्य करने वाले बल के सीधे आनुपातिक होता है और शरीर के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
बल और त्वरण हमेशा सह-निर्देशित होते हैं। यदि शरीर पर कई बल कार्य करते हैं, तो त्वरण शरीर को बताता है परिणामीये बल (), जो शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों के सदिश योग के बराबर है:
यदि कोई पिंड एकसमान त्वरण से गति करता है, तो उस पर एक नियत बल कार्य करता है।
न्यूटन का तीसरा नियम
जब शरीर परस्पर क्रिया करते हैं तो बल उत्पन्न होते हैं।
पिंड एक दूसरे पर एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित बलों के साथ कार्य करते हैं, परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत।
बातचीत से उत्पन्न होने वाली ताकतों की विशेषताएं:
1. बल हमेशा जोड़े में दिखाई देते हैं।
2 परस्पर क्रिया से उत्पन्न होने वाली शक्तियाँ समान प्रकृति की होती हैं।
3. बल जिनका कोई परिणामी नहीं है, क्योंकि वे विभिन्न निकायों पर लागू होते हैं।
यांत्रिकी में बल
गुरुत्वाकर्षण बल - वह बल जिससे ब्रह्मांड के सभी पिंड आकर्षित होते हैं।
सार्वभौम गुरुत्वाकर्षण का नियम: पिंड एक-दूसरे की ओर आकर्षित होते हैं, जो उनके द्रव्यमान के उत्पाद के सीधे आनुपातिक होते हैं और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।
(सूत्र का उपयोग बिंदु निकायों और गेंदों के आकर्षण की गणना के लिए किया जा सकता है), जहां G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक (सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक) है, G \u003d 6.67 10 -11, पिंडों का द्रव्यमान है, R बीच की दूरी है निकायों, निकायों के केंद्रों के बीच मापा जाता है।
गुरुत्वाकर्षण बल - ग्रह के लिए पिंडों के आकर्षण का बल। गुरुत्वाकर्षण बल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
1) , ग्रह का द्रव्यमान कहाँ है, पिंड का द्रव्यमान है, ग्रह के केंद्र और पिंड के बीच की दूरी है।
2) , मुक्त गिरावट त्वरण कहाँ है,
गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
एक कृत्रिम उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या - ग्रह की त्रिज्या - ग्रह की सतह के ऊपर उपग्रह की ऊंचाई,
यदि क्षैतिज दिशा में इसे आवश्यक गति दी जाए तो शरीर एक कृत्रिम उपग्रह बन जाता है। किसी पिंड को किसी ग्रह के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में गति करने के लिए आवश्यक गति को कहा जाता है पहली ब्रह्मांडीय गति. पहले ब्रह्मांडीय वेग की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि कृत्रिम उपग्रहों सहित सभी ब्रह्मांडीय पिंड, सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत चलते हैं, इसके अलावा, वेग एक गतिज मात्रा है, न्यूटन के दूसरे नियम के बराबर एक सूत्र है। सूत्रों के सही हिस्से, हम प्राप्त करते हैं: या यह देखते हुए कि शरीर एक सर्कल में चलता है और इसलिए इसमें अभिकेंद्री त्वरण होता है, हम प्राप्त करते हैं: या। यहाँ से - प्रथम ब्रह्मांडीय वेग की गणना के लिए सूत्र. यह ध्यान में रखते हुए कि पहले ब्रह्मांडीय वेग की गणना के लिए सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: इसी तरह, न्यूटन के दूसरे नियम और वक्रता गति के सूत्रों का उपयोग करके, यह निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, शरीर की कक्षा की अवधि।
लोचदार बल - एक विकृत शरीर की ओर से कार्य करने वाला बल और विरूपण के दौरान कणों के विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। लोचदार बल का उपयोग करके गणना की जा सकती है हुक का नियम: लोचदार बल सीधे बढ़ाव के समानुपाती होता है:बढ़ाव कहाँ है,
कठोरता,। कठोरता शरीर की सामग्री, उसके आकार और आयामों पर निर्भर करती है।
वसंत कनेक्शन
हुक का नियम केवल निकायों के लोचदार विकृति के लिए मान्य है। लोचदार विकृति को विकृति कहा जाता है जिसमें, बल की समाप्ति के बाद, शरीर अपने पूर्व आकार और आयामों को प्राप्त कर लेता है।
इस पाठ में, हम वक्रीय गति पर विचार करेंगे, अर्थात् वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति। जब कोई पिंड एक वृत्त में गति करता है तो हम सीखेंगे कि रैखिक गति क्या है, अभिकेन्द्रीय त्वरण। हम उन मात्राओं का भी परिचय देते हैं जो घूर्णी गति (घूर्णन अवधि, घूर्णन आवृत्ति, कोणीय वेग) की विशेषता रखते हैं, और इन मात्राओं को एक दूसरे से जोड़ते हैं।
एक वृत्त में एकसमान गति से यह समझा जाता है कि पिंड किसी भी समान अवधि के लिए एक ही कोण से घूमता है (चित्र 6 देखें)।
चावल। 6. एकसमान वृत्तीय गति
यानी तात्कालिक गति का मॉड्यूल नहीं बदलता है:
इस गति को कहा जाता है रैखिक.
यद्यपि गति का मापांक नहीं बदलता है, गति की दिशा लगातार बदलती रहती है। बिंदुओं पर वेग सदिशों पर विचार करें एतथा बी(चित्र 7 देखें)। उन्हें अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित किया जाता है, इसलिए वे समान नहीं हैं। यदि बिंदु पर गति से घटाया जाए बीबिंदु गति ए, हमें एक वेक्टर मिलता है।
चावल। 7. वेग वैक्टर
गति में परिवर्तन का अनुपात () उस समय के दौरान जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ () त्वरण है।
इसलिए, किसी भी वक्रता गति को त्वरित किया जाता है.
यदि हम चित्र 7 में प्राप्त वेग त्रिभुज पर विचार करें, तो बिंदुओं की एक बहुत ही निकट व्यवस्था के साथ एतथा बीएक दूसरे के लिए, वेग सदिशों के बीच का कोण (α) शून्य के करीब होगा:
यह भी ज्ञात है कि यह त्रिभुज समद्विबाहु है, इसलिए वेग के मॉड्यूल समान हैं (समान गति):
इसलिए, इस त्रिभुज के आधार पर दोनों कोण अनिश्चित काल के करीब हैं:
इसका मतलब यह है कि वेक्टर के साथ निर्देशित त्वरण वास्तव में स्पर्शरेखा के लंबवत है। यह ज्ञात है कि एक वृत्त में स्पर्श रेखा के लंबवत रेखा एक त्रिज्या होती है, इसलिए त्वरण त्रिज्या के अनुदिश वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इस त्वरण को अभिकेंद्री कहते हैं।
चित्र 8 पहले चर्चा किए गए वेगों के त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज (दो भुजाएँ एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं) को दर्शाता है। ये त्रिकोण समान हैं, क्योंकि उनके पास परस्पर लंबवत रेखाओं द्वारा बनाए गए समान कोण हैं (त्रिज्या, सदिश की तरह, स्पर्शरेखा के लंबवत है)।
चावल। 8. अभिकेन्द्र त्वरण सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए चित्रण
रेखा खंड अबचाल है ()। हम एकसमान वृत्तीय गति पर विचार कर रहे हैं, इसलिए:
हम परिणामी व्यंजक को से प्रतिस्थापित करते हैं अबत्रिभुज समानता सूत्र में:
"रैखिक गति", "त्वरण", "समन्वय" की अवधारणाएं एक घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ आंदोलन का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। इसलिए, घूर्णी गति की विशेषता वाली मात्राओं को पेश करना आवश्यक है।
1. रोटेशन अवधि (टी ) एक पूर्ण क्रांति का समय कहा जाता है। इसे सेकंड में SI मात्रकों में मापा जाता है।
अवधियों के उदाहरण: पृथ्वी अपनी धुरी के चारों ओर 24 घंटे (), और सूर्य के चारों ओर - 1 वर्ष () में घूमती है।
अवधि की गणना के लिए सूत्र:
कुल रोटेशन समय कहां है; - क्रांतियों की संख्या।
2. रोटेशन आवृत्ति (एन ) - क्रांतियों की संख्या जो शरीर प्रति इकाई समय में करता है। इसे SI मात्रकों में व्युत्क्रम सेकंड में मापा जाता है।
आवृत्ति ज्ञात करने का सूत्र:
कुल रोटेशन समय कहां है; - क्रांतियों की संख्या
आवृत्ति और अवधि व्युत्क्रमानुपाती हैं:
3. कोणीय गति () उस कोण में परिवर्तन के अनुपात को कहा जाता है जिस पर शरीर उस समय में बदल जाता है जिसके दौरान यह मोड़ होता है। इसे सेकंड से विभाजित रेडियन में SI इकाइयों में मापा जाता है।
कोणीय वेग ज्ञात करने का सूत्र:
कोण में परिवर्तन कहाँ है; बारी आने में लगने वाला समय है।
वृत्ताकार आंदोलन।
1. एक वृत्त में समान गति
2. घूर्णी गति की कोणीय गति।
3. रोटेशन की अवधि।
4. रोटेशन की आवृत्ति।
5. रैखिक वेग और कोणीय वेग के बीच संबंध।
6. अभिकेंद्री त्वरण।
7. एक वृत्त में समान रूप से परिवर्तनशील गति।
8. एक वृत्त में एकसमान गति में कोणीय त्वरण।
9. स्पर्शरेखा त्वरण।
10. एक वृत्त में एकसमान त्वरित गति का नियम।
11. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत कोणीय वेग।
12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और घूर्णन कोण के बीच संबंध स्थापित करने वाले सूत्र।
1.एकसमान वृत्तीय गति- गति, जिसमें एक भौतिक बिंदु समान समय अंतराल में एक वृत्ताकार चाप के समान खंडों से गुजरता है, अर्थात। एक बिंदु एक स्थिर मॉड्यूलो गति के साथ एक वृत्त के साथ चलता है। इस मामले में, गति बिंदु द्वारा पारित वृत्त के चाप के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात।
और वृत्त में गति की रैखिक गति कहलाती है।
वक्रीय गति की तरह, वेग सदिश गति की दिशा में वृत्त की ओर स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है (चित्र 25)।
2. एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय वेगत्रिज्या के घूर्णन कोण और घूर्णन के समय का अनुपात है:
एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय वेग स्थिर रहता है। SI प्रणाली में, कोणीय वेग (rad/s) में मापा जाता है। एक रेडियन - रेड एक केंद्रीय कोण है जो त्रिज्या के बराबर लंबाई वाले वृत्त के चाप को अंतरित करता है। एक पूर्ण कोण में एक रेडियन होता है, अर्थात। एक चक्कर में, त्रिज्या रेडियन के कोण से घूमती है।
3. रोटेशन अवधि- समय अंतराल टी, जिसके दौरान भौतिक बिंदु एक पूर्ण क्रांति करता है। एसआई प्रणाली में, अवधि को सेकंड में मापा जाता है।
4. रोटेशन आवृत्तिप्रति सेकंड क्रांतियों की संख्या है। SI प्रणाली में, आवृत्ति को हर्ट्ज़ (1Hz = 1) में मापा जाता है। एक हर्ट्ज वह आवृत्ति है जिस पर एक सेकंड में एक क्रांति की जाती है। यह कल्पना करना आसान है
यदि समय t में बिंदु वृत्त के चारों ओर n चक्कर लगाता है, तो .
घूर्णन की अवधि और आवृत्ति जानने के बाद, कोणीय वेग की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:
5 रैखिक वेग और कोणीय वेग के बीच संबंध. एक वृत्त के चाप की लंबाई वह होती है जहाँ केंद्रीय कोण, रेडियन में व्यक्त किया जाता है, चाप को घटाना वृत्त की त्रिज्या है। अब हम रैखिक वेग को रूप में लिखते हैं
सूत्रों का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है: या कोणीय वेग को अक्सर चक्रीय आवृत्ति कहा जाता है, और आवृत्ति को रैखिक आवृत्ति कहा जाता है।
6. केन्द्राभिमुख त्वरण. एक वृत्त के अनुदिश एकसमान गति में, गति मापांक अपरिवर्तित रहता है, और इसकी दिशा लगातार बदल रही है (चित्र 26)। इसका अर्थ यह है कि एक वृत्त में एकसमान गति करने वाला पिंड एक त्वरण का अनुभव करता है जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसे अभिकेंद्रीय त्वरण कहते हैं।
एक वृत्त के चाप के बराबर पथ को समय के साथ गुजरने दें। चलो वेक्टर को अपने समानांतर छोड़ते हुए चलते हैं, ताकि इसकी शुरुआत बिंदु बी पर वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है। गति के परिवर्तन का मापांक बराबर है, और सेंट्रिपेटल त्वरण का मापांक बराबर है
आकृति 26 में, त्रिभुज AOB और DVS समद्विबाहु हैं और शीर्ष O और B पर कोण समान हैं, जैसे कि परस्पर लंबवत भुजा AO और OB वाले कोण हैं। इसका अर्थ है कि त्रिभुज AOB और DVS समान हैं। इसलिए, यदि वह है, समय अंतराल मनमाने ढंग से छोटे मान लेता है, तो चाप को लगभग जीवा AB के बराबर माना जा सकता है, अर्थात। . इसलिए, हम लिख सकते हैं कि VD=, OA=R को ध्यान में रखते हुए, हम अंतिम समानता के दोनों भागों को गुणा करके प्राप्त करते हैं, हम एक वृत्त में एकसमान गति में अभिकेन्द्र त्वरण के मॉड्यूल के लिए व्यंजक प्राप्त करेंगे:। यह देखते हुए कि हमें अक्सर उपयोग किए जाने वाले दो सूत्र मिलते हैं:
अत: वृत्त के अनुदिश एकसमान गति में अभिकेन्द्र त्वरण निरपेक्ष मान में स्थिर रहता है।
यह पता लगाना आसान है कि सीमा में, कोण। इसका अर्थ यह है कि ICE त्रिभुज के DS के आधार पर कोण मान की ओर प्रवृत्त होते हैं, और वेग परिवर्तन वेक्टर वेग वेक्टर के लंबवत हो जाता है, अर्थात। त्रिज्या के साथ वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित।
7. एकसमान वृत्तीय गति- एक वृत्त में गति, जिसमें समय के समान अंतराल के लिए कोणीय वेग समान मात्रा में बदलता है।
8. एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय त्वरणकोणीय वेग में परिवर्तन का उस समय अंतराल से अनुपात है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ, अर्थात।
जहां कोणीय वेग का प्रारंभिक मान, कोणीय वेग का अंतिम मान, कोणीय त्वरण, SI प्रणाली में मापा जाता है। अंतिम समानता से हम कोणीय वेग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं
और अगर ।
इन समानताओं के दोनों भागों को गुणा करके और इसे ध्यान में रखते हुए, स्पर्शरेखा त्वरण है, अर्थात। वृत्त पर स्पर्शरेखा से निर्देशित त्वरण, हम रैखिक वेग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:
और अगर ।
9. स्पर्शरेखा त्वरणसंख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में वेग में परिवर्तन के बराबर है और इसे वृत्त की स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित किया जाता है। यदि >0, >0, तो गति एकसमान रूप से त्वरित होती है। यदि एक<0 и <0 – движение.
10. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति का नियम. समय में समान रूप से त्वरित गति में वृत्त के साथ यात्रा किए गए पथ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
यहाँ प्रतिस्थापित करने पर, से घटाने पर, हम एक वृत्त में एकसमान त्वरित गति का नियम प्राप्त करते हैं:
या अगर ।
यदि गति समान रूप से धीमी हो जाती है, अर्थात।<0, то
11.समान रूप से त्वरित वृत्तीय गति में पूर्ण त्वरण. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में, अभिकेन्द्र त्वरण समय के साथ बढ़ता है, क्योंकि स्पर्शरेखा त्वरण के कारण, रैखिक गति बढ़ जाती है। बहुत बार अभिकेंद्रीय त्वरण को सामान्य कहा जाता है और इसे . में कुल त्वरण के बाद से इस पलपाइथागोरस प्रमेय द्वारा निर्धारित (चित्र 27)।
12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत कोणीय वेग. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत रैखिक गति बराबर होती है। यहाँ प्रतिस्थापित करने पर और घटाने पर हमें प्राप्त होता है
तो अगर ।
12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और घूर्णन कोण के बीच संबंध स्थापित करने वाले सूत्र।
सूत्र में मात्राओं को प्रतिस्थापित करना , , , , ,
और कम करके, हम प्राप्त करते हैं
व्याख्यान - 4. गतिकी।
1. गतिशीलता
2. निकायों की बातचीत।
3. जड़ता। जड़ता का सिद्धांत।
4. न्यूटन का पहला नियम।
5. मुफ्त सामग्री बिंदु।
6. संदर्भ का जड़त्वीय ढांचा।
7. गैर-जड़त्वीय संदर्भ का ढांचा।
8. गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत।
9. गैलीलियन परिवर्तन।
11. बलों का जोड़।
13. पदार्थों का घनत्व।
14. द्रव्यमान का केंद्र।
15. न्यूटन का दूसरा नियम।
16. बल के मापन की इकाई।
17. न्यूटन का तीसरा नियम
1. गतिकीयांत्रिकी की एक शाखा है जो यांत्रिक गति का अध्ययन करती है, जो इस गति में परिवर्तन का कारण बनने वाली शक्तियों पर निर्भर करती है।
2.शारीरिक बातचीत. शरीर एक विशेष प्रकार के पदार्थ के माध्यम से सीधे संपर्क और दूरी पर दोनों के साथ बातचीत कर सकता है जिसे भौतिक क्षेत्र कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, सभी पिंड एक दूसरे की ओर आकर्षित होते हैं और यह आकर्षण एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के माध्यम से किया जाता है, और आकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण कहा जाता है।
विद्युत आवेश धारण करने वाले निकाय विद्युत क्षेत्र के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं। विद्युत धाराएं एक चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से परस्पर क्रिया करती हैं। इन बलों को विद्युत चुम्बकीय कहा जाता है।
प्राथमिक कण परमाणु क्षेत्रों के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं और इन बलों को परमाणु कहा जाता है।
3. जड़ता. चतुर्थ शताब्दी में। ईसा पूर्व इ। यूनानी दार्शनिक अरस्तू ने तर्क दिया कि किसी पिंड की गति का कारण किसी अन्य पिंड या पिंडों से कार्य करने वाला बल है। साथ ही अरस्तु की गति के अनुसार एक स्थिर बल शरीर को एक स्थिर गति प्रदान करता है और बल के समाप्त होने पर गति रुक जाती है।
16वीं शताब्दी में इतालवी भौतिक विज्ञानी गैलीलियो गैलीली ने एक झुके हुए विमान को लुढ़कने वाले और गिरते हुए पिंडों के साथ प्रयोग करते हुए दिखाया कि एक निरंतर बल (इस मामले में, शरीर का वजन) शरीर को त्वरण प्रदान करता है।
तो, प्रयोगों के आधार पर, गैलीलियो ने दिखाया कि बल निकायों के त्वरण का कारण है। आइए हम गैलीलियो के तर्क प्रस्तुत करते हैं। एक चिकने क्षैतिज तल पर एक बहुत चिकनी गेंद को लुढ़कने दें। यदि गेंद के साथ कुछ भी हस्तक्षेप नहीं करता है, तो वह अनिश्चित काल तक लुढ़क सकती है। यदि गेंद के रास्ते में रेत की एक पतली परत डाली जाए, तो वह बहुत जल्दी रुक जाएगी, क्योंकि। रेत के घर्षण बल ने उस पर कार्य किया।
इसलिए गैलीलियो जड़त्व के सिद्धांत के निर्माण के लिए आए, जिसके अनुसार एक भौतिक शरीर आराम की स्थिति या एकसमान सीधा गति बनाए रखता है, अगर बाहरी ताकतें उस पर कार्य नहीं करती हैं। अक्सर पदार्थ की इस संपत्ति को जड़ता कहा जाता है, और बाहरी प्रभावों के बिना शरीर की गति को जड़ता कहा जाता है।
4. न्यूटन का पहला नियम. 1687 में, गैलीलियो के जड़ता के सिद्धांत के आधार पर, न्यूटन ने गतिकी का पहला नियम तैयार किया - न्यूटन का पहला नियम:
एक भौतिक बिंदु (शरीर) आराम या एकसमान सीधी गति की स्थिति में है, यदि कोई अन्य निकाय उस पर कार्य नहीं करता है, या अन्य निकायों से कार्य करने वाले बल संतुलित हैं, अर्थात। आपूर्ति की।
5.मुफ्त सामग्री बिंदु- एक भौतिक बिंदु, जो अन्य निकायों से प्रभावित नहीं होता है। कभी-कभी वे कहते हैं - एक पृथक भौतिक बिंदु।
6. जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली (आईएसओ)- एक संदर्भ प्रणाली, जिसके सापेक्ष एक पृथक सामग्री बिंदु एक सीधी रेखा में और समान रूप से चलता है, या आराम पर है।
संदर्भ का कोई भी ढांचा जो आईएसओ के सापेक्ष समान रूप से और सीधा चलता है, जड़त्वीय है,
न्यूटन के पहले नियम का एक और सूत्रीकरण यहां दिया गया है: संदर्भ के फ्रेम हैं, जिसके सापेक्ष एक मुक्त सामग्री बिंदु एक सीधी रेखा में और समान रूप से चलता है, या आराम पर है। संदर्भ के ऐसे फ्रेम को जड़त्वीय कहा जाता है। अक्सर न्यूटन के पहले नियम को जड़त्व का नियम कहा जाता है।
न्यूटन के पहले नियम को निम्नलिखित सूत्र भी दिया जा सकता है: कोई भी भौतिक शरीर अपनी गति में बदलाव का विरोध करता है। पदार्थ के इस गुण को जड़त्व कहते हैं।
हम हर दिन शहरी परिवहन में इस कानून के प्रकट होने का सामना करते हैं। जब बस तेजी से गति पकड़ती है, तो हमें सीट के पीछे दबाया जाता है। जब बस की गति धीमी होती है तो हमारा शरीर बस की दिशा में फिसल जाता है।
7. संदर्भ का गैर-जड़त्वीय ढांचा -संदर्भ का एक फ्रेम जो आईएसओ के सापेक्ष असमान रूप से चलता है।
एक पिंड, जो आईएसओ के सापेक्ष, आराम पर है या एक समान रेक्टिलिनियर गति में है। संदर्भ के एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष, यह गैर-समान रूप से चलता है।
संदर्भ का कोई भी घूर्णन फ्रेम संदर्भ का एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम है, क्योंकि इस प्रणाली में, शरीर अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है।
प्रकृति और प्रौद्योगिकी में कोई निकाय नहीं है जो आईएसओ के रूप में काम कर सके। उदाहरण के लिए, पृथ्वी अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है और इसकी सतह पर कोई भी पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है। हालांकि, काफी कम समय के लिए, पृथ्वी की सतह से जुड़ी संदर्भ प्रणाली को कुछ सन्निकटन में, आईएसओ माना जा सकता है।
8.गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत।आईएसओ नमक हो सकता है जिसे आप बहुत पसंद करते हैं। इसलिए, सवाल उठता है: एक ही यांत्रिक घटना विभिन्न आईएसओ में कैसे दिखती है? क्या यह संभव है, यांत्रिक घटनाओं का उपयोग करके, IFR की गति का पता लगाने के लिए जिसमें वे देखे जाते हैं।
इन सवालों का जवाब गैलीलियो द्वारा खोजे गए शास्त्रीय यांत्रिकी के सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा दिया गया है।
शास्त्रीय यांत्रिकी के सापेक्षता के सिद्धांत का अर्थ कथन है: सभी यांत्रिक घटनाएं संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ्रेम में ठीक उसी तरह आगे बढ़ती हैं।
इस सिद्धांत को इस प्रकार भी तैयार किया जा सकता है: शास्त्रीय यांत्रिकी के सभी नियम समान गणितीय सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, कोई भी यांत्रिक प्रयोग हमें आईएसओ की गति का पता लगाने में मदद नहीं करेगा। इसका मतलब है कि आईएसओ की गति का पता लगाने की कोशिश करना व्यर्थ है।
ट्रेनों में यात्रा करते समय हमें सापेक्षता के सिद्धांत की अभिव्यक्ति का सामना करना पड़ा। जिस समय हमारी ट्रेन स्टेशन पर रुकती है, और पड़ोसी ट्रैक पर खड़ी ट्रेन धीरे-धीरे आगे बढ़ने लगती है, तो पहले पल में हमें लगता है कि हमारी ट्रेन चल रही है। लेकिन यह उल्टा भी होता है, जब हमारी ट्रेन धीरे-धीरे गति पकड़ रही होती है, तो हमें लगता है कि पड़ोसी ट्रेन चलने लगी है।
उपरोक्त उदाहरण में, सापेक्षता का सिद्धांत छोटे समय अंतराल में ही प्रकट होता है। गति में वृद्धि के साथ, हमें कार के झटके और हिलने का अनुभव होने लगता है, अर्थात, हमारे संदर्भ का फ्रेम गैर-जड़त्वीय हो जाता है।
तो, आईएसओ की गति का पता लगाने का प्रयास व्यर्थ है। इसलिए, यह बिल्कुल उदासीन है कि कौन सा IFR निश्चित माना जाता है और कौन सा चल रहा है।
9. गैलीलियन परिवर्तन. दो IFRs को एक दूसरे के सापेक्ष गति से चलने दें। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, हम मान सकते हैं कि IFR K गतिहीन है, और IFR अपेक्षाकृत गति से चलता है। सादगी के लिए, हम मानते हैं कि सिस्टम के संबंधित समन्वय अक्ष समानांतर हैं, और अक्ष और संयोग हैं। मान लें कि सिस्टम प्रारंभ समय पर मेल खाते हैं और गति अक्षों के साथ होती है और, यानी। (चित्र.28)
चूंकि रैखिक गति समान रूप से दिशा बदलती है, इसलिए सर्कल के साथ आंदोलन को एक समान नहीं कहा जा सकता है, यह समान रूप से त्वरित होता है।
कोणीय गति
वृत्त पर एक बिंदु चुनें 1 . चलो एक त्रिज्या बनाते हैं। समय की एक इकाई के लिए, बिंदु बिंदु पर चला जाएगा 2 . इस मामले में, त्रिज्या कोण का वर्णन करती है। कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय त्रिज्या के घूर्णन कोण के बराबर होता है।
अवधि और आवृत्ति
रोटेशन अवधि टीयह वह समय है जब शरीर को एक क्रांति करने में समय लगता है।
आरपीएम प्रति सेकंड क्रांतियों की संख्या है।
आवृत्ति और अवधि संबंध से संबंधित हैं
कोणीय वेग के साथ संबंध
लाइन की गति
वृत्त का प्रत्येक बिंदु किसी न किसी गति से चलता है। इस गति को रैखिक कहा जाता है। रैखिक वेग सदिश की दिशा सदैव वृत्त की स्पर्श रेखा से संपाती होती है।उदाहरण के लिए, तात्कालिक गति की दिशा को दोहराते हुए, एक चक्की के नीचे से चिंगारी चलती है।
एक वृत्त पर एक बिंदु पर विचार करें जो एक चक्कर लगाता है, जो समय व्यतीत होता है - यह अवधि है टीबिंदु जिस पथ पर विजय प्राप्त करता है वह वृत्त की परिधि है।
केन्द्राभिमुख त्वरण
वृत्त के अनुदिश गति करते समय त्वरण सदिश सदैव वेग सदिश के लंबवत होता है, जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
पिछले सूत्रों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं:
वृत्त के केंद्र से निकलने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं (उदाहरण के लिए, ये ऐसे बिंदु हो सकते हैं जो बोले गए पहिये पर स्थित हों) में समान कोणीय वेग, अवधि और आवृत्ति होगी। यही है, वे एक ही तरह से घूमेंगे, लेकिन अलग-अलग रैखिक गति के साथ। बिंदु केंद्र से जितना दूर होगा, वह उतनी ही तेज़ी से आगे बढ़ेगा।
घूर्णी गति के लिए वेगों के योग का नियम भी मान्य है। यदि किसी पिंड या संदर्भ के फ्रेम की गति एक समान नहीं है, तो कानून तात्कालिक वेगों पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, एक घूर्णन हिंडोला के किनारे पर चलने वाले व्यक्ति की गति हिंडोला के किनारे के घूर्णन की रैखिक गति और व्यक्ति की गति के सदिश योग के बराबर होती है।
पृथ्वी दो मुख्य घूर्णी गतियों में भाग लेती है: दैनिक (अपनी धुरी के चारों ओर) और कक्षीय (सूर्य के चारों ओर)। सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के घूमने की अवधि 1 वर्ष या 365 दिन है। पृथ्वी अपनी धुरी पर पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है, इस घूर्णन की अवधि 1 दिन या 24 घंटे है। अक्षांश भूमध्य रेखा के तल और पृथ्वी के केंद्र से इसकी सतह पर एक बिंदु तक की दिशा के बीच का कोण है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार किसी भी त्वरण का कारण बल होता है। यदि एक गतिमान पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है, तो इस त्वरण का कारण बनने वाले बलों की प्रकृति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई पिंड बंधी हुई रस्सी पर एक वृत्त में घूमता है, तो अभिनय बल लोचदार बल है।
यदि डिस्क पर पड़ा कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर डिस्क के साथ घूमता है, तो ऐसा बल घर्षण बल है। यदि बल कार्य करना बंद कर देता है, तो शरीर एक सीधी रेखा में गति करता रहेगा
A से B तक एक वृत्त पर एक बिंदु की गति पर विचार करें। रैखिक वेग बराबर है
अब पृथ्वी से जुड़े एक निश्चित तंत्र की ओर चलते हैं। बिंदु A का कुल त्वरण निरपेक्ष मान और दिशा दोनों में समान रहेगा, क्योंकि संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम से दूसरे में जाने पर त्वरण नहीं बदलता है। एक स्थिर पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, बिंदु A का प्रक्षेपवक्र अब एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक अधिक जटिल वक्र (चक्रवात) है, जिसके साथ बिंदु असमान रूप से चलता है।