एक खंड पर एक यादृच्छिक चर का समान वितरण। समान वितरण की परिकल्पना का परीक्षण
संभाव्यता घनत्व की परिभाषा को याद करें।
अब हम एक समान प्रायिकता बंटन की अवधारणा का परिचय देते हैं:
परिभाषा 2
एक वितरण को एकसमान कहा जाता है, यदि किसी यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों वाले अंतराल पर वितरण घनत्व स्थिर है, अर्थात्:
चित्र 1।
निम्नलिखित वितरण घनत्व संपत्ति का उपयोग करके निरंतर $\ C$ का मान ज्ञात करें: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=1$
\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \
इस प्रकार, समान वितरण घनत्व फ़ंक्शन का रूप है:
चित्र 2।
ग्राफ का निम्नलिखित रूप है (चित्र 1):
चित्र 3. एकसमान संभाव्यता वितरण का घनत्व
यूनिफ़ॉर्म प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन
आइए अब हम एकसमान बंटन के लिए बंटन फलन ज्ञात करें।
ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- $x a$ के लिए, सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
- $a . के लिए
- $x> 2$ के लिए, सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
इस प्रकार, वितरण फ़ंक्शन का रूप है:
चित्र 4
ग्राफ का निम्नलिखित रूप है (चित्र 2):
चित्रा 5. समान संभावना वितरण समारोह।
एक समान प्रायिकता वितरण के तहत अंतराल $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ में एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता
एक समान प्रायिकता वितरण के साथ अंतराल $(\alpha ,\beta)$ में एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:
अपेक्षित मूल्य:
मानक विचलन:
संभावनाओं के समान वितरण के लिए समस्या को हल करने के उदाहरण
उदाहरण 1
ट्रॉली बसों के बीच का अंतराल 9 मिनट है।
ट्रॉली बस यात्रियों की प्रतीक्षा में यादृच्छिक चर $X$ के वितरण फ़ंक्शन और वितरण घनत्व को संकलित करें।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यात्री तीन मिनट से कम समय में ट्रॉलीबस की प्रतीक्षा करेगा।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यात्री कम से कम 4 मिनट में ट्रॉलीबस की प्रतीक्षा करेगा।
गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए
- चूंकि ट्रॉलीबस की प्रतीक्षा का निरंतर यादृच्छिक चर $X$ समान रूप से वितरित किया जाता है, तो $a=0,\ b=9$।
इस प्रकार, वितरण घनत्व, एक समान संभाव्यता वितरण के घनत्व फ़ंक्शन के सूत्र के अनुसार, रूप है:
चित्र 6
हमारे मामले में, समान संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन के सूत्र के अनुसार, वितरण फ़ंक्शन का रूप है:
चित्र 7
- इस प्रश्न को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: एक समान वितरण का एक यादृच्छिक चर अंतराल $\बाएं(6,9\दाएं) में गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हम पाते हैं:
\ \ \
इस प्रकार, समान वितरण घनत्व फ़ंक्शन का रूप है:
चित्र 2।
ग्राफ का निम्नलिखित रूप है (चित्र 1):
चित्र 3. एकसमान संभाव्यता वितरण का घनत्व
यूनिफ़ॉर्म प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन
आइए अब हम एकसमान बंटन के लिए बंटन फलन ज्ञात करें।
ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- $x a$ के लिए, सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
- $a . के लिए
- $x> 2$ के लिए, सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
इस प्रकार, वितरण फ़ंक्शन का रूप है:
चित्र 4
ग्राफ का निम्नलिखित रूप है (चित्र 2):
चित्रा 5. समान संभावना वितरण समारोह।
एक समान प्रायिकता वितरण के तहत अंतराल $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ में एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता
एक समान प्रायिकता वितरण के साथ अंतराल $(\alpha ,\beta)$ में एक यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:
अपेक्षित मूल्य:
मानक विचलन:
संभावनाओं के समान वितरण के लिए समस्या को हल करने के उदाहरण
उदाहरण 1
ट्रॉली बसों के बीच का अंतराल 9 मिनट है।
ट्रॉली बस यात्रियों की प्रतीक्षा में यादृच्छिक चर $X$ के वितरण फ़ंक्शन और वितरण घनत्व को संकलित करें।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यात्री तीन मिनट से कम समय में ट्रॉलीबस की प्रतीक्षा करेगा।
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यात्री कम से कम 4 मिनट में ट्रॉलीबस की प्रतीक्षा करेगा।
गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए
- चूंकि ट्रॉलीबस की प्रतीक्षा का निरंतर यादृच्छिक चर $X$ समान रूप से वितरित किया जाता है, तो $a=0,\ b=9$।
इस प्रकार, वितरण घनत्व, एक समान संभाव्यता वितरण के घनत्व फ़ंक्शन के सूत्र के अनुसार, रूप है:
चित्र 6
हमारे मामले में, समान संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन के सूत्र के अनुसार, वितरण फ़ंक्शन का रूप है:
चित्र 7
- इस प्रश्न को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: एक समान वितरण का एक यादृच्छिक चर अंतराल $\बाएं(6,9\दाएं) में गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हम पाते हैं:
\, यदि इस खंड पर यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण घनत्व स्थिर है, अर्थात यदि अंतर वितरण कार्य एफ (एक्स) निम्नलिखित रूप है:
इस वितरण को कभी-कभी कहा जाता है एकसमान घनत्व का नियम. एक मात्रा के बारे में जिसका एक निश्चित खंड पर समान वितरण होता है, हम कहेंगे कि यह इस खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है।
स्थिरांक c का मान ज्ञात कीजिए। चूंकि वितरण वक्र और अक्ष से घिरा क्षेत्र ओह, 1 के बराबर है, तो
कहाँ पे साथ=1/(बी-एक)।
अब समारोह एफ (एक्स)के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है
आइए वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करेंएफ (एक्स ), जिसके लिए हम व्यंजक पाते हैंएफ (एक्स) अंतराल पर [ ए, बी]:
फ़ंक्शन f (x) और F (x) के ग्राफ़ इस तरह दिखते हैं:
आइए संख्यात्मक विशेषताओं को खोजें।
NSW की गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
इस प्रकार, अंतराल पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा [ए, बी] इस खंड के मध्य के साथ मेल खाता है।
एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए:
जिससे यह तुरंत इस प्रकार है कि मानक विचलन:
आइए अब हम प्रायिकता ज्ञात करें कि एक समान वितरण वाले यादृच्छिक चर का मान अंतराल में आता है(ए, बी), पूरी तरह से खंड से संबंधित [एक,बी ]:
|
ज्यामितीय रूप से, यह संभावना छायांकित आयत का क्षेत्रफल है। नंबर एकतथा
बीबुलाया वितरण पैरामीटरतथाएक समान वितरण को विशिष्ट रूप से परिभाषित करें।उदाहरण 1। एक निश्चित रूट की बसें शेड्यूल के अनुसार सख्ती से चलती हैं। आंदोलन अंतराल 5 मिनट। यात्री के बस स्टॉप पर पहुंचने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। 3 मिनट से भी कम समय में अगली बस का इंतजार करेंगे।
समाधान:
एसटी - बस प्रतीक्षा समय में एक समान वितरण होता है। तब वांछित संभावना इसके बराबर होगी:
उदाहरण 2। घन x के किनारे को लगभग मापा जाता है। और
घन के किनारे को अंतराल में समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर के रूप में मानते हुए (
एक,बी), घन के आयतन की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।समाधान:
घन का आयतन Y \u003d X 3 अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित एक यादृच्छिक चर है। तब गणितीय अपेक्षा है:
फैलाव:
ऑनलाइन सेवा: