Този урок е добро начало за всеки, който иска да се научи как да моделира първокласни герои. Известен в своя кръг, Джахирул Амин ще говори за важността на правилната топология, равномерната мрежа, важността на четириъгълните многоъгълници и много повече.

Преди да се потопите в 3D джакузито, предлагам да имате кратка образователна програма и да се пльоснете в плитката вода. По-долу ще се докоснем до основите на полигоналното моделиране, без да знаем, че е безсмислено да продължим.

Въведение

Когато геометрията се превърне в помощ на моделиста или аниматора, идеалното оформление на мрежата е на първо място. След това трябва да влезе в действие добра топология, намалявайки броя на дефектите в анимацията на героите. С други думи, правилно (и навреме) създаден полигон ще спести не само часове, но и дни от живота ви.

3-gon срещу 4-gon срещу N-gon

Каква е разликата между 3-, 4- и N-ъгълни многоъгълници? Отговорът е очевиден: първият има 3 страни, вторият има 4, третият има произволен брой от тях, повече от 4. Ако моделирате герой за по-нататъшна анимация, препоръчваме използвайте само четириъгълници. Процесът на деформиране и разделяне на четириъгълни многоъгълници е много по-лесен и ще срещнете по-малко изкривяване на текстурата.

Препоръчително е да скриете триъгълниците от собствените си и чужди очи. Например в подмишниците или в областта на слабините на героя. На свой ред се налага негласна забрана върху полигоните - те не трябва да съществуват. Те причиняват изкривяване и причиняват много проблеми, когато става въпрос за монтиране и редактиране на групи върхове (известен още като „рисуване на тежести“).

И накрая, модел, който се състои основно от четириъгълници, ще бъде по-лесен за експортиране в други програми за моделиране като Mudbox.

Радостта на четири- и триъгълниците и ужасът на N-ъгълника

Контурите на лицето, които по дефиниция приличат на N-gon, трябва да бъдат възможно най-близо до четириъгълен формат. малко от - разположението на полигоните по принцип трябва да бъде възможно най-равномерно. Това изисква едноименната геометрия. Следването на тези правила ще улесни преминаването през етапа на монтажа и ще помогне при деформиране на героя по време на процеса на анимация. В допълнение, мащабът на изкривяване, свързан с използването на текстури, ще бъде намален, въпреки че тук не трябва да забравяме значението на самото UV сканиране.

За да изпълни описаната задача, Maya предоставя инструмента Sculpt Geometry.

Инструментът Sculpt Geometry в Maya ще ви помогне да „изгладите“ мрежата на вашия модел

Отговаря за плавния преход на всеки отделен ръб (известен още като Edge Flow). Може да звучи просто, но на практика е нещо много коварно.

Ако сте се заели да създадете реалистичен характер, препоръчително е да изучите основите на анатомията, преди да започнете работа. Следвайки структурата на човешкото тяло и естественото движение на мускулите, аниматорът в крайна сметка получава копие, което е близко до оригинала. Това се вижда особено ясно по време на процеса на деформация. Препоръчваме да започнете с процеса на образуване на бръчки и разтягане на кожата.

За стилизирани и анимационни герои, Edge Flow е много по-малко важен. Но все пак горещо препоръчвам да получите поне основни познания за човешката анатомия.

За да направите формата реалистична, създайте добра топология и не забравяйте да вземете предвид плавната посока на мрежата (ръбове, многоъгълници).

То също е немногообразно. Означава, че триизмерен обект не може да бъде изрязан и направен плосък.

Пример: Създайте куб, изберете произволен ръб (ръб) и го екструдирайте Edit Mesh > Extrude. Пред вас има малко оформен обект. (Пример долу вляво) Ако кубът беше направен от хартия, тогава, когато се разгъне, ще се получи кръстообразна фигура с нарушени пропорции. Използването на такъв обект в булеви операции е практически невъзможно.
За да коригирате ситуацията, използвайте инструмента за почистване.

Нарушаването на геометричната топология може да създаде десетки проблеми. Бъдете бдителни и периодично проверявайте фигурата от различни ъгли.

Всеки цикъл (edge ​​​​edge) трябва да има цел

По правило моделирането започва с примитивна фигура (например куб), чиято структура впоследствие се усложнява чрез добавяне на ръбови контури.

Важно е всеки нов елемент да бъде създаден с определена цел. Има ситуации, в които „по-малко“ е равно на „по-добро“. Разбирането на принципите на оптимизацията на модела идва само с опит, така че не се обезсърчавайте и продължавайте да работите.

Не усложнявайте живота си: детайлите трябва да са подходящи

Всичко, което се опитваме да направим на екрана, е отражение на света около нас в различните му форми и проявления. Ето защо е толкова важно да ставате от масата от време на време. Важно не само за разработчиците, но и за аниматорите, монтажниците, директорите на осветлението и др.

Погледнете по-отблизо повърхността, нейната структура и сянка. Как отразява светлината? Как протича процесът на деформация? Отговорът на тези и други въпроси ще ви помогне да вземете правилното решение при моделиране на всеки обект.

С тази статия започвам поредица от уроци по органично 3D моделиране. Тази статия е специално за принципите на моделиране, т.е. абсолютно не зависи от характеристиките на вашия (всеки) 3D пакет. Поредицата от статии ще обхваща следните теми:

• форма,
• пропорции,
• стълбове,
• топология
• и още много.

Има огромен брой методи за моделиране и всички те имат своите предимства и недостатъци, така че няма такова нещо като "Най-добрият метод за моделиране".

Причината, поради която поех по този път форми- тя работи. Винаги съм искал да стана скулптор. Преди да навляза в подробности, обичам да скицирам груба форма. Именно поради това постигнах толкова много и затова реших да напиша тази статия, за да помогна на начинаещите в органичното 3D моделиране и да им покажа формата, преди да започнат да правят каквото и да било.

Първото нещо, с което започнах, беше формата на главата и беше разочароващо, защото се опитах да я направя без никаква справочна информация (не препратки- от препратка на английски), като използвате само вашето въображение. Вместо да скицирам груба форма, умът ми беше зает с въпроси като: „Колко разфасовки са необходими? Защо? Къде и кога?“

Притеснявах се не само за главата, но и за очите, носа и устата (а дори още не бях стигнала до тях). Мозъкът ми беше объркан и бях напълно на загуба как да създам тази глава... докато един ден успях да скицирам основна глава от кутия и ето... вижте момента на истината! Бях толкова развълнуван, че реших да го направя отново! И след това отново и отново, докато не ми омръзна и се изтощих.

Поглеждайки назад, изглежда ми толкова елементарно и просто. Всичко, което беше необходимо, беше да се създаде кутия и да се направят няколко разфасовки и редакции!

Но ако е толкова просто, защо тогава се мъчих с него толкова дълго? Можем ли всички да направим това без проблемите, които имах? Е, моят отговор е ДА! Но само ако го мислиш правилното мислене. Например, аз нямах такъв, когато за първи път започнах.

Това, което разбрах сега е, че когато учим 3D моделиране, тогава сме просто ние изобщо не преподаваме 3D! Това, което наистина правим, е да търсим правилния "наглас". Така че, когато изпитвате трудности в нещо, това не означава, че ви липсват умения или знания. Това е всичко, защото нямате правилното мислене, за да направите това, което се опитвате да направите.

След като пренастроите ума си, рационалният ви ум ще поеме и вие ще започнете да правите нещата естествено. Така че това е първото нещо, което трябва да се опитаме да възстановим – мисленето.

Манталитет

Изчертаване на профил (контур): свързване на точки

Този малък пример ще ви помогне да промените начина си на мислене.

Първо, просто погледнете това изображение. Сега ще начертаем профил с помощта на точки и ще ги свържем. Ако имате само две точки (на челото и брадичката), за да ги свържете. Как бихте го направили? Отговор: от челото до брадичката, защото просто няма друг начин.

Ако обаче увеличите броя на точките, те не само ще ви позволят оформете профила повече точно, но и ще позволят да се направи по много начини, а това вече води до формиране на стил(артистичен).

Това е много важно да имате предвид, когато трябва да направите разфасовки или да знаете къде да ги завършите.

Key Cut (KR) и Fill Cut (FC).

В началото ми беше много трудно да разбера къде и колко разфасовки трябва да направя, когато създавам определена форма. Така че търсих аналогия за този процес. Тази аналогия се оказа Анимация.

Анимацията има концепция Ключов персонал(КК). Накратко това е характерни позихарактер в определен момент от време. Това понятие включва също Междинни рамки(PrK), които запълват интервали от време междуКлючов персонал.

Това не само ускорява процеса, но и го улеснява. Колкото повече междинни рамки (запълващи изрези) имате, толкова по-гладко и прецизно ще бъде движението.

Ако сте аниматор, тогава е във вашата власт да контролирате броя на PRK. Това е много подобно на изрязването на полигони в 3D.

Рисуването на голям брой PK и управлението им е много досадна работа. Същото важи и за преместването на голям брой върхове в 3D - това е много трудоемко.

Идеята зад компактдиска са фуги. Когато моделистът скицира груба форма, той винаги започва с KR, който винаги изглежда груб. Ако редакторът, който използвате, поддържа зарове, използвайте го, за да го разберете. Огънете/завъртете костите в ставите, за да видите грубата си форма в позите.

След като всички компактдискове са готови, имате две възможности:

1. Изгладете модела.
   Понякога създавам CR и след това просто оставям кода, отговорен за разделянето на модела на по-голям брой полигони (подразделение), да завърши всички CR вместо мен. Лошото е, че не изглежда реалистично. Така че следващата стъпка е да използвате меко подчертаване, за да коригирате формата. Понякога това може да спести много време (но зависи какво моделирате).
2. Добавете ZR ръчно.
   В повечето случаи предпочитам ръчна работа, тъй като по този начин мога да контролирам броя на точките и тяхното местоположение.

Моля, обърнете внимание, че тази концепция за разрези с ключ и запълване е полезна не само за създаване на форми, но и за детайлизиране на вашата мрежа. KR и ZR, създадени с помощта на разделяне, са един от начините за оптимизиране на мрежата (задни части, бедра и т.н.). Освен това понякога Fill Cut може да се превърне в Key Cut в зависимост от това как го гледате. Вие сте създателят, така че всичко е във вашата власт.

Това, което също е важно е, че тази концепция също работи чудесно за топология/цикли (Ключови и запълващи цикли).

Main and Fill е много интересна концепция, защото може да се приложи към почти всичко! Следващият път, когато погледнете топологичната мрежа, опитайте се да намерите Key Loop, тъй като всяка глава има поне един от тях.

Въз основа на това, което видях, има такива топологии на главата:

• C-контур
• Х-примка
• Е-примка
• И куп други

Ще говоря за всичко това по-късно, но засега нека се съсредоточим върху формата.

Закръгляване

Това е най-честата грешка на всички начинаещи. Те създават Key Cuts и след това Fill между тях и оставят всичко това без ни най-малка промяна. Ако не закръглите своя GR, резултатът ще бъде квадратен (неестествен, неорганичен) и ще трябва да работите усилено, за да го поправите по-късно. Ако всеки път, когато създавате следващото изрязване на запълване, правилно го напасвате към формата, тогава ще си спестите непрекъснатото преработване на мрежата.

Следвайки линиите на формата (линии на тялото, гладки линии).

Друга често срещана грешка е НЕследването на гладките линии на обекта. Не забравяйте, че това е органична симулация, така че се опитайте да мислите органично. Когато скицирате части на тялото като опашка или извито тяло, опитайте се да си представите извит цилиндър. И съответно създайте блокове.

Страх, бързане и съмнение

Това е умствено ниво на предизвикателство, когато току-що започвате в 3D моделирането.

Всеки път, когато правите нещо за първи път, изпитвате голяма трудност. Въпросът е да не се отказвате! Всеки минава през това. Рядко се среща човек, който е минал през този начален етап и не говори за това как е страдал.

Така че ето моят съвет: успокойте се, намалете скоростта, тук няма бързане. Опитайте да прекарате месец или два в игра с формата си. Започнете с обекти, които ви позволяват да правите много грешки, като например същества. И просто тренирайте. Ако се окаже глупост, изтрийте я и започнете отначало.

Отначало всичко ще върви бавно за вас, но докато изпълнявате подобни задачи, скоростта ви ще се увеличава през цялото време. Точно затова ни трябва практика, за да правим всичко по-добре и по-бързо.

Когато създавате модел за първи път, това може да бъде много забавен процес. Всичко заради „погледа към цялото“.

Вземете например човешката фигура. Да приемем, че започнете с торса и използвате екструдиране, за да го разтегнете. Ако все още нямате крака и ръце/глава, тогава всичко изглежда много комично. За да направите "то" да изглежда като човек, трябва да завършите всички останали части на тялото.

Така че няма нужда да губите интерес поради ужасния резултат от липсата на всички части на място. Просто трябва да екструдирате всички части на тялото и да ги поставите на правилните места, само тогава „то“ ще започне да изглежда като човешка фигура.

Практикувайте

Предмет на симулация

Първо нека поговорим за моделирането.

Ако правите моделиране на характера, тогава очевидно ще започнете от главата и ще продължите надолу. Опростена глава, торс и след това ръце и крака. След няколко седмици ще разберете, че главата е най-простата част от тялото, тъй като е само един блок, който се вижда изцяло от една точка. И всичко, което трябва да моделирате, е да увеличавате и намалявате мащаба (главата).

Други части на тялото (ръце, крака) ще бъдат по-предизвикателни, защото изискват да завъртите и увеличите модела в прозореца за изглед. И тъй като сте нов в 3D, вероятно не сте свикнали да използвате пълноценно въртене, завъртане, панорамиране и мащабиране в прозорците за изглед.

Първо, за да избегнете ненужни затруднения, използвайте препратки. И след като хванете цаката, опитайте да моделирате по памет.

Създаването на ръка по памет за първи път е трудно. Така че опитайте първо да използвате референтни изображения/снимки и по-късно памет.

Защо изобщо да го правя по памет? Просто за да видите дали разбирането ви за формата на ръката (или какъвто и да е обект, който създавате) се е подобрило.

Ако ти моделират различни същества, то тук ситуацията е същата. Започнете с главата, след това тялото и след това всичко отдолу. Не се ограничавайте като моделирате само една част. Скочете от една част в друга (например аз правя това), така че вие ​​(благодарение на промяната на вида дейност) постоянно ще поддържате интерес към този процес.

Екструдиране.

Преди да започнете да екструдирате части като ръце и крака, трябва да знаете, че има само два начина да го направите. Това е свързано с това как да моделираме ъгъла.

Метод А е, разбира се, по-бърз, но все пак рано или късно ще стигнете до метод Б. Можете също така да конвертирате А в Б, като използвате метода на поляризация (повече за това по-късно). Също така имайте предвид фигурна линия (червен).

Виждал съм много варианти на метод А за създаване реалистична човешка ръка. Докато метод Б е подходящ за нереалистични герои, например карикатури и други подобни.

Ако ви е трудно да завъртате всеки път, когато екструдирате, тогава използвайте метод A. Но всъщност няма значение кой метод ще изберете, тъй като можете да конвертирате една топология в друга, докато вървите.

С това приключваме първата част на статията. Можете да задавате въпроси, ако нещо не е ясно.

Нека завърша с няколко най-доброто.

Това е моят превод на отлична поредица от публикации от SomeArtist на subdivisionmodeling.com (които бяха изтрити, защото форумът престана да съществува).

Абонирайте се за актуализации на блога(Тук ).

P.S.Варварската костенурка в заглавната снимка е направена от американеца Джеси Сандифър. Симулацията е извършена изцяло в Кална кутия, след което цялата сцена беше събрана в 3ds Maxи визуализирано от сили Vray. Фотошопизползва се за текстуриране и последваща обработка. За други видове характер, както и дискусия на произведението, прочетете

ВЪВЕДЕНИЕ

Ражда се бъдещият изследовател

не на 30 години, учене в висше училище,

и много по-рано от времето, когато

родителите му ще го водят за първи път на детска градина.

Александър Илич Савенков

Доктор на педагогическите науки, професор в Московския държавен педагогически университет

С развитието на новите технологии рязко нарасна търсенето на хора с иновативно мислене и способност да поставят и решават нови проблеми. Следователно математическата подготовка на учениците става все по-актуална от всякога. Тук е уместно да си припомним изказването на великия руски учен Михаил Василиевич Ломоносов: „Математиката трябва да се преподава само тогава, защото тя подрежда ума“.

Всеки човек има визуална представа за пространство, тела и геометрични форми. В училищния курс по геометрия ще изучаваме различни тела и техните свойства.

Но това ще бъде в бъдеще, но засега ме интересува въпросът: „Какво е лента на Мьобиус?“ Ще ме попитате защо се интересувам от това. Аз ще отговоря. Много обичам да чета. Особено научна фантастика. Един от любимите ми писатели на научна фантастика е Артър К. Кларк.

В неговата история „Стената на мрака“ един от героите пътува през необичайна планета, извита във формата на лента на Мьобиус. Стана ми интересно що за фигура е това и какви са нейните свойства.

След като проучих съответната литература и интернет източници, научих, че този въпрос се изучава в отделен клон на математиката - топология. Ето защо работата ми е посветена на решаването на най-простия изследователски проблем в тази област.

Целта на работата може да се формулира като придобиване на разбиране за един от най-интересните и необичайни клонове на математиката, а именно топологията и изследването на топологичните свойства на някои обекти.

За постигане на целта реших следните задачи:

разберете какво изучава тази наука;

изучаване на историята на произхода му;

разглеждат топологичните свойства на някои обекти;

научете за практическото приложение на топологията.

Уместността на избраната тема се крие във факта, че напоследък тази наука все повече навлиза в такива фундаментални области на човешкото познание като физика, химия и биология. Следователно познаването на неговите основи става важно за технически образован човек, живеещ вXXIвек.

ГЛАВНА ЧАСТ

Топологията като наука и предпоставките за нейното възникване

За разлика от други клонове на геометрията, където съотношението на дължини, площи, ъгли и други количествени характеристики на обектите са от голямо значение, топологията не се интересува от всичко това, тъй като тук се изучават други, качествени въпроси за геометричните структури.

Нека започнем да разбираме основите на тази завладяваща наука. Ако се обърнем към литературни източници, можем да намерим следното определение на това понятие.

Топология - дял от математиката, който изучава свойствата на фигури (или пространства), които се запазват при непрекъснати деформации, като разтягане, компресия или огъване.

Нека обясним концепцията за „непрекъсната деформация“, която се среща тук. Непрекъснатата деформация е деформация на фигура, при която няма счупвания (т.е. нарушаване на целостта на фигурата) или залепване (т.е. идентифициране на нейните точки).

Всеки клон на математиката има основна идея. Топологията не е изключение. Основната идея на топологията е идеята за непрекъснатост, тоест топологията изучава онези свойства на геометричните обекти, които се запазват при непрекъснати трансформации.

Непрекъснатите трансформации се характеризират с факта, че точките, разположени „близо една до друга“ преди трансформацията, остават такива и след завършване на трансформацията. По време на топологични трансформации е позволено на обектите да се разтягат и огъват, но не им е позволено да се разкъсват или счупват.

За да визуализираме дефиницията на топологията, трябва да кажем, че от гледна точка на тази наука обекти като чаена чаша и поничка са неразличими един от друг. Ето защо сред учените има една крилата фраза, която казва, че математикът, който изучава топология, е човек, който не може да различи багел от чаша за чай. Това твърдение е вярно, защото чрез стискане и разтягане на парчето гума, от което са направени тези предмети, можете да преминете от едно тяло към второ.

рисуване 1Процесът на превръщане на чаша в поничка (торус)

Да направим историческа екскурзия и да се върнем наXVIIIвек, когато са положени основите на тази наука.

Един от учените, които стоят в началото на тази наука, е немски математик и механикXVIIIвек Леонхард Ойлер. През 1752 г. той доказва формулата на Декарт, изразяваща връзката между броя на върховете, ръбовете и лицата на прости полиедри:

Където, .

Следващият принос на Ойлер в развитието на топологията е решението на известния мостов проблем. Ставаше дума за остров на река Прегол в Кьонигсберг (на мястото, където реката се разделя на два ръкава - Стар и Нов Прегол) и седем моста, свързващи острова с бреговете (фиг. 2).

Трябваше да се разбере дали е възможно да се обиколят всичките седем моста по непрекъснат маршрут, като се посети всеки един само веднъж и се върне към началната точка. Ойлер замени земните маси с точки и мостовете с линии. Ойлер нарече получената схемаброя (Фиг. 3), точките са неговите върхове, а линиите са неговите ръбове.

рисуване 2Проблемът с мостовете в Кьонигсберг

L - ляв бряг , R - десен бряг ,

рисуване 3Графика

Ученият разделя върховете на четни и нечетни, в зависимост от броя на ръбовете, излизащи от върха. Ойлер доказва, че всички ребра на графа могат да бъдат обходени точно веднъж по непрекъснат затворен маршрут само ако графът съдържа само четни върхове.

Тъй като графът в задачата за мостовете в Кьонигсберг съдържа само нечетни върхове, необходимият пешеходен маршрут не съществува.

Този проблем илюстрира практическото приложение на концепцията за „уникурсален граф“, която се появява в речника по топология презXXвек. Графиката се наричауникурсален , ако може да се „начертае с един удар“, т.е. преминете през всичко това в непрекъснато движение, без да минавате през един и същи ръб два пъти.

По този начин графиката на задачата за мостовете в Кьонигсберг не е уникурсална и следователно задачата няма решение.

Терминът "топология" се появява за първи път в писмо до неговия учител Мюлер, което немският математик и физик, професор в университета в Гьотинген Йохан Листинг пише през 1836 г. Обща топология, произхождаща отXIXвек, окончателно оформен в самостоятелна математическа дисциплина през втората половинаXXвек. Това до голяма степен беше улеснено от трудовете на академик P.S. Александрова.

Топологични свойства на обектите

Топологията в научно-популярната литература често се нарича гумена геометрия. За да разберете това, трябва да си представите, че един геометричен обект е направен от гума и в същото време има следните свойства: може да бъде компресиран, опънат, усукан (т.е. подложен на всякакви деформации), но не може скъсани и залепени.

Например малка топка може да се надуе до размера на голяма, след това да се превърне в елипса, след което да се деформира в дъмбел.

рисуване 4Процес на деформиране на обекти

По подобен начин можете да превърнете повърхността на топка в повърхността на куб, конус и други фигури. В математиката има свойства, които не се нарушават при никакви непрекъснати деформации. Това е, което етопологични свойства . Един от клоновете на топологията, общата топология, изучава тези свойства.

Свойствата, които се изучават в училищната (евклидова) геометрия, не са топологични. Например праволинейността не е топологично свойство, тъй като правата линия може да се огъне и да стане крива. Триъгълността също не е топологично свойство, тъй като триъгълникът може непрекъснато да се деформира в кръг.

Дължини на сегменти, ъгли, области - всички тези понятия се променят с непрекъснати трансформации. Пример за топологично свойство е наличието на „дупка“ в тор (поничка). Освен това е важно дупката да не е част от тора. Без значение колко продължителна деформация претърпява торът, дупката ще остане.

Едностранни повърхности

Всеки от нас има представа какво е "повърхност". Просто сме заобиколени от различни повърхности: повърхността на лист хартия, повърхността на езеро, повърхността на земното кълбо...

По правило си представяме повърхност с две страни: външна и вътрешна, предна и задна и т.н. Може ли да има нещо неочаквано и дори мистериозно в такава обикновена концепция? Оказва се, че може.

През 1858 г. немският математик и астроном Август Фердинанд Мьобиус (1790-1868) открива повърхност, която по-късно става известна като „лентата на Мьобиус“. Според легендата Мобиус е помогнал да открие своя „лист“ от прислужница, която е зашила неправилно краищата на обикновена панделка.

Лентата на Мьобиус е най-простата едностранна повърхност с ръб. Възможно е да се стигне от една точка на такава повърхност до друга, без да се пресичат ръбовете.

Нека повторим това откритие. Нека създадем изследваната повърхност и да проучим нейните свойства.

За работа се нуждаем от лист хартия А4, линийка, молив, ножица и лепило.

рисуване 5Инструменти

На лист хартия начертайте две ленти с ширина 4 см и ги изрежете. Това ще бъдат заготовките, от които ще направим нашата лента (лист).

рисуване 6Създаване на заготовка

От едната лента ще залепим обикновен пръстен, а от другата - лента на Мьобиус. За да направите това, завъртете втората лента на половин оборот и залепете краищата заедно.

рисуване 7Етапи на работа

Това трябва да получим.

рисуване 8Резултат от работата

Нека започнем да изследваме свойствата на получените фигури. Невъзможно е да се различи предната страна от задната страна на лентата на Мьобиус. Те непрекъснато се трансформират един в друг. Задачата да боядисате различни страни на пръстена с различни цветове няма да предизвика никакви затруднения. Нека видим това с прост пример. Вземете флумастер, маркирайте точка и започнете непрекъснато да рисувате едната страна. Ще видите, че само вътрешната му повърхност ще бъде боядисана.

рисуване 9Оцветяване на пръстен

Но дали това ще бъде вярно за нашия втори хартиен обект? Нека повторим експеримента, като изберем за експериментална повърхност не пръстен, а лента на Мьобиус.

рисуване 10Оцветяване на лентата на Мьобиус

Виждате, че целият лист е оцветен. Но все пак нарисувахме флумастера само от едната страна. От това можем да заключим, чече лентата, от която е направена лентата на Мьобиус, има две страни, а самата лента има една .

Ако се движим по ръба на лентата на Мьобиус, тогава след пълно завъртане ще се окажем на другия ръб и ще дойдем от противоположната страна.

Нека продължим нашето изследване и да разгледаме въпроса как ще се държат нашите две фигури (пръстенът и лентата на Мьобиус), когато бъдат изрязани. Ако разрежете пръстена по средната линия, ще получите два по-тесни пръстена

рисуване 11Изрязване на пръстена

рисуване 12Резултат от рязане на пръстен

Ако изрежете лента на Мьобиус по средната линия, тя няма да се раздели на два пръстена, както беше в експеримента с пръстена. Ще получим един пръстен, но два пъти по-дълъг (полученият пръстен ще има двустранна повърхност).

рисуване 13Изрязване на лента на Мьобиус по средната линия

Какво се случва, ако отрежете лента на Мьобиус по линия, лежаща близо до ръба? За да стигнем до началото на разреза, ще трябва да изминем два пъти повече време, отколкото да разрежем този лист по средната линия. Ще получите два заключващи се пръстена, един голям и тесен, а другият малък и широк. Най-интересното е, че големият пръстен ще бъде с едностранна повърхност, а малкият с двустранна.

Ако направите лента на Мьобиус, която е усукана на 3 полуоборота (540 градуса) и след това я разрежете наполовина, ще получите лента на Мьобиус, усукана на възел.

Можете да получите интересни неща, ако сгънете хартията като акордеон, след това направите от нея лента на Мьобиус и я разрежете наполовина или на една трета. Пред нас ще се появят три заключващи се пръстена.

Като изследователи на свойствата на тази фигура, ние се интересувахме от въпроса: винаги ли е възможно да се създаде лента на Мьобиус? Оказа се, че ако вземем квадратен лист хартия и изрежем лента от него, няма да можем да получим фигурата, която ни интересува.

Тогава възниква нов въпрос: какво трябва да бъде съотношението на дължината и ширината на лентата, за да може винаги да се използва за получаване на лента на Мьобиус? Математически доказано е, че ако вземем ширината на лентата за 1, то дължината трябва да е 1,73.

Практическо приложение на топологията

Когато говорят за топология, лентата на Мьобиус е първото нещо, което идва на ум за човек, запознат с този въпрос. Следователно в областта на практическото приложение на тази наука в различни отрасли на човешката дейност най-често се среща използването на тази конкретна фигура.

Удивителните свойства на лентата на Мьобиус служат като източник на вдъхновение за писатели и поети. Като пример бих искал да дам кратък откъс от стихотворение на Наталия Иванова:

Лентата на Мьобиус е символ на математиката,

Това, което служи като венец на най-висшата мъдрост...

Пълен е с несъзнателна романтика:

В него безкрайността е свита в пръстен.

В него има простота, а с нея и сложност,

което е недостъпно дори за мъдреците:

Тук самолетът се трансформира пред очите ни

В повърхност без начало или край.

Flatland от Едуин Абът и нейното продължение Spherland, написано от David Burger през 1976 г., с право се смятат за класическата книга за живота в двуизмерното пространство.

Flatlander живее на планета с форма на двуизмерна повърхност. Ако неговата вселена е безкрайна равнина, тогава той може да измине всяко разстояние във всяка посока. Но ако повърхността, върху която живее, е затворена като сфера, тогава тя е неограничена и крайна.

В каквато и посока да тръгне Flatlander, движейки се направо и без да се обръща никъде, той със сигурност ще се върне там, откъдето е започнал пътуването си. Когато Flatlander пътува по света върху сфера, все едно се движи по лента, залепена в пръстен.

Но ако жител на тази планета пътува по лентата на Мобиус, след като се върне в началната точка, той ще намери сърцето си не отляво, а отдясно! Подобна ситуация е описана във фантастичната история на Х. Г. Уелс „Историята на Платнер“. Човек, който е бил в четвъртото измерение, се е върнал на Земята като негов огледален двойник - със сърце, разположено вдясно.

В производството се прави транспортна лента под формата на лента на Мьобиус. Тази конструктивна характеристика ви позволява да увеличите експлоатационния живот на колана, тъй като повърхността му се износва равномерно.

рисуване 14Лентов транспортьор

Сравнително наскоро основното устройство за извеждане на информация от компютър за печат беше матричен принтер. В печатащата му глава мастилената лента също е подредена под формата на лента на Мьобиус.

рисуване 15Матричен принтер

Тъй като говорим за компютри, компютърната мрежа се използва за свързване на няколко машини в едно цяло. Един от основните термини на мрежовата технология е концепцията за мрежова топология.Топология – обща схема на компютърна мрежа, показваща физическото разположение на компютрите и връзките между тях.

рисуване 16Примери за топология на компютърна мрежа

Формата на лентата на Мьобиус се използва доста успешно в архитектурата. Нека дадем няколко подобни примера.

рисуване 18Лого базирани на лентата на Мьобиус

Има хипотеза, че самата спирала на ДНК е фрагмент от лента на Мьобиус и затова генетичният код е толкова труден за дешифриране и възприемане. В допълнение, такава структура съвсем логично обяснява причината за настъпването на биологичната смърт - спиралата се затваря в себе си и настъпва самоунищожение.

рисуване 19ДНК спирала

Художници и графици също не пренебрегнаха темата, която ни интересува. Показателно в това отношение е творчеството на холандския графикXXвек от Морис Ешер. Известен е със своите литографии, в които майсторски изследва пластичните аспекти на безкрайността и симетрията.

Той каза за работата си: „Въпреки че съм абсолютно невеж в точните науки, понякога ми се струва, че съм по-близо до математиците, отколкото до моите колеги художници.“

рисуване 20Литографии от Морис Ешер

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Топологията е най-младата и най

мощен клон на геометрията, ясно

демонстрира плодотворно влияние

противоречия между интуиция и логика.

Ричард Курант

американски математик

Една руска народна поговорка гласи: „Краят е венецът на работата“. И така, моето малко пътешествие в очарователния и необичаен свят на топологията приключи. Време е за равносметка.

По време на работата си се запознах с нова за мен област от математиката - топологията. Разгледах някои от най-простите концепции, използвани от тази наука и достъпни за разбиране без сериозно математическо обучение.

На практика той пресъздава най-известната топологична повърхност – лентата на Мьобиус и изучава нейните общи свойства. Запознах се и с практическото приложение на топологични повърхности в различни сфери на човешката дейност.

Така всички задачи, които си поставих в началото на тази работа, бяха успешно решени. Надявам се, че моето запознанство с тази област на математиката в бъдеще няма да бъде толкова повърхностно, което дава основание да продължа работата по избраната тема с натрупването на моите математически знания.

БИБЛИОГРАФИЯ

Математически енциклопедичен речник / Ю.В. Прохоров [и др.]. – М.: Издателство „Съветска енциклопедия”, 1988. – 340 с.

Болтянски, В.Г. Визуална топология / V.G. Болтянски, В.А. Ефремович - М.: Наука, 1975. - 160 с.

Старова, О.А. Топология / O.A. Старова // Математика. Всичко за учителя. – 2013. – № 9. – с.28-34.

Стюарт, Дж. Топология / Дж. Стюарт // Quantum. – 1992. – № 7. – с. 28-30.

Проект за даровити деца: Алени платна [Електронен ресурс] – Режим на достъп:http:// nportal. ru/ ап/ блог/ научно- технически- творчество/ списък- миобиуса– дата на достъп: 18.01.2017г

Прасолов, В.В. Визуална топология / V.V. Прасолов. – М.: МЦНМО, 1995. – 110 с.

Абът, Е. Флатланд / Е. Абът. – М.: Мир, 1976. – 130 с.

Тема на разговор: ТОПОЛОГИЯ.

Топологията (от старогръцки τόπος - място и λόγος - дума, учение) е дял от математиката, който изучава в най-общата си форма феномена на непрекъснатостта, по-специално свойствата на пространството, които остават непроменени при непрекъснати деформации, например свързаност, ориентираемост. За разлика от геометрията, топологията не отчита метричните свойства на обектите (например разстоянието между двойка точки). Например, от топологична гледна точка кръг и поничка (твърд торус) са неразличими.

Но това е в математиката. Как вървят нещата с героите? Нека го кажа със собствените си думи.
Топологията е способността на мрежата да реагира правилно на деформации. Било то анимация, компресия, разтягане или други видове деформация. Това се постига чрез компетентно конструиране на многоъгълна мрежа на героя. Има някои правила за това. Можете да се запознаете с някои от тях.

Има и концепция РЕ-ТОПОЛОГИЯ. Промяна на топологичната мрежа при запазване на формата на обекта, доколкото е възможно. Целта на ретопологията е да коригира предишната (неправилна) топология и/или да намали броя на полигоните.

Почти всички съвременни пакети за 3D графика имат инструменти за ретопология. Аз лично пробвах:
1. Maya - както стандартни инструменти, така и плъгини.
2. Max - стандартни инструменти (ужас), плъгини и скриптове (харесах wrapit, но отново не толкова)
3. Zbrush - стегнат и неудобен..
4. Топогун - най-накрая намерих нещо, което ми хареса... ако не го бях срещнал
5. 3DCoat.... тук разбрах, че това засега е най-удобното за ретопология и UV разопаковане... въпреки че в началото беше трудно да го разбера... но когато разбрах принципа на програмата - това е това... сега ретопологията е всичко. (не приемайте това като реклама.)

Е, тъй като този алкохол започна, ще публикувам няколко мои изображения по темата за топологията.
Глава и лице

Намерих стара рендер на тази глава.

топология на лицето на хуманоиден герой. От него можеш да направиш и жена, и дете... да не говорим за мъж.
и ето го доказателството. направено бързо, но ясно.
Така. мъж, елф, създание, жена и момиче на около 15...
Не твърдя, че това е единствената компетентна топология и че това е ЕДИНСТВЕНИЯТ начин да го направите.
Някои студия моделират герои със затворени очи. Това ви позволява да се отървете от някои проблеми при затваряне на окото и да избегнете деформация на клепача при деформиране на бузата.

китка на ръка.

Обръщам внимание, че тук има върхове, в които могат да се съберат 6 таралежа... но на тези места няма проблеми, защото деформациите са минимални. Естествено от тази четка можете да направите ръката на жена, мъж, дете... или който и да е...
Череп.

мъжки череп. Има много разлики между мъжките и женските черепи.

Разликите са както следва:
Мъжките и женските черепи имат редица разлики. а именно:
1. Мъжкият череп е по-масивен от женския и има доста квадратна форма. Черепът на жената е леко заострен към върха и по-заоблен.
2. Горният ръб на очната кухина е леко заострен при женския череп, докато при мъжа има по-плавна извивка
3. В резултат на еволюцията лицевите мускули са станали по-развити. Следователно мястото, където мускулите се прикрепват към черепа, е много по-забележимо при мъжете. В края на краищата, войнът и ловецът се нуждаят от мощни челюсти за битка и борба.
4. Силната долна челюст на мъжа е с квадратна форма, докато женската е с кръгла форма.
5. Дълбочината на черепа на мъжете е по-голяма от тази на жените. Това осигурява относителна безопасност.
6. Гребените на веждите на мъжкия череп изпъкват значително повече. Предпазват очите ви от пряка слънчева светлина.
7. Кучешките зъби на мъжете са много по-големи от тези на жените. Воинът и ловецът бяха принудени да ядат, докато са в движение, и следователно активно дъвчат храната и го правят доста бързо.
Ръка и тяло.
Ако тялото е женско или без ясно изразени мускули, тогава можете да пренебрегнете лупите, които образуват мускулите. Това се отнася за ръцете. Обръщам внимание на белите многоъгълници. те идват от под гръдния мускул и обикалят делтоида.