จำนวนที่มากที่สุดที่คุณรู้จัก จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลก
กาลครั้งหนึ่งในวัยเด็ก เราเรียนรู้ที่จะนับถึงสิบ ร้อย และถึงพัน แล้วคุณรู้เลขที่ใหญ่ที่สุดเท่าไหร่? หนึ่งพัน หนึ่งล้าน หนึ่งพันล้าน หนึ่งล้าน... แล้วไงล่ะ? Petallion มีคนพูดและเขาจะผิดเพราะเขาสร้างความสับสนให้กับคำนำหน้า SI ด้วยแนวคิดที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
ที่จริงแล้วคำถามนั้นไม่ง่ายอย่างที่คิดเมื่อเห็นแวบแรก ประการแรก เรากำลังพูดถึงการตั้งชื่อชื่อผู้มีอำนาจนับพัน และตรงนี้ ข้อแตกต่างแรกที่หลายคนรู้จากภาพยนตร์อเมริกัน ก็คือพวกเขาเรียกเราว่าพันล้านหนึ่งพันล้าน
นอกจากนี้ยังมีเครื่องชั่งสองประเภท - ยาวและสั้น ในประเทศของเรามีการใช้มาตราส่วนสั้น ในระดับนี้ ในแต่ละขั้นตอน แมนทิสซาจะเพิ่มขึ้นสามลำดับความสำคัญ กล่าวคือ คูณด้วยพัน - พัน 10 3, ล้าน 10 6, พันล้าน/พันล้าน 10 9, ล้านล้าน (10 12) ในระยะยาว หลังจาก 1 พันล้าน 10 9 ก็จะมี 10 12 พันล้าน และต่อมาแมนทิสซาก็เพิ่มขึ้น 6 ลำดับความสำคัญ และจำนวนถัดไปซึ่งเรียกว่าล้านล้าน ก็หมายถึง 10 18 อยู่แล้ว
แต่ขอกลับไปสู่ระดับพื้นเมืองของเรา ต้องการทราบว่าจะเกิดอะไรขึ้นหลังจากล้านล้าน? โปรด:
10 3 พัน
10 6 ล้าน
10 9 พันล้าน
10 12 ล้านล้าน
10 15 สี่ล้านล้าน
10 18 ล้านล้าน
10 21 เจ็ดล้าน
10 24 เซทิลล้าน
10 27 ออคทิลเลียน
10 30 ล้านล้าน
10 33 ล้าน
10 36 ล้านล้าน
10 39 สิบล้านล้าน
10 42 ล้านล้าน
10 45 ควอตโตร์เดซิล้าน
10 48 ล้านล้าน
10 51 ล้านล้าน
10 54 กันยายน
10 57 ดูโอดีวิจินล้านล้าน
10 60 ล้านล้าน
10 63 ล้านล้าน
10 66 พันล้านล้าน
10 69 ดูโอวิจินล้านล้าน
10 72 ล้านล้าน
10 75 ควอเตอร์วิจินล้านล้าน
10 78 ล้านล้านล้าน
10 81 sexvigintillion
10 84 กันยายนล้านล้าน
10 87 ออคโตวิกินล้าน
10 90 พ.ย.ล้านล้าน
10 93 ล้านล้าน
10 96 แอนติจินล้านล้าน
เมื่อถึงจำนวนนี้ ขนาดที่สั้นของเราไม่สามารถทนได้ และต่อมาตั๊กแตนตำข้าวก็จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
10 100 กูเกิล
10,123 สี่ล้านล้าน
10,153 ล้านล้านล้าน
10,183 ล้านล้านเซ็ก
10,213 เจ็ดล้านล้าน
10,243 แปดล้านล้าน
10,273 ล้านล้าน
10,303 ล้านล้าน
10,306 ล้านล้าน
10,309 เซ็นต์ตัน
10,312 ล้านล้าน
10,315 เซ็นต์สี่ล้านล้าน
10,402 ล้านล้านล้านล้าน
10,603 ล้านล้าน
10,903 ล้านล้านล้าน
10 1203 สี่ล้านล้าน
10 1503 ล้านล้าน
10 1803 เซเซนล้าน
10 2103 กันยายนล้านล้าน
10 2403 oxtingentillion
10 2703 นอนเจนล้านล้าน
10 3003 ล้าน
10 6003 ดูโอล้าน
10 9003 สามล้าน
10 3000003 ล้านล้าน
10 6000003 duomimiliaillion
10 10 100 กูเกิลเพล็กซ์
10 3×n+3 ซิลเลียน
Google(จากภาษาอังกฤษ googol) - ตัวเลขในระบบเลขฐานสิบแสดงด้วยหน่วยตามด้วยศูนย์ 100 ตัว:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
ในปี 1938 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner (1878-1955) กำลังเดินเล่นในสวนสาธารณะกับหลานชายสองคนและพูดคุยกันเป็นจำนวนมาก ในระหว่างการสนทนา เราได้พูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขที่มีศูนย์นับร้อยซึ่งไม่มีชื่อเป็นของตัวเอง Milton Sirotta หลานชายคนหนึ่งวัย 9 ขวบ แนะนำให้เรียกหมายเลขนี้ว่า "googol" ในปี 1940 Edward Kasner ร่วมกับ James Newman เขียนหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเรื่อง Mathematics and Imagination ("New Names in Mathematics") ซึ่งเขาเล่าให้คนรักคณิตศาสตร์ฟังเกี่ยวกับหมายเลข googol
คำว่า "googol" ไม่มีความหมายเชิงทฤษฎีหรือปฏิบัติที่จริงจัง แคสเนอร์เสนอให้อธิบายความแตกต่างระหว่างจำนวนมหาศาลกับอนันต์อย่างเหลือเชื่อ และบางครั้งคำนี้ใช้ในการสอนคณิตศาสตร์เพื่อจุดประสงค์นี้
กูเกิลเพล็กซ์(จากภาษาอังกฤษ googolplex) - ตัวเลขที่แสดงโดยหน่วยที่มี googol เป็นศูนย์ เช่นเดียวกับ googol คำว่า "googolplex" ได้รับการประกาศเกียรติคุณจากนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner และหลานชายของเขา Milton Sirotta
จำนวน googols นั้นมากกว่าจำนวนอนุภาคทั้งหมดในส่วนของจักรวาลที่เรารู้จัก ซึ่งมีตั้งแต่ 1,079 ถึง 1,081 ดังนั้น จำนวน googolplex ที่ประกอบด้วยตัวเลข (googol + 1) จึงไม่สามารถเขียนลงในรูปได้ รูปแบบ "ทศนิยม" แบบคลาสสิก แม้ว่าสสารในส่วนที่รู้จักของจักรวาลจะกลายเป็นกระดาษและหมึกหรือพื้นที่ดิสก์ของคอมพิวเตอร์ก็ตาม
ซิลเลี่ยน(ภาษาอังกฤษ zillion) - ชื่อทั่วไปสำหรับจำนวนที่มีขนาดใหญ่มาก
คำนี้ไม่มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ในปี 1996 Conway (อังกฤษ J. H. Conway) และ Guy (eng. R. K. Guy) ในหนังสือภาษาอังกฤษของพวกเขา หนังสือแห่งตัวเลขกำหนด zillion ยกกำลังที่ n เป็น 10 3×n+3 สำหรับระบบการตั้งชื่อหมายเลขสเกลสั้น
โลกแห่งวิทยาศาสตร์นั้นน่าทึ่งมากด้วยความรู้ของมัน อย่างไรก็ตาม แม้แต่คนที่เก่งที่สุดในโลกก็ยังไม่สามารถเข้าใจพวกเขาทั้งหมดได้ แต่คุณต้องมุ่งมั่นเพื่อสิ่งนี้ นั่นคือสาเหตุที่ในบทความนี้ ผมอยากหาว่าจำนวนที่มากที่สุดคืออะไร
เกี่ยวกับระบบ
ก่อนอื่นต้องบอกว่าในโลกนี้มีสองระบบสำหรับการตั้งชื่อตัวเลข: อเมริกันและอังกฤษ ขึ้นอยู่กับสิ่งนี้ หมายเลขเดียวกันสามารถเรียกต่างกันได้แม้ว่าจะมีความหมายเหมือนกันก็ตาม และในช่วงเริ่มต้นคุณต้องจัดการกับความแตกต่างเหล่านี้เพื่อหลีกเลี่ยงความไม่แน่นอนและความสับสน
ระบบอเมริกัน
น่าสนใจที่ระบบนี้ใช้ไม่เพียงแต่ในอเมริกาและแคนาดาเท่านั้น แต่ยังใช้ในรัสเซียด้วย นอกจากนี้ก็ยังมีชื่อทางวิทยาศาสตร์เป็นของตัวเอง คือ ระบบการตั้งชื่อตัวเลขที่มีมาตราส่วนสั้น ตัวเลขขนาดใหญ่ในระบบนี้เรียกว่าอะไร? ดังนั้นความลับจึงค่อนข้างง่าย ในตอนแรกจะมีเลขลำดับละตินหลังจากนั้นก็เพิ่มส่วนต่อท้ายที่รู้จักกันดี "-million" ข้อเท็จจริงต่อไปนี้จะน่าสนใจ: เมื่อแปลจากภาษาละตินจำนวน "ล้าน" สามารถแปลเป็น "พัน" ได้ ตัวเลขต่อไปนี้เป็นของระบบอเมริกัน: ล้านล้านคือ 10 12, หนึ่งล้านล้านคือ 10 18, หนึ่งล้านล้านคือ 10 27 เป็นต้น นอกจากนี้ยังจะง่ายต่อการคิดด้วยว่าตัวเลขเขียนเป็นศูนย์กี่ตัว ในการทำเช่นนี้ คุณต้องรู้สูตรง่ายๆ: 3*x + 3 (โดยที่ "x" ในสูตรเป็นเลขละติน)
ระบบภาษาอังกฤษ
อย่างไรก็ตาม แม้ระบบอเมริกันจะเรียบง่าย แต่ระบบภาษาอังกฤษก็ยังคงแพร่หลายในโลกซึ่งเป็นระบบการตั้งชื่อตัวเลขที่มีสเกลยาว ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2491 มีการใช้ในประเทศต่างๆ เช่น ฝรั่งเศส สหราชอาณาจักร สเปน รวมถึงในประเทศที่เคยเป็นอาณานิคมของอังกฤษและสเปน การสร้างตัวเลขที่นี่ก็ค่อนข้างง่าย: คำต่อท้าย "-million" จะถูกเพิ่มเข้าไปในการกำหนดภาษาละติน นอกจากนี้ หากตัวเลขมากกว่า 1,000 เท่า จะมีการเพิ่มส่วนต่อท้าย "-billion" คุณจะทราบจำนวนศูนย์ที่ซ่อนอยู่ในตัวเลขได้อย่างไร?
- หากตัวเลขลงท้ายด้วย "-million" คุณจะต้องใช้สูตร 6 * x + 3 (“x” เป็นเลขละติน)
- หากตัวเลขลงท้ายด้วย "-billion" คุณจะต้องใช้สูตร 6 * x + 6 (โดยที่ "x" เป็นเลขละตินอีกครั้ง)
ตัวอย่าง
ในขั้นตอนนี้ เป็นตัวอย่าง เราสามารถพิจารณาว่าจะเรียกหมายเลขเดียวกันอย่างไร แต่ในระดับที่ต่างกัน
คุณจะเห็นได้ง่ายๆ ว่าชื่อเดียวกันในระบบต่างกันหมายถึงตัวเลขต่างกัน ตัวอย่างเช่นหนึ่งล้านล้าน ดังนั้นเมื่อพิจารณาตัวเลข คุณยังต้องค้นหาก่อนว่าเขียนด้วยระบบใด
หมายเลขระบบพิเศษ
เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การบอกว่านอกเหนือจากระบบแล้วยังมีหมายเลขที่ไม่ใช่ระบบอีกด้วย บางทีจำนวนที่มากที่สุดอาจหายไปในหมู่พวกเขา? มันคุ้มค่าที่จะดูเรื่องนี้
- กูเกิล. นี่คือเลขสิบถึงกำลังร้อย นั่นคือหนึ่งตามด้วยศูนย์หนึ่งร้อย (10,100) หมายเลขนี้ถูกกล่าวถึงครั้งแรกในปี 1938 โดยนักวิทยาศาสตร์ Edward Kasner ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจมาก: เครื่องมือค้นหาทั่วโลก Google ได้รับการตั้งชื่อตามจำนวนมากในขณะนั้น - googol และชื่อนี้ถูกคิดค้นโดยหลานชายของ Kasner
- อสังขยา. นี่เป็นชื่อที่น่าสนใจมากซึ่งแปลมาจากภาษาสันสกฤตว่า "นับไม่ถ้วน" ค่าตัวเลขของมันคือหนึ่งที่มีศูนย์ 140 - 10 140 ข้อเท็จจริงต่อไปนี้จะน่าสนใจ: สิ่งนี้เป็นที่รู้จักของผู้คนย้อนกลับไปใน 100 ปีก่อนคริสตกาล จ. ดังที่เห็นได้จากรายการใน Jaina Sutra ซึ่งเป็นตำราทางพุทธศาสนาที่มีชื่อเสียง จำนวนนี้ถือว่าพิเศษเพราะเชื่อกันว่าจำเป็นต้องมีวัฏจักรจักรวาลจำนวนเท่ากันเพื่อให้บรรลุนิพพาน ในเวลานั้นตัวเลขนี้ถือว่ามากที่สุด
- กูเกิลเพล็กซ์. หมายเลขนี้ประดิษฐ์โดย Edward Kasner คนเดียวกันและหลานชายของเขาดังกล่าวข้างต้น การกำหนดตัวเลขคือ สิบยกกำลังสิบ ซึ่งในทางกลับกันจะประกอบด้วยยกกำลังร้อย (เช่น สิบยกกำลัง googolplex) นักวิทยาศาสตร์ยังกล่าวอีกว่าด้วยวิธีนี้คุณจะได้รับจำนวนมากเท่าที่คุณต้องการ: googoltetraplex, googolhexaplex, googoloctaplex, googoldecaplex เป็นต้น
- ตัวเลขของเกรแฮมคือ G ซึ่งเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งได้รับการยอมรับในปี 1980 โดย Guinness Book of Records มันมีขนาดใหญ่กว่า googolplex และอนุพันธ์ของมันอย่างมาก และนักวิทยาศาสตร์ยังกล่าวอีกว่าทั้งเอกภพไม่สามารถบรรจุเลขทศนิยมทั้งหมดของเกรแฮมได้
- หมายเลขโมเซอร์, หมายเลข Skewes ตัวเลขเหล่านี้ถือเป็นหนึ่งในตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดและมักใช้ในการแก้สมมติฐานและทฤษฎีบทต่างๆ และเนื่องจากตัวเลขเหล่านี้ไม่สามารถเขียนโดยใช้กฎหมายที่ยอมรับโดยทั่วไปได้ นักวิทยาศาสตร์แต่ละคนจึงเขียนด้วยวิธีของตนเอง
การพัฒนาล่าสุด
อย่างไรก็ตาม ยังคงคุ้มค่าที่จะบอกว่าความสมบูรณ์แบบไม่มีขีดจำกัด และนักวิทยาศาสตร์หลายคนเชื่อและยังคงเชื่อว่ายังไม่พบจำนวนที่มากที่สุด และแน่นอนว่าเกียรติที่ได้ทำเช่นนี้จะตกเป็นของพวกเขา นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันจากมิสซูรีทำงานในโครงการนี้มาเป็นเวลานานและงานของเขาก็ประสบความสำเร็จ เมื่อวันที่ 25 มกราคม พ.ศ. 2555 เขาค้นพบตัวเลขใหม่ที่ใหญ่ที่สุดในโลกซึ่งประกอบด้วยตัวเลขสิบเจ็ดล้านหลัก (ซึ่งเป็นหมายเลขเมอร์แซนลำดับที่ 49) หมายเหตุ: จนถึงขณะนี้จำนวนที่มากที่สุดถือเป็นจำนวนที่คอมพิวเตอร์พบในปี 2551 มี 12,000 หลักและมีลักษณะดังนี้: 2 43112609 - 1
ไม่ใช่ครั้งแรก
เป็นเรื่องที่คุ้มค่าที่จะบอกว่าสิ่งนี้ได้รับการยืนยันจากนักวิจัยทางวิทยาศาสตร์ จำนวนนี้ผ่านการตรวจสอบสามระดับโดยนักวิทยาศาสตร์สามคนบนคอมพิวเตอร์คนละเครื่อง ซึ่งใช้เวลา 39 วันเต็ม อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ความสำเร็จครั้งแรกในการค้นหาโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน ก่อนหน้านี้เขาเคยเปิดเผยตัวเลขที่ยิ่งใหญ่ที่สุด สิ่งนี้เกิดขึ้นในปี 2548 และ 2549 ในปี 2008 คอมพิวเตอร์ได้ขัดขวางชัยชนะของ Curtis Cooper แต่ในปี 2012 เขายังคงได้รับฝ่ามือและตำแหน่งผู้ค้นพบที่สมควรได้รับ
เกี่ยวกับระบบ
ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร นักวิทยาศาสตร์ค้นหาตัวเลขที่มากที่สุดได้อย่างไร ดังนั้นทุกวันนี้คอมพิวเตอร์จึงทำงานส่วนใหญ่ให้กับพวกเขา ในกรณีนี้ Cooper ใช้การคำนวณแบบกระจาย มันหมายความว่าอะไร? การคำนวณเหล่านี้ดำเนินการโดยโปรแกรมที่ติดตั้งบนคอมพิวเตอร์ของผู้ใช้อินเทอร์เน็ตที่ตัดสินใจเข้าร่วมในการศึกษาโดยสมัครใจ ในส่วนหนึ่งของโครงการนี้ ได้มีการกำหนดตัวเลข Mersenne 14 ตัว ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสคนนี้ (ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะที่หารด้วยตัวมันเองและหนึ่งตัวเท่านั้น) ในรูปแบบของสูตรจะมีลักษณะดังนี้: M n = 2 n - 1 (“n” ในสูตรนี้เป็นจำนวนธรรมชาติ)
เกี่ยวกับโบนัส
อาจมีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: อะไรทำให้นักวิทยาศาสตร์ทำงานไปในทิศทางนี้? แน่นอนว่านี่คือความหลงใหลและความปรารถนาที่จะเป็นผู้บุกเบิก อย่างไรก็ตาม ยังมีโบนัสอยู่ที่นี่ด้วย: Curtis Cooper ได้รับรางวัลเงินสด 3,000 ดอลลาร์สำหรับการผลิตผลงานของเขา แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด มูลนิธิ Electronic Frontier Foundation (EFF) สนับสนุนการค้นหาดังกล่าวและสัญญาว่าจะมอบรางวัลเงินสดมูลค่า 150,000 ดอลลาร์และ 250,000 ดอลลาร์ทันทีให้กับผู้ที่ส่งหมายเลขเฉพาะที่ประกอบด้วย 100 ล้านและหนึ่งพันล้านหมายเลข ดังนั้นจึงไม่ต้องสงสัยเลยว่าทุกวันนี้นักวิทยาศาสตร์จำนวนมากทั่วโลกกำลังทำงานในทิศทางนี้
ข้อสรุปง่ายๆ
แล้ววันนี้เลขอะไรมากที่สุด? ในขณะนี้ Curtis Cooper นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันจากมหาวิทยาลัยมิสซูรีค้นพบซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ 2 57885161 - 1 นอกจากนี้ยังเป็นหมายเลขที่ 48 ของ Mersenne นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอีกด้วย แต่ก็คุ้มค่าที่จะบอกว่าการค้นหานี้ไม่มีที่สิ้นสุด และจะไม่น่าแปลกใจเลยหากหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่ง นักวิทยาศาสตร์จะแจ้งจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลกที่เพิ่งค้นพบใหม่ให้เราพิจารณา ไม่ต้องสงสัยเลยว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นในอนาคตอันใกล้นี้
มีตัวเลขจำนวนมากมายมหาศาลอย่างไม่น่าเชื่อ จนต้องใช้ทั้งจักรวาลในการเขียนลงไป แต่นี่คือสิ่งที่บ้าจริงๆ... จำนวนมหาศาลที่ไม่อาจหยั่งรู้เหล่านี้บางส่วนมีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจโลก
เมื่อฉันพูดว่า "จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในจักรวาล" ฉันหมายถึงจำนวนที่ใหญ่ที่สุดจริงๆ สำคัญ number คือจำนวนสูงสุดที่เป็นไปได้ซึ่งมีประโยชน์ในทางใดทางหนึ่ง มีผู้เข้าแข่งขันหลายคนสำหรับชื่อนี้ แต่ฉันจะเตือนคุณทันที: มีความเสี่ยงจริงๆ ที่การพยายามทำความเข้าใจมันจะทำให้คุณทึ่ง และยิ่งไปกว่านั้น ถ้าคณิตมากเกินไป คุณจะไม่สนุกเลย
กูกอล และกูกอลเพล็กซ์
เอ็ดเวิร์ด แคสเนอร์
เราอาจเริ่มต้นด้วยตัวเลขสองตัวที่ใหญ่ที่สุดที่คุณเคยได้ยินมา และนี่คือตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดสองตัวที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปในภาษาอังกฤษ (มีการใช้ระบบการตั้งชื่อที่ค่อนข้างแม่นยำเพื่อระบุตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่าที่คุณต้องการ แต่ทุกวันนี้ คุณจะไม่พบตัวเลขสองตัวนี้ในพจนานุกรม) Googol นับตั้งแต่โด่งดังไปทั่วโลก (ถึงแม้จะมีข้อผิดพลาด โปรดสังเกต จริงๆ แล้วมันคือ googol ) ในรูปแบบของ Google ถือกำเนิดในปี 1920 เพื่อเป็นช่องทางให้เด็กๆ สนใจเรื่องจำนวนมาก
ด้วยเหตุนี้ Edward Kasner (ในภาพ) จึงพาหลานชายสองคนของเขา Milton และ Edwin Sirott เดินเล่นใน New Jersey Palisades เขาเชิญชวนให้พวกเขาเสนอไอเดีย จากนั้นมิลตันวัย 9 ขวบก็เสนอชื่อ "googol" ไม่ทราบที่มาที่เขาได้รับคำนี้ แต่แคสเนอร์ตัดสินใจอย่างนั้น หรือตัวเลขที่มีศูนย์หนึ่งร้อยตามหลังหน่วยจะเรียกว่า googol
แต่มิลตันในวัยเยาว์ไม่ได้หยุดเพียงแค่นั้น เขาเสนอ googolplex จำนวนมากยิ่งขึ้น ตามข้อมูลของมิลตัน นี่คือตัวเลข โดยที่อันดับแรกคือ 1 แล้วตามด้วยเลขศูนย์มากเท่าที่คุณสามารถเขียนได้ก่อนที่คุณจะรู้สึกเหนื่อย แม้ว่าแนวคิดนี้จะน่าสนใจ แต่ Kasner ก็ตัดสินใจว่าจำเป็นต้องมีคำจำกัดความที่เป็นทางการกว่านี้ ดังที่เขาอธิบายไว้ในหนังสือคณิตศาสตร์และจินตนาการของเขาเมื่อปี 1940 คำจำกัดความของมิลตันเปิดโอกาสที่มีความเสี่ยงที่ตัวตลกสุ่มอาจกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เหนือกว่าอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เพียงเพราะเขามีความแข็งแกร่งมากกว่า
Kasner จึงตัดสินใจว่า googolplex จะเป็น หรือ 1 แล้วก็ googol ที่เป็นศูนย์ มิฉะนั้น และในรูปแบบที่คล้ายกับที่เราจะจัดการกับตัวเลขอื่นๆ เราจะบอกว่า googolplex คือ เพื่อแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้น่าหลงใหลเพียงใด คาร์ล เซแกนเคยตั้งข้อสังเกตว่าเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพที่จะเขียนเลขศูนย์ทั้งหมดของ googolplex เนื่องจากมีพื้นที่ในจักรวาลไม่เพียงพอ หากเราเติมอนุภาคฝุ่นขนาดเล็กขนาดประมาณ 1.5 ไมครอนไปทั่วทั้งปริมาตรของจักรวาลที่สังเกตได้ จำนวนวิธีต่างๆ ในการจัดเรียงอนุภาคเหล่านี้จะเท่ากับประมาณหนึ่ง googolplex
ในทางภาษาศาสตร์ googol และ googolplex อาจเป็นตัวเลขนัยสำคัญสองตัวที่ใหญ่ที่สุด (อย่างน้อยก็ในภาษาอังกฤษ) แต่ดังที่เราจะพิสูจน์กันในตอนนี้ มีหลายวิธีในการนิยาม "ความสำคัญ" อย่างไม่สิ้นสุด
โลกแห่งความเป็นจริง
หากเราพูดถึงจำนวนนัยสำคัญที่มากที่สุด ก็มีข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลว่านั่นหมายความว่าเราต้องค้นหาจำนวนที่มากที่สุดโดยมีค่าที่มีอยู่จริงในโลก เราสามารถเริ่มจากจำนวนประชากรมนุษย์ในปัจจุบันซึ่งปัจจุบันมีอยู่ประมาณ 6920 ล้านคน GDP โลกในปี 2010 คาดว่าจะอยู่ที่ประมาณ 61,960 พันล้านดอลลาร์ แต่ตัวเลขทั้งสองนี้ไม่มีนัยสำคัญเลยเมื่อเทียบกับเซลล์ประมาณ 100 ล้านล้านเซลล์ที่ประกอบเป็นร่างกายมนุษย์ แน่นอนว่าไม่มีตัวเลขใดที่สามารถเปรียบเทียบกับจำนวนอนุภาคทั้งหมดในจักรวาลซึ่งโดยทั่วไปถือว่ามีค่าประมาณ และจำนวนนี้มีขนาดใหญ่มากจนภาษาของเราไม่มีคำอธิบาย
เราสามารถเล่นกับระบบการวัดได้นิดหน่อย ทำให้ตัวเลขมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น มวลของดวงอาทิตย์มีหน่วยเป็นตันจะน้อยกว่าหน่วยปอนด์ วิธีที่ดีในการทำเช่นนี้คือการใช้ระบบหน่วยพลังค์ ซึ่งเป็นมาตรการที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งยังคงใช้กฎของฟิสิกส์อยู่ ตัวอย่างเช่น อายุของจักรวาลในเวลาพลังค์คือประมาณ หากเราย้อนกลับไปในหน่วยเวลาพลังค์แรกหลังบิกแบง เราจะเห็นว่าตอนนั้นความหนาแน่นของจักรวาลอยู่ที่ เราได้รับมากขึ้นเรื่อยๆ แต่เรายังไปไม่ถึง googol ด้วยซ้ำ
จำนวนที่มากที่สุดที่มีการประยุกต์ในโลกแห่งความเป็นจริง - หรือในกรณีนี้คือการประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง - อาจเป็นหนึ่งในการประมาณการล่าสุดของจำนวนจักรวาลในลิขสิทธิ์ ตัวเลขนี้มีขนาดใหญ่มากจนสมองของมนุษย์ไม่สามารถรับรู้จักรวาลต่างๆ เหล่านี้ได้ เนื่องจากสมองมีความสามารถในการกำหนดค่าโดยประมาณเท่านั้น อันที่จริงแล้ว ตัวเลขนี้น่าจะเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่สมเหตุสมผลในทางปฏิบัติ เว้นแต่คุณจะคำนึงถึงแนวคิดเรื่องลิขสิทธิ์โดยรวมด้วย อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวเลขอีกมากมายที่ซุ่มซ่อนอยู่ที่นั่น แต่เพื่อที่จะค้นหาพวกมัน เราต้องเข้าไปในขอบเขตของคณิตศาสตร์ล้วนๆ และไม่มีที่ใดที่จะดีไปกว่าการเริ่มต้นจำนวนเฉพาะ
ไพรม์เมอร์แซนน์
ส่วนหนึ่งของความท้าทายคือการให้คำจำกัดความที่ดีว่าตัวเลขที่ “มีนัยสำคัญ” คืออะไร วิธีหนึ่งคือการคิดในแง่ของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ จำนวนเฉพาะ ดังที่คุณคงจำได้จากคณิตศาสตร์ของโรงเรียน คือจำนวนธรรมชาติใดๆ (หมายเหตุไม่เท่ากับ 1) ที่หารด้วยตัวมันเองเท่านั้น ดังนั้น และ เป็นจำนวนเฉพาะ และเป็นจำนวนประกอบ ซึ่งหมายความว่าจำนวนประกอบใดๆ ก็สามารถแทนได้ด้วยตัวประกอบเฉพาะของมันในที่สุด ในบางแง่ ตัวเลขมีความสำคัญมากกว่า เช่น เนื่องจากไม่มีทางจะแสดงมันในรูปผลคูณของจำนวนที่น้อยกว่าได้
แน่นอนว่าเราสามารถไปได้ไกลกว่านี้อีกสักหน่อย ตัวอย่างเช่น จริงๆ แล้วเป็นเพียง ซึ่งหมายความว่าในโลกสมมติที่ความรู้เกี่ยวกับตัวเลขของเราถูกจำกัดอยู่เพียงเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ยังคงสามารถแสดงจำนวนได้ แต่จำนวนถัดไปเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งหมายความว่าวิธีเดียวที่จะแสดงออกได้คือต้องรู้โดยตรงเกี่ยวกับการมีอยู่ของมัน ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุดมีบทบาทสำคัญ แต่จริงๆ แล้ว Googol ซึ่งท้ายที่สุดแล้วเป็นเพียงชุดของตัวเลขและ คูณเข้าด้วยกัน กลับไม่ได้เป็นเช่นนั้น และเนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วจำนวนเฉพาะจะเป็นแบบสุ่ม จึงไม่มีทางทราบได้ว่าจำนวนเฉพาะจำนวนมากนั้นจะเป็นจำนวนเฉพาะจริงๆ จนถึงทุกวันนี้ การค้นพบจำนวนเฉพาะใหม่ๆ เป็นเรื่องยาก
นักคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณมีแนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะอย่างน้อยตั้งแต่ 500 ปีก่อนคริสตกาล และ 2,000 ปีต่อมา ผู้คนยังคงรู้ว่าตัวเลขใดเป็นจำนวนเฉพาะไม่เกิน 750 เท่านั้น นักคิดในสมัยยุคลิดมองเห็นความเป็นไปได้ที่จะทำให้ง่ายขึ้น แต่ก็ไม่ใช่ จนกระทั่งนักคณิตศาสตร์ยุคเรอเนซองส์ไม่อาจนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้จริงๆ ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข Mersenne ซึ่งตั้งชื่อตาม Marin Mersenne นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 แนวคิดนี้ค่อนข้างง่าย: หมายเลข Mersenne คือตัวเลขใดๆ ก็ตามที่อยู่ในรูปแบบ ตัวอย่างเช่น และจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะ ก็เป็นจริงสำหรับ เช่นกัน
การระบุจำนวนเฉพาะของ Mersenne ได้เร็วและง่ายกว่ามากเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะประเภทอื่นๆ และคอมพิวเตอร์ก็ทำงานหนักในการค้นหาจำนวนเฉพาะเหล่านี้มาตลอดหกทศวรรษที่ผ่านมา จนถึงปี 1952 จำนวนเฉพาะที่รู้จักมากที่สุดคือตัวเลข ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีตัวเลข ในปีเดียวกันนั้น คอมพิวเตอร์คำนวณว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะ และตัวเลขนี้ประกอบด้วยตัวเลข ซึ่งทำให้มีขนาดใหญ่กว่า googol มาก
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา คอมพิวเตอร์ก็ถูกตามล่า และในปัจจุบัน หมายเลข Mersenne ถือเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่มนุษย์รู้จัก ค้นพบในปี พ.ศ. 2551 มีจำนวนเกือบล้านหลัก เป็นตัวเลขที่ทราบมากที่สุดซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าได้ และหากคุณต้องการความช่วยเหลือในการค้นหาหมายเลข Mersenne ที่มากขึ้น คุณ (และคอมพิวเตอร์ของคุณ) สามารถเข้าร่วมการค้นหาได้ที่ http://www.mersenne org /.
ตัวเลขสกิว
สแตนลีย์ สกิวส์
มาดูเลขเด่นกันอีกครั้ง อย่างที่ผมบอกไป พวกมันมีพฤติกรรมผิดขั้นพื้นฐาน ซึ่งหมายความว่าไม่มีทางที่จะคาดเดาได้ว่าจำนวนเฉพาะตัวต่อไปจะเป็นเท่าใด นักคณิตศาสตร์ถูกบังคับให้หันไปใช้การวัดที่น่าอัศจรรย์บางอย่างเพื่อหาวิธีทำนายจำนวนเฉพาะในอนาคต แม้จะคลุมเครือก็ตาม ความพยายามที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดน่าจะเป็นฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ ซึ่งคิดค้นขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 โดยนักคณิตศาสตร์ในตำนาน คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
ผมจะแบ่งคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้ให้คุณ - เรายังมีอะไรอีกมากมายรออยู่ - แต่สาระสำคัญของฟังก์ชันคือ: สำหรับจำนวนเต็มใดๆ คุณสามารถประมาณได้ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนเท่าใดที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ถ้า ฟังก์ชันคาดการณ์ว่าควรมีจำนวนเฉพาะ ควรมีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า และถ้า แสดงว่าต้องเป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า
การจัดเรียงจำนวนเฉพาะนั้นไม่ปกติและเป็นเพียงการประมาณจำนวนจริงของจำนวนเฉพาะเท่านั้น อันที่จริง เรารู้ว่ามีจำนวนเฉพาะน้อยกว่า จำนวนเฉพาะน้อยกว่า และจำนวนเฉพาะน้อยกว่า แน่นอนว่านี่เป็นการประมาณการที่ดีเยี่ยม แต่จะเป็นเพียงการประมาณการเสมอ... และที่เจาะจงกว่านั้นคือการประมาณการจากด้านบน
ในกรณีที่ทราบทั้งหมดจนถึง ฟังก์ชันที่ค้นหาจำนวนเฉพาะจะประเมินค่าสูงเกินไปเล็กน้อยกับจำนวนจริงของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า นักคณิตศาสตร์เคยคิดว่าจะเป็นเช่นนี้ตลอดไป และแน่นอนว่าสิ่งนี้ใช้ได้กับจำนวนมหาศาลอย่างเหลือเชื่อ แต่ในปี 1914 จอห์น เอเดนเซอร์ ลิตเติลวูด พิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนมหาศาลที่ไม่รู้จักจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชันนี้จะเริ่มสร้างจำนวนเฉพาะน้อยลง จากนั้นจะสลับระหว่างค่าประมาณด้านบนและค่าประมาณด้านล่างเป็นจำนวนไม่จำกัด
การตามล่าเป็นจุดเริ่มต้นของการแข่งขัน และจากนั้น Stanley Skewes ก็ปรากฏตัวขึ้น (ดูรูป) ในปีพ.ศ. 2476 เขาพิสูจน์ว่าขีดจำกัดบนเมื่อฟังก์ชันประมาณจำนวนเฉพาะจะสร้างค่าที่น้อยกว่าได้ก่อนคือตัวเลข เป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจอย่างแท้จริงแม้ในแง่นามธรรมที่สุดว่าตัวเลขนี้แสดงถึงอะไร และจากมุมมองนี้ ตัวเลขดังกล่าวเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา นักคณิตศาสตร์สามารถลดขอบเขตบนให้เหลือจำนวนที่ค่อนข้างน้อยได้ แต่จำนวนเดิมยังคงเรียกว่าหมายเลข Skewes
แล้วจำนวนคนแคระแม้แต่ googolplex อันยิ่งใหญ่นั้นใหญ่แค่ไหน? ใน The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers David Wells พูดถึงวิธีหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ Hardy สามารถกำหนดแนวคิดเกี่ยวกับขนาดของตัวเลข Skuse ได้:
“ฮาร์ดีคิดว่ามันเป็น “ตัวเลขที่มากที่สุดเท่าที่เคยมีมาเพื่อจุดประสงค์เฉพาะใดๆ ในวิชาคณิตศาสตร์” และแนะนำว่าหากเล่นเกมหมากรุกโดยให้อนุภาคทั้งหมดของจักรวาลเป็นชิ้นๆ การเคลื่อนไหวหนึ่งครั้งจะประกอบด้วยการสลับอนุภาคสองตัว และ เกมจะหยุดเมื่อตำแหน่งเดิมซ้ำเป็นครั้งที่สาม จากนั้นจำนวนเกมที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวน Skuse โดยประมาณ
สิ่งสุดท้ายก่อนที่เราจะไปต่อ: เราได้พูดถึงตัวเลข Skewes ที่เล็กกว่าสองตัวแล้ว มีหมายเลข Skuse อีกหมายเลขหนึ่ง ซึ่งนักคณิตศาสตร์ค้นพบในปี 1955 จำนวนแรกได้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสิ่งที่เรียกว่าสมมติฐานรีมันน์เป็นจริง ซึ่งเป็นสมมติฐานที่ยากเป็นพิเศษในวิชาคณิตศาสตร์ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ และมีประโยชน์มากเมื่อพูดถึงจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม หากสมมติฐานของรีมันน์เป็นเท็จ Skuse พบว่าจุดเริ่มต้นของการกระโดดเพิ่มขึ้นเป็น
ปัญหาขนาด
ก่อนที่เราจะไปถึงตัวเลขที่ทำให้แม้แต่ตัวเลข Skewes ดูเล็ก เราต้องคุยกันเรื่องมาตราส่วนสักหน่อย เพราะไม่เช่นนั้น เราจะไม่มีทางประเมินได้ว่าเรากำลังจะไปที่ไหน ก่อนอื่น เรามาพิจารณาตัวเลขกันก่อน มันเป็นตัวเลขเล็กๆ น้อยๆ มากจนผู้คนสามารถเข้าใจความหมายได้โดยสัญชาตญาณ มีตัวเลขน้อยมากที่ตรงกับคำอธิบายนี้ เนื่องจากตัวเลขที่มากกว่า 6 จะไม่แยกจากกันและกลายเป็น "หลาย" "หลาย" ฯลฯ
ทีนี้มาใช้เวลากัน นั่นคือ - แม้ว่าจริงๆ แล้วเราไม่สามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ เช่นเดียวกับที่เราทำกับจำนวน แต่เข้าใจว่ามันคืออะไร มันง่ายมากที่จะจินตนาการว่ามันคืออะไร จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราย้ายไป? นี่เท่ากับ หรือ เราไม่สามารถจินตนาการถึงปริมาณนี้ได้มากนัก เช่นเดียวกับปริมาณที่ใหญ่มากอื่นๆ เราสูญเสียความสามารถในการเข้าใจแต่ละส่วนประมาณล้านส่วน (ยอมรับว่าอาจใช้เวลานานมากในการนับสิ่งใดๆ ให้เป็นล้านสิ่งจริงๆ แต่ประเด็นก็คือเรายังคงสามารถรับรู้จำนวนนั้นได้)
อย่างไรก็ตาม แม้ว่าเราจะจินตนาการไม่ออก แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจในแง่ทั่วไปว่า 7,600 พันล้านดอลลาร์คืออะไร บางทีโดยการเปรียบเทียบกับ GDP ของสหรัฐฯ เราได้ย้ายจากสัญชาตญาณไปสู่การเป็นตัวแทนไปสู่ความเข้าใจที่เรียบง่าย แต่อย่างน้อยเราก็ยังคงมีช่องว่างในการทำความเข้าใจว่าตัวเลขคืออะไร นั่นกำลังจะเปลี่ยนไปเมื่อเราขยับอีกขั้นขึ้นบันได
ในการดำเนินการนี้ เราต้องย้ายไปยังสัญลักษณ์ที่ Donald Knuth แนะนำ หรือที่เรียกว่าสัญลักษณ์ลูกศร สัญกรณ์นี้สามารถเขียนเป็น . เมื่อเราไปแล้วเราจะได้ตัวเลขเป็น นี่เท่ากับจำนวนรวมของสามคือ ขณะนี้เราได้เหนือกว่าตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดที่เราได้พูดถึงไปแล้วอย่างแท้จริง ท้ายที่สุดแล้ว แม้แต่ตัวที่ใหญ่ที่สุดก็มีเพียงสามหรือสี่พจน์ในชุดตัวบ่งชี้ ตัวอย่างเช่น แม้แต่หมายเลข super-Skuse ก็ยัง "เท่านั้น" - แม้ว่าทั้งฐานและเลขชี้กำลังจะมีขนาดใหญ่กว่ามาก แต่ก็ยังไม่มีอะไรเลยเมื่อเทียบกับขนาดของหอคอยตัวเลขที่มีสมาชิกนับพันล้านคน .
แน่นอนว่าไม่มีทางที่จะเข้าใจจำนวนมหาศาลเช่นนี้ได้... แต่ถึงกระนั้น กระบวนการที่พวกมันถูกสร้างขึ้นก็ยังสามารถเข้าใจได้ เราไม่สามารถเข้าใจปริมาณที่แท้จริงที่ได้รับจากหอคอยแห่งพลังที่มีแฝดสามพันล้าน แต่โดยพื้นฐานแล้วเราสามารถจินตนาการถึงหอคอยที่มีเงื่อนไขหลายเงื่อนไขได้ และซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ดีจริงๆ จะสามารถจัดเก็บหอคอยดังกล่าวไว้ในหน่วยความจำได้ แม้ว่าจะ ไม่สามารถคำนวณมูลค่าที่แท้จริงได้
สิ่งนี้กำลังกลายเป็นนามธรรมมากขึ้นเรื่อยๆ แต่จะแย่ลงเท่านั้น คุณอาจคิดว่าหอคอยแห่งองศาที่มีความยาวเลขชี้กำลังเท่ากัน (อันที่จริง ในเวอร์ชันก่อนหน้าของโพสต์นี้ ฉันทำผิดข้อนี้จริงๆ) แต่มันง่ายมาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองจินตนาการถึงความสามารถในการคำนวณค่าที่แน่นอนของหอคอยพลังของแฝดสามที่ประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ จากนั้นคุณก็นำค่านั้นมาสร้างหอคอยใหม่ที่มีจำนวนมากในนั้นเท่ากับ... ที่ให้
ทำซ้ำขั้นตอนนี้กับแต่ละหมายเลขถัดไป ( บันทึกเริ่มจากทางขวา) จนกระทั่งคุณทำครั้ง และสุดท้ายคุณก็จะได้ . นี่เป็นตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มาก แต่อย่างน้อยขั้นตอนในการทำให้มันดูเหมือนเข้าใจได้ถ้าคุณทำทุกอย่างช้าๆ เราไม่สามารถเข้าใจตัวเลขหรือจินตนาการถึงขั้นตอนที่ได้รับอีกต่อไป แต่อย่างน้อยเราก็สามารถเข้าใจอัลกอริธึมพื้นฐานได้ในเวลานานพอสมควรเท่านั้น
ทีนี้เรามาเตรียมใจให้ระเบิดจริงๆกันดีกว่า
หมายเลขเกรแฮม (เกรแฮม)
โรนัลด์ เกรแฮม
นี่คือวิธีที่คุณจะได้หมายเลขของ Graham ซึ่งถูกบันทึกลงใน Guinness Book of World Records ว่าเป็นจำนวนที่มากที่สุดเท่าที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการว่ามันใหญ่แค่ไหน และยากพอๆ กันที่จะอธิบายว่ามันคืออะไร โดยพื้นฐานแล้ว หมายเลขของ Graham จะปรากฏขึ้นเมื่อต้องรับมือกับไฮเปอร์คิวบ์ ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตทางทฤษฎีที่มีมากกว่าสามมิติ นักคณิตศาสตร์ Ronald Graham (ดูรูป) ต้องการทราบว่าคุณสมบัติบางอย่างของไฮเปอร์คิวบ์จะมีขนาดน้อยที่สุดเท่าใดจึงจะคงตัวได้ (ขออภัยสำหรับคำอธิบายที่คลุมเครือ แต่ฉันแน่ใจว่าเราทุกคนจำเป็นต้องได้รับปริญญาทางคณิตศาสตร์อย่างน้อยสององศาเพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้น)
ไม่ว่าในกรณีใด ตัวเลขเกรแฮมจะเป็นค่าประมาณด้านบนของจำนวนมิติขั้นต่ำนี้ แล้วขอบบนนี่ใหญ่แค่ไหน? กลับไปที่ตัวเลขกันเถอะ มากจนเราสามารถเข้าใจอัลกอริธึมในการรับมันได้อย่างคลุมเครือเท่านั้น ตอนนี้ แทนที่จะกระโดดขึ้นไปอีกระดับหนึ่งเป็น เราจะนับจำนวนที่มีลูกศรอยู่ระหว่างสามตัวแรกและตัวสุดท้าย ตอนนี้เราอยู่ไกลเกินความเข้าใจแม้แต่น้อยว่าตัวเลขนี้คืออะไร หรือแม้แต่สิ่งที่เราต้องทำเพื่อคำนวณมัน
ตอนนี้เรามาทำซ้ำขั้นตอนนี้อีกครั้งหนึ่ง ( บันทึกในแต่ละขั้นตอนถัดไปเราจะเขียนจำนวนลูกศรเท่ากับจำนวนที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า)
ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ นี่คือตัวเลขของเกรแฮม ซึ่งเป็นลำดับความสำคัญที่สูงกว่าความเข้าใจของมนุษย์ มันคือจำนวนที่มากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณสามารถจินตนาการได้—มันมากกว่าค่าอนันต์ใดๆ ที่คุณเคยหวังที่จะจินตนาการ—มันท้าทายแม้แต่คำอธิบายที่เป็นนามธรรมที่สุด
แต่นี่คือสิ่งที่แปลก เนื่องจากโดยพื้นฐานแล้วเลขเกรแฮมเป็นเพียงแฝดสามคูณกัน เราจึงทราบคุณสมบัติบางอย่างของมันโดยไม่ต้องคำนวณจริงๆ เราไม่สามารถแสดงเลขเกรแฮมโดยใช้สัญกรณ์ที่คุ้นเคยได้ แม้ว่าเราจะใช้จักรวาลทั้งหมดเขียนลงไปก็ตาม แต่ฉันสามารถบอกคุณได้ว่าเลขสิบสองหลักสุดท้ายของเลขเกรแฮมในตอนนี้: และนั่นไม่ใช่ทั้งหมด อย่างน้อยเราก็รู้เลขหลักสุดท้ายของเลขเกรแฮม
แน่นอนว่า ควรจำไว้ว่าตัวเลขนี้เป็นเพียงขอบเขตบนของปัญหาเดิมของเกรแฮม ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จำนวนการวัดจริงที่จำเป็นเพื่อให้ได้คุณสมบัติที่ต้องการนั้นน้อยกว่ามาก ตามข้อมูลของผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ในสาขานี้ เชื่อกันมาตั้งแต่ปี 1980 ว่าแท้จริงแล้วมีเพียงหกมิติ ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยมากจนเราสามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ ขอบเขตล่างถูกยกขึ้นเป็น แต่ยังคงมีโอกาสที่ดีที่วิธีแก้ปัญหาของเกรแฮมไม่ได้อยู่ใกล้ตัวเลขที่มีขนาดใหญ่เท่ากับจำนวนของเกรแฮม
ไปสู่ความไม่มีที่สิ้นสุด
แล้วมีจำนวนมากกว่าเลขของเกรแฮมหรือเปล่า? แน่นอนว่าสำหรับผู้เริ่มต้น จะต้องมีหมายเลขเกรแฮมด้วย สำหรับจำนวนนัยสำคัญ... ก็มีบางสาขาคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนอย่างร้ายกาจ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งพื้นที่ที่เรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์) และวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งมีตัวเลขมากกว่าจำนวนเกรแฮมเกิดขึ้นด้วยซ้ำ แต่เราเกือบจะถึงขีดจำกัดของสิ่งที่ฉันหวังว่าจะได้รับการอธิบายอย่างมีเหตุผลแล้ว สำหรับผู้ที่โง่เขลาพอที่จะไปไกลกว่านี้ แนะนำให้อ่านเพิ่มเติมโดยยอมรับความเสี่ยงเอง
ตอนนี้เป็นคำพูดที่น่าทึ่งซึ่งมาจาก Douglas Ray ( บันทึกจริงๆ แล้วฟังดูตลกดี:
“ฉันเห็นกลุ่มตัวเลขคลุมเครือที่ซ่อนอยู่ในความมืด ด้านหลังจุดเล็กๆ แห่งแสงสว่างที่เทียนแห่งเหตุผลให้ไว้ พวกเขากระซิบกัน สมรู้ร่วมคิดเกี่ยวกับใครจะรู้อะไร บางทีพวกเขาอาจไม่ชอบเรามากนักที่นึกถึงน้องชายคนเล็กของพวกเขาในใจเรา หรือบางทีพวกเขาก็แค่ใช้ชีวิตหลักเดียว นอกนั้น เกินกว่าความเข้าใจของเรา
ตอนเป็นเด็ก ฉันรู้สึกทรมานกับคำถามที่ว่ามีจำนวนมากที่สุดเท่าไหร่ และฉันก็ทรมานเกือบทุกคนด้วยคำถามโง่ๆ นี้ เมื่อเรียนรู้จำนวนหนึ่งล้านแล้ว จึงถามว่ามีจำนวนมากกว่าล้านหรือไม่ พันล้าน? เกินพันล้านแล้วไง? ล้านล้าน? เกินล้านล้านแล้วไง? ในที่สุด มีคนฉลาดคนหนึ่งอธิบายให้ฉันฟังว่าคำถามนี้โง่ เนื่องจากแค่บวกหนึ่งเข้ากับจำนวนที่มากที่สุดก็เพียงพอแล้ว และปรากฎว่ามันไม่เคยเป็นคำถามที่ใหญ่ที่สุดเลย เนื่องจากมีจำนวนมากกว่านั้นด้วยซ้ำ
หลายปีต่อมา ฉันตัดสินใจถามตัวเองอีกคำถามหนึ่ง กล่าวคือ หมายเลขที่ใหญ่ที่สุดที่มีชื่อของตัวเองคืออะไร?โชคดีที่ขณะนี้มีอินเทอร์เน็ตและคุณสามารถไขปริศนาเครื่องมือค้นหาผู้ป่วยได้ซึ่งจะไม่เรียกคำถามของฉันว่างี่เง่า ;-) จริงๆ แล้วนั่นคือสิ่งที่ฉันทำ และนี่คือสิ่งที่ฉันค้นพบในภายหลัง
ตัวเลข | ชื่อละติน | คำนำหน้าภาษารัสเซีย |
1 | ผิดปกติ | หนึ่ง- |
2 | คู่หู | ดูโอ้- |
3 | สาม | สาม- |
4 | สี่ | รูปสี่เหลี่ยม- |
5 | ควินเก้ | ควินติ- |
6 | เพศ | เซ็กซี่ |
7 | กันยายน | Septi- |
8 | ต.ค | แปด |
9 | โนเวม | โนนิ- |
10 | ธันวาคม | ตัดสินใจ |
การตั้งชื่อตัวเลขมีสองระบบ - อเมริกันและอังกฤษ
ระบบอเมริกันถูกสร้างขึ้นค่อนข้างเรียบง่าย ชื่อจำนวนมากทั้งหมดถูกสร้างขึ้นดังนี้: ที่จุดเริ่มต้นจะมีเลขลำดับละตินและในตอนท้ายจะมีการเพิ่มส่วนต่อท้าย -million ยกเว้นชื่อ “ล้าน” ซึ่งเป็นชื่อหลักพัน (lat. มิลล์) และส่วนต่อท้ายแบบขยาย -illion (ดูตาราง) นี่คือวิธีที่เราได้ตัวเลข ล้านล้าน, สี่ล้านล้าน, ควินล้านล้าน, เซ็กส์ทิลเลียน, เซทิลเลียน, ออคทิลเลียน, โนล้านล้าน และเดซิล้าน ระบบอเมริกันใช้ในสหรัฐอเมริกา แคนาดา ฝรั่งเศส และรัสเซีย คุณสามารถค้นหาจำนวนศูนย์ในตัวเลขที่เขียนในระบบอเมริกันโดยใช้สูตรง่ายๆ 3 x + 3 (โดยที่ x คือเลขละติน)
ระบบการตั้งชื่อภาษาอังกฤษเป็นระบบที่ใช้กันมากที่สุดในโลก ตัวอย่างเช่น มีการใช้ในสหราชอาณาจักรและสเปน รวมถึงในอดีตอาณานิคมของอังกฤษและสเปนส่วนใหญ่ ชื่อของตัวเลขในระบบนี้ถูกสร้างขึ้นดังนี้: เช่นนี้: เพิ่มส่วนต่อท้าย -million เข้ากับเลขละติน, หมายเลขถัดไป (ใหญ่กว่า 1,000 เท่า) ถูกสร้างขึ้นตามหลักการ - เลขละตินเดียวกัน แต่ส่วนต่อท้าย - พันล้าน. นั่นคือ หลังจากหนึ่งล้านล้านในระบบอังกฤษ จะมีหนึ่งล้านล้าน และตามด้วยสี่ล้านล้านเท่านั้น ตามด้วยสี่ล้านล้าน เป็นต้น ดังนั้น สี่ล้านล้านตามระบบอังกฤษและอเมริกันจึงเป็นตัวเลขที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง! คุณสามารถค้นหาจำนวนศูนย์ในตัวเลขที่เขียนตามระบบภาษาอังกฤษและลงท้ายด้วยคำต่อท้าย - ล้าน โดยใช้สูตร 6 x + 3 (โดยที่ x เป็นเลขละติน) และใช้สูตร 6 x + 6 สำหรับตัวเลข ลงท้ายด้วย - พันล้าน
มีเพียงจำนวนพันล้าน (10 9) เท่านั้นที่ส่งผ่านจากระบบภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซียซึ่งยังคงถูกต้องมากกว่าที่จะเรียกว่าอย่างที่คนอเมริกันเรียกว่า - พันล้านเนื่องจากเราได้นำระบบอเมริกันมาใช้ แต่ใครในประเทศเราทำอะไรตามกฎ! ;-) อย่างไรก็ตาม บางครั้งมีการใช้คำว่าล้านล้านในภาษารัสเซีย (คุณสามารถดูสิ่งนี้ด้วยตัวคุณเองโดยทำการค้นหาใน Googleหรือยานเดกซ์) และมันหมายถึง 1,000 ล้านล้านอย่างชัดเจนนั่นคือ สี่ล้านล้าน
นอกจากตัวเลขที่เขียนโดยใช้คำนำหน้าภาษาละตินตามระบบอเมริกันหรืออังกฤษแล้ว ยังรู้จักสิ่งที่เรียกว่าตัวเลขที่ไม่ใช่ระบบอีกด้วย เช่น ตัวเลขที่มีชื่อเป็นของตัวเองโดยไม่มีคำนำหน้าภาษาละติน มีตัวเลขดังกล่าวอยู่หลายตัว แต่ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติมเกี่ยวกับพวกเขาในภายหลัง
กลับไปเขียนโดยใช้เลขละตินกันดีกว่า ดูเหมือนว่าพวกเขาสามารถเขียนตัวเลขจนถึงอนันต์ได้ แต่นี่ไม่เป็นความจริงทั้งหมด ตอนนี้ฉันจะอธิบายว่าทำไม ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 33 เรียกว่าอะไร:
ชื่อ | ตัวเลข |
หน่วย | 10 0 |
สิบ | 10 1 |
หนึ่งร้อย | 10 2 |
พัน | 10 3 |
ล้าน | 10 6 |
พันล้าน | 10 9 |
ล้านล้าน | 10 12 |
สี่ล้านล้าน | 10 15 |
ควินทิลเลียน | 10 18 |
เซ็กส์ทิลเลี่ยน | 10 21 |
เซทิลเลียน | 10 24 |
แปดล้าน | 10 27 |
ควินทิลเลียน | 10 30 |
ล้านล้าน | 10 33 |
และตอนนี้คำถามก็เกิดขึ้น อะไรต่อไป อะไรอยู่เบื้องหลังล้าน? โดยหลักการแล้ว แน่นอนว่าเป็นไปได้โดยการรวมคำนำหน้าเข้าด้วยกันเพื่อสร้างสัตว์ประหลาดเช่น: แอนเดซิล้าน, ดูโอเดซิลเลียน, เทรเดซิลเลียน, ควอทอร์เดซิล้าน, ควินเดซิล้าน, เซ็กส์เดซิล้าน, เซปเทมเดซิล้าน, ออคโตเดซิล้าน และโนเวมเดซิลเลียน แต่สิ่งเหล่านี้จะเป็นชื่อผสมอยู่แล้ว และเราก็ สนใจเลขชื่อเราเอง ดังนั้นตามระบบนี้ นอกเหนือจากที่ระบุไว้ข้างต้น คุณยังสามารถได้รับชื่อที่ถูกต้องเพียงสามชื่อเท่านั้น - vigintillion (จาก Lat. viginti- ยี่สิบ) ร้อยล้าน (จาก lat. เซ็นตัม- หนึ่งร้อย) และล้าน (จาก lat. มิลล์- พัน) ชาวโรมันไม่มีชื่อที่ถูกต้องสำหรับตัวเลขมากกว่าหนึ่งพันชื่อ (ตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่าหนึ่งพันนั้นเป็นจำนวนประกอบ) เช่น ชาวโรมันเรียกเงินล้าน (1,000,000) เดซีส เซนเทนา มิเลียคือ "หนึ่งแสน" และตอนนี้จริง ๆ แล้วตาราง:
ดังนั้น ตามระบบดังกล่าว จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะได้ตัวเลขที่มากกว่า 10 3003 ซึ่งจะมีชื่อของตัวเองที่ไม่ใช่ชื่อประสม! แต่ถึงกระนั้นก็ทราบตัวเลขที่มากกว่าหนึ่งล้านซึ่งเป็นตัวเลขที่ไม่เป็นระบบเหมือนกัน ในที่สุดเรามาพูดถึงพวกเขากัน
ชื่อ | ตัวเลข |
มากมาย | 10 4 |
10 100 | |
อสงขลา | 10 140 |
กูเกิลเพล็กซ์ | 10 10 100 |
หมายเลข Skewes ที่สอง | 10 10 10 1000 |
เมก้า | 2 (ในรูปแบบโมเซอร์) |
เมจิสตัน | 10 (ในรูปแบบโมเซอร์) |
โมเซอร์ | 2 (ในรูปแบบโมเซอร์) |
หมายเลขเกรแฮม | G 63 (ในรูปแบบเกรแฮม) |
สตาเพล็กซ์ | G 100 (ในรูปแบบเกรแฮม) |
จำนวนที่น้อยที่สุดคือ มากมาย(มีอยู่ในพจนานุกรมของ Dahl ด้วยซ้ำ) ซึ่งหมายถึงหนึ่งร้อยร้อยนั่นคือ 10,000 คำนี้ล้าสมัยและไม่ได้ใช้จริง แต่เป็นที่น่าสงสัยว่าคำว่า "มากมาย" ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายซึ่งไม่ได้หมายความว่า เป็นจำนวนเฉพาะแต่มีมากมายนับไม่ถ้วนนับไม่ถ้วน เชื่อกันว่าคำว่ามากมายเข้ามาในภาษายุโรปตั้งแต่สมัยอียิปต์โบราณ
Google(จากภาษาอังกฤษ googol) คือเลขสิบถึงกำลังร้อย กล่าวคือ หนึ่งตามด้วยศูนย์หนึ่งร้อย “googol” เขียนครั้งแรกในปี 1938 ในบทความ “ชื่อใหม่ในคณิตศาสตร์” ในวารสาร Scripta Mathematica ฉบับเดือนมกราคม โดย Edward Kasner นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ตามที่เขาพูด Milton Sirotta หลานชายวัย 9 ขวบของเขาแนะนำให้เรียกคนจำนวนมากว่า "googol" หมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักโดยทั่วไปเนื่องจากเครื่องมือค้นหาที่ตั้งชื่อตามหมายเลขนี้ Google- โปรดทราบว่า "Google" คือชื่อแบรนด์ และ googol คือตัวเลข
ในตำราทางพุทธศาสนาอันโด่งดัง Jaina Sutra ซึ่งมีอายุย้อนกลับไปได้ถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล มีตัวเลขดังกล่าวปรากฏขึ้น อสงไขย(จากจีน อาเซนซี- นับไม่ได้) เท่ากับ 10 140 เชื่อกันว่าจำนวนนี้เท่ากับจำนวนรอบจักรวาลที่ต้องใช้เพื่อบรรลุนิพพาน
กูเกิลเพล็กซ์(ภาษาอังกฤษ) กูเกิลเพล็กซ์) - ตัวเลขที่ Kasner และหลานชายประดิษฐ์ขึ้นและหมายถึงตัวเลขที่มี googol เป็นศูนย์นั่นคือ 10 10 100 นี่คือวิธีที่ Kasner อธิบาย "การค้นพบ" นี้:
เด็กๆ พูดถ้อยคำแห่งปัญญาอย่างน้อยบ่อยเท่ากับที่นักวิทยาศาสตร์ ชื่อ "googol" ถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยเด็กคนหนึ่ง (หลานชายวัย 9 ขวบของดร.แคสเนอร์) ที่ถูกขอให้คิดชื่อให้กับตัวเลขจำนวนมหาศาล นั่นก็คือ 1 โดยมีศูนย์เป็นร้อยตามหลัง เขามั่นใจมากเช่นนั้น จำนวนนี้ไม่ใช่จำนวนอนันต์ และแน่นอนว่าต้องมีชื่อด้วย ขณะเดียวกันเขาก็เสนอชื่อ "googol" เขาก็ตั้งชื่อให้จำนวนที่มากกว่านั้นว่า "googolplex มีขนาดใหญ่กว่า googol มาก" แต่ยังคงมีจำกัด เนื่องจากผู้ประดิษฐ์ชื่อนี้ได้ชี้ให้เห็นอย่างรวดเร็ว
คณิตศาสตร์และจินตนาการ(1940) โดย Kasner และ James R. Newman
Skewes เป็นผู้เสนอตัวเลขที่ใหญ่กว่า googolplex ในปี 1933 เจ. ลอนดอนคณิตศาสตร์ สังคมสงเคราะห์ 8 , 277-283, 1933.) ในการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ มันหมายถึง จในระดับหนึ่ง จในระดับหนึ่ง จยกกำลัง 79 คือ e e e 79 ต่อมา เต เรียลเล เอช.เจ.เจ. "บนสัญลักษณ์แห่งความแตกต่าง" ป(x)-หลี่(x)" คณิตศาสตร์. คอมพิวเตอร์ 48 , 323-328, 1987) ลดจำนวน Skuse ลงเหลือ e e 27/4 ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 8.185 10 370 เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจากค่าของหมายเลข Skuse ขึ้นอยู่กับตัวเลข จถ้าอย่างนั้น มันก็ไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นเราจะไม่พิจารณามัน ไม่เช่นนั้นเราจะต้องจำจำนวนที่ไม่เป็นธรรมชาติอื่นๆ เช่น ไพ, อี, เลขอาโวกาโดร เป็นต้น
แต่ควรสังเกตว่ามีหมายเลข Skuse ที่สองซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า Sk 2 ซึ่งมากกว่าหมายเลข Skuse แรก (Sk 1) หมายเลข Skewes ที่สองได้รับการแนะนำโดย J. Skuse ในบทความเดียวกันเพื่อแสดงถึงจำนวนที่สมมติฐานของรีมันน์ใช้ได้ Sk 2 เท่ากับ 10 10 10 10 3 นั่นคือ 10 10 10 1,000
ดังที่คุณเข้าใจ ยิ่งมีองศามากเท่าไรก็ยิ่งยากที่จะเข้าใจว่าจำนวนใดจะมากกว่ากัน ตัวอย่างเช่น เมื่อดูตัวเลข Skewes โดยไม่มีการคำนวณพิเศษ แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเข้าใจว่าตัวเลขใดในสองตัวนี้ใหญ่กว่า ดังนั้นสำหรับตัวเลขที่มากเป็นพิเศษ การใช้พลังจึงไม่สะดวก ยิ่งกว่านั้นคุณสามารถสร้างตัวเลขดังกล่าวได้ (และได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นแล้ว) เมื่อระดับองศาไม่พอดีกับหน้า ใช่แล้ว นั่นมันหน้าเพจ! มันไม่เหมาะกับหนังสือขนาดเท่าจักรวาลเลยด้วยซ้ำ! ในกรณีนี้ คำถามเกิดขึ้นว่าจะเขียนอย่างไร ตามที่คุณเข้าใจ ปัญหานั้นสามารถแก้ไขได้ และนักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาหลักการหลายประการในการเขียนตัวเลขดังกล่าว จริงอยู่ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่สงสัยเกี่ยวกับปัญหานี้มีวิธีการเขียนของตัวเองซึ่งนำไปสู่การมีวิธีการเขียนตัวเลขหลายวิธีที่ไม่เกี่ยวข้องกัน - นี่คือสัญลักษณ์ของ Knuth, Conway, Steinhouse เป็นต้น
พิจารณาสัญกรณ์ของ Hugo Stenhouse (H. Steinhaus. สแน็ปช็อตทางคณิตศาสตร์, ฉบับที่ 3 2526) ซึ่งค่อนข้างเรียบง่าย Stein House แนะนำให้เขียนตัวเลขจำนวนมากภายในรูปทรงเรขาคณิต - สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และวงกลม:
Steinhouse มีตัวเลขขนาดใหญ่พิเศษสองตัวขึ้นมาใหม่ เขาตั้งชื่อหมายเลข - เมก้าและหมายเลขนั้นก็คือ เมจิสตัน.
นักคณิตศาสตร์ ลีโอ โมเซอร์ ปรับปรุงสัญกรณ์ของสเตนเฮาส์ ซึ่งถูกจำกัดด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าหากจำเป็นต้องเขียนตัวเลขที่ใหญ่กว่าเมจิสตันมาก ปัญหาและความไม่สะดวกก็เกิดขึ้น เนื่องจากต้องวาดวงกลมหลายวงให้อยู่ข้างในอีกวงหนึ่ง โมเซอร์แนะนำว่าหลังจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว อย่าวาดวงกลม แต่วาดเป็นรูปห้าเหลี่ยม จากนั้นก็เป็นรูปหกเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้เขายังเสนอสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เพื่อให้สามารถเขียนตัวเลขได้โดยไม่ต้องวาดภาพที่ซับซ้อน สัญกรณ์โมเซอร์มีลักษณะดังนี้:
ดังนั้นตามสัญกรณ์ของโมเซอร์ เมกะของสไตน์เฮาส์จึงเขียนเป็น 2 และเมจิสตันเป็น 10 นอกจากนี้ ลีโอ โมเซอร์เสนอให้เรียกรูปหลายเหลี่ยมโดยมีจำนวนด้านเท่ากับเมกะ - เมกะกอน และเขาเสนอหมายเลข "2 ในเมกะกอน" นั่นคือ 2 หมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อหมายเลขของโมเซอร์หรือเรียกง่ายๆว่า โมเซอร์.
แต่โมเซอร์ไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด จำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือขีดจำกัดที่เรียกว่า หมายเลขเกรแฮม(เลขเกรแฮม) ใช้ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2520 ในการพิสูจน์การประมาณค่าหนึ่งครั้งในทฤษฎีแรมซีย์ มันเกี่ยวข้องกับไฮเปอร์คิวบ์แบบสองสี และไม่สามารถแสดงได้หากไม่มีระบบพิเศษ 64 ระดับของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์พิเศษที่นุธนำมาใช้ในปี พ.ศ. 2519
น่าเสียดายที่ตัวเลขที่เขียนด้วยสัญกรณ์ของ Knuth ไม่สามารถแปลงเป็นสัญกรณ์ในระบบโมเซอร์ได้ เราจึงต้องอธิบายระบบนี้ด้วย โดยหลักการแล้วก็ไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน Donald Knuth (ใช่ ใช่ นี่คือ Knuth คนเดียวกับที่เขียน “The Art of Programming” และสร้างโปรแกรมแก้ไข TeX) เกิดแนวคิดเรื่องมหาอำนาจซึ่งเขาเสนอให้เขียนโดยมีลูกศรชี้ขึ้น:
โดยทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้:
ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนแล้ว กลับไปที่หมายเลขของเกรแฮมกันดีกว่า Graham เสนอสิ่งที่เรียกว่า G-number:
เริ่มมีผู้เรียกหมายเลข G 63 แล้ว หมายเลขเกรแฮม(มักเรียกง่ายๆ ว่า G) หมายเลขนี้เป็นหมายเลขที่รู้จักมากที่สุดในโลกและยังได้รับการจดทะเบียนใน Guinness Book of Records อีกด้วย เลขเกรแฮมมากกว่าเลขโมเซอร์
ป.ล.เพื่อที่จะนำผลประโยชน์อันใหญ่หลวงมาสู่มวลมนุษยชาติและมีชื่อเสียงตลอดหลายศตวรรษ ฉันจึงตัดสินใจคิดและตั้งชื่อตัวเลขที่ยิ่งใหญ่ที่สุดด้วยตัวเอง เบอร์นี้จะโทรไป สตาเพล็กซ์และมีค่าเท่ากับเลข G 100 จำไว้ให้ดี และเมื่อลูกของคุณถามว่าอะไรคือตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลก บอกพวกเขาว่าชื่อหมายเลขนี้ สตาเพล็กซ์.
อัปเดต (4.09.2003):ขอบคุณทุกคนสำหรับความคิดเห็นของคุณ ปรากฎว่าฉันทำผิดพลาดหลายประการเมื่อเขียนข้อความ ฉันจะพยายามแก้ไขตอนนี้
- ฉันทำผิดหลายอย่างแค่พูดถึงหมายเลขของ Avogadro ประการแรก หลายๆ คนชี้ให้ฉันเห็นว่า 6.022 10 23 จริงๆ แล้วเป็นจำนวนที่เป็นธรรมชาติที่สุด และประการที่สอง มีความเห็นและดูเหมือนว่าถูกต้องสำหรับฉันว่าจำนวนอโวกาโดรไม่ใช่ตัวเลขเลยในความหมายทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องของคำ เนื่องจากมันขึ้นอยู่กับระบบหน่วย ตอนนี้แสดงเป็น "mol -1" แต่ถ้าแสดงเป็นโมลหรืออย่างอื่นก็จะแสดงเป็นตัวเลขที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง แต่จะไม่หยุดเป็นตัวเลขของ Avogadro เลย
- 10,000 - ความมืด
100,000 - พยุหะ
1,000,000 - ลีโอเดอร์
10,000,000 - กาหรือคอร์วิด
100,000,000 - สำรับ
ที่น่าสนใจคือชาวสลาฟโบราณชอบคนจำนวนมากและสามารถนับได้ถึงพันล้านคน ยิ่งไปกว่านั้น พวกเขาเรียกบัญชีดังกล่าวว่า “บัญชีเล็กๆ” ในต้นฉบับบางฉบับ ผู้เขียนยังถือว่า "มีจำนวนมาก" ถึงจำนวน 10 50 - มีผู้กล่าวไว้เกี่ยวกับตัวเลขที่มากกว่า 10 50: “และยิ่งกว่านี้ จิตใจมนุษย์ไม่สามารถเข้าใจได้”
ชื่อที่ใช้ใน "การนับน้อย" ถูกโอนไปยัง "การนับมาก" แต่มีความหมายแตกต่างออกไป ดังนั้น ความมืดไม่ได้หมายถึง 10,000 อีกต่อไป แต่เป็นล้านกองพัน - ความมืดของสิ่งเหล่านั้น (ล้านล้าน)
leodre - พยุหะแห่งพยุหเสนา (10 ถึงระดับ 24) จากนั้นมีการกล่าวว่า - สิบ leodres หนึ่งร้อย leodres ... และในที่สุดหนึ่งแสนกองพัน leodres เหล่านั้น (10 ถึง 47);
leodr leodrov (10 ใน 48) ถูกเรียกว่าอีกาและในที่สุดก็เป็นสำรับ (10 ใน 49)
หัวข้อชื่อตัวเลขประจำชาติก็ขยายได้ถ้าเราจำระบบการตั้งชื่อตัวเลขของญี่ปุ่นที่เราลืมไปซึ่งต่างจากระบบอังกฤษและอเมริกามาก (ฉันจะไม่วาดอักษรอียิปต์โบราณ ถ้าใครสนใจก็ ):
10 0 - อิจิ
10 1 - จิว
10 2 - เฮียคุ
10 3 - ส
10 4 - ผู้ชาย
10 8 - โอเค
10 12 - ชู
10 16 - เคอิ
10 20 - ไก
10 24 - จโย
10 28 - คุณ
10 32 - คู
10 36 - กาน
10 40 - เซ
10 44 - สาย
10 48 - โกคู
10 52 - กูกัสยา - 10 56 - อาโซกิ 10 60 - นายูตะ 10 64 - ฟุคาชิกิ 10 68 - เมอร์ยูไตซูเกี่ยวกับจำนวน Hugo Steinhaus (ในรัสเซียด้วยเหตุผลบางประการชื่อของเขาจึงแปลว่า Hugo Steinhaus)
- โบเตฟ มากมายหรือมิริโออิ
มีความคิดเห็นที่แตกต่างกันเกี่ยวกับที่มาของตัวเลขนี้ บางคนเชื่อว่ามีต้นกำเนิดในอียิปต์ ในขณะที่บางคนเชื่อว่ามีต้นกำเนิดในกรีกโบราณเท่านั้น อาจเป็นไปได้ว่าในความเป็นจริงแล้ว คนจำนวนมากมายได้รับชื่อเสียงอย่างแม่นยำต้องขอบคุณชาวกรีก มากมายเป็นชื่อของคนหมื่นคน แต่ไม่มีชื่อตัวเลขที่มากกว่าหมื่นคน อย่างไรก็ตาม ในบันทึกของเขา “สมมิต” (นั่นคือ แคลคูลัสของทราย) อาร์คิมิดีสได้แสดงให้เห็นวิธีการสร้างและตั้งชื่อตัวเลขจำนวนมากอย่างเป็นระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อใส่ทรายจำนวน 10,000 เม็ดลงในเมล็ดฝิ่น เขาพบว่าในจักรวาล (ลูกบอลที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางมากมายของโลก) มีเม็ดทรายไม่เกิน 10,63 เม็ดพอดี (ใน สัญกรณ์ของเรา) เป็นที่น่าแปลกใจที่การคำนวณสมัยใหม่ของจำนวนอะตอมในจักรวาลที่มองเห็นได้นำไปสู่หมายเลข 10 67 (รวมมากกว่านั้นอีกนับไม่ถ้วน) อาร์คิมิดีสเสนอชื่อตัวเลขดังต่อไปนี้:
1 มากมาย = 10 4 .
1 di-myriad = จำนวนมากมาย = 10 8 .
1 ไตรหมื่น = ได-หมื่น ได-หมื่น = 10 16 .
1 เตตระ-หมื่น = สามหมื่น สามหมื่น = 10 32 .
ฯลฯ
หากคุณมีความคิดเห็นใด ๆ -
บางครั้งคนที่ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ก็สงสัยว่า: จำนวนที่มากที่สุดคืออะไร? ในด้านหนึ่ง คำตอบนั้นชัดเจน - อนันต์ บอเรสจะชี้แจงด้วยว่านักคณิตศาสตร์ใช้ "บวกอนันต์" หรือ "+∞" แต่คำตอบนี้จะไม่โน้มน้าวให้คำตอบที่มีฤทธิ์กัดกร่อนมากที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนี่ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แต่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ แต่เมื่อเข้าใจปัญหาดีแล้ว พวกเขาก็สามารถค้นพบปัญหาที่น่าสนใจมากได้
อันที่จริงไม่มีการจำกัดขนาดในกรณีนี้ แต่จินตนาการของมนุษย์ก็มีขีดจำกัด แต่ละหมายเลขมีชื่อ: สิบ หนึ่งร้อย พันล้าน เจ็ดล้าน และอื่นๆ แต่จินตนาการของผู้คนจะจบลงที่ไหน?
อย่าสับสนกับเครื่องหมายการค้าของ Google Corporation แม้ว่าจะมีต้นกำเนิดร่วมกันก็ตาม ตัวเลขนี้เขียนเป็น 10100 นั่นคือ 1 ตามด้วยศูนย์ 100 ตัว เป็นการยากที่จะจินตนาการ แต่มีการใช้อย่างแข็งขันในวิชาคณิตศาสตร์
เป็นเรื่องตลกที่เด็กประดิษฐ์ขึ้น - หลานชายของนักคณิตศาสตร์ Edward Kasner ในปี 1938 ลุงของฉันให้ความบันเทิงแก่ญาติที่อายุน้อยกว่าด้วยการพูดคุยเกี่ยวกับคนจำนวนมาก สำหรับความขุ่นเคืองของเด็กปรากฎว่าตัวเลขที่ยอดเยี่ยมเช่นนี้ไม่มีชื่อและเขาก็ให้เวอร์ชั่นของเขาเอง ต่อมาลุงของฉันใส่มันลงในหนังสือของเขาเล่มหนึ่งและคำนี้ติดอยู่
สำหรับชื่อของบริษัท Google มีข้อผิดพลาดทั่วไปเกิดขึ้นที่นี่ นักลงทุนรายแรกและผู้ร่วมก่อตั้งคนหนึ่งรีบเขียนเช็คและพลาดตัวอักษร "O" แต่เพื่อที่จะขึ้นเงิน บริษัทจะต้องลงทะเบียนด้วยการสะกดคำนี้โดยเฉพาะ
กูเกิลเพล็กซ์
จำนวนนี้เป็นอนุพันธ์ของ googol แต่มากกว่าจำนวนนั้นมาก คำนำหน้า “เพล็กซ์” หมายถึงการยกกำลัง 10 ให้เท่ากับเลขฐาน ดังนั้น กูโลเพล็กซ์จึงเป็น 10 ยกกำลัง 10 ยกกำลัง 100 หรือ 101000
จำนวนผลลัพธ์ที่ได้เกินจำนวนอนุภาคในเอกภพที่สังเกตได้ ซึ่งประมาณว่าอยู่ที่ประมาณ 1,080 องศา แต่สิ่งนี้ไม่ได้หยุดนักวิทยาศาสตร์จากการเพิ่มจำนวนเพียงเพิ่มคำนำหน้า "plex" เข้าไป: googolplexplex, googolplexplex เป็นต้น และสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ในทางที่ผิดโดยเฉพาะพวกเขาคิดค้นรูปแบบการขยายโดยไม่ต้องเติมคำนำหน้า "เพล็กซ์" ซ้ำอย่างไม่สิ้นสุด - พวกเขาเพียงแค่ใส่ตัวเลขกรีกไว้ข้างหน้า: เตตร้า (สี่), เพนตา (ห้า) และอื่น ๆ จนถึงเดคา ( สิบ). ตัวเลือกสุดท้ายดูเหมือน googoldecaplex และหมายถึงการทำซ้ำสะสมสิบเท่าของขั้นตอนการยกหมายเลข 10 ให้เป็นกำลังของฐาน สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจินตนาการถึงผลลัพธ์ คุณยังไม่สามารถตระหนักได้ แต่เป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับบาดเจ็บทางจิตใจ
หมายเลขเมอร์เซนที่ 48
ตัวละครหลัก: คูเปอร์ คอมพิวเตอร์ของเขา และหมายเลขเฉพาะใหม่
เมื่อไม่นานมานี้ ประมาณหนึ่งปีที่แล้ว เราสามารถค้นพบหมายเลขเมอร์เซนลำดับที่ 48 ถัดไปได้ ปัจจุบันเป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดในโลก ขอให้เราจำไว้ว่าจำนวนเฉพาะคือจำนวนที่หารลงตัวโดยไม่มีเศษเพียงตัวเดียวและตัวมันเอง ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ 3, 5, 7, 11, 13, 17 และอื่นๆ ปัญหาก็คือ ยิ่งเข้าไปในป่ามากเท่าไหร่ ตัวเลขดังกล่าวก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น แต่สิ่งที่มีค่ามากกว่าคือการค้นพบสิ่งต่อไป เช่น จำนวนเฉพาะใหม่ประกอบด้วย 17,425,170 หลัก หากแสดงอยู่ในระบบเลขทศนิยมที่เราคุ้นเคย ก่อนหน้านี้มีอักขระประมาณ 12 ล้านตัว
มันถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เคอร์ติส คูเปอร์ ซึ่งสร้างความพึงพอใจให้กับชุมชนนักคณิตศาสตร์ด้วยสถิติที่คล้ายกันเป็นครั้งที่สาม คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลของเขาใช้เวลา 39 วันในการตรวจสอบผลลัพธ์และพิสูจน์ว่าตัวเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะจริงๆ
นี่คือลักษณะของเลข Graham ในรูปแบบลูกศร Knuth เป็นการยากที่จะบอกว่าจะถอดรหัสสิ่งนี้ได้อย่างไรโดยไม่ต้องสำเร็จการศึกษาระดับสูงในวิชาคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎี เป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนมันลงในรูปแบบทศนิยมตามปกติของเรา: จักรวาลที่สังเกตได้ไม่สามารถรองรับมันได้ การสร้างทีละระดับ เช่นเดียวกับกรณีของ googolplexes ก็ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเช่นกัน
สูตรดีแต่ไม่ชัดเจน
แล้วทำไมเราถึงต้องการตัวเลขที่ดูเหมือนไร้ประโยชน์นี้? ประการแรก สำหรับผู้ที่อยากรู้อยากเห็น มันถูกบันทึกไว้ใน Guinness Book of Records และนี่ก็เป็นจำนวนมากแล้ว ประการที่สอง มันถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาที่รวมอยู่ในปัญหาแรมซีย์ ซึ่งยังไม่ชัดเจนเช่นกัน แต่ฟังดูจริงจัง ประการที่สาม หมายเลขนี้ได้รับการยอมรับว่าเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่เคยมีมาในวิชาคณิตศาสตร์ และไม่ใช่ในการพิสูจน์การ์ตูนหรือเกมทางปัญญา แต่ใช้เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงมาก
ความสนใจ! ข้อมูลต่อไปนี้เป็นอันตรายต่อสุขภาพจิตของคุณ! การอ่านคุณต้องรับผิดชอบต่อผลที่ตามมาทั้งหมด!
สำหรับใครที่อยากทดสอบจิตใจและนั่งสมาธิเลขเกรแฮม เราก็ลองอธิบายได้นะ (แต่ลองเท่านั้น)
ลองนึกภาพ 33 ง่ายมาก ปรากฎว่า 3*3*3=27 จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มสามเป็นจำนวนนี้? ผลลัพธ์คือ 3 3 ยกกำลัง 3 หรือ 3 27 ในรูปแบบทศนิยม จะเท่ากับ 7,625,597,484,987 มาก แต่ตอนนี้สามารถเข้าใจได้แล้ว
ในสัญลักษณ์ลูกศรของ Knuth หมายเลขนี้สามารถแสดงได้ค่อนข้างง่ายกว่า - 33 แต่ถ้าคุณเพิ่มลูกศรเพียงลูกเดียว มันจะซับซ้อนมากขึ้น: 33 ซึ่งหมายถึง 33 ยกกำลัง 33 หรือในรูปแบบกำลัง ถ้าเราขยายเป็นทศนิยม เราจะได้ 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987 คุณยังสามารถติดตามความคิดของคุณได้หรือไม่?
ขั้นต่อไป: 33= 33 33 . นั่นคือคุณต้องคำนวณตัวเลขเสริมนี้จากการกระทำครั้งก่อนและเพิ่มเป็นกำลังเดียวกัน
และ 33 เป็นเพียงเทอมแรกจาก 64 เทอมของจำนวนเกรแฮม เพื่อให้ได้อันที่ 2 คุณต้องคำนวณผลลัพธ์ของสูตรที่น่าทึ่งนี้ และแทนที่จำนวนลูกศรที่สอดคล้องกันลงในแผนภาพ 3(...)3 เป็นเช่นนี้อีก 63 ครั้ง
ฉันสงสัยว่ามีใครนอกจากเขาและนักคณิตศาสตร์ชั้นยอดอีกนับสิบคน จะสามารถไปถึงกลางลำดับเป็นอย่างน้อยโดยไม่บ้าไปเลยได้ไหม?
คุณเข้าใจอะไรบางอย่างไหม? เราไม่ได้. แต่ช่างน่าตื่นเต้นจริงๆ!
ทำไมเราต้องมีตัวเลขมากที่สุด? นี่เป็นเรื่องยากสำหรับคนทั่วไปที่จะเข้าใจและเข้าใจ แต่ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา มีผู้เชี่ยวชาญเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่สามารถแนะนำของเล่นเทคโนโลยีใหม่ ๆ ให้กับคนทั่วไปได้ เช่น โทรศัพท์ คอมพิวเตอร์ แท็บเล็ต คนธรรมดายังไม่เข้าใจวิธีการทำงานของพวกเขา แต่พวกเขายินดีที่จะใช้มันเพื่อความบันเทิง และทุกคนก็มีความสุข คนธรรมดาได้ของเล่น ส่วน "ซุปเปอร์เนิร์ด" มีโอกาสเล่นเกมฝึกสมองต่อไป