จุดคงที่ จุดวิกฤตบนกราฟของฟังก์ชัน
จุดคงที่ของฟังก์ชัน
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน
เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายสุดของท้องถิ่น
เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองและสามสำหรับจุดสุดโต่งในท้องถิ่น
ค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์
ฟังก์ชันนูนและจุดเปลี่ยนเว้า
1. จุดคงที่ของฟังก์ชัน เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน
คำจำกัดความ 1
- ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ - จุด
เรียกว่าจุดคงที่ของฟังก์ชัน
, ถ้า แตกต่างออกไป ณ จุดหนึ่ง
.
และ
ทฤษฎีบท 1 (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดปลายเฉพาะของฟังก์ชัน)
- ให้ฟังก์ชัน
กำหนดไว้
และได้ตรงจุด
สุดขั้วในท้องถิ่น จากนั้นเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งก็เป็นไปตาม:
ดังนั้น เพื่อที่จะค้นหาจุดที่น่าสงสัยสำหรับจุดสุดขั้ว จำเป็นต้องค้นหาจุดคงที่ของฟังก์ชันและจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันไม่มีอยู่ แต่เป็นจุดที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
ตัวอย่าง
- อนุญาต
- ค้นหาจุดที่น่าสงสัยจนสุดขั้ว ในการแก้ปัญหา ก่อนอื่น เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน:
- ให้เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้:
จุดที่ไม่มีอนุพันธ์:
- จุดฟังก์ชันนิ่ง:
ตั้งแต่และ
, และ
อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จากนั้นทั้งคู่จะเกิดความสงสัยในระดับสุดขั้ว แต่เพื่อที่จะสรุปได้ว่าจะมีสุดขั้วตรงนั้นจริงหรือไม่ จำเป็นต้องใช้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับสุดขั้วนั้น
2. เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายสุดของท้องถิ่น
ทฤษฎีบท 1 (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับจุดปลายเฉพาะของฟังก์ชัน)
- ให้ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท 1 (เงื่อนไขแรกเพียงพอสำหรับจุดสุดขั้วเฉพาะจุด)
และแตกต่างในช่วงเวลานี้ทุกที่ ยกเว้นบางทีประเด็น แต่ ณ จุดนี้
การทำงาน มีความต่อเนื่อง หากมีจุดกึ่งเพื่อนบ้านด้านซ้ายและขวาดังกล่าว
ในแต่ละอัน
ก็ยังคงมีสัญญาณบางอย่างอยู่
1) ฟังก์ชั่น เรียกว่าจุดคงที่ของฟังก์ชัน
มีจุดสุดขั้วเฉพาะจุด
รับค่าของเครื่องหมายต่าง ๆ ในพื้นที่กึ่งใกล้เคียงที่สอดคล้องกัน
2) ฟังก์ชั่น ไม่มีจุดสุดขั้วเฉพาะที่ ณ จุดนั้น
ถ้าไปทางขวาและซ้ายของจุด
มีป้ายเดียวกัน
การพิสูจน์
- 1) สมมติว่าอยู่ในกึ่งเพื่อนบ้าน
อนุพันธ์
.
และใน แต่ ณ จุดนี้
ดังนั้นตรงจุด
2) สมมติว่าไปทางซ้ายและขวาของจุด อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมายอยู่ เช่น
- จากนั้นต่อไป
แตกต่างออกไป ณ จุดหนึ่ง
แต่ ณ จุดนี้
เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดนั่นคือ:
จึงสุดขั้ว ณ จุดนั้น แต่ ณ จุดนี้
ไม่มี ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
หมายเหตุ 1
- ถ้าอนุพันธ์
เมื่อผ่านจุดหนึ่ง เปลี่ยนเครื่องหมายจาก “+” เป็น “-” จากนั้นถึงจุดนั้น แต่ ณ จุดนี้
มีค่าสูงสุดในพื้นที่ และหากเครื่องหมายเปลี่ยนจาก "-" เป็น "+" ก็จะมีค่าต่ำสุดในพื้นที่
หมายเหตุ 2
- เงื่อนไขที่สำคัญคือความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
ตรงจุด - ถ้าไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้ ทฤษฎีบท 1 อาจไม่คงอยู่
ดังนั้น เพื่อที่จะค้นหาจุดที่น่าสงสัยสำหรับจุดสุดขั้ว จำเป็นต้องค้นหาจุดคงที่ของฟังก์ชันและจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันไม่มีอยู่ แต่เป็นจุดที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน - พิจารณาฟังก์ชันแล้ว (รูปที่ 1):
ฟังก์ชั่นนี้ถูกกำหนดไว้บน และต่อเนื่องกันทุกที่ยกเว้นจุดหนึ่ง
โดยมีช่องว่างที่ถอดออกได้ เมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่ง
เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" แต่ฟังก์ชันไม่มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ ณ จุดนี้ แต่มีค่าสูงสุดเฉพาะตามคำจำกัดความ ใกล้ถึงจุดนั้นแล้วจริงๆ
เป็นไปได้ที่จะสร้างย่านใกล้เคียงเพื่อให้อาร์กิวเมนต์ทั้งหมดจากย่านใกล้เคียงนี้ค่าฟังก์ชันจะน้อยกว่าค่า
- ทฤษฎีบทที่ 1 ไม่ได้ผลเพราะ ณ จุดนั้น
ฟังก์ชั่นมีช่องว่าง
หมายเหตุ 3
- เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับค่าสุดขีดเฉพาะที่ไม่สามารถใช้ได้เมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชัน
เปลี่ยนเครื่องหมายในแต่ละด้านซ้ายและขวาของจุดกึ่งเพื่อนบ้านแต่ละจุด .
ดังนั้น เพื่อที่จะค้นหาจุดที่น่าสงสัยสำหรับจุดสุดขั้ว จำเป็นต้องค้นหาจุดคงที่ของฟังก์ชันและจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันไม่มีอยู่ แต่เป็นจุดที่อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน - ฟังก์ชั่นที่กำลังพิจารณาคือ:
เนื่องจาก
, ที่
และด้วยเหตุนี้
, แต่
- ดังนั้น:
,
เหล่านั้น. ตรงจุด
แต่ ณ จุดนี้
มีขั้นต่ำในท้องถิ่นตามคำจำกัดความ มาดูกันว่าเงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับจุดสุดโต่งเฉพาะที่ได้ผลที่นี่หรือไม่
สำหรับ
:
สำหรับเทอมแรกทางด้านขวาของสูตรผลลัพธ์เราจะได้:
,
จึงอยู่ในละแวกเล็กๆ ของจุดนั้น
เครื่องหมายของอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของเทอมที่สองนั่นคือ:
,
ซึ่งหมายความว่าในบริเวณใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่ง
จะเอาทั้งค่าบวกและค่าลบ อันที่จริงให้พิจารณาพื้นที่ใกล้เคียงตามอำเภอใจ
:
- เมื่อไร
,
ที่
(รูปที่ 2) และ เปลี่ยนเครื่องหมายที่นี่หลายครั้งไม่สิ้นสุด ดังนั้น เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับจุดสุดขั้วเฉพาะจุดจึงไม่สามารถใช้ในตัวอย่างที่กำหนดให้ได้
คำจำกัดความ:
สุดขีดเรียกค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันในชุดที่กำหนด
จุดสุดขั้วคือจุดที่ถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน
จุดสูงสุดคือจุดที่ถึงค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
จุดต่ำสุดคือจุดที่ถึงค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
คำอธิบาย.
ในรูป ใกล้กับจุด x = 3 ฟังก์ชันจะถึงค่าสูงสุด (นั่นคือ ไม่มีจุดที่สูงกว่านี้ในบริเวณใกล้จุดใดจุดหนึ่ง) ในย่านใกล้เคียงของ x = 8 จะมีค่าสูงสุดอีกครั้ง (ให้เราชี้แจงอีกครั้ง: ในย่านนี้ไม่มีจุดใดที่สูงกว่านี้อีกแล้ว) เมื่อถึงจุดเหล่านี้ การเพิ่มขึ้นจะทำให้มีการลดลง เป็นจุดสูงสุด:
x สูงสุด = 3, x สูงสุด = 8
ใกล้กับจุด x = 5 จะถึงค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน (นั่นคือ ในบริเวณใกล้เคียงกับ x = 5 จะไม่มีจุดด้านล่าง) ณ จุดนี้ การลดลงทำให้เกิดการเพิ่มขึ้น เป็นจุดต่ำสุด:
จุดสูงสุดและต่ำสุดคือ จุดปลายสุดของฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้คือค่าของมัน สุดขั้ว.
จุดวิกฤติและจุดคงที่ของฟังก์ชัน:
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับภาวะสุดขั้ว:
สภาพที่เพียงพอสำหรับภาวะสุดขั้ว:
บนเซ็กเมนต์ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) สามารถเข้าถึงค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุดที่จุดวิกฤติหรือที่ส่วนท้ายของส่วน
อัลกอริทึมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันต่อเนื่องย = ฉ(x) สำหรับความน่าเบื่อหน่ายและสุดขีด:
กระบวนการตรวจสอบฟังก์ชันว่ามีจุดที่อยู่กับที่และการค้นหาจุดนั้นเป็นหนึ่งในองค์ประกอบที่สำคัญในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน คุณสามารถหาจุดคงที่ของฟังก์ชันได้หากคุณมีความรู้ทางคณิตศาสตร์บางชุด
คุณจะต้อง
- - ฟังก์ชั่นที่ต้องตรวจสอบว่ามีจุดอยู่นิ่งหรือไม่
- - คำจำกัดความของจุดคงที่: จุดคงที่ของฟังก์ชันคือจุด (ค่าอาร์กิวเมนต์) ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันลำดับแรกหายไป
คำแนะนำ
- การใช้ตารางอนุพันธ์และสูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ขั้นตอนนี้ถือเป็นขั้นตอนที่ยากและมีความรับผิดชอบมากที่สุดระหว่างงาน หากคุณทำผิดพลาดในขั้นตอนนี้ การคำนวณเพิ่มเติมจะไม่สมเหตุสมผล
- ตรวจสอบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์หรือไม่ หากอนุพันธ์ที่พบไม่ได้ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์นั่นคือมันเป็นตัวเลข (เช่น f"(x) = 5) ในกรณีนี้ฟังก์ชันจะไม่มีจุดที่คงที่ การแก้ปัญหาดังกล่าวเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชันที่ศึกษาอยู่นั้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของลำดับแรก (เช่น f(x) = 5x+1) ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ ให้ดำเนินการในขั้นตอนสุดท้าย
- เขียนสมการ f"(x) = 0 แล้วแก้สมการ สมการอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา - ในกรณีนี้ฟังก์ชันไม่มีจุดคงที่ หากสมการมีคำตอบ ค่าเฉพาะของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้จะเป็น จุดคงที่ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ ในขั้นตอนนี้ ควรตรวจสอบการแก้สมการด้วยการแทนที่อาร์กิวเมนต์
จุดวิกฤติ– นี่คือจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์หรือไม่มีเลย หากอนุพันธ์เท่ากับ 0 ฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะใช้ ขั้นต่ำหรือสูงสุดในท้องถิ่น- บนกราฟที่จุดดังกล่าว ฟังก์ชันจะมีเส้นกำกับแนวนอน นั่นคือ แทนเจนต์ขนานกับแกน Ox
จุดดังกล่าวเรียกว่า นิ่ง- หากคุณเห็น “hump” หรือ “hole” บนกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง โปรดจำไว้ว่าค่าสูงสุดหรือต่ำสุดนั้นถึงจุดวิกฤตแล้ว ลองใช้งานต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y=2x^3-3x^2+5
สารละลาย. อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาจุดวิกฤติมีดังนี้:
ฟังก์ชันนี้มีจุดวิกฤตสองจุด
ต่อไป หากคุณต้องการศึกษาฟังก์ชัน เราจะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ทางด้านซ้ายและด้านขวาของจุดวิกฤต หากอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" เมื่อผ่านจุดวิกฤติแสดงว่าฟังก์ชันนั้นใช้ ขั้นต่ำในท้องถิ่น- ถ้าจาก “+” ถึง “-” ควร สูงสุดในท้องถิ่น.
จุดวิกฤติประเภทที่สองสิ่งเหล่านี้คือศูนย์ของตัวส่วนของฟังก์ชันเศษส่วนและฟังก์ชันอตรรกยะ
ฟังก์ชันลอการิทึมและตรีโกณมิติที่ไม่ได้กำหนดไว้ที่จุดเหล่านี้
จุดวิกฤติประเภทที่สามมีฟังก์ชันและโมดูลต่อเนื่องเป็นชิ้น ๆ
ตัวอย่างเช่น โมดูล-ฟังก์ชันใดๆ จะมีค่าต่ำสุดหรือสูงสุดที่จุดพัก
ตัวอย่างเช่น โมดูล y = | x -5 |
ที่จุด x = 5 มีจุดต่ำสุด (จุดวิกฤติ)
ไม่มีอนุพันธ์อยู่ในนั้น แต่ทางด้านขวาและซ้ายจะใช้ค่า 1 และ -1 ตามลำดับ
1)
2)
3)
4)
5)
พยายามกำหนดจุดวิกฤติของฟังก์ชัน
ถ้าคำตอบคือ y คุณจะได้ค่า
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=พาย*เค;
5) x=1. ถ้าอย่างนั้นคุณก็รู้แล้ววิธีค้นหาจุดวิกฤติ