การลดลอการิทึมด้วยฐานเดียวกัน กฎลอการิทึมสำหรับการดำเนินการกับลอการิทึม
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ กราฟ โดเมนของคำจำกัดความ เซตของค่า สูตรพื้นฐาน อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรมกำลัง และการแทนฟังก์ชัน ln x โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน
คำนิยาม
ลอการิทึมธรรมชาติคือฟังก์ชัน y = ใน xซึ่งเป็นค่าผกผันของเลขชี้กำลัง x = e y และเป็นลอการิทึมของฐานของจำนวน e: ln x = บันทึก อี x.
ลอการิทึมธรรมชาติถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ เนื่องจากอนุพันธ์ของลอการิทึมมีรูปแบบที่ง่ายที่สุด: (ln x)′ = 1/ x.
ขึ้นอยู่กับ คำจำกัดความฐานของลอการิทึมธรรมชาติคือตัวเลข จ:
อี ≅ 2.718281828459045...;
.
กราฟของฟังก์ชัน y = ใน x.
กราฟของลอการิทึมธรรมชาติ (ฟังก์ชัน y = ใน x) ได้มาจากกราฟเลขชี้กำลังโดยการสะท้อนกระจกสัมพันธ์กับเส้นตรง y = x
ลอการิทึมธรรมชาติถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของตัวแปร x
มันเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจในขอบเขตของคำจำกัดความ 0 ที่ x →
ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือลบอนันต์ (-∞)
เมื่อ x → + ∞ ขีดจำกัดของลอการิทึมธรรมชาติคือบวกอนันต์ (+ ∞) สำหรับ x ขนาดใหญ่ ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นค่อนข้างช้า ฟังก์ชันกำลังใดๆ x a ที่มีเลขชี้กำลังบวก a จะโตเร็วกว่าลอการิทึม
คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ
ขอบเขตของคำจำกัดความ ชุดของค่า สุดขั้ว เพิ่ม ลด
ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้นจึงไม่มีค่าสุดโต่ง คุณสมบัติหลักของลอการิทึมธรรมชาติแสดงอยู่ในตาราง
ค่า x
ใน 1 = 0
สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ
สูตรต่อจากนิยามของฟังก์ชันผกผัน:
คุณสมบัติหลักของลอการิทึมและผลที่ตามมา
สูตรทดแทนเบส
ลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติได้โดยใช้สูตรการแทนที่ฐาน:
การพิสูจน์สูตรเหล่านี้แสดงไว้ในส่วน "ลอการิทึม"
ฟังก์ชันผกผัน
ค่าผกผันของลอการิทึมธรรมชาติคือเลขชี้กำลัง
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น.
อนุพันธ์ ln x
.
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:
.
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของโมดูลัส x:
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
การหาสูตร > > >
บูรณาการ
.
อินทิกรัลคำนวณโดยการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ:
นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน
พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z:
.
ลองแสดงตัวแปรที่ซับซ้อนกัน zผ่านโมดูล รและการโต้แย้ง φ
:
.
จากคุณสมบัติของลอการิทึม เราได้:
.
หรือ
.
อาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ ถ้าใส่
โดยที่ n คือจำนวนเต็ม
มันจะเป็นตัวเลขเดียวกันสำหรับ n ที่แตกต่างกัน
ดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนจึงไม่ใช่ฟังก์ชันค่าเดียว
การขยายซีรีย์พาวเวอร์
เมื่อการขยายตัวเกิดขึ้น:
วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
องค์ประกอบหนึ่งของพีชคณิตระดับดั้งเดิมคือลอการิทึม ชื่อนี้มาจากภาษากรีก มาจากคำว่า ตัวเลข หรือ พลัง หมายถึง เลขยกกำลังที่ต้องยกขึ้นเพื่อหาเลขท้าย
ประเภทของลอการิทึม
- log a b – ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – ลอการิทึมทศนิยม (ลอการิทึมถึงฐาน 10, a = 10);
- ln b – ลอการิทึมธรรมชาติ (ลอการิทึมถึงฐาน e, a = e)
วิธีการแก้ลอการิทึม?
ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องยก b ให้เป็นฐาน a ผลลัพธ์ที่ได้จะออกเสียงดังนี้: “ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a” วิธีแก้ปัญหาลอการิทึมคือคุณต้องหากำลังที่กำหนดเป็นตัวเลขจากตัวเลขที่ระบุ มีกฎพื้นฐานบางประการในการกำหนดหรือแก้ลอการิทึม รวมถึงการแปลงสัญกรณ์ด้วย เมื่อใช้สมการเหล่านี้ สมการลอการิทึมจะถูกแก้ไข พบอนุพันธ์ ปริพันธ์ได้รับการแก้ไข และดำเนินการอื่น ๆ อีกมากมาย โดยพื้นฐานแล้ว คำตอบของลอการิทึมก็คือสัญกรณ์แบบง่าย ด้านล่างนี้เป็นสูตรและคุณสมบัติพื้นฐาน:
สำหรับใดๆ ; ก > 0; a ≠ 1 และสำหรับ x ใด ๆ ; ใช่ > 0
- บันทึก a b = b – ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน
- บันทึก 1 = 0
- โลกา ก = 1
- บันทึก a (x y) = บันทึก a x + บันทึก a y
- บันทึก a x/ y = บันทึก a x – บันทึก a y
- บันทึก a 1/x = -บันทึก x
- บันทึก a x p = p บันทึก a x
- log a k x = 1/k log a x สำหรับ k ≠ 0
- บันทึก a x = บันทึก a c x c
- log a x = log b x/ log b a – สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่
- บันทึก a x = 1/บันทึก x a
วิธีแก้ลอการิทึม - คำแนะนำทีละขั้นตอนในการแก้ปัญหา
- ขั้นแรก เขียนสมการที่ต้องการ
โปรดทราบ: หากลอการิทึมฐานคือ 10 รายการจะถูกย่อให้สั้นลง ส่งผลให้มีลอการิทึมฐานสิบ หากมีจำนวนธรรมชาติ e เราก็จะเขียนมันลงไป โดยลดให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของลอการิทึมทั้งหมดคือกำลังที่เลขฐานถูกยกขึ้นเพื่อให้ได้เลข b
โดยตรงแล้ว วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่การคำนวณระดับนี้ ก่อนที่จะแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึมจะต้องทำให้ง่ายขึ้นตามกฎนั่นคือการใช้สูตร คุณสามารถค้นหาตัวตนหลักได้โดยย้อนกลับไปในบทความเล็กน้อย
เมื่อบวกและลบลอการิทึมด้วยตัวเลขสองตัวที่แตกต่างกันแต่มีฐานเท่ากัน ให้แทนที่ด้วยลอการิทึมตัวเดียวด้วยผลคูณหรือการหารของตัวเลข b และ c ตามลำดับ ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรในการย้ายไปยังฐานอื่นได้ (ดูด้านบน)
หากคุณใช้นิพจน์เพื่อลดความซับซ้อนของลอการิทึม มีข้อจำกัดบางประการที่ต้องพิจารณา และนั่นคือ: ฐานของลอการิทึม a เป็นเพียงจำนวนบวก แต่ไม่เท่ากับ 1 จำนวน b เช่น a ต้องมากกว่าศูนย์
มีหลายกรณีที่การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น คุณจะไม่สามารถคำนวณลอการิทึมเป็นตัวเลขได้ มันเกิดขึ้นที่การแสดงออกดังกล่าวไม่สมเหตุสมผลเพราะเลขยกกำลังจำนวนมากเป็นจำนวนอตรรกยะ ภายใต้เงื่อนไขนี้ ให้ปล่อยให้กำลังของตัวเลขเป็นลอการิทึม
\(a^(b)=c\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\log_(a)(c)=b\)
มาอธิบายให้ง่ายกว่านี้กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น \(\log_(2)(8)\) เท่ากับกำลังที่ต้องยกกำลัง \(2\) เพื่อให้ได้ \(8\) จากนี้จะเห็นชัดเจนว่า \(\log_(2)(8)=3\)
ตัวอย่าง: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
เพราะ \(5^(2)=25\) |
||
\(\log_(3)(81)=4\) |
เพราะ \(3^(4)=81\) |
|||
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
เพราะ \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
อาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมใดๆ มี “กายวิภาคศาสตร์” ดังต่อไปนี้:
อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมมักจะเขียนที่ระดับของมัน และฐานจะเขียนเป็นตัวห้อยใกล้กับเครื่องหมายลอการิทึม และรายการนี้อ่านได้ดังนี้: "ลอการิทึมของยี่สิบห้าถึงฐานห้า"
วิธีการคำนวณลอการิทึม?
ในการคำนวณลอการิทึมคุณต้องตอบคำถาม: ควรยกฐานให้ยกกำลังเท่าใดจึงจะได้รับอาร์กิวเมนต์?
ตัวอย่างเช่น, คำนวณลอการิทึม: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) จ) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) \(4\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(16\)? เห็นได้ชัดว่าคนที่สอง นั่นเป็นเหตุผล:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) \(\sqrt(5)\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(1\)? พลังอะไรที่ทำให้ใครก็ตามเป็นอันดับหนึ่ง? แน่นอนเป็นศูนย์!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) \(\sqrt(7)\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(\sqrt(7)\)? ประการแรก จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) \(3\) ต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะได้ \(\sqrt(3)\)? จากที่เรารู้ว่านั่นคือกำลังเศษส่วน ซึ่งหมายความว่ารากที่สองคือกำลังของ \(\frac(1)(2)\)
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
ตัวอย่าง : คำนวณลอการิทึม \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
สารละลาย :
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
เราจำเป็นต้องหาค่าลอการิทึม แสดงว่ามันเป็น x ตอนนี้ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: |
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
อะไรเชื่อมต่อ \(4\sqrt(2)\) และ \(8\)? สอง เนื่องจากตัวเลขทั้งสองสามารถแสดงด้วยสองได้: |
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
ทางด้านซ้าย เราใช้คุณสมบัติของดีกรี: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) และ \((a^(m))^(n)= เป็น^(m\cdot n)\) |
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
ฐานเท่ากัน เราจะก้าวไปสู่ความเท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้ |
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \(\frac(2)(5)\) |
|
ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าของลอการิทึม |
คำตอบ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
เหตุใดลอการิทึมจึงถูกประดิษฐ์ขึ้น?
เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ เรามาแก้สมการกันดีกว่า: \(3^(x)=9\) เพียงจับคู่ \(x\) เพื่อให้ความเท่าเทียมกันทำงานได้ แน่นอน \(x=2\)
ตอนนี้แก้สมการ: \(3^(x)=8\).x เท่ากับเท่าใด? นั่นคือประเด็น
คนที่ฉลาดที่สุดจะพูดว่า: “X น้อยกว่าสองนิดหน่อย” จะเขียนตัวเลขนี้ได้อย่างไร? เพื่อตอบคำถามนี้ จึงมีการประดิษฐ์ลอการิทึมขึ้นมา ต้องขอบคุณเขาที่ทำให้คำตอบตรงนี้สามารถเขียนได้เป็น \(x=\log_(3)(8)\)
ฉันอยากจะเน้นว่า \(\log_(3)(8)\) ชอบ ลอการิทึมใดๆ ก็เป็นเพียงตัวเลข- ใช่ มันดูแปลกแต่มันสั้น เพราะถ้าเราอยากเขียนเป็นทศนิยม จะได้ดังนี้ \(1.892789260714....\)
ตัวอย่าง : แก้สมการ \(4^(5x-4)=10\)
สารละลาย :
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) และ \(10\) ไม่สามารถนำมาเป็นฐานเดียวกันได้ ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีลอการิทึม ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: |
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
ลองพลิกสมการเพื่อให้ X อยู่ทางซ้าย |
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
ก่อนเรา. ลองย้าย \(4\) ไปทางขวากัน และอย่ากลัวลอการิทึม ให้ปฏิบัติเหมือนเลขธรรมดา |
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
หารสมการด้วย 5 |
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
นี่คือรากของเรา ใช่ มันดูผิดปกติแต่พวกเขาไม่ได้เลือกคำตอบ |
คำตอบ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
ลอการิทึมทศนิยมและลอการิทึมธรรมชาติ
ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความของลอการิทึม ฐานของมันสามารถเป็นจำนวนบวกใดๆ ก็ได้ ยกเว้น \((a>0, a\neq1)\ หนึ่งตัว) และในบรรดาฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด มี 2 ฐานที่เกิดขึ้นบ่อยมากจนมีการใช้สัญกรณ์สั้นพิเศษสำหรับลอการิทึม:
ลอการิทึมธรรมชาติ: ลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขของออยเลอร์ \(e\) (เท่ากับประมาณ \(2.7182818…\)) และลอการิทึมเขียนเป็น \(\ln(a)\)
นั่นคือ \(\ln(a)\) เหมือนกับ \(\log_(e)(a)\)
ลอการิทึมทศนิยม: ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 จะถูกเขียนเป็น \(\lg(a)\)
นั่นคือ \(\lg(a)\) เหมือนกับ \(\log_(10)(a)\)โดยที่ \(a\) คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
ลอการิทึมมีคุณสมบัติหลายอย่าง หนึ่งในนั้นเรียกว่า "Basic Logarithmic Identity" และมีลักษณะดังนี้:
\(a^(\log_(ก)(c))=c\) |
คุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำจำกัดความโดยตรง เรามาดูกันว่าสูตรนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร
ให้เรานึกถึงสัญกรณ์สั้น ๆ เกี่ยวกับคำจำกัดความของลอการิทึม:
ถ้า \(a^(b)=c\) ดังนั้น \(\log_(a)(c)=b\)
นั่นคือ \(b\) เหมือนกับ \(\log_(a)(c)\) จากนั้นเราสามารถเขียน \(\log_(a)(c)\) แทน \(b\) ในสูตร \(a^(b)=c\) ปรากฎว่า \(a^(\log_(a)(c))=c\) - ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมหลัก
คุณสามารถค้นหาคุณสมบัติอื่นๆ ของลอการิทึมได้ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถลดความซับซ้อนและคำนวณค่าของนิพจน์ด้วยลอการิทึมซึ่งยากต่อการคำนวณโดยตรง
ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(36^(\log_(6)(5))\)
สารละลาย :
คำตอบ : \(25\)
จะเขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ลอการิทึมใดๆ เป็นเพียงตัวเลข การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน โดยตัวเลขใดๆ ก็ตามสามารถเขียนเป็นลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า \(\log_(2)(4)\) เท่ากับสอง จากนั้นคุณสามารถเขียน \(\log_(2)(4)\) แทนสองได้
แต่ \(\log_(3)(9)\) ก็เท่ากับ \(2\) เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียน \(2=\log_(3)(9)\) ได้เช่นกัน ในทำนองเดียวกันด้วย \(\log_(5)(25)\) และด้วย \(\log_(9)(81)\) ฯลฯ นั่นคือปรากฎว่า
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
ดังนั้น หากจำเป็น เราก็สามารถเขียนสองตัวเป็นลอการิทึมโดยมีฐานใดๆ ก็ได้ (แม้แต่ในสมการ แม้แต่ในนิพจน์ แม้แต่ในอสมการก็ตาม) เราก็แค่เขียนฐานกำลังสองเป็นอาร์กิวเมนต์
เช่นเดียวกับทริปเปิล โดยสามารถเขียนเป็น \(\log_(2)(8)\) หรือเป็น \(\log_(3)(27)\) หรือเป็น \(\log_(4)( 64) \)... ที่นี่เราเขียนฐานในคิวบ์เป็นอาร์กิวเมนต์:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
และด้วยสี่:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
และด้วยลบหนึ่ง:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
และหนึ่งในสาม:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
จำนวนใดๆ \(a\) สามารถแสดงเป็นลอการิทึมที่มีฐาน \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
ตัวอย่าง : ค้นหาความหมายของสำนวน \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
สารละลาย :
คำตอบ : \(1\)
ลอการิทึมของตัวเลข เอ็น ขึ้นอยู่กับ ก เรียกว่าเลขชี้กำลัง เอ็กซ์ ที่คุณต้องสร้าง ก เพื่อรับหมายเลข เอ็น
โดยมีเงื่อนไขว่า
,
,
จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะได้ดังนี้
, เช่น.
- ความเท่าเทียมกันนี้คืออัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
ลอการิทึมถึงฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมทศนิยม แทน
เขียน
.
ลอการิทึมถึงฐาน จ
เรียกว่าเป็นธรรมชาติและถูกกำหนดไว้
.
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมของ 1 เท่ากับศูนย์สำหรับฐานใดๆ
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย
3) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
ปัจจัย
เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนผ่านจากลอการิทึมเป็นฐาน ก
เป็นลอการิทึมที่ฐาน ข
.
การใช้คุณสมบัติ 2-5 มักจะเป็นไปได้ที่จะลดลอการิทึมของนิพจน์ที่ซับซ้อนให้เหลือผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับลอการิทึม
ตัวอย่างเช่น,
การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การแปลงผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ
บทที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง
1. ข้อจำกัด
ขีดจำกัดของฟังก์ชัน
เป็นจำนวนจำกัด A ถ้า เช่น xx
0
สำหรับแต่ละที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
มีจำนวนดังกล่าว
ทันทีที่
, ที่
.
ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจะแตกต่างจากฟังก์ชันนี้ด้วยจำนวนที่น้อยมาก:
ที่ไหน- b.m.v. เช่น
.
ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน
.
เมื่อมุ่งมั่น
, การทำงาน ย
มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:
1.1. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด
ขีดจำกัดของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้
.
ขีดจำกัดของผลรวม (ผลต่าง) ของจำนวนฟังก์ชันที่มีจำกัดจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัดจะเท่ากับผลคูณของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ขีดจำกัดของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์
,
, ที่ไหน
1.2. ตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัด
อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกขีดจำกัดจะคำนวณได้ง่ายนัก บ่อยครั้งที่การคำนวณขีดจำกัดลงมาเพื่อเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของประเภท: หรือ .
.
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ให้เรามีหน้าที่
ต่อเนื่องในส่วนนี้
.
การโต้แย้ง เพิ่มขึ้นบ้าง
- จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น
.
ค่าอาร์กิวเมนต์ สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
.
ค่าอาร์กิวเมนต์
สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
เพราะฉะนั้น, .
ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนนี้กันที่
- หากมีขีดจำกัดนี้จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
คำจำกัดความ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
โดยการโต้แย้ง เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยพลการ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สามารถกำหนดได้ดังนี้:
; ; ; .
คำจำกัดความที่ 4 เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง
2.1. ความหมายทางกลของอนุพันธ์
ขอให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุ
ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดเคลื่อนที่
อยู่ในระยะไกล จากตำแหน่งเริ่มต้น
.
หลังจากนั้นช่วงระยะเวลาหนึ่ง
เธอขยับไปไกล
- ทัศนคติ =- ความเร็วเฉลี่ยของจุดวัสดุ
- ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น
.
ดังนั้น การกำหนดความเร็วทันทีของการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุจะลดลงเหลือเพียงการค้นหาอนุพันธ์ของเส้นทางตามเวลา
2.2. ค่าเรขาคณิตของอนุพันธ์
ขอให้เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้แบบกราฟิก
.
ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
ถ้า
แล้วชี้
,จะเคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุดนั้น
.
เพราะฉะนั้น
, เช่น. มูลค่าของอนุพันธ์สำหรับมูลค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดโดยมีทิศทางบวกของแกน
.
2.3. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน
ฟังก์ชั่นพลังงาน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
2.4. กฎของความแตกต่าง
อนุพันธ์ของ
อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
2.5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
จึงสามารถแสดงออกมาเป็นรูปร่างได้
และ
โดยที่ตัวแปร ก็เป็นข้อโต้แย้งระดับกลางแล้ว
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ x
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างที่ 2
3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
ให้มีอยู่
, หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง
และปล่อยให้ ที่
ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์
,
แล้วเราก็สามารถเขียนได้
(1),
ที่ไหน - ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ตั้งแต่เมื่อไหร่
คูณเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมด (1) ด้วย
เรามี:
ที่ไหน
- บีเอ็มวี ลำดับที่สูงขึ้น
ขนาด
เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
และถูกกำหนดไว้
.
3.1. ค่าเรขาคณิตของส่วนต่าง
ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
.
รูปที่ 2. ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล
.
แน่นอนว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนด
3.2. อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ
ถ้ามี
, แล้ว
เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และเขียนเป็นลายลักษณ์อักษร
.
อนุพันธ์ลำดับที่ n ของฟังก์ชัน
เรียกว่าอนุพันธ์ลำดับที่ (n-1) และเขียนว่า:
.
ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลอันดับสองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สอง
.
.
3.3 การแก้ปัญหาทางชีววิทยาโดยใช้ความแตกต่าง
ภารกิจที่ 1 การศึกษาพบว่าการเจริญเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย
, ที่ไหน เอ็น
– จำนวนจุลินทรีย์ (เป็นพัน) ที
– เวลา (วัน)
b) ประชากรในอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้?
คำตอบ. ขนาดของอาณานิคมจะเพิ่มขึ้น
ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อติดตามปริมาณแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน ที วันหลังการทดสอบ ความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน
.
ทะเลสาบจะมีความเข้มข้นของแบคทีเรียขั้นต่ำเมื่อใดและจะสามารถว่ายน้ำได้หรือไม่?
วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์
,
ลองพิจารณาว่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะอยู่ใน 6 วัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองใช้อนุพันธ์อันดับสองกัน
คำตอบ: หลังจากผ่านไป 6 วัน แบคทีเรียจะมีความเข้มข้นน้อยที่สุด
วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและเราจะให้ตัวบ่งชี้ ตัวอย่างการแก้ปัญหา.
พวกเขาเองบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนที่จะใช้สูตรลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ ให้เราเตือนคุณถึงคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:
ตอนนี้เราจะแสดงตามสูตร (คุณสมบัติ) เหล่านี้ ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.
ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร
ลอการิทึมจำนวนบวก b ถึงฐาน a (เขียนแทนด้วยบันทึก a b) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a ขึ้นเพื่อให้ได้ b โดยมี b > 0, a > 0 และ 1
ตามคำจำกัดความ ให้บันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้น ให้บันทึก a a x = x
ลอการิทึมตัวอย่าง:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8
บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49
บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5
ลอการิทึมทศนิยม- นี่คือลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานคือ 10 ซึ่งแสดงว่าเป็น lg
บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100
ลอการิทึมธรรมชาติ- ยังเป็นลอการิทึมสามัญหรือลอการิทึม แต่มีฐาน e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ) แสดงว่า ln.
ขอแนะนำให้จดจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องใช้ในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึมและอสมการ เรามาทำงานแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง
- เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บันทึก a b = b8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a cบันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4
- ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81
- คุณสมบัติของกำลังของเลขลอการิทึมและฐานของลอการิทึม
เลขชี้กำลังของจำนวนลอการิทึม log a b m = mlog a b
เลขชี้กำลังของฐานของลอการิทึม log a n b =1/n*log a b
บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b
ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b
บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3
- การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c aถ้า c = b เราจะได้บันทึก b b = 1
จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a
บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1
อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อดูตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า เราจะดูตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" อย่าพลาด!
หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา โปรดเขียนคำถามเหล่านั้นในความคิดเห็นในบทความ
หมายเหตุ: เราตัดสินใจเลือกชั้นเรียนการศึกษาอื่นและศึกษาต่อต่างประเทศเป็นตัวเลือก