การแยกตัวประกอบของความแตกต่างด้านกำลัง วิธีการ แยกตัวประกอบสมการพีชคณิต
แยกตัวประกอบพหุนาม ส่วนที่ 2
ในบทความนี้เราจะพูดคุยเกี่ยวกับวิธีการต่อไป แยกตัวประกอบพหุนามเราได้กล่าวไปแล้ว การแยกตัวประกอบเป็นเทคนิคสากลที่ช่วยแก้สมการและอสมการที่ซับซ้อน ความคิดแรกที่ควรคำนึงถึงเมื่อแก้สมการและอสมการที่มีศูนย์ทางด้านขวาคือพยายามแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย
เรามาแสดงรายการหลักกัน วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม:
- นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
- โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ
- โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง
- วิธีการจัดกลุ่ม
- การหารพหุนามด้วยทวินาม
- วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่แน่นอน
เราได้ดูรายละเอียดแล้ว ในบทความนี้เราจะเน้นไปที่วิธีที่สี่ วิธีการจัดกลุ่ม
หากจำนวนพจน์ในพหุนามเกินสาม เราจะพยายามนำไปใช้ วิธีการจัดกลุ่ม- มันเป็นดังนี้:
1.เราจัดกลุ่มเทอมในลักษณะเฉพาะ เพื่อแยกตัวประกอบแต่ละกลุ่มด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งได้ เกณฑ์ในการจัดกลุ่มคำศัพท์อย่างถูกต้องคือการมีปัจจัยที่เหมือนกันในแต่ละกลุ่ม
2. เราใส่ตัวประกอบเดียวกันออกจากวงเล็บ
เนื่องจากมีการใช้วิธีนี้บ่อยที่สุด เราจะวิเคราะห์ด้วยตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1
สารละลาย. 1. มารวมคำศัพท์เข้ากลุ่ม:
2. พิจารณาปัจจัยร่วมจากแต่ละกลุ่ม:
3. มาดูปัจจัยร่วมกันของทั้งสองกลุ่มกัน:
ตัวอย่างที่ 2แยกตัวประกอบนิพจน์:
1. ลองจัดกลุ่มคำศัพท์สามคำสุดท้ายและแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง:
2. ให้เราแยกตัวประกอบนิพจน์ผลลัพธ์โดยใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง:
ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ:
มีพจน์สี่พจน์ทางด้านซ้ายของสมการ ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายโดยใช้การจับกลุ่มกัน
1. เพื่อให้โครงสร้างของด้านซ้ายของสมการชัดเจนขึ้น เราแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร: ,
เราได้รับสมการดังนี้:
2. ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายโดยใช้การจัดกลุ่ม:
ความสนใจ! เพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดกับเครื่องหมายฉันขอแนะนำให้รวมคำศัพท์ออกเป็นกลุ่ม "ตามสภาพ" นั่นคือโดยไม่ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์และในขั้นตอนต่อไปหากจำเป็นให้นำ "ลบ" ออกจาก วงเล็บ
3. เราได้สมการดังนี้:
4. กลับสู่ตัวแปรเดิม:
ลองหารทั้งสองข้างด้วย. เราได้รับ: . จากที่นี่
คำตอบ: 0
ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ:
เพื่อให้โครงสร้างของสมการมีความ “โปร่งใส” มากขึ้น เราจึงแนะนำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร:
เราได้รับสมการ:
ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการกัน ในการดำเนินการนี้ เราจะจัดกลุ่มคำศัพท์ที่หนึ่งและสองและนำออกจากวงเล็บ:
เอามันออกจากวงเล็บ:
กลับไปที่สมการ:
จากที่นี่หรือ
กลับไปที่ตัวแปรเดิม:
โดยทั่วไปงานนี้ต้องใช้แนวทางที่สร้างสรรค์เนื่องจากไม่มีวิธีการสากลในการแก้ปัญหา แต่เรามาลองให้คำแนะนำเล็กน้อย
ในกรณีส่วนใหญ่อย่างท่วมท้น การแยกตัวประกอบของพหุนามขึ้นอยู่กับข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ กล่าวคือ พบหรือเลือกรากได้ และระดับของพหุนามจะลดลงหนึ่งโดยหารด้วย ค้นหารากของพหุนามผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งขยายตัวสมบูรณ์
หากไม่พบรูต จะใช้วิธีการขยายเฉพาะ: ตั้งแต่การจัดกลุ่มไปจนถึงการแนะนำข้อกำหนดเพิ่มเติมที่ไม่เกิดร่วมกัน
การนำเสนอเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับทักษะการแก้สมการระดับที่สูงกว่าด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม
คร่อมปัจจัยร่วม
เริ่มต้นด้วยกรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อเทอมอิสระเท่ากับศูนย์ นั่นคือพหุนามมีรูปแบบ .
แน่นอนว่ารากของพหุนามดังกล่าวคือ นั่นคือ เราสามารถแสดงพหุนามในรูปแบบได้
วิธีการนี้ไม่มีอะไรมากไปกว่า นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ.
ตัวอย่าง.
แยกตัวประกอบพหุนามดีกรี 3.
สารละลาย.
แน่นอนว่ารากของพหุนามคืออะไร เอ็กซ์สามารถถอดออกจากวงเล็บได้:
ลองหารากของตรีโกณมิติกำลังสองกัน
ดังนั้น,
ด้านบนของหน้า
แยกตัวประกอบพหุนามด้วยรากตรรกยะ
ขั้นแรก ลองพิจารณาวิธีการขยายพหุนามด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดจะเท่ากับหนึ่ง
ในกรณีนี้ ถ้าพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม พวกมันก็จะเป็นตัวหารของพจน์อิสระ
ตัวอย่าง.
สารละลาย.
ตรวจสอบว่ามีรากที่สมบูรณ์หรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนตัวหารของตัวเลขลงไป -18
- นั่นคือ ถ้าพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าพวกมันอยู่ในกลุ่มตัวเลขที่เขียน มาตรวจสอบตัวเลขเหล่านี้ตามลำดับโดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ ความสะดวกของมันยังอยู่ที่ว่าท้ายที่สุดแล้วเราได้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของพหุนาม:
นั่นคือ x=2และ x=-3เป็นรากของพหุนามดั้งเดิมและเราสามารถแสดงมันเป็นผลคูณได้:
มันยังคงต้องขยายตรีโกณมิติกำลังสอง
การแยกแยะของตรีนามนี้เป็นลบ ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง
คำตอบ:
ความคิดเห็น:
แทนที่จะใช้แผนผังของฮอร์เนอร์ เราสามารถใช้การเลือกรากและการหารพหุนามในภายหลังด้วยพหุนามได้
ตอนนี้ให้พิจารณาการขยายตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ และค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดไม่เท่ากับหนึ่ง
ในกรณีนี้ พหุนามสามารถมีรากที่เป็นตรรกยะแบบเศษส่วนได้
ตัวอย่าง.
แยกตัวประกอบนิพจน์
สารละลาย.
โดยทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปร y=2xมาดูพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ที่ระดับสูงสุดกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คูณนิพจน์ด้วย 4 .
หากฟังก์ชันผลลัพธ์มีรากเป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าฟังก์ชันเหล่านั้นอยู่ในตัวหารของพจน์อิสระ มาเขียนกัน:
ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันตามลำดับ ก(ย)ณ จุดเหล่านี้จนกระทั่งถึงศูนย์
การแยกตัวประกอบพหุนามเป็นการเปลี่ยนแปลงเอกลักษณ์ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่พหุนามถูกแปลงเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ ได้แก่ พหุนามหรือเอกนาม
มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม
วิธีที่ 1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
การแปลงนี้เป็นไปตามกฎการกระจายของการคูณ: ac + bc = c(a + b) สาระสำคัญของการเปลี่ยนแปลงคือการแยกปัจจัยร่วมในองค์ประกอบทั้งสองที่อยู่ระหว่างการพิจารณาและ "นำ" ออกจากวงเล็บ
ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม 28x 3 – 35x 4
สารละลาย.
1. ค้นหาตัวหารร่วมสำหรับองค์ประกอบ 28x3 และ 35x4 สำหรับ 28 และ 35 จะเป็น 7; สำหรับ x 3 และ x 4 – x 3 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประกอบร่วมของเราคือ 7x 3
2. เราแสดงแต่ละองค์ประกอบเป็นผลคูณของปัจจัย ซึ่งหนึ่งในนั้น
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x
3. เรานำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x)
วิธีที่ 2. การใช้สูตรคูณแบบย่อ “ความเชี่ยวชาญ” ของการใช้วิธีนี้คือการสังเกตหนึ่งในสูตรการคูณแบบย่อในนิพจน์
ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม x 6 – 1
สารละลาย.
1. เราสามารถใช้ผลต่างของสูตรกำลังสองกับนิพจน์นี้ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองจินตนาการถึง x 6 เป็น (x 3) 2 และ 1 เป็น 1 2 เช่น 1. นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1)
2. เราสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์กับนิพจน์ผลลัพธ์:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)
ดังนั้น,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1)
วิธีที่ 3 การจัดกลุ่ม วิธีการจัดกลุ่มคือการรวมส่วนประกอบของพหุนามในลักษณะที่ง่ายต่อการดำเนินการกับส่วนประกอบเหล่านั้น (การบวก การลบ การลบตัวประกอบร่วม)
ลองแยกตัวประกอบพหุนาม x 3 – 3x 2 + 5x – 15 กัน
สารละลาย.
1. มาจัดกลุ่มส่วนประกอบด้วยวิธีนี้: องค์ประกอบที่ 1 กับองค์ประกอบที่ 2 และองค์ประกอบที่ 3 กับองค์ประกอบที่ 4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15)
2. ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ: x 2 ในกรณีแรกและ 5 ในกรณีที่สอง
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3)
3. เรานำตัวประกอบร่วม x – 3 ออกจากวงเล็บแล้วได้:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5)
ดังนั้น,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
มารักษาความปลอดภัยของวัสดุกันเถอะ
แยกตัวประกอบพหุนาม a 2 – 7ab + 12b 2
สารละลาย.
1. ให้เราแทน monomial 7ab เป็นผลรวมของ 3ab + 4ab การแสดงออกจะอยู่ในรูปแบบ:
ก 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.
มาเปิดวงเล็บแล้วรับ:
ก 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. มาจัดกลุ่มส่วนประกอบของพหุนามในลักษณะนี้: อันดับแรกกับอันดับที่ 2 และอันดับที่ 3 กับอันดับที่ 4 เราได้รับ:
(ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2)
3. นำปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บ:
(ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = ก(ก – 3b) – 4b(ก – 3b)
4. นำตัวประกอบร่วม (a – 3b) ออกจากวงเล็บ:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b)
ดังนั้น,
ก 2 – 7ab + 12b 2 =
= ก 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= ก 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (ก 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= ก(ก – 3b) – 4b(ก – 3b) =
= (ก – 3 ข) ∙ (ก – 4ข)
blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม
แยกตัวประกอบพหุนาม ส่วนที่ 1
การแยกตัวประกอบเป็นเทคนิคสากลที่ช่วยแก้สมการและอสมการที่ซับซ้อน ความคิดแรกที่ควรคำนึงถึงเมื่อแก้สมการและอสมการที่มีศูนย์ทางด้านขวาคือพยายามแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย
เรามาแสดงรายการหลักกัน วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม:
- นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
- โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ
- โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง
- วิธีการจัดกลุ่ม
- การหารพหุนามด้วยทวินาม
- วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน
ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับสามวิธีแรก และเราจะพิจารณาส่วนที่เหลือในบทความต่อๆ ไป
1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
หากต้องการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ คุณต้องหามันให้เจอก่อน ตัวคูณร่วมทั่วไปเท่ากับตัวหารร่วมมากของสัมประสิทธิ์ทั้งหมด
ส่วนจดหมายตัวประกอบร่วมจะเท่ากับผลคูณของนิพจน์ที่อยู่ในแต่ละพจน์ซึ่งมีเลขชี้กำลังน้อยที่สุด
รูปแบบการเพิ่มตัวคูณทั่วไปมีลักษณะดังนี้:
ความสนใจ!
จำนวนคำศัพท์ในวงเล็บเท่ากับจำนวนคำศัพท์ในนิพจน์ดั้งเดิม ถ้าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งตรงกับตัวประกอบร่วม เมื่อหารด้วยตัวประกอบร่วม เราก็จะได้ค่าหนึ่ง
ตัวอย่างที่ 1
แยกตัวประกอบพหุนาม:
ลองเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บดู. ในการทำเช่นนี้เราจะพบมันก่อน
1. ค้นหาตัวหารร่วมมากที่สุดของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนาม เช่น หมายเลข 20, 35 และ 15 มีค่าเท่ากับ 5
2. เราพิสูจน์ได้ว่าตัวแปรนั้นมีอยู่ในทุกพจน์ และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดเท่ากับ 2 ตัวแปรนั้นมีอยู่ในทุกพจน์ และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดคือ 3
ตัวแปรจะมีอยู่ในเทอมที่สองเท่านั้น ดังนั้นจึงไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยร่วม
ดังนั้นปัจจัยรวมคือ
3. เรานำตัวคูณออกจากวงเล็บโดยใช้แผนภาพที่ให้ไว้ด้านบน:
ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ:
สารละลาย. ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการกัน เอาตัวประกอบออกจากวงเล็บ:
เราก็จะได้สมการ
ลองแบ่งแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์:
เราได้รับ - รากของสมการแรก
ราก:
คำตอบ: -1, 2, 4
2. การแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ
หากจำนวนพจน์ในพหุนามที่เราแยกตัวประกอบน้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 เราจะลองใช้สูตรการคูณแบบย่อ
1. ถ้าเป็นพหุนามความแตกต่างของสองคำแล้วเราลองสมัครดู สูตรผลต่างกำลังสอง:
หรือ ความแตกต่างของสูตรลูกบาศก์:
นี่คือตัวอักษร และแสดงถึงตัวเลขหรือนิพจน์พีชคณิต
2. ถ้าพหุนามเป็นผลรวมของสองเทอม ก็อาจใช้การแยกตัวประกอบได้ สูตรผลรวมของลูกบาศก์:
3. ถ้าพหุนามประกอบด้วยสามเทอม เราก็จะลองใช้ดู สูตรผลรวมกำลังสอง:
หรือ สูตรผลต่างกำลังสอง:
หรือเราพยายามแยกตัวประกอบด้วย สูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:
ตรงนี้และคือรากของสมการกำลังสอง
ตัวอย่างที่ 3แยกตัวประกอบนิพจน์:
สารละลาย. เรามีผลรวมของสองเทอมตรงหน้าเรา ลองใช้สูตรหาผลรวมของลูกบาศก์ดู ในการดำเนินการนี้ ขั้นแรกคุณต้องแสดงแต่ละพจน์เป็นลูกบาศก์ของนิพจน์ จากนั้นจึงใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์:
ตัวอย่างที่ 4แยกตัวประกอบนิพจน์:
การตัดสินใจ. ตรงนี้เรามีผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์ นิพจน์แรก: , นิพจน์ที่สอง:
ลองใช้สูตรหาผลต่างของกำลังสอง:
ลองเปิดวงเล็บและเพิ่มคำที่คล้ายกันเราจะได้:
เพื่อที่จะแยกตัวประกอบ จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น นี่เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้สามารถลดลงได้อีก การขยายตัวของพหุนามสมเหตุสมผลเมื่อดีกรีของมันไม่ต่ำกว่าสอง พหุนามที่มีดีกรี 1 เรียกว่าเชิงเส้น
ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1
บทความนี้จะครอบคลุมแนวคิดทั้งหมดเกี่ยวกับการสลายตัว รากฐานทางทฤษฎี และวิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม
ทฤษฎี
ทฤษฎีบท 1เมื่อพหุนามใดๆ ที่มีดีกรี n จะมีรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + - - + a 1 x + a 0 แสดงเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีปัจจัยคงที่โดยมีระดับสูงสุด a n และ n ปัจจัยเชิงเส้น (x - x i), i = 1, 2, ..., n จากนั้น P n (x) = ก n (x - x n) (x - x n - 1) · . - - · (x - x 1) โดยที่ x i, i = 1, 2, …, n คือรากของพหุนาม
ทฤษฎีบทนี้มีไว้สำหรับรากของประเภทเชิงซ้อน x i, i = 1, 2, …, n และสำหรับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน a k, k = 0, 1, 2, …, n นี่คือพื้นฐานของการสลายตัวใดๆ
เมื่อสัมประสิทธิ์ของรูปแบบ a k, k = 0, 1, 2, …, n เป็นจำนวนจริง จากนั้นรากเชิงซ้อนที่จะเกิดขึ้นเป็นคู่คอนจูเกต ตัวอย่างเช่น ราก x 1 และ x 2 เกี่ยวข้องกับพหุนามในรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 ถือเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน จากนั้นรากอื่น ๆ นั้นเป็นจำนวนจริง ซึ่งเราได้ว่าพหุนามอยู่ในรูปแบบ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . - - · (x - x 3) x 2 + p x + q โดยที่ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
ความคิดเห็น
รากของพหุนามสามารถทำซ้ำได้ ลองพิจารณาการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีชคณิตซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของเบซูต์
ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต
ทฤษฎีบท 2พหุนามใดๆ ที่มีดีกรี n จะมีรากอย่างน้อยหนึ่งอัน
ทฤษฎีบทของเบซูต์
หลังจากหารพหุนามในรูปแบบ P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 บน (x - s) จากนั้นเราจะได้ส่วนที่เหลือซึ่งเท่ากับพหุนามที่จุด s จากนั้นเราจะได้
Pnx = กnxn + กn - 1 xn - 1 + - - + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) โดยที่ Q n - 1 (x) เป็นพหุนามที่มีดีกรี n - 1
ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์
เมื่อรากของพหุนาม P n (x) ถูกพิจารณาว่าเป็น s แล้ว P n x = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + ก 1 x + ก 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . ข้อพิสูจน์นี้เพียงพอแล้วเมื่อใช้อธิบายวิธีแก้ปัญหา
แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง
ตรีโกณมิติกำลังสองในรูปแบบ a x 2 + b x + c สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ จากนั้นเราจะได้ว่า a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) โดยที่ x 1 และ x 2 เป็นราก (เชิงซ้อนหรือจำนวนจริง)
นี่แสดงให้เห็นว่าการขยายตัวลดลงจนนำไปสู่การแก้สมการกำลังสองในภายหลัง
ตัวอย่างที่ 1
แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง.
สารละลาย
จำเป็นต้องค้นหารากของสมการ 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตร จากนั้นเราจะได้ D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 จากที่นี่เรามีสิ่งนั้น
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
จากนี้เราจะได้ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1
หากต้องการตรวจสอบ คุณจะต้องเปิดวงเล็บ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ในรูปแบบ:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
หลังจากตรวจสอบแล้วเราก็มาถึงสำนวนดั้งเดิม กล่าวคือเราสามารถสรุปได้ว่าการสลายตัวนั้นดำเนินไปอย่างถูกต้อง
ตัวอย่างที่ 2
แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ 3 x 2 - 7 x - 11
สารละลาย
เราพบว่าจำเป็นต้องคำนวณสมการกำลังสองที่ได้ในรูปแบบ 3 x 2 - 7 x - 11 = 0
ในการค้นหาราก คุณจำเป็นต้องกำหนดค่าของการแบ่งแยก เราเข้าใจแล้ว
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
จากนี้ เราจะได้ว่า 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
ตัวอย่างที่ 3
แยกตัวประกอบพหุนาม 2 x 2 + 1
สารละลาย
ตอนนี้เราต้องแก้สมการกำลังสอง 2 x 2 + 1 = 0 แล้วหารากของมัน เราเข้าใจแล้ว
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ฉัน x 2 = - 1 2 = - 1 2 ฉัน
รากเหล่านี้เรียกว่าคอนจูเกตเชิงซ้อน ซึ่งหมายความว่าส่วนขยายสามารถแสดงเป็น 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i
ตัวอย่างที่ 4
สลายตรีโกณมิติกำลังสอง x 2 + 1 3 x + 1 .
สารละลาย
ก่อนอื่นคุณต้องแก้สมการกำลังสองในรูปแบบ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 แล้วหารากของมัน
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · ฉัน x 2 = - 1 3 - ง 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ฉัน 2 = - 1 - 35 · ฉัน 6 = - 1 6 - 35 6 · ฉัน
เมื่อได้รากแล้วเราก็เขียน
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ฉัน x - - 1 6 - 35 6 ฉัน = = x + 1 6 - 35 6 ฉัน x + 1 6 + 35 6 ฉัน
ความคิดเห็น
ถ้าค่าจำแนกเป็นลบ พหุนามจะยังคงเป็นพหุนามลำดับที่สอง จากนี้ไปเราจะไม่ขยายมันเป็นตัวประกอบเชิงเส้น
วิธีการแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง
เมื่อสลายตัวจะถือว่าใช้วิธีสากล กรณีส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของเบซูต์ ในการทำเช่นนี้คุณต้องเลือกค่าของรูท x 1 และลดระดับของมันด้วยการหารด้วยพหุนามด้วย 1 โดยหารด้วย (x - x 1) ผลลัพธ์พหุนามจะต้องค้นหาราก x 2 และกระบวนการค้นหาจะเป็นวัฏจักรจนกว่าเราจะได้ส่วนขยายที่สมบูรณ์
หากไม่พบรูทก็จะใช้วิธีการแยกตัวประกอบอื่น: การจัดกลุ่มข้อกำหนดเพิ่มเติม หัวข้อนี้เกี่ยวข้องกับการแก้สมการด้วยกำลังที่สูงกว่าและสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม
นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
พิจารณากรณีที่เทอมอิสระเท่ากับศูนย์ รูปแบบของพหุนามจะกลายเป็น P n (x) = a n x n + a n - 1 xn - 1 + - - + ก 1 x .
จะเห็นได้ว่ารากของพหุนามดังกล่าวจะเท่ากับ x 1 = 0 จากนั้นพหุนามสามารถแสดงเป็นนิพจน์ P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + - - + ก 1 x = = x (น x n - 1 + ก n - 1 x n - 2 + . . . + ก 1)
วิธีนี้ถือเป็นการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
ตัวอย่างที่ 5
แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีที่สาม 4 x 3 + 8 x 2 - x
สารละลาย
เราจะเห็นว่า x 1 = 0 เป็นรากของพหุนามที่กำหนด จากนั้นเราสามารถลบ x ออกจากวงเล็บของนิพจน์ทั้งหมดได้ เราได้รับ:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
มาดูการหารากของกำลังสองตรีโกณมิติ 4 x 2 + 8 x - 1 กัน เรามาค้นหาความแตกต่างและรากกันดีกว่า:
ง = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + ง 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - ง 2 4 = - 1 - 5 2
แล้วมันเป็นไปตามนั้น
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
ขั้นแรกให้เราพิจารณาวิธีการสลายตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . - - + a 1 x + a 0 โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ระดับสูงสุดคือ 1
เมื่อพหุนามมีรากที่เป็นจำนวนเต็ม จะถือว่าเป็นตัวหารของพจน์อิสระ
ตัวอย่างที่ 6
แยกนิพจน์ f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18
สารละลาย
ลองพิจารณาว่ามีรากที่สมบูรณ์หรือไม่ จำเป็นต้องเขียนตัวหารของตัวเลข - 18 เราได้ ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 ตามมาว่าพหุนามนี้มีรากเป็นจำนวนเต็ม คุณสามารถตรวจสอบได้โดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ สะดวกมากและช่วยให้คุณได้ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของพหุนามอย่างรวดเร็ว:
ตามมาว่า x = 2 และ x = - 3 เป็นรากของพหุนามดั้งเดิม ซึ่งสามารถแสดงเป็นผลคูณของรูปแบบได้:
ฉ (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
เราดำเนินการขยายตรีโกณมิติกำลังสองของรูปแบบ x 2 + 2 x + 3
เนื่องจากการแบ่งแยกเป็นลบ หมายความว่าไม่มีรากที่แท้จริง
คำตอบ:ฉ (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
ความคิดเห็น
อนุญาตให้ใช้การเลือกรากและการหารพหุนามด้วยพหุนามแทนโครงร่างของฮอร์เนอร์ มาดูการขยายพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในรูปแบบ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . - - + a 1 x + a 0 ซึ่งค่าสูงสุดเท่ากับ 1
กรณีนี้เกิดขึ้นกับเศษส่วนตรรกยะ
ตัวอย่างที่ 7
แยกตัวประกอบ f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15
สารละลาย
จำเป็นต้องแทนที่ตัวแปร y = 2 x คุณควรเลื่อนไปยังพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ที่ระดับสูงสุด คุณต้องเริ่มต้นด้วยการคูณนิพจน์ด้วย 4 เราเข้าใจแล้ว
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
เมื่อฟังก์ชันผลลัพธ์ของรูปแบบ g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 มีรากจำนวนเต็ม ตำแหน่งของพวกมันจะอยู่ในหมู่ตัวหารของเทอมอิสระ รายการจะมีลักษณะดังนี้:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
มาดูการคำนวณฟังก์ชัน g (y) ที่จุดเหล่านี้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ เราเข้าใจแล้ว
ก. (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ก. (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ก. (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ก. (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ก. (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 กรัม (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 กรัม (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 กรัม (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 กรัม (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1,070 กรัม (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
เราพบว่า y = - 5 คือรากของสมการในรูปแบบ y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ซึ่งหมายความว่า x = y 2 = - 5 2 คือรากของฟังก์ชันดั้งเดิม
ตัวอย่างที่ 8
จำเป็นต้องหารด้วยคอลัมน์ 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2
สารละลาย
ลองเขียนมันลงไปแล้วรับ:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
การตรวจสอบตัวหารจะใช้เวลานาน ดังนั้นจึงมีประโยชน์มากกว่าที่จะแยกตัวประกอบผลลัพธ์ของกำลังสองในรูปตรีโกณมิติ x 2 + 7 x + 3 เมื่อเท่ากับศูนย์เราจะพบการเลือกปฏิบัติ
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
มันเป็นไปตามนั้น
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
เทคนิคประดิษฐ์สำหรับการแยกตัวประกอบพหุนาม
รากตรรกยะไม่มีอยู่ในพหุนามทั้งหมด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องใช้วิธีการพิเศษเพื่อค้นหาปัจจัย แต่ไม่ใช่ว่าพหุนามทั้งหมดจะสามารถขยายหรือแสดงเป็นผลคูณได้
วิธีการจัดกลุ่ม
มีหลายกรณีที่คุณสามารถจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนามเพื่อค้นหาตัวประกอบร่วมและนำออกจากวงเล็บได้
ตัวอย่างที่ 9
แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2
สารละลาย
เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นรากจึงสามารถสันนิษฐานว่าเป็นจำนวนเต็มได้เช่นกัน ในการตรวจสอบให้ใช้ค่า 1, - 1, 2 และ - 2 เพื่อคำนวณค่าพหุนามที่จุดเหล่านี้ เราเข้าใจแล้ว
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
นี่แสดงว่าไม่มีรากจึงจำเป็นต้องใช้วิธีขยายและวิธีแก้ปัญหาแบบอื่น
มีความจำเป็นต้องจัดกลุ่ม:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
หลังจากจัดกลุ่มพหุนามดั้งเดิมแล้ว คุณต้องแสดงมันเป็นผลคูณของตรีโกณมิติกำลังสองสองอัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องแยกตัวประกอบ เราเข้าใจแล้ว
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - ง 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - ง 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
ความคิดเห็น
ความเรียบง่ายของการจัดกลุ่มไม่ได้หมายความว่าการเลือกคำศัพท์นั้นง่ายพอ ไม่มีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทและกฎพิเศษ
ตัวอย่างที่ 10
แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2
สารละลาย
พหุนามที่กำหนดไม่มีรากจำนวนเต็ม ควรจัดกลุ่มข้อกำหนด เราเข้าใจแล้ว
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
หลังจากการแยกตัวประกอบ เราจะได้มัน
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
การใช้สูตรคูณแบบย่อและทวินามของนิวตันเพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม
รูปลักษณ์ภายนอกมักไม่ได้ทำให้ชัดเจนว่าควรใช้วิธีใดในระหว่างการสลายตัวเสมอไป หลังจากทำการแปลงแล้ว คุณสามารถสร้างเส้นที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมของปาสคาล ไม่เช่นนั้นจะเรียกว่าทวินามของนิวตัน
ตัวอย่างที่ 11
แยกตัวประกอบพหุนาม x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2
สารละลาย
จำเป็นต้องแปลงนิพจน์ให้เป็นแบบฟอร์ม
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
ลำดับของค่าสัมประสิทธิ์ผลรวมในวงเล็บระบุด้วยนิพจน์ x + 1 4 .
ซึ่งหมายความว่าเรามี x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3
หลังจากใช้ผลต่างของกำลังสองแล้ว เราก็จะได้
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
พิจารณานิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บเหลี่ยมที่สอง เห็นได้ชัดว่าไม่มีอัศวินอยู่ที่นั่น เราจึงควรใช้สูตรผลต่างของกำลังสองอีกครั้ง เราได้รับการแสดงออกของแบบฟอร์ม
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
ตัวอย่างที่ 12
แยกตัวประกอบ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
สารละลาย
มาแปลงนิพจน์กันเถอะ เราเข้าใจแล้ว
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
จำเป็นต้องใช้สูตรการคูณผลต่างของลูกบาศก์แบบย่อ เราได้รับ:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
วิธีการแทนที่ตัวแปรเมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม
เมื่อแทนที่ตัวแปร ระดับจะลดลงและพหุนามจะถูกแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 13
แยกตัวประกอบพหุนามของรูปแบบ x 6 + 5 x 3 + 6
สารละลาย
ตามเงื่อนไขชัดเจนว่าจำเป็นต้องเปลี่ยน y = x 3 เราได้รับ:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 ปี + 6
รากของสมการกำลังสองที่ได้คือ y = - 2 และ y = - 3 ดังนั้น
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
จำเป็นต้องใช้สูตรการคูณแบบย่อของผลรวมของลูกบาศก์ เราได้รับนิพจน์ในรูปแบบ:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
นั่นคือเราได้รับการสลายตัวตามที่ต้องการ
กรณีที่กล่าวถึงข้างต้นจะช่วยในการพิจารณาและแยกตัวประกอบพหุนามในรูปแบบต่างๆ
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter