ตัวอย่างการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู จะคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูและวิธีการของซิมป์สันได้อย่างไร คำนวณอินทิกรัลของตัวอย่างสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู
งานด้านการศึกษา:
- วัตถุประสงค์การสอน แนะนำให้นักเรียนรู้จักวิธีการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณ
- วัตถุประสงค์ทางการศึกษา หัวข้อของบทเรียนนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในทางปฏิบัติและทางการศึกษา วิธีที่ง่ายที่สุดในการเข้าถึงแนวคิดเรื่องการปริพันธ์เชิงตัวเลขคือการอาศัยคำจำกัดความของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล ตัวอย่างเช่น หากเราใช้พาร์ติชั่นของเซ็กเมนต์ที่มีขนาดเล็กเพียงพอ [ ก; ข] และสร้างผลรวมอินทิกรัลของมัน จากนั้นจึงประมาณค่าของมันเป็นค่าอินทิกรัลที่สอดคล้องกันได้ ในขณะเดียวกันการคำนวณโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์อย่างรวดเร็วและถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญ
ความรู้และทักษะพื้นฐาน มีความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการโดยประมาณในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรของสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู
จัดให้มีชั้นเรียน
- เอกสารประกอบคำบรรยาย งานการ์ดสำหรับงานอิสระ
- อบต. มัลติโปรเจคเตอร์, พีซี, แล็ปท็อป
- อุปกรณ์ ทีเอสโอ. การนำเสนอ: "ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์", "วิธีสี่เหลี่ยม", "วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู" (สามารถรับการนำเสนอได้จากผู้เขียน)
- อุปกรณ์คอมพิวเตอร์: PC, เครื่องคิดเลขขนาดเล็ก
- คำแนะนำที่เป็นระบบ
ประเภทของบทเรียน บูรณาการในทางปฏิบัติ
แรงจูงใจของกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวนซึ่งไม่สามารถหาแอนติเดริเวทีฟได้ ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการโดยประมาณในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งวิธีการโดยประมาณยังใช้สำหรับอินทิกรัล "ที่นำมา" ด้วย หากการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซนั้นไม่มีเหตุผล แนวคิดในการคำนวณอินทิกรัลโดยประมาณคือเส้นโค้งจะถูกแทนที่ด้วยเส้นโค้งใหม่ที่ "ใกล้" เพียงพอ ขึ้นอยู่กับการเลือกเส้นโค้งใหม่ สามารถใช้สูตรการรวมโดยประมาณหนึ่งหรือหลายสูตรได้
ลำดับของบทเรียน
- สูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้า
- สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู
- โซลูชั่นของการออกกำลังกาย
แผนการสอน
- การทำซ้ำความรู้พื้นฐานของนักเรียน
ทำซ้ำกับนักเรียน: สูตรพื้นฐานของอินทิเกรต, สาระสำคัญของวิธีการอินทิเกรตที่ศึกษา, ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัด
- การทำงานภาคปฏิบัติ
วิธีแก้ปัญหาทางเทคนิคหลายประการอยู่ที่การคำนวณอินทิกรัลบางอย่าง ซึ่งการแสดงออกที่แน่นอนนั้นซับซ้อน ต้องใช้การคำนวณที่ใช้เวลานาน และไม่ได้ให้เหตุผลในทางปฏิบัติเสมอไป ที่นี่ค่าโดยประมาณก็เพียงพอแล้ว
ตัวอย่างเช่น คุณต้องคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงซึ่งไม่ทราบสมการ ในกรณีนี้คุณสามารถแทนที่บรรทัดนี้ด้วยบรรทัดที่ง่ายกว่าซึ่งเป็นที่รู้จักของสมการ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ได้รับในลักษณะนี้ถือเป็นค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่ต้องการ
วิธีการประมาณที่ง่ายที่สุดคือวิธีสี่เหลี่ยม ในเชิงเรขาคณิต แนวคิดของวิธีคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง เอบีซีดีจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ด้านหนึ่งเท่ากับ และอีกด้านหนึ่ง -
หากเราสรุปพื้นที่สี่เหลี่ยมที่แสดงพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งโดยมีข้อเสีย [รูปที่ 1] เราจะได้สูตร:
[รูปที่ 1]
จากนั้นเราจะได้สูตร:
ถ้าเกิน
[รูปที่ 2]
ที่
ค่านิยม ใช่ 0, ใช่ 1,..., ใช่พบได้จากความเท่าเทียมกัน , k = 0, 1..., น. สูตรเหล่านี้เรียกว่า สูตรสี่เหลี่ยมและให้ผลลัพธ์โดยประมาณ ด้วยการเพิ่มขึ้น nผลลัพธ์จะแม่นยำยิ่งขึ้น
ดังนั้น ในการหาค่าอินทิกรัลโดยประมาณ คุณต้องมี:
เพื่อค้นหาข้อผิดพลาดในการคำนวณ คุณต้องใช้สูตร:
ตัวอย่างที่ 1 คำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยม ค้นหาข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และข้อผิดพลาดในการคำนวณ
มาแบ่งส่วนกัน [ ก, ข] ออกเป็นหลายๆ ส่วน (เช่น 6) ส่วนเท่าๆ กัน แล้ว ก = 0, ข = 3 ,
xk = ก + kx
เอ็กซ์ 0 = 2 + 0
= 2
เอ็กซ์ 1 = 2 + 1
= 2,5
เอ็กซ์ 2 = 2 + 2
=3
เอ็กซ์ 3 = 2 + 3
= 3
เอ็กซ์ 4 = 2 + 4
= 4
เอ็กซ์ 5 = 2 + 5
= 4,5
ฉ(x 0) = 2 2 = 4
ฉ
(x
1)
= 2
,5
2
=
6,25
ฉ
(x
2)
=
3 2
=
9
ฉ
(x
3)
=
3,5 2
=
12,25
ฉ
(x
4)
=
4 2
=
16
ฉ
(x
5)
=
4,5 2
=
20,25.
เอ็กซ์ | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
ที่ | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
ตามสูตร (1):
ในการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการคำนวณ จำเป็นต้องค้นหาค่าที่แน่นอนของอินทิกรัล:
การคำนวณใช้เวลานานและจบลงด้วยการปัดเศษที่ค่อนข้างหยาบ หากต้องการคำนวณอินทิกรัลนี้ด้วยการประมาณค่าที่น้อยลง คุณสามารถใช้ความสามารถทางเทคนิคของคอมพิวเตอร์ได้
หากต้องการค้นหาอินทิกรัลจำกัดโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณต้องป้อนค่าของอินทิกรัล ฉ(x)ไปยังแผ่นงาน Excel ในช่วง เอ็กซ์ด้วยขั้นตอนที่กำหนด เอ็กซ์= 0,1.
- การสร้างตารางข้อมูล (เอ็กซ์และ ฉ(เอ็กซ์)) เอ็กซ์ ฉ(x) การโต้แย้งและในเซลล์ B1 - คำนั้น การทำงาน2 2,1 - จากนั้นเลือกบล็อกของเซลล์ A2:A3 โดยใช้การป้อนอัตโนมัติเราได้รับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ (เราลากมุมขวาล่างของบล็อกไปยังเซลล์ A32 ไปยังค่า x=5).
- ต่อไปเราป้อนค่าของปริพันธ์ ในเซลล์ B2 คุณต้องเขียนสมการของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วางเคอร์เซอร์ของตารางในเซลล์ B2 แล้วป้อนสูตรจากแป้นพิมพ์ =A2^2(พร้อมรูปแบบแป้นพิมพ์ภาษาอังกฤษ) กดปุ่ม เข้า- ในเซลล์ B2 จะปรากฏขึ้น 4
- ตอนนี้คุณต้องคัดลอกฟังก์ชันจากเซลล์ B2
ใช้การป้อนอัตโนมัติ คัดลอกสูตรนี้ไปยังช่วง B2:B32 - ผลลัพธ์ควรเป็นตารางข้อมูลสำหรับค้นหาอินทิกรัล = 0,1*, ตอนนี้ในเซลล์ B33 สามารถหาค่าโดยประมาณของอินทิกรัลได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ป้อนสูตรในเซลล์ B33จากนั้นเรียกตัวช่วยสร้างฟังก์ชัน (โดยคลิกปุ่มแทรกฟังก์ชันบนแถบเครื่องมือ (ฉ(x))- ในกล่องโต้ตอบที่ปรากฏขึ้น ตัวช่วยสร้างฟังก์ชัน - ขั้นตอนที่ 1 จาก 2 ทางด้านซ้ายในฟิลด์หมวดหมู่ ให้เลือกทางคณิตศาสตร์ ทางด้านขวาในฟิลด์ฟังก์ชันคือฟังก์ชันผลรวม (ฉ(x))กดปุ่ม 37,955 ) .
ตกลง. 39 กล่องโต้ตอบจำนวนเงินจะปรากฏขึ้น ใช้เมาส์ป้อนช่วงผลรวม B2:B31 ลงในช่องงาน กดปุ่ม
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
ในเซลล์ B33 ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่ต้องการจะปรากฏขึ้นโดยมีข้อเสีย ( การเปรียบเทียบค่าประมาณที่ได้รับกับมูลค่าที่แท้จริงของอินทิกรัล ( เอ็กซ์ = 0,05.
) เราจะเห็นได้ว่าข้อผิดพลาดในการประมาณของวิธีสี่เหลี่ยมในกรณีนี้เท่ากับ ตัวอย่างที่ 2
ใช้วิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าคำนวณตามขั้นตอนที่กำหนด
การเปรียบเทียบค่าโดยประมาณที่ได้รับกับมูลค่าที่แท้จริงของอินทิกรัล
เราจะเห็นได้ว่าข้อผิดพลาดในการประมาณของวิธีสี่เหลี่ยมในกรณีนี้เท่ากับ วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูมักจะให้ค่าอินทิกรัลที่แม่นยำมากกว่าวิธีสี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของสี่เหลี่ยมคางหมูหลายอัน และค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตจะพบว่าเป็นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เอ็กซ์ = 0,1.
- [รูปที่ 3]
- การสร้างตารางข้อมูล (เอ็กซ์และ ฉ(เอ็กซ์))ตัวอย่างที่ 3 เอ็กซ์ค้นหาโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นขั้นตอน ฉ(x)เปิดแผ่นงานเปล่า การโต้แย้งและในเซลล์ B1 - คำนั้น การทำงานให้คอลัมน์แรกเป็นค่า 0 และอันที่สองพร้อมตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้อง 0,1 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ป้อนคำในเซลล์ A1 - ค่าแรกของอาร์กิวเมนต์ถูกป้อนลงในเซลล์ A2 - ขอบด้านซ้ายของช่วง ().
- ต่อไปเราป้อนค่าของปริพันธ์ ในเซลล์ B2 คุณต้องเขียนสมการของมัน (ในตัวอย่างของไซน์) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ต้องวางเคอร์เซอร์ของตารางไว้ในเซลล์ B2 ที่นี่ควรมีค่าไซน์ที่สอดคล้องกับค่าของอาร์กิวเมนต์ในเซลล์ A2 เพื่อให้ได้ค่าไซน์ เราจะใช้ฟังก์ชันพิเศษ: คลิกปุ่มแทรกฟังก์ชันบนแถบเครื่องมือ ฉ(x)- ในกล่องโต้ตอบที่ปรากฏขึ้น ตัวช่วยสร้างฟังก์ชัน - ขั้นตอนที่ 1 จาก 2 ทางด้านซ้ายในฟิลด์หมวดหมู่ ให้เลือกทางคณิตศาสตร์ ทางด้านขวาในฟิลด์ฟังก์ชัน - ฟังก์ชันบาป (ฉ(x))- กดปุ่ม ทางด้านขวาในฟิลด์ฟังก์ชัน - ฟังก์ชันกล่องโต้ตอบจะปรากฏขึ้น - โดยการวางตัวชี้เมาส์ไว้เหนือช่องสีเทาของหน้าต่างโดยกดปุ่มซ้ายแล้วเลื่อนช่องไปทางขวาเพื่อเปิดคอลัมน์ข้อมูล (ก (ฉ(x))- เราระบุค่าของอาร์กิวเมนต์ไซน์โดยคลิกที่เซลล์ A2 กดปุ่ม
- 0 ปรากฏในเซลล์ B2 ตอนนี้คุณต้องคัดลอกฟังก์ชันจากเซลล์ B2 ใช้การป้อนอัตโนมัติ คัดลอกสูตรนี้ไปยังช่วง B2:B33 ผลลัพธ์ควรเป็นตารางข้อมูลสำหรับค้นหาอินทิกรัล ตอนนี้ในเซลล์ B34 ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลสามารถพบได้โดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ป้อนสูตรในเซลล์ B34= 0.1*((B2+B33)/2+, เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ป้อนสูตรในเซลล์ B33จากนั้นเรียกตัวช่วยสร้างฟังก์ชัน (โดยคลิกปุ่มแทรกฟังก์ชันบนแถบเครื่องมือ (ฉ(x))- ในกล่องโต้ตอบที่ปรากฏขึ้น ตัวช่วยสร้างฟังก์ชัน - ขั้นตอนที่ 1 จาก 2 ทางด้านซ้ายในฟิลด์หมวดหมู่ ให้เลือกทางคณิตศาสตร์ ทางด้านขวาในฟิลด์ฟังก์ชันคือฟังก์ชันผลรวม กดปุ่ม กล่องโต้ตอบจำนวนเงินจะปรากฏขึ้น ป้อนช่วงผลรวม B3:B32 ลงในช่องงานด้วยเมาส์ กดปุ่มตกลง (ฉ(x))และอีกครั้ง 1,997 ) .
ในเซลล์ B34 ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่ต้องการจะปรากฏขึ้นพร้อมกับข้อเสีย (
- เมื่อเปรียบเทียบค่าประมาณที่ได้รับกับค่าที่แท้จริงของอินทิกรัล เราจะเห็นได้ว่าข้อผิดพลาดในการประมาณของวิธีสี่เหลี่ยมในกรณีนี้ค่อนข้างเป็นที่ยอมรับสำหรับการปฏิบัติ
โซลูชั่นของการออกกำลังกาย
ให้เราแบ่งพาร์ติชันของส่วนออกเป็นส่วน ๆ อีกครั้ง . ให้เราแทนที่พื้นที่ใต้กราฟโดยประมาณซึ่งอยู่เหนือช่วงพาร์ติชันด้วยพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมีฐานขนานซึ่งเป็นส่วนที่ระบุค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลานั่นคือ และ (ดูรูป)
จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าวจะเท่ากับอย่างเห็นได้ชัด เมื่อสรุปพื้นที่ทั้งหมด เราจะได้พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส:
สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู
โปรดทราบว่าเมื่อคำนวณพื้นที่ของแต่ละสี่เหลี่ยมคางหมูถัดไป ก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดใหม่เพียงจุดเดียวเท่านั้น - ที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลาถัดไป เนื่องจากจุดนั้นเป็นปลายด้านขวาสุดของส่วนก่อนหน้าและ ค่า ณ จุดนี้คำนวณเรียบร้อยแล้วเมื่อหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูก่อนหน้า
หากทุกส่วนของพาร์ติชั่นถูกเลือกให้มีความยาวเท่ากัน สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูจะอยู่ในรูปแบบ
ค่าทั้งหมดของฟังก์ชันยกเว้นและปรากฏในสูตรนี้สองครั้ง ดังนั้น เมื่อรวมเทอมที่เท่ากัน เราก็สามารถเขียนสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูในรูปแบบได้
ปล่อยให้ฟังก์ชันมีอนุพันธ์อันดับสองที่คงเครื่องหมายไว้บนช่วงเวลา ดังที่เห็นได้ง่ายจากรูปก่อนหน้า ลักษณะของข้อผิดพลาดในสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเป็นดังนี้ ถ้า นั่นคือ ถ้ากราฟนูนขึ้น แล้ว และ ดังนั้น ; ถ้ากราฟนูนลงแล้ว
หากเราเปรียบเทียบสิ่งนี้กับค่าความผิดพลาดของสูตรสี่เหลี่ยมกลางที่ศึกษาข้างต้น เราจะเห็นว่าสำหรับฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองยังคงมีเครื่องหมายอยู่ในเซ็กเมนต์การรวม สัญญาณของข้อผิดพลาดและตรงกันข้าม มีความปรารถนาที่จะรวมสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูและสูตรสี่เหลี่ยมตรงกลางเพื่อชดเชยข้อผิดพลาดเหล่านี้ให้มากที่สุด เพื่อให้เข้าใจว่าควรใช้สูตรผสมกันแบบใด เราจำเป็นต้องค้นหาว่าข้อผิดพลาดเหล่านี้มีขนาดเท่าใด และขึ้นอยู่กับตัวเลือก ขั้นตอน- การประมาณค่าข้อผิดพลาดเหล่านี้มีความสำคัญอย่างเป็นอิสระเนื่องจากทำให้สามารถค้นหาความแม่นยำของค่าประมาณของอินทิกรัลที่ได้รับโดยใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอดคล้องกัน
โดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช้วิธีการมอนติคาร์โลในการคำนวณอินทิกรัลหนึ่งมิติ เนื่องจากสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะสะดวกกว่าในการรับความแม่นยำสูง วิธีนี้จะมีประสิทธิภาพมากขึ้นเมื่อคำนวณอินทิกรัลหลายรายการ เมื่อสูตรลูกบาศก์ยุ่งยากเกินไปและต้องใช้การคำนวณจำนวนมากเพื่อให้เกิดข้อผิดพลาดเล็กน้อย
เมื่อใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือลูกบาศก์ จำนวนการดำเนินการจะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วตามการเพิ่มมิติของอินทิกรัล ตัวอย่างเช่น หากต้องการคำนวณอินทิกรัลมิติเดียวโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยความแม่นยำที่กำหนด จำเป็นต้องคำนวณผลรวมของลำดับ เอ็นจากนั้นจึงคำนวณอินทิกรัลสองเท่าโดยใช้วิธีเดียวกันจึงจำเป็นต้องบวกเข้าไป เอ็น 2 เทอม และสำหรับอินทิกรัลสามตัว จะมีจำนวนเทอมประมาณ เอ็น 3 .
จำนวนการทดสอบ เอ็นจำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่กำหนด ε ค่าโดยประมาณในวิธีมอนติคาร์โลจะมีค่าลำดับของ และ ไม่ขึ้นอยู่กับมิติของอินทิกรัล .
มีการใช้เกณฑ์ต่อไปนี้ในการเลือกระหว่างสูตรลูกบาศก์ รลำดับความแม่นยำและวิธีการ Monte Carlo สำหรับการคำนวณที่แม่นยำ ε อินทิกรัลหลายตัวของฟังก์ชัน มตัวแปร:
1) ถ้าจำนวนมิติคือ m < 2ร, ควรใช้สูตรลูกบาศก์หรือการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส;
2) ถ้าม > 2ร – วิธีมอนติคาร์โล.
ตัวอย่างเช่น ถ้า ร= 1 จะทำกำไรได้มากกว่าในการคำนวณอินทิกรัลสามเท่าโดยใช้วิธีมอนติคาร์โล และอินทิกรัลหนึ่งมิติโดยใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
ถ้า ร= 2 จะดีกว่าถ้าคำนวณอินทิกรัลห้ามิติโดยใช้วิธีมอนติคาร์โล และอินทิกรัลหนึ่งมิติ สองและสามโดยใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือลูกบาศก์
ให้เราพิจารณาสูตรเฉพาะของวิธีมอนติคาร์โลในการคำนวณอินทิกรัลหลายตัว ซึ่งได้มาในลักษณะที่ใช้ในการหาสูตร (9.7)
สมมติว่าเราต้องคำนวณอินทิกรัลสองเท่า
เรามาดำเนินการชุดของ เอ็นการทดสอบจุดสุ่ม ( x ฉัน, ใช่แล้ว), ที่ไหน x ฉัน ก, ข] ก ใช่แล้วกระจายอย่างสม่ำเสมอในส่วน [ กับ, ง- ให้เราคำนวณอินทิกรัล (9.9) โดยใช้สูตร
สำหรับอินทิกรัลสามตัว เราก็ได้สูตรเช่นเดียวกัน
ที่ไหน x ฉันกระจายอย่างสม่ำเสมอในส่วน [ ก, ข], ใช่แล้ว– บนส่วน [ กับ, ง] ก ฉัน– บนส่วน [ ร, ถาม]; เอ็น– จำนวนการทดสอบ
สำหรับ ม- สูตรอินทิกรัลหลายสูตรของวิธีมอนติคาร์โลมีรูปแบบ
วันนี้เราจะมาเรียนรู้เกี่ยวกับวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งก็คือวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู ด้วยความช่วยเหลือนี้ เราจะคำนวณอินทิกรัลจำกัดจำนวนด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนด ในบทความ เราจะอธิบายสาระสำคัญของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู วิเคราะห์วิธีการหาสูตร เปรียบเทียบวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยม และเขียนค่าประมาณของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีนี้ เราจะอธิบายแต่ละส่วนพร้อมตัวอย่างเพื่อความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับเนื้อหา
สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ ab f (x) d x โดยประมาณ โดยอินทิกรัล y = f (x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา [ a ; ข ] . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แบ่งส่วน [a; b ] ออกเป็นช่วงความยาว h เท่าๆ กัน โดยมีจุด a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
มาหาขั้นตอนพาร์ติชั่นกัน: h = b - a n ลองพิจารณาโหนดจากความเท่าเทียมกัน x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n.
ในส่วนประถมศึกษา เราจะพิจารณาฟังก์ชันปริพันธ์ x i - 1 ; x ผม, ผม = 1, 2, . - , n.
เมื่อ n เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด เราจะลดกรณีทั้งหมดให้เหลือเพียงสี่ตัวเลือกที่ง่ายที่สุด:
ให้เราเลือกส่วน x i - 1 ; x ผม, ผม = 1, 2, . - - , n. ให้เราแทนที่ฟังก์ชัน y = f (x) ในแต่ละกราฟด้วยส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่มีพิกัด x i - 1 ; ฉ x ฉัน - 1 และ x ฉัน ; ฉ x ฉัน มาทำเครื่องหมายด้วยสีน้ำเงินในรูปภาพ
ขอให้เราใช้นิพจน์ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h เป็นค่าโดยประมาณของอินทิกรัล ∫ x i - 1 x i f (x) d x เหล่านั้น. สมมุติว่า ∫ x i - 1 x i f (x) d x µ f (x i - 1) + f (x i) 2 ชั่วโมง .
เรามาดูกันว่าเหตุใดวิธีการอินทิเกรตเชิงตัวเลขที่เรากำลังเรียนรู้จึงเรียกว่าวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาความหมายของความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนจากมุมมองทางเรขาคณิต
ในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องคูณผลรวมครึ่งหนึ่งของฐานด้วยความสูง ในกรณีแรก พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจะประมาณเท่ากับสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน f (x i - 1), f (x i) ความสูง h ในกรณีที่สี่ของกรณีที่เรากำลังพิจารณาอินทิกรัลที่กำหนด ∫ x i - 1 x f (x) d x นั้นประมาณเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน - f (x i - 1), - f (x i) และความสูง h ซึ่งต้องใช้เครื่องหมาย “-” ในการคำนวณค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ x i - 1 x i f (x) d x ในกรณีที่พิจารณาครั้งที่สองและสาม เราจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างในพื้นที่ของบริเวณสีแดงและสีน้ำเงินที่เราทำเครื่องหมายด้วย ฟักออกมาในรูปด้านล่าง
มาสรุปกัน สาระสำคัญของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูมีดังนี้: เราสามารถแสดงอินทิกรัลจำกัด ∫ ab f (x) d x เป็นผลรวมของปริพันธ์ของรูปแบบ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ในแต่ละเซ็กเมนต์พื้นฐานและในการแทนที่โดยประมาณที่ตามมา ∫ x i - 1 x i f (x) d x µ f (x i - 1) + f (x i) 2 · ชม.
สูตรวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู
ขอให้เรานึกถึงคุณสมบัติที่ห้าของอินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ ab f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x เพื่อให้ได้สูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูจำเป็นต้องแทนที่ค่าโดยประมาณแทนค่าปริพันธ์ ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x data ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f ( x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
คำจำกัดความ 1
สูตรวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู:∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
การประมาณค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู
ให้เราประมาณค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูดังนี้:
คำจำกัดความ 2
δ n ≤ ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = ม a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) ข - 3 12 n 2
ภาพประกอบกราฟิกของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูแสดงในรูป:
ตัวอย่างการคำนวณ
ลองดูตัวอย่างการใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตโดยประมาณ เราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับงานสองประเภท:
- การคำนวณอินทิกรัลจำกัดโดยวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับหมายเลขพาร์ติชันที่กำหนดของเซ็กเมนต์ n
- การค้นหาค่าโดยประมาณของอินทิกรัลที่แน่นอนด้วยความแม่นยำที่ระบุ
สำหรับ n ที่กำหนด การคำนวณระดับกลางทั้งหมดจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำในระดับสูงเพียงพอ ความแม่นยำในการคำนวณควรสูงขึ้นและมีค่า n มากขึ้น
หากเรามีความแม่นยำในการคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน การคำนวณขั้นกลางทั้งหมดจะต้องดำเนินการตามลำดับความสำคัญตั้งแต่สองลำดับความสำคัญขึ้นไปอย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น หากตั้งค่าความแม่นยำเป็น 0.01 เราจะทำการคำนวณระดับกลางด้วยความแม่นยำ 0.0001 หรือ 0.00001 สำหรับ n ขนาดใหญ่ การคำนวณขั้นกลางจะต้องดำเนินการด้วยความแม่นยำที่สูงกว่า
ลองดูกฎข้างต้นพร้อมตัวอย่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปรียบเทียบค่าของอินทิกรัลจำกัดที่คำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ และรับโดยใช้วิธีรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
ดังนั้น ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 data 9, 613805
ตัวอย่างที่ 1
เมื่อใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เราคำนวณอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x สำหรับ n เท่ากับ 10
สารละลาย
สูตรสำหรับวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูคือ ∫ x i - 1 x i f (x) d x data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
ในการใช้สูตร เราจำเป็นต้องคำนวณขั้นตอน h โดยใช้สูตร h = b - a n กำหนดโหนด x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n, คำนวณค่าของฟังก์ชันปริพันธ์ f (x) = 7 x 2 + 1
ขั้นตอนการแบ่งพาร์ติชันคำนวณดังนี้: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 5. ในการคำนวณปริพันธ์ที่โหนด x i = a + i · h, i = 0, 1, - - , n เราจะมีทศนิยมสี่ตำแหน่ง:
ผม = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 5 = 0 . 5 ⇒ ฉ (x 1) = ฉ (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. - - ผม = 10: x 10 = 0 + 10 · 0 5 = 5 ⇒ ฉ (x 10) = ฉ (5) = 7 5 2 + 1 data 0, 2692
ป้อนผลการคำนวณลงในตาราง:
ฉัน | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
x ฉัน | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
ฉ (x ฉัน) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
ลองแทนค่าที่ได้รับลงในสูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมู: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 data h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117
ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์ของเรากับผลลัพธ์ที่คำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ค่าที่ได้จะตรงกันกับหนึ่งในร้อย
คำตอบ:∫ 0 5 7 ว x x 2 + 1 = 9 , 6117
ตัวอย่างที่ 2
เมื่อใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู เราคำนวณค่าของอินทิกรัลจำกัด ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ด้วยความแม่นยำ 0.01
สารละลาย
ตามเงื่อนไขของปัญหา a = 1; ข = 2 , ฉ (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0.01
ให้เราค้นหา n ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดของพาร์ติชันของส่วนการรวม โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันในการประมาณค่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 . เราจะทำสิ่งนี้: เราจะค้นหาค่าของ n ซึ่งความไม่เท่าเทียมกัน m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 ≤ 0.01 เมื่อให้ n สูตรสี่เหลี่ยมคางหมูจะให้ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดเขตด้วยความแม่นยำที่กำหนด
อันดับแรก เราจะหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของโมดูลัสของอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันในช่วงเวลา [ 1 ; 2].
ฉ " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ ฉ "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
ฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับสองคือพาราโบลากำลังสอง f "" (x) = x 2 . จากคุณสมบัติของมัน เรารู้ว่ามันเป็นค่าบวกและเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา [1; 2]. ในเรื่องนี้ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) = ฉ "" (2) = 2 2 = 4 .
ในตัวอย่างที่ให้มา กระบวนการหา m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) กลายเป็นเรื่องที่ค่อนข้างง่าย ในกรณีที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันเพื่อทำการคำนวณได้ หลังจากพิจารณาตัวอย่างนี้แล้ว เราจะนำเสนอวิธีอื่นในการค้นหา m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) .
ให้เราแทนที่ค่าผลลัพธ์เป็นอสมการ m a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · (ข - ก) 3 12 n 2 ≤ 0.01
4 (2 - 1) 3 12 ไม่มี 2 ≤ 0.01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5.7735
จำนวนช่วงเบื้องต้นที่มีการแบ่งส่วนการรวม n ออกเป็นจำนวนธรรมชาติ สำหรับพฤติกรรมการคำนวณ เราใช้ n เท่ากับ 6 ค่า n นี้จะช่วยให้เราบรรลุความแม่นยำที่ระบุของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยการคำนวณขั้นต่ำ
มาคำนวณขั้นตอนกัน: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
ลองหาโหนด x i = a + i · h, i = 1, 0, - - , n , เรากำหนดค่าของปริพันธ์ที่โหนดเหล่านี้:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ ฉ (x 1) = ฉ 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 data 0.5266 - - i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 data 1.9833
เราเขียนผลการคำนวณในรูปแบบของตาราง:
ฉัน | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
x ฉัน | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
ฉ x ฉัน | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในสูตรสี่เหลี่ยมคางหมู:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x µ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 กลับไปยัง 1.0054
ในการเปรียบเทียบ เราจะคำนวณอินทิกรัลดั้งเดิมโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
อย่างที่คุณเห็นเราได้รับความแม่นยำในการคำนวณแล้ว
คำตอบ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x พรีเมี่ยม 1.0054
สำหรับจำนวนเต็มที่มีรูปแบบซับซ้อน การค้นหาจำนวน n จากอสมการเพื่อประมาณค่าความผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ในกรณีนี้วิธีการต่อไปนี้จะเหมาะสม
ให้เราแสดงค่าโดยประมาณของอินทิกรัลจำกัดขอบเขต ซึ่งได้มาจากการใช้วิธีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับโหนด n ดังที่ I n ลองเลือกตัวเลขใดก็ได้ n การใช้สูตรของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูเราคำนวณอินทิกรัลเริ่มต้นสำหรับจำนวนโหนดเดียว (n = 10) และสองเท่า (n = 20) และค้นหาค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับ I 20 - ฉัน 10.
หากค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับนั้นน้อยกว่าความแม่นยำที่ต้องการ I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
หากค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างสองค่าโดยประมาณที่ได้รับนั้นมากกว่าความแม่นยำที่ต้องการ จำเป็นต้องทำซ้ำขั้นตอนโดยมีจำนวนโหนดเป็นสองเท่า (n = 40)
วิธีนี้ต้องใช้การคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นจึงควรใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เพื่อประหยัดเวลา
มาแก้ปัญหาโดยใช้อัลกอริธึมด้านบน เพื่อประหยัดเวลา เราจะละเว้นการคำนวณขั้นกลางโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมู
ตัวอย่างที่ 3
จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลจำกัด ∫ 0 2 x e x d x โดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยความแม่นยำ 0.001
สารละลาย
ลองหา n เท่ากับ 10 กับ 20 กัน เมื่อใช้สูตรสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะได้ I 10 = 8.4595380, I 20 = 8.4066906
I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001 ซึ่งต้องมีการคำนวณเพิ่มเติม
ลองหา n เท่ากับ 40: I 40 = 8, 3934656
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001 ซึ่งต้องมีการคำนวณอย่างต่อเนื่อง
ลองหา n เท่ากับ 80: I 80 = 8, 3901585
I 80 - I 40 = 8, 3901585 - 8, 3934656 = 0, 0033071 > 0, 001 ซึ่งต้องเพิ่มจำนวนโหนดอีกสองเท่า
ลองหา n เท่ากับ 160: I 160 = 8, 3893317
ฉัน 160 - ฉัน 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001
ค่าโดยประมาณของอินทิกรัลดั้งเดิมสามารถหาได้โดยการปัดเศษ I 160 = 8, 3893317 เป็นหนึ่งในพัน: ∫ 0 2 x e x d x µ µ 8, 389
เพื่อการเปรียบเทียบ ลองคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตเดิมโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 data 8, 3890561 ได้รับความแม่นยำที่ต้องการแล้ว
คำตอบ: ∫ 0 2 x e x d x data 8, 389
ข้อผิดพลาด
การคำนวณระดับกลางเพื่อกำหนดค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตส่วนใหญ่จะดำเนินการโดยประมาณ ซึ่งหมายความว่าเมื่อ n เพิ่มขึ้น ข้อผิดพลาดในการคำนวณจะเริ่มสะสม
ให้เราเปรียบเทียบค่าประมาณของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยมผืนผ้าเฉลี่ย:
δ n ≤ ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = ม a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = ม a x x ∈ [ a ; ข ] ฉ "" (x) · ข - 3 24 n 2 .
วิธีสี่เหลี่ยมสำหรับ n ที่กำหนดซึ่งมีปริมาณงานคำนวณเท่ากันจะให้ข้อผิดพลาดครึ่งหนึ่ง สิ่งนี้ทำให้วิธีการนี้เป็นที่นิยมมากขึ้นในกรณีที่ทราบค่าของฟังก์ชันในส่วนตรงกลางของส่วนประถมศึกษา
ในกรณีที่ไม่ได้ระบุฟังก์ชันที่จะรวมเข้าด้วยกันในเชิงวิเคราะห์ แต่เป็นชุดของค่าที่โหนด เราสามารถใช้วิธีสี่เหลี่ยมคางหมูได้
หากเราเปรียบเทียบความแม่นยำของวิธีสี่เหลี่ยมคางหมูกับวิธีสี่เหลี่ยมด้านขวาและด้านซ้าย วิธีแรกจะมีความแม่นยำมากกว่าวิธีที่สองในด้านความแม่นยำของผลลัพธ์
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter