Половая структура популяций отражает. Основы популяционной экологии
ЛЕКЦИИ
По дисциплине:
Экономико-математические
методы и модели
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАЦНЕВ А.П.
Москва 2004 год
1. Моделирование экономических систем.
Основные понятия и определения
1.1. Возникновение и развитие системных представлений
1.2. Модели и моделирование. Классификация моделей
1.3. Виды подобия моделей
1.4. Адекватность моделей
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
2.1. Понятие операционного исследования
2.2. Классификация и принципы построения математических моделей
3. Некоторые сведения из математики
3.1. Выпуклые множества
3.2. Линейные неравенства
3.3. Значения линейной формы на выпуклом множестве
4. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
4.1. Транспортная задача
4.2. Общая формулировка задачи линейного программирования
4.3. Графическая интерпретация решения задач линейного программирования
5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
5.1. Общая и основная задачи линейного программирования
5.2. Геометрический метод решения задач линейного программирования
5.3. Графическое решение задачи распределения ресурсов
5.4. Симплексный метод
5.5. Анализ симплекс-таблиц
5.6. Решение транспортных задач
6. МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
6.1. Постановка задачи нелинейного программирования
6.2. Постановка задачи динамического программирования
Основные условия и область применения
6.3. Многокритериальная оптимизация
1. Моделирование экономических систем.
Основные понятия и определения.
1.1. Возникновение и развитие системных представлений
Научно-техническая революция привела к возникновению таких понятий, как большие и сложные экономические системы , обладающие специфическими для них проблемами. Необходимость решения таких проблем привела к появлению особых подходов и методов, которые постепенно накапливались и обобщались, образуя, в конце концов, особую науку - системный анализ.
В начале 80-х годов системность стала не только теоретической категорией, но и осознанным аспектом практической деятельности. Широко распространилось понятие того, что наши успехи связаны с тем, насколько системно мы подходим к решению возникающих проблем, а наши неудачи вызваны отсутствием системности в наших действиях. Сигналом о недостаточной системности в нашем подходе к решению какой-либо задачи является появление проблемы, разрешение же возникшей проблемы происходит, как правило, при переходе на новый, более высокий, уровень системности нашей деятельности. Поэтому системность не только состояние, но и процесс.
В различных сферах человеческой деятельности возникли различные подходы и соответствующие методы решения специфических проблем, которые получили различные названия: в военных и экономических вопросах - «исследование операций» , в политическом и административном управлении - «системный подход» , в философии «диалектический материализм» , в прикладных научных исследованиях - «кибернетика» . Позже стало ясно, что все эти теоретические и прикладные дисциплины образуют как бы единый поток, «системное движение», которое постепенно оформилось в науку, получившую название «системный анализ». В настоящее время системный анализ является самостоятельной дисциплиной, имеющей свой объект деятельности, свой достаточно мощный арсенал средств и свою прикладную область. Являясь по существу прикладной диалектикой, системный анализ использует все средства современных научных исследований - математику, моделирование, вычислительную технику и натурные эксперименты.
Самая интересная и сложная часть системного анализа - это «вытаскивание» проблемы из реальной практической задачи, отделение важного от несущественного, поиск правильной формулировки для каждой из возникающих проблем, т.е. то, что называется «постановкой задачи».
Многие довольно часто недооценивают работу, связанную с формулировкой задачи. Однако многие специалисты полагают, что «хорошо поставить задачу - значит на половину ее решить». Хотя в большинстве случаев заказчику кажется, что он уже сформулировал свою проблему, системный аналитик знает, что предлагаемая клиентом постановка задачи является моделью его реальной проблемной ситуации и неизбежно имеет целевой характер, оставаясь приблизительной и упрощенной. Поэтому необходимо проверить эту модель на адекватность, что приводит к развитию и уточнению первоначальной модели. Очень часто первоначальная формулировка изложена в терминах не тех языков, которые необходимы для построения модели.
1.2. Модели и моделирование. Классификация моделей
Первоначально моделью называли некое вспомогательное средство, объект, который в определенных ситуациях заменял другой объект. Например, манекен в определенном смысле заменяет человека, являясь моделью человеческой фигуры. Древние философы считали, что отобразить природу можно только с помощью логики и правильных рассуждений, т.е. по современной терминологии с помощью языковых моделей. Через несколько столетий девизом английского Научного общества стал лозунг: «Ничего словами!», признавались только выводы, подкрепленные экспериментально или математическими выкладками.
В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:
теоретическое исследование;
эксперимент;
моделирование.
Моделью называется объект-заместитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества:
- дешевизну;
- наглядность;
- легкость оперирования и т.п.
В теории моделей моделированием называется результат отображения одной абстрактной математической структуры на другую - тоже абстрактную, либо как результат интерпретации первой модели в терминах и образах второй.
Paзвитие понятия модели вышло за пределы математических моделей и стало относиться к любым знаниям и представлениям о мире. Поскольку модели играют чрезвычайно важную роль в организации любой деятельности человека их можно разделить на познавательные (когницитивные) и прагматические , что соответствует делению целей на теоретические и практические .
Познавательная модель ориентирована на приближении модели к реальности, которую эта модель отображает. Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели.
Прагматические модели являются средством управления, средством организации практических действий, способом представления образцово правильных действий или их результата, т.е. являются рабочим представлением целей. Поэтомy при обнаружении расхождения между моделью и реальностью надо направить усилия на изменение реальности так, чтобы приблизить реальность к модели. Таким образом, прагматические модели носят нормативный характер, играют роль образца, под который подгоняется действительность. Примерами прагматических моделей служат планы, кодексы законов, рабочие чертежи и т.д.
Другим принципом классификации целей моделирования может служить деление моделей на статические и динамические .
Для одних целей нам может понадобиться модель конкретного состояния объекта в определенный момент времени, своего рода «моментальная фотография» объекта. Такие модели называются статическими . Примером являются структурные модели систем.
В тех же случаях, когда возникает необходимостъ в отображении процесса изменения состояний, требуются динамические модели систем.
В распоряжении человека имеется два типа материалов для построения моделей - средства самого сознания и средства окружающею материального мира. Соответственно этому модели делятся на абстрактные (идеальные) и материальные .
Очевидно, что к абстрактным моделям относятся языковые конструкции и математические модели. Математические модели обладают наибольшей точностью, но чтобы дойти до их использования в данной области, необходимо получить достаточное количество знаний. По мнению Канта, любая отрасль знания может тем более именоваться наукой, чем в большей степени в ней используется математика.
1.3. Виды подобия моделей
Чтобы некоторая материальная конструкция могла быть моделью, т.е. замещала в каком-то отношении оригинал, между оригиналом и моделью должно быть установлено отношение подобия. Существуют разные способы установления такого подобия, что придает моделям особенности, специфичные для каждого способа.
Прежде всего, это подобие, устанавливаемое в процессе создания модели. Назовем такое подобие прямым . Примером такого подобия являются фотографии, масштабированные модели самолетов, кораблей, макеты зданий, выкройки, куклы и т.д.
Следует помнить, что как бы хороша ни была модель, она все-таки лишь заменитель оригинала, только в определенном отношении. Даже тогда, когда модель прямого подобия выполнена из того же материала, что и оригинал, т.е. подобна ему субстратно, возникают проблемы переноса результатов моделирования на оригинал. Например, при испытании уменьшенной модели самолета в аэродинамической трубе задача пересчета данных модельного эксперимента становится нетривиальной и возникает разветвленная, содержательная теория подобия, позволяющая привести в соответствие масштабы и условия эксперимента, скорость потока, вязкость и плотность воздуха. Трудно достигается взаимозаменяемость модели и оригинала в фотокопиях произведений искусства, голографических изображениях предметов искусства.
Второй тип подобия между моделью и оригиналом называется косвенным . Косвенное подобие между оригиналом и моделью объективно существует в природе и обнаруживается в виде достаточной близости или совпадения их абстрактных математических моделей и вследствие этого широко используется в практике реального моделирования. Наиболее характерным примером может служить электромеханическая аналогия между маятником и электрическим контуром.
Оказалось, что многие закономерности электрических и механических процессов описываются одинаковыми уравнениями, различие состоит в разной физической интерпретации переменных, входящих в это уравнение. Роль моделей, обладающих косвенным подобием, очень велика и роль аналогий (моделей косвенного подобия) в науке и практике трудно переоценить. Аналоговые вычислительные машины позволяют найти решение почти всякого дифференциального уравнения, представляя собой, таким образом, модель, аналог процесса, описываемого этим уравнением. Использование электронных аналогов в практике определяется тем, что электрические сигналы легко измерить и зафиксировать, что дает известные преимущества модели.
Третий, особый класс моделей составляют модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения . Такое подобие называется условным. С моделями условного подобия приходится иметь дело очень часто, поскольку они являются способом материального воплощения абстрактных моделей. Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), удостоверение личности (модель владельца), всевозможные сигналы (модели сообщения).
Все модели, которые человек использует в различных сферах своей деятельности, условно можно поделить на две группы: материальные и абстрактные. Первые являются объективными, их можно реально потрогать руками. Вторые же существуют только в человеческом сознании. В рамках данной статьи будут рассмотрены лишь математические методы и модели в экономике. Они применяются для анализа процессов и явлений, происходящих в этой сфере. Их использование позволяет ставить новые экономические задачи. Благодаря ним руководство принимает решения, касающиеся управления организацией, фирмой, предприятием.
Математические операций в экономике являются самым эффективным инструментом изучения проблем в данной области. В современной научной и технической деятельности они становятся немаловажной формой моделирования. А в практике планирования и управления этот способ - основной.
Экономико-математические методы и модели являются той базой, на основе которой реализуются различные программы, изначально предназначенные для решения задач планирования, анализа и управления. Вместе с техническими средствами, с базами данных они входят в состав человеко-машинной системы. Она позволяет использовать модели и знания для решения разного рода проблем (как неконструктурированных, так и слабоконструктурированных).
В зависимости от критериев, которые лежат в основе деления, экономико-математические методы и модели классифицируются следующим образом.
1. По цели они бывают:
Прикладные, то есть с их помощью решаются конкретные задачи;
Теоретико-аналитические (они применяются, когда нужно исследовать общие закономерности и признаки развития процессов, происходящих в экономике).
2. По тому, какие причинно-следственные связи они отражают:
Детерминированные;
Вероятностные (учитывают фактор возникающей неопределенности).
3.По уровню тех процессов в экономике, которые они исследуют:
Производственные и технологические;
Социально-экономические.
4. По тому способу, которым отражается фактор времени:
Динамические, по ним видны происходящие изменения;
Статические, все зависимости здесь отражают лишь один период времени или момент.
5. По уровню детализации:
Макромодели (агрегированные);
Микромодели (детализированные).
6. По форме, в которой выражаются математические зависимости:
Нелинейные;
Линейные - их очень удобно использовать для вычисления и анализа, что привело к их более широкому распространению.
Экономико-математические методы и модели имеют и свои принципы построения. К ним относятся:
1. Принцип однозначности данных. Согласно ему информация, которая используется в начале моделирования, не должна зависеть от тех параметров будущей системы, которые на данном этапе исследования еще даже неизвестны.
2. Принцип полноты первоначальных сведений. Он означает, что используемая исходная информация должна быть очень точной, так как от нее зависят полученные результаты.
3. Принцип преемственности. Он говорит о том, что те признаки объекта, которые были отражены или установлены в первых моделях, должны сохраняться и в каждой последующей.
4. Принцип эффективной реализации. Каждая модель должна использоваться на практике. В ее реализации должны помогать новейшие вычислительные средства.
Экономико-математические методы и модели всегда строятся в несколько этапов:
1) Определение проблемы, ее анализ.
2) Конструирование Это ее выражение в виде функций, схем, уравнений.
3) Анализ полученной модели с помощью математических приемов.
4) Подготовка первоначальной информации.
5) Это уже собственно разработка программ, составление алгоритмов и проведение расчетов.
6) Анализ полученных результатов, их практическое применение.
Каждый из этих этапов может иметь свою специфику в зависимости от рассматриваемой области знаний.
Экономико-математические методы и модели
Методически указания и контрольные задания для студентов
очной и заочной формы обучения.
г. Ставрополь 2007г.
Настоящее пособие предназначено для студентов экономических специальностей. Учебный план изучения курса рассчитан на 75 часов и предусматривает выполнение контрольной работы для заочной формы обучения.
В пособии приведены решения задач по темам, соответствующим учебному плану, даны необходимые методические указания и приведены задания для контрольной работы. Это пособие может быть использовано студентами очного и заочного отделения для самостоятельной работы и подготовки к зачёту.
Введение
В настоящее время процессы принятия решений в экономике опираются на достаточно широкий круг экономико-математических методов и моделей. Ни одно серьёзное решение, затрагивающее управление деятельностью отраслей и предприятий, распределения ресурсов, изучение рыночной конъюнктуры, прогнозирование, планирование и т.п., не осуществляется без предварительного математического исследования конкретного процесса или его частей.
В этой связи изучение дисциплины «Экономико-математические методы и модели» направлено как на формирование у студентов понимания роли современной математики в экономике, так и на изучение наиболее важных экономико-математических методов исследования моделей и задач оптимизации.
Задачи данной дисциплины состоят в изучении математических методов СЭП, применения базовых методов математического моделирования СЭП при решении оптимизационных задач и выработке навыков решения трудоёмких прикладных экономико-математических задач с помощью компьютерных технологий.
Цель изучения данной дисциплины – подготовка специалиста экономического профиля к сознательному использованию математических методов исследования СЭП на основе соответствующих базовых моделей.
Изучение дисциплины предусматривает сочетание лекций, практических занятий и самостоятельную работу студентов. На лекциях излагается содержание дисциплины, проводится анализ основных математических понятий и методов. Практические занятия ориентированны на выработку у студентов умения и навыков решения типовых экономических задач. Руководствуясь принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением её прикладной экономической направленности, автором предлагаются наиболее экономически значимые задачи, представляющие самостоятельный интерес и дающие возможность относительно продуктивно освоить алгоритм их решения при отсутствии учебника.
После изучения дисциплины «Экономико-математические методы и модели» студент должен:
Иметь представление о методах системного анализа и управления СЭП;
Знать основные понятия, определения и базовые математические методы, используемые для построения моделей СЭП;
Уметь проводить расчёты и делать оценки параметров для базовых математических моделей СЭП;
Уметь решать прикладные экономико-математические задачи, опираясь на базовые знания по математике,соответствующие Государственному образовательному стандарту.
Общие методические указания
Для более полного, уверенного освоения студентами навыков решения задач по дисциплине «Экономико-математические методы и модели» предлагаются данные методические указания. Автор руководствовался общими целеполагающими принципами изучения данной дисциплины, а также принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов для понимания значимости построения и исследования математических моделей в экономике.
Приведённые методические указания могут быть использованы при проведении самостоятельных и контрольных работ, собеседований при сдаче зачёта.
При выполнении контрольной работы студентам заочного отделения необходимо руководствоваться следующими указаниями:
На обложке указываются фамилия и инициалы студента, полный шифр специальности, группа, дата регистрации, фамилия и инициалы преподавателя-рецензента;
Решение всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными; вычисления и чертежи – полными и аккуратными.
Номер контрольной работы соответствует последней цифре его учебного шифра.
Контрольная работа предоставляется в деканат не позднее 10 дней до начала сессии. При сдаче зачёта студент должен дать пояснения к решённым заданиям.
1. Исследование операций в экономике: Учеб. пособ. / под ред. Н.Ш.Кремера./ – М.: ЮНИТИ, 2000. - 407 с.
2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н.Ш. и др.; под ред. проф. Н.Ш.Кремера – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2005. – 423 с.
3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособ. М..: Высшая школа, 1986. - 319 с.
4. Морозов В.В., Сухарев А.Т., Фёдоров В.В. Исследование операций в примерах и задачах.: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.
5. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Высшая школа, 2001. – 208 с.
6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.2-е изд. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. – 368 с.
7. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. – Спб: Питер, 2002. – 176 с.
8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов /В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др., Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. -391 с.
Глоссарий терминов.
Аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части. Характеристика системы аддитивна, если она равна сумме тех же характеристик для всех составляющих систему подсистем и элементов.
Адекватность модели - ее соответствие моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые для исследования считаются существенными.
Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых, что часто значительно упрощает решение задачи.
Вариантные прогнозы - прогнозы, основанные на сопоставлении различных вариантов возможного развития экономики при разных предположениях относительно того, как будет развиваться техника, какие будут приниматься экономические меры и т. д.
Векторная оптимизация - решение задач математического программирования, в которых критерий оптимальности представляет собой вектор, компонентами которого являются в свою очередь различные несводимые друг к другу критерии оптимальности подсистем, входящих в данную систему, например критерии разных социальных групп в социально-экономическом планировании.
Верификация имитационной модели - проверка соответствия ее поведения предположениям экспериментатора.
Вероятностная модель - модель, которая в отличие от детерминированной модели содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значений, на ёе выходе могут получаться различающиеся между собой результаты в зависимости от действия случайного фактора.
Взаимозаменяемость ресурсов - возможность использования разных ресурсов для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.
Генетический прогноз («поисковый») - прогноз, показывающий, к каким состояниям придет прогнозируемый объект в заданное время при определенных начальных условиях.
Глобальное моделирование или моделирование глобального развития - область исследований, посвященная разработке моделей наиболее масштабных социальных, экономических и экологических процессов, охватывающих земной шар.
Градиентные методы решения задач математического программирования - методы, основанные на поиске экстремума (максимума или минимума) функции путем последовательного перехода к нему с помощью градиента этой функции.
Декомпозиционные методы решения оптимальных задач - основанные на рациональном расчленении сложной задачи и решении отдельных подзадач с последующим согласованием частых решений для получения общего оптимального решения.
Дескриптивная модель - модель, предназначенная для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объектов - в отличие от нормативных моделей, предназначенных для нахождения желательного состояния объекта (например, оптимального).
Детерминированная модель - аналитическое представление закономерности, операции и т. п., при которых для данной совокупности входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упрощением), так и детерминированную систему.
Детерминированная система - такая система, выходы которой (результаты действия, конечные состояния и т.п.) однозначно определяются оказанными на нее управляющими воздействиями.
Динамическая система - всякая система, которая изменяется во времени (в отличие от статической системы). Математически это принято выражать через переменные (координаты), изменяющиеся во времени. Процесс изменения характеризуется траекторией (т. е. наборами координат, каждая из которых является функцией времени).
Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай динамических моделей экономики, основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения отраслевых связей во времени.
Итеративные (итерационные) методы решения задач - заключаются в том, что вычислительный процесс начинают с некоторого пробного (произвольного) допустимого решения, а затем применяют алгоритм, обеспечивающий последовательное улучшение этого решения.
Итерация - повторное применение математической операции (с измененными данными) при решении вычислительных задач для постепенною приближения к нужному результату. Итеративные расчеты на ЭВМ характерны для решения экономических (особенно оптимизационных и балансовых) задач. Чем меньше требуется пересчетов, тем быстрее сходится алгоритм.
Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимостной (руб.).
Критерий оптимальности - показатель, выражающий меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и выбора наилучшего из них (например, максимум прибыли, минимум трудовых затрат, кратчайшее время достижения цели и т. д.)
Коэффициенты полных материальных затрат в межотраслевом балансе - средние затраты i-го продукта на производство конечного продукта j по всей цепи сопряженных производств. Таким образом, они складываются из прямых затрат каждой отрасли на данный продукт и косвенных затрат.
Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимостной (руб.).
Математическое программирование (оптимальное программирование) - область математики, объединяющая различные математические методы и дисциплины: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, выпуклое программирование и др. Общая задача математического программирования состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.
Матричные модели - модели, построенные в виде таблиц (матриц). Они отображают соотношения между затратами на производство и его результатами, нормативы затрат, производственную и экономическую структуру хозяйства. Применяются в межотраслевом балансе, матричном плане предприятия и др.
Машинная имитация - экспериментальный метод изучения объекта с помощью электронных вычислительных машин, Процесс имитации заключается в следующем: сначала строится математическая модель изучаемого объекта (имитационная модель), затем эта модель преобразуется в программу работы ЭВМ.
Межотраслевой баланс (МОБ ) - каркасная модель экономики, таблица, в которой показываются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве. Анализ МОБ дает комплексную характеристику процесса формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.
Объективно обусловленные (оптимальные) оценки - одно из основных понятий линейного программирования. Это оценки продуктов, ресурсов, работ, вытекающие из условий решаемой оптимизационной задачи. Их называют также двойственными оценками, разрешающими множителями, множителями Лагранжа и целым рядом других терминов.
Ограничения модели - запись условий, в которых действительны расчеты, использующие эту модель. Обычно представляя собою систему уравнений и неравенств, они в совокупности определяют область допустимых решений (допустимое множество). Распространены линейные и нелинейные ограничения (на графике первые изображаются прямыми, вторые - кривыми линиями).
Определенность в системе - ситуация, когда имеется точная информация о возможных состояниях системы в случае принятия тех или иных решений.
Оптимальное планирование - комплекс методов, позволяющих выбрать из многих возможных (альтернативных) вариантов плана или программы один оптимальный вариант, т. е. наилучший с точки зрения заданного критерия оптимальности и определенных ограничений.
Оптимальное программирование - применение в экономике методов математического программирования.
Оптимальное управление - основное понятие математической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: оптимальное управление); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее, с точки зрения заданного критерия, протекание процесса, или, иначе, наилучшее поведение системы, ее развитие к цели по оптимальной траектории.
Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего (с точки зрения какого-то критерия) распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимизационной модели методами математического программирования.
Оптимизация - 1) процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор наилучшего варианта из множества возможных; 2) процесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние. Очередь - в теории массового обслуживания - последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслуживания занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения (затем они обслуживаются в том или ином порядке). Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих (простаивающих) каналов или средств обслуживания.
Пассивный (безусловный) статистический прогноз - прогноз развития, основанный на изучении статистических данных за прошлый период и переносе выявленных закономерностей на будущее. При этом внешние факторы, воздействующие на систему, принимаются неизменными и считается, что ее развитие основывается только на собственных, внутренних тенденциях.
Предельные и приростные величины в экономике . Предельная величина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение. Поскольку в экономике большинство процессов (например, рост производства или изменение его эффективности) являются функциями ряда аргументов (факторов), то предельные величины здесь обычно выступают как частные производные процесса по каждому из факторов.
Прогнозирование - система научных исследований качественного и количественного характера, направленных на выяснение тенденций развития народного хозяйства и поиск оптимальных путей достижения целей этого развития.
Прогнозирование спроса - исследование будущего (возможного) спроса на товары и услуги в целях лучшего обоснования соответствующих производственных планов. Прогнозирование подразделяется на краткосрочное (конъюнктурное), среднесрочное и долгосрочное.
Производственная функция - экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). Математически производственные функции (ПФ) могут быть представлены в различных формах - от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени. Широко распространены мультипликативные формы ПФ.
Равновесие - состояние экономической системы, которое характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов.
Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин. Распределение этих значений называется условным распределением у при данном х. Множественная регрессия в определенных условиях позволяет исследовать влияние причинных факторов.
Рекурсия - в общем смысле вычисление функции по определенному алгоритму. Примерами таких алгоритмов являются рекуррентные формулы, выводящие вычисление заданного члена последовательности (чаще всего числовой) из вычисления нескольких предыдущих ее членов.
Статистическое моделирование - способ исследования процессов повеления вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах.
Стохастическая имитация - вид машинной имитации, отличающийся от детерминированной тем, что включает в модель в том или ином виде случайные возмущения, отражающие вероятностный характер моделируемой системы.
Устойчивость решения - обычно, говоря об устойчивости решения задачи, имеют в виду, что малые изменения каких-либо характеристик, например, начальных условий, ограничений или целевого функционала, не приводят к качественному изменению решения.
Целевая функция в экстремальных задачах - функция, минимум или максимум которой нужно найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум целевой функции и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые k нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи.
Шкалы - системы чисел или иных элементов, принятых для оценки или измерения каких-либо величин. Шкалы используются для оценки и выявления связей и отношений между элементами систем. Особенно широко их применение для оценки величин, выступающих в роли критериев качества функционирования систем, в частности, критериев оптимальности при решении экономико-математических задач.
Практическое занятие.
Тема . Методы линейной алгебры в экономическом анализе.
Цель . Решение экономических задач с элементами моделирования, опирающиеся на базовую основу линейной алгебры.
1. Справочный материал.
Понятие матрицы часто используется в практической деятельности, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записывать в виде матрицы.
Задача 1. В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица задаёт объёмы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица - соответственно во втором; (а ij , в ij) – объёмы продукции j –го типа на i –м заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:
; .
а) объёмы продукции;
б) прирост объёмов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;
в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если λ – курс доллара по отношению к рублю.
Решение:
а) Объёмы продукции за полугодие определяются суммой матриц, т.е. С=А+В=, где с ij – объём продукции j-го типа, произведённый за полугодие i-м заводом.
б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц, т.е.
Д=В-А= . Отрицательные элементы показывают, что на данном заводе объём производства уменьшился, положительные – увеличился, нулевые – не изменился.
в) Произведение λC= λ(А+В) даёт выражение стоимости объёмов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию.
Задача 2. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го товара на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат . Пусть за определённый отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа , записанное матрицей .
Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени, если
, . Решение . Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц, т.е. S=AX.
, т.е за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса 1-го вида, 960 ед. ресурса 2-го вида, 450 ед. ресурса 3-го вида, 630 ед. ресурса 4-го вида.
Задача 3. Завод производит двигатели, которые могут либо сразу потребовать дополнительной регулировки (в 40% случаев), либо сразу могут быть использованы (в 60% случаев). Как показывают статистические исследования, те двигатели, которые изначально требовали регулировки, потребуют дополнительной регулировки через месяц в 65% случаев, а в 35% случаев через месяц будут работать хорошо. Те же двигатели, которые не требовали первоначальной регулировки, потребуют её через месяц в 20% случаев и продолжат хорошо работать в 80% случаев. Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через 2 месяца после выпуска? Через 3 месяца?
Решение.
В момент после выпуска доля хороших двигателей составляет 0,6, а доля требующих регулировки – 0,4. Через месяц доля хороших составит: 0,6 . 0,8+0,4 . 0,35=0,62. Доля требующих регулировки: 0,6 . 0,2+0,4 . 0,65=0,38. введём строку состояния X t в момент t; X t =(x 1 t ; x 2 t), где x 1 t – доля хороших двигателей, x 2 t – доля двигателей, требующих регулировки в момент t.
Матрица перехода , где - доля двигателей, которые в настоящее время находятся в состоянии (1- «хороший», 2- «требует регулировки»), а через месяц – в состоянии .
Очевидно, что для матрицы перехода сумма элементов каждой строки равна 1, все элементы неотрицательны.
Очевидно, =(0,6 0,4), .
Тогда через месяц ,
через 2 месяца ; через 3 месяца .
Найдём матрицы ;
Отметим, что если - матрица перехода, то - тоже матрица перехода при любом натуральном t. Теперь
,
Очевидно, .
Задача 3. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн. усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: а) в минувшем году; б) в текущем году?
Решение.
Пусть и - прибыли первого и второго отделений в минувшем году. тогда условие задачи можно записать в виде системы: Решив систему, получим Следователь, а) прибыль в минувшем году первого отделения -4 млн. усл. ед., а второго – 8 млн. усл. ед.; б) прибыль в этом году первого отделения 1,7 . 4=6,8 млн. усл. ед., второго 1,4 . 8=11,2 млн. усл. ед.
2.1. Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков А 1, А 2 , А 3 ; б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц В 1 и В 2 и проанализировать результаты:
; ; .
2.2. Предприятие производит мебель трёх видов и продаёт её в четырёх регионах. Матрица задаёт цену реализации единицы мебели i-го типа в j-м регионе. Определить выручку предприятия в каждом регионе, если реализация мебели за месяц задана матрицей .
2.3 . По условию задачи 2 определить:1) полные затраты ресурсов 3-х видов на производство месячной продукции, если заданы нормы затрат матрицей и объём выпуска каждого из двух типов продукции ;
2) стоимость всех затраченных ресурсов, если задана стоимость единиц каждого ресурса .
2.4 . В ремонтную мастерскую поступают телефонные аппараты, 70 % которых требуют малого ремонта, 20 % - среднего ремонта, 10% - сложного ремонта. Статистически установлено, что 10% аппаратов прошедших малый ремонт, через год требуют малого ремонта, 60% - среднего, 30% -сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших средний ремонт, 20% требуют через год малого ремонта, 50% - среднего, 30% - сложного ремонта. Из аппаратов, прошедших сложный ремонт, через год 60% требуют малого ремонта, 40% - среднего. Найти доли из отремонтированных в начале года аппаратов, которые будут требовать ремонта того или иного вида: через 1 год; 2 года;3 года.
Практическое занятие.
Тема . Методы математического анализа для построения моделей СЭП.
Цель . Решение экономических задач с элементами моделирования, в которых применяются методы математического анализа.
1. Справочный материал.
Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определённому алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.
Наиболее часто используемые в экономике следующие функции:
1. Функция полезности (функция предпочтения) – зависимость результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска – зависимость объёма производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек – зависимость издержек производства от объёма продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объёма спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).
Учитывая, что экономические явления и процессы обуславливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяют мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающих его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.
Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторов переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.
Кроме геометрического и механического существует ещё и экономический смысл производной. Во-первых, производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент . Во-вторых, существует ещё одно понятие, характеризующее экономический смысл производной. Если издержки производства y рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x , - прирост продукции, - приращение издержек производства, а - среднее приращение издержек производства на единицу продукции, тогда производная равная выражает предельные издержки производства и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырьё, топливо ит.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и др.предельные величины.
Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, то есть изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчётов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных ит.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно предельные величины.
Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.
Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при :
. (1)
Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция y = f ( x ) при изменении независимой переменной x на 1%. Это мера реагирования одной переменной величины на изменение другой.
Отметим свойства эластичности функции.
1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции , т.е. .
2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций: , .
Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены x – коэффициент, определяемый по формуле (1) и показывающий приближённо, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.
Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считают эластичным, если - нейтральным, если - неэластичным относительно цены (или дохода).
В практической деятельности часто приходится сталкиваться с такими задачам, которые рационально решать методами математического анализа. Это задачи на нахождение объёма продукции при известном значении прибыли, определении уровня потребления товаров при известном доходе, определение момента времени рентабельности производства, определение размеров вклада при известных начальных вложениях и т.п.
Задача 1. Издержки y (в руб.) на изготовление партии деталей определяются по формуле , где - объём партии. Для первого варианта технологического процесса . Для второго варианта известно, что (руб.) при (дет.) и (руб.) при (дет.). Провести оценку двух вариантов технологического процесса и найти себестоимость продукции для обоих вариантов при (дет.)
Решение .
Для второго варианта определяем параметры и из системы уравнений:
откуда и , т.е. .
Точка (х 0 ,y 0) пересечения двух прямых находится из системы их уравнений:
откуда , .Очевидно, при объёме партии выгоднее второй вариант технологического процесса, при - первый вариант. Себестоимость продукции (руб.) при по первому варианту составляет , а по второму - .
Задача 2. Постоянные издержки составляют 125 тыс.руб. в месяц, а переменные издержки - 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объём продукции , при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс.руб. в месяц.
Решение:
а) Издержки производства единиц продукции составят: (тыс.руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции , а прибыль (тыс.руб.). Точка безубыточности, в которой , равна (ед.).
б) Прибыль (тыс.руб.), т.е. при (ед.).
Задача 3. Продолжительность выполнения (мин.) при повторных операциях связана с числом этих операций зависимостью . Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при , а при .
Решение . Найдём параметры и , учитывая, что , . Получаем систему: решая которую найдём , .
Итак, при , (мин.)
Задача 4. Объём продукции u, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением (ед.), , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.
Решение. Производительность труда выражается производной (ед./час), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной : (ед./ч 2),
(ед./ч).
В заданные моменты времени и соответственно имеем: z(t)=112,5 (ед./ч), z’(t)=-20(ед./ч 2), T z (7)=-0,24 (ед./ч).
Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака z’(t) и T z (t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.
Задача 5. Опытным путём установлены функции спроса и предложения , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена товара.
Найти: а) равновесную цену, т.е.цену при которой спрос равен предложению;
б) эластичность спроса и предложения для этой цены;
в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Решение. а) Равновесная цена находится из условия q = s , тогда , откуда p = 2, т.е равновесная цена 2 ден.ед.
б) Найдём эластичность по спросу и предложению по формуле (1)
; . Для равновесной цены p =2 имеем ; . Так как полученные значения эластичностей по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.
в) При увеличении цены p на 5% от равновесной спрос уменьшится на 5 . 0,3=1,5%, следовательно, доход возрастёт на 3,5%.
Задача 6. Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией (ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.
Решение. Функция средних издержек выражается соотношением ; при x = 10средние издержки (на единицу продукции) равны (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной ; при x = 10 предельные издержки составят (ден.ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.) , составляют 35 ден.ед.
Задача 7. Выяснить, чему равны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?
Решение . Пусть полные затраты предприятия y выражаются функцией , где x – объём выпускаемой продукции. Тогда средние затраты y 1 на производство единицы продукции . Эластичность частного двух функции равна разности их эластичностей, т.е. .
По условию , следовательно, . Это означает, что с изменением объёма продукции средние затраты на единицу продукции не меняются, т.е., откуда .
предельные издержки предприятия определяются производной . Итак, т.е предельные издержки равны средним издержкам(полученное утверждение справедливо только для линейных функций издержек).
2. Задания для самостоятельной работы.
2.1. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются уравнениями: и , где - расстояния в сотнях километров, - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?
2.2. Зная, что изменение объёма производства с изменением производительности труда происходит по прямой линии, составить её уравнение, если при =3 =185, а при =5 =305. Определить объём производства при =20.
2.3 . Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс.руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.
2.4. Зависимость уровня потребления некоторого вида товаров от уровня дохода семьи выражается формулой: . Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден.ед. Известно, что при =50 =0; =74 =0,8; =326 =2,3.
2.5. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10 000 руб.
Указание. Размер вклада через t лет определяется по формуле , где p -процентная ставка за год, Q 0 –первоначальный вклад.
2.6. Затраты на производство продукции (тыс.руб.) выражаются уравнением , где -количество месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением . Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?
2.7. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.
Практическое занятие.
Тема. Предельный анализ экономических процессов.
Цель. Рассмотреть применение математических методов для нахождения предельных величин в оптимизационных задачах.
1.Справочный материал.
Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства x единиц данного продукта. Прибыль , где D ( x ) - доход от производства x единиц продукта.
Средние издержки A ( x ) при производстве x единиц продукта есть .Предельные издержки .
Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение x единиц продукта, при котором прибыль P ( x ) оказывается наибольшей.
Задача 1. Функция издержек имеет вид . На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A ( x ) . В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?
Решение. Средние издержки принимают минимальное значение при x =10. Предельные издержки . При установившейся цене оптимальное значение P ( x ) выпуска задаётся условием максимизации прибыли: , т.е. 4=M ( x ) , откуда . Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.
Задача 2. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x 0 p =14 , если известен вид функции издержек .
Решение . По формуле прибыли получаем, .
Находим производную прибыли по объёму: , тогда х опт = 2.
Задача 3. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р =10,5 и функция издержек имеет вид.
Решение . Находим значение прибыли .
Производная прибыли по объёму имеет вид: . Тогда , . .
2. Задания для самостоятельной работы .
2.1 Определить оптимальное для производителя значение выпуска x 0 , при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =8 и известен вид функции издержек .
2.2 Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма-производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =40 и известен вид функции издержек .
2.3 При производстве монополией x единиц товара за единицу . Определить оптимальное для монополии значение выпуска x 0 (предполагается что весь произведённый товар реализуется), если издержки имеют вид .
2.4 Функция издержек имеет вид . Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.
2.5 На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причём функция издержек имеет вид . В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной р =37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?
Задания для контрольной работы.
Задача 1.
Даны зависимости спроса D(p) и предложения S(p) от цены.
Найдите: 1) равновесную цену и выручку при равновесной цене;
2) цену, при которой выручка максимальна и саму эту
максимальную выручку.
Построить график зависимостей.
Задача 2.
Рассматривается рынок с тремя участниками, у каждого из которых одна и та же функция полезности . Пусть начальное имущество 1-го, 2-го и 3-го участников заданы векторами, а цены на рынке таковы р=1, р=2, р=3.
Проверить: 1) равновесно ли положение;
2) выполняется ли закон Вальраса об избыточном спросе:
Задача 3.
Пусть модель Леонтьева задана матрицей А.
Найти объем производства, обеспечивающий вектор потребления У.
№ варианта | 1 задание | 2 задание | 3 задание |
1 | (3,2,3), (2,4,6), (6,4,6) | ||
2 | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) | ||
3 | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) | ||
4 | (4,2,3), (2,5,4), (3,4,7) | ||
5 | (5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5) | ||
6 | (6,2,3), (2,3,6), (3,6,5) | ||
7 | (4,2,3), (4,3,4), (4,4,5) | ||
8 | (4,2,3), (5,3,4), (6,4,2) | ||
9 | (3,2,3), (4,3,4), (3,5,2) | ||
10 | (3,2,3), (2,4,6), (6,4,6) | ||
11 | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) | ||
12 | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) | ||
13 | (2,4,3), (2,3,4), (4,4,5) | ||
14 | (2,2,3), (2,4,5), (6,6,6) | ||
15 | (4,2,3), (2,5,4), (3,4,7) | ||
16 | (4,2,3), (4,3,4), |
||
17 | (3,2,3), (4,3,4), |
||
18 | (3,2,3), (2,4,6), |
||
19 |
Характеристика основных экономико-математических методов АХД
Применение методов линейного программирования для решения конкретных аналитических задач.
Применение методов динамического программирования для решения конкретных аналитических задач.
1. Экономико-математические методы - это математические методы, применяемые для анализа экономических явлений и процессов. Использование математических методов в экономическом анализе позволяет повысить его эффективность за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых вручную или традиционными методами.
Применение математических методов в экономическом анализе требует соблюдения ряда условий, среди которых:
Системный подход к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий;
Разработка комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического анализа;
Совершенствование системы экономической информации о работе предприятий;
Наличие технических средств (ЭВМ и др.), осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;
Организация специального коллектива аналитиков, состоящего из экономистов-производственников, специалистов по экономико-математическому моделированию, математиков-вычислителей, программистов-операторов и др.
Современное состояние разработки принципов и конкретных форм использования математики и других точных наук для решения экономических задач отражает примерная схема основных математических методов, применяющихся в анализе хозяйственной деятельности предприятий.
Приведенная схема еще не является классификатором экономико-математических методов, поскольку она составлена безотносительно к какому-либо классификационному признаку. Она необходима для инвентаризации и характеристики основных математических методов, используемых в анализе хозяйственной деятельности предприятий. Рассмотрим ее
Экономико-математические методы в анализе
Методы элементарной математики
Эвристические методы
Методы исследования операций
Математическая теория оптимальных процессов
Методы экономической кибернетики
Классические методы математического анализа
Методы математической статистики
Эконометрические методы
Методы математического программирования
Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности.
Методы элементарной математики используются в обычныхтрадиционных экономических расчетах при обосновании потребностейв ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов,при балансовых расчетах и т. д. Выделение методов классической высшей математики на схемеобусловлено тем, что они применяются не только в рамках другихметодов, например, методов математической статистики иматематического программирования, но и отдельно. Так, факторныйанализ изменения многих экономических показателей может бытьосуществлен с помощью дифференцирования и интегрирования.
Методы математической статистики широко применяются в экономическом анализе. Они используются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайным процесс. Статистические методы, являясь основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы - это практически единственный инструмент исследования. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа.
Для изучения одномерных статистических совокупностей используются: вариационный ряд, законы распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа, изучаемые в курсах теории статистики.
Следующая группа экономико-математических методов - эконометрические методы. Эконометрия - научная дисциплина, изучающая количественные стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа на основе моделирования экономических процессов. Соответственно эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой эконометрии является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт. Из э ко неметрических методов наибольшее распространение в современной экономике получил метод анализа "затраты - выпуск". За его разработку выдающийся экономист В. Леонтьев в 1973 году получил Нобелевскую премию. Метод анализа "затраты-выпуск" - это эконометрический метод анализа, заключающийся в построении матричных (балансовых) моделей, по шахматной схеме и позволяющих в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат ирезультатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации - главные преимущества использования матричных моделей. Это важно при создании систем механизированной обработки данных, при планировании производства продукции с использованием ЭВМ.
Методы математического программирования в экономике - это многочисленные методы решения задач оптимизации производственно-хозяйственной и прежде всего плановой деятельности хозяйствующего субъекта. По своей сути эти методы - средство плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа выполнения бизнес-планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов и т. п.
Под исследованием операций понимается метод целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор из них наилучшего. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Целью является такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных.
Как раздел исследования операций теория игр - это теория построения математических моделей для принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.
Теория массового обслуживания - это теория, разрабатывающая математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания на основе теории вероятности. Так, любое из структурных подразделений промышленного предприятия можно представить как объект системы обслуживания.
Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей совокупности множество таких требований подчиняется определенным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.
Методы экономической кибернетики разрабатываются экономической кибернетикой - научной дисциплиной, анализирующей экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем, с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Из методов экономической кибернетики наибольшее распространение в экономическом анализе получили
31методы моделирования и системного анализа.
В последние годы в экономической науке усилился интерес к методам эмпирического поиска оптимальных условий протекания процесса, использующих человеческий опыт и интуицию. Это нашло отражение в применении эвристических методов (решений), которые представляют собой неформализованные методы решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т. п.
Для анализа производственно-хозяйственной, коммерческой деятельности многие методы из приведенной примерной схемы не нашли практического применения и только разрабатываются в теории экономического анализа. В то же время в этой схеме не нашли отражения некоторые экономико-математические методы, рассматриваемые в специальной литературе по экономическому анализу: теория нечетких множеств, теория катастроф и др. В данном учебном пособии внимание сосредоточено на основных экономико-математических методах, получивших уже широкое применение в практике экономического анализа.
Применение того или иного математического метода в экономическом анализе опирается на методологию экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованную классификацию методов и задач анализа.
По классификационному признаку оптимальности все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и неоптимизационные. Оптимизационные методы - группа экономико-математических методов анализа, позволяющих искать решение задачи по заданному критерию оптимальности. Неоптимизационные методы - группа экономико-математических методов анализа, использующихся для решения задач без критерия оптимальности.
По признаку получения точного решения все экономико-математические методы делятся на точные и приближенные. К точным методам относят группу экономико-математических методов, алгоритм которых позволяет получить только одно решение по заданному критерию оптимальности или без него. К приближенным методам относят группу экономико-математических методов, применяемых в случае, когда при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, а также такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности или без него.
Таким образом, на основе использования только двух признаков классификации, все экономико-математические методы делятся на четыре группы:
1) оптимизационные точные методы;
2} оптимизационные приближенные методы;
3) неоптимизационные точные методы;
4) неоптимизационные приближенные методы.
Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся: отдельные методы математического программирования; методы исследования операций, методы экономической кибернетики; методы математической теории планирования экстремальных экспериментов; эвристические методы. К неоптимизационным точным методам относятся: методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К неоптимизационным приближенным методам относятся: метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.
Из представленных нами укрупненных групп экономико-математических методов, некоторые методы из этих групп используются для решения различных задач - как оптимизационных, так и неоптимизационных; как точных, так и приближенных.
2 . Методы линейного программирования. Все экономические задачи, решаемые с применением методов линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из значительного количества всех допустимых вариантов лучший, оптимальный. В этом состоит важность и ценность использования в экономике методов линейного программирования. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.
Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны: математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.
С помощью методов линейного программирования в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок}. В сельском хозяйстве они используются для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургической шихты). Этими же методами решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.
3. Методы динамического программирования. Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция и/или ограничения, характеризуются нелинейными зависимостями.
Признаками нелинейности является, в частности, наличие переменны/, у которых показатель степени отличается от единицы, а также наличие переменной в показателе степени, под корнем, под знаком логарифма.
В экономике вообще и в экономике предприятия, в частности, примеров нелинейных зависимостей достаточно много. Так, экономическая эффективность производства возрастает или убывает непропорционально изменению масштабов производства; величина затрат на производство партии деталей возрастает вместе с увеличением размеров партии, но не пропорционально им. Нелинейной связью характеризуется изменение величины износа производственного оборудования в зависимости от времени его работы, удельный расход бензина (на 1 км пути) - от скорости движения автотранспорта и многие другие хозяйственные ситуации.
Современная экономическая теория включает в качестве необходимого инструмента математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет решить комплекс взаимосвязанных проблем.
Во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов. Это положение имеет принципиальный характер, поскольку изучение любого явления или процесса ввиду определенной степени сложности предполагает высокую степень абстракции.
Во-вторых, из сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки.
В-третьих, методы математики и статистики позволяют путем индукции получать новые знания об объекте, например, оценивать форму и параметры зависимостей его переменных в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.
В-четвертых, использование математической терминологии позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.
Развитие макроэкономического планирования в современных условиях связано с ростом уровня его формализации. Основу для этого процесса заложил прогресс в области прикладной математики, а именно: теории игр, математического программирования, математической статистики и других научных дисциплин. Большой вклад в математическое моделирование экономики бывшего СССР внесли известные советские ученые В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Л.В. Канторович, Н.П. Федоренко. С. С. Шаталин и др. Развитие экономико-математического направления было связано в основном с попытками формально описать так называемую «систему оптимального функционирования социалистической экономики» (СОФЭ), в соответствии с которой строились многоуровневые системы моделей народнохозяйственного планирования, оптимизационные модели отраслей и предприятий.
Экономико-математические методы имеют следующие направления:
Экономико-статистические методы , включают методы экономической и математической статистики. Экономическая статистика занимается статистическим изучением народного хозяйства в целом и отдельных его отраслей на основе периодической отчетности. Инструментарием математической статистики, используемым для экономических исследований, являются дисперсионный и факторный анализ корреляции и регрессии.
Моделирование экономических процессов заключается в построении экономико-математических моделей и алгоритмов, проведении расчетов по ним с целью получения новой информацию о моделируемом объекте. С помощью экономико-математического моделирования могут решаться задачи анализа экономических объектов и процессов, прогнозирования возможных путей их развития (проигрывание различных сценариев), подготовки информации для принятия решений специалистами.
При моделировании экономических процессов широкое распространение получили: производственные функции, модели экономического роста, межотраслевой баланс, методы имитационного моделирования и др.
Исследование операций – научное направление, связанное с разработкой методов анализа целенаправленных действий и количественного обоснования решений. Типовые задачи исследования операций включают: задачи массового обслуживания, управления запасами, ремонта и замены оборудования, календарного планирования, распределительные задачи и др. Для их решения используются методы математического программирования (линейного, дискретного, динамического и стохастического), методы теории массового обслуживания, теории игр, теории управления запасами, теории расписаний и др., а также программно-целевые методы и методы сетевого планирования и управления.
Экономическая кибернетика – научное направление, занимающееся исследованием и совершенствованием экономических систем на основе общей теории кибернетики. Основные ее направления: теория экономических систем, теория экономической информации, теория систем управления в экономике. Рассматривая управление народным хозяйством как информационный процесс, экономическая кибернетика служит научной основой разработки автоматизированных систем управления.
В основе экономико-математических методов лежит описание наблюдаемых экономических процессов и явлений посредством моделей.
Математическая модель экономического объекта - его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, объединяющее группы отношений элементов изучаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Модель – это условный образ экономического объекта, построенная для упрощения исследования последнего. Предполагается, что изучение модели имеет двоякий смысл: с одной стороны, оно дает новые знания об объекте, с другой - позволяет определить наилучшее решение применительно к различным ситуациям.
Математические модели, используемые в экономике, можно подразделить на классы по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта, цели моделирования и используемого инструментария. Это модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, равновесные и оптимизационные, описательные, матричные, статические и динамические, детерминированные и стохастические, имитационные и др.