การแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง อัลกอริธึม และตัวอย่าง สมการเลขชี้กำลัง
การใช้สมการแพร่หลายในชีวิตของเรา ใช้ในการคำนวณ การสร้างโครงสร้าง และแม้กระทั่งการกีฬา มนุษย์ใช้สมการในสมัยโบราณ และตั้งแต่นั้นมาการใช้สมการก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น สมการยกกำลังหรือสมการเลขชี้กำลังคือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลังและฐานเป็นตัวเลข ตัวอย่างเช่น:
การแก้สมการเลขชี้กำลังมีขั้นตอนง่ายๆ เพียง 2 ขั้นตอน:
1. คุณต้องตรวจสอบว่าฐานของสมการทางขวาและซ้ายเหมือนกันหรือไม่ หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เราจะมองหาทางเลือกในการแก้ปัญหาตัวอย่างนี้
2. หลังจากที่ฐานเท่ากัน เราจะเทียบองศาและแก้สมการใหม่ที่ได้
สมมติว่าเราได้รับสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบต่อไปนี้:
มันคุ้มค่าที่จะเริ่มแก้สมการนี้ด้วยการวิเคราะห์พื้นฐาน ฐานต่างกัน - 2 และ 4 แต่เพื่อแก้โจทย์ เราต้องการให้พวกมันเท่ากัน ดังนั้นเราจึงแปลง 4 โดยใช้สูตรต่อไปนี้ -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
เราเพิ่มเข้าไปในสมการดั้งเดิม:
ลองเอามันออกจากวงเล็บ \
มาแสดงออกกันเถอะ \
เนื่องจากองศาเท่ากัน เราจึงละทิ้งมัน:
คำตอบ: \
ฉันจะแก้สมการเลขชี้กำลังโดยใช้ตัวแก้ปัญหาออนไลน์ได้ที่ไหน
คุณสามารถแก้สมการได้บนเว็บไซต์ของเรา https://site. โปรแกรมแก้โจทย์ออนไลน์ฟรีจะช่วยให้คุณสามารถแก้สมการออนไลน์ที่ซับซ้อนได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำคือเพียงป้อนข้อมูลของคุณลงในตัวแก้ปัญหา คุณยังสามารถชมวิดีโอคำแนะนำและเรียนรู้วิธีแก้สมการบนเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา http://vk.com/pocketteacher เข้าร่วมกลุ่มของเรา เรายินดีช่วยเหลือคุณเสมอ
ไปที่ช่อง YouTube ของเว็บไซต์ของเราเพื่อติดตามบทเรียนวิดีโอใหม่ทั้งหมด
ขั้นแรก เรามาจำสูตรพื้นฐานของกำลังและคุณสมบัติของพวกมันกันก่อน
ผลคูณของตัวเลข กเกิดขึ้นกับตัวเอง n ครั้ง เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ได้เป็น a … a=a n
1. ก 0 = 1 (ก ≠ 0)
3. n a m = n + m
4. (ก) ม. = นาโนเมตร
5. ก n ข n = (ab) n
7. n / a m = n - m
สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง– นี่คือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง (หรือเลขชี้กำลัง) และฐานคือตัวเลข
ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:
ในตัวอย่างนี้ เลข 6 คือฐาน โดยจะอยู่ด้านล่างเสมอและเป็นตัวแปร xระดับหรือตัวบ่งชี้
ให้เรายกตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการเลขชี้กำลัง
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลแก้ได้อย่างไร?
ลองใช้สมการง่ายๆ:
2 x = 2 3
ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แม้กระทั่งในหัวของคุณ จะเห็นได้ว่า x=3 ท้ายที่สุด เพื่อให้ด้านซ้ายและขวาเท่ากัน คุณต้องใส่เลข 3 แทน x
มาดูวิธีตัดสินใจอย่างเป็นทางการ:
2 x = 2 3
x = 3
เพื่อที่จะแก้สมการดังกล่าว เราได้ลบออก บริเวณที่เหมือนกัน(นั่นคือสอง) แล้วจดสิ่งที่เหลืออยู่นี่คือองศา เราได้รับคำตอบที่เรากำลังมองหา
ตอนนี้ขอสรุปการตัดสินใจของเรา
อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. จำเป็นต้องตรวจสอบ เหมือนกันว่าสมการนั้นมีฐานทางขวาและซ้ายหรือไม่ หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เรากำลังหาทางเลือกในการแก้ไขตัวอย่างนี้
2. หลังจากฐานกลายเป็นเหมือนเดิมแล้ว เท่าเทียมกันองศาแล้วแก้สมการใหม่ที่ได้
ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วน:
เริ่มจากสิ่งง่ายๆ
ฐานด้านซ้ายและขวามีค่าเท่ากับเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งฐานและยกกำลังของฐานให้เท่ากันได้
x+2=4 จะได้สมการที่ง่ายที่สุด
x=4 – 2
x=2
คำตอบ: x=2
ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณจะเห็นว่าฐานต่างกัน: 3 และ 9
3 3x - 9 x+8 = 0
ขั้นแรก เลื่อนเก้าไปทางด้านขวา เราจะได้:
ตอนนี้คุณต้องสร้างฐานเดียวกัน เรารู้ว่า 9=3 2. ลองใช้สูตรกำลัง (a n) m = a nm
3 3x = (3 2) x+8
เราได้ 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากันและเท่ากับ 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละทิ้งพวกมันและเทียบองศาได้
3x=2x+16 เราได้สมการที่ง่ายที่สุด
3x - 2x=16
x=16
คำตอบ: x=16
ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
ก่อนอื่น เราดูที่ฐาน ฐานสองและสี่ และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน เราแปลงค่าทั้งสี่โดยใช้สูตร (a n) m = a nm
4 x = (2 2) x = 2 2x
และเรายังใช้สูตรหนึ่ง a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
เพิ่มลงในสมการ:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่หมายเลข 10 และ 24 อื่นรบกวนเราจะทำอย่างไร? หากคุณมองใกล้ๆ คุณจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี 2 2x ซ้ำกัน นี่คือคำตอบ - เราสามารถใส่ 2 2x ออกจากวงเล็บได้:
2 2x (2 4 - 10) = 24
ลองคำนวณนิพจน์ในวงเล็บ:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
เราหารสมการทั้งหมดด้วย 6:
ลองนึกภาพ 4=2 2:
2 2x = 2 2 ฐานเท่ากัน เราทิ้งมันแล้วหาค่าองศามาเทียบกัน
2x = 2 เป็นสมการที่ง่ายที่สุด หารมันด้วย 2 แล้วเราได้
x = 1
คำตอบ: x = 1
มาแก้สมการกัน:
9 x – 12*3 x +27= 0
มาแปลงร่างกัน:
9 x = (3 2) x = 3 2x
เราได้รับสมการ:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
ฐานของเราเท่ากัน เท่ากับ 3 ในตัวอย่างนี้ คุณจะเห็นว่าสามฐานแรกมีดีกรีสองเท่า (2x) มากกว่าฐานที่สอง (แค่ x) ในกรณีนี้คุณสามารถแก้ไขได้ วิธีการทดแทน- เราแทนที่ตัวเลขด้วยระดับที่น้อยที่สุด:
จากนั้น 3 2x = (3 x) 2 = เสื้อ 2
เราแทนที่กำลัง x ทั้งหมดในสมการด้วย t:
เสื้อ 2 - 12t+27 = 0
เราได้สมการกำลังสอง การแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติเราได้รับ:
ส=144-108=36
เสื้อ 1 = 9
เสื้อ2 = 3
กลับไปสู่ตัวแปร x.
ใช้เวลา 1:
เสื้อ 1 = 9 = 3 x
ดังนั้น,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
เสื้อ 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
คำตอบ: x 1 = 2; x 2 = 1.
บนเว็บไซต์คุณสามารถถามคำถามที่น่าสนใจได้ในส่วน HELP DECIDE เราจะตอบคุณอย่างแน่นอน
เข้าร่วมกลุ่ม
สมการเลขชี้กำลังคืออะไร? ตัวอย่าง.
ดังนั้น สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล... การจัดแสดงใหม่ที่ไม่ซ้ำใครในนิทรรศการทั่วไปของเราเกี่ยวกับสมการที่หลากหลาย!) ดังที่เป็นเกือบทุกครั้ง คำสำคัญของคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ใหม่คือคำคุณศัพท์ที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของคำนั้น ดังนั้นมันอยู่ที่นี่ คำสำคัญในคำว่า "สมการเลขชี้กำลัง" คือคำว่า "บ่งชี้"- มันหมายความว่าอะไร? คำนี้หมายความว่าไม่ทราบ (x) ตั้งอยู่ ในแง่ขององศาใดๆและที่นั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่ง
ตัวอย่างเช่น สมการง่ายๆ เหล่านี้:
3 x +1 = 81
5 x + 5 x +2 = 130
4 2 2 x -17 2 x +4 = 0
หรือแม้แต่สัตว์ประหลาดเหล่านี้:
2 บาป x = 0.5
โปรดใส่ใจสิ่งสำคัญประการหนึ่งทันที: เหตุผลองศา (ล่าง) – ตัวเลขเท่านั้น- แต่ใน ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย X อะไรก็ได้อย่างแน่นอน) ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสมการเฉพาะ หากทันใดนั้น x ปรากฏขึ้นที่อื่นในสมการนอกเหนือจากตัวบ่งชี้ (เช่น 3 x = 18 + x 2) สมการดังกล่าวก็จะเป็นสมการอยู่แล้ว ประเภทผสม- สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้สมการ ดังนั้นเราจะไม่พิจารณาสิ่งเหล่านี้ในบทเรียนนี้ เพื่อความสุขของนักเรียน) ในที่นี้เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเลขชี้กำลังในรูปแบบ "บริสุทธิ์" เท่านั้น
โดยทั่วไปแล้ว ไม่สามารถแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลบริสุทธิ์ได้ทั้งหมดและไม่ใช่เสมอไปเสมอไป แต่ในบรรดาสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่หลากหลาย มีหลายประเภทที่สามารถและควรแก้ได้ เราจะพิจารณาสมการประเภทนี้ และเราจะแก้ตัวอย่างนี้อย่างแน่นอน) เรามาทำใจให้สบายแล้วไปกันเลย! เช่นเดียวกับใน "เกมยิงปืน" ในคอมพิวเตอร์ การเดินทางของเราจะเกิดขึ้นผ่านด่านต่างๆ) จากระดับพื้นฐานไปสู่ระดับง่าย จากระดับง่ายไปสู่ระดับปานกลาง และจากระดับปานกลางไปจนถึงซับซ้อน ระหว่างทางระดับความลับจะรอคุณอยู่ - เทคนิคและวิธีการในการแก้ไขตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน เรื่องที่คุณจะไม่อ่านในตำราเรียนส่วนใหญ่... และแน่นอนว่าท้ายที่สุดแล้ว เจ้านายคนสุดท้ายกำลังรอคุณอยู่ในรูปแบบของการบ้าน)
ระดับ 0 สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดคืออะไร? การแก้สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย
ก่อนอื่น เรามาดูเนื้อหาเบื้องต้นที่ตรงไปตรงมากันก่อน คุณต้องเริ่มต้นที่ไหนสักแห่งใช่ไหม? ตัวอย่างเช่น สมการนี้:
2 x = 2 2
แม้ว่าจะไม่มีทฤษฎีใดๆ แต่ด้วยตรรกะง่ายๆ และสามัญสำนึกก็ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีทางอื่นใช่ไหม ไม่มีความหมายอื่นของ X ที่เหมาะสม... และตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า บันทึกการตัดสินใจสมการเลขชี้กำลังเจ๋งๆ นี้:
2 x = 2 2
เอ็กซ์ = 2
เกิดอะไรขึ้นกับเรา? และเหตุการณ์ต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น เรารับมันมาจริง ๆ และ... แค่โยนฐานเดียวกันออกไป (สองอัน)! ไล่ออกหมดเลย และข่าวดีก็คือ เราบรรลุเป้าหมายแล้ว!
ใช่แล้ว ถ้าในสมการเลขชี้กำลังมีทั้งซ้ายและขวา เหมือนกันตัวเลขที่อยู่ในกำลังใดๆ ก็ตาม จากนั้นตัวเลขเหล่านี้ก็สามารถละทิ้งไปและเพียงแค่ถือเอาเลขชี้กำลังเท่ากัน คณิตศาสตร์อนุญาต) จากนั้นคุณสามารถทำงานแยกกันกับตัวบ่งชี้และแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก เยี่ยมมากใช่มั้ย?
ต่อไปนี้เป็นแนวคิดหลักในการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล (ใช่ ใดๆ เลยก็ได้!) เมื่อใช้การแปลงที่เหมือนกัน จำเป็นต้องแน่ใจว่าด้านซ้ายและด้านขวาของสมการอยู่ เหมือนกัน เลขฐานยกกำลังต่างๆ จากนั้นคุณก็สามารถลบฐานเดียวกันออกได้อย่างปลอดภัยและยกกำลังให้เท่ากัน และทำงานกับสมการที่ง่ายกว่า
ตอนนี้เรามาจำกฎเหล็กกันดีกว่า: เป็นไปได้ที่จะลบฐานที่เหมือนกันหากตัวเลขทางซ้ายและขวาของสมการมีตัวเลขฐานเท่านั้น ในความโดดเดี่ยวอันวิจิตรงดงาม
การแยกตัวอย่างงดงามหมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าไม่มีเพื่อนบ้านและค่าสัมประสิทธิ์ ให้ฉันอธิบาย.
ตัวอย่างเช่น ในสมการ
3 3 x-5 = 3 2 x +1
สามแต้มไม่สามารถลบออกได้! ทำไม เพราะทางด้านซ้ายเราไม่ได้มีเพียงความเหงาสามระดับเท่านั้นแต่ งาน 3·3 x-5 . รบกวนอีกสามอย่าง: ค่าสัมประสิทธิ์คุณเข้าใจ)
เช่นเดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับสมการ
5 3 x = 5 2 x +5 x
ที่นี่เหมือนกันทุกฐาน - ห้า แต่ทางด้านขวา เราไม่มีพลังแม้แต่ห้าเดียว: มีผลรวมของพลัง!
กล่าวโดยย่อ เรามีสิทธิ์ที่จะลบฐานที่เหมือนกันก็ต่อเมื่อสมการเลขชี้กำลังของเรามีลักษณะเช่นนี้และเป็นแบบนี้เท่านั้น:
กฉ (x) = ก (x)
สมการเลขชี้กำลังประเภทนี้เรียกว่า ง่ายที่สุด- หรือในทางวิทยาศาสตร์ ตามบัญญัติ - และไม่ว่าเราจะมีสมการที่ซับซ้อนตรงหน้าเรา ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราก็จะลดมันให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุด (ตามรูปแบบบัญญัติ) ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง หรือในบางกรณีถึง จำนวนทั้งสิ้นสมการประเภทนี้ จากนั้นสมการที่ง่ายที่สุดของเราสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบทั่วไปดังนี้:
ฉ(x) = ก(x)
นั่นคือทั้งหมดที่ นี่จะเป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน ในกรณีนี้ f(x) และ g(x) สามารถเป็นนิพจน์ใดๆ ก็ได้ที่มี x อะไรก็ตาม.
บางทีนักเรียนที่อยากรู้อยากเห็นเป็นพิเศษอาจสงสัยว่า: ทำไมบนโลกนี้เราจึงทิ้งฐานเดียวกันทางซ้ายและขวาและเทียบเลขยกกำลังอย่างง่ายดายและง่ายดายขนาดนี้ สัญชาตญาณก็คือสัญชาตญาณ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าในสมการบางอย่างและด้วยเหตุผลบางอย่าง วิธีการนี้กลับกลายเป็นว่าไม่ถูกต้อง? การยกเลิกเหตุผลเดียวกันนั้นถูกกฎหมายเสมอไปหรือไม่?น่าเสียดาย สำหรับคำตอบทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสำหรับคำถามที่น่าสนใจนี้ คุณต้องเจาะลึกและจริงจังในทฤษฎีทั่วไปของโครงสร้างและพฤติกรรมของฟังก์ชัน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งอีกเล็กน้อย - ในปรากฏการณ์นี้ ความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวดโดยเฉพาะความซ้ำซากจำเจที่เข้มงวด ฟังก์ชันเลขชี้กำลังย= เอ็กซ์- เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของมันที่รองรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ใช่) เราจะให้คำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามนี้ในบทเรียนพิเศษแยกต่างหากที่เน้นเรื่องการแก้สมการที่ไม่ได้มาตรฐานที่ซับซ้อนโดยใช้ความน่าเบื่อของฟังก์ชันต่างๆ)
การอธิบายประเด็นนี้โดยละเอียดตอนนี้คงมีแต่จะทำให้จิตใจของเด็กนักเรียนทั่วไปทึ่ง และทำให้เขาหวาดกลัวล่วงหน้าด้วยทฤษฎีที่แห้งแล้งและหนักหน่วง ฉันจะไม่ทำแบบนี้) เพราะหลักของเรา ในขณะนี้งาน - เรียนรู้การแก้สมการเลขชี้กำลัง!สิ่งที่ง่ายที่สุด! ดังนั้นอย่าเพิ่งกังวลและโยนเหตุผลเดียวกันออกไปอย่างกล้าหาญ นี้ สามารถเชื่อคำพูดฉันเถอะ!) แล้วเราก็แก้สมการที่เทียบเท่า f(x) = g(x) ตามกฎแล้วจะง่ายกว่าเลขชี้กำลังดั้งเดิม
สันนิษฐานว่าผู้คนรู้วิธีแก้อย่างน้อย และสมการอยู่แล้ว โดยที่ไม่มี x เป็นเลขชี้กำลัง) สำหรับผู้ที่ยังไม่รู้วิธี ปิดหน้านี้ได้เลย ตามลิงก์ที่เกี่ยวข้องแล้วกรอก ช่องว่างเก่า ไม่งั้นคุณจะลำบากใช่มั๊ย...
ฉันไม่ได้พูดถึงสมการไร้เหตุผล ตรีโกณมิติ และสมการโหดร้ายอื่นๆ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในกระบวนการกำจัดรากฐาน แต่อย่าตกใจไป เราจะไม่พิจารณาถึงความโหดร้ายโดยสิ้นเชิงในตอนนี้: ยังเร็วเกินไป เราจะฝึกเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น)
ตอนนี้เรามาดูสมการที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อลดให้เหลือวิธีที่ง่ายที่สุด เพื่อความแตกต่าง เรามาเรียกพวกเขากันดีกว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย- เอาล่ะ ก้าวไปสู่ระดับต่อไปกันเถอะ!
ระดับ 1 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย มารู้จักองศากันเถอะ! ตัวชี้วัดทางธรรมชาติ
กฎสำคัญในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือ กฎสำหรับการจัดการกับองศา- หากไม่มีความรู้และทักษะนี้ก็จะไม่มีอะไรทำงาน อนิจจา. ดังนั้นหากมีปัญหาเกี่ยวกับปริญญาก็ยินดีต้อนรับก่อน นอกจากนี้เราจะต้อง การแปลงเหล่านี้ (สองตัว!) เป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป และไม่ใช่แค่การแสดงเท่านั้น ดังนั้นใครลืมก็ดูลิงค์ด้วย: ฉันไม่ได้แค่วางไว้ตรงนั้น
แต่การดำเนินการที่มีอำนาจและการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เพียงอย่างเดียวยังไม่เพียงพอ จำเป็นต้องมีการสังเกตส่วนตัวและความเฉลียวฉลาดด้วย เราต้องการเหตุผลเดียวกันใช่ไหม? ดังนั้นเราจึงตรวจสอบตัวอย่างและค้นหาในรูปแบบที่ชัดเจนหรือปลอมแปลง!
ตัวอย่างเช่น สมการนี้:
3 2 x – 27 x +2 = 0
อันดับแรกดูที่ บริเวณ- พวกเขา...แตกต่าง! สามและยี่สิบเจ็ด. แต่ยังเร็วเกินไปที่จะตื่นตระหนกและสิ้นหวัง ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่า
27 = 3 3
เลข 3 และ 27 เป็นญาติกันตามดีกรี! และคนใกล้ชิด) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์เขียนทุกประการ:
27 x +2 = (3 3) x+2
ตอนนี้เรามาเชื่อมโยงความรู้ของเราเกี่ยวกับ การกระทำที่มีองศา(และฉันเตือนคุณแล้ว!) มีสูตรที่มีประโยชน์มากอยู่ที่นั่น:
(ม) n = หนึ่งนาที
หากคุณนำไปใช้จริง มันจะออกมาดีมาก:
27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)
ตัวอย่างดั้งเดิมตอนนี้มีลักษณะดังนี้:
3 2 x – 3 3(x +2) = 0
เยี่ยมเลย ฐานขององศาได้ปรับระดับแล้ว นั่นคือสิ่งที่เราต้องการ การต่อสู้เสร็จสิ้นไปครึ่งหนึ่งแล้ว) ตอนนี้เราเปิดตัวการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์พื้นฐาน - เลื่อน 3 3(x +2) ไปทางขวา ไม่มีใครยกเลิกการดำเนินการเบื้องต้นของคณิตศาสตร์ได้) เราได้รับ:
3 2 x = 3 3(x +2)
สมการประเภทนี้ให้อะไรเรา? และความจริงที่ว่าตอนนี้สมการของเราลดลง เป็นรูปแบบบัญญัติ: ด้านซ้ายและขวามีเลขยกกำลังเท่ากัน (สาม) ยิ่งไปกว่านั้น ทั้งสามยังอยู่อย่างโดดเดี่ยว อย่าลังเลที่จะลบทริปเปิ้ลและรับ:
2x = 3(x+2)
เราแก้ปัญหานี้และรับ:
เอ็กซ์ = -6
แค่นั้นแหละ. นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง)
ทีนี้ลองคิดถึงวิธีแก้ปัญหา อะไรช่วยให้เรารอดในตัวอย่างนี้? ความรู้เกี่ยวกับพลังของทั้งสามช่วยเราไว้ ยังไงกันแน่? เรา ระบุหมายเลข 27 มีสามตัวเข้ารหัส! เคล็ดลับนี้ (การเข้ารหัสฐานเดียวกันโดยใช้ตัวเลขต่างกัน) เป็นหนึ่งในวิธีที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล! เว้นแต่จะได้รับความนิยมสูงสุด ใช่แล้วและในทำนองเดียวกัน นี่คือเหตุผลว่าทำไมการสังเกตและความสามารถในการรับรู้กำลังของตัวเลขอื่นๆ ในตัวเลขจึงมีความสำคัญในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล!
คำแนะนำการปฏิบัติ:
คุณต้องรู้พลังของตัวเลขยอดนิยม ต่อหน้า!
แน่นอนว่าใครๆ ก็สามารถยกกำลังสองยกกำลังเจ็ดหรือสามยกกำลังห้าได้ ไม่ได้อยู่ในใจของฉัน แต่อย่างน้อยก็ในร่าง แต่ในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลบ่อยครั้งที่ไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกันเพื่อค้นหาว่าจำนวนใดและกำลังใดที่ซ่อนอยู่หลังตัวเลขเช่น 128 หรือ 243 และนี่ซับซ้อนกว่ามาก กว่าการเลี้ยงแบบธรรมดาคุณจะเห็นด้วย รู้สึกถึงความแตกต่างอย่างที่พวกเขาพูด!
เนื่องจากความสามารถในการรับรู้ปริญญาด้วยตนเองจะมีประโยชน์ไม่เพียงแต่ในระดับนี้เท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์ในระดับถัดไปด้วย ต่อไปนี้เป็นงานเล็ก ๆ สำหรับคุณ:
กำหนดว่าพลังอะไรและตัวเลขอะไรคือ:
4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.
คำตอบ (สุ่มแน่นอน):
27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .
ใช่ ใช่! อย่าแปลกใจที่มีคำตอบมากกว่างาน ตัวอย่างเช่น 2 8, 4 4 และ 16 2 เป็น 256 ทั้งหมด
ระดับ 2 สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย มารู้จักองศากันเถอะ! ตัวบ่งชี้เชิงลบและเศษส่วน
ในระดับนี้เราใช้ความรู้เรื่องปริญญาของเราอย่างเต็มที่แล้ว กล่าวคือ เราเกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้เชิงลบและเศษส่วนในกระบวนการที่น่าทึ่งนี้! ใช่ ใช่! เราจำเป็นต้องเพิ่มพลังของเราใช่ไหม?
ตัวอย่างเช่น สมการที่แย่มากนี้:
อีกครั้ง การมองแวบแรกอยู่ที่ฐานราก เหตุผลมันต่างกัน! และครั้งนี้พวกเขาไม่ได้คล้ายกันเลยด้วยซ้ำ! 5 และ 0.04... และเพื่อกำจัดฐาน ต้องใช้อันเดียวกัน... จะทำอย่างไร?
ไม่เป็นไร! ในความเป็นจริงทุกอย่างเหมือนกันเพียงว่าการเชื่อมต่อระหว่างห้าและ 0.04 นั้นมองเห็นได้ไม่ดีนัก เราจะออกไปได้อย่างไร? มาดูเลข 0.04 ที่เป็นเศษส่วนธรรมดากันดีกว่า! แล้วคุณจะเห็นว่าทุกอย่างจะสำเร็จ)
0,04 = 4/100 = 1/25
ว้าว! ปรากฎว่า 0.04 คือ 1/25! แล้วใครจะคิดล่ะ!)
แล้วยังไงล่ะ? ตอนนี้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างเลข 5 กับ 1/25 ได้ง่ายขึ้นไหม? แค่นั้นแหละ...
และตอนนี้ตามกฎของการกระทำที่มีองศาด้วย ตัวบ่งชี้เชิงลบคุณสามารถเขียนด้วยมือที่มั่นคง:
นั่นเยี่ยมมาก ดังนั้นเราจึงไปถึงฐานเดียวกัน - ห้า ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขที่ไม่สะดวก 0.04 ในสมการด้วย 5 -2 และรับ:
อีกครั้ง ตามกฎการดำเนินการกับองศา เราสามารถเขียนได้:
(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)
ในกรณีที่ฉันขอเตือนคุณ (เผื่อใครไม่รู้) ว่ากฎพื้นฐานในการจัดการกับปริญญานั้นใช้ได้ ใดๆตัวชี้วัด! รวมถึงค่าลบด้วย) ดังนั้น อย่าลังเลที่จะคูณตัวบ่งชี้ (-2) และ (x-1) ตามกฎที่เหมาะสม สมการของเราดีขึ้นเรื่อยๆ:
ทั้งหมด! นอกเหนือจากห้าคนโดดเดี่ยวแล้ว ไม่มีอะไรอื่นในพลังด้านซ้ายและขวา สมการลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน จากนั้น - ไปตามทางที่มีปุ่ม เราลบห้าข้อออกและเปรียบเทียบตัวบ่งชี้:
x 2 –6 x+5=-2(x-1)
ตัวอย่างนี้เกือบจะได้รับการแก้ไขแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น - เปิด (ถูกต้อง!) ในวงเล็บแล้วรวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย:
x 2 –6 x+5 = -2 x+2
x 2 –4 x+3 = 0
เราแก้ปัญหานี้และได้รากสองอัน:
x 1 = 1; x 2 = 3
แค่นั้นแหละ.)
ทีนี้ลองคิดดูอีกครั้ง ในตัวอย่างนี้ เราต้องจำตัวเลขเดียวกันในองศาที่ต่างกันอีกครั้ง! กล่าวคือเพื่อดูการเข้ารหัสห้ารายการในหมายเลข 0.04 และครั้งนี้เข้า องศาลบ!เราทำเช่นนี้ได้อย่างไร? ทันที - ไม่มีทาง แต่หลังจากย้ายจากเศษส่วนทศนิยม 0.04 เป็นเศษส่วนสามัญ 1/25 ทุกอย่างก็ชัดเจน! แล้วการตัดสินใจทั้งหมดก็ดำเนินไปเหมือนเครื่องจักร)
ดังนั้นคำแนะนำที่เป็นประโยชน์อีกข้อหนึ่ง
ถ้าสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมีเศษส่วนทศนิยม เราจะย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดา การจดจำกำลังของตัวเลขยอดนิยมหลายๆ ตัวในรูปเศษส่วนนั้นง่ายกว่ามาก! หลังจากการจดจำ เราจะย้ายจากเศษส่วนไปเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ
โปรดทราบว่าเคล็ดลับนี้เกิดขึ้นบ่อยมากในสมการเลขชี้กำลัง! แต่บุคคลนั้นไม่อยู่ในเรื่อง ตัวอย่างเช่น เขาดูหมายเลข 32 และ 0.125 แล้วรู้สึกหงุดหงิด โดยที่เขาไม่รู้ นี่คือหนึ่งและสองอันเดียวกัน ต่างกันแค่องศา...แต่คุณก็รู้อยู่แล้ว!)
แก้สมการ:
ใน! ดูเหมือนความสยองขวัญที่เงียบสงบ... อย่างไรก็ตาม รูปลักษณ์ภายนอกนั้นหลอกลวง นี่คือสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด แม้จะมีรูปลักษณ์ที่ดูน่ากลัวก็ตาม บัดนี้ข้าพเจ้าจะให้ท่านดู)
ก่อนอื่น มาดูตัวเลขทั้งหมดในฐานและสัมประสิทธิ์กันก่อน แน่นอนว่าพวกเขาแตกต่างออกไป ใช่ แต่เราจะยังคงเสี่ยงและพยายามสร้างมันขึ้นมา เหมือนกัน- ลองเข้าไปดูกัน เลขเดียวกันแต่ยกกำลังต่างกัน- ยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขควรมีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เอาล่ะ มาเริ่มถอดรหัสกันดีกว่า!
เมื่อทั้งสี่ทุกอย่างชัดเจนทันที - มันคือ 2 2 โอเค นั่นเป็นอะไรบางอย่างอยู่แล้ว)
ด้วยเศษส่วน 0.25 – ยังไม่ชัดเจน จำเป็นต้องตรวจสอบ ลองใช้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์ - ย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดา:
0,25 = 25/100 = 1/4
ดีขึ้นมากแล้ว เพราะตอนนี้เห็นได้ชัดเจนว่า 1/4 เป็น 2 -2 เยี่ยมเลย และเลข 0.25 ก็เหมือนกับเลขสองด้วย)
จนถึงตอนนี้ดีมาก แต่จำนวนที่แย่ที่สุดยังคงอยู่ - รากที่สองของสอง!จะทำอย่างไรกับพริกไทยนี้? มันสามารถแสดงเป็นกำลังสองได้หรือไม่? และใครจะรู้...
มาดำดิ่งสู่คลังความรู้เกี่ยวกับองศาของเราอีกครั้ง! คราวนี้เราเชื่อมโยงความรู้ของเราเพิ่มเติม เกี่ยวกับราก- จากหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 คุณและฉันควรจะได้เรียนรู้ว่ารากใด ๆ ก็สามารถเปลี่ยนเป็นระดับได้หากต้องการ ด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน
แบบนี้:
ในกรณีของเรา:
ว้าว! ปรากฎว่าสแควร์รูทของสองคือ 2 1/2 แค่นั้นแหละ!
เยี่ยมมาก! ตัวเลขที่ไม่สะดวกทั้งหมดของเรากลับกลายเป็นตัวเลขที่ถูกเข้ารหัส) ฉันไม่เถียง บางแห่งมีการเข้ารหัสที่ซับซ้อนมาก แต่เรายังปรับปรุงความเป็นมืออาชีพของเราในการแก้รหัสดังกล่าวด้วย! แล้วทุกอย่างก็ชัดเจนแล้ว ในสมการของเรา เราแทนที่ตัวเลข 4, 0.25 และรากของสองด้วยกำลังของสอง:
ทั้งหมด! ฐานของทุกองศาในตัวอย่างจะเท่ากัน - สอง และตอนนี้มีการใช้การดำเนินการมาตรฐานกับองศา:
เช้าหนึ่ง = เช้า + n
a ม:a n = a m-n
(ม) n = หนึ่งนาที
ด้านซ้ายคุณจะได้รับ:
2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)
ทางด้านขวาจะเป็น:
และตอนนี้สมการที่ชั่วร้ายของเรามีลักษณะดังนี้:
สำหรับผู้ที่ยังไม่ทราบว่าสมการนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร คำถามนี้ไม่เกี่ยวกับสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล คำถามคือเกี่ยวกับการกระทำที่มีองศา ฉันขอให้คุณย้ำกับผู้ที่มีปัญหาอย่างเร่งด่วน!
นี่คือเส้นชัย! ได้รับรูปแบบมาตรฐานของสมการเลขชี้กำลังแล้ว! แล้วยังไงล่ะ? ฉันเชื่อคุณไหมว่าทุกอย่างไม่น่ากลัวขนาดนั้น? ;) เราลบทั้งสองออกและถือเอาตัวบ่งชี้:
สิ่งที่เหลืออยู่คือการแก้สมการเชิงเส้นนี้ ยังไง? ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงที่เหมือนกันแน่นอน) ตัดสินใจว่าเกิดอะไรขึ้น! คูณทั้งสองข้างด้วยสอง (เพื่อลบเศษส่วน 3/2) ย้ายพจน์ที่มีเครื่องหมาย X ไปทางซ้าย โดยไม่มีเครื่องหมาย X ทางด้านขวา นำเศษส่วนที่คล้ายกันมานับ - แล้วคุณจะมีความสุข!
ทุกอย่างควรจะออกมาสวยงาม:
X=4
ทีนี้ลองคิดถึงวิธีแก้ปัญหาอีกครั้ง ในตัวอย่างนี้ เราได้รับความช่วยเหลือจากการเปลี่ยนจาก รากที่สองถึง องศาที่มีเลขชี้กำลัง 1/2- ยิ่งกว่านั้น การเปลี่ยนแปลงอันชาญฉลาดเท่านั้นที่ช่วยให้เราไปถึงฐานเดียวกัน (สอง) ทุกที่ ซึ่งกอบกู้สถานการณ์ได้! และถ้าไม่เป็นเช่นนั้น เราก็จะมีโอกาสหยุดนิ่งตลอดไปและไม่มีวันรับมือกับตัวอย่างนี้ ใช่...
ดังนั้นเราจึงไม่ละเลยคำแนะนำที่เป็นประโยชน์ต่อไปนี้:
ถ้าสมการเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรากอยู่ เราก็จะย้ายจากรากหนึ่งไปอีกยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน บ่อยครั้งที่การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเท่านั้นที่จะชี้แจงสถานการณ์ต่อไป
แน่นอนว่าพลังลบและเศษส่วนมีความซับซ้อนมากกว่าพลังธรรมชาติอยู่แล้ว อย่างน้อยก็จากมุมมองของการรับรู้ทางสายตาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการจดจำจากขวาไปซ้าย!
เห็นได้ชัดว่าการยกกำลังโดยตรง เช่น เพิ่มสองยกกำลัง -3 หรือสี่ยกกำลัง -3/2 ไม่ใช่ปัญหาใหญ่เช่นนั้น สำหรับผู้รู้)
แต่ไปตัวอย่างเช่นรู้ทันทีว่า
0,125 = 2 -3
หรือ
ที่นี่มีเพียงการฝึกฝนและกฎประสบการณ์อันยาวนานเท่านั้นใช่ และแน่นอนว่า มีแนวคิดที่ชัดเจน ระดับลบและเศษส่วนคืออะไร?และยังมีคำแนะนำที่เป็นประโยชน์อีกด้วย! ใช่แล้ว พวกเดียวกันนั่นแหละ สีเขียว.) ฉันหวังว่าสิ่งเหล่านี้จะยังคงช่วยให้คุณก้าวไปสู่ปริญญาที่หลากหลายได้ดีขึ้นและเพิ่มโอกาสในการประสบความสำเร็จได้อย่างมาก! ดังนั้นอย่าละเลยพวกเขา บางครั้งฉันก็เขียนด้วยสีเขียวเพื่ออะไร)
แต่ถ้าคุณรู้จักกันถึงแม้จะมีพลังที่แปลกใหม่เช่นพลังลบและเศษส่วน ความสามารถของคุณในการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลก็จะขยายออกไปอย่างมหาศาล และคุณจะสามารถจัดการกับสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลได้เกือบทุกประเภท ถ้าไม่มีก็เท่ากับ 80 เปอร์เซ็นต์ของสมการเลขชี้กำลังทั้งหมด - แน่นอน! ใช่แล้ว ฉันไม่ได้ล้อเล่นนะ!
ดังนั้น ส่วนแรกของการแนะนำสมการเลขชี้กำลังมาถึงบทสรุปเชิงตรรกะแล้ว และในการออกกำลังกายระดับกลาง ฉันมักจะแนะนำให้ทบทวนตัวเองเล็กน้อย)
ภารกิจที่ 1
เพื่อให้คำพูดของฉันเกี่ยวกับการถอดรหัสพลังเชิงลบและเศษส่วนไม่ไร้ผลฉันขอแนะนำให้เล่นเกมเล็ก ๆ น้อย ๆ !
แสดงตัวเลขเป็นพลังของสอง:
คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):
มันได้ผลเหรอ? ยอดเยี่ยม! จากนั้นเราก็ทำภารกิจการต่อสู้ - แก้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายและง่ายที่สุด!
ภารกิจที่ 2
แก้สมการ (คำตอบทั้งหมดเป็นระเบียบ!):
5 2x-8 = 25
2 5x-4 – 16 x+3 = 0
คำตอบ:
x = 16
x 1 = -1; x 2 = 2
x = 5
มันได้ผลเหรอ? แน่นอนว่ามันง่ายกว่ามาก!
จากนั้นเราจะแก้เกมต่อไป:
(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4
35 1-x = 0.2 - x ·7 x
คำตอบ:
x 1 = -2; x 2 = 2
x = 0,5
x 1 = 3; x 2 = 5
และตัวอย่างเหล่านี้เหลืออยู่อย่างหนึ่งเหรอ? ยอดเยี่ยม! คุณกำลังเติบโต! ต่อไปนี้คือตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่อให้คุณรับประทานของว่าง:
คำตอบ:
x = 6
x = 13/31
x = -0,75
x 1 = 1; x 2 = 8/3
และนี่คือการตัดสินใจ? ขอแสดงความนับถือ! ฉันถอดหมวกออก) ซึ่งหมายความว่าบทเรียนไม่ได้ไร้ประโยชน์และการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลในระดับเริ่มต้นถือได้ว่าเชี่ยวชาญได้สำเร็จ ระดับต่อไปและสมการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นรออยู่ข้างหน้า! และเทคนิคและวิธีการใหม่ๆ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐาน และเซอร์ไพรส์ใหม่) ทั้งหมดนี้อยู่ในบทเรียนหน้า!
มีอะไรผิดพลาดหรือเปล่า? ซึ่งหมายความว่าปัญหาน่าจะอยู่ใน. หรือใน. หรือทั้งสองอย่างพร้อมกัน ฉันไม่มีพลังที่นี่ ฉันเสนอได้เพียงสิ่งเดียวเท่านั้น - อย่าขี้เกียจและตามลิงก์)
ดำเนินการต่อไป)
ตัวอย่าง:
\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)
วิธีการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
เมื่อแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลใดๆ เราพยายามทำให้สมการนั้นอยู่ในรูปแบบ \(a^(f(x))=a^(g(x))\) จากนั้นจึงเปลี่ยนไปสู่ความเท่าเทียมกันของเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ:
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
ตัวอย่างเช่น:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
สำคัญ! จากตรรกะเดียวกัน ข้อกำหนดสองประการสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมีดังนี้:
- หมายเลขเข้า ซ้ายและขวาควรจะเหมือนกัน
- องศาซ้ายและขวาจะต้อง “บริสุทธิ์”คือว่าไม่ควรมีการคูณหารเป็นต้น
ตัวอย่างเช่น:
เพื่อลดสมการให้อยู่ในรูปแบบ \(a^(f(x))=a^(g(x))\) และมีการใช้
ตัวอย่าง
- แก้สมการเลขชี้กำลัง \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
สารละลาย:
\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
เรารู้ว่า \(27 = 3^3\) เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจะเปลี่ยนสมการ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
โดยคุณสมบัติของรูท \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) เราได้มาว่า \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). ต่อไป โดยใช้คุณสมบัติขององศา \((a^b)^c=a^(bc)\) เราจะได้ \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
เรายังรู้ด้วยว่า \(a^b·a^c=a^(b+c)\) เมื่อใส่ค่านี้ทางด้านซ้าย เราจะได้: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
ตอนนี้จำไว้ว่า: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) สูตรนี้สามารถใช้ในทิศทางตรงกันข้ามได้: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\) จากนั้น \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\) |
เมื่อนำคุณสมบัติ \((a^b)^c=a^(bc)\) ไปทางด้านขวา เราจะได้: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\) |
และตอนนี้ฐานของเราเท่ากันและไม่มีสัมประสิทธิ์รบกวน ฯลฯ ดังนั้นเราจึงสามารถทำการเปลี่ยนแปลงได้ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ตัวอย่าง
- แก้สมการเลขชี้กำลัง \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
คำตอบ : \(-1; 1\). คำถามยังคงอยู่ - จะเข้าใจได้อย่างไรว่าเมื่อใดควรใช้วิธีใด? สิ่งนี้มาพร้อมกับประสบการณ์ ใช้คำแนะนำทั่วไปในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนจนกว่าคุณจะพัฒนาได้ - “ถ้าคุณไม่รู้ว่าต้องทำอะไร จงทำในสิ่งที่ทำได้” นั่นคือ ดูว่าคุณจะแปลงสมการโดยหลักการได้อย่างไร แล้วลองทำดู - จะเกิดอะไรขึ้นหากเกิดอะไรขึ้น? สิ่งสำคัญคือทำเฉพาะการแปลงทางคณิตศาสตร์เท่านั้น สมการเลขชี้กำลังที่ไม่มีคำตอบลองดูอีกสองสถานการณ์ที่มักทำให้นักเรียนสับสน: มาลองแก้โดยใช้กำลังดุร้ายกัน ถ้า x เป็นจำนวนบวก เมื่อ x เพิ่มขึ้น กำลังทั้งหมด \(2^x\) จะเพิ่มขึ้นเท่านั้น: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(x=0\); \(2^0=1\) โดย. X ลบยังคงอยู่ เมื่อนึกถึงคุณสมบัติ \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) เราจะตรวจสอบ: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) แม้ว่าตัวเลขจะน้อยลงในแต่ละขั้นตอน แต่ก็ไม่มีวันถึงศูนย์เลย ระดับลบไม่ได้ช่วยเรา เรามาถึงข้อสรุปเชิงตรรกะ: จำนวนบวกไม่ว่าในระดับใดก็ตามจะยังคงเป็นจำนวนบวกดังนั้นสมการทั้งสองข้างต้นจึงไม่มีคำตอบ สมการเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกันในทางปฏิบัติ บางครั้งเราพบสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐานต่างกันซึ่งไม่สามารถลดซึ่งกันและกันได้ และในขณะเดียวกันก็พบสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดียวกัน มีลักษณะดังนี้: \(a^(f(x))=b^(f(x))\) โดยที่ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น: \(7^(x)=11^(x)\) สมการดังกล่าวสามารถแก้ได้ง่ายๆ ด้วยการหารด้วยด้านใดๆ ของสมการ (โดยปกติจะหารด้วยด้านขวา ซึ่งก็คือ \(b^(f(x))\) คุณสามารถหารด้วยวิธีนี้ได้เนื่องจากเป็นจำนวนบวก เป็นบวกต่อกำลังใดๆ (นั่นคือ เราไม่หารด้วยศูนย์) \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) ตัวอย่าง
- แก้สมการเลขชี้กำลัง \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
คำตอบ : \(-7\). บางครั้ง "ความเหมือนกัน" ของเลขชี้กำลังอาจไม่ชัดเจน แต่การใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังอย่างชำนาญสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้ ตัวอย่าง
- แก้สมการเลขชี้กำลัง \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
คำตอบ : \(2\). |
นี่คือชื่อของสมการในรูปแบบที่ไม่ทราบค่าอยู่ในทั้งเลขยกกำลังและฐานของกำลัง
คุณสามารถระบุอัลกอริธึมที่ชัดเจนสำหรับการแก้สมการของแบบฟอร์มได้ ในการทำเช่นนี้คุณต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่าเมื่อใด โอ้)ไม่เท่ากับศูนย์ หนึ่ง และลบหนึ่ง ความเท่าเทียมกันขององศาที่มีฐานเดียวกัน (ไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ) จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเลขชี้กำลังเท่ากัน นั่นคือรากของสมการทั้งหมดจะเป็นรากของสมการ ฉ(x) = ก(x)ข้อความสนทนาไม่เป็นความจริงเมื่อใด โอ้)< 0 และค่าเศษส่วน ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)การแสดงออก โอ้) ฉ(x) และ
โอ้) ก.(เอ็กซ์) สูญเสียความหมายของพวกเขา นั่นคือเมื่อย้ายจากที่หนึ่ง ฉ(x) = ก(x)(สำหรับ และ รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น ซึ่งจำเป็นต้องแยกออกโดยตรวจสอบกับสมการดั้งเดิม และกรณีต่างๆ ก = 0, ก = 1, ก = -1ต้องพิจารณาแยกกัน
ดังนั้น เพื่อแก้สมการโดยสมบูรณ์ เราจะพิจารณากรณีต่างๆ:
ก(x) = O ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)จะเป็นจำนวนบวก นี่คือคำตอบ มิฉะนั้นไม่มี
ก(x) = 1- รากของสมการนี้ก็คือรากของสมการดั้งเดิมเช่นกัน
ก(x) = -1- หากค่า x เป็นไปตามสมการนี้ ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)เป็นจำนวนเต็มที่มีความเท่าเทียมกัน (เป็นคู่หรือคี่ทั้งคู่) นี่คือคำตอบ มิฉะนั้นไม่มี
เมื่อใดและเราแก้สมการ ฉ(x)= ก(x)และโดยการแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับลงในสมการดั้งเดิมเราจะตัดรากภายนอกออก
ตัวอย่างการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง
ตัวอย่างหมายเลข 1
1) x - 3 = 0, x = 3 เพราะ 3 > 0 และ 3 2 > 0 แล้ว x 1 = 3 คือคำตอบ
2) x - 3 = 1, x 2 = 4
3) x - 3 = -1, x = 2 ตัวบ่งชี้ทั้งสองเป็นเลขคู่ ผลเฉลยนี้คือ x 3 = 1
4) x - 3 ? 0 และ x? ± 1. x = x 2, x = 0 หรือ x = 1 สำหรับ x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - วิธีแก้ไขนี้ถูกต้อง: x 4 = 0 สำหรับ x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - วิธีแก้นี้ถูกต้อง x 5 = 1
คำตอบ: 0, 1, 2, 3, 4
ตัวอย่างหมายเลข 2
ตามคำจำกัดความของรากที่สองทางคณิตศาสตร์: x - 1? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 หรือ x = 1, = 0, 0 0 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา
2) x - 1 = 1 x 1 = 2
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 ไม่พอดีกับ ODZ
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - ไม่มีราก