จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ปัญหาในการกำหนดความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก
ความน่าจะเป็นคลาสสิกและคุณสมบัติของมัน
ความน่าจะเป็นเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น มีคำจำกัดความหลายประการของแนวคิดนี้ ให้เราให้คำจำกัดความที่เรียกว่าคลาสสิก
ความน่าจะเป็นเหตุการณ์ คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์สำหรับเหตุการณ์หนึ่งๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันทั้งหมดของประสบการณ์ที่เหตุการณ์นี้อาจปรากฏขึ้น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A แสดงโดย พี(เอ)(ที่นี่ ร– ตัวอักษรตัวแรกของคำภาษาฝรั่งเศส ความน่าจะเป็น- ความน่าจะเป็น)
ตามคำนิยาม
โดยที่จำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นเอื้ออำนวยต่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์
จำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด
คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้เรียกว่า คลาสสิค- เกิดขึ้นในระยะเริ่มแรกของการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น
ตัวเลขนี้มักเรียกว่าความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ กในประสบการณ์
ยิ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ยิ่งมาก ก็ยิ่งเกิดขึ้นบ่อยขึ้น และในทางกลับกัน ยิ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์น้อยลง ความถี่ที่จะเกิดขึ้นก็จะยิ่งน้อยลง เมื่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งใกล้หรือเท่ากับหนึ่ง เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในการทดลองเกือบทั้งหมด เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกได้ว่าเป็น เกือบจะแน่นอนกล่าวคือสามารถนับความเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน
ในทางตรงกันข้าม เมื่อความน่าจะเป็นเป็นศูนย์หรือน้อยมาก เหตุการณ์จะเกิดขึ้นน้อยมาก เหตุการณ์ดังกล่าวกล่าวกันว่าเป็น แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย.
บางครั้งความน่าจะเป็นจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์: พี(เอ) 100%คือเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ก.
ตัวอย่าง 2.13.ขณะกดหมายเลขโทรศัพท์ผู้สมัครสมาชิกลืมหนึ่งหลักและกดหมายเลขโดยการสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นที่โทรออกหมายเลขที่ถูกต้อง
สารละลาย.
ให้เราแสดงโดย กเหตุการณ์ - “หมายเลขที่ต้องการถูกหมุนแล้ว”
ผู้สมัครสมาชิกสามารถกดหมายเลขใดก็ได้ใน 10 หลัก ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ 10 ผลลัพธ์เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ เป็นไปได้เท่ากัน และรวมเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ โปรดปรานการจัดงาน กมีเพียงผลลัพธ์เดียวเท่านั้น (มีเพียงหมายเลขที่ต้องการเท่านั้น)
ความน่าจะเป็นที่ต้องการคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ต่อจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด:
สูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกเป็นวิธีคำนวณความน่าจะเป็นที่ง่ายและไม่ต้องทดลอง อย่างไรก็ตามความเรียบง่ายของสูตรนี้ถือว่าหลอกลวงมาก ความจริงก็คือเมื่อใช้งานมักจะมีคำถามสองข้อที่ยากมากเกิดขึ้น:
1. จะเลือกระบบผลการทดลองได้อย่างไรเพื่อให้เป็นไปได้เท่าเทียมกันและเป็นไปได้หรือไม่?
2. วิธีค้นหาตัวเลข มและ n?
หากมีวัตถุหลายชิ้นเกี่ยวข้องกับการทดลอง การเห็นผลที่เป็นไปได้ที่เท่าเทียมกันไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป
นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ D'Alembert เข้าสู่ประวัติศาสตร์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วยความผิดพลาดอันโด่งดังของเขา สาระสำคัญก็คือเขากำหนดความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์อย่างไม่ถูกต้องในการทดลองด้วยเหรียญเพียงสองเหรียญ!
ตัวอย่างที่ 2.14 - ข้อผิดพลาดของดาล็องแบร์). มีการโยนเหรียญที่เหมือนกันสองเหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะตกอยู่ฝั่งเดียวกันเป็นเท่าไหร่?
วิธีแก้ปัญหาของดาล็องแบร์
การทดลองนี้มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันสามประการ:
1. เหรียญทั้งสองจะตกลงบนหัว
2. เหรียญทั้งสองจะตกลงบนก้อย
3. เหรียญหนึ่งจะตกบนหัว และอีกเหรียญหนึ่งจะตกที่ก้อย
การตัดสินใจที่ถูกต้อง
การทดลองนี้มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันสี่ประการ:
1. เหรียญแรกจะตกหัว เหรียญที่สองก็จะตกหัวด้วย
2. เหรียญแรกจะตกลงบนก้อย เหรียญที่สองก็จะตกลงบนก้อยด้วย
3. เหรียญแรกจะตกบนหัว และเหรียญที่สองจะตกที่ก้อย
4. เหรียญแรกจะตกบนก้อย และเหรียญที่สองจะตกที่หัว
ในจำนวนนี้ ผลลัพธ์สองรายการจะเป็นผลดีต่อเหตุการณ์ของเรา ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ
ดาล็องแบร์ทำหนึ่งในข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดเมื่อคำนวณความน่าจะเป็น: เขารวมผลลัพธ์เบื้องต้นสองอย่างเข้าด้วยกัน ดังนั้นจึงทำให้ความน่าจะเป็นไม่เท่ากันกับผลลัพธ์ที่เหลือของการทดลอง
มาดูคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นโดยใช้สูตรและตัวอย่าง
เหตุการณ์สุ่มเรียกว่า เข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อเราโยนเหรียญสิ่งหนึ่งจะเกิดขึ้น - "แขนเสื้อ" หรือตัวเลข" และไม่สามารถปรากฏพร้อมกันได้เนื่องจากมีเหตุผลที่เป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์ต่างๆ เช่น การชนและการพลาดหลังจากการยิงเข้ากันอาจเข้ากันไม่ได้
เหตุการณ์สุ่มในรูปแบบเซตจำกัด เต็มกลุ่มเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ หากในระหว่างการทดลองใช้แต่ละครั้งและมีเหตุการณ์เหล่านี้เพียงเหตุการณ์เดียวเท่านั้นที่ปรากฏ - เหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่านั้น
ลองดูตัวอย่างเดียวกันของการโยนเหรียญ:
เหรียญที่หนึ่ง เหตุการณ์เหรียญที่สอง
1) “ตราแผ่นดิน” “ตราแผ่นดิน”
2) “ตราอาร์ม” “หมายเลข”
3) “หมายเลข” “ตราแผ่นดิน”
4) “หมายเลข” “หมายเลข”
หรือเรียกโดยย่อว่า “GG”, - “GC”, - “CHG”, - “CHCH”
เหตุการณ์ที่เรียกว่า เป็นไปได้เท่าเทียมกันหากเงื่อนไขการวิจัยเปิดโอกาสให้แต่ละรายการปรากฏเท่ากัน
ดังที่คุณเข้าใจเมื่อคุณโยนเหรียญที่สมมาตร มันก็มีความเป็นไปได้เหมือนกัน และมีโอกาสที่ทั้ง "แขนเสื้อ" และ "หมายเลข" จะปรากฏขึ้น เช่นเดียวกับการทอยลูกเต๋าแบบสมมาตร เนื่องจากมีความเป็นไปได้ที่หน้าที่มีหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 อาจปรากฏขึ้น
สมมติว่าตอนนี้เราโยนลูกบาศก์โดยเปลี่ยนจุดศูนย์ถ่วง เช่น ไปทางด้านที่มีเลข 1 จากนั้นส่วนใหญ่แล้วด้านตรงข้ามจะหลุดออกไป นั่นคือด้านที่มีตัวเลขต่างกัน ดังนั้นในแบบจำลองนี้ ความเป็นไปได้ที่จะเกิดตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 แต่ละตัวจะแตกต่างกัน
เหตุการณ์สุ่มที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันและเป็นไปได้อย่างมีเอกลักษณ์เรียกว่ากรณีต่างๆ
มีเหตุการณ์สุ่มที่เป็นกรณีและมีเหตุการณ์สุ่มที่ไม่ใช่กรณี ด้านล่างนี้เราจะดูเหตุการณ์เหล่านี้โดยใช้ตัวอย่าง
กรณีเหล่านั้นอันเป็นผลมาจากเหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้นเรียกว่ากรณีที่เป็นประโยชน์สำหรับเหตุการณ์นั้น
หากเราแสดงโดย ซึ่งมีอิทธิพลต่อเหตุการณ์ในทุกกรณีที่เป็นไปได้ และโดย - ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม เราสามารถเขียนคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นได้:
คำนิยาม
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนคดีที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นี้ต่อจำนวนรวมของคดีที่เป็นไปได้ทั้งหมด นั่นคือ:
คุณสมบัติของความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นแบบดั้งเดิมได้รับการพิจารณาแล้ว และตอนนี้เรามาดูคุณสมบัติพื้นฐานและสำคัญของความน่าจะเป็นกัน
คุณสมบัติ 1.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น หากลูกบอลทั้งหมดในถังเป็นสีขาว เหตุการณ์ การเลือกลูกบอลสีขาวแบบสุ่มจะได้รับผลกระทบจากกรณีต่างๆ
คุณสมบัติ 2.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์
คุณสมบัติ 3.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเป็นจำนวนบวก:
ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน:
ทีนี้มาแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างโดยใช้คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็น
ตัวอย่างคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น
ตัวอย่างที่ 1
งาน
ในตะกร้ามีลูกบอล 20 ลูก โดยเป็นสีขาว 10 ลูก สีแดง 7 ลูก และสีดำ 3 ลูก สุ่มเลือกลูกบอลหนึ่งลูก เลือกลูกบอลสีขาว (เหตุการณ์) ลูกบอลสีแดง (เหตุการณ์) และลูกบอลสีดำ (เหตุการณ์) ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม
สารละลาย
ตามเงื่อนไขของปัญหา พวกเขามีส่วนช่วย และจากกรณีที่เป็นไปได้ ดังนั้นตามสูตร (1):
– ความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาว
ในทำนองเดียวกันสำหรับสีแดง:
และสำหรับสีดำ: .
คำตอบ
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม , , .
ตัวอย่างที่ 2
งาน
กล่องหนึ่งประกอบด้วยหลอดไฟฟ้าที่เหมือนกัน 25 หลอด ซึ่งหลอดชำรุด 2 หลอด ค้นหาความน่าจะเป็นที่หลอดไฟฟ้าที่เลือกแบบสุ่มไม่มีข้อบกพร่อง
สารละลาย
ตามเงื่อนไขของปัญหา หลอดไฟทั้งหมดจะเหมือนกันและเลือกเพียงหลอดเดียวเท่านั้น ความเป็นไปได้ทั้งหมดให้เลือก ในบรรดาหลอดไฟทั้งหมด 25 ดวง มี 2 ดวงที่ชำรุด ซึ่งหมายความว่าหลอดไฟที่เหลือมีความเหมาะสม ดังนั้นตามสูตร (1) ความน่าจะเป็นในการเลือกหลอดไฟฟ้าที่เหมาะสม (เหตุการณ์ ) จึงเท่ากับ:
คำตอบ
ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟฟ้าที่เลือกแบบสุ่มไม่ชำรุด =
ตัวอย่างที่ 3
งาน
มีการโยนเหรียญสองเหรียญแบบสุ่ม ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว:
1) – เสื้อคลุมแขนตกลงบนเหรียญทั้งสอง;
2) – เสื้อคลุมแขนหล่นลงบนเหรียญใบหนึ่ง และเหรียญที่สองมีตัวเลข;
3) – ตัวเลขตกลงบนทั้งสองเหรียญ;
4) – เสื้อคลุมแขนปรากฏขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
สารละลาย
ที่นี่เรากำลังเผชิญกับสี่เหตุการณ์ ให้เราพิจารณาว่ากรณีใดบ้างที่ส่งผลต่อแต่ละกรณี เหตุการณ์หนึ่งที่ก่อให้เกิดเหตุการณ์นี้คือเมื่อตราอาร์ม (ตัวย่อ "GG") ปรากฏบนเหรียญทั้งสอง
เพื่อให้เข้าใจเหตุการณ์นี้ ลองจินตนาการว่าเหรียญหนึ่งเป็นเงิน และเหรียญที่สองเป็นทองแดง เมื่อโยนเหรียญอาจมีกรณี:
1) บนเสื้อคลุมแขนสีเงินบนเสื้อคลุมแขนทองแดง - ตัวเลข (แสดงโดย "GC");
2) บนหมายเลขเงินบนทองแดง - แขนเสื้อ (- "CHG")
ซึ่งหมายความว่าเหตุการณ์ได้รับการอำนวยความสะดวกตามกรณีและ.
เหตุการณ์นี้มีเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น: ตัวเลขบนเหรียญทั้งสองคือ “HH”
ดังนั้นเหตุการณ์หรือ (GG, HC, CG, HC) จึงรวมกลุ่มของเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ เหตุการณ์ทั้งหมดเหล่านี้เข้ากันไม่ได้ เนื่องจากมีเพียงหนึ่งเหตุการณ์เท่านั้นที่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการทอย นอกจากนี้ สำหรับเหรียญสมมาตร เหตุการณ์ทั้งสี่มีความเป็นไปได้เท่ากัน ดังนั้นจึงถือเป็นกรณีต่างๆ มีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้สี่เหตุการณ์
มีเหตุการณ์เดียวเท่านั้นที่มีส่วนร่วมในเหตุการณ์นี้ ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ:
งานนี้ได้รับการส่งเสริมในสองกรณีดังนั้น:
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเหมือนกับสำหรับ:
กิจกรรมได้รับการส่งเสริมโดยสามกรณี: GG, GC, CG และดังนั้น:
เนื่องจากพิจารณาเหตุการณ์ GG, GC, CG, BC ซึ่งเป็นไปได้เท่าเทียมกันและสร้างกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ดังนั้นการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจึงเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ (เราแสดงด้วยตัวอักษรซึ่งสนับสนุนโดยทั้ง 4 กรณีต่างๆ ดังนั้นความน่าจะเป็น:
ซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติแรกของความน่าจะเป็นได้รับการยืนยันแล้ว
คำตอบ
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ตัวอย่างที่ 4
งาน
จะมีการโยนลูกเต๋าสองลูกที่มีรูปทรงเรขาคณิตเหมือนกันและสม่ำเสมอ ค้นหาความน่าจะเป็นของผลบวกที่เป็นไปได้ทั้งสองข้างที่ปรากฏ
สารละลาย
เพื่อให้แก้ปัญหาได้สะดวกยิ่งขึ้น ลองจินตนาการว่าลูกบาศก์หนึ่งเป็นสีขาวและอีกลูกบาศก์หนึ่งเป็นสีดำ ลูกเต๋าสีขาวทั้งหกด้านแต่ละด้านสามารถมีหนึ่งในหกด้านของลูกเต๋าสีดำได้ ดังนั้นคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเป็น
เนื่องจากความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของใบหน้าบนลูกบาศก์ที่แยกจากกันนั้นเหมือนกัน (ลูกบาศก์นั้นมีรูปทรงเรขาคณิตที่ถูกต้อง!) ดังนั้นความเป็นไปได้ของการปรากฏตัวของใบหน้าแต่ละคู่จะเหมือนกันและเป็นผลมาจากการโยน ปรากฏเพียงคู่เดียวเท่านั้น ความหมายของเหตุการณ์ไม่เข้ากันและเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน เหล่านี้เป็นกรณีและมี 36 กรณีที่เป็นไปได้
ทีนี้ลองพิจารณาความเป็นไปได้ของค่ารวมบนใบหน้า แน่นอนว่าผลรวมที่น้อยที่สุดคือ 1 + 1 = 2 และผลรวมที่ใหญ่ที่สุดคือ 6 + 6 = 12 ส่วนที่เหลือของผลรวมจะเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งโดยเริ่มจากวินาที ให้เราแสดงถึงเหตุการณ์ที่มีดัชนีเท่ากับผลรวมของจุดที่ตกลงบนใบหน้าของลูกบาศก์ สำหรับแต่ละเหตุการณ์เหล่านี้ เราจะเขียนกรณีที่เป็นประโยชน์โดยใช้สัญลักษณ์ โดยที่ผลรวมคือจุดที่ขอบด้านบนของลูกบาศก์สีขาว และคือจุดที่ขอบของลูกบาศก์สีดำ
ดังนั้นสำหรับกิจกรรมนี้:
สำหรับ – หนึ่งกรณี (1 + 1);
สำหรับ – สองกรณี (1 + 2; 2 + 1);
สำหรับ – สามกรณี (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);
สำหรับ – สี่กรณี (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);
สำหรับ – ห้ากรณี (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);
สำหรับ – หกกรณี (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);
สำหรับ – ห้ากรณี (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);
สำหรับ – สี่กรณี (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);
สำหรับ – สามกรณี (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);
สำหรับ – สองกรณี (5 + 6; 6 + 5);
สำหรับ – หนึ่งกรณี (6 + 6)
ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นคือ:
คำตอบ
ตัวอย่างที่ 5
งาน
ก่อนเริ่มเทศกาล มีการขอให้ผู้เข้าร่วมสามคนจับฉลาก โดยผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะเข้าใกล้ถังและสุ่มเลือกไพ่หนึ่งในสามใบที่มีหมายเลข 1, 2 และ 3 ซึ่งหมายถึงหมายเลขซีเรียลของการแสดงของผู้เข้าร่วมรายนี้
ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าว:
1) – หมายเลขซีเรียลในคิวตรงกับหมายเลขการ์ด นั่นคือ หมายเลขซีเรียลของประสิทธิภาพ
2) – ไม่มีหมายเลขเดียวในคิวที่ตรงกับหมายเลขประสิทธิภาพ
3) – มีเพียงตัวเลขเดียวในคิวที่ตรงกับหมายเลขประสิทธิภาพ
4) – อย่างน้อยหนึ่งตัวเลขในคิวตรงกับหมายเลขประสิทธิภาพ
สารละลาย
ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการเลือกไพ่คือการเรียงสับเปลี่ยนของสามองค์ประกอบ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวจะเท่ากับ การเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้งเป็นเหตุการณ์ ให้เราแสดงเหตุการณ์เหล่านี้โดย เรากำหนดให้แต่ละเหตุการณ์มีการเรียงสับเปลี่ยนที่สอดคล้องกันในวงเล็บ:
; ; ; ; ; .
เหตุการณ์ที่ระบุไว้มีความเป็นไปได้เท่าเทียมกันและเป็นไปได้โดยเฉพาะ นั่นคือเป็นกรณีต่างๆ ให้เราแสดงดังนี้: (1 ชม. 2 ชม. 3 ชม.) – ตัวเลขที่สอดคล้องกันในคิว
เริ่มกันที่งานเลย จึงมีกรณีดีเพียงกรณีเดียวคือ
มี 2 กรณีที่เป็นประโยชน์ต่องานนี้ ดังนั้น:
กิจกรรมได้รับการส่งเสริม 3 กรณี: , ดังนั้น:
นอกจากนี้ ภายในงานยังอำนวยความสะดวกโดย ได้แก่
คำตอบ
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ – .
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ – .
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ – อัปเดต: 15 กันยายน 2017 โดย: บทความทางวิทยาศาสตร์.Ru
3) P (Æ )=0.
เราจะพูดสิ่งที่ได้รับ พื้นที่ความน่าจะเป็นถ้าให้ช่องว่างของผลลัพธ์เบื้องต้น9 และกำหนดความสอดคล้อง
w ฉัน ® P(wi ) =Pi
คำถามเกิดขึ้น: จะกำหนดความน่าจะเป็น P (wi) ของผลลัพธ์เบื้องต้นแต่ละรายการจากเงื่อนไขเฉพาะของปัญหาที่กำลังแก้ไขได้อย่างไร
คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น
มีความเป็นไปได้ที่จะคำนวณความน่าจะเป็น P (wi) โดยใช้วิธีนิรนัย ซึ่งประกอบด้วยการวิเคราะห์เงื่อนไขเฉพาะของการทดลองที่กำหนด (ก่อนดำเนินการทดสอบเอง)
สถานการณ์เกิดขึ้นได้เมื่อสเปซของผลลัพธ์เบื้องต้นมีจำนวนจำกัด N ของผลลัพธ์เบื้องต้น และการทดลองแบบสุ่มทำให้ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เบื้องต้น N แต่ละรายการปรากฏเท่ากัน ตัวอย่างของการทดลองแบบสุ่ม เช่น การโยนเหรียญที่สมมาตร การขว้างลูกเต๋า หรือการสุ่มจั่วไพ่จากสำรับที่สับ เนื่องจากความจริงที่แนะนำของความน่าจะเป็นของแต่ละประถมศึกษา
ผลลัพธ์ในกรณีนี้เท่ากับ N จากนี้ไปว่าหากเหตุการณ์ A มีผลเบื้องต้น N ให้เป็นไปตามคำจำกัดความ (*)
พี(ก) = ก
ในสถานการณ์ประเภทนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ตัวอย่าง. จากชุดที่ประกอบด้วยหลอดไฟฟ้าที่มีหน้าตาเหมือนกัน 10 หลอด โดยในจำนวนนี้มีหลอดชำรุด 4 หลอด จะมีการสุ่มเลือกหลอด 5 หลอด ความน่าจะเป็นที่หลอดไฟที่เลือกจะมีหลอดไฟชำรุด 2 ดวงเป็นเท่าใด
ก่อนอื่น เราสังเกตว่าการเลือกหลอดไฟห้าดวงมีความน่าจะเป็นเท่ากัน โดยรวมแล้วมีวิธี C 10 5 วิธีในการสร้างห้าอันดับแรกนั่นคือการทดลองแบบสุ่มในกรณีนี้มีผลลัพธ์ที่น่าจะเป็นไปได้เท่าเทียมกัน C 10 5
ผลลัพธ์เหล่านี้จำนวนเท่าใดที่ตรงตามเงื่อนไข "มีโคมไฟชำรุดสองดวงในห้าอันดับแรก" นั่นคือมีผลลัพธ์กี่รายการที่เป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจ
แต่ละกลุ่มที่เราสนใจสามารถประกอบได้ดังนี้: เลือกหลอดที่มีข้อบกพร่องสองหลอดซึ่งสามารถทำได้หลายวิธีเท่ากับ C 4 2 . หลอดไฟที่ชำรุดแต่ละคู่สามารถเกิดขึ้นได้หลายครั้งเท่ากับวิธีการเสริมด้วยหลอดที่ไม่มีข้อบกพร่องสามหลอดนั่นคือ 6 3 ครั้ง ปรากฎว่าจำนวนห้าประกอบด้วยสอง
คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น
พิจารณาการทดลองสุ่มโดยโยนแม่พิมพ์ที่ทำจากวัสดุต่างกัน จุดศูนย์ถ่วงไม่ได้อยู่ที่ศูนย์กลางทางเรขาคณิต ในกรณีนี้ เราไม่สามารถถือว่าผลลัพธ์ (การเสียหนึ่ง สอง ฯลฯ) มีความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน จากฟิสิกส์เป็นที่ทราบกันดีว่ากระดูกมักจะตกลงบนใบหน้าที่อยู่ใกล้กับจุดศูนย์ถ่วงมากขึ้น จะตรวจสอบความน่าจะเป็นที่จะได้สามแต้มได้อย่างไร? สิ่งเดียวที่คุณทำได้คือทอยลูกเต๋านี้ n ครั้ง (โดยที่ n เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมาก เช่น n = 1,000 หรือ n = 5,000) นับจำนวนสามแต้มที่ทอยได้ n 3 และพิจารณาความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของการทอยสามแต้ม แต้มเป็น n 3 / n - ความถี่สัมพัทธ์ของสามแต้มที่ถูกทอย ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เบื้องต้นอื่นๆ ได้ เช่น หนึ่ง สอง สี่ เป็นต้น ตามทฤษฎีแล้ว แนวทางการดำเนินการนี้สามารถพิสูจน์ได้หากเราแนะนำ การกำหนดทางสถิติของความน่าจะเป็น.
ความน่าจะเป็น P(M i) หมายถึงขีดจำกัดของความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดผลลัพธ์ M i ในกระบวนการเพิ่มจำนวนการทดลองสุ่มอย่างไม่จำกัด n นั่นคือ
P i = P (M i ) = lim m n (M i ) , n ®¥n
โดยที่ m n (M i ) คือจำนวนของการทดลองสุ่ม (จากจำนวนทั้งหมด n ของการทดลองสุ่มที่ดำเนินการ) ซึ่งมีการบันทึกการเกิดขึ้นของผลลัพธ์เบื้องต้น M i
เนื่องจากไม่ได้ให้หลักฐานไว้ ณ ที่นี้ เราจึงได้แต่หวังว่าสูตรสุดท้ายจะมีขีดจำกัด โดยอาศัยความหวังจากประสบการณ์ชีวิตและสัญชาตญาณ
ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิต
ในกรณีพิเศษกรณีหนึ่ง เราจะให้คำจำกัดความของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สำหรับการทดลองสุ่มที่มีชุดผลลัพธ์ที่นับไม่ได้
หากสามารถกำหนดการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุด W ของผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดลองสุ่มและชุดจุดของรูป S แบนบางรูป (ซิกม่าขนาดใหญ่) และสามารถสร้างการติดต่อแบบตัวต่อตัวได้เช่นกัน ระหว่างชุดผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ A และชุดจุดของรูปแบน I (ซิกม่าเล็ก) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของรูป S แล้ว
พี(ก) = ส,
โดยที่ s คือพื้นที่ของรูป S คือพื้นที่ของรูป S
ตัวอย่าง. คนสองคนรับประทานอาหารกลางวันในห้องอาหารซึ่งเปิดให้บริการตั้งแต่ 12 ถึง 13 ชั่วโมง แต่ละคนจะมาสุ่มเวลาและรับประทานอาหารกลางวันภายใน 10 นาที ความน่าจะเป็นที่จะพบกันของพวกเขาคือเท่าไร?
ให้ x เป็นเวลามาถึงของคนแรกในห้องอาหาร และเป็นเวลามาถึงของคนแรกในห้องอาหาร
12 ปอนด์ x 13 ปอนด์; 12 ปอนด์หรือ 13 ปอนด์
เป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างคู่ของตัวเลขทั้งหมด (x;y) (หรือชุดของผลลัพธ์) และเซตของจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 บนระนาบพิกัด โดยที่จุดกำเนิดสอดคล้องกัน ไปที่หมายเลข 12 ตามแนวแกน X และตามแนวแกน Y ดังแสดงในรูปที่ 6 ตัวอย่างเช่น จุด A สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่จุดแรกมาถึงเวลา 12.30 น. และจุดที่สองเวลา 13.00 น. ในกรณีนี้อย่างเห็นได้ชัด
การประชุมไม่เกิดขึ้น | ||||||||||||||||||||||||||||||||
หากคนแรกมาถึงไม่ช้ากว่าวินาที (y ³ x) ดังนั้น |
||||||||||||||||||||||||||||||||
การประชุมจะเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไข 0 £ y - x £ 1/6 | (10 นาทีคือ 1/6 ชั่วโมง) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
หากวินาทีมาถึงไม่ช้ากว่าครั้งแรก (x ³ y) ดังนั้น |
||||||||||||||||||||||||||||||||
การประชุมจะเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไข 0 £ x - y £ 1/6.. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ระหว่างผลลัพธ์หลายประการที่ดี |
||||||||||||||||||||||||||||||||
การประชุมและชุดจุดในภูมิภาคที่ปรากฎ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
รูปที่ 7 ในรูปแบบแรเงา คุณสามารถติดตั้งได้ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
การติดต่อสื่อสารแบบตัวต่อตัว |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ความน่าจะเป็นที่ต้องการ p เท่ากับอัตราส่วนพื้นที่ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
พื้นที่ s ถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด.. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส |
||||||||||||||||||||||||||||||||
เท่ากับความสามัคคีและพื้นที่ของภาคสามารถกำหนดได้เป็น |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ความแตกต่างระหว่างหนึ่งและพื้นที่รวมของทั้งสอง |
||||||||||||||||||||||||||||||||
สามเหลี่ยมดังแสดงในรูปที่ 7 ดังนี้ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
พี =1 - | ||||||||||||||||||||||||||||||||
พื้นที่ความน่าจะเป็นต่อเนื่อง
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ชุดของผลลัพธ์เบื้องต้นสามารถนับได้มากกว่า (นั่นคือ นับไม่ได้) ในกรณีนี้ สับเซตใดๆ ของเซต W จะไม่ถือเป็นเหตุการณ์
เพื่อแนะนำคำจำกัดความของเหตุการณ์สุ่ม ให้พิจารณาระบบ (จำกัดหรือนับได้) ของเซตย่อย A 1 , A 2 ,... A n ของปริภูมิของผลลัพธ์เบื้องต้น W
หากตรงตามเงื่อนไขสามประการ: 1) W เป็นของระบบนี้;
2) จากการเป็น A ของระบบนี้ จะตามมาว่า A อยู่ในระบบนี้
3) จากการเป็นสมาชิกของ A i และ A j ถึงระบบนี้เป็นไปตามที่ A i U A j เป็นของสิ่งนี้
ระบบย่อยดังกล่าวเรียกว่าระบบพีชคณิต
ให้ W เป็นปริภูมิของผลลัพธ์เบื้องต้น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองระบบเป็นชุดย่อย:
1) W , Ж ; 2)W,A,A,Æ (ในที่นี้ A เป็นสับเซตของ W) คือพีชคณิต
ให้ A 1 และ A 2 เป็นของพีชคณิตบางตัว พิสูจน์ว่า A 1 \A 2 และ A 1 ∩ A 2 เป็นของพีชคณิตนี้
เซตย่อย A ของเซตผลลัพธ์เบื้องต้น 9 ที่นับไม่ได้จะเป็นเหตุการณ์หากเป็นของพีชคณิตบางค่า
ให้เรากำหนดสัจพจน์ที่เรียกว่าสัจพจน์ของ A.N. โคลโมโกรอฟ.
แต่ละเหตุการณ์สอดคล้องกับจำนวนไม่เป็นลบ P(A) ซึ่งไม่เกินหนึ่ง เรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และฟังก์ชัน P(A) มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) ป (9 )=1
2) ถ้าเหตุการณ์ A 1 ,A 2 ,...,A n ไม่สอดคล้องกัน
P (A 1 U A 2 U ... U A n ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) +... +P (A n )
หากมีช่องว่างของผลลัพธ์เบื้องต้น W พีชคณิตของเหตุการณ์และฟังก์ชัน P ที่กำหนดไว้ซึ่งตรงตามเงื่อนไขของสัจพจน์ที่กำหนดพวกเขาก็บอกว่า พื้นที่ความน่าจะเป็น.
คำจำกัดความของปริภูมิความน่าจะเป็นนี้สามารถขยายไปถึงกรณีปริภูมิจำกัดของผลลัพธ์เบื้องต้น W ในฐานะพีชคณิต เราสามารถใช้ระบบของเซตย่อยทั้งหมดของเซต W ได้
สูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็น
จากจุดที่ 2 ของสัจพจน์ข้างต้น จะเป็นไปตามว่าถ้า A 1 และ A2 เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แล้ว
P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 )
ถ้า A 1 และ A 2 เป็นเหตุการณ์ร่วม ดังนั้น A 1 U A 2 =(A 1 \A 2 )U A 2 และเห็นได้ชัดว่า A 1 \A 2 และ A 2 เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เป็นไปตามนี้:
P (A 1 U A 2 ) = P (A1 \ A 2 ) + P (A2 ) |
ยิ่งไปกว่านั้น เป็นที่ชัดเจนว่า A 1 = (A1 \A 2 )U (A 1 ∩ A 2 ) และ A1 \A 2 และ A 1 ∩ A 2 เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ ซึ่งดังต่อไปนี้: P (A 1 ) =P (A1 \A 2 ) +P (A 1 ∩ A 2 ) ให้เราค้นหานิพจน์สำหรับ P (A1 \A 2 ) จากสูตรนี้ และแทนที่มันไปทางด้านขวาของสูตร (*) ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้สูตรเพิ่มความน่าจะเป็น:
P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) –P (A 1 ∩ A 2 )
จากสูตรสุดท้าย ง่ายต่อการรับสูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้โดยการตั้งค่า A 1 ∩ A 2 =Æ
ตัวอย่าง. ค้นหาความน่าจะเป็นในการจั่วไพ่เอซหรือชุดหัวใจเมื่อสุ่มเลือกไพ่หนึ่งใบจากสำรับ 32 แผ่น
P (เอซ) = 4/32 = 1/8; P (ชุดหัวใจ) = 8/32 = 1/4;
P (เอซแห่งหัวใจ) = 1/32;
P ((ACE)U (ชุดสุดคุ้ม)) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32
ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถทำได้โดยใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นโดยการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจใหม่
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
ลองพิจารณาปัญหา ก่อนสอบ นักเรียนคนหนึ่งเรียนรู้จากตั๋ว 30 ใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 5 และ 26 ถึง 30 เป็นที่ทราบกันดีว่าระหว่างการสอบนักเรียนดึงตั๋วที่มีหมายเลขไม่เกิน 20 ออกมา ความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะเป็นอย่างไร ดึงตั๋วที่จำได้ออกมาเหรอ?
เรามานิยามปริภูมิของผลลัพธ์เบื้องต้นกันดีกว่า: W =(1,2,3,...,28,29,30) ให้เหตุการณ์ A คือการที่นักเรียนดึงตั๋วที่เรียนรู้ออกมา: A = (1,...,5,25,...,30,) และให้เหตุการณ์ B คือการที่นักเรียนดึงตั๋วออกมาจากยี่สิบคนแรก : ข = ( 1,2,3,...,20)
เหตุการณ์ A ∩ B ประกอบด้วยผลลัพธ์ 5 รายการ: (1,2,3,4,5) และความน่าจะเป็นของมันคือ 5/30 ตัวเลขนี้สามารถแสดงเป็นผลคูณของเศษส่วน 5/20 และ 20/30 จำนวน 20/30 คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B จำนวน 5/20 ถือได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้น (ลองแสดงว่าเป็น P (A / B)) ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาจึงถูกกำหนดโดยสูตร
ป (A ∩ B) =P (A /B)P (B)
สูตรนี้เรียกว่าสูตรคูณความน่าจะเป็น และความน่าจะเป็น P (A / B) คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ A
ตัวอย่าง: จากโกศที่บรรจุลูกบอลสีขาว 7 ลูกและลูกบอลสีดำ 3 ลูก สุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกทีละลูก (โดยไม่ต้องเปลี่ยน) ความน่าจะเป็นที่ลูกแรกจะเป็นสีขาวและลูกที่สองเป็นสีดำเป็นเท่าไร?
ให้ X เป็นเหตุการณ์ที่อันแรกจับลูกบอลสีขาว และ Y เป็นเหตุการณ์ที่อันที่สองจับลูกบอลสีดำ จากนั้น X ∩ Y คือเหตุการณ์ที่ลูกบอลลูกแรกจะเป็นสีขาวและลูกที่สองจะเป็นสีดำ P (Y / X ) =3/9 =1/3 คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของลูกที่สองที่จะได้ลูกบอลสีดำหากลูกบอลสีขาว ถูกวาดก่อน เมื่อพิจารณาว่า P (X) = 7/10 โดยใช้สูตรคูณความน่าจะเป็นที่เราได้รับ: P (X ∩ Y) = 7/30
เหตุการณ์ A เรียกว่าเป็นอิสระจากเหตุการณ์ B (หรืออีกนัยหนึ่ง: เหตุการณ์ A และ B เรียกว่าเป็นอิสระ) ถ้า P (A / B) = P (A - คำจำกัดความของเหตุการณ์อิสระสามารถนำมาเป็นผลจากสูตรสุดท้ายและสูตรคูณ
ป (A ∩ B) =P (A)P (B)
พิสูจน์ตัวเองว่าถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน แล้ว A และ B ก็เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระเช่นกัน
ตัวอย่าง: พิจารณาปัญหาที่คล้ายกับปัญหาก่อนหน้า แต่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมหนึ่งข้อ: เมื่อดึงลูกบอลลูกแรกออกมา จำสีของมัน แล้วคืนลูกบอลไปที่โกศ หลังจากนั้นเราก็ผสมลูกบอลทั้งหมด ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ของการสกัดครั้งที่สองไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าลูกใด - สีดำหรือสีขาว - ปรากฏขึ้นในระหว่างการสกัดครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลสีขาวจะปรากฏก่อน (เหตุการณ์ A) คือ 7/10 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B - ลูกบอลสีดำลูกที่สองปรากฏ - คือ 3/10 ตอนนี้สูตรคูณความน่าจะเป็นให้: P (A ∩ B) = 21/100
การดึงลูกบอลในลักษณะที่อธิบายในตัวอย่างนี้เรียกว่า ตัวอย่างพร้อมผลตอบแทนหรือ การสุ่มตัวอย่างกลับมา.
ควรสังเกตว่าหากในสองตัวอย่างสุดท้าย เราใส่ตัวเลขเริ่มต้นของลูกบอลสีขาวและสีดำเท่ากับ 7000 และ 3000 ตามลำดับ ผลลัพธ์ของการคำนวณความน่าจะเป็นแบบเดียวกันจะแตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับตัวอย่างที่เกิดซ้ำและไม่เกิดซ้ำ
ในทางเศรษฐศาสตร์ เช่นเดียวกับในด้านอื่นๆ ของกิจกรรมของมนุษย์หรือโดยธรรมชาติ เราต้องรับมือกับเหตุการณ์ที่ไม่สามารถคาดเดาได้อย่างแม่นยำอยู่ตลอดเวลา ดังนั้นปริมาณการขายของผลิตภัณฑ์จึงขึ้นอยู่กับความต้องการซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงได้อย่างมาก และขึ้นอยู่กับปัจจัยอื่นๆ อีกหลายประการที่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะนำมาพิจารณา ดังนั้นเมื่อจัดการการผลิตและดำเนินการขาย คุณต้องคาดการณ์ผลลัพธ์ของกิจกรรมดังกล่าวโดยพิจารณาจากประสบการณ์ก่อนหน้าของคุณเองหรือประสบการณ์ที่คล้ายกันของผู้อื่น หรือสัญชาตญาณ ซึ่งส่วนใหญ่ต้องอาศัยข้อมูลการทดลองด้วย
ในการประเมินเหตุการณ์ที่เป็นปัญหามีความจำเป็นต้องคำนึงถึงหรือจัดเงื่อนไขพิเศษในการบันทึกเหตุการณ์นี้เป็นพิเศษ
การดำเนินการตามเงื่อนไขหรือการดำเนินการบางอย่างเพื่อระบุเหตุการณ์ที่เป็นปัญหาเรียกว่า ประสบการณ์หรือ การทดลอง.
โดยงานนี้มีชื่อว่า สุ่มหากจากประสบการณ์นั้นอาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้
โดยงานนี้มีชื่อว่า เชื่อถือได้หากจำเป็นต้องปรากฏเป็นผลจากประสบการณ์ที่ได้รับ และ เป็นไปไม่ได้หากไม่สามารถปรากฏในประสบการณ์นี้ได้
ตัวอย่างเช่น หิมะตกในมอสโกในวันที่ 30 พฤศจิกายนเป็นเหตุการณ์สุ่ม พระอาทิตย์ขึ้นทุกวันถือได้ว่าเป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ หิมะตกที่เส้นศูนย์สูตรถือเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้
งานหลักอย่างหนึ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นคืองานในการกำหนดการวัดเชิงปริมาณของความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น
พีชคณิตของเหตุการณ์
เหตุการณ์จะเรียกว่าเข้ากันไม่ได้หากไม่สามารถสังเกตร่วมกันในประสบการณ์เดียวกันได้ ดังนั้นการมีรถยนต์สองและสามคันในร้านค้าเดียวที่ขายในเวลาเดียวกันจึงเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์
จำนวน events คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการเกิดขึ้นของเหตุการณ์เหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์
ตัวอย่างผลรวมของเหตุการณ์คือการมีผลิตภัณฑ์อย่างน้อยหนึ่งรายการจากสองรายการในร้านค้า
การทำงาน events คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมๆ กันของเหตุการณ์ทั้งหมดนี้
เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยการปรากฏตัวของสินค้าสองรายการในร้านค้าในเวลาเดียวกันถือเป็นผลิตภัณฑ์ของเหตุการณ์: - การปรากฏตัวของผลิตภัณฑ์หนึ่ง - การปรากฏตัวของผลิตภัณฑ์อื่น
เหตุการณ์ต่างๆ จะรวมกันเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ หากมีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน
ตัวอย่าง.ท่าเรือมีท่าเทียบเรือสองท่าสำหรับรับเรือ สามารถพิจารณาเหตุการณ์ได้สามเหตุการณ์: - การไม่มีเรืออยู่ที่ท่าเทียบเรือ - การมีเรือลำหนึ่งอยู่ที่ท่าเทียบเรือลำใดท่าหนึ่ง - การมีเรือสองลำอยู่ที่ท่าเทียบเรือสองลำ เหตุการณ์ทั้งสามนี้ประกอบกันเป็นกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์
ตรงข้ามเรียกว่าเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เฉพาะสองเหตุการณ์ที่รวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์
หากเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งที่อยู่ตรงข้ามกันแสดงด้วย แสดงว่าเหตุการณ์ตรงกันข้ามมักจะแสดงด้วย
คำจำกัดความคลาสสิกและสถิติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ผลลัพธ์การทดสอบ (การทดลอง) ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันแต่ละรายการเรียกว่าผลลัพธ์เบื้องต้น มักจะถูกกำหนดด้วยตัวอักษร ตัวอย่างเช่น มีการโยนลูกเต๋า สามารถมีผลลัพธ์เบื้องต้นได้ทั้งหมดหกคะแนนตามจำนวนคะแนนที่อยู่ด้านข้าง
จากผลลัพธ์เบื้องต้น คุณสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นได้ ดังนั้น เหตุการณ์ที่มีคะแนนเป็นเลขคู่จึงถูกกำหนดโดยผลลัพธ์ 3 รายการ: 2, 4, 6
การวัดความเป็นไปได้ในเชิงปริมาณของเหตุการณ์ที่เป็นปัญหาคือความน่าจะเป็น
คำจำกัดความความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือ: คลาสสิคและ เชิงสถิติ.
คำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นมีความเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจ
เรียกว่าได้ผล ดีไปยังเหตุการณ์ที่กำหนดหากการเกิดขึ้นนั้นก่อให้เกิดเหตุการณ์นี้
ในตัวอย่างข้างต้น เหตุการณ์ที่เป็นปัญหา—จำนวนแต้มบนฝั่งม้วนเป็นเลขคู่—มีผลลัพธ์ที่ดีสามประการ ในกรณีนี้ทั่วไป
จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้ที่นี่
คำจำกัดความคลาสสิกเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
โดยที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
ในตัวอย่างที่พิจารณา
คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็นสัมพันธ์กับแนวคิดเรื่องความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลอง
ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์คำนวณโดยใช้สูตร
โดยที่ คือจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในชุดการทดลอง (การทดสอบ)
คำจำกัดความทางสถิติ- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือจำนวนรอบที่ความถี่สัมพัทธ์คงที่ (ชุด) โดยเพิ่มจำนวนการทดลองได้ไม่จำกัด
ในปัญหาเชิงปฏิบัติ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งๆ จะถือเป็นความถี่สัมพัทธ์สำหรับการทดลองจำนวนมากพอสมควร
จากคำจำกัดความของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจเสมอ
ในการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามสูตร (1.1) มักใช้สูตรเชิงผสม ซึ่งใช้เพื่อค้นหาจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจและจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด