सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं के लिए सूत्र। सबसे सरल और जटिल त्रिकोणमितीय असमानताएँ

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त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताएं, जब हल की जाती हैं, तो cos(t)>a, synt(t)=a और इसी तरह की सरलतम असमानताओं में बदल जाती हैं। और सबसे सरल असमानताएँ पहले ही हल हो चुकी हैं। विभिन्न उदाहरणों का उपयोग करते हुए, सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की विधियों पर विचार करें।

उदाहरण 1. असमानता पाप(t) > = -1/2 को हल करें।

एक एकल वृत्त बनाएं. चूँकि परिभाषा के अनुसार पाप (t) y निर्देशांक है, हम Oy अक्ष पर बिंदु y = -1/2 अंकित करते हैं। हम इसके माध्यम से x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। यूनिट सर्कल के ग्राफ के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, हम बिंदु Pt1 और Pt2 को चिह्नित करते हैं। हम निर्देशांक की उत्पत्ति को बिंदु Pt1 और Pt2 के साथ दो खंडों से जोड़ते हैं।

इस असमानता का समाधान इन बिंदुओं के ऊपर स्थित इकाई वृत्त के सभी बिंदु होंगे। दूसरे शब्दों में, समाधान चाप l होगा। अब आपको उन शर्तों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जिनके तहत एक मनमाना बिंदु चाप l से संबंधित होगा।

Pt1 दाहिने अर्धवृत्त में स्थित है, इसकी कोटि -1/2 है, तो t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. बिंदु Pt1 का वर्णन करने के लिए निम्नलिखित सूत्र लिखा जा सकता है:
t2 = pi - आर्क्सिन(-1/2) = 7*pi/6. परिणामस्वरूप, हमें t के लिए निम्नलिखित असमानता प्राप्त होती है:

हम असमानता के संकेत रखते हैं। और चूँकि साइन फ़ंक्शन एक आवधिक फ़ंक्शन है, तो समाधान हर 2 * pi पर दोहराया जाएगा। हम इस शर्त को t के लिए परिणामी असमानता में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

उदाहरण 2असमानता cos(t) को हल करें<1/2.

आइए एक इकाई वृत्त बनाएं। चूँकि, cos(t) की परिभाषा के अनुसार, यह x-निर्देशांक है, हम x-अक्ष पर ग्राफ़ पर बिंदु x = 1/2 अंकित करते हैं।
हम इस बिंदु से होकर y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं। यूनिट सर्कल के ग्राफ के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर, हम बिंदु Pt1 और Pt2 को चिह्नित करते हैं। हम निर्देशांक की उत्पत्ति को बिंदु Pt1 और Pt2 के साथ दो खंडों से जोड़ते हैं।

समाधान इकाई वृत्त के सभी बिंदु हैं जो चाप l से संबंधित हैं। आइए बिंदु t1 और t2 खोजें।

टी1 = आर्ककोस(1/2) = पीआई/3.

t2 = 2*pi - आर्ककोस(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

हमें t: pi/3 के लिए एक असमानता मिली

चूँकि कोसाइन एक आवधिक फलन है, इसलिए समाधान प्रत्येक 2 * pi पर दोहराया जाएगा। हम इस शर्त को t के लिए परिणामी असमानता में जोड़ते हैं और उत्तर लिखते हैं।

उत्तर: pi/3+2*pi*n

उदाहरण 3असमानता tg(t) को हल करें< = 1.

स्पर्शरेखा की अवधि पाई है. ऐसे समाधान खोजें जो सही अर्धवृत्त के अंतराल (-pi/2;pi/2) से संबंधित हों। इसके बाद, स्पर्शरेखा की आवधिकता का उपयोग करते हुए, हम इस असमानता के सभी समाधान लिखते हैं। आइए एक इकाई वृत्त बनाएं और उस पर स्पर्शरेखा रेखा अंकित करें।

यदि t असमानता का समाधान है, तो बिंदु T = tg(t) की कोटि 1 से कम या उसके बराबर होनी चाहिए। ऐसे बिंदुओं का समुच्चय किरण AT बनाएगा। बिंदु Pt का वह समुच्चय जो इस किरण के बिंदुओं के अनुरूप होगा, चाप l है। इसके अलावा, बिंदु P(-pi/2) इस चाप से संबंधित नहीं है।

बीजगणित परियोजना "त्रिकोणमितीय असमानताओं का समाधान" कक्षा 10 "बी" के एक छात्र जूलिया कज़ाचकोवा द्वारा पूरा किया गया पर्यवेक्षक: गणित शिक्षक कोचाकोवा एन.एन.

उद्देश्य "त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना" विषय पर सामग्री को समेकित करना और छात्रों को आगामी परीक्षा की तैयारी के लिए एक मेमो बनाना।

उद्देश्य विषय पर सामग्री का सारांश प्रस्तुत करना। प्राप्त जानकारी को व्यवस्थित करें. परीक्षा में इस विषय पर विचार करें.

प्रासंगिकता मेरे द्वारा चुने गए विषय की प्रासंगिकता इस तथ्य में निहित है कि परीक्षा के कार्यों में "त्रिकोणमितीय असमानताओं का समाधान" विषय पर कार्य शामिल हैं।

त्रिकोणमितीय असमानताएँ असमानता एक ऐसा संबंध है जो दो संख्याओं या अभिव्यक्तियों को किसी एक संकेत के माध्यम से जोड़ता है: (से अधिक); ≥ (इससे अधिक या इसके बराबर)। त्रिकोणमितीय असमानता त्रिकोणमितीय कार्यों वाली एक असमानता है।

त्रिकोणमितीय असमानताएं त्रिकोणमितीय कार्यों वाली असमानताओं का समाधान, एक नियम के रूप में, फॉर्म की सबसे सरल असमानताओं के समाधान में कम हो जाता है: पाप x>ए, पाप एक्स ए, क्योंकि एक्स ए,टीजीएक्स ए, सीटीजी एक्स

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम किसी दिए गए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के अनुरूप अक्ष पर, इस फ़ंक्शन के दिए गए संख्यात्मक मान को चिह्नित करें। चिह्नित बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचें जो इकाई वृत्त को काटती है। सख्त या गैर-सख्त असमानता चिह्न को ध्यान में रखते हुए, रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का चयन करें। वृत्त के उस चाप का चयन करें जिस पर असमानता के समाधान स्थित हैं। वृत्ताकार चाप के आरंभ और अंत बिंदुओं पर कोणों का मान निर्धारित करें। दिए गए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए असमानता का समाधान लिखें।

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के सूत्र synx >a; x (आर्क्सिन ए + 2πn; π- आर्क्सिन ए + 2πn)। सिनक्स ए; x (- आर्ककोस ए + 2πn; आर्ककोस ए + 2πn)। cosxए; x (आर्कटग ए + πn ; + πn)। टीजीएक्स ए; x (πn ; arctg + πn). सीटीजीएक्स

मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का ग्राफिकल समाधान synx >a

मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का ग्राफिकल समाधान

मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का ग्राफिकल समाधान cosx >a

मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का ग्राफिकल समाधान cosx

मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का ग्राफिकल समाधान tgx >a

मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का ग्राफिकल समाधान tgx

मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का ग्राफिकल समाधान ctgx >a

मुख्य त्रिकोणमितीय असमानताओं का ग्राफिकल समाधान ctgx

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीके एक संख्या वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना; किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना। :

संख्या वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना उदाहरण 1: : उत्तर:

संख्या वृत्त का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना उदाहरण 1: उत्तर:

फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करना उदाहरण: उत्तर:

कार्य के परिणामस्वरूप मैंने "त्रिकोणमितीय असमानताओं का समाधान" विषय पर अपना ज्ञान समेकित किया। इस विषय पर प्राप्त जानकारी को इसकी धारणा की सुविधा के लिए व्यवस्थित किया गया: त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम निकाला गया; हल करने के दो तरीके बताए गए; समाधान के उदाहरण दिखाए। :

कार्य का परिणाम इसके अलावा, एक तैयार उत्पाद के रूप में, "बीजगणित परीक्षा की तैयारी में छात्रों के लिए अनुस्मारक" मेरे प्रोजेक्ट से जुड़ा हुआ है। माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस वर्ड दस्तावेज़ (2)। डॉक्स:

साहित्य में ग्रेड 10 के लिए बीजगणित पाठ्यपुस्तक का उपयोग किया गया "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत" ए.एन. कोलमोगोरोव द्वारा संपादित http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

व्यावहारिक पाठ में, हम "त्रिकोणमिति" विषय से मुख्य प्रकार के कार्यों को दोहराएंगे, हम अतिरिक्त रूप से बढ़ी हुई जटिलता की समस्याओं का विश्लेषण करेंगे और विभिन्न त्रिकोणमितीय असमानताओं और उनकी प्रणालियों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

यह पाठ आपको B5, B7, C1 और C3 प्रकार के कार्यों में से किसी एक के लिए तैयारी करने में मदद करेगा।

आइए उन मुख्य प्रकार के कार्यों को दोहराकर शुरुआत करें जिनकी हमने त्रिकोणमिति विषय में समीक्षा की थी और कई गैर-मानक कार्यों को हल करें।

कार्य 1. कोणों को रेडियन और डिग्री में बदलें: a); बी) ।

a) डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए सूत्र का उपयोग करें

इसमें दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें।

बी) रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए सूत्र लागू करें

आइए प्रतिस्थापन करें .

उत्तर। ए) ; बी) ।

कार्य #2. गणना करें: ए) ; बी) ।

a) चूँकि कोण तालिका से बहुत आगे है, हम ज्या की अवधि घटाकर इसे कम करते हैं। क्योंकि कोण रेडियन में दिया गया है, तो आवर्त माना जाएगा।

बी) इस मामले में भी स्थिति वैसी ही है. चूँकि कोण को डिग्री में निर्दिष्ट किया गया है, तो हम स्पर्शरेखा की अवधि को इस प्रकार मानेंगे।

परिणामी कोण, हालांकि अवधि से कम है, अधिक है, जिसका अर्थ है कि यह अब मुख्य को संदर्भित नहीं करता है, बल्कि तालिका के विस्तारित भाग को संदर्भित करता है। ट्राइगोफ़ंक्शन मानों की एक विस्तारित तालिका को याद करके हमारी स्मृति को एक बार फिर से प्रशिक्षित न करने के लिए, हम स्पर्शरेखा अवधि को फिर से घटाते हैं:

हमने स्पर्शरेखा फलन की विषमता का लाभ उठाया।

उत्तर। ए) 1; बी) ।

कार्य #3. गणना , अगर ।

हम भिन्न के अंश और हर को विभाजित करके संपूर्ण अभिव्यक्ति को स्पर्शरेखा में लाते हैं। साथ ही, हम इससे डर भी नहीं सकते, क्योंकि इस स्थिति में, स्पर्शरेखा का मान मौजूद नहीं होगा।

कार्य #4. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

निर्दिष्ट अभिव्यक्तियों को कास्ट फ़ार्मुलों का उपयोग करके परिवर्तित किया जाता है। यह सिर्फ इतना है कि वे डिग्री का उपयोग करके असामान्य रूप से लिखे गए हैं। पहली अभिव्यक्ति आम तौर पर एक संख्या होती है। बदले में सभी त्रिकोणीय कार्यों को सरल बनाएं:

क्योंकि , तो फ़ंक्शन सह-फ़ंक्शन में बदल जाता है, अर्थात। कोटैंजेंट के लिए, और कोण दूसरे तिमाही में पड़ता है, जिसमें मूल स्पर्शरेखा का चिह्न नकारात्मक होता है।

पिछली अभिव्यक्ति के समान कारणों से, फ़ंक्शन सह-फ़ंक्शन में बदल जाता है, अर्थात। कोटैंजेंट के लिए, और कोण पहली तिमाही में पड़ता है, जिसमें प्रारंभिक स्पर्शरेखा का सकारात्मक संकेत होता है।

हर चीज़ को एक सरलीकृत अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना:

कार्य #5. अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

आइए दोहरे कोण की स्पर्शरेखा को संबंधित सूत्र के अनुसार लिखें और अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

अंतिम पहचान कोसाइन के लिए सार्वभौमिक प्रतिस्थापन सूत्रों में से एक है।

कार्य #6. हिसाब लगाओ.

मुख्य बात यह है कि कोई मानक त्रुटि न करें और ऐसा उत्तर न दें कि अभिव्यक्ति बराबर हो। चाप स्पर्शरेखा के मुख्य गुण का उपयोग करना असंभव है जबकि इसके निकट दो के रूप में एक कारक मौजूद है। इससे छुटकारा पाने के लिए हम व्यंजक को दोहरे कोण की स्पर्शरेखा के सूत्र के अनुसार लिखते हैं, जबकि हम इसे एक सामान्य तर्क के रूप में मानते हैं।

अब चाप स्पर्शरेखा की मुख्य संपत्ति को लागू करना पहले से ही संभव है, याद रखें कि इसके संख्यात्मक परिणाम पर कोई प्रतिबंध नहीं है।

कार्य #7. प्रश्न हल करें।

शून्य के बराबर भिन्नात्मक समीकरण को हल करते समय, यह हमेशा संकेत दिया जाता है कि अंश शून्य है और हर नहीं है, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते.

पहला समीकरण सबसे सरल समीकरण का एक विशेष मामला है, जिसे त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके हल किया जाता है। इस समाधान के बारे में आप स्वयं सोचें. दूसरी असमानता को स्पर्शरेखा की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके सबसे सरल समीकरण के रूप में हल किया जाता है, लेकिन केवल चिह्न बराबर नहीं होने पर।

जैसा कि हम देख सकते हैं, जड़ों का एक परिवार जड़ों के दूसरे परिवार को बाहर कर देता है जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं। वे। कोई जड़ें नहीं हैं.

उत्तर। कोई जड़ें नहीं हैं.

कार्य #8. प्रश्न हल करें।

तुरंत ध्यान दें कि आप सामान्य कारक निकाल सकते हैं और यह कर सकते हैं:

समीकरण को मानक रूपों में से एक में घटा दिया गया है, जब कई कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर होता है। हम पहले से ही जानते हैं कि इस मामले में या तो उनमें से एक शून्य के बराबर है, या दूसरा, या तीसरा। हम इसे समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखते हैं:

पहले दो समीकरण सबसे सरल समीकरणों के विशेष मामले हैं, हम पहले ही कई बार समान समीकरणों से मिल चुके हैं, इसलिए हम तुरंत उनके समाधान बताएंगे। हम दोहरे कोण ज्या सूत्र का उपयोग करके तीसरे समीकरण को एक फ़ंक्शन तक कम करते हैं।

आइए अंतिम समीकरण को अलग से हल करें:

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि साइन का मान इससे आगे नहीं जा सकता .

इस प्रकार, जड़ों के केवल पहले दो परिवार ही समाधान हैं, उन्हें एक में जोड़ा जा सकता है, जिसे त्रिकोणमितीय वृत्त पर दिखाना आसान है:

यह सभी हिस्सों का एक परिवार है, अर्थात्।

आइए त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की ओर आगे बढ़ें। सबसे पहले, आइए सामान्य समाधान सूत्रों का उपयोग किए बिना, लेकिन त्रिकोणमितीय वृत्त की सहायता से एक उदाहरण को हल करने के दृष्टिकोण का विश्लेषण करें।

कार्य #9. असमानता का समाधान करें.

के बराबर साइन के मान के अनुरूप त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक सहायक रेखा खींचें, और असमानता को संतुष्ट करने वाले कोणों का अंतराल दिखाएं।

यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि परिणामी कोण अंतराल को कैसे निर्दिष्ट किया जाए, अर्थात। इसकी शुरुआत क्या है और इसका अंत क्या है. अंतराल की शुरुआत उस बिंदु के अनुरूप कोण होगी जिसे हम वामावर्त घुमाने पर अंतराल की शुरुआत में दर्ज करेंगे। हमारे मामले में, यह वह बिंदु है जो बाईं ओर है, क्योंकि वामावर्त घूमते हुए और सही बिंदु से गुजरते हुए, इसके विपरीत, हम आवश्यक कोण अंतराल से बाहर निकलते हैं। इसलिए सही बिंदु अंतराल के अंत के अनुरूप होगा।

अब हमें असमानता के समाधान के हमारे अंतर के आरंभ और अंत कोणों के मूल्यों को समझने की आवश्यकता है। एक सामान्य गलती यह है कि तुरंत इंगित करें कि दायां बिंदु कोण से मेल खाता है, बायां और उत्तर दें। यह सच नहीं है! कृपया ध्यान दें कि हमने केवल वृत्त के ऊपरी भाग के अनुरूप अंतराल का संकेत दिया है, हालांकि हम निचले भाग में रुचि रखते हैं, दूसरे शब्दों में, हमने उन समाधानों के अंतराल की शुरुआत और अंत को मिला दिया है जिनकी हमें आवश्यकता है।

अंतराल के लिए दाएं बिंदु के कोने पर शुरू होने और बाएं बिंदु के कोने पर समाप्त होने के लिए, पहला निर्दिष्ट कोण दूसरे से कम होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हमें नकारात्मक संदर्भ दिशा में सही बिंदु के कोण को मापना होगा, अर्थात। दक्षिणावर्त और यह के बराबर होगा। फिर, इससे सकारात्मक दक्षिणावर्त दिशा में शुरू करते हुए, हम बाएं बिंदु के बाद दाएं बिंदु पर पहुंचेंगे और इसके लिए कोण का मान प्राप्त करेंगे। अब कोणों के अंतराल की शुरुआत अंत से कम है, और हम अवधि को ध्यान में रखे बिना समाधान के अंतराल को लिख सकते हैं:

यह मानते हुए कि ऐसे अंतराल किसी भी पूर्णांक संख्या के घूर्णन के बाद अनंत बार दोहराए जाएंगे, हमें साइन अवधि को ध्यान में रखते हुए सामान्य समाधान मिलता है:

हम गोल कोष्ठक लगाते हैं क्योंकि असमानता सख्त है, और हम वृत्त पर उन बिंदुओं को पंचर करते हैं जो अंतराल के सिरों के अनुरूप होते हैं।

अपने उत्तर की तुलना उस सामान्य समाधान के सूत्र से करें जो हमने व्याख्यान में दिया था।

उत्तर। .

यह विधि यह समझने के लिए अच्छी है कि सरलतम त्रिकोणीय असमानताओं के सामान्य समाधान के सूत्र कहां से आते हैं। इसके अलावा, यह उन लोगों के लिए उपयोगी है जो इन सभी बोझिल फॉर्मूलों को सीखने में बहुत आलसी हैं। हालाँकि, विधि स्वयं भी आसान नहीं है, चुनें कि समाधान के लिए कौन सा दृष्टिकोण आपके लिए सबसे सुविधाजनक है।

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए, आप फ़ंक्शन ग्राफ़ का भी उपयोग कर सकते हैं जिस पर सहायक रेखा बनाई गई है, यूनिट सर्कल का उपयोग करके दिखाए गए तरीके के समान। यदि आप रुचि रखते हैं, तो समाधान के इस दृष्टिकोण को स्वयं समझने का प्रयास करें। निम्नलिखित में, हम सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग करेंगे।

कार्य #10. असमानता का समाधान करें.

हम सामान्य समाधान सूत्र का उपयोग करते हैं, यह ध्यान में रखते हुए कि असमानता सख्त नहीं है:

हम अपने मामले में पाते हैं:

उत्तर।

कार्य #11. असमानता का समाधान करें.

हम संबंधित सख्त असमानता के लिए सामान्य समाधान सूत्र का उपयोग करते हैं:

उत्तर। .

कार्य #12. असमानताओं को हल करें: ए); बी) ।

इन असमानताओं में, किसी को सामान्य समाधान या त्रिकोणमितीय वृत्त के लिए सूत्रों का उपयोग करने में जल्दबाजी नहीं करनी चाहिए, यह केवल साइन और कोसाइन के मूल्यों की सीमा को याद रखने के लिए पर्याप्त है।

क) क्योंकि , तो असमानता निरर्थक है। इसलिए, कोई समाधान नहीं हैं.

ख) क्योंकि इसी प्रकार, किसी भी तर्क की ज्या सदैव शर्त में निर्दिष्ट असमानता को संतुष्ट करती है। इसलिए, असमानता तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों से संतुष्ट है।

उत्तर। क) कोई समाधान नहीं हैं; बी) ।

कार्य 13. असमानता का समाधान करें .

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की विधियाँ

प्रासंगिकता। ऐतिहासिक रूप से, त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को स्कूली पाठ्यक्रम में एक विशेष स्थान दिया गया है। हम कह सकते हैं कि त्रिकोणमिति स्कूली पाठ्यक्रम और सामान्य तौर पर सभी गणितीय विज्ञान के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक है।

शैक्षिक सामग्री की सामग्री और शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधि के तरीकों के संदर्भ में, त्रिकोणमितीय समीकरण और असमानताएं हाई स्कूल गणित पाठ्यक्रम में केंद्रीय स्थानों में से एक पर कब्जा कर लेती हैं, जिन्हें उनके अध्ययन के दौरान बनाया जा सकता है और बड़े पैमाने पर हल करने के लिए लागू किया जाना चाहिए। सैद्धांतिक और व्यावहारिक प्रकृति की समस्याओं की संख्या।

त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं का समाधान त्रिकोणमिति में सभी शैक्षिक सामग्री से संबंधित छात्रों के ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए आवश्यक शर्तें बनाता है (उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के गुण, त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को बदलने के तरीके, आदि) और इसके साथ प्रभावी संबंध स्थापित करना संभव बनाता है। बीजगणित में अध्ययन की गई सामग्री (समीकरण, समीकरणों की तुल्यता, असमानताएं, बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन, आदि)।

दूसरे शब्दों में, त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के तरीकों पर विचार करने से इन कौशलों का एक नई सामग्री में स्थानांतरण शामिल होता है।

सिद्धांत का महत्व और इसके असंख्य अनुप्रयोग चुने गए विषय की प्रासंगिकता का प्रमाण हैं। यह, बदले में, आपको पाठ्यक्रम कार्य के लक्ष्य, उद्देश्य और शोध का विषय निर्धारित करने की अनुमति देता है।

इस अध्ययन का उद्देश्य: उपलब्ध प्रकार की त्रिकोणमितीय असमानताओं, उनके समाधान के लिए बुनियादी और विशेष तरीकों का सामान्यीकरण करें, स्कूली बच्चों द्वारा त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कार्यों के एक सेट का चयन करें।

अनुसंधान के उद्देश्य:

1. शोध विषय पर उपलब्ध साहित्य के विश्लेषण के आधार पर सामग्री को व्यवस्थित करें।

2. "त्रिकोणमितीय असमानताएँ" विषय को समेकित करने के लिए आवश्यक कार्यों का एक सेट दें।

अध्ययन का उद्देश्य स्कूली गणित पाठ्यक्रम में त्रिकोणमितीय असमानताएँ हैं।

अध्ययन का विषय: त्रिकोणमितीय असमानताओं के प्रकार और उनके समाधान की विधियाँ।

सैद्धांतिक महत्व सामग्री को व्यवस्थित करना है.

व्यवहारिक महत्व: समस्याओं को सुलझाने में सैद्धांतिक ज्ञान का अनुप्रयोग; त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए अक्सर सामने आने वाली मुख्य विधियों का विश्लेषण।

तलाश पद्दतियाँ : वैज्ञानिक साहित्य का विश्लेषण, अर्जित ज्ञान का संश्लेषण और सामान्यीकरण, समस्या समाधान का विश्लेषण, असमानताओं को हल करने के लिए इष्टतम तरीकों की खोज।

§1. त्रिकोणमितीय असमानताओं के प्रकार और उनके समाधान की बुनियादी विधियाँ

1.1. सबसे सरल त्रिकोणमितीय असमानताएँ

किसी चिन्ह या > से जुड़े दो त्रिकोणमितीय भाव त्रिकोणमितीय असमानताएँ कहलाते हैं।

त्रिकोणमितीय असमानता को हल करने का अर्थ है असमानता में शामिल अज्ञात के मूल्यों का एक सेट खोजना, जिसके तहत असमानता संतुष्ट होती है।

त्रिकोणमितीय असमानताओं का मुख्य भाग उन्हें सरलतम असमानताओं को हल करके हल किया जाता है:

यह गुणनखंडन की एक विधि हो सकती है, चर का परिवर्तन (
,
आदि), जहां पहले सामान्य असमानता को हल किया जाता है, और फिर रूप की असमानता को
आदि, या अन्य तरीकों से।

सरलतम असमानताओं को दो तरीकों से हल किया जाता है: इकाई वृत्त का उपयोग करके या ग्राफ़िक रूप से।

होने देनाएफ(एक्स  बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक है। असमानता को हल करने के लिए
इसका समाधान एक अवधि में ढूंढना पर्याप्त है, अर्थात। किसी भी खंड पर जिसकी लंबाई फ़ंक्शन की अवधि के बराबर हैएफ  एक्स  . तब मूल असमानता का समाधान सब मिल जायेगाएक्स , साथ ही वे मान जो फ़ंक्शन की अवधियों की किसी पूर्णांक संख्या द्वारा पाए गए मानों से भिन्न होते हैं। इस मामले में, ग्राफिकल विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।

आइए हम असमानताओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम का उदाहरण दें
(
) और
.

असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम
(
).

1. किसी संख्या की ज्या की परिभाषा बनाइयेएक्स यूनिट सर्कल पर.

3. y-अक्ष पर, निर्देशांक के साथ एक बिंदु चिह्नित करेंए .

4. इस बिंदु से होकर OX अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचें और वृत्त के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

5. एक वृत्त का एक चाप चुनें, जिसके सभी बिंदुओं की कोटि इससे कम होए .

6. बाईपास की दिशा (वामावर्त) निर्दिष्ट करें और फ़ंक्शन की अवधि को अंतराल के अंत में जोड़कर उत्तर लिखें2πn ,
.

असमानता को हल करने के लिए एल्गोरिदम
.

1. किसी संख्या की स्पर्श रेखा की परिभाषा बनाइयेएक्स यूनिट सर्कल पर.

2. एक इकाई वृत्त बनाएं।

3. स्पर्शरेखाओं की एक रेखा खींचिए और उस पर कोटि से एक बिंदु अंकित कीजिएए .

4. इस बिंदु को मूल बिंदु से जोड़ें और इकाई वृत्त के साथ परिणामी खंड के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें।

5. एक वृत्त का एक चाप चुनें, जिसके सभी बिंदुओं की स्पर्श रेखा पर कोटि इससे कम होए .

6. ट्रैवर्सल की दिशा बताएं और फ़ंक्शन के दायरे को ध्यान में रखते हुए, एक अवधि जोड़कर उत्तर लिखेंपीएन ,
(रिकॉर्ड के बाईं ओर की संख्या हमेशा दाईं ओर की संख्या से कम होती है)।

सामान्य रूप में असमानताओं को हल करने के लिए सरलतम समीकरणों और सूत्रों के समाधान की चित्रमय व्याख्या परिशिष्ट (परिशिष्ट 1 और 2) में दी गई है।

उदाहरण 1 असमानता का समाधान करें
.

यूनिट सर्कल पर एक रेखा खींचें
, जो वृत्त को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करता है।

सभी मूल्यय अंतराल एनएम पर अधिक , चाप AMB के सभी बिंदु इस असमानता को संतुष्ट करते हैं। घूर्णन के सभी कोणों पर, बड़ा , लेकिन छोटा ,
से अधिक मूल्य ग्रहण करेगा (लेकिन एक से अधिक नहीं)।

चित्र .1

इस प्रकार, असमानता का समाधान अंतराल के सभी मान होंगे
, अर्थात।
. इस असमानता के सभी समाधान प्राप्त करने के लिए, इस अंतराल के सिरों को जोड़ना पर्याप्त है
, कहाँ
, अर्थात।
,
. ध्यान दें कि मान
और
समीकरण की जड़ें हैं
,

वे।
;
.

उत्तर:
,
.

1.2. ग्राफ़िक विधि

व्यवहार में, त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए एक ग्राफिकल विधि अक्सर उपयोगी होती है। असमानता के उदाहरण पर विधि के सार पर विचार करें
:

1. यदि तर्क जटिल है (से भिन्न)।एक्स ), फिर हम इसे प्रतिस्थापित करते हैंटी .

2. हम एक समन्वय विमान में निर्माण करते हैंtoOy फ़ंक्शन ग्राफ़
और
.

3. हम ऐसा पाते हैंग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के दो आसन्न बिंदु, जिसके बीच मेंsinusoidस्थितउच्च सीधा
. इन बिंदुओं के भुजाओं का पता लगाएं।

4. तर्क के लिए दोहरी असमानता लिखेंटी , कोसाइन अवधि पर विचार करते हुए (टी पाए गए एब्सिस्सा के बीच होगा)।

5. उलटा प्रतिस्थापन करें (मूल तर्क पर लौटें) और मान व्यक्त करेंएक्स दोहरी असमानता से, हम उत्तर को संख्यात्मक अंतराल के रूप में लिखते हैं।

उदाहरण 2 असमानता का समाधान करें: .

ग्राफ़िकल विधि द्वारा असमानताओं को हल करते समय, कार्यों के ग्राफ़ को यथासंभव सटीक रूप से बनाना आवश्यक है। आइए असमानता को इस रूप में बदलें:

आइए हम एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ़ बनाएं
और
(अंक 2)।

अंक 2

फ़ंक्शन ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैंए निर्देशांक के साथ
;
. बीच में
ग्राफ अंक
चार्ट बिंदुओं के नीचे
. और जब
फ़ंक्शन मान समान हैं। इसीलिए
पर
.

उत्तर:
.

1.3. बीजगणितीय विधि

अक्सर, मूल त्रिकोणमितीय असमानता, एक अच्छी तरह से चुने गए प्रतिस्थापन द्वारा, बीजगणितीय (तर्कसंगत या अपरिमेय) असमानता में कम की जा सकती है। इस पद्धति में असमानता को बदलना, प्रतिस्थापन शुरू करना, या एक चर को प्रतिस्थापित करना शामिल है।

आइए ठोस उदाहरणों पर इस पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण 3 सरलतम रूप में कमी
.

(चित्र 3)

चित्र 3

,
.

उत्तर:
,

उदाहरण 4 असमानता का समाधान करें:

ओडीजेड:
,
.

सूत्रों का उपयोग करना:
,

हम असमानता को इस रूप में लिखते हैं:
.

या, मान लीजिये
सरल परिवर्तनों के बाद हमें प्राप्त होता है

,

,

.

अंतिम असमानता को अंतराल विधि द्वारा हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

चित्र.4

, क्रमश
. फिर चित्र से. 4 अनुसरण करता है
, कहाँ
.

चित्र.5

उत्तर:
,
.

1.4. रिक्ति विधि

अंतराल विधि द्वारा त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना:

त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके गुणनखंडन करें।

फ़ंक्शन के ब्रेकप्वाइंट और शून्य ढूंढें, उन्हें सर्कल पर रखें।

कोई भी बिंदु ले लीजिएको (लेकिन पहले नहीं मिला) और उत्पाद का चिह्न पता करें। यदि उत्पाद सकारात्मक है, तो कोण के अनुरूप किरण पर इकाई वृत्त के बाहर एक बिंदु रखें। अन्यथा, बिंदु को वृत्त के अंदर रखें।

यदि कोई बिंदु सम संख्या में बार आता है, तो हम इसे सम बहुलता वाला बिंदु कहते हैं; यदि विषम संख्या में है, तो हम इसे विषम बहुलता वाला बिंदु कहते हैं। इस प्रकार चाप बनाएं: एक बिंदु से प्रारंभ करेंको , यदि अगला बिंदु विषम बहुलता का है, तो चाप इस बिंदु पर वृत्त को काटता है, लेकिन यदि बिंदु सम बहुलता का है, तो यह प्रतिच्छेद नहीं करता है।

एक वृत्त के पीछे चाप सकारात्मक अंतराल हैं; वृत्त के अंदर ऋणात्मक अंतराल हैं।

उदाहरण 5 असमानता का समाधान करें

,
.

पहली श्रृंखला के बिंदु:
.

दूसरी श्रृंखला के बिंदु:
.

प्रत्येक बिंदु विषम संख्या में बार आता है, अर्थात सभी बिंदु विषम बहुलता वाले होते हैं।

यहां उत्पाद का चिह्न ढूंढें
: . हम यूनिट सर्कल पर सभी बिंदुओं को चिह्नित करते हैं (चित्र 6):

चावल। 6

उत्तर:
,
;
,
;
,
.

उदाहरण 6 . असमानता का समाधान करें.

समाधान:

आइए व्यंजक के शून्य ज्ञात करें .

पानाऐएम :

,
;

,
;

,
;

,
;

यूनिट सर्कल पर, श्रृंखला मानएक्स 1 बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया
. शृंखलाएक्स 2 अंक देता है
. एक श्रृंखलाएक्स 3 हमें दो अंक मिलते हैं
. अंत में, एक शृंखलाएक्स 4 बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करेगा
. हम इन सभी बिंदुओं को इकाई वृत्त पर रखते हैं, इसकी प्रत्येक बहुलता के आगे कोष्ठक में दर्शाते हैं।

अब नंबर दीजिए बराबर होगा. हम संकेत द्वारा अनुमान लगाते हैं:

तो बात यह हैए कोण बनाने वाले बीम पर चुना जाना चाहिए किरण के साथओह, यूनिट सर्कल के बाहर. (ध्यान दें कि सहायक बीमके बारे में ए इसे चित्र में दिखाने की आवश्यकता नहीं है. डॉटए लगभग चयनित।)

अब मुद्दे सेए हम सभी चिह्नित बिंदुओं पर क्रमिक रूप से एक लहरदार सतत रेखा खींचते हैं। और बिंदुओं पर
हमारी रेखा एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में जाती है: यदि यह इकाई वृत्त के बाहर थी, तो यह उसमें चली जाती है। मुद्दे के करीब पहुँचना , रेखा आंतरिक क्षेत्र में लौट आती है, क्योंकि इस बिंदु की बहुलता सम है। इसी प्रकार बिंदु पर (सम बहुलता के साथ) रेखा को बाहरी क्षेत्र की ओर घुमाना होगा। इसलिए, हमने चित्र में दर्शाया गया एक निश्चित चित्र बनाया। 7. यह यूनिट सर्कल पर वांछित क्षेत्रों को उजागर करने में मदद करता है। उन्हें "+" से चिह्नित किया गया है।

चित्र 7

अंतिम उत्तर:

टिप्पणी। यदि लहरदार रेखा, इकाई वृत्त पर अंकित सभी बिंदुओं को पार करने के बाद, बिंदु पर वापस नहीं लौट सकती हैए , वृत्त को "अवैध" स्थान पर पार किए बिना, इसका मतलब है कि समाधान में एक त्रुटि हुई थी, अर्थात्, विषम संख्या में जड़ें छोड़ दी गईं थीं।

उत्तर: .

§2. त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कार्यों का एक सेट

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए स्कूली बच्चों की क्षमता विकसित करने की प्रक्रिया में, 3 चरणों को भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

1. तैयारी,

2. सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कौशल का निर्माण;

3. अन्य प्रकार की त्रिकोणमितीय असमानताओं का परिचय।

प्रारंभिक चरण का उद्देश्य स्कूली बच्चों में असमानताओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय वृत्त या ग्राफ का उपयोग करने की क्षमता का निर्माण करना आवश्यक है, अर्थात्:

प्रपत्र की सरल असमानताओं को हल करने की क्षमता
,
,
,
, साइन और कोसाइन फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करना;

संख्यात्मक वृत्त के चापों के लिए या कार्यों के ग्राफ़ के चापों के लिए दोहरी असमानताएँ बनाने की क्षमता;

त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के विभिन्न परिवर्तन करने की क्षमता।

त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों के बारे में स्कूली बच्चों के ज्ञान को व्यवस्थित करने की प्रक्रिया में इस चरण को लागू करने की सिफारिश की गई है। मुख्य साधन छात्रों को दिए जाने वाले कार्य हो सकते हैं और शिक्षक के मार्गदर्शन में या स्वतंत्र रूप से किए जा सकते हैं, साथ ही त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में प्राप्त कौशल भी हो सकते हैं।

यहां ऐसे कार्यों के उदाहरण दिए गए हैं:

1 . यूनिट सर्कल पर एक बिंदु चिह्नित करें , अगर

.

2. निर्देशांक तल के किस चतुर्थांश में बिंदु है? , अगर बराबर:

3. त्रिकोणमितीय वृत्त पर बिंदु अंकित करें , अगर:

4. व्यंजक को त्रिकोणमितीय फलनों में लाएँमैंक्वार्टर.

ए)
, बी)
, वी)

5. चाप एमआर दिया गया।एम - मध्यमैंचौथी तिमाही,आर - मध्यद्वितीयचौथी तिमाही. किसी वेरिएबल का मान सीमित करेंटी के लिए: (एक दोहरी असमानता बनाएं) ए) आर्क एमपी; बी) आरएम आर्क्स।

6. ग्राफ़ के चयनित अनुभागों के लिए दोहरी असमानता लिखें:

चावल। 1

7. असमानताओं को हल करें
,
,
,
.

8. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें .

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए सीखने के दूसरे चरण में, हम छात्रों की गतिविधियों को व्यवस्थित करने की पद्धति से संबंधित निम्नलिखित सिफारिशें पेश कर सकते हैं। साथ ही, त्रिकोणमितीय वृत्त या ग्राफ़ के साथ काम करने के लिए छात्रों के कौशल पर ध्यान देना आवश्यक है, जो सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के दौरान बनते हैं।

सबसे पहले, सरलतम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए एक सामान्य विधि प्राप्त करने की समीचीनता को प्रेरित करना संभव है, उदाहरण के लिए, प्रपत्र की असमानता का संदर्भ देकर
. प्रारंभिक चरण में अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करके, छात्र प्रस्तावित असमानता को स्वरूप में लाएंगे
, लेकिन परिणामस्वरूप असमानता के समाधान का एक सेट ढूंढना मुश्किल हो सकता है केवल साइन फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके इसे हल करना असंभव है। उपयुक्त चित्रण (ग्राफ़िक रूप से या एक इकाई वृत्त का उपयोग करके समीकरण का समाधान) का हवाला देकर इस कठिनाई से बचा जा सकता है।

दूसरे, शिक्षक को कार्य को पूरा करने के विभिन्न तरीकों की ओर छात्रों का ध्यान आकर्षित करना चाहिए, ग्राफ़िक रूप से और त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके असमानता को हल करने का एक उपयुक्त उदाहरण देना चाहिए।

असमानता को हल करने के लिए ऐसे विकल्पों पर विचार करें
.

1. इकाई वृत्त का उपयोग करके असमानता को हल करना।

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने पर पहले पाठ में, हम छात्रों को एक विस्तृत समाधान एल्गोरिदम प्रदान करेंगे, जो चरण-दर-चरण प्रस्तुति में असमानता को हल करने के लिए आवश्यक सभी बुनियादी कौशल को दर्शाता है।

स्टेप 1।एक इकाई वृत्त बनाएं, y-अक्ष पर एक बिंदु चिह्नित करें और इसके माध्यम से x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें। यह रेखा इकाई वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगी। इनमें से प्रत्येक बिंदु उन संख्याओं को दर्शाता है जिनकी ज्या बराबर है .

चरण दोइस सीधी रेखा ने वृत्त को दो चापों में विभाजित कर दिया। आइए उसे अलग करें जिस पर वे संख्याएँ प्रदर्शित होती हैं जिनकी ज्या बड़ी होती है . स्वाभाविक रूप से, यह चाप खींची गई सीधी रेखा के ऊपर स्थित होता है।

चावल। 2

चरण 3आइए चिह्नित चाप के सिरों में से एक को चुनें। आइए उन संख्याओं में से एक को लिखें जो इकाई वृत्त के इस बिंदु द्वारा दर्शाई गई हैं .

चरण 4चयनित चाप के दूसरे सिरे के अनुरूप एक संख्या का चयन करने के लिए, हम इस चाप के साथ नामित सिरे से दूसरे सिरे तक "पास" करते हैं। साथ ही, हम याद करते हैं कि वामावर्त दिशा में घूमने पर, जिन संख्याओं से हम गुजरेंगे उनमें वृद्धि होती है (विपरीत दिशा में जाने पर, संख्याएं घट जाएंगी)। आइए उस संख्या को लिखें जो चिह्नित चाप के दूसरे छोर पर इकाई वृत्त पर दर्शाया गया है .

इस प्रकार, हम देखते हैं कि असमानता
उन संख्याओं को संतुष्ट करें जिनके लिए असमानता है
. हमने साइन फ़ंक्शन की समान अवधि पर स्थित संख्याओं के लिए असमानता को हल किया। इसलिए, असमानता के सभी समाधान इस प्रकार लिखे जा सकते हैं

छात्रों को आंकड़ों पर सावधानीपूर्वक विचार करने और यह पता लगाने के लिए कहा जाना चाहिए कि असमानता के सभी समाधान क्यों हैं
फॉर्म में लिखा जा सकता है
,
.

चावल। 3

छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करना आवश्यक है कि कोसाइन फ़ंक्शन के लिए असमानताओं को हल करते समय, हम y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं।

असमानता को हल करने का चित्रमय तरीका।

चार्ट बनाना
और
, मान लें कि
.

चावल। 4

फिर हम समीकरण लिखते हैं
और उसका निर्णय
,
,
, सूत्रों का उपयोग करके पाया गया
,
,
.

(दे रहा हूँएन मान 0, 1, 2, हमें बने समीकरण के तीन मूल मिलते हैं)। मान
ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लगातार तीन भुज हैं
और
. जाहिर है, हमेशा अंतराल पर
असमानता
, और अंतराल पर
- असमानता
. हम पहले मामले में रुचि रखते हैं, और फिर इस अंतराल के अंत में एक संख्या जोड़ने पर जो कि साइन अवधि का एक गुणक है, हम असमानता का समाधान प्राप्त करते हैं
जैसा:
,
.

चावल। 5

संक्षेप। असमानता को हल करने के लिए
, आपको संगत समीकरण लिखना होगा और उसे हल करना होगा। परिणामी सूत्र से मूल ज्ञात कीजिए और , और असमानता का उत्तर इस रूप में लिखें: ,
.

तीसरा, ग्राफिक रूप से हल करने पर संबंधित त्रिकोणमितीय असमानता की जड़ों के सेट के बारे में तथ्य बहुत स्पष्ट रूप से पुष्टि की जाती है।

चावल। 6

छात्रों को यह प्रदर्शित करना आवश्यक है कि कुंडल, जो असमानता का समाधान है, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की अवधि के बराबर, उसी अंतराल के माध्यम से दोहराता है। आप साइन फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए एक समान उदाहरण पर भी विचार कर सकते हैं।

चौथा, त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने में इन तकनीकों की भूमिका पर स्कूली बच्चों का ध्यान आकर्षित करने के लिए, त्रिकोणमितीय कार्यों के योग (अंतर) को उत्पाद में परिवर्तित करने के छात्रों के तरीकों को अद्यतन करने पर काम करने की सलाह दी जाती है।

इस तरह के कार्य को छात्रों द्वारा शिक्षक द्वारा प्रस्तावित कार्यों की स्वतंत्र पूर्ति के माध्यम से व्यवस्थित किया जा सकता है, जिनमें से हम निम्नलिखित पर प्रकाश डालते हैं:

पांचवां, छात्रों को एक ग्राफ़ या त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके प्रत्येक सरल त्रिकोणमितीय असमानता के समाधान को चित्रित करना होगा। इसकी समीचीनता पर ध्यान देना सुनिश्चित करें, विशेष रूप से एक वृत्त के उपयोग पर, क्योंकि त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करते समय, संबंधित चित्रण किसी दिए गए असमानता के समाधान के सेट को ठीक करने के लिए एक बहुत ही सुविधाजनक साधन के रूप में कार्य करता है।

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीकों से छात्रों को परिचित कराना जो सबसे सरल नहीं हैं, निम्नलिखित योजना के अनुसार करने की सलाह दी जाती है: एक स्वतंत्र समाधान के लिए संबंधित त्रिकोणमितीय समीकरण संयुक्त खोज (शिक्षक - छात्र) का जिक्र करते हुए एक विशिष्ट त्रिकोणमितीय असमानता का जिक्र करना पाई गई तकनीक को उसी प्रकार की अन्य असमानताओं में स्थानांतरित करना।

छात्रों के त्रिकोणमिति के ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए, हम विशेष रूप से ऐसी असमानताओं का चयन करने की सलाह देते हैं, जिनके समाधान के लिए विभिन्न परिवर्तनों की आवश्यकता होती है जिन्हें इसे हल करने की प्रक्रिया में लागू किया जा सकता है, जिससे छात्रों का ध्यान उनकी विशेषताओं पर केंद्रित हो सके।

ऐसी उत्पादक असमानताओं के रूप में, हम, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित का प्रस्ताव कर सकते हैं:

अंत में, हम त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए समस्याओं के एक सेट का एक उदाहरण देते हैं।

1. असमानताओं को हल करें:

2. असमानताओं को हल करें: 3. असमानताओं के सभी समाधान खोजें: 4. असमानताओं के सभी समाधान खोजें:

ए)
, शर्त को संतुष्ट करना
;

बी)
, शर्त को संतुष्ट करना
.

5. असमानताओं के सभी समाधान खोजें:

ए) ;

बी) ;

वी)
;

जी)
;

इ)
.

6. असमानताओं को हल करें:

ए) ;

बी) ;

वी);

जी)
;

इ) ;

इ) ;

और)
.

7. असमानताओं को हल करें:

ए)
;

बी) ;

वी);

जी) ।

8. असमानताओं को हल करें:

ए) ;

बी) ;

वी);

जी)
;

इ)
;

इ) ;

और)
;

एच) ।

उन्नत स्तर पर गणित का अध्ययन करने वाले छात्रों को कार्य 6 और 7 की पेशकश करने की सलाह दी जाती है, गणित के गहन अध्ययन वाले कक्षाओं में छात्रों को कार्य 8 की पेशकश करने की सलाह दी जाती है।

§3. त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की विशेष विधियाँ

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विशेष विधियाँ - अर्थात् वे विधियाँ जिनका उपयोग केवल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। ये विधियाँ त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों के उपयोग के साथ-साथ विभिन्न त्रिकोणमितीय सूत्रों और पहचानों के उपयोग पर आधारित हैं।

3.1. सेक्टर विधि

त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए सेक्टर विधि पर विचार करें। प्रपत्र की असमानताओं का समाधान

, कहाँपी ( एक्स ) औरक्यू ( एक्स ) - तर्कसंगत त्रिकोणमितीय कार्य (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट उन्हें तर्कसंगत रूप से दर्ज करते हैं), तर्कसंगत असमानताओं के समाधान के समान। वास्तविक अक्ष पर अंतराल की विधि द्वारा तर्कसंगत असमानताओं को हल करना सुविधाजनक है। तर्कसंगत त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने में इसका एनालॉग त्रिकोणमितीय वृत्त में क्षेत्रों की विधि हैसिनक्स औरcosx (
) या एक त्रिकोणमितीय अर्धवृत्त के लिएटीजीएक्स औरसीटीजीएक्स (
).

अंतराल विधि में, प्रपत्र के अंश और हर के प्रत्येक रैखिक गुणनखंड
संख्या अक्ष पर बिंदु , और जब इस बिंदु से गुजर रहे हों
संकेत बदलता है. सेक्टर विधि में, प्रपत्र के प्रत्येक गुणक
, कहाँ
- कार्यों में से एकसिनक्स याcosx और
, एक त्रिकोणमितीय वृत्त में दो कोण संगत होते हैं और
, जो वृत्त को दो सेक्टरों में विभाजित करता है। गुजरते वक्त और समारोह
संकेत बदलता है.

निम्नलिखित को याद रखना चाहिए:

ए) फॉर्म के गुणक
और
, कहाँ
, सभी मानों के लिए चिह्न बनाए रखें . अंश और हर के ऐसे गुणकों को हटा दिया जाता है, बदल दिया जाता है (यदि)।
) ऐसी प्रत्येक अस्वीकृति पर, असमानता चिह्न उलट जाता है।

बी) फॉर्म के गुणक
और
भी त्याग दिए जाते हैं. इसके अलावा, यदि ये हर के गुणनखंड हैं, तो प्रपत्र की असमानताएँ असमानताओं की समतुल्य प्रणाली में जोड़ दी जाती हैं
और
. यदि ये अंश के गुणनखंड हैं, तो बाधाओं की समतुल्य प्रणाली में वे असमानताओं के अनुरूप हैं
और
सख्त प्रारंभिक असमानता और समानता के मामले में
और
गैर-सख्त प्रारंभिक असमानता के मामले में। गुणक को गिराते समय
या
असमानता का चिन्ह उलट दिया गया है।

उदाहरण 1 असमानताओं को हल करें: ए)
, बी)
. हमारे पास एक फ़ंक्शन है, बी)। हमारे पास मौजूद असमानता को हल करें

3.2. संकेंद्रित वृत्त विधि

यह विधि तर्कसंगत असमानताओं की प्रणालियों को हल करने में समानांतर संख्यात्मक अक्षों की विधि के अनुरूप है।

असमानताओं की प्रणाली के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 5 सरल त्रिकोणमितीय असमानताओं की एक प्रणाली को हल करें

सबसे पहले, हम प्रत्येक असमानता को अलग से हल करते हैं (चित्र 5)। चित्र के ऊपरी दाएं कोने में, हम इंगित करेंगे कि त्रिकोणमितीय वृत्त को किस तर्क के लिए माना जाता है।

चित्र.5

इसके बाद, हम तर्क के लिए संकेंद्रित वृत्तों की एक प्रणाली बनाते हैंएक्स . हम एक वृत्त बनाते हैं और उसे पहली असमानता के समाधान के अनुसार छायांकित करते हैं, फिर हम एक बड़े त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं और उसे दूसरी असमानता के समाधान के अनुसार छायांकित करते हैं, फिर हम तीसरी असमानता के लिए एक वृत्त बनाते हैं और एक आधार वृत्त बनाते हैं . हम सिस्टम के केंद्र से चापों के सिरों के माध्यम से किरणें खींचते हैं ताकि वे सभी वृत्तों को काट दें। हम आधार वृत्त पर एक समाधान बनाते हैं (चित्र 6)।

चित्र 6

उत्तर:
,
.

निष्कर्ष

पाठ्यक्रम के सभी उद्देश्य पूर्ण हो गये। सैद्धांतिक सामग्री को व्यवस्थित किया गया है: त्रिकोणमितीय असमानताओं के मुख्य प्रकार और उनके समाधान के लिए मुख्य तरीके (ग्राफिकल, बीजगणितीय, अंतराल की विधि, क्षेत्रों और संकेंद्रित वृत्तों की विधि) दिए गए हैं। प्रत्येक विधि के लिए, असमानता को हल करने का एक उदाहरण दिया गया था। सैद्धांतिक भाग के बाद व्यावहारिक भाग आया। इसमें त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के लिए कार्यों का एक सेट शामिल है।

इस कोर्सवर्क का उपयोग छात्र स्वतंत्र कार्य के लिए कर सकते हैं। छात्र इस विषय को आत्मसात करने के स्तर की जांच कर सकते हैं, अलग-अलग जटिलता के कार्यों को करने का अभ्यास कर सकते हैं।

इस मुद्दे पर प्रासंगिक साहित्य के माध्यम से काम करने के बाद, जाहिर है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बीजगणित के स्कूल पाठ्यक्रम और विश्लेषण की शुरुआत में त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत महत्वपूर्ण हैं, जिसके विकास के लिए काफी प्रयास की आवश्यकता होती है। गणित शिक्षक.

इसलिए, यह कार्य गणित के शिक्षकों के लिए उपयोगी होगा, क्योंकि यह "त्रिकोणमितीय असमानताओं" विषय पर छात्रों के प्रशिक्षण को प्रभावी ढंग से व्यवस्थित करना संभव बनाता है।

अध्ययन को अंतिम अर्हकारी कार्य तक विस्तारित करके जारी रखा जा सकता है.

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परिशिष्ट 1

सरलतम असमानताओं के समाधान की चित्रमय व्याख्या

चावल। 1

चावल। 2

चित्र 3

चित्र.4

चित्र.5

चित्र 6

चित्र 7

चित्र.8

परिशिष्ट 2

सरलतम असमानताओं का समाधान