การลดรูปกำลังสองออนไลน์ การลดรูปแบบกำลังสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน
คำจำกัดความ 10.4มุมมองที่ยอมรับได้รูปแบบกำลังสอง (10.1) เรียกว่ารูปแบบต่อไปนี้: . (10.4)
ขอให้เราแสดงให้เห็นว่าบนพื้นฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ รูปแบบกำลังสอง (10.1) จะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน อนุญาต
เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ทำให้เป็นมาตรฐานซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ แล 1 ,เล 2 ,เล 3เมทริกซ์ (10.3) ในลักษณะออร์โธนอร์มอล จากนั้นเมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านจากพื้นฐานเก่าไปเป็นเมทริกซ์ใหม่จะเป็นเมทริกซ์
- ในฐานใหม่เมทริกซ์ กจะใช้รูปแบบเส้นทแยงมุม (9.7) (โดยคุณสมบัติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ) ดังนั้นการแปลงพิกัดโดยใช้สูตร:
,
ในพื้นฐานใหม่เราได้รับรูปแบบมาตรฐานของรูปแบบกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับค่าลักษณะเฉพาะ แล 1, แล 2, แล 3:
หมายเหตุ 1. จากมุมมองทางเรขาคณิต การแปลงพิกัดที่พิจารณาคือการหมุนของระบบพิกัด โดยรวมแกนพิกัดเก่าเข้ากับแกนใหม่
หมายเหตุ 2 หากค่าลักษณะเฉพาะใดๆ ของเมทริกซ์ (10.3) ตรงกัน เราสามารถเพิ่มเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากให้กับแต่ละค่าเข้ากับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะออร์โธปกติที่สอดคล้องกัน และสร้างพื้นฐานที่รูปแบบกำลังสองใช้รูปแบบมาตรฐาน
ให้เรานำรูปแบบกำลังสองมาสู่รูปแบบมาตรฐาน
x² + 5 ย² + z² + 2 เอ็กซ์ซี + 6xz + 2yz.
เมทริกซ์ของมันมีรูปแบบ ในตัวอย่างที่กล่าวถึงในการบรรยายที่ 9 จะพบค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้:
เรามาสร้างเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากเวกเตอร์เหล่านี้เป็นพื้นฐาน:
(ลำดับของเวกเตอร์เปลี่ยนไปจนกลายเป็นสามเท่าของมือขวา) มาแปลงพิกัดโดยใช้สูตร:
ดังนั้นรูปแบบกำลังสองจะลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานโดยมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง
บรรยายครั้งที่ 11.
เส้นโค้งลำดับที่สอง วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา สมบัติและสมการบัญญัติ การลดสมการลำดับที่สองเป็นรูปแบบมาตรฐาน
คำจำกัดความ 11.1เส้นโค้งลำดับที่สองบนระนาบเรียกว่าเส้นตัดของกรวยกลมกับระนาบที่ไม่ผ่านจุดยอด
หากระนาบดังกล่าวตัดกันยีนทั้งหมดของช่องหนึ่งของกรวยจากนั้นในส่วนนั้นปรากฎ วงรีที่จุดตัดของยีนของทั้งสองช่อง – ไฮเปอร์โบลาและถ้าระนาบการตัดขนานกับเจเนราทริกซ์ใดๆ แล้วส่วนของกรวยก็จะเท่ากับ พาราโบลา.
ความคิดเห็น เส้นโค้งลำดับที่สองทั้งหมดระบุโดยสมการระดับที่สองในตัวแปรสองตัว
วงรี
คำจำกัดความ 11.2วงรีคือเซตของจุดบนระนาบซึ่งผลรวมของระยะทางถึงจุดคงที่สองจุดคือ เอฟ 1 และ เอฟ เทคนิค, เป็นค่าคงที่
ความคิดเห็น เมื่อคะแนนตรงกัน เอฟ 1 และ เอฟ 2 วงรีกลายเป็นวงกลม
ลองหาสมการของวงรีโดยเลือกระบบคาร์ทีเซียน
ใช่ ม(x,ย)พิกัดเพื่อให้แกน โอ้ตรงกับเส้นตรง เอฟ 1 เอฟ 2, เริ่มต้น
พิกัด r 1 r 2 – โดยมีจุดกึ่งกลางของส่วน เอฟ 1 เอฟ 2. ให้ความยาวของอันนี้
ส่วนจะเท่ากับ 2 กับจากนั้นในระบบพิกัดที่เลือก
ฟ 1 ฟ 2 x เอฟ 1 (-ค, 0), เอฟ 2 (ค, 0) ปล่อยให้ประเด็น ม(x, ย) อยู่บนวงรี และ
ผลรวมของระยะทางจากที่นั่นถึง เอฟ 1 และ เอฟ 2 เท่ากับ 2 ก.
แล้ว ร 1 + ร 2 = 2ก, แต่ ,
ดังนั้นการแนะนำสัญกรณ์ ข² = ก²- ค² และหลังจากดำเนินการแปลงพีชคณิตอย่างง่ายแล้ว เราก็ได้ สมการวงรีมาตรฐาน: (11.1)
คำจำกัดความ 11.3ความเยื้องศูนย์ของวงรีเรียกว่าขนาด อี=ส/ก (11.2)
คำจำกัดความ 11.4อาจารย์ใหญ่ ฉันวงรีที่สอดคล้องกับโฟกัส ฉ ฉัน ฉ ฉันสัมพันธ์กับแกน โอ้ตั้งฉากกับแกน โอ้ในระยะไกล เป็น/eจากจุดกำเนิด
ความคิดเห็น ด้วยระบบพิกัดทางเลือกที่แตกต่างกัน วงรีสามารถระบุได้ไม่ใช่โดยสมการมาตรฐาน (11.1) แต่โดยสมการระดับที่สองประเภทอื่น
คุณสมบัติวงรี:
1) วงรีมีแกนสมมาตรสองแกนตั้งฉากกัน (แกนหลักของวงรี) และจุดศูนย์กลางสมมาตร (ศูนย์กลางของวงรี) หากวงรีถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐาน แกนหลักของมันจะเป็นแกนพิกัด และจุดศูนย์กลางคือจุดกำเนิด เนื่องจากความยาวของส่วนที่เกิดจากจุดตัดของวงรีกับแกนหลักจะเท่ากับ 2 กและ 2 ข (2ก>2ข) จากนั้นแกนหลักที่ผ่านจุดโฟกัสเรียกว่าแกนเอกของวงรี และแกนหลักที่สองเรียกว่าแกนรอง
2) วงรีทั้งหมดอยู่ภายในสี่เหลี่ยม
3) ความเยื้องศูนย์ของวงรี จ< 1.
จริงหรือ,
4) ไดเรกตริกซ์ของวงรีอยู่นอกวงรี (เนื่องจากระยะห่างจากศูนย์กลางของวงรีถึงไดเรกตริกซ์คือ เป็น/e, ก จ<1, следовательно, เป็น/e>กและวงรีทั้งหมดอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)
5) อัตราส่วนระยะทาง ร ฉันจากจุดวงรีถึงโฟกัส ฉ ฉันไปไกล ฉันจากจุดนี้ถึงไดเรกตริกซ์ที่สอดคล้องกับโฟกัสจะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางของวงรี
การพิสูจน์.
ระยะทางจากจุด ม(x, ย)จนถึงจุดโฟกัสของวงรีสามารถแสดงได้ดังนี้:
มาสร้างสมการไดเรกทริกซ์กันดีกว่า:
(ดี 1), (ดี 2). แล้ว จากที่นี่ r ฉัน / d ฉัน = อีซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์
ไฮเปอร์โบลา
คำจำกัดความ 11.5อติพจน์คือเซตของจุดบนระนาบซึ่งมีโมดูลัสของผลต่างระยะทางถึงจุดคงที่สองจุด เอฟ 1 และ เอฟ 2ลำนี้เรียกว่า เทคนิค, เป็นค่าคงที่
ขอให้เราได้สมการมาตรฐานของไฮเปอร์โบลาโดยการเปรียบเทียบกับที่มาของสมการวงรีโดยใช้สัญกรณ์เดียวกัน
|r 1 - r 2 | - 2กจากที่ไหน ถ้าเราแสดงว่า ข² = ค² - ก² จากที่นี่คุณจะได้รับ
- สมการไฮเปอร์โบลาแบบบัญญัติ. (11.3)
คำนิยาม 11.6ความเยื้องศูนย์ไฮเปอร์โบลาเรียกว่าปริมาณ อี = ค/ก.
คำนิยาม 11.7อาจารย์ใหญ่ ฉันไฮเปอร์โบลาที่สอดคล้องกับโฟกัส ฉ ฉันเรียกว่าเส้นตรงที่อยู่ในครึ่งระนาบเดียวกันกับ ฉ ฉันสัมพันธ์กับแกน โอ้ตั้งฉากกับแกน โอ้ในระยะไกล เป็น/eจากจุดกำเนิด
คุณสมบัติของไฮเปอร์โบลา:
1) ไฮเปอร์โบลามีแกนสมมาตรสองแกน (แกนหลักของไฮเปอร์โบลา) และจุดศูนย์กลางสมมาตร (ศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา) ในกรณีนี้ แกนใดแกนหนึ่งตัดกับไฮเปอร์โบลาที่จุดสองจุด เรียกว่าจุดยอดของไฮเปอร์โบลา เรียกว่าแกนจริงของไฮเปอร์โบลา (แกน โอ้สำหรับตัวเลือกมาตรฐานของระบบพิกัด) แกนอีกแกนไม่มีจุดร่วมกับไฮเปอร์โบลาและเรียกว่าแกนจินตภาพ (ในพิกัดมาตรฐาน - แกน โอ้- ทั้งสองด้านเป็นกิ่งก้านด้านขวาและด้านซ้ายของไฮเปอร์โบลา จุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลาตั้งอยู่บนแกนจริง
2) สาขาของไฮเปอร์โบลามีเส้นกำกับสองเส้น ซึ่งกำหนดโดยสมการ
3) นอกเหนือจากไฮเปอร์โบลา (11.3) เราสามารถพิจารณาสิ่งที่เรียกว่าไฮเปอร์โบลาคอนจูเกต ซึ่งกำหนดโดยสมการบัญญัติ
ซึ่งแกนจริงและแกนจินตภาพถูกสลับกันโดยยังคงรักษาเส้นกำกับเดียวกัน
4) ความเยื้องศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา จ> 1.
5) อัตราส่วนระยะทาง ร ฉันจากจุดไฮเปอร์โบลาถึงโฟกัส ฉ ฉันไปไกล ฉันจากจุดนี้ถึงไดเรกตริกซ์ที่สัมพันธ์กับโฟกัสจะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลา
การพิสูจน์สามารถทำได้ในลักษณะเดียวกับวงรี
พาราโบลา
คำจำกัดความ 11.8พาราโบลาคือเซตของจุดบนระนาบซึ่งมีระยะห่างถึงจุดคงที่บางจุด เอฟระนาบนี้เท่ากับระยะทางถึงเส้นตรงคงที่บางเส้น จุด เอฟเรียกว่า จุดสนใจพาราโบลา และเส้นตรงก็คือของมัน ครูใหญ่.
เพื่อให้ได้สมการพาราโบลา เราเลือกคาร์ทีเซียน
ระบบพิกัดเพื่อให้ต้นกำเนิดอยู่ตรงกลาง
D M(x,y) ตั้งฉาก เอฟดีละเว้นจากการมุ่งเน้นไปที่คำสั่ง
r su และแกนพิกัดอยู่ในตำแหน่งขนานและ
ตั้งฉากกับผู้กำกับ ให้ความยาวของส่วน เอฟดี
D O F x เท่ากับ ร- แล้วจากความเท่าเทียมกัน ร = งมันเป็นไปตามนั้น
เพราะ
เมื่อใช้การแปลงพีชคณิต สมการนี้สามารถลดลงได้ในรูปแบบ: ย² = 2 พิกเซล, (11.4)
เรียกว่า สมการพาราโบลามาตรฐาน- ขนาด รเรียกว่า พารามิเตอร์พาราโบลา
คุณสมบัติของพาราโบลา:
1) พาราโบลามีแกนสมมาตร (แกนพาราโบลา) จุดที่พาราโบลาตัดแกนเรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา ถ้าพาราโบลาถูกกำหนดโดยสมการมาตรฐาน แกนของพาราโบลาก็คือแกน โอ้,และจุดยอดเป็นจุดกำเนิดของพิกัด
2) พาราโบลาทั้งหมดอยู่ในระนาบครึ่งด้านขวาของระนาบ โอ้.
ความคิดเห็น การใช้คุณสมบัติของไดเรกตริกซ์ของวงรีและไฮเปอร์โบลาและนิยามของพาราโบลา เราสามารถพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ได้:
เซตของจุดบนระนาบที่มีความสัมพันธ์ จระยะทางถึงจุดคงที่บางจุด ระยะห่างถึงเส้นตรงบางเส้นเป็นค่าคงที่ มันคือวงรี (ด้วย จ<1), гиперболу (при จ>1) หรือพาราโบลา (ด้วย จ=1).
ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.
220400 พีชคณิตและเรขาคณิต Tolstikov A.V.
บรรยายครั้งที่ 16. รูปแบบไบลิเนียร์และกำลังสอง
วางแผน
1. รูปแบบไบลิเนียร์และคุณสมบัติของมัน
2. รูปร่างกำลังสอง เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง การแปลงพิกัด
3. การลดรูปแบบกำลังสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน วิธีลากรองจ์
4. กฎความเฉื่อยของรูปแบบกำลังสอง
5. การลดรูปแบบกำลังสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐานโดยใช้วิธีค่าลักษณะเฉพาะ
6. เกณฑ์เงินสำหรับการกำหนดเชิงบวกของรูปกำลังสอง
1. หลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์และพีชคณิตเชิงเส้น อ.: เนากา, 2527.
2. Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์ 1997.
3. โวเอโวดิน วี.วี. พีชคณิตเชิงเส้น.. ม.: Nauka 1980.
4. รวบรวมปัญหาสำหรับวิทยาลัย พีชคณิตเชิงเส้นและพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เอ็ด Efimova A.V., Demidovich B.P.. M.: Nauka, 1981
5. บูตูซอฟ วี.เอฟ., ครูติตสกายา เอ็น.ช., ชิชคิน เอ.เอ. พีชคณิตเชิงเส้นในคำถามและปัญหา อ.: ฟิซแมทลิต, 2544.
, , , ,
1. รูปแบบไบลิเนียร์และคุณสมบัติของมันอนุญาต วี - n-ปริภูมิเวกเตอร์มิติเหนือสนาม ป.
คำจำกัดความ 1.แบบฟอร์มบิลิเนียร์กำหนดไว้บน วีการแมปดังกล่าวเรียกว่า ก: วี2® ปซึ่งแต่ละคู่ที่สั่ง ( x , ย ) เวกเตอร์ x , ย จากการใส่เข้าไป วีตรงกับหมายเลขจากสนาม ป, แสดงว่า ก(x , ย ) และเชิงเส้นในแต่ละตัวแปร x , ย , เช่น. มีคุณสมบัติ:
1) ("x , ย , z Î วี)ก(x + ย , z ) = ก(x , z ) + ก(ย , z );
2) ("x , ย Î วี) ("ก ป)ก(ก x , ย ) = ก ก(x , ย );
3) ("x , ย , z Î วี)ก(x , ย + z ) = ก(x , ย ) + ก(x , z );
4) ("x , ย Î วี) ("ก ป)ก(x , ก ย ) = ก ก(x , ย ).
ตัวอย่างที่ 1- ผลคูณดอทใดๆ ที่กำหนดบนปริภูมิเวกเตอร์ วีเป็นรูปแบบไบลิเนียร์
2 - การทำงาน ชม.(x , ย ) = 2x 1 ย 1 - x 2 ย 2 +x 2 ย 1 ที่ไหน x = (x 1 ,x 2), ย = (ย 1 ,ย 2)โอ ร 2, รูปแบบ bilinear บน ร 2 .
คำจำกัดความ 2อนุญาต โวลต์ = (โวลต์ 1 , โวลต์ 2 ,…, โวลต์ n วี.เมทริกซ์ของรูปแบบบิลิเนียร์ก(x , ย ) สัมพันธ์กับพื้นฐานโวลต์เรียกว่าเมทริกซ์ บี=(บีจ)n ´ nองค์ประกอบที่คำนวณโดยสูตร บีจ = ก(โวลต์ ฉัน, โวลต์ เจ):
ตัวอย่างที่ 3- เมทริกซ์บิลิเนียร์ ชม.(x , ย ) (ดูตัวอย่างที่ 2) สัมพันธ์กับพื้นฐาน จ 1 = (1,0), จ 2 = (0,1) เท่ากับ
ทฤษฎีบท 1. อนุญาตX, Y - พิกัดคอลัมน์ของเวกเตอร์ตามลำดับx , ยในพื้นฐานv, B - เมทริกซ์ของรูปแบบไบลิเนียร์ก(x , ย ) สัมพันธ์กับพื้นฐานโวลต์. จากนั้นรูปแบบไบลิเนียร์สามารถเขียนได้เป็น
ก(x , ย )=X ถึง โดย. (1)
การพิสูจน์.จากคุณสมบัติของรูปแบบบิลิเนียร์ที่เราได้รับ
ตัวอย่างที่ 3- แบบฟอร์มบิลิเนียร์ ชม.(x , ย ) (ดูตัวอย่างที่ 2) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ ชม.(x , ย )=.
ทฤษฎีบท 2. อนุญาต โวลต์ = (โวลต์ 1 , โวลต์ 2 ,…, โวลต์ n), คุณ = (คุณ 1 , คุณ 2 ,…, คุณ n) - ฐานปริภูมิเวกเตอร์สองตัวV, T - เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากพื้นฐานv เป็นพื้นฐานคุณ อนุญาต บี= (บีจ)n ´ n และ กับ=(กับไอจ)n ´ n - เมทริกซ์ไบลิเนียร์ก(x , ย ) ตามลำดับสัมพันธ์กับฐานโวลต์และคุณ แล้ว
กับ=ที ที บีที(2)
การพิสูจน์.ตามคำจำกัดความของเมทริกซ์ทรานซิชันและเมทริกซ์รูปแบบไบลิเนียร์ เราพบว่า:
คำจำกัดความ 2แบบฟอร์มบิลิเนียร์ ก(x , ย ) เรียกว่า สมมาตร, ถ้า ก(x , ย ) = ก(ย , x ) สำหรับใดๆ x , ย Î วี.
ทฤษฎีบท 3. แบบฟอร์มบิลิเนียร์ก(x , ย )- สมมาตร ถ้าหากเมทริกซ์ของรูปแบบบิลิเนียร์มีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อพื้นฐานใดๆ
การพิสูจน์.อนุญาต โวลต์ = (โวลต์ 1 , โวลต์ 2 ,…, โวลต์ n) - พื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ วี บี= (บีจ)n ´ n- เมทริกซ์รูปแบบไบลิเนียร์ ก(x , ย ) สัมพันธ์กับพื้นฐาน โวลต์ปล่อยให้รูปแบบไบลิเนียร์ ก(x , ย ) - สมมาตร จากนั้นตามคำจำกัดความ 2 สำหรับค่าใดๆ ฉัน เจ = 1, 2,…, nเรามี บีจ = ก(โวลต์ ฉัน, โวลต์ เจ) = ก(โวลต์ เจ, โวลต์ ฉัน) = บีจี- จากนั้นเมทริกซ์ บี- สมมาตร
ในทางกลับกัน ให้เมทริกซ์ บี- สมมาตร แล้ว บีที= บีและสำหรับเวกเตอร์ใดๆ x = x 1 โวลต์ 1 + …+ เอ็กซ์เอ็น โวลต์ n =วีเอ็กซ์, ย = ย 1 โวลต์ 1 + ย 2 โวลต์ 2 +…+ ใช่ โวลต์ n =วีวาย Î วีตามสูตร (1) ที่เราได้รับ (เราคำนึงว่าตัวเลขนั้นเป็นเมทริกซ์ลำดับที่ 1 และไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการขนย้าย)
ก(x , ย ) =ก(x , ย )ที = (X ถึง โดย)ที = ใช่ B และ X = ก(ย , x ).
2. รูปร่างกำลังสอง เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสอง การแปลงพิกัด
คำจำกัดความ 1.รูปร่างกำลังสองกำหนดไว้บน วีเรียกว่าการทำแผนที่ ฉ:วี® ปซึ่งสำหรับเวกเตอร์ใดๆ x จาก วีถูกกำหนดด้วยความเท่าเทียมกัน ฉ(x ) = ก(x , x ), ที่ไหน ก(x , ย ) เป็นรูปแบบไบลิเนียร์สมมาตรที่กำหนดไว้ วี .
คุณสมบัติ 1.ตามรูปแบบกำลังสองที่กำหนดฉ(x )รูปแบบไบลิเนียร์พบได้เฉพาะตามสูตร
ก(x , ย ) = 1/2(ฉ(x + ย ) - ฉ(x )-ฉ(ย )). (1)
การพิสูจน์.สำหรับเวกเตอร์ใดๆ x , ย Î วีเราได้รับจากคุณสมบัติของรูปแบบไบลิเนียร์
ฉ(x + ย ) = ก(x + ย , x + ย ) = ก(x , x + ย ) + ก(ย , x + ย ) = ก(x , x ) + ก(x , ย ) + ก(ย , x ) + ก(ย , ย ) = ฉ(x ) + 2ก(x , ย ) + ฉ(ย ).
จากนี้ตามสูตร (1)
คำจำกัดความ 2เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองฉ(x ) สัมพันธ์กับพื้นฐานโวลต์ = (โวลต์ 1 , โวลต์ 2 ,…, โวลต์ n) คือเมทริกซ์ของรูปแบบไบลิเนียร์แบบสมมาตรที่สอดคล้องกัน ก(x , ย ) สัมพันธ์กับพื้นฐาน โวลต์.
ทฤษฎีบท 1. อนุญาตเอ็กซ์= (x 1 ,x 2 ,…, เอ็กซ์เอ็น)ที- คอลัมน์พิกัดของเวกเตอร์x ในพื้นฐานv, B - เมทริกซ์ของรูปแบบกำลังสองฉ(x ) สัมพันธ์กับพื้นฐานโวลต์. แล้วก็รูปกำลังสองฉ(x )
การลดรูปกำลังสอง
ลองพิจารณาวิธีการปฏิบัติที่ง่ายที่สุดและใช้บ่อยที่สุดในการลดรูปแบบกำลังสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐานที่เรียกว่า วิธีลากรองจ์- มันขึ้นอยู่กับการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ในรูปแบบกำลังสอง
ทฤษฎีบท 10.1(ทฤษฎีบทลากรองจ์) รูปแบบกำลังสองใดๆ (10.1):
การใช้การแปลงเชิงเส้นแบบไม่พิเศษ (10.4) สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน (10.6):
,
□ เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยวิธีที่สร้างสรรค์ โดยใช้วิธีระบุกำลังสองสมบูรณ์ของลากรองจ์ ภารกิจคือการหาเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์เพื่อให้การแปลงเชิงเส้น (10.4) ส่งผลให้เกิดรูปแบบสมการกำลังสอง (10.6) ของรูปแบบมาตรฐาน เมทริกซ์นี้จะค่อยๆ ได้รับเป็นผลคูณของเมทริกซ์ชนิดพิเศษจำนวนจำกัด
จุดที่ 1 (เตรียมการ)
1.1. ให้เราเลือกหนึ่งในตัวแปรที่รวมอยู่ในรูปแบบกำลังสองกำลังสองและยกกำลังแรกพร้อมกัน (ลองเรียกมันว่า ตัวแปรชั้นนำ- เรามาต่อกันที่จุดที่ 2 กันเลย
1.2. หากไม่มีตัวแปรนำหน้าในรูปแบบกำลังสอง (สำหรับทั้งหมด : ) เราจะเลือกคู่ของตัวแปรที่มีผลิตภัณฑ์รวมอยู่ในรูปแบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ และไปยังขั้นตอนที่ 3
1.3. หากในรูปแบบกำลังสองไม่มีผลคูณของตัวแปรตรงข้าม รูปแบบกำลังสองนี้จะแสดงในรูปแบบมาตรฐาน (10.6) แล้ว การพิสูจน์ทฤษฎีบทเสร็จสมบูรณ์
จุดที่ 2 (เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์)
2.1. เมื่อใช้ตัวแปรนำหน้า เราจะเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป สมมติว่าตัวแปรนำหน้าคือ การจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มี เราได้รับ
.
การเลือกกำลังสองสมบูรณ์ตามตัวแปรเข้า เราได้รับ
.
ดังนั้น จากการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ด้วยตัวแปร เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของรูปแบบเชิงเส้น
ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรนำหน้า และรูปแบบกำลังสอง จากตัวแปร ซึ่งไม่รวมตัวแปรนำหน้าอีกต่อไป มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรกันเถอะ (แนะนำตัวแปรใหม่)
เราได้เมทริกซ์
() การแปลงเชิงเส้นที่ไม่ใช่เอกพจน์ ซึ่งเป็นผลมาจากรูปแบบกำลังสอง (10.1) อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้
ด้วยรูปแบบกำลังสอง ลองทำแบบเดียวกับในข้อ 1
2.1. หากตัวแปรนำหน้าเป็นตัวแปร คุณสามารถทำได้สองวิธี: เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์สำหรับตัวแปรนี้ หรือดำเนินการ เปลี่ยนชื่อ (การกำหนดหมายเลขใหม่) ตัวแปร:
ด้วยเมทริกซ์การแปลงที่ไม่เป็นเอกพจน์:
.
จุดที่ 3 (การสร้างตัวแปรนำหน้า)เราแทนที่คู่ของตัวแปรที่เลือกด้วยผลรวมและผลต่างของตัวแปรใหม่สองตัว และแทนที่ตัวแปรเก่าที่เหลือด้วยตัวแปรใหม่ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น หากในวรรค 1 มีการเน้นคำดังกล่าว
ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่สอดคล้องกันจะมีรูปแบบ
และในรูปกำลังสอง (10.1) จะได้ตัวแปรนำหน้า
ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่มีการแทนที่ตัวแปร:
เมทริกซ์ของการแปลงเชิงเส้นแบบไม่เอกพจน์นี้มีรูปแบบ
.
จากผลของอัลกอริธึมข้างต้น (การใช้คะแนน 1, 2, 3 ตามลำดับ) รูปแบบกำลังสอง (10.1) จะลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน (10.6)
โปรดทราบว่าจากผลของการแปลงที่เกิดขึ้นในรูปแบบกำลังสอง (การเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ การเปลี่ยนชื่อและการสร้างตัวแปรนำหน้า) เราจึงใช้เมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์เบื้องต้นสามประเภท (เป็นเมทริกซ์ของการเปลี่ยนแปลงจากพื้นฐานหนึ่งไปอีกพื้นฐานหนึ่ง) เมทริกซ์ที่ต้องการของการแปลงเชิงเส้นที่ไม่ใช่เอกพจน์ (10.4) ซึ่งรูปแบบ (10.1) มีรูปแบบมาตรฐาน (10.6) ได้มาจากการคูณเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์เบื้องต้นจำนวนจำกัดในสามประเภท
ตัวอย่างที่ 10.2ให้รูปกำลังสอง
เป็นรูปแบบบัญญัติโดยวิธีลากรองจ์ ระบุการแปลงเชิงเส้นที่ไม่เป็นเอกพจน์ที่สอดคล้องกัน ดำเนินการตรวจสอบ
สารละลาย.เรามาเลือกตัวแปรนำหน้า (สัมประสิทธิ์) กัน การจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มี และเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากนั้นเราได้รับ
ที่ระบุไว้
มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรกันเถอะ (แนะนำตัวแปรใหม่)
การแสดงตัวแปรเก่าในรูปของตัวแปรใหม่:
เราได้เมทริกซ์