साधारण भिन्नों का विभाजन: नियम, उदाहरण, समाधान। विभिन्न हरों के साथ सरल और मिश्रित भिन्नों का गुणन
भिन्नों के साथ, आप विभाजन सहित सभी क्रियाएं कर सकते हैं। यह लेख साधारण भिन्नों के विभाजन को दर्शाता है। परिभाषाएं दी जाएंगी, उदाहरणों पर विचार किया जाएगा। आइए हम भिन्नों के प्राकृत संख्याओं और इसके विपरीत के विभाजन पर ध्यान दें। एक साधारण भिन्न को एक मिश्रित संख्या से भाग देने पर विचार किया जाएगा।
साधारण भिन्नों का विभाजन
भाग गुणन का विलोम है। विभाजित करते समय, अज्ञात कारक ज्ञात उत्पाद और एक अन्य कारक पर होता है, जहां इसका दिया गया अर्थ साधारण अंशों के साथ संरक्षित होता है।
यदि साधारण अंश a b को c d से विभाजित करना आवश्यक है, तो ऐसी संख्या निर्धारित करने के लिए, आपको भाजक c d से गुणा करना होगा, यह अंततः लाभांश a b देगा। आइए एक संख्या प्राप्त करें और इसे a b · d c लिखें, जहाँ d c c d संख्या का व्युत्क्रम है। गुणन के गुणों का उपयोग करके समानताएं लिखी जा सकती हैं, अर्थात्: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, जहां व्यंजक a b d c a b को c d से विभाजित करने का भागफल है।
यहाँ से हम साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम प्राप्त करते हैं और बनाते हैं:
परिभाषा 1
एक साधारण भिन्न a b को c d से भाग देने के लिए, भाज्य को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना आवश्यक है।
आइए नियम को व्यंजक के रूप में लिखें: a b: c d = a b d c
विभाजन के नियमों को घटाकर गुणा कर दिया जाता है। इस पर टिके रहने के लिए, आपको साधारण भिन्नों के गुणन में पारंगत होने की आवश्यकता है।
आइए साधारण भिन्नों के विभाजन पर चलते हैं।
उदाहरण 1
भाग 9 7 ब 5 3 निष्पादित करें। परिणाम को भिन्न के रूप में लिखें।
समाधान
संख्या 5 3 3 5 का व्युत्क्रम है। आपको साधारण भिन्नों को विभाजित करने के लिए नियम का उपयोग करना चाहिए। हम इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखते हैं: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35।
उत्तर: 9 7: 5 3 = 27 35 .
भिन्नों को कम करते समय, यदि अंश हर से बड़ा है, तो आपको पूरे भाग को हाइलाइट करना चाहिए।
उदाहरण 2
8 15: 24 65 को विभाजित करें। उत्तर को भिन्न के रूप में लिखें।
समाधान
इसका समाधान भाग से गुणन पर स्विच करना है। हम इसे इस रूप में लिखते हैं: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
कमी करना आवश्यक है, और यह निम्नानुसार किया जाता है: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं और 13 9 = 1 4 9 प्राप्त करते हैं।
उत्तर: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
एक प्राकृतिक संख्या द्वारा एक असाधारण अंश का विभाजन
हम एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करने के नियम का उपयोग करते हैं: a b को एक प्राकृत संख्या n से विभाजित करने के लिए, आपको केवल हर को n से गुणा करना होगा। यहाँ से हमें व्यंजक प्राप्त होता है: a b: n = a b · n।
विभाजन नियम गुणन नियम का परिणाम है। इसलिए, एक प्राकृतिक संख्या को अंश के रूप में प्रस्तुत करने से इस प्रकार की समानता मिलेगी: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n।
एक भिन्न के इस विभाजन पर एक संख्या से विचार करें।
उदाहरण 3
भिन्न 1645 को संख्या 12 से भाग दें।
समाधान
किसी भिन्न को किसी संख्या से भाग देने का नियम लागू करें। हमें 16 45: 12 = 16 45 12 जैसा व्यंजक मिलता है।
आइए अंश को कम करें। हमें 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 मिलता है।
उत्तर: 16 45: 12 = 4 135 .
एक सामान्य अंश द्वारा एक प्राकृतिक संख्या का विभाजन
विभाजन नियम समान है के बारे मेंएक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण अंश से विभाजित करने का नियम: एक प्राकृतिक संख्या n को एक साधारण a b से विभाजित करने के लिए, संख्या n को भिन्न a b के व्युत्क्रम से गुणा करना आवश्यक है।
नियम के आधार पर, हमारे पास n: a b \u003d n b a है, और एक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण अंश से गुणा करने के नियम के लिए धन्यवाद, हमें अपनी अभिव्यक्ति n: a b \u003d n b a के रूप में मिलती है। एक उदाहरण के साथ इस विभाजन पर विचार करना आवश्यक है।
उदाहरण 4
25 को 15 28 से भाग दें।
समाधान
हमें भाग से गुणा की ओर बढ़ना है। हम व्यंजक 25:15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 के रूप में लिखते हैं। आइए भिन्न को घटाएं और परिणाम को भिन्न के रूप में प्राप्त करें 46 2 3 ।
उत्तर: 25: 15 28 = 46 2 3 .
एक मिश्रित संख्या द्वारा एक सामान्य अंश का विभाजन
साधारण भिन्न को मिश्रित संख्या से विभाजित करते समय, आप साधारण भिन्नों को विभाजित करने के लिए आसानी से चमक सकते हैं। आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने की आवश्यकता है।
उदाहरण 5
भिन्न 35 16 को 3 1 8 से भाग दें।
समाधान
चूँकि 3 1 8 एक मिश्रित संख्या है, आइए इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करें। तब हमें 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 प्राप्त होता है। अब भिन्नों को विभाजित करते हैं। हमें 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10 मिलता है।
उत्तर: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
एक मिश्रित संख्या को विभाजित करना सामान्य संख्याओं की तरह ही किया जाता है।
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टी वर्ग प्रकार: ONZ (नए ज्ञान की खोज - शिक्षण की गतिविधि पद्धति की तकनीक के अनुसार)।
बुनियादी लक्ष्य:
- एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करने की विधियाँ ज्ञात कीजिए;
- एक प्राकृतिक संख्या द्वारा भिन्न का विभाजन करने की क्षमता बनाने के लिए;
- भिन्नों के विभाजन को दोहराएं और समेकित करें;
- भिन्नों को कम करने, विश्लेषण करने और समस्याओं को हल करने की क्षमता को प्रशिक्षित करें।
उपकरण डेमो सामग्री:
1. ज्ञान को अद्यतन करने के लिए कार्य:
भावों की तुलना करें:
संदर्भ:
2. परीक्षण (व्यक्तिगत) कार्य।
1. प्रदर्शन विभाजन:
2. गणना की पूरी श्रृंखला को निष्पादित किए बिना विभाजन करें:।
सन्दर्भ:
- किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से विभाजित करते समय, आप हर को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं, और अंश को वही छोड़ सकते हैं।
- यदि अंश एक प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है, तो इस संख्या से एक अंश को विभाजित करते समय, आप अंश को संख्या से विभाजित कर सकते हैं, और हर को वही छोड़ सकते हैं।
कक्षाओं के दौरान
I. सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा (आत्मनिर्णय)।
मंच का उद्देश्य:
- शैक्षिक गतिविधियों ("जरूरी") की ओर से छात्र के लिए आवश्यकताओं की प्राप्ति को व्यवस्थित करें;
- एक विषयगत ढांचा ("मैं कर सकता हूं") स्थापित करने के लिए छात्रों की गतिविधियों को व्यवस्थित करें;
- शैक्षिक गतिविधियों ("मैं चाहता हूं") में शामिल करने के लिए छात्र की आंतरिक आवश्यकता के लिए स्थितियां बनाना।
चरण I में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
नमस्ते! मुझे आप सभी को गणित की कक्षा में देखकर खुशी हुई। मुझे आशा है कि यह आपसी है।
दोस्तों, पिछले पाठ में आपने क्या नया ज्ञान प्राप्त किया? (अंशों को विभाजित करें)।
सही। भिन्नों को विभाजित करने में क्या मदद करता है? (नियम, गुण)।
हमें इस ज्ञान की आवश्यकता कहाँ है? (उदाहरण में, समीकरण, कार्य)।
बहुत बढ़िया! आपने पिछले पाठ में अच्छा प्रदर्शन किया था। क्या आप आज स्वयं नए ज्ञान की खोज करना चाहेंगे? (हाँ)।
फिर जाइए! और पाठ का आदर्श वाक्य यह कथन है "गणित यह देखकर नहीं सीखा जा सकता कि आपका पड़ोसी इसे कैसे करता है!"।
द्वितीय. एक परीक्षण कार्रवाई में ज्ञान की प्राप्ति और एक व्यक्तिगत कठिनाई का निर्धारण।
मंच का उद्देश्य:
- नए ज्ञान के निर्माण के लिए पर्याप्त, कार्रवाई के अध्ययन किए गए तरीकों की प्राप्ति को व्यवस्थित करने के लिए। इन विधियों को मौखिक रूप से (भाषण में) और प्रतीकात्मक रूप से (मानक) ठीक करें और उनका सामान्यीकरण करें;
- नए ज्ञान के निर्माण के लिए पर्याप्त मानसिक संचालन और संज्ञानात्मक प्रक्रियाओं के कार्यान्वयन को व्यवस्थित करें;
- एक परीक्षण कार्रवाई और इसके स्वतंत्र कार्यान्वयन और औचित्य के लिए प्रेरित करना;
- एक परीक्षण कार्रवाई के लिए एक व्यक्तिगत कार्य प्रस्तुत करें और नई शैक्षिक सामग्री की पहचान करने के लिए इसका विश्लेषण करें;
- शैक्षिक लक्ष्य और पाठ के विषय के निर्धारण को व्यवस्थित करें;
- एक परीक्षण कार्रवाई के कार्यान्वयन को व्यवस्थित करें और कठिनाई को ठीक करें;
- प्राप्त प्रतिक्रियाओं का विश्लेषण व्यवस्थित करें और परीक्षण कार्रवाई करने या इसे उचित ठहराने में व्यक्तिगत कठिनाइयों को रिकॉर्ड करें।
चरण II में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
गोलियों (व्यक्तिगत बोर्ड) का उपयोग करके सामने की ओर।
1. भावों की तुलना करें:
(ये भाव बराबर हैं)
आपने किन दिलचस्प बातों पर ध्यान दिया? (लाभांश के अंश और हर, प्रत्येक व्यंजक में भाजक के अंश और हर में समान संख्या में वृद्धि होती है। इस प्रकार, भावों में भाजक और भाजक एक दूसरे के बराबर भिन्नों द्वारा दर्शाए जाते हैं)।
व्यंजक का अर्थ ज्ञात कीजिए और उसे टेबलेट पर लिखिए। (2)
इस संख्या को भिन्न के रूप में कैसे लिखें?
आपने विभाजन की कार्रवाई कैसे की? (बच्चे नियम का उच्चारण करते हैं, शिक्षक बोर्ड पर पत्र लटकाते हैं)
2. केवल परिणामों की गणना और रिकॉर्ड करें:
3. अपने परिणाम जोड़ें और अपना उत्तर लिखें। (2)
टास्क 3 में प्राप्त संख्या का नाम क्या है? (प्राकृतिक)
क्या आप सोचते हैं कि आप भिन्न को प्राकृत संख्या से भाग दे सकते हैं? (हाँ, हम कोशिश करेंगे)
इसे इस्तेमाल करे।
4. व्यक्तिगत (परीक्षण) कार्य।
विभाजन करें: (केवल उदाहरण के लिए)
विभाजित करने के लिए आपने किस नियम का प्रयोग किया? (एक भिन्न को भिन्न से भाग देने के नियम के अनुसार)
और अब गणना की पूरी श्रृंखला को निष्पादित किए बिना अंश को एक प्राकृतिक संख्या से सरल तरीके से विभाजित करें: (उदाहरण बी)। इसके लिए मैं आपको 3 सेकंड का समय देता हूं।
कौन 3 सेकंड में कार्य को पूरा करने में विफल रहा?
इसे किसने बनाया? (ऐसे कोई नहीं हैं)
क्यों? (हमें रास्ता नहीं पता)
तुम्हें क्या मिला? (कठिनाई)
आपको क्या लगता है कि हम कक्षा में क्या करेंगे? (अंशों को प्राकृत संख्याओं से विभाजित करें)
यह सही है, अपनी नोटबुक खोलें और पाठ का विषय लिखें "एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना।"
जब आप पहले से ही भिन्नों को विभाजित करना जानते हैं तो यह विषय नया क्यों लगता है? (एक नया तरीका चाहिए)
सही। आज हम एक ऐसी तकनीक स्थापित करेंगे जो एक भिन्न के विभाजन को एक प्राकृत संख्या से सरल बनाती है।
III. स्थान और कठिनाई के कारण की पहचान।
मंच का उद्देश्य:
- पूर्ण किए गए कार्यों की बहाली को व्यवस्थित करें और (मौखिक और प्रतीकात्मक) स्थान को ठीक करें - चरण, संचालन, जहां कठिनाई उत्पन्न हुई;
- उपयोग की गई विधि (एल्गोरिदम) और कठिनाई के कारण के बाहरी भाषण में निर्धारण के साथ छात्रों के कार्यों के सहसंबंध को व्यवस्थित करने के लिए - वे विशिष्ट ज्ञान, कौशल या क्षमताएं जो इस प्रकार की प्रारंभिक समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।
चरण III में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
आपको कौन सा कार्य पूरा करना था? (गणना की पूरी श्रृंखला किए बिना एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें)
आपको क्या कठिनाई हुई? (जल्दी से कम समय में हल नहीं कर सका)
हमारे पाठ का उद्देश्य क्या है? (किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से भाग देने का त्वरित तरीका खोजें)
आपकी क्या मदद करेगा? (अंशों को विभाजित करने के लिए पहले से ही ज्ञात नियम)
चतुर्थ। कठिनाई से बाहर निकलने की परियोजना का निर्माण।
मंच का उद्देश्य:
- परियोजना के उद्देश्य का स्पष्टीकरण;
- विधि का विकल्प (स्पष्टीकरण);
- धन की परिभाषा (एल्गोरिदम);
- लक्ष्य प्राप्त करने के लिए योजना बनाना।
चरण IV में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
आइए परीक्षण मामले पर वापस जाएं। क्या आपने कहा था कि आप भिन्नों को विभाजित करने के नियम से विभाजित करते हैं? (हाँ)
ऐसा करने के लिए, एक प्राकृत संख्या को भिन्न से बदलें? (हाँ)
आपको क्या लगता है कि आप कौन से कदम छोड़ सकते हैं?
(समाधान श्रृंखला बोर्ड पर खुली है:
विश्लेषण करें और निष्कर्ष निकालें। (स्टेप 1)
यदि कोई उत्तर नहीं है, तो हम प्रश्नों के माध्यम से संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:
प्राकृतिक भाजक कहाँ गया? (हर को)
क्या अंकगणित बदल गया है? (नहीं)
तो कौन सा कदम "छोड़ा" जा सकता है? (स्टेप 1)
कार्य योजना:
- एक भिन्न के हर को एक प्राकृत संख्या से गुणा करें।
- अंश नहीं बदलता है।
- हमें एक नया अंश मिलता है।
V. निर्मित परियोजना का कार्यान्वयन।
मंच का उद्देश्य:
- लापता ज्ञान प्राप्त करने के उद्देश्य से निर्मित परियोजना को लागू करने के लिए संचार बातचीत का आयोजन;
- भाषण और संकेतों (एक मानक की मदद से) में कार्रवाई की निर्मित विधि के निर्धारण को व्यवस्थित करें;
- मूल समस्या के समाधान को व्यवस्थित करें और कठिनाई पर काबू पाने को रिकॉर्ड करें;
- नए ज्ञान की सामान्य प्रकृति का स्पष्टीकरण व्यवस्थित करें।
चरण V पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
अब टेस्ट केस को नए तरीके से जल्दी से चलाएं।
क्या अब आप कार्य को शीघ्रता से पूरा करने में सक्षम हैं? (हाँ)
बताएं कि आपने यह कैसे किया? (बच्चे बोलते हैं)
इसका मतलब है कि हमें नया ज्ञान प्राप्त हुआ है: एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का नियम।
बहुत बढ़िया! इसे जोड़ियों में कहें।
फिर एक छात्र कक्षा में बोलता है। हम नियम-एल्गोरिदम को मौखिक रूप से और बोर्ड पर एक मानक के रूप में ठीक करते हैं।
अब अक्षर पदनाम दर्ज करें और हमारे नियम के लिए सूत्र लिखें।
छात्र बोर्ड पर लिखता है, नियम का उच्चारण करता है: एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते समय, आप हर को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं, और अंश को वही छोड़ सकते हैं।
(हर कोई नोटबुक में सूत्र लिखता है)।
और अब एक बार फिर उत्तर पर विशेष ध्यान देते हुए परीक्षण कार्य को हल करने की श्रृंखला का विश्लेषण करें। उन्होंने क्या किया? (अंश 15 के अंश को संख्या 3 से विभाजित (घटाया) किया गया था)
यह संख्या क्या है? (प्राकृतिक, भाजक)
तो आप किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से और कैसे विभाजित कर सकते हैं? (जांचें: यदि किसी भिन्न का अंश इस प्राकृत संख्या से विभाज्य है, तो आप अंश को इस संख्या से विभाजित कर सकते हैं, परिणाम को नए अंश के अंश में लिख सकते हैं, और हर को वही छोड़ सकते हैं)
इस विधि को सूत्र के रूप में लिखिए। (छात्र बोर्ड पर नियम लिखता है। हर कोई नोटबुक में सूत्र लिखता है।)
आइए पहली विधि पर वापस जाएं। क्या इसका उपयोग किया जा सकता है यदि a:n? (हाँ, यह सामान्य तरीका है)
और दूसरी विधि का उपयोग करना कब सुविधाजनक है? (जब किसी भिन्न का अंश बिना किसी शेषफल के एक प्राकृत संख्या से विभाज्य हो)
VI. बाहरी भाषण में उच्चारण के साथ प्राथमिक समेकन।
मंच का उद्देश्य:
- बाहरी भाषण (सामने, जोड़े या समूहों में) में उनके उच्चारण के साथ विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय कार्रवाई की एक नई पद्धति के बच्चों द्वारा आत्मसात को व्यवस्थित करने के लिए।
चरण VI में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
नए तरीके से गणना करें:
- नंबर 363 (ए; डी) - नियम का उच्चारण करते हुए ब्लैकबोर्ड पर प्रदर्शन करें।
- नंबर 363 (डी; एफ) - जोड़े में नमूने पर एक चेक के साथ।
सातवीं। मानक के अनुसार स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य।
मंच का उद्देश्य:
- कार्रवाई के एक नए तरीके के लिए छात्रों के कार्यों की स्वतंत्र पूर्ति को व्यवस्थित करने के लिए;
- मानक के साथ तुलना के आधार पर स्व-परीक्षण का आयोजन करें;
- स्वतंत्र कार्य के परिणामों के आधार पर, कार्रवाई के एक नए तरीके को आत्मसात करने पर एक प्रतिबिंब का आयोजन करें।
चरण VII में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
नए तरीके से गणना करें:
- संख्या 363 (बी; सी)
छात्र मानक की जांच करते हैं, प्रदर्शन की शुद्धता पर ध्यान देते हैं। त्रुटियों के कारणों का विश्लेषण किया जाता है और त्रुटियों को ठीक किया जाता है।
शिक्षक उन छात्रों से पूछते हैं जिन्होंने गलतियाँ कीं, इसका कारण क्या है?
इस स्तर पर, यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक छात्र स्वतंत्र रूप से अपने काम की जाँच करे।
आठवीं। ज्ञान और पुनरावृत्ति की प्रणाली में शामिल करना।
मंच का उद्देश्य:
- नए ज्ञान के अनुप्रयोग की सीमाओं की पहचान को व्यवस्थित करें;
- सार्थक निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक शैक्षिक सामग्री की पुनरावृत्ति को व्यवस्थित करें।
आठवें चरण में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
चरण IX में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
1. संवाद:
दोस्तों आज आपने कौन सा नया ज्ञान खोजा? (हमने एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से सरल तरीके से विभाजित करना सीखा)
एक सामान्य तरीका तैयार करें। (वे कहते हैं)
किस तरह, और किन मामलों में आप अभी भी इसका इस्तेमाल कर सकते हैं? (वे कहते हैं)
क्या है नए तरीके का फायदा?
क्या हम पाठ के अपने लक्ष्य तक पहुँच चुके हैं? (हाँ)
लक्ष्य प्राप्त करने के लिए आपने किस ज्ञान का उपयोग किया? (वे कहते हैं)
क्या आप सफल हुए हैं?
क्या कठिनाइयाँ थीं?
2. गृहकार्य:खंड 3.2.4।; संख्या 365 (एल, एन, ओ, पी); नंबर 370।
3. शिक्षक:मुझे खुशी है कि आज हर कोई सक्रिय था, कठिनाई से बाहर निकलने का रास्ता खोजने में कामयाब रहा। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जब एक नया खोला और समेकित किया गया तो वे पड़ोसी नहीं थे। सबक बच्चों के लिए धन्यवाद!
पाठ सामग्रीसमान हर के साथ भिन्न जोड़ना
भिन्नों को जोड़ना दो प्रकार का होता है:
- समान हर के साथ भिन्न जोड़ना
- भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना
आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़कर प्रारंभ करें। यहाँ सब कुछ सरल है। समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और . हम अंश जोड़ते हैं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:
इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:
उदाहरण 2भिन्न जोड़ें और .
उत्तर एक अनुचित अंश है। यदि कार्य का अंत आता है, तो यह अनुचित अंशों से छुटकारा पाने के लिए प्रथागत है। एक अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूर्णांक भाग आसानी से आवंटित किया जाता है - दो को दो से विभाजित करना एक के बराबर होता है:
इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो दो भागों में विभाजित है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज्जा मिलता है:
उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें और .
फिर से, अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:
इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा में अधिक पिज्जा जोड़ते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:
उदाहरण 4व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:
आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 संपूर्ण पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना मुश्किल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:
- समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना
अब हम सीखेंगे कि भिन्न हरों वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय, उन भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते हैं।
उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।
लेकिन भिन्नों को एक साथ नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।
भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक पर विचार करेंगे, क्योंकि बाकी विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।
इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि दोनों भिन्नों के हर के पहले (LCM) की तलाश की जाती है। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है। वे दूसरे भिन्न के साथ भी ऐसा ही करते हैं - LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त किया जाता है।
फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है।
उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें और
सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज पाते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 6 है।
एलसीएम (2 और 3) = 6
अब वापस भिन्नों पर और . सबसे पहले, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर 3 संख्या है। 6 को 3 से भाग देने पर हमें 2 प्राप्त होता है।
परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त कारक है। हम इसे पहले अंश में लिखते हैं। ऐसा करने के लिए, हम भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त कारक लिखते हैं:
हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। LCM संख्या 6 है, और दूसरी भिन्न का हर 2 संख्या है। 6 को 2 से भाग देने पर हमें 3 प्राप्त होता है।
परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त कारक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। फिर से, हम दूसरी भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और इसके ऊपर पाया गया अतिरिक्त गुणनखंड लिखते हैं:
अब हम जोड़ने के लिए पूरी तरह तैयार हैं। यह अंशों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:
गौर से देखिए कि हम क्या हासिल कर चुके हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:
इस प्रकार उदाहरण समाप्त होता है। जोड़ने के लिए यह पता चला है।
आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:
भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करना भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। भिन्नों को और एक सामान्य हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन दो भिन्नों को पिज्जा के समान स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा। फर्क सिर्फ इतना होगा कि इस बार उन्हें बराबर शेयरों (एक ही हर में घटाकर) में बांटा जाएगा।
पहला चित्र एक भिन्न दिखाता है (छह में से चार टुकड़े) और दूसरी तस्वीर एक भिन्न (छह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। इन टुकड़ों को एक साथ रखने पर हमें (छः में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह भिन्न गलत है, इसलिए हमने इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट किया है। परिणाम था (एक पूरा पिज्जा और दूसरा छठा पिज्जा)।
ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण को बहुत अधिक विस्तार से चित्रित किया है। शिक्षण संस्थानों में इस तरह के विस्तृत तरीके से लिखने की प्रथा नहीं है। आपको दोनों हरों और उनके लिए अतिरिक्त कारकों के एलसीएम को जल्दी से खोजने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही आपके अंश और हरों द्वारा पाए गए अतिरिक्त कारकों को जल्दी से गुणा करना होगा। स्कूल में रहते हुए, हमें इस उदाहरण को इस प्रकार लिखना होगा:
लेकिन सिक्के का दूसरा पहलू भी है। यदि गणित के अध्ययन के पहले चरणों में विस्तृत नोट्स नहीं बनाए जाते हैं, तो इस तरह के प्रश्न "वह संख्या कहाँ से आती है?", "अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्नों में क्यों बदल जाते हैं? «.
भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्न चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:
- भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए;
- प्रत्येक भिन्न के हर से LCM को विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें;
- भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
- समान भाजक वाले भिन्न जोड़ें;
- यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसके पूरे भाग का चयन करें;
उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .
आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।
चरण 1. भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए
दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्या 2, 3 और 4 . हैं
चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त करें
एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहले भिन्न के ऊपर लिखते हैं:
अब हम LCM को दूसरी भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:
अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरे भिन्न का हर 4 संख्या है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 3 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:
चरण 3. भिन्नों के अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें
हम अंशों और हरों को अपने अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं:
चरण 4. भिन्नों को जोड़ें जिनमें समान हर हों
हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। इन अंशों को जोड़ना बाकी है। जोड़ें:
जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष व्यंजक को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है। जब कोई व्यंजक एक पंक्ति पर फिट नहीं बैठता है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और एक नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस व्यंजक की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर था।
चरण 5. यदि उत्तर गलत भिन्न निकला हो, तो उसमें पूरे भाग का चयन करें
हमारा उत्तर एक अनुचित भिन्न है। हमें इसके पूरे हिस्से को अलग करना होगा। हम हाइलाइट करते हैं:
जवाब मिला
समान हर वाले भिन्नों का घटाव
अंश घटाव दो प्रकार के होते हैं:
- समान हर वाले भिन्नों का घटाव
- भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव
सबसे पहले, आइए जानें कि समान हर वाले भिन्नों को कैसे घटाना है। यहाँ सब कुछ सरल है। एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।
उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे अंश के अंश को घटाना आवश्यक है, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें। चलो इसे करते हैं:
इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:
उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
फिर से, पहले अंश के अंश से, दूसरे अंश के अंश को घटाएं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:
इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम एक पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन भागों में बांटा गया है। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है:
उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
यह उदाहरण पिछले वाले की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से, आपको शेष भिन्नों के अंशों को घटाना होगा:
जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:
- एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
- यदि उत्तर गलत भिन्न निकला, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करने की आवश्यकता है।
भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव
उदाहरण के लिए, भिन्न में से भिन्न को घटाया जा सकता है, क्योंकि इन भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन भिन्न में से भिन्न को घटाया नहीं जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।
सार्व भाजक उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है जिसका उपयोग हमने भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी तरह, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।
फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है।
उदाहरण 1एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:
इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।
सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 12 है।
एलसीएम (3 और 4) = 12
अब वापस भिन्नों पर और
आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हम पहली भिन्न के ऊपर चार लिखते हैं:
हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग देते हैं। LCM संख्या 12 है, और दूसरी भिन्न का हर 4 संख्या है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 मिलता है। दूसरे भिन्न पर एक तिहाई लिखें:
अब हम सब घटाव के लिए तैयार हैं। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:
हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को अंत तक पूरा करें:
जवाब मिला
आइए एक चित्र का उपयोग करके हमारे समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज्जा से पिज्जा काटते हैं, तो आपको पिज्जा मिलता है।
यह समाधान का विस्तृत संस्करण है। स्कूल में होने के कारण, हमें इस उदाहरण को छोटे तरीके से हल करना होगा। ऐसा समाधान इस तरह दिखेगा:
भिन्नों की कमी और एक सामान्य हर को भी एक चित्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। इन भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाने पर, हमें भिन्न और . इन भिन्नों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भिन्नों में विभाजित किया जाएगा (एक ही हर में घटाकर):
पहला चित्र एक अंश दिखाता है (बारह में से आठ टुकड़े), और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े करने से हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पांच टुकड़ों का वर्णन करता है।
उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
इन भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, इसलिए आपको पहले उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा।
इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए।
भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का न्यूनतम सामान्य गुणज 30 . है
एलसीएम(10, 3, 5) = 30
अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करते हैं।
आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। एलसीएम संख्या 30 है, और पहले अंश का हर 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त कारक मिलता है। हम इसे पहले अंश पर लिखते हैं:
अब हम दूसरी भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग दें। LCM संख्या 30 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:
अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरे भिन्न का हर 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे तीसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:
अब सब कुछ घटाव के लिए तैयार है। यह भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करने के लिए बनी हुई है:
हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके समान (सामान्य) भाजक हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाना है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।
उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर बराबर चिह्न (=) के बारे में मत भूलना:
उत्तर सही अंश निकला, और सब कुछ हमें सूट करता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे आसान बनाना चाहिए। क्या किया जा सकता है? आप इस अंश को कम कर सकते हैं।
किसी भिन्न को कम करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को (gcd) संख्याओं 20 और 30 से विभाजित करना होगा।
तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:
अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और अंश के अंश और हर को जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से
जवाब मिला
भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना
किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा।
उदाहरण 1. अंश को संख्या 1 से गुणा करें।
भिन्न के अंश को संख्या 1 . से गुणा करें
प्रविष्टि को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है
गुणन के नियमों से, हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणक को आपस में बदल दिया जाए, तो गुणनफल नहीं बदलेगा। यदि व्यंजक को , के रूप में लिखा जाता है, तो गुणनफल अभी भी के बराबर होगा। फिर से, एक पूर्णांक और एक भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:
इस प्रविष्टि को इकाई का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज्जा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज्जा होगा:
उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
भिन्न के अंश को 4 . से गुणा करें
उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:
व्यंजक को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 बार पिज्जा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज्जा मिलते हैं।
और यदि हम गुणक और गुणक को स्थानों में अदला-बदली करते हैं, तो हमें व्यंजक प्राप्त होता है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूरे पिज्जा से दो पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है:
भिन्नों का गुणन
भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा। यदि उत्तर गलत भिन्न है, तो आपको उसमें पूरे भाग का चयन करना होगा।
उदाहरण 1व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
जवाब मिला। इस अंश को कम करना वांछनीय है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। फिर अंतिम समाधान निम्नलिखित रूप लेगा:
अभिव्यक्ति को आधा पिज्जा से पिज्जा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लें कि हमारे पास आधा पिज्जा है:
इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बांटना होगा:
और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:
हमें पिज्जा मिलेगा। याद रखें कि पिज्जा कैसा दिखता है जिसे तीन भागों में बांटा गया है:
इस पिज़्ज़ा से एक स्लाइस और हमने जो दो स्लाइस लिए हैं, उनके आयाम समान होंगे:
दूसरे शब्दों में हम बात कर रहे हैं उसी पिज़्ज़ा साइज़ की। इसलिए, व्यंजक का मान है
उदाहरण 2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:
उत्तर एक अनुचित अंश है। आइए इसका एक पूरा हिस्सा लें:
उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए
पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:
उत्तर सही अंश निकला, लेकिन घटाया जाए तो अच्छा होगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को 105 और 450 की संख्या के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना होगा।
तो, आइए 105 और 450 की संख्याओं का GCD ज्ञात करें:
अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को उस GCD से भाग देते हैं जो हमें अब मिली है, यानी 15 से
एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में निरूपित करना
किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस रूप में दर्शाया जा सकता है। इससे, पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "पाँच की संख्या एक से विभाजित", और यह, जैसा कि आप जानते हैं, पाँच के बराबर है:
रिवर्स नंबर
अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।
परिभाषा। संख्या के विपरीतएक वह संख्या है जिसे गुणा करने परएक एक इकाई देता है।
आइए एक चर के बजाय इस परिभाषा में स्थानापन्न करें एकसंख्या 5 और परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:
संख्या के विपरीत 5 वह संख्या है जिसे गुणा करने पर 5 एक इकाई देता है।
क्या ऐसी कोई संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला है कि आप कर सकते हैं। आइए पाँच को भिन्न के रूप में निरूपित करें:
फिर इस भिन्न को अपने आप से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न को अपने आप से गुणा करें, केवल उल्टा:
इसका क्या परिणाम होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:
इसका मतलब है कि संख्या 5 का विलोम वह संख्या है, क्योंकि जब 5 को एक से गुणा किया जाता है, तो एक प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।
आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, इसे पलटना पर्याप्त है।
एक संख्या से भिन्न का विभाजन
मान लें कि हमारे पास आधा पिज्जा है:
आइए इसे दो के बीच समान रूप से विभाजित करें। प्रत्येक को कितने पिज्जा मिलेंगे?
यह देखा जा सकता है कि पिज्जा के आधे हिस्से को विभाजित करने के बाद, दो बराबर टुकड़े प्राप्त हुए, जिनमें से प्रत्येक एक पिज्जा बनाता है। तो सभी को पिज्जा मिलता है।
भिन्नों का विभाजन व्युत्क्रम का उपयोग करके किया जाता है। व्युत्क्रम आपको विभाजन को गुणा से बदलने की अनुमति देता है।
किसी भिन्न को किसी संख्या से भाग देने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।
इस नियम का उपयोग करते हुए, हम अपने आधे पिज़्ज़ा के विभाजन को दो भागों में लिखेंगे।
तो, आपको भिन्न को संख्या 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यहाँ भाज्य भिन्न है और भाजक 2 है।
किसी भिन्न को संख्या 2 से भाग देने के लिए, आपको इस भिन्न को भाजक 2 के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। भाजक 2 का व्युत्क्रम भिन्न है। तो आपको से गुणा करना होगा
) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।
भिन्न गुणन सूत्र:
उदाहरण के लिए:
अंशों और हरों के गुणन के साथ आगे बढ़ने से पहले, भिन्न में कमी की संभावना की जांच करना आवश्यक है। यदि आप भिन्न को कम करने का प्रबंधन करते हैं, तो आपके लिए गणना करना जारी रखना आसान होगा।
साधारण भिन्न का भिन्न से भाग।
एक प्राकृत संख्या वाले भिन्नों का विभाजन।
यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्णांक को भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:
मिश्रित भिन्नों का गुणन।
भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):
- मिश्रित भिन्नों को अनुचित में बदलना;
- भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करें;
- हम अंश को कम करते हैं;
- यदि हमें अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।
टिप्पणी!मिश्रित भिन्न को किसी अन्य मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।
किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।
किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।
टिप्पणी!किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।
उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि यह विकल्प उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जब एक अंश के हर को एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाजित किया जाता है।
बहुस्तरीय अंश।
हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:
ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग किया जाता है:
टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।
टिप्पणी, उदाहरण के लिए:
एक को किसी भिन्न से भाग देने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:
भिन्नों को गुणा और भाग करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:
1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएं सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। अपने दिमाग में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर है।
2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले कार्यों में - साधारण भिन्नों के प्रकार पर जाएँ।
3. हम सभी भिन्नों को तब तक घटाते हैं जब तक कि इसे कम करना संभव न हो।
4. हम 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए बहु-स्तरीय भिन्नात्मक व्यंजकों को साधारण व्यंजकों में लाते हैं।
5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।
साधारण भिन्नात्मक संख्याएँ पहले 5 वीं कक्षा में स्कूली बच्चों से मिलती हैं और जीवन भर उनका साथ देती हैं, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर किसी वस्तु पर पूरी तरह से नहीं, बल्कि अलग-अलग टुकड़ों पर विचार करना या उसका उपयोग करना आवश्यक होता है। इस विषय के अध्ययन की शुरुआत - साझा करें। शेयर बराबर हिस्से होते हैंजिसमें कोई वस्तु विभक्त हो। आखिरकार, यह व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की लंबाई या कीमत को पूर्णांक के रूप में; किसी भी माप के हिस्से या शेयरों को ध्यान में रखना चाहिए। "क्रश करने के लिए" क्रिया से बना - भागों में विभाजित करने के लिए, और अरबी जड़ों वाले, आठवीं शताब्दी में "अंश" शब्द स्वयं रूसी में दिखाई दिया।
भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को लंबे समय से गणित का सबसे कठिन खंड माना जाता है। 17वीं शताब्दी में, जब गणित की पहली पाठ्यपुस्तकें सामने आईं, तो उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा गया, जिसे लोगों की समझ में प्रदर्शित करना बहुत मुश्किल था।
साधारण भिन्नात्मक अवशेषों का आधुनिक रूप, जिसके कुछ हिस्सों को एक क्षैतिज रेखा द्वारा ठीक से अलग किया जाता है, को सबसे पहले फिबोनाची - पीसा के लियोनार्डो द्वारा बढ़ावा दिया गया था। उनका लेखन दिनांक 1202 का है। लेकिन इस लेख का उद्देश्य पाठक को सरल और स्पष्ट रूप से समझाना है कि विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का गुणन कैसे होता है।
भिन्न हर के साथ भिन्नों को गुणा करना
प्रारंभ में, यह निर्धारित करना आवश्यक है भिन्नों की किस्में:
- सही;
- गलत;
- मिला हुआ।
इसके बाद, आपको यह याद रखना होगा कि समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है। इस प्रक्रिया का नियम स्वतंत्र रूप से तैयार करना आसान है: एक ही भाजक के साथ सरल अंशों को गुणा करने का परिणाम एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, जिसका अंश अंशों का उत्पाद है, और हर इन अंशों के हर का उत्पाद है . यही है, वास्तव में, नया हर शुरू में मौजूदा लोगों में से एक का वर्ग है।
गुणा करते समय विभिन्न भाजक के साथ सरल अंशदो या अधिक कारकों के लिए, नियम नहीं बदलता है:
एक/बी * सी/डी = एसी / बी * डी।
अंतर केवल इतना है कि भिन्नात्मक दंड के नीचे बनी संख्या विभिन्न संख्याओं का गुणनफल होगी और निश्चित रूप से, इसे एक संख्यात्मक व्यंजक का वर्ग नहीं कहा जा सकता है।
उदाहरणों का उपयोग करते हुए विभिन्न हरों के साथ भिन्नों के गुणन पर विचार करना उचित है:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
उदाहरण भिन्नात्मक व्यंजकों को कम करने के तरीकों का उपयोग करते हैं। आप केवल अंश की संख्या को हर की संख्या से कम कर सकते हैं; भिन्नात्मक बार के ऊपर या नीचे आसन्न कारकों को कम नहीं किया जा सकता है।
साधारण भिन्नात्मक संख्याओं के साथ-साथ मिश्रित भिन्नों की अवधारणा भी है। एक मिश्रित संख्या में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, अर्थात यह इन संख्याओं का योग होता है:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
गुणा कैसे काम करता है?
विचार के लिए कई उदाहरण दिए गए हैं।
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
उदाहरण एक संख्या के गुणन का उपयोग करता है साधारण भिन्नात्मक भाग, आप इस क्रिया के लिए नियम को सूत्र द्वारा लिख सकते हैं:
एक * बी/सी = ए * बी /सी।
वास्तव में, ऐसा उत्पाद समान भिन्नात्मक शेषफलों का योग होता है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या को इंगित करती है। विशेष मामला:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
किसी संख्या के गुणन को भिन्नात्मक शेषफल से हल करने का एक और विकल्प है। आपको बस हर को इस संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है:
डी* इ/एफ = इ/च: घ.
इस तकनीक का उपयोग तब करना उपयोगी होता है जब हर को एक प्राकृतिक संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, पूरी तरह से।
मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और पहले वर्णित तरीके से गुणनफल प्राप्त करें:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
इस उदाहरण में मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करने का एक तरीका शामिल है, इसे एक सामान्य सूत्र के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:
एक बीसी = ए*बी+ c/c, जहां हर के साथ पूर्णांक भाग को गुणा करके और मूल भिन्नात्मक शेष के अंश में जोड़कर नए अंश का हर बनता है, और हर समान रहता है।
यह प्रक्रिया उल्टा भी काम करती है। पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक शेष का चयन करने के लिए, आपको एक अनुचित अंश के अंश को उसके हर द्वारा "कोने" से विभाजित करना होगा।
अनुचित भिन्नों का गुणनसामान्य तरीके से उत्पादित। जब प्रविष्टि एक भिन्नात्मक रेखा के नीचे जाती है, तो आवश्यक के रूप में, आपको इस पद्धति का उपयोग करके संख्याओं को कम करने के लिए अंशों को कम करने की आवश्यकता होती है और परिणाम की गणना करना आसान होता है।
विभिन्न प्रोग्राम विविधताओं में जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए इंटरनेट पर कई सहायक हैं। इस तरह की सेवाओं की पर्याप्त संख्या हर में अलग-अलग संख्याओं के साथ अंशों के गुणन की गणना करने में उनकी मदद करती है - अंशों की गणना के लिए तथाकथित ऑनलाइन कैलकुलेटर। वे न केवल गुणा करने में सक्षम हैं, बल्कि साधारण अंशों और मिश्रित संख्याओं के साथ अन्य सभी सरल अंकगणितीय संचालन करने में भी सक्षम हैं। इसके साथ काम करना मुश्किल नहीं है, साइट पेज पर संबंधित फ़ील्ड भरे हुए हैं, गणितीय क्रिया का संकेत चुना गया है और "गणना" दबाया गया है। कार्यक्रम स्वचालित रूप से गिना जाता है।
मध्यम और वरिष्ठ स्कूली बच्चों की शिक्षा के दौरान भिन्नात्मक संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं का विषय प्रासंगिक है। हाई स्कूल में, वे अब सबसे सरल प्रजातियों पर विचार नहीं कर रहे हैं, लेकिन पूर्णांक भिन्नात्मक व्यंजक, लेकिन पहले प्राप्त परिवर्तन और गणना के नियमों का ज्ञान अपने मूल रूप में लागू होता है। अच्छी तरह से सीखा हुआ बुनियादी ज्ञान सबसे जटिल कार्यों के सफल समाधान में पूर्ण विश्वास देता है।
अंत में, लियो टॉल्स्टॉय के शब्दों का हवाला देना समझ में आता है, जिन्होंने लिखा: "मनुष्य एक अंश है। अपने अंश - अपने गुणों को बढ़ाना मनुष्य की शक्ति में नहीं है, लेकिन कोई भी अपने हर - अपने बारे में राय को कम कर सकता है, और इस कमी से उसकी पूर्णता के करीब आ जाता है।