ไซน์ (sin x) และโคไซน์ (cos x) – คุณสมบัติ กราฟ สูตร ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ข้อมูลอ้างอิงเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์ (sin x) และโคไซน์ (cos x) ความหมายทางเรขาคณิต สมบัติ กราฟ สูตร ตารางไซน์และโคไซน์ อนุพันธ์ ปริพันธ์ การขยายอนุกรม ซีแคนต์ โคซีแคนต์ การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
คำจำกัดความทางเรขาคณิตของไซน์และโคไซน์
|บีดี|- ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง ก.
α
- มุมแสดงเป็นเรเดียน
คำนิยาม
ไซน์ (บาป α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|
โคไซน์ (คอส α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|
สัญกรณ์ที่ยอมรับ
;
;
.
;
;
.
กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = sin x
กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x
คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์
ความเป็นงวด
ฟังก์ชัน y = บาป xและ ย = เพราะ xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2π.
ความเท่าเทียมกัน
ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นเลขคู่
ขอบเขตของคำจำกัดความและค่านิยม สุดขั้ว เพิ่ม ลด
ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ กล่าวคือ สำหรับ x ทั้งหมด (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง (n - จำนวนเต็ม)
ย= บาป x | ย= เพราะ x | |
ขอบเขตและความต่อเนื่อง | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
ช่วงของค่า | -1 ≤ ย ≤ 1 | -1 ≤ ย ≤ 1 |
เพิ่มขึ้น | ||
จากมากไปน้อย | ||
แม็กซิมา, y = 1 | ||
ขั้นต่ำ, y = - 1 | ||
ศูนย์, y = 0 | ||
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0 | ย= 0 | ย= 1 |
สูตรพื้นฐาน
ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์
สูตรไซน์และโคไซน์จากผลรวมและผลต่าง
;
;
สูตรผลคูณของไซน์และโคไซน์
สูตรผลรวมและผลต่าง
แสดงไซน์ผ่านโคไซน์
;
;
;
.
แสดงโคไซน์ผ่านไซน์
;
;
;
.
การแสดงออกผ่านแทนเจนต์
; .
เมื่อใด เรามี:
;
.
ที่ :
;
.
ตารางไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์
ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์
การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน
;
สูตรของออยเลอร์
{ -∞ < x < +∞ }
เซแคนต์, โคซีแคนต์
ฟังก์ชันผกผัน
ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ตามลำดับ
อาร์คซิน, อาร์คซิน
อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส
วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
คำจำกัดความ
คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ไว้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ ซึ่งเข้าใจกันว่าเป็นวงกลมที่มีหน่วยรัศมีซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
ลองพิจารณารัศมีสองรัศมีของวงกลมนี้: นิ่ง (เมื่อจุดอยู่) และเคลื่อนที่ (เมื่อจุดอยู่) ปล่อยให้รัศมีเคลื่อนที่สร้างมุมกับมุมคงที่
ตัวเลขที่เท่ากับพิกัดของจุดสิ้นสุดของรัศมีหน่วยที่สร้างมุมที่มีรัศมีคงที่เรียกว่า ไซน์ของมุม : .
เรียกจำนวนเท่ากับ abscissa ของจุดสิ้นสุดของรัศมีหน่วยที่สร้างมุมที่มีรัศมีคงที่ โคไซน์ของมุม : .
ดังนั้นจุดที่เป็นจุดสิ้นสุดของรัศมีการเคลื่อนที่ซึ่งสร้างมุมจึงมีพิกัด
แทนเจนต์ของมุมอัตราส่วนของไซน์ของมุมนี้ต่อโคไซน์เรียกว่า: , .
โคแทนเจนต์ของมุมอัตราส่วนของโคไซน์ของมุมนี้ต่อไซน์เรียกว่า: , .
ความหมายทางเรขาคณิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ความหมายทางเรขาคณิตของไซน์และโคไซน์บนวงกลมตรีโกณมิตินั้นชัดเจนจากคำจำกัดความ: นี่คือแอบซิสซาและพิกัดของจุดตัดกันของรัศมีเคลื่อนที่ ซึ่งทำให้เกิดมุมที่มีรัศมีคงที่ และวงกลมตรีโกณมิติ นั่นก็คือ .
ให้เราพิจารณาความหมายทางเรขาคณิตของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ สามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกันที่มุมสามมุม (,) จากนั้นความสัมพันธ์จะคงอยู่ ในทางกลับกันในดังนั้น
คล้ายกันที่มุมสามมุม (,) ดังนั้นความสัมพันธ์จะคงอยู่ ในทางกลับกันในดังนั้น
เมื่อคำนึงถึงความหมายทางเรขาคณิตของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แนวคิดของแกนแทนเจนต์และแกนโคแทนเจนต์จึงถูกนำมาใช้
แกนแทนเจนต์คือแกน ซึ่งแกนหนึ่งแตะวงกลมตรีโกณมิติที่จุดหนึ่งแล้วชี้ขึ้นด้านบน ส่วนแกนที่สองแตะวงกลมที่จุดหนึ่งแล้วชี้ลง
แกนโคแทนเจนต์คือแกน โดยแกนหนึ่งแตะวงกลมตรีโกณมิติที่จุดหนึ่งและหันไปทางขวา ส่วนแกนที่สองแตะวงกลมที่จุดหนึ่งแล้วหันไปทางซ้าย
คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
มาดูคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน คุณสมบัติอื่นๆ จะกล่าวถึงในส่วนกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
โดเมนและช่วงของค่า
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ไซน์และโคไซน์มีอยู่ในทุกมุม กล่าวคือ ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันเหล่านี้คือเซตของจำนวนจริง ตามคำนิยาม ไม่มีแทนเจนต์สำหรับมุม และไม่มีโคแทนเจนต์สำหรับมุม
เนื่องจากไซน์และโคไซน์เป็นพิกัดและแอบซิสซาของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ ค่าของพวกมันจึงอยู่ระหว่างนั้น ช่วงของค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นชุดของจำนวนจริง (ซึ่งง่ายต่อการดูโดยดูที่แกนของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์)
คู่/คี่
พิจารณาฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมสองมุม (ซึ่งสอดคล้องกับรัศมีการเคลื่อนที่) และ (ซึ่งสอดคล้องกับรัศมีการเคลื่อนที่) เพราะนั่นหมายความว่าจุดนั้นมีพิกัด ดังนั้นนั่นคือ ไซน์เป็นฟังก์ชันคี่ , เช่น. โคไซน์ - ฟังก์ชันคู่; , เช่น. แทนเจนต์เป็นเลขคี่ , เช่น. โคแทนเจนต์ก็แปลกเช่นกัน
ช่วงของความคงตัวของสัญญาณ
สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับไตรมาสพิกัดต่างๆ ตามคำจำกัดความของฟังก์ชันเหล่านี้ ควรสังเกตว่าเนื่องจากแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นอัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ พวกมันจึงเป็นค่าบวกเมื่อไซน์และโคไซน์ของมุมมีเครื่องหมายเหมือนกันและเป็นลบเมื่อต่างกัน
ความเป็นงวด
ความเป็นคาบของไซน์และโคไซน์ขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่ามุมที่แตกต่างกันด้วยจำนวนเต็มของการปฏิวัติเต็มนั้นสอดคล้องกับตำแหน่งสัมพัทธ์เดียวกันของรังสีที่เคลื่อนที่และนิ่ง ดังนั้นพิกัดของจุดตัดกันของลำแสงที่กำลังเคลื่อนที่และวงกลมตรีโกณมิติจะเหมือนกันสำหรับมุมที่แตกต่างกันตามจำนวนเต็มของการปฏิวัติเต็ม ดังนั้น คาบของไซน์และโคไซน์คือ และ โดยที่
แน่นอนว่านี่เป็นคาบของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย แต่มีช่วงเวลาที่สั้นกว่าสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้หรือไม่? ขอให้เราพิสูจน์ว่าคาบที่เล็กที่สุดของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือ
พิจารณาสองมุมและ ว่าด้วยความหมายทางเรขาคณิตของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ด้านและมุมประชิดของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน ดังนั้น ด้านของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจึงเท่ากัน ซึ่งหมายถึง และ ในทำนองเดียวกันคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าอยู่ที่ไหน ดังนั้น คาบของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน
สูตรตรีโกณมิติ
เพื่อแก้ปัญหาตรีโกณมิติได้สำเร็จ คุณต้องรู้สูตรตรีโกณมิติหลายๆ สูตร แต่ไม่จำเป็นต้องจำสูตรทั้งหมด คุณเพียงแค่ต้องรู้สูตรพื้นฐานที่สุดด้วยใจจริง และคุณจะต้องสามารถหาสูตรที่เหลือได้หากจำเป็น
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและผลที่ตามมา
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดของมุมใดก็ได้เชื่อมต่อกันเช่น เมื่อรู้ฟังก์ชันหนึ่งแล้ว คุณจะสามารถค้นหาฟังก์ชันที่เหลือได้ตลอดเวลา การเชื่อมต่อนี้ได้มาจากสูตรที่กล่าวถึงในส่วนนี้
ทฤษฎีบท 1 (อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน)- สำหรับใครก็ตามตัวตนนั้นเป็นจริง
การพิสูจน์ประกอบด้วยการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก
ทฤษฎีบททั่วไปก็เป็นจริงเช่นกัน
ทฤษฎีบท 2- เพื่อที่จะนำตัวเลขสองตัวมาเป็นโคไซน์และไซน์ของมุมจริงเดียวกัน จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมของกำลังสองของพวกมันจะเท่ากับหนึ่ง:
ให้เราพิจารณาผลที่ตามมาของอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก
ลองแสดงไซน์ผ่านโคไซน์และโคไซน์ผ่านไซน์:
ในสูตรนี้ เครื่องหมายบวกหรือลบที่อยู่ด้านหน้ารากจะถูกเลือก ขึ้นอยู่กับจตุภาคที่มุมนั้นอยู่
เราได้รับสูตรแทนสูตรที่ได้รับข้างต้นเป็นสูตรที่กำหนดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
การหารคำเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักตามคำหรือที่เราได้รับตามลำดับ:
ความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น:
สูตรต่อไปนี้ให้ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ตั้งแต่ที่ และที่ ความเสมอภาคจะคงอยู่:
สูตรลด
เมื่อใช้สูตรการลดคุณสามารถแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดก็ได้ผ่านค่าของฟังก์ชันมุมแหลม สูตรการลดทั้งหมดสามารถสรุปได้โดยใช้กฎต่อไปนี้
ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ ของมุมจะมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับฟังก์ชันเดียวกันของมุมหากตัวเลขเป็นเลขคู่ และเท่ากับฟังก์ชันร่วมของมุมหากตัวเลขเป็นเลขคี่ นอกจากนี้ หากฟังก์ชันมุมเป็นบวก เมื่อเป็นมุมบวกเฉียบพลัน สัญญาณของฟังก์ชันทั้งสองจะเหมือนกัน หากเป็นลบ ก็จะต่างกัน
สูตรผลรวมและผลต่างของมุม
ทฤษฎีบท 3 - สำหรับสูตรจริงและสูตรต่อไปนี้สามารถใช้ได้:
การพิสูจน์สูตรที่เหลือจะขึ้นอยู่กับสูตรการลดลงและฟังก์ชันตรีโกณมิติคู่/คี่
Q.E.D.
ทฤษฎีบท 4- สำหรับจริงและเช่นนั้น
1. สูตรต่อไปนี้ใช้ได้
2. สูตรต่อไปนี้ใช้ได้
การพิสูจน์. ตามคำจำกัดความของแทนเจนต์
การแปลงครั้งสุดท้ายได้มาโดยการหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วย
ในทำนองเดียวกันสำหรับโคแทนเจนต์ (ตัวเศษและส่วนในกรณีนี้จะถูกหารด้วย):
Q.E.D.
ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าด้านขวาและด้านซ้ายของความเสมอภาคสุดท้ายมีช่วงของค่าที่ยอมรับได้ต่างกัน ดังนั้นการใช้สูตรเหล่านี้โดยไม่มีข้อจำกัดเรื่องค่ามุมที่เป็นไปได้อาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง
สูตรมุมสองเท่าและครึ่ง
สูตรมุมคู่ช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดก็ได้ตามต้องการในแง่ของฟังก์ชันของมุมครึ่งหนึ่งของมุมเดิม สูตรเหล่านี้เป็นผลลัพธ์ของสูตรสำหรับผลรวมของมุมสองมุม ถ้าเราใส่มุมในมุมเหล่านั้นให้เท่ากัน
สูตรสุดท้ายสามารถแปลงได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:
ดังนั้น โคไซน์ของมุมสองมุมจึงมีสูตรสามสูตร:
ควรสังเกตว่าสูตรนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อเท่านั้น
สูตรสุดท้ายใช้ได้กับ .
คล้ายกับฟังก์ชันมุมคู่ สามารถรับฟังก์ชันมุมสามมุมได้ สูตรเหล่านี้ให้มาโดยไม่มีการพิสูจน์:
สูตรครึ่งมุมเป็นผลจากสูตรมุมสองมุม และช่วยให้เราสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหนึ่งๆ ในรูปของฟังก์ชันของมุมสองเท่าของมุมเดิม
หากเราสร้างวงกลมหนึ่งหน่วยโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้น และตั้งค่าอาร์กิวเมนต์ตามใจชอบ x 0และนับจากแกน วัวมุม x 0, แล้วมุมบนวงกลมหน่วยนี้ตรงกับจุดใดจุดหนึ่ง ก(รูปที่ 1) และการฉายภาพลงบนแกน โอ้จะมีจุดหนึ่ง ม. ความยาวส่วน โอมเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของจุดหักล้างของจุด ก- ค่าอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด x 0แมปค่าฟังก์ชันแล้ว ย=คอส x 0 เหมือนจุดแอบซิสซา ก. ตามนั้นครับ ประเด็น ใน(x 0 ;ที่ 0) อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน ที่=คอส เอ็กซ์(รูปที่ 2) ถ้าตรงประเด็น กอยู่ทางขวาของแกน โอ้, ไซน์ปัจจุบันจะเป็นค่าบวก แต่ถ้าไปทางซ้ายจะเป็นค่าลบ แต่อย่างไรก็ตามช่วงเวลา กไม่สามารถออกจากวงกลมได้ ดังนั้นโคไซน์จึงอยู่ในช่วงตั้งแต่ –1 ถึง 1:
–1 = คอส x = 1.
การหมุนเพิ่มเติมที่มุมใดก็ได้ ผลคูณของ 2 พี, จุดส่งคืน กไปยังสถานที่เดียวกัน ดังนั้นฟังก์ชัน ย =เพราะ xพี:
เพราะ( x+ 2พี) = cos x.
หากเรารับค่าอาร์กิวเมนต์สองค่าซึ่งเท่ากับค่าสัมบูรณ์ แต่ตรงกันข้ามกับเครื่องหมาย xและ - x, หาจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลม เอกซ์และ เอ-เอ็กซ์. ดังที่เห็นได้ในรูป 3 การฉายภาพลงบนแกน โอ้คือจุดเดียวกัน ม. นั่นเป็นเหตุผล
คอส(– x) = คอส ( x),
เหล่านั้น. โคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ ฉ(–x) = ฉ(x).
ซึ่งหมายความว่าเราสามารถสำรวจคุณสมบัติของฟังก์ชันได้ ย=คอส เอ็กซ์บนส่วน , แล้วคำนึงถึงความเท่าเทียมกันและช่วงเวลาของมันด้วย
ที่ เอ็กซ์= 0 คะแนน กอยู่บนแกน โอ้, abscissa ของมันคือ 1 ดังนั้น cos 0 = 1 เมื่อเพิ่มขึ้น เอ็กซ์จุด กเคลื่อนที่ไปรอบวงกลมขึ้นและไปทางซ้าย โดยธรรมชาติแล้วจะฉายไปทางซ้ายเท่านั้น และที่ x = พี/2 โคไซน์เท่ากับ 0 จุด กในขณะนี้มันขึ้นสู่ความสูงสูงสุดแล้วเคลื่อนไปทางซ้ายต่อไป แต่ก็ลดระดับลงแล้ว การขาดหายไปของมันจะลดลงจนกระทั่งถึงค่าที่น้อยที่สุดเท่ากับ –1 ที่ เอ็กซ์= พี- ดังนั้นในช่วงเวลาของฟังก์ชัน ที่=คอส เอ็กซ์ลดลงอย่างน่าเบื่อจาก 1 เป็น –1 (รูปที่ 4, 5)
จากความเท่าเทียมกันของโคไซน์จะเป็นไปตามนั้นในช่วงเวลา [- พี, 0] ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนจาก –1 เป็น 1 โดยรับค่าเป็นศูนย์ที่ x=–พี/2. หากใช้เวลาหลายช่วง คุณจะได้เส้นโค้งหยัก (รูปที่ 6)
ดังนั้นฟังก์ชัน ย=คอส xรับค่าเป็นศูนย์ที่จุด เอ็กซ์= พี/2 + เคพี, ที่ไหน เค –จำนวนเต็มใดๆ บรรลุคะแนนสูงสุดเท่ากับ 1 เอ็กซ์= 2เคพี, เช่น. ในขั้นตอนที่ 2 พีและค่าต่ำสุดเท่ากับ –1 ที่จุด เอ็กซ์= พี + 2เคพี.
ฟังก์ชัน y = บาป x
ที่มุมวงกลมหน่วย x 0 ตรงกับจุด ก(รูปที่ 7) และการฉายภาพลงบนแกน โอ้จะมีจุดหนึ่ง เอ็น.ซีค่าฟังก์ชัน ใช่ 0 =บาป x 0ถูกกำหนดให้เป็นลำดับของจุด ก. จุด ใน(มุม x 0 ,ที่ 0) อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป x(รูปที่ 8) ชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน ย=บาป xคาบ, คาบของมันคือ 2 พี:
บาป ( x+ 2พี) = บาป ( x).
สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์สองค่า เอ็กซ์และ - , การคาดคะเนจุดที่สอดคล้องกัน เอกซ์และ เอ-เอ็กซ์ต่อแกน โอ้ตั้งอยู่อย่างสมมาตรสัมพันธ์กับจุด เกี่ยวกับ- นั่นเป็นเหตุผล
บาป(- x) = –บาป ( x),
เหล่านั้น. ไซน์เป็นฟังก์ชันคี่ f(– x) = –ฉ( x) (รูปที่ 9)
ถ้าตรงประเด็น กหมุนสัมพันธ์กับจุด เกี่ยวกับในมุมหนึ่ง พี/2 ทวนเข็มนาฬิกา (หรืออีกนัยหนึ่งถ้าเป็นมุม เอ็กซ์เพิ่มขึ้นโดย พี/2) จากนั้นการเรียงลำดับในตำแหน่งใหม่จะเท่ากับการละทิ้งในตำแหน่งเดิม ซึ่งหมายความว่า
บาป ( x+ พี/2) = cos x.
มิฉะนั้นไซน์จะเป็นโคไซน์ "สาย" โดย พี/2 เนื่องจากค่าโคไซน์ใดๆ จะถูก "ทำซ้ำ" ในไซน์เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น พี/2. และในการสร้างกราฟไซน์ ก็เพียงพอที่จะเลื่อนกราฟโคไซน์ไป พี/2 ไปทางขวา (รูปที่ 10) คุณสมบัติที่สำคัญอย่างยิ่งของไซน์แสดงออกมาด้วยความเท่าเทียมกัน
ความหมายทางเรขาคณิตของความเท่าเทียมกันสามารถเห็นได้จากรูปที่ 11. นี่ เอ็กซ์ -นี่คือครึ่งส่วนโค้ง เอบี, บาป เอ็กซ์ -ครึ่งหนึ่งของคอร์ดที่สอดคล้องกัน เห็นได้ชัดว่าเมื่อจุดเข้าใกล้มากขึ้น กและ ในความยาวของคอร์ดเข้าใกล้ความยาวของส่วนโค้งมากขึ้น จากรูปเดียวกันสามารถหาค่าอสมการได้ง่าย
|บาป x- x| เป็นจริงสำหรับสิ่งใดๆ เอ็กซ์.
นักคณิตศาสตร์เรียกสูตร (*) ว่าขีดจำกัดที่น่าทึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันจึงติดตามความบาปนั้นไป เอ็กซ์» เอ็กซ์มีขนาดเล็ก เอ็กซ์.
ฟังก์ชั่น ที่= ทีจี เอ็กซ์, ย=กะทิ เอ็กซ์. ฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกสองฟังก์ชัน ได้แก่ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ถูกกำหนดได้ง่ายที่สุดว่าเป็นอัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ที่เรารู้จักอยู่แล้ว:
เช่นเดียวกับไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคาบ แต่คาบเท่ากัน พี, เช่น. มีขนาดเพียงครึ่งหนึ่งของไซน์และโคไซน์ เหตุผลนี้ชัดเจน: หากทั้งไซน์และโคไซน์เปลี่ยนสัญญาณ อัตราส่วนก็จะไม่เปลี่ยนแปลง
เนื่องจากตัวส่วนของแทนเจนต์มีโคไซน์ จึงไม่ได้กำหนดแทนเจนต์ที่จุดที่โคไซน์เป็น 0 - เมื่อ เอ็กซ์= พี/2 +เคพี. ที่จุดอื่นทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ โดยตรง เอ็กซ์= พี/2 + เคพีสำหรับแทนเจนต์เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ตามจุดต่างๆ เคพีแทนเจนต์และความชันเป็น 0 และ 1 ตามลำดับ (รูปที่ 12)
โคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดโดยที่ไซน์เป็น 0 (เมื่อ x = เคพี). เมื่อถึงจุดอื่นมันก็ลดความน่าเบื่อและเป็นเส้นตรง x = เคพี – เส้นกำกับแนวตั้งของมัน ตามจุดต่างๆ x = หน้า/2 +เคพีโคแทนเจนต์กลายเป็น 0 และความชันที่จุดเหล่านี้คือ –1 (รูปที่ 13)
ความเท่าเทียมกันและช่วงเวลา
ฟังก์ชันจะถูกเรียกใช้แม้ว่า ฉ(–x) = ฉ(x- ฟังก์ชันโคไซน์และซีแคนต์เป็นเลขคู่ และฟังก์ชันไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ และโคซีแคนต์เป็นเลขคี่:
บาป (–α) = – บาป α | ตาล (–α) = – ตาล α |
คอส (–α) = คอส α | ซีทีจี (–α) = – ซีทีจี α |
วินาที (–α) = วินาที α | โคเซก (–α) = – โคเซก α |
คุณสมบัติความเท่าเทียมกันตามมาจากความสมมาตรของจุด ปและ ร- ก (รูปที่ 14) สัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์. ด้วยความสมมาตรดังกล่าว พิกัดของจุดจะเปลี่ยนเครื่องหมาย (( เอ็กซ์;ที่) ไปที่ ( เอ็กซ์- –คุณ)) ฟังก์ชันทั้งหมด - คาบ, ไซน์, โคไซน์, เซแคนต์และโคซีแคนต์มีคาบเป็น 2 พี, และแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ - พี:
บาป (α + 2 kπ) = บาป α | คอส(α+2 kπ) = คอส α |
tg(α+ kπ) = ตาล α | เปล(α+ kπ) = cotg α |
วินาที (α + 2 kπ) = วินาที α | โคเซค(α+2 kπ) = โคเซก α |
คาบของไซน์และโคไซน์ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทุกจุด ปก+2 เคพี, ที่ไหน เค= 0, ±1, ±2,…, ตรงกัน และคาบของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เกิดจากการที่จุด ป+ เคพีสลับกันตกลงไปเป็นจุดสองจุดที่อยู่ตรงข้ามกันของวงกลม โดยให้จุดเดียวกันบนแกนแทนเจนต์
คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถสรุปได้ในตาราง:
การทำงาน | โดเมนของคำจำกัดความ | ความหมายหลายประการ | ความเท่าเทียมกัน | พื้นที่ของความซ้ำซากจำเจ ( เค= 0, ± 1, ± 2,…) |
บาป x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | แปลก | เพิ่มขึ้นด้วย xโอ((4 เค – 1) พี /2, (4เค + 1) พี/2) ลดลงที่ xโอ((4 เค + 1) พี /2, (4เค + 3) พี/2) |
เพราะ x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | สม่ำเสมอ | เพิ่มขึ้นด้วย xโอ((2 เค – 1) พี, 2เคพี) ลดลงที่ xโอ(2 เคพี, (2เค + 1) พี) |
ทีจี x | x № พี/2 + พีเค | (–Ґ , +Ґ ) | แปลก | เพิ่มขึ้นด้วย xโอ((2 เค – 1) พี /2, (2เค + 1) พี /2) |
กะรัต x | x № พีเค | (–Ґ , +Ґ ) | แปลก | ลดลงที่ xเกี่ยวกับ ( เคพี, (เค + 1) พี) |
วินาที x | x № พี/2 + พีเค | (–Ґ , –1] และ [+1, +Ґ ) | สม่ำเสมอ | เพิ่มขึ้นด้วย xโอ(2 เคพี, (2เค + 1) พี) ลดลงที่ xโอ((2 เค– 1) หน้า , 2 เคพี) |
โคเซค x | x № พีเค | (–Ґ , –1] และ [+1, +Ґ ) | แปลก | เพิ่มขึ้นด้วย xโอ((4 เค + 1) พี /2, (4เค + 3) พี/2) ลดลงที่ xโอ((4 เค – 1) พี /2, (4เค + 1) พี /2) |
สูตรลด.
ตามสูตรเหล่านี้ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ a โดยที่ พี/2 a p สามารถลดเป็นค่าของฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ a โดยที่ 0 a p /2 ไม่ว่าจะเหมือนกันหรือเสริมกันก็ตาม
ข้อโต้แย้งข | -ก | +ก | พี-ก | พี+ก | +ก | +ก | 2พี-ก |
บาปข | เพราะ | เพราะ | บาป | –บาปก | –เพราะ | –เพราะ | –บาปก |
เพราะข | บาป | –บาปก | –เพราะ | –เพราะ | –บาปก | บาป | เพราะ |
ดังนั้นในตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติค่าจะได้รับเฉพาะสำหรับมุมแหลมเท่านั้นและก็เพียงพอที่จะ จำกัด ตัวเราเองเช่นไซน์และแทนเจนต์ ตารางแสดงเฉพาะสูตรที่ใช้บ่อยที่สุดสำหรับไซน์และโคไซน์ จากสิ่งเหล่านี้ จึงง่ายต่อการรับสูตรสำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เมื่อร่ายฟังก์ชันจากอาร์กิวเมนต์ของแบบฟอร์ม เคพี/2 ±ก โดยที่ เค– จำนวนเต็มเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ a:
1) ชื่อฟังก์ชันจะถูกบันทึกหาก เคเท่ากัน และเปลี่ยนเป็น "ส่วนเสริม" ถ้า เคแปลก;
2) ป้ายทางด้านขวาตรงกับป้ายฟังก์ชันลดได้ที่จุดนั้น เคพี/2 ± a ถ้ามุม a เป็นมุมแหลม
ตัวอย่างเช่น เมื่อทำการแคสต์ ctg (a – พี/2) เราตรวจสอบให้แน่ใจว่า a – พี/2 ที่ 0 a p /2 อยู่ในจตุภาคที่สี่ โดยที่โคแทนเจนต์เป็นลบ และตามกฎข้อ 1 เราจะเปลี่ยนชื่อฟังก์ชัน: ctg (a – พี/2) = –tg ก
สูตรการบวก
สูตรสำหรับหลายมุม
สูตรเหล่านี้ได้มาจากสูตรการบวกโดยตรง:
บาป 2a = 2 บาป a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
บาป 3a = 3 บาป – 4 บาป 3 ก;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
สูตรสำหรับ cos 3a ถูกใช้โดย François Viète เมื่อแก้สมการกำลังสาม เขาเป็นคนแรกที่ค้นพบสำนวนของ cos nและบาป n a ซึ่งได้รับในภายหลังด้วยวิธีที่ง่ายกว่าจากสูตรของ Moivre
หากคุณแทนที่ a ด้วย /2 ในสูตรอาร์กิวเมนต์คู่ สูตรเหล่านั้นสามารถแปลงเป็นสูตรครึ่งมุมได้:
สูตรการทดแทนสากล
เมื่อใช้สูตรเหล่านี้ นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ ของอาร์กิวเมนต์เดียวกันสามารถเขียนใหม่เป็นนิพจน์เหตุผลของฟังก์ชันเดียว tg (a /2) ซึ่งจะมีประโยชน์เมื่อแก้สมการบางสมการ:
สูตรการแปลงผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม
ก่อนการถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ สูตรเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น การคำนวณทำโดยใช้ตารางลอการิทึมและต่อมา - กฎสไลด์เพราะ ลอการิทึมเหมาะที่สุดสำหรับการคูณตัวเลข ดังนั้นนิพจน์ดั้งเดิมทั้งหมดจึงถูกนำมาอยู่ในรูปแบบที่สะดวกสำหรับลอการิทึม เช่น ในการทำงาน เช่น:
2 บาป กบาป b = cos ( ก-ข) – คอส ( ก+ข);
2คอส กเพราะ ข=คอส( ก-ข) + คอส ( ก+ข);
2 บาป กเพราะ ข= บาป ( ก-ข) + บาป ( ก+ข).
สูตรสำหรับฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถหาได้จากสูตรข้างต้น
สูตรลดระดับ
จากสูตรอาร์กิวเมนต์หลายสูตรจะได้สูตรต่อไปนี้:
บาป 2 ก = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
บาป 3 a = (3 บาป a – บาป 3a)/4; | คอส 3 ก = (3 คอส เอ + คอส 3ก )/4. |
การใช้สูตรเหล่านี้สามารถลดสมการตรีโกณมิติให้เป็นสมการที่มีระดับต่ำกว่าได้ ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาสูตรรีดักชั่นสำหรับกำลังของไซน์และโคไซน์ที่สูงกว่าได้
อนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ | |
(บาป x)` = cos x; | (เพราะ x)` = –บาป x; |
(ท x)` = ; | (กะรัต x)` = – ; |
บาป เอ็กซ์ ดีเอ็กซ์= –คอส x + ค; | เพราะ เอ็กซ์ ดีเอ็กซ์= บาป x + ค; |
เสื้อ เอ็กซ์ ดีเอ็กซ์= –ln|cos x| + ค; | กะรัต xdx = ln|บาป x| + ค; |
ฟังก์ชันตรีโกณมิติแต่ละฟังก์ชันที่จุดแต่ละจุดของขอบเขตคำจำกัดความมีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้อย่างไม่สิ้นสุด ยิ่งไปกว่านั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเมื่อรวมเข้าด้วยกัน ก็จะได้ฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือลอการิทึมด้วยเช่นกัน อินทิกรัลของผลรวมตรรกยะของฟังก์ชันตรีโกณมิติมักเป็นฟังก์ชันพื้นฐานเสมอ
การแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปแบบของอนุกรมกำลังและผลคูณอนันต์
ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดสามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังได้ ในกรณีนี้ ฟังก์ชันจะเป็นบาป xบีคอส xจะถูกนำเสนอเป็นแถว มาบรรจบกันทุกคุณค่า x:
ชุดข้อมูลเหล่านี้สามารถใช้เพื่อหาคำประมาณความบาปได้ xและคอส xที่มีค่าน้อย x:
ที่ | x|หน้า/2;
ที่ 0 x| พี
(บี n – เบอร์นูลลี)
ฟังก์ชั่นบาป xและคอส xสามารถแสดงได้ในรูปของผลิตภัณฑ์อนันต์:
ระบบตรีโกณมิติ 1, cos x,บาป x, cos2 x, บาป 2 x,¼,คอส nx,บาป nx, ¼, แบบฟอร์มบนส่วน [– พี, พี] ระบบฟังก์ชันมุมฉาก ซึ่งทำให้สามารถแสดงฟังก์ชันในรูปแบบของอนุกรมตรีโกณมิติได้
ถูกกำหนดให้เป็นความต่อเนื่องเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันของอาร์กิวเมนต์จริงในระนาบเชิงซ้อน ใช่บาป zและคอส zสามารถกำหนดได้โดยใช้อนุกรมสำหรับบาป xและคอส x, ถ้าแทน xใส่ z:
ซีรีส์เหล่านี้มาบรรจบกันทั่วทั้งระนาบ ดังนั้นบาป zและคอส z- ฟังก์ชั่นทั้งหมด
แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดโดยสูตร:
ฟังก์ชันทีจี zและกะรัต z- ฟังก์ชันเมโรมอร์ฟิก เสาทีจี zและวินาที z– ง่าย (ลำดับที่ 1) และตั้งอยู่ที่จุด ซ = พี/2 + พีเอ็น,เสากะรัต zและโคเซค z– เรียบง่ายและตั้งอยู่ตามจุดต่างๆ z = พีเอ็น, n = 0, ±1, ±2,...
สูตรทั้งหมดที่ถูกต้องสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์จริงก็ใช้ได้กับสูตรที่ซับซ้อนเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
บาป(- z) = –บาป z,
คอส(– z) = cos z,
ทีจี(– z) = –tg z,
กะรัต(– z) = –กะรัต z,
เหล่านั้น. ความเท่าเทียมกันของคู่และคี่ยังคงอยู่ สูตรจะถูกบันทึกด้วย
บาป ( z + 2พี) = บาป z, (z + 2พี) = cos z, (z + พี) = ทีจี z, (z + พี) = กะรัต z,
เหล่านั้น. คาบจะยังคงอยู่ และคาบจะเหมือนกับฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์จริง
ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังของอาร์กิวเมนต์จินตภาพล้วนๆ:
กลับ, อีอิซแสดงในรูปของ cos zและบาป zตามสูตร:
อีอิซ=คอส z + ฉันบาป z
สูตรเหล่านี้เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ Leonhard Euler พัฒนาขึ้นในปี 1743
ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกได้:
z = –ฉันซ ฉัน, cos z = ch iz, z = –i th iz
โดยที่ sh, ch และ th คือไฮเปอร์โบลิกไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของการโต้แย้งที่ซับซ้อน z = x + iy, ที่ไหน xและ ย– จำนวนจริงสามารถแสดงผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิกของอาร์กิวเมนต์จริงได้ เช่น
บาป ( x + iy) = บาป xช ย + ฉันเพราะ xซ ย;
เพราะ( x + iy) = cos xช ย + ฉันบาป xซ ย.
ไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนสามารถรับค่าจริงที่มากกว่า 1 ในค่าสัมบูรณ์ได้ ตัวอย่างเช่น:
ถ้ามุมที่ไม่ทราบค่าเข้าสู่สมการเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สมการนั้นจะเรียกว่าตรีโกณมิติ สมการดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดามากที่วิธีการของพวกเขา โซลูชั่นมีรายละเอียดมากและได้รับการออกแบบมาอย่างพิถีพิถัน กับการใช้เทคนิคและสูตรต่างๆ ทำให้สมการตรีโกณมิติลดลงเหลือเพียงสมการในรูปแบบ ฉ(x)= ก, ที่ไหน ฉ– ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ แล้วแสดงข้อโต้แย้ง xฟังก์ชันนี้ผ่านค่าที่ทราบ ก.
เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติมีคาบเหมือนกัน กจากช่วงของค่ามีค่าอาร์กิวเมนต์มากมายไม่สิ้นสุดและการแก้สมการไม่สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันเดียวของ ก. ดังนั้น ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักแต่ละฟังก์ชัน จึงมีการเลือกส่วนที่จะรับค่าทั้งหมด โดยแต่ละรายการเพียงครั้งเดียว และฟังก์ชันผกผันกับฟังก์ชันจะพบได้ในส่วนนี้ ฟังก์ชันดังกล่าวแสดงโดยการเพิ่มส่วนโค้งคำนำหน้า (ส่วนโค้ง) เข้ากับชื่อของฟังก์ชันดั้งเดิม และเรียกว่าตรีโกณมิติผกผัน ฟังก์ชันหรือฟังก์ชันส่วนโค้งเพียงอย่างเดียว
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สำหรับความบาป เอ็กซ์, เพราะ เอ็กซ์, ทีจี เอ็กซ์และกะรัต เอ็กซ์สามารถกำหนดฟังก์ชันผกผันได้ พวกมันถูกเขียนแทนด้วยอาร์คซิน เอ็กซ์(อ่านว่า "อาร์คไซน์" x") ส่วนโค้ง x, อาร์คแทน xและ arcctg x- ตามคำนิยาม อาร์ซิน เอ็กซ์มีจำนวนดังกล่าว ใช่อะไร
บาป ที่ = เอ็กซ์.
ในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันอื่นๆ แต่คำจำกัดความนี้ได้รับผลกระทบจากความไม่ถูกต้องบางประการ
หากคุณสะท้อนความบาป เอ็กซ์, เพราะ เอ็กซ์, ทีจี เอ็กซ์และกะรัต เอ็กซ์สัมพันธ์กับเส้นแบ่งครึ่งของจตุภาคที่หนึ่งและสามของระนาบพิกัดจากนั้นฟังก์ชันเนื่องจากช่วงเวลาของพวกมันจึงคลุมเครือ: มุมจำนวนอนันต์สอดคล้องกับไซน์เดียวกัน (โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์)
เพื่อกำจัดความคลุมเครือ ส่วนของเส้นโค้ง ที่มีความกว้างของ พีในกรณีนี้ จำเป็นต้องรักษาความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชัน เลือกพื้นที่ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัดแล้ว สำหรับไซน์อิน ในฐานะที่เป็น "ช่วงเวลาแบบหนึ่งต่อหนึ่ง" เราจึงใช้ส่วน [- พี/2, พี/2] โดยที่ไซน์เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนจาก –1 เป็น 1 สำหรับโคไซน์ – เซกเมนต์ สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ตามลำดับ ช่วงเวลา (– พี/2, พี/2) และ (0, พี- แต่ละเส้นโค้งบนช่วงเวลาจะสะท้อนสัมพันธ์กับเส้นแบ่งครึ่ง และตอนนี้ก็สามารถกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันได้แล้ว ตัวอย่างเช่น ให้ระบุค่าอาร์กิวเมนต์ x 0 ,เช่นนั้น 0 Ј x 0 Ј 1. จากนั้นค่าของฟังก์ชัน ย 0 = อาร์คซิน x 0 จะมีเพียงความหมายเดียวเท่านั้น ที่ 0 , อย่างนั้น - พี/2 Ј ที่ 0 Ј พี/2 และ x 0 = บาป ย 0 .
ดังนั้นอาร์กไซน์จึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กซิน ก, กำหนดไว้ในช่วงเวลา [–1, 1] และเท่ากันสำหรับแต่ละรายการ กถึงค่าดังกล่าว a , – พี/2 a p /2 ที่บาป a = ก.สะดวกมากในการแสดงโดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย (รูปที่ 15) เมื่อ | ก| 1 บนวงกลมจะมีจุดสองจุดที่มีจุดกำหนด กสมมาตรรอบแกน คุณหนึ่งในนั้นสอดคล้องกับมุม ก= อาร์คซิน ก, และอีกมุมหนึ่ง พี-เอ กับโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของไซน์ การแก้สมการบาป x= กเขียนดังนี้:
x=(–1)nอาร์คซิน ก + 2พีเอ็น,
ที่ไหน n= 0, ±1, ±2,...
สมการตรีโกณมิติง่ายๆ อื่นๆ สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเดียวกัน:
เพราะ x = ก, –1 =ก= 1;
x=±อาร์คอส ก + 2พีเอ็น,
ที่ไหน n= 0, ±1, ±2,... (รูปที่ 16);
ทีจี เอ็กซ์ = ก;
x= อาร์คแทน ก + พีเอ็น,
ที่ไหน น= 0, ±1, ±2,... (รูปที่ 17);
กะรัต เอ็กซ์= ก;
เอ็กซ์= arcctg ก + พีเอ็น,
ที่ไหน น= 0, ±1, ±2,... (รูปที่ 18)
คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:
อาร์คซิน เอ็กซ์(รูปที่ 19): โดเมนของคำจำกัดความ – ส่วน [–1, 1]; พิสัย - [- พี/2, พี/2] ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ;
อาร์คคอส เอ็กซ์(รูปที่ 20): โดเมนของคำจำกัดความ – ส่วน [–1, 1]; พิสัย - ; ฟังก์ชั่นที่ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ
อาร์คจี เอ็กซ์(รูปที่ 21): ขอบเขตของคำจำกัดความ – จำนวนจริงทั้งหมด ช่วงของค่า – ช่วงเวลา (– พี/2, พี/2); ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ตรง ที่= –พี/2 และ y = p /2 –เส้นกำกับแนวนอน
arcctg เอ็กซ์(รูปที่ 22): ขอบเขตของคำจำกัดความ – จำนวนจริงทั้งหมด ช่วงของค่า – ช่วงเวลา (0, พี- ฟังก์ชั่นที่ลดลงอย่างซ้ำซากจำเจ ตรง ย= 0 และ ย = พี– เส้นกำกับแนวนอน
,สำหรับใครก็ตาม z = x + iy, ที่ไหน xและ ยเป็นจำนวนจริง มีอสมการเกิดขึ้น
½| ใช่–อี-ย- ≤|บาป z|≤½( ใช่ +e-y)
½| ใช่–อี-ย- ≤|คอส z|≤½( อีย+อี-ย),
ซึ่งที่ ย® Ґ สูตรซีมโทติคเป็นไปตาม (สม่ำเสมอด้วยความเคารพต่อ x)
|บาป z- » 1/2 จ |ย| ,
|คอส z- » 1/2 จ |ย| .
ฟังก์ชันตรีโกณมิติปรากฏขึ้นครั้งแรกโดยเกี่ยวข้องกับการวิจัยทางดาราศาสตร์และเรขาคณิต อัตราส่วนของส่วนต่างๆ ในรูปสามเหลี่ยมและวงกลม ซึ่งเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติมีอยู่แล้วในศตวรรษที่ 3 พ.ศ จ. ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ – อย่างไรก็ตาม ยุคลิด อาร์คิมิดีส อพอลโลเนียสแห่งเปอร์กา และคนอื่นๆ ความสัมพันธ์เหล่านี้ไม่ใช่วัตถุอิสระในการศึกษา ดังนั้น พวกเขาจึงไม่ได้ศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติเช่นนี้ ในตอนแรกถือว่าเป็นส่วนต่างๆ และในรูปแบบนี้ถูกใช้โดย Aristarchus (ปลายศตวรรษที่ 4 - ครึ่งหลังของศตวรรษที่ 3), Hipparchus (ศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช), Menelaus (คริสต์ศตวรรษที่ 1) และปโตเลมี (คริสต์ศตวรรษที่ 2) การแก้รูปสามเหลี่ยมทรงกลม ปโตเลมีได้รวบรวมตารางคอร์ดชุดแรกสำหรับมุมแหลมทุกๆ 30 นิ้ว ด้วยความแม่นยำ 10 –6 ตารางนี้เป็นตารางไซน์ชุดแรก เมื่อเทียบอัตราส่วนแล้ว ฟังก์ชัน sin a มีอยู่ในอารยภาตะ (ปลายศตวรรษที่ 5) ฟังก์ชัน tg a และ ctg a มีอยู่ใน al- Battani (ครึ่งหลังของศตวรรษที่ 9 - ต้นศตวรรษที่ 10) และ Abul-Vefa (ศตวรรษที่ 10) ซึ่งใช้ sec a และ cosec a Aryabhata รู้สูตรอยู่แล้ว (sin 2 a + cos 2 a) = 1 เช่นเดียวกับสูตรสำหรับ sin และ cos ของครึ่งมุม ด้วยความช่วยเหลือ ฉันจึงสร้างตารางไซน์สำหรับมุมจนถึง 3°45"; ขึ้นอยู่กับค่าที่ทราบของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่ง่ายที่สุด ภัสการา (ศตวรรษที่ 12) ได้ให้วิธีการสร้างตารางในรูปของ 1 โดยใช้สูตรบวก สูตรสำหรับการแปลงผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ต่างๆ ให้เป็นผลคูณได้มาจาก Regiomontanus (ศตวรรษที่ 15) และ J. Napier ซึ่งเกี่ยวข้องกับการประดิษฐ์ลอการิทึมในยุคหลัง (1614) Regiomontanus ให้ตารางค่าไซน์ในรูปของ 1" I. Newton (1669) ได้รับการขยายตัวของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอนุกรมกำลัง ทฤษฎีฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนำเข้าสู่รูปแบบสมัยใหม่โดย L. Euler (18) ศตวรรษ) เขาเป็นเจ้าของคำจำกัดความของข้อโต้แย้งที่แท้จริงและซับซ้อน ซึ่งปัจจุบันได้รับการยอมรับว่าเป็นสัญลักษณ์ โดยสร้างความเชื่อมโยงกับฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและความเป็นมุมตั้งฉากของระบบไซน์และโคไซน์
จะได้รับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สูตรตรีโกณมิติ- และเนื่องจากมีการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติค่อนข้างมาก นี่จึงอธิบายสูตรตรีโกณมิติที่มีอยู่มากมาย บางสูตรเชื่อมต่อฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียวกัน, สูตรอื่น ๆ - ฟังก์ชั่นของหลายมุม, สูตรอื่น ๆ - อนุญาตให้คุณลดระดับ, ที่สี่ - แสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ
ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดตามลำดับ ซึ่งเพียงพอที่จะแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ได้ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและการใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์และป้อนลงในตาราง
การนำทางหน้า
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง เป็นไปตามคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตลอดจนแนวคิดเรื่องวงกลมหน่วย ช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันในแง่ของฟังก์ชันอื่นๆ ได้
หากต้องการทราบคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติ ที่มา และตัวอย่างการใช้ โปรดดูบทความ
สูตรลด
สูตรลดติดตามจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ นั่นคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสมบัติของสมมาตร รวมถึงคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมใดก็ได้ไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา
เหตุผลสำหรับสูตรเหล่านี้กฎช่วยในการจำสำหรับการจดจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถศึกษาได้ในบทความ
สูตรการบวก
สูตรการบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของสองมุมแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านั้นอย่างไร สูตรเหล่านี้ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานในการหาสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้
สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม
สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของ double, triple ฯลฯ เป็นอย่างไร มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของมันขึ้นอยู่กับสูตรการบวก
ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับ double, triple เป็นต้น มุม
สูตรครึ่งมุม
สูตรครึ่งมุมแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงออกมาในรูปของโคไซน์ของมุมทั้งหมดอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่
บทสรุปและตัวอย่างการใช้งานสามารถดูได้ในบทความ
สูตรลดระดับ
สูตรตรีโกณมิติสำหรับการลดองศาได้รับการออกแบบมาเพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจากพลังธรรมชาติของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นไซน์และโคไซน์ในระดับแรก แต่มีมุมหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่งคืออนุญาตให้คุณลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก
สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
วัตถุประสงค์หลัก สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือไปที่ผลคูณของฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เนื่องจากช่วยให้คุณสามารถแยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ได้
สูตรผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ต่อโคไซน์
การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวมหรือผลต่างทำได้โดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ด้วยโคไซน์
ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด
สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนใดส่วนหนึ่งของ www.site รวมถึงเนื้อหาภายในและรูปลักษณ์ภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์
1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันพื้นฐานที่มีการโต้แย้ง มุม- ฟังก์ชันตรีโกณมิติอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีความหลากหลายอย่างมาก ตัวอย่างเช่น กระบวนการที่เป็นคาบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อนุกรมฟูเรียร์) ฟังก์ชันเหล่านี้มักปรากฏขึ้นเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์และฟังก์ชัน
2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วย 6 ฟังก์ชันต่อไปนี้: ไซนัส, โคไซน์, แทนเจนต์,โคแทนเจนต์, ตัดออกและ โคซีแคนต์- สำหรับแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ จะมีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
3. สะดวกในการแนะนำคำจำกัดความทางเรขาคณิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้ วงกลมหน่วย- รูปด้านล่างแสดงวงกลมที่มีรัศมี r=1 จุด M(x,y) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนวงกลม มุมระหว่างเวกเตอร์รัศมี OM และทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ α
4. ไซนัสมุม α คืออัตราส่วนของพิกัด y ของจุด M(x,y) ต่อรัศมี r:
ซินα=y/r.
เนื่องจาก r=1 ดังนั้นไซน์จึงเท่ากับพิกัดของจุด M(x,y)
5. โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa x ของจุด M(x,y) ต่อรัศมี r:
cosα=x/r
6. แทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของพิกัด y ของจุด M(x,y) ต่อจุดหักเหของ x:
tanα=y/x,x≠0
7. โคแทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa x ของจุด M(x,y) ต่อพิกัด y:
โคα=x/y,y≠0
8. ซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของรัศมี r ต่อ abscissa x ของจุด M(x,y):
วินาทีα=r/x=1/x,x≠0
9. โคซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของรัศมี r ต่อพิกัด y ของจุด M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. ในวงกลมหนึ่งหน่วย เส้นโครง x, y จุด M(x,y) และรัศมี r ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ x,y คือขา และ r คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น คำจำกัดความข้างต้นของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากจึงมีสูตรดังนี้
ไซนัสมุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
แทนเจนต์มุม α เรียกว่าขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน
โคแทนเจนต์มุม α เรียกว่าด้านประชิดกับด้านตรงข้าม
ซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาที่อยู่ติดกัน
โคซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาตรงข้าม
11. กราฟของฟังก์ชันไซน์
y=sinx, โดเมนของคำจำกัดความ: x∈R, ช่วงของค่า: −1≤sinx≤1
12. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์
y=cosx, โดเมน: x∈R, พิสัย: −1≤cosx≤1
13. กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ 14. กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ 15. กราฟของฟังก์ชันซีแคนต์
y=tanx, ช่วงของคำจำกัดความ: x∈R,x≠(2k+1)π/2, ช่วงของค่า: −∞
y=cotx, โดเมน: x∈R,x≠kπ, พิสัย: −∞
y=secx, โดเมน: x∈R,x≠(2k+1)π/2, พิสัย: secx∈(−∞,−1]∪∪)