พื้นฐานทางตรรกะและเลขคณิตของการทำงานของคอมพิวเตอร์ พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์
ในปัจจุบัน ในชีวิตประจำวัน ในการเข้ารหัสข้อมูลตัวเลข มีการใช้ระบบเลขทศนิยมที่มีฐาน 10 ซึ่งใช้องค์ประกอบสัญลักษณ์ 10 รายการ ได้แก่ ตัวเลข 0,1,2,...8,9 หลักแรก (รอง) ระบุจำนวนหน่วย หลักที่สอง - สิบ หลักที่สาม - ร้อย ฯลฯ กล่าวอีกนัยหนึ่งในแต่ละหลักที่ตามมาน้ำหนักของค่าสัมประสิทธิ์หลักจะเพิ่มขึ้น 10 เท่า
อุปกรณ์ประมวลผลข้อมูลดิจิทัลใช้ระบบเลขฐานสองฐาน 2 ที่ใช้องค์ประกอบสัญลักษณ์สองรายการ: 0 และ 1
ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 101011 เทียบเท่ากับเลขฐานสิบ 43:
ในอุปกรณ์ดิจิทัล มีการใช้คำศัพท์พิเศษเพื่อแสดงถึงหน่วยของข้อมูลขนาดต่างๆ เช่น บิต ไบต์ กิโลไบต์ เมกะไบต์ ฯลฯ บิตหรือเลขฐานสองจะกำหนดมูลค่าของอักขระหนึ่งตัวในเลขฐานสอง ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 101 มีสามบิตหรือสามหลัก เลขทางขวาซึ่งมีน้ำหนักน้อยที่สุดเรียกว่ารุ่นจูเนียร์ และตัวเลขทางซ้ายซึ่งมีน้ำหนักมากที่สุดเรียกว่ารุ่นอาวุโส
ไบต์กำหนดหน่วยข้อมูล 8 บิต 1 ไบต์ = 23 บิต เช่น 10110011 หรือ 01010111 เป็นต้น
หากต้องการแสดงตัวเลขหลายหลักในระบบเลขฐานสอง จำเป็นต้องมีเลขฐานสองจำนวนมาก การบันทึกจะง่ายขึ้นหากคุณใช้ระบบเลขฐานสิบหก
ระบบเลขฐานสิบหกขึ้นอยู่กับตัวเลข 16= ซึ่งใช้องค์ประกอบสัญลักษณ์ 16 รายการ ได้แก่ ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 และตัวอักษร A, B, C, D, E, F ในการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหก ก็เพียงพอที่จะแบ่งเลขฐานสองออกเป็นกลุ่มบิตสี่กลุ่ม ได้แก่ ส่วนจำนวนเต็มจากขวาไปซ้าย ส่วนเศษส่วนจากซ้ายไปขวาจากจุดทศนิยม กลุ่มภายนอกอาจไม่สมบูรณ์
กลุ่มไบนารีแต่ละกลุ่มจะแสดงด้วยอักขระเลขฐานสิบหกที่สอดคล้องกัน (ตารางที่ 1) ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 0101110000111001 ในเลขฐานสิบหกจะแสดงเป็น 5C39
ระบบเลขทศนิยมจะสะดวกที่สุดสำหรับผู้ใช้ ดังนั้นอุปกรณ์ดิจิทัลจำนวนมากที่ทำงานกับเลขฐานสองจึงรับและออกเลขทศนิยมให้กับผู้ใช้ ในกรณีนี้ จะใช้รหัสไบนารี่-ทศนิยม
รหัสทศนิยมไบนารี่ถูกสร้างขึ้นโดยการแทนที่เลขทศนิยมแต่ละตัวของตัวเลขด้วยการแทนเลขฐานสองสี่หลักของตัวเลขนั้นในรหัสไบนารี่ ตัวอย่างเช่น หมายเลข 15 จะแสดงเป็น 00010101 BCD (Binary Coded Decimal) ในกรณีนี้ แต่ละไบต์จะมีทศนิยมสองหลัก โปรดทราบว่ารหัส BCD ในการแปลงนี้ไม่ใช่เลขฐานสองที่เทียบเท่ากับเลขทศนิยม
สาขาของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเชิงตรรกะที่มีเพียงสองค่าเรียกว่าพีชคณิตของตรรกศาสตร์ พีชคณิตแห่งตรรกศาสตร์ได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เจ. บูล และมักเรียกว่าพีชคณิตแบบบูล พีชคณิตลอจิกเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการสร้างระบบประมวลผลข้อมูลดิจิทัล ประการแรกตามกฎของพีชคณิตตรรกะสมการเชิงตรรกะของอุปกรณ์ได้รับการพัฒนาซึ่งช่วยให้คุณสามารถเชื่อมต่อองค์ประกอบเชิงตรรกะในลักษณะที่วงจรทำหน้าที่เชิงตรรกะที่กำหนด
-
เลขคณิต และ ตรรกะ พื้นฐาน การก่อสร้าง คอมพิวเตอร์- ในปัจจุบัน ในชีวิตประจำวัน ในการเข้ารหัสข้อมูลตัวเลข มีการใช้ระบบเลขทศนิยมที่มีฐาน 10 ซึ่งใช้องค์ประกอบสัญลักษณ์ 10 รายการ ได้แก่ ตัวเลข 0,1,2,...8,9 ในครั้งแรก... -
เลขคณิต และ ตรรกะ พื้นฐาน การก่อสร้าง คอมพิวเตอร์- ปัจจุบันในชีวิตประจำวันมีการใช้ทศนิยมเพื่อเข้ารหัสข้อมูลตัวเลข หลักการควบคุมโปรแกรม คอมพิวเตอร์. -
ชื่อ " อิเล็กทรอนิกส์ คอมพิวเตอร์ รถ» สอดคล้องกับแอปพลิเคชันดั้งเดิม คอมพิวเตอร์- คุณ... มีต่อ ». เลขคณิต และ ตรรกะ พื้นฐาน การก่อสร้าง คอมพิวเตอร์. -
พ.ศ. 1642 (ค.ศ. 1642) ปาสคาลได้พัฒนาแบบจำลองนี้ คอมพิวเตอร์ รถยนต์เพื่อดำเนินการ เลขคณิตการกระทำ ( สร้างในปี ค.ศ. 1845 และถูกเรียกว่า “วงล้อปาสกาล”
การวิจัยกำลังดำเนินการในสาขาออปโตอิเล็กทรอนิกส์และ อาคารบนพื้นฐานของมัน คอมพิวเตอร์... -
หลักการพื้นฐาน การก่อสร้างทันสมัยทั้งหมด คอมพิวเตอร์คือการควบคุมซอฟต์แวร์ พื้นฐานคำสอนเกี่ยวกับสถาปัตยกรรม คอมพิวเตอร์ รถยนต์
โครงสร้างจริง คอมพิวเตอร์ซับซ้อนกว่าที่กล่าวไว้ข้างต้นมาก (เรียกได้ว่า ตรรกะโครงสร้าง). -
เพียงดาวน์โหลดแผ่นโกง ตรรกะการเขียนโปรแกรม - และไม่มีการสอบใดที่น่ากลัวสำหรับคุณ!
พื้นฐานการเขียนโปรแกรมใน Turbo-Prolog: เลขคณิตการคำนวณและการเปรียบเทียบ -
การสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์ - วิปริตการนำเสนอความรู้ใน คอมพิวเตอร์ (การก่อสร้างฐานความรู้ต่างๆ)
6) การทดสอบและการดีบัก: - การดีบักทางวากยสัมพันธ์ - การดีบักความหมาย (การดีบัก ตรรกะโครงสร้าง) - การคำนวณการทดสอบการวิเคราะห์ผลการทดสอบ... -
วิธีการก็คือหนทาง วิธีการบรรลุเป้าหมาย การก่อสร้างต้นไม้ผิด
3. กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างสาเหตุและเหตุการณ์หลักในแง่ ตรรกะการดำเนินการ "และ" และ "หรือ" -
สิ่งเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อวิทยาศาสตร์และเป็นเสาหลัก ตรรกะเพราะหากไม่มีกฎหมายเหล่านี้ ตรรกะคิดไม่ถึง ตรรกะกฎหมายเป็นกฎที่มีอยู่อย่างเป็นกลางและจำเป็นต้องใช้ การก่อสร้าง ตรรกะกำลังคิด -
แบบจำลองข้อมูลเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับ การก่อสร้างแบบจำลองฐานข้อมูลเชิงข้อมูลและทำหน้าที่เป็นแบบจำลองระดับกลางสำหรับผู้เชี่ยวชาญเฉพาะด้าน (สำหรับ
แล้วกับเธอ พื้นฐานแนวความคิด ( ตรรกะ) โมเดลภายใน (ทางกายภาพ) และภายนอก
พบหน้าที่คล้ายกัน:10
การบรรยายครั้งที่ 1 บทนำ รากฐานทางคณิตศาสตร์และตรรกะของคอมพิวเตอร์ พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์ พื้นฐานทางตรรกะของคอมพิวเตอร์ หลักการพื้นฐานของพีชคณิตแห่งตรรกศาสตร์ องค์ประกอบเชิงตรรกะ กฎและอัตลักษณ์ของพีชคณิตแห่งตรรกศาสตร์
คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตรรกะโดยใช้ตัวแปรสองคลาส: ตัวเลขและตัวแปรลอจิคัล ตัวเลขมีข้อมูลเกี่ยวกับคุณลักษณะเชิงปริมาณของระบบ ตัวแปรบูลีนกำหนดสถานะของระบบหรือว่าเป็นของสถานะบางประเภท (การสลับช่องสัญญาณ, การควบคุมการทำงานของคอมพิวเตอร์ตามโปรแกรม ฯลฯ ) ตัวแปรลอจิกสามารถรับได้เพียงสองค่าเท่านั้น: จริงและ โกหก.ในอุปกรณ์ประมวลผลข้อมูลดิจิทัลค่าตัวแปรทั้งสองนี้สัมพันธ์กับระดับแรงดันไฟฟ้าสองระดับ: สูง - ( ตรรกะ "1")และโลว์- (ตรรกะ0")อย่างไรก็ตามค่าเหล่านี้ไม่ได้สื่อถึงความหมายของปริมาณ องค์ประกอบที่ดำเนินการอย่างง่ายบนสัญญาณไบนารีดังกล่าวเรียกว่าตรรกะ ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบเชิงตรรกะ อุปกรณ์ได้รับการพัฒนาที่ดำเนินการทั้งทางคณิตศาสตร์และเชิงตรรกะ
ปัจจุบันองค์ประกอบลอจิก (LE) ถูกนำมาใช้โดยใช้เทคโนโลยีต่าง ๆ ซึ่งกำหนดค่าตัวเลขของพารามิเตอร์หลักของ LE และผลที่ตามมาคือตัวบ่งชี้คุณภาพของอุปกรณ์ประมวลผลข้อมูลดิจิทัลที่พัฒนาบนพื้นฐานของพวกเขา ดังนั้นในคู่มือฉบับนี้ จึงให้ความสำคัญกับการออกแบบวงจรและพารามิเตอร์ของ LE ของเทคโนโลยีต่างๆ
พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์
ปัจจุบันในชีวิตประจำวันในการเข้ารหัสข้อมูลตัวเลขจะใช้ระบบเลขฐานสิบที่มีฐาน 10 ซึ่งใช้องค์ประกอบการกำหนด 10 รายการ: หมายเลข 0, 1, 2, ... 8, 9 ตัวเลขตัวแรก (รอง) หมายถึงตัวเลข ของหน่วย, วินาที - สิบ, ในสาม - ร้อย, ฯลฯ ; กล่าวอีกนัยหนึ่งในแต่ละหลักที่ตามมาน้ำหนักของค่าสัมประสิทธิ์หลักจะเพิ่มขึ้น 10 เท่า
อุปกรณ์ประมวลผลข้อมูลดิจิทัลใช้ระบบเลขฐานสองที่มีฐาน 2 ซึ่งใช้องค์ประกอบการกำหนดสองประการ: 0 และ 1 น้ำหนักของบิตจากซ้ายไปขวาจากบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดไปจนถึงบิตที่มีนัยสำคัญที่สุดเพิ่มขึ้น 2 เท่านั่นคือ มีลำดับดังต่อไปนี้: 8421 โดยทั่วไปลำดับนี้จะมีลักษณะดังนี้:
…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …
และใช้ในการแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบ ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 101011 เทียบเท่ากับเลขฐานสิบ 43:
2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43
ในอุปกรณ์ดิจิทัล มีการใช้คำศัพท์พิเศษเพื่อแสดงถึงหน่วยของข้อมูลขนาดต่างๆ เช่น บิต ไบต์ กิโลไบต์ เมกะไบต์ เป็นต้น
นิดหน่อยหรือ เลขฐานสองกำหนดค่าของอักขระหนึ่งตัวในเลขฐานสอง ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 101 มีสามบิตหรือสามหลัก เรียกว่าหลักขวาสุดที่มีน้ำหนักน้อยที่สุด อายุน้อยกว่าและอันซ้ายสุดที่มีน้ำหนักมากที่สุดคือ อาวุโส.
ไบต์กำหนด 8 บิตหน่วยข้อมูล 1 ไบต์ = 23 บิต เช่น 10110011 หรือ 01010111 เป็นต้น 1 kbyte = 2 10 ไบต์ 1 MB = 2 10 kbytes = 2 20 ไบต์
หากต้องการแสดงตัวเลขหลายหลักในระบบเลขฐานสอง จำเป็นต้องมีเลขฐานสองจำนวนมาก การบันทึกจะง่ายขึ้นหากคุณใช้ระบบเลขฐานสิบหก
พื้นฐาน ระบบเลขฐานสิบหกสัญกรณ์คือตัวเลข 16 = 2 4 ซึ่งใช้องค์ประกอบสัญกรณ์ 16 รายการ: ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 และตัวอักษร A, B, C, D, E, F ในการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหกก็เพียงพอที่จะแบ่งเลขฐานสอง ตัวเลขออกเป็นกลุ่มสี่บิต: ส่วนจำนวนเต็มจากขวาไปซ้าย, เศษส่วน - จากซ้ายไปขวาของจุดทศนิยม กลุ่มภายนอกอาจไม่สมบูรณ์
กลุ่มไบนารีแต่ละกลุ่มจะแสดงด้วยอักขระเลขฐานสิบหกที่สอดคล้องกัน (ตารางที่ 1) ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 0101110000111001 ในเลขฐานสิบหกจะแสดงเป็น 5C39
ระบบเลขทศนิยมจะสะดวกที่สุดสำหรับผู้ใช้ ดังนั้นอุปกรณ์ดิจิทัลจำนวนมากที่ทำงานกับเลขฐานสองจึงรับและออกเลขทศนิยมให้กับผู้ใช้ ในกรณีนี้ จะใช้รหัสทศนิยมไบนารี
รหัสบีซีดีถูกสร้างขึ้นโดยการแทนที่เลขทศนิยมแต่ละตัวของตัวเลขด้วยการแสดงเลขฐานสองสี่บิตของตัวเลขนี้ในรหัสไบนารี่ (ดูตารางที่ 1) ตัวอย่างเช่น หมายเลข 15 จะแสดงเป็น 00010101 BCD (BinaryCodedDecimal) ในกรณีนี้ แต่ละไบต์จะมีทศนิยมสองหลัก โปรดทราบว่ารหัส BCD ในการแปลงนี้ไม่ใช่เลขฐานสองที่เทียบเท่ากับเลขทศนิยม
ในอุปกรณ์ดิจิทัล คุณต้องจัดการกับข้อมูลประเภทต่างๆ นี่เป็นข้อมูลไบนารีล้วนๆ เช่น อุปกรณ์เปิดหรือปิดอยู่ ไม่ว่าอุปกรณ์จะทำงานหรือไม่ก็ตาม ข้อมูลสามารถนำเสนอในรูปแบบของข้อความ จากนั้นตัวอักษรของตัวอักษรจะต้องถูกเข้ารหัสโดยใช้ระดับสัญญาณไบนารี บ่อยครั้งข้อมูลอาจอยู่ในรูปของตัวเลข ตัวเลขสามารถแสดงได้ในระบบตัวเลขต่างๆ รูปแบบที่เขียนตัวเลขนั้นแตกต่างกันอย่างมากดังนั้นก่อนที่จะไปสู่คุณสมบัติการแสดงตัวเลขในเทคโนโลยีดิจิทัล เราจะพิจารณาการบันทึกในระบบตัวเลขที่แตกต่างกัน
ระบบตัวเลข
ระบบตัวเลขคือชุดของเทคนิคและกฎเกณฑ์ในการแสดงตัวเลขโดยใช้สัญลักษณ์ดิจิทัล
มีหลายวิธีในการเขียนตัวเลขโดยใช้สัญญาณดิจิทัล แต่ระบบตัวเลขใดๆ ที่ใช้จะต้องมี:
- ช่วงของการเป็นตัวแทนของตัวเลขใด ๆ
- ความเป็นเอกลักษณ์ของการเป็นตัวแทน (การรวมกันของสัญลักษณ์แต่ละค่าสอดคล้องกับค่าเดียวเท่านั้น)
ระบบตัวเลขทั้งหมดแบ่งออกเป็นแบบมีตำแหน่งและไม่ใช่แบบมีตำแหน่ง ใน ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งนัยสำคัญของตัวเลขทุกตัวในตัวเลขจะเหมือนกัน นั่นคือ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งตำแหน่ง ตัวอย่างเช่น ระบบเอกนารีที่มีหนึ่งสัญลักษณ์เท่ากับหนึ่ง ระบบตัวเลขนี้มีไว้สำหรับการนับทั้งหมด (ปมสำหรับ "หน่วยความจำ" รอยบาก ขีดกลาง การนับนิ้ว ฯลฯ) หากต้องการพรรณนาตัวเลขในระบบนี้ คุณต้องจดจำนวนหน่วย (แท่ง) เท่ากับจำนวนที่กำหนด ระบบนี้ไม่มีประสิทธิภาพเนื่องจากตัวเลขยาวเกินไป
อีกตัวอย่างหนึ่งของระบบตัวเลขที่ "แทบไม่มีตำแหน่ง" คือระบบการนับแบบโรมัน ระบบการนับแบบโรมันใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้:
ฉัน - 1; วี - 5; เอ็กซ์ - 10; ข - 50; ค - 100; 0-500; ม - 1,000
กฎการแปลงจากระบบเลขโรมันเป็นระบบอารบิกมีดังนี้ จำนวนที่น้อยกว่าทางด้านขวาของจำนวนที่มากกว่าจะถูกบวกเข้ากับจำนวนที่มากกว่า และจำนวนที่น้อยกว่าทางด้านซ้ายของจำนวนที่มากกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่า
ตัวอย่างการแปลจากระบบโรมันเป็นระบบเลขอารบิค:
SSHUUP =100+100+10 + 5 + 5+1 + 1= 222;
X1X1У = 10 + (10 - 1) = 19
ต่อไปนี้จากกฎการแปล ระบบโรมันไม่ใช่ระบบที่ไม่มีตำแหน่งโดยสิ้นเชิง ระบบนี้ไม่ค่อยได้ใช้ (หน้าปัด สถาปัตยกรรม ประวัติศาสตร์ ฯลฯ)
ระบบตัวเลขตำแหน่ง -เหล่านี้คือระบบตัวเลขซึ่งค่าของตัวเลขในการบันทึกตัวเลข เอ็นขึ้นอยู่กับตำแหน่ง (สถานที่) เช่น ในระบบเลขฐานสิบ เลข 05 หมายถึง ห้าหน่วย 50 หมายถึงห้าสิบ 500 หมายถึงห้าร้อย เป็นต้น
ฐาน (ฐาน)ระบบตัวเลข (ทีเอส) -คือจำนวนเครื่องหมายหรือสัญลักษณ์ที่ใช้แทนตัวเลขในระบบตัวเลขที่กำหนด
ระบบจำนวนตำแหน่งที่มีจำนวนไม่สิ้นสุดเป็นไปได้ เนื่องจากสามารถนำจำนวนใดๆ มาเป็นฐานได้ และระบบตัวเลขใหม่ก็สามารถเกิดขึ้นได้
ตัวอย่างของระบบตัวเลขตำแหน่งบางระบบและการนำไปใช้งานแสดงไว้ในตาราง 2.1.
ในตาราง 2.2 เพื่อความสะดวกในการเปรียบเทียบ จะมีการให้ตัวเลข 23 แรกของชุดตัวเลขธรรมชาติในระบบตัวเลขต่างๆ
ดังที่เห็นได้จากตาราง 2.2 การเขียนเลขเดียวกันในระบบตัวเลขต่างกัน ต้องใช้จำนวนตำแหน่งหรือหลักต่างกัน ตัวอย่างเช่น 14 |0 = 1 1 10 2 = 16 8 = อี [v.นั่นคือในระบบเลขฐานสิบตัวเลข 14 ครองสองตำแหน่ง (สองหลัก) ในระบบเลขฐานสอง - สี่ตำแหน่งในระบบเลขฐานสิบหก - หนึ่งตำแหน่ง ยิ่งฐานของระบบตัวเลขมีขนาดเล็กลง
ตัวอย่างระบบเลขตำแหน่ง
ชื่อ การคำนวณที่ตายแล้ว |
ฐาน การคำนวณที่ตายแล้ว |
ใช้แล้ว |
แอปพลิเคชัน |
ไบนารี่ |
ในคอมพิวเตอร์ดิจิทัล คณิตศาสตร์แยกส่วน การเขียนโปรแกรม |
||
ทรินิตี้ |
เครื่องหมายใดๆ ทั้งสาม: (-, 0,+), (-1,0,+1), (ก,บี, กับ), (เอ็กซ์, วาย, ต)หรือสามหลัก: (1,2, 3) |
ในด้านอิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัล |
|
ออกตัล |
|||
ทศนิยม |
แพร่หลาย |
||
สิบหก |
ก, บี, ซี, ที |
ในด้านคอมพิวเตอร์ดิจิทัล การเขียนโปรแกรม |
|
หกสิบ |
00, 01,02,..., 59 |
เป็นหน่วยของเวลา มุม พิกัด ลองจิจูดและละติจูด |
สำหรับความยาวของกริดบิตที่กำหนด ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของตัวเลขที่สามารถเขียนได้จะถูกจำกัด
ให้ความยาวของตารางบิตเท่ากับจำนวนบวก/V จำนวนสูงสุดคือ
?^((แต่ - ฉัน~ 1
เช่น เมื่อใด น= 8:
ลู)ทาห์ = หยู 8 - 1 = 9999999 (| 0) ;
ลิตร(2)สูงสุด - 2 8 - 1 = 256 - 1 = 257 (|0) = 1111111 (2) ;
เอ ( 1 6)สูงสุด = 16 8 - 1 =4294967296 - 1 = 4294967295 (10) = อร๊ายยยยย (16) .
ดังนั้นด้วยความยาวของกริดบิตเท่ากัน น=8สูงสุดในค่าสัมบูรณ์ L (16)P1ax > L (10)P1ax > L (2)gpax เช่น ยิ่ง # ยิ่ง L ((?) สูงสุด
จำนวนธรรมชาติในระบบจำนวนต่างๆ
ทศนิยม |
ไบนารี่ |
ออกตัล |
เลขฐานสิบหก |
การแปลในระบบเลขตำแหน่ง
การแปลงเป็นระบบเลขทศนิยม หมายเลขใดก็ได้ เอ็นในระบบจำนวนตำแหน่งสามารถแสดงเป็นพหุนามได้
หากต้องการแปลงเป็นระบบทศนิยม เราจะคำนวณจำนวนนี้
เช่น ตัวเลข 253.24 10 ในรูปแบบทศนิยมปกติ (
ตัวอย่างที่ 2.1 แปลงเลขฐานสอง 1101.01(2) เป็นระบบเลขฐานสิบ
ระบบเลขฐานสองใช้ตัวเลขสองหลัก 0 และ 1 และเลขฐานสอง 1 1 01.012 (
มธ. 2 = 1101.01 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 2° + 0 2 _| + 1 2 -2 =
“=8 + 4 + 0+1+0+1/4= 14,25 10 .
ตามกฎของเลขคณิตทศนิยม หากเราดำเนินการทางด้านขวาของค่าเท่ากันข้างต้น เราจะได้ค่าทศนิยมที่เทียบเท่ากับเลขฐานสอง:
1101,01 2 = 8 + 4 + 0+ 1 +0 + 1/4 = 14,25 10 .
ตัวอย่างที่ 2.2 แปลงเลขฐานแปด 53.2 8 (# = 8) เป็นระบบเลขฐานสิบ:
2560 + 240 + 7 + 8/16 = 2807,25 10 .
การแปลงตัวเลขจากระบบเลขทศนิยมให้เป็นระบบตัวเลขตามอำเภอใจด้วยกฎการแปลพื้นฐาน ทั้งส่วนเลขทศนิยมเป็นดังนี้ จะต้องหารส่วนของทศนิยมทั้งหมดตามลำดับ ทีเอส(ฐานของระบบเลขกำหนด) จนกระทั่งเลขทศนิยมกลายเป็นศูนย์ เศษที่ได้จากการหารและเขียนตามลำดับโดยเริ่มจากเศษที่เหลือคือเลขหลักของระบบตัวเลข ^-ary
กฎการแปล ส่วนที่เป็นเศษส่วนเลขทศนิยมมีดังนี้ ส่วนที่เป็นเศษส่วนของเลขทศนิยมจะต้องคูณตามลำดับด้วย (ฐานของระบบที่กำหนดเอง) และต้องแยกส่วนทั้งหมดออกจนกว่าจะเท่ากับศูนย์หรือได้ความแม่นยำในการแปลตามที่ระบุ
ผลลัพธ์การคูณทุกส่วนตามลำดับที่สอดคล้องกับการผลิต ให้ประกอบกันเป็นตัวเลขในระบบใหม่
ตัวอย่างที่ 2.4 แปลงตัวเลข 26.625 10 เป็นระบบเลขฐานสอง
เราแปลตัวเลขทั้งหมด:
- 26: 2 = 13, เศษ 0;
- 13:2 = 6, เศษคือ 1;
- 6:2 = 3, เศษ 0;
- 3:2=1, เศษคือ 1;
- 1: 2 = 0 เศษคือ 1
เลขทศนิยมกลายเป็นศูนย์ การหารเสร็จสิ้น เราเขียนเศษที่เหลือทั้งหมดจากล่างขึ้นบนแล้วได้เลขฐานสอง 11010 2
- 0.625 2 = 1.250, จำนวนเต็มส่วนที่ 1;
- 0.250 2 = 0.500, จำนวนเต็มส่วนที่ 0;
- 0.500 2 = 1.000, จำนวนเต็มส่วนที่ 1;
- 0.000 2 = 0.000 จำนวนเต็มส่วนที่ 0
ส่วนจำนวนเต็มกลายเป็นศูนย์ เราเขียนส่วนจำนวนเต็มของผลลัพธ์การคูณใหม่จากบนลงล่างและรับเลขฐานสอง 0.1010 2
ตัวอย่างที่ 2.5 แปลงตัวเลข 70.05 10 เป็นระบบเลขฐานแปดด้วยความแม่นยำ 4 หลัก
เราแปลตัวเลขทั้งหมด:
- 70: 8 = 8 เศษคือ 6;
- 8:8=1, เศษเป็น 0;
- 1: 8 = 0 เศษคือ 1
เลขทศนิยมกลายเป็นศูนย์ การหารเสร็จสิ้น เราเขียนเศษที่เหลือทั้งหมดจากล่างขึ้นบนแล้วได้เลขฐานแปด 106 8
การแปลงเศษส่วนของตัวเลข:
- 0.05 8 = 0.40, จำนวนเต็มส่วนที่ 0;
- 0.40 8 = 3.20 ทั้งส่วนที่ 3;
- 0.30 8 = 2.40 ทั้งส่วนที่ 2;
- 0.40 8 = 3.20 ทั้งส่วนที่ 3
ส่วนจำนวนเต็มไม่เท่ากับศูนย์ ได้รับอนุกรมอนันต์ กระบวนการแปลเสร็จสมบูรณ์เนื่องจากได้รับความแม่นยำตามที่ระบุ เราเขียนส่วนจำนวนเต็มของผลการคูณใหม่จากบนลงล่างและรับเลขฐานแปด 0.0323 8
ตัวอย่างที่ 2.6 แปลงตัวเลข 76.05 10 เป็นระบบเลขฐานสิบหกด้วยความแม่นยำ 4 หลัก
เราแปลตัวเลขทั้งหมด:
- 76: 16 = 4 ส่วนที่เหลือคือ 12 -» C;
- 4: 16 = 0 เศษคือ 4
เลขทศนิยมกลายเป็นศูนย์ การหารเสร็จสิ้น เราเขียนเศษที่เหลือทั้งหมดจากล่างขึ้นบนและรับเลขฐานสิบหก 4C 16
การแปลงเศษส่วนของตัวเลข:
- 0.05 16 = 0.80, จำนวนเต็มส่วนที่ 0;
- 0.80 16 = 12.80 ทั้งส่วนที่ 12 -> C;
- 0.80 16 = 12.80 ทั้งส่วนที่ 12 -> C;
- 0.80 -16= 12.80 ทั้งส่วนที่ 12 -> C
ส่วนจำนวนเต็มไม่เท่ากับศูนย์ ได้รับอนุกรมอนันต์ กระบวนการแปลเสร็จสมบูรณ์เนื่องจากได้รับความแม่นยำตามที่ระบุ เราเขียนส่วนจำนวนเต็มของผลลัพธ์การคูณจากบนลงล่างและรับเลขฐานสิบหก 0.0ССС 16
ตัวอย่างที่ 2.7 แปลงตัวเลข 6610 เป็นระบบตัวเลขที่กำหนดเอง เช่น ฐาน ค = 5.
เราแปลตัวเลขทั้งหมด:
- 66: 5 = 13 เศษคือ 1;
- 13:5 = 2, เศษคือ 3;
- 2:5 = 0 เศษคือ 2
เลขทศนิยมกลายเป็นศูนย์ การหารเสร็จสิ้น เราเขียนส่วนที่เหลือทั้งหมดจากล่างขึ้นบนแล้วได้เลขห้าเท่า 231 5
แปลงจากไบนารีเป็นฐานแปดและเลขฐานสิบหก มีอัลกอริทึมแบบง่ายสำหรับการดำเนินการประเภทนี้
แปลทั้งส่วน.หมายเลข 2 จะถูกยกขึ้นเป็นกำลังที่จำเป็นเพื่อให้ได้ฐานของระบบซึ่งจำเป็นต้องแปลง สำหรับระบบฐานแปด (8 = 23) เราจะได้เลข 3 (triad) สำหรับระบบเลขฐานสิบหก (16 = 24) เราจะได้เลข 4 (tetrad)
เราแบ่งตัวเลขที่จะแปลเป็นตัวเลขเท่ากับ 3 สำหรับระบบเลขฐานแปด และเท่ากับ 4 สำหรับระบบเลขฐานสิบหก
เราแปลงรูปสามเหลี่ยมตามตารางรูปสามเหลี่ยมสำหรับระบบเลขฐานแปด และรูปสามเหลี่ยมตามตารางรูปสามเหลี่ยมสำหรับระบบเลขฐานสิบหก (ตารางที่ 2.3)
ตัวอย่างที่ 2.8 แปลงเลขฐานสอง 101110 2 เป็นระบบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก:
- ฐานแปด - 101 110 -> 56 8;
- ฐานสิบหก - 0010 1110 -> 2 อี ]วี.
คำแปลของเศษส่วนอัลกอริทึมสำหรับการแปลงส่วนเศษส่วนจากระบบเลขฐานสองเป็นระบบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหกนั้นคล้ายกับอัลกอริทึมสำหรับส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข
ตาราง Triad และ Tetrad
แต่การแยกย่อยเป็น triads และ tetrads จะไปทางด้านขวาของจุดทศนิยม ตัวเลขที่หายไปจะเสริมด้วยศูนย์ทางด้านขวา
ตัวอย่างที่ 2.9 แปลง 11101.01011 2 เป็นระบบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก:
- ฐานแปด - 011 101.010 110 -> 35.26 8;
- เลขฐานสิบหก - 0001 1101.0101 1,000 -> 1Z),58, 6
แปลงจากระบบฐานแปดและฐานสิบหกเป็นไบนารี
สำหรับการดำเนินการประเภทนี้จะมีอัลกอริธึมการผกผันแบบง่าย สำหรับระบบฐานแปด เราจะแปลงตามตารางเป็นแฝด: 0->000 4 -> 100;
- 1 -> 001 5 -> 101;
- 2 -> 010 6 -> 110;
- 3 -> 011 7 -> 111.
สำหรับเลขฐานสิบหก - เราแปลงตามตารางเป็นสี่:
ก -> 1010 |
|||
ใน-> 1011 |
ตัวอย่าง 2.10. แปลงเลขฐานแปด 2438 และเลขฐานสิบหก 7C 16 เป็นระบบเลขฐานสอง:
- 243 8 -> บน 100011 2;
- 7C 16 -> 1111 1100 2.
เลขคณิตไบนารี
ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. ตารางการเพิ่มเลขฐานสองนั้นง่าย:
- 0 + 0 = 0;
- 0+1 = 1;
- 1+0=1;
- 1 + 1 = 10;
- 1 + 1 + 1 = 11.
เมื่อบวกสองหน่วย ตัวเลขจะล้นและโอนไปยังหลักที่สำคัญที่สุด ตัวเลขล้นเกิดขึ้นเมื่อค่าของตัวเลขในนั้นเท่ากับหรือมากกว่าฐาน
ตัวอย่าง 2.11. ทำการบวกในระบบเลขฐานสอง
1 1 1 ย้ายไปอยู่ในลำดับที่สูง
1 1 0 0 0 1 = 49 - เทอมแรก
- 1 1 0 1 1 = 27 - เทอมที่สอง
- 1 0 0 1 1 0 0 = 76 - ผลรวม
การลบแบบไบนารี มาดูกฎในการลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า ในกรณีที่ง่ายที่สุด กฎการลบเลขฐานสองจะมีรูปแบบสำหรับแต่ละหลัก
- 2 2 11
- 0 10 1
เมื่อทำการลบ (0 - 1) มันจะยืมจากหลักที่สูงกว่า เครื่องหมายคำถามหมายความว่าตัวเลขของ minuend เปลี่ยนแปลงอันเป็นผลมาจากการกู้ยืมตามกฎ: เมื่อลบ (0-1) ในหลักของผลต่างจะได้หนึ่งตัวเลขของ minuend โดยเริ่มจากหน้าถัดไป หนึ่ง จะกลับด้าน (กลับด้าน) จนถึงหน่วยแรกที่พบ (รวม) หลังจากนี้ minuend จะถูกลบออกจากตัวเลขที่เปลี่ยนแปลง
ลองดูตัวอย่างการลบตัวเลขหลายหลัก (จำนวนที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากจำนวนที่มากกว่า)
ตัวอย่าง 2.12. การลบในระบบเลขฐานสอง:
- 0 111 การเปลี่ยนแปลงการลดหย่อนสินเชื่อ
- 1 1 0 0 0 1 = 49 - นาทีสุดท้าย
- 11011 - 21 - ต่ำกว่า
- 10 1 1 0 = 22 - ส่วนต่าง
การคูณ การดำเนินการคูณจะดำเนินการโดยใช้ตารางสูตรคูณตามรูปแบบปกติ (ใช้ในระบบเลขฐานสิบ) พร้อมการคูณตามลำดับของตัวคูณด้วยหลักถัดไปของตัวคูณ
ตัวอย่าง 2.13. การคูณในระบบเลขฐานสอง:
- *1011
- 1011
- 110111
แผนก. เมื่อหารด้วยคอลัมน์ คุณต้องทำการคูณและลบเป็นผลลัพธ์ระดับกลาง
การเขียนเลขทศนิยม (เลขฐานสองรหัส)
บางครั้งการเก็บตัวเลขในหน่วยความจำโปรเซสเซอร์ในรูปแบบทศนิยมจะสะดวก (เช่น สำหรับการแสดงผล) ในการเขียนตัวเลขดังกล่าว จะใช้รหัสทศนิยมฐานสอง ในการบันทึกทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง จะใช้ไบนารีสี่บิต (เตตราด) ด้วยสี่บิตคุณสามารถเข้ารหัสได้ 16 หลัก (2 4 = 16) ห้ามใช้การรวมกันเพิ่มเติมในรหัสทศนิยมไบนารี ความสอดคล้องระหว่างรหัสทศนิยมไบนารีและหลักทศนิยมแสดงไว้ในตาราง 2.4.
ตารางที่ 2.4
ความสอดคล้องระหว่าง BCD และหลักทศนิยม
รหัสบีซีดี |
รหัสทศนิยม |
|||
ห้ามใช้รหัสไบนารี่ที่เหลือในโน้ตบุ๊ก
ตัวอย่างที่ 2.14 เขียนรหัสทศนิยมฐานสองสำหรับตัวเลข 1258 10 -
1258 วัตต์ = 0001 0010 0101 1,000 2 .
สมุดบันทึกเล่มแรกประกอบด้วยหมายเลข 1 สมุดบันทึกเล่มที่สอง – 2 สมุดบันทึกที่สาม – 5 และสมุดบันทึกเล่มสุดท้ายประกอบด้วยหมายเลข 8 ในตัวอย่างนี้ สมุดบันทึกสี่เล่มจำเป็นต้องเขียนหมายเลข 1258 จำนวนเซลล์หน่วยความจำไมโครโปรเซสเซอร์ขึ้นอยู่กับความจุ ด้วยโปรเซสเซอร์ 16 บิต จำนวนทั้งหมดจะพอดีกับเซลล์หน่วยความจำเดียว
ตัวอย่าง 2.15. เขียนรหัสทศนิยมไบนารี่สำหรับตัวเลข 589 10:
589 10 = 0000 0101 1000 1001 2 .
ในตัวอย่างนี้ สมุดบันทึกสามเครื่องก็เพียงพอที่จะบันทึกตัวเลขได้ แต่เซลล์หน่วยความจำเป็นแบบ 16 บิต ดังนั้นเตตราดที่สูงที่สุดจึงเต็มไปด้วยศูนย์ พวกเขาไม่เปลี่ยนความหมายของตัวเลข
เมื่อเขียนเลขทศนิยม คุณมักจะต้องจดเครื่องหมายของตัวเลขและจุดทศนิยม (ในประเทศที่พูดภาษาอังกฤษคือจุด) BCD มักใช้เพื่อกดหมายเลขโทรศัพท์หรือกดรหัสบริการโทรศัพท์ ในกรณีนี้ นอกจากเลขทศนิยมแล้ว ยังมักใช้สัญลักษณ์ “*” หรือ “#” อีกด้วย ในการเขียนอักขระเหล่านี้ในรหัสทศนิยมไบนารี ต้องใช้ชุดค่าผสมที่ต้องห้าม (ตารางที่ 2.5)
ตารางที่ 2.5
การจับคู่ BCD และอักขระเพิ่มเติม
บ่อยครั้ง เซลล์หน่วยความจำหนึ่งเซลล์ (8-, 16- หรือ 32-บิต) ได้รับการจัดสรรในหน่วยความจำโปรเซสเซอร์เพื่อจัดเก็บเลขทศนิยมหนึ่งหลัก ทำเพื่อเพิ่มความเร็วของโปรแกรม หากต้องการแยกแยะวิธีการเขียนเลข BCD นี้ออกจากวิธีมาตรฐาน วิธีการเขียนเลขทศนิยมดังตัวอย่างนี้เรียกว่ารูปแบบ Packed BCD
ตัวอย่างที่ 2.16 เขียนรหัส BCD ที่ไม่ได้แพ็คสำหรับหมายเลข 1258 10 สำหรับโปรเซสเซอร์ 8 บิต:
- 1258 00000001
- 00000010 00000101 00001000
บรรทัดแรกประกอบด้วยหมายเลข 1 บรรทัดที่สอง - 2 บรรทัดที่สาม - 5 และบรรทัดสุดท้ายประกอบด้วยหมายเลข 8 ในตัวอย่างนี้ ต้องใช้สี่บรรทัด (เซลล์หน่วยความจำ) เพื่อเขียนหมายเลข 1258
การรวมเลขฐานสอง การรวมเลขทศนิยมไบนารี่สามารถทำได้ตามกฎของเลขคณิตไบนารีธรรมดา จากนั้นจึงทำการแก้ไขทศนิยมไบนารีได้ การแก้ไข BCD ประกอบด้วยการตรวจสอบแต่ละ tetrad เพื่อหารหัสที่ถูกต้อง หากตรวจพบการรวมกันที่ต้องห้ามใน tetrad ใด ๆ แสดงว่ามีการล้น ในกรณีนี้ จำเป็นต้องแก้ไขทศนิยมฐานสอง การแก้ไข BCD ประกอบด้วยการรวมหมายเลขหกเพิ่มเติม (จำนวนการผสมที่ต้องห้าม) กับเตตราดที่เกิดน้ำล้นหรือการถ่ายโอนไปยังเตตราดสูงสุด นี่คือตัวอย่าง:
- 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
- 0 0 10 10 11
พบการรวมกันที่ต้องห้ามในสมุดบันทึกที่สอง เราทำการแก้ไขเลขฐานสอง - ทศนิยม: เรารวมเลขหกเข้ากับเตตร้าตัวที่สอง:
- 0 0 10 10 11
- 0 0 0 0 0 1 1 0
- 0 0 1 1 0 0 0 1
รูปแบบของคอมพิวเตอร์แทนข้อมูลตัวเลข
ในทางคณิตศาสตร์ มีการใช้ตัวเลขในการเขียนสองรูปแบบ: ธรรมชาติ (ตัวเลขเขียนในรูปแบบธรรมชาติ) และปกติ (การเขียนตัวเลขอาจแตกต่างกันขึ้นอยู่กับข้อจำกัดที่กำหนดในแบบฟอร์ม)
ตัวอย่าง รูปร่างเป็นธรรมชาติการเขียนตัวเลข:
- 15300 - จำนวนเต็ม; 0.000564 - เศษส่วนแท้;
- 6.4540 เป็นเศษส่วนเกิน.
ตัวอย่าง รูปร่างปกติการบันทึกหมายเลขเดียวกัน 25,340 ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดที่กำหนดในรูปแบบปกติ:
25 340 = 2.534 - 10 4 = 0.2534 - 10 5 = 2534000 - 10“ 2 เป็นต้น
ในการคำนวณ ด้วยการแทนตัวเลขตามธรรมชาติ ความยาวของกริดบิตจะถูกสร้างขึ้น เช่นเดียวกับการกระจายคงที่ของเศษส่วนและจำนวนเต็ม ดังนั้น วิธีการแสดงตัวเลขแบบนี้จึงเรียกว่าค จุดคงที่
การแทนตัวเลขในรูปแบบปกติเรียกว่าการแทน จุดลอยตัว(ตำแหน่งของลูกน้ำเปลี่ยนไป)
คอมพิวเตอร์เมนเฟรมส่วนใหญ่จะทำงานกับตัวเลขที่แสดงในรูปแบบจุดลอยตัว และคอมพิวเตอร์เฉพาะทางทำงานกับตัวเลขจุดคงที่ แต่มีเครื่องจำนวนหนึ่งทำงานกับตัวเลขในสองรูปแบบนี้
ลักษณะของการเขียนโปรแกรมขึ้นอยู่กับวิธีการแสดงตัวเลข
ดังนั้นเมื่อจะเขียนโปรแกรมให้กับคอมพิวเตอร์ที่ทำงานในระบบด้วย จุดคงที่การติดตามตำแหน่งลูกน้ำเป็นสิ่งที่จำเป็น และเพื่อดำเนินการด้วย จุดลอยตัวจำเป็นต้องมีการดำเนินการแบบไมโครจำนวนมากขึ้น ซึ่งจะลดความเร็วของคอมพิวเตอร์
เครื่องหมายจุลภาคคงที่ (มหัพภาค)
ในคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ วิธีการแสดงตัวเลขจุดคงที่ในการคำนวณจะใช้เพื่อแสดงจำนวนเต็มเป็นหลัก
เนื่องจากตัวเลขอาจเป็นค่าบวกและค่าลบ ในตารางบิต เมื่อแสดงด้วยเครื่องจักร หนึ่งหรือสองบิต (สำหรับโค้ดที่แก้ไข) จะถูกจัดสรรให้กับเครื่องหมายของตัวเลข และบิตที่เหลือจะก่อตัวขึ้น ฟิลด์ตัวเลขบิตเครื่องหมาย ซึ่งสามารถอยู่ที่จุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุดของตัวเลข จะมีข้อมูลเกี่ยวกับเครื่องหมายของตัวเลข เครื่องหมาย “+” เขียนโค้ดเป็นศูนย์ เครื่องหมาย “-” เขียนโค้ดเป็นหนึ่ง สำหรับรหัสที่แก้ไข เครื่องหมาย “+” จะมีรหัสเป็นศูนย์สองตัว และเครื่องหมาย “-” จะมีรหัสเป็นสองตัว มีการแนะนำรหัสที่แก้ไขเพื่อตรวจจับผลการคำนวณที่ไม่ถูกต้องเช่น เมื่อผลลัพธ์เกินขนาดกริดบิตสูงสุดและจำเป็นต้องมีการยกยอดจากบิตที่มีนัยสำคัญ
ตัวอย่างเช่น จากการดำเนินการในบิตเครื่องหมาย ตัวเลข 01 บ่งชี้ถึงการโอเวอร์โฟลว์เชิงบวกของกริดบิต และตัวเลข 10 บ่งชี้ถึงโอเวอร์โฟลว์เชิงลบของกริดบิต
ฟิลด์ตัวเลขมีจำนวนหลักคงที่ - พีช่วงของการแทนค่าจำนวนเต็มนั้นจำกัดอยู่ที่ค่าต่างๆ -(2 น- 1) และ +(2" - 1)
ตัวอย่างเช่น ในโค้ดไบนารี่ที่ใช้กริด 6 บิต เลข 7 ในรูปแบบจุดคงที่สามารถแสดงเป็น
โดยที่ตัวเลขทางด้านซ้ายของจุดคือเครื่องหมายของตัวเลข และตัวเลขทางด้านขวาของจุดคือแมนทิสซาของตัวเลขในโค้ดโดยตรง ในที่นี้สันนิษฐานว่าเครื่องหมายจุลภาคถูกกำหนดไว้ทางด้านขวาของตัวเลขลำดับต่ำ และจุดในรูปของตัวเลขในกรณีนี้จะแยกบิตเครื่องหมายออกจากแมนทิสซาของตัวเลข
ในอนาคต การแสดงตัวเลขประเภทนี้ในรูปแบบเครื่องจักรมักจะถูกนำมาใช้เป็นตัวอย่าง คุณสามารถใช้รูปแบบอื่นในการแสดงตัวเลขในรูปแบบเครื่อง:
โดยที่บิตเครื่องหมายคั่นด้วยวงเล็บเหลี่ยม
จำนวนหลักในตารางบิตที่จัดสรรเพื่อแสดงแมนทิสซาของตัวเลขจะกำหนดช่วงและความแม่นยำของการแทนตัวเลขจุดคงที่ เลขฐานสองสูงสุดในค่าสัมบูรณ์จะแสดงด้วยเลขทุกหลัก ยกเว้นเครื่องหมายหนึ่ง เช่น สำหรับจำนวนเต็ม
|/1|สูงสุด = (2 (หน้า - 1) - 1),
ที่ไหน พี -ความยาวเต็มของกริดบิต
ในกรณีของกริด 16 บิต
|L|สูงสุด = (2(16- 1)- 1) = 3276710,
เหล่านั้น. ช่วงของการแทนจำนวนเต็มในกรณีนี้จะอยู่ระหว่าง +3 276710 ถึง -3276710
สำหรับกรณีที่ลูกน้ำถูกกำหนดไว้ทางด้านขวาของเลขหลักต่ำของแมนทิสซา เช่น สำหรับจำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่มีโมดูลัสมากกว่า (2 (หน้า- 1) - 1) และน้อยกว่าหนึ่งจะไม่แสดงในรูปแบบจุดคงที่ ในกรณีนี้จะมีการเรียกตัวเลขที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหน่วยของหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของกริดบิต เครื่องเป็นศูนย์ห้ามใช้ศูนย์ลบ
ในบางกรณี เมื่อเป็นไปได้ที่จะดำเนินการกับโมดูลัสของตัวเลขเท่านั้น ตารางบิตทั้งหมด รวมถึงบิตที่สำคัญที่สุด จะถูกจัดสรรเพื่อแสดงตัวเลข ซึ่งทำให้สามารถขยายช่วงของการแทนตัวเลขได้
แทนจำนวนลบในรูปแบบจุดคงที่
เพื่อให้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น คอมพิวเตอร์จะใช้รหัสไบนารี่พิเศษเพื่อแสดงจำนวนลบ: ส่วนกลับและส่วนเสริม การใช้รหัสเหล่านี้ทำให้ง่ายขึ้นในการกำหนดสัญญาณของผลลัพธ์ของการดำเนินการระหว่างการบวกพีชคณิต การดำเนินการของการลบ (หรือการบวกพีชคณิต) จะลดลงเหลือเพียงการบวกทางคณิตศาสตร์ของตัวถูกดำเนินการ ทำให้ง่ายต่อการพัฒนาสัญญาณของการโอเวอร์โฟลว์ของกริดบิต เป็นผลให้อุปกรณ์คอมพิวเตอร์ที่ทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น
เป็นที่ทราบกันดีว่าวิธีหนึ่งในการดำเนินการลบคือการแทนที่เครื่องหมายของ subtrahend ด้วยเครื่องหมายที่อยู่ตรงข้ามและเพิ่มลงใน minuend:
เอ-บี = เอ + (-B)
สิ่งนี้จะแทนที่การดำเนินการลบเลขคณิตด้วยการดำเนินการบวกพีชคณิต ซึ่งสามารถดำเนินการได้โดยใช้ตัวบวกไบนารี
สำหรับการแสดงจำนวนลบโดยเครื่องจักร จะใช้รหัสต่อไปนี้: ไปข้างหน้า ส่วนเสริม และผกผัน คำจำกัดความที่เรียบง่ายของรหัสเหล่านี้สามารถให้ได้ดังนี้ ถ้าเป็นจำนวน กในรหัสไบนารี่ปกติ (โดยตรงรหัสไบนารี่) แสดงเป็น
แล้วหมายเลข -กในรหัสเดียวกันจะแสดงเป็น
[-D] P r - 1-?7 /g th /7 _| เจ แอล _2....เจ จี | 0,
และใน ย้อนกลับ(ผกผัน) รหัสตัวเลขนี้จะมีลักษณะเช่นนี้
[-D] 0 ข - 1*^77 *2/7-1 *2 /g _ ก 0,
เอ, - 1 ถ้า 1- 0, ผม,- = 0, ถ้า ผม, = 1,
i คือหลักของหลัก /"-th ของเลขฐานสอง ดังนั้น เมื่อย้ายจากโค้ดโดยตรงไปยังโค้ดย้อนกลับ ตัวเลขทั้งหมดของหลัก Matisse ของตัวเลขจะถูกกลับด้าน
แล้วเบอร์ -กวี เพิ่มเติมรหัสจะแสดงเป็น
ดังนั้น เพื่อให้ได้รหัสเสริมของจำนวนลบ คุณต้องกลับส่วนดิจิทัลของหมายเลขเดิมก่อน จึงจะได้รหัสย้อนกลับ จากนั้นจึงบวกหนึ่งเข้ากับหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดของส่วนดิจิทัลของตัวเลข
ส่วนเสริมของตัวเลขได้มาโดยการแทนที่ด้วยหมายเลขใหม่ โดยเสริมให้ตัวเลขเท่ากับน้ำหนักของตัวเลขที่อยู่ถัดจากหลักที่สำคัญที่สุดของตารางบิตที่ใช้แทนแมนทิสซาของตัวเลขในรูปแบบจุดคงที่ ดังนั้นรหัสตัวเลขดังกล่าวจึงเรียกว่าเพิ่มเติม
ลองจินตนาการว่าเรามีเพียงสองหลักเพื่อแสดงตัวเลขในระบบเลขฐานสิบ จากนั้นจำนวนสูงสุดที่สามารถแสดงได้คือ 99 และน้ำหนักของหลักสูงสุดที่สามที่ไม่มีอยู่จริงจะเป็น 10 2 เช่น 100 ในกรณีนี้ สำหรับเลข 20 จำนวนเสริมจะเป็น 80 ซึ่งเติมเต็ม 20 ถึง 100 (100 - 20 = 80) ดังนั้นตามนิยามแล้วลบ
สามารถแทนที่ได้ด้วยการเติม:
ในที่นี้หน่วยที่สูงที่สุดจะไปไกลกว่ากริดบิตที่จัดสรร ซึ่งเหลือเพียงหมายเลข 30 เท่านั้น เช่น ผลลัพธ์ของการลบตัวเลข 20 จาก 50
ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่คล้ายกันสำหรับตัวเลขที่แสดงในรหัสไบนารี่ 4 บิต มาหาตัวเลขเพิ่มเติมสำหรับ 0010 2 = 2 10 กันดีกว่า เราต้องลบ 0010 จาก 0000 เราจะได้ 1110 ซึ่งเป็นรหัสเพิ่มเติม 2 ตัวเลขที่แสดงในวงเล็บเหลี่ยมไม่มีอยู่จริง แต่เนื่องจากเรามีตาราง 4 แถว จึงเป็นไปไม่ได้เลยที่จะดำเนินการลบเช่นนั้น และยิ่งไปกว่านั้น เราจึงพยายามกำจัดการลบออก ดังนั้นจึงได้รับรหัสหมายเลขเพิ่มเติมในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้นนั่นคือ ขั้นแรกพวกเขาจะได้รับรหัสย้อนกลับของตัวเลข จากนั้นจึงบวกรหัสหนึ่งเข้าไป เมื่อทำทั้งหมดนี้ด้วยหมายเลขของเรา (2) แล้วจะเห็นได้ง่ายว่าจะได้คำตอบที่คล้ายกัน
เราเน้นย้ำว่ารหัสเสริมของ two และรหัสเสริมของ two นั้นใช้เพื่อแสดงเลขฐานสองที่เป็นลบในรูปแบบจุดคงที่เท่านั้น ตัวเลขที่เป็นบวกในโค้ดเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนรูปภาพและจะแสดงเหมือนกับในโค้ดโดยตรง
ดังนั้นตัวเลขดิจิทัลของจำนวนลบในโค้ดโดยตรงยังคงไม่เปลี่ยนแปลงและมีการเขียนหน่วยในส่วนเครื่องหมาย
ลองดูตัวอย่างง่ายๆ
เจ็ดในโค้ดโดยตรงแสดงดังนี้:
ราคา = 0.00011 1 2 .
หมายเลข -7 ในโค้ดโดยตรง
[-7] ราคา = 1.000111 2 ,
และในโค้ดย้อนกลับจะมีลักษณะเช่นนี้
[-7] รอบ = 1.111000 2,
เหล่านั้น. อันจะถูกแทนที่ด้วยศูนย์ และศูนย์จะถูกแทนที่ด้วยอัน หมายเลขเดียวกันในรหัสเสริมของสองจะเป็น
[-7] พิเศษ = 1.111001 2 .
ให้เราพิจารณาอีกครั้งว่าขั้นตอนการลบโดยใช้การเป็นตัวแทนของ subtrahend ในโค้ดส่วนเสริมของ two นั้นลดลงเป็นขั้นตอนการบวกอย่างไร ลบตัวเลข 7 จาก 10: 10-7 = 3 หากตัวถูกดำเนินการทั้งสองแสดงเป็นโค้ดโดยตรง ขั้นตอนการลบจะดำเนินการดังนี้:
0.001010 -1.000111 0.000011 =310.
และถ้าตกอยู่ใต้อำนาจได้เช่น -7 ซึ่งแสดงอยู่ในโค้ดส่วนเสริมของสอง จากนั้นขั้นตอนการลบจะลดลงเป็นขั้นตอนการบวก:
0.001010 + 1,111001 1 0.000011 =310.
ปัจจุบันนี้ คอมพิวเตอร์มักใช้โค้ดเสริมของ two เพื่อแสดงจำนวนลบในรูปแบบจุดคงที่
ตัวเลขจริง
ปริมาณตัวเลขที่สามารถรับค่าใดๆ ได้ (จำนวนเต็มและเศษส่วน) เรียกว่า ตัวเลขจริง
จำนวนจริงจะแสดงอยู่ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ในรูปแบบจุดลอยตัว รูปแบบจุดลอยตัวใช้การแสดงจำนวนจริง ฉันเป็นผลผลิตของแมนทิสซา ตขึ้นอยู่กับระบบตัวเลข รในระดับหนึ่ง nซึ่งเรียกว่า ตามลำดับ:
ฉัน= ว รพี
ตัวอย่างเช่น สามารถเขียนหมายเลข 25.324 ได้ดังนี้:
ที่นี่ ต= 0.25324 - แมนทิสซา; n= 2 - ลำดับ ลำดับระบุจำนวนตำแหน่งและทิศทางที่ควร "ว่ายน้ำ" เช่น กะ จุดทศนิยมในแมนทิสซา จึงเป็นที่มาของชื่อ "จุดลอยตัว"
อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:
25.324 = 2.5324 - 10 1 = 0.0025324 10 4 = 2532.4 - 10" 2 เป็นต้น
ปรากฎว่าการแสดงตัวเลขในรูปแบบจุดลอยตัวนั้นคลุมเครือใช่ไหม เพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือ คอมพิวเตอร์จึงใช้ การแสดงตัวเลขให้เป็นมาตรฐานในรูปแบบจุดลอยตัวแมนทิสซาในการนำเสนอแบบนอร์มัลไลซ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข
กล่าวอีกนัยหนึ่ง แมนทิสซามีค่าน้อยกว่าหนึ่งและเลขนัยสำคัญตัวแรกไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสำหรับจำนวนที่พิจารณา การแสดงค่ามาตรฐานจะเป็น 0.25324 10 2 คอมพิวเตอร์ประเภทต่างๆ ใช้ตัวเลือกที่แตกต่างกันในการแสดงตัวเลขในรูปแบบทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลองดูหนึ่งในความเป็นไปได้ ให้แสดงจำนวนจริงในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ในรูปแบบจุดลอยตัวในระบบเลขฐานสอง (หน้า= 2) และครอบครองเซลล์ขนาด 4 ไบต์ เซลล์จะต้องมีข้อมูลต่อไปนี้เกี่ยวกับตัวเลข: เครื่องหมายของตัวเลข ลำดับ และเลขนัยสำคัญของแมนทิสซา ต่อไปนี้เป็นวิธีจัดเรียงข้อมูลในเซลล์:
บิตที่สำคัญที่สุดของไบต์ที่ 1 จะเก็บเครื่องหมายของตัวเลข ในหลักนี้ 0 หมายถึงบวก หนึ่ง - ลบ ไบต์แรกที่เหลืออีก 7 บิตประกอบด้วยลำดับเครื่อง สามไบต์ถัดไปจะเก็บเลขนัยสำคัญของแมนทิสซา
เลขฐานสองเจ็ดหลักมีเลขฐานสองอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0000000 ถึง 1111111 ในระบบทศนิยม ค่านี้สอดคล้องกับช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 127 รวมเป็น 128 ค่า เครื่องหมายคำสั่งซื้อไม่ได้เก็บไว้ในเซลล์ แต่เห็นได้ชัดว่าลำดับอาจเป็นได้ทั้งเชิงบวกหรือเชิงลบ มีความสมเหตุสมผลที่จะแบ่ง 128 ค่าเหล่านี้เท่าๆ กันระหว่างค่าลำดับบวกและลบ
ในกรณีนี้ การโต้ตอบต่อไปนี้จะถูกสร้างขึ้นระหว่างลำดับเครื่องจักรกับลำดับจริง (ขอเรียกว่าทางคณิตศาสตร์):
สั่งเครื่อง |
|||||||||||
ลำดับทางคณิตศาสตร์ |
ถ้าเราแสดงถึงลำดับเครื่อง นายและทางคณิตศาสตร์ - พีจากนั้นความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านั้นจะแสดงด้วยสูตร
นาย = พี + 64.
ดังนั้น ลำดับเครื่องจักรจะเลื่อนสัมพันธ์กับลำดับทางคณิตศาสตร์ไป 64 หน่วย และมีเพียงค่าบวกเท่านั้น เมื่อทำการคำนวณจุดลอยตัว โปรเซสเซอร์จะพิจารณาการชดเชยนี้ด้วย
สูตรผลลัพธ์จะถูกเขียนในระบบทศนิยม เนื่องจาก 64 |0 = 40 16 (ตรวจสอบ!) ดังนั้นในเลขฐานสิบหกสูตรจะอยู่ในรูปแบบ
เดือน 1в = Рб + 40 16.
และสุดท้ายในไบนารี่
มีนาคม 2 = р 2 +ยูโอ 0000 2 .
ตอนนี้เราสามารถเขียนการแทนค่าภายในของ 25,324 ในรูปแบบจุดลอยตัวได้
- 1. ลองแปลงเป็นระบบเลขฐานสองที่มีเลขนัยสำคัญ 24 หลัก:
- 25,324 10 = 11001,0101001011110001101 2 .
- 2. เขียนในรูปของเลขทศนิยมไบนารี่ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน:
- 0.110010101001011110001101 ยู 101 .
ในที่นี้แมนทิสซา ฐาน (2 10 = 10 2) และเลขชี้กำลัง (5 10 = 101 2) เขียนในรูปแบบไบนารี
3. มาคำนวณลำดับเครื่องจักรกัน:
นาย 2 = 101 + 100 0000= 100 0101.
4. เขียนการแทนตัวเลขในเซลล์หน่วยความจำ:
เพื่อให้ได้ค่าแสดงภายในของจำนวนลบ -25.324 ก็เพียงพอที่จะแทนที่ 0 ในหลักเครื่องหมายของตัวเลขด้วย 1 ในรหัสที่ได้รับข้างต้น
และในรูปแบบเลขฐานสิบหก:
ไม่มีการผกผันเกิดขึ้นที่นี่ เช่นเดียวกับจำนวนจุดคงที่ที่เป็นลบ
สุดท้ายนี้ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับช่วงของตัวเลขที่สามารถแทนค่าได้ในรูปแบบจุดลอยตัว แน่นอนว่าจำนวนบวกและลบจะอยู่ในตำแหน่งสมมาตรรอบศูนย์ ดังนั้นจำนวนสูงสุดและต่ำสุดจึงเท่ากันในค่าสัมบูรณ์: ฉัน =- ที; พี |. จำนวนที่น้อยที่สุดในค่าสัมบูรณ์คือศูนย์ มูลค่าของฉันคืออะไร? นี่คือตัวเลขที่มีแมนทิสซามากที่สุดและมีเลขชี้กำลังมากที่สุด:
0.11111111111111111111111 yu5 111ช.
ถ้าเราแปลงเป็นระบบทศนิยมเราจะได้
L สูงสุด = (1 -2- 24)-2 64 = 10 19.
แน่นอนว่าช่วงของจำนวนจริงนั้นกว้างกว่าช่วงของจำนวนเต็มมาก หากผลการคำนวณเป็นตัวเลขที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ฉันสบายดีจากนั้นโปรเซสเซอร์จะถูกขัดจังหวะ สถานการณ์นี้เรียกว่าจุดลอยตัวล้น ค่าโมดูโลที่ไม่ใช่ศูนย์ที่น้อยที่สุดคือ
(1/2) 2 -64 = 2 -66 .
ค่าใด ๆ ที่น้อยกว่าค่าสัมบูรณ์นี้จะถูกรับรู้โดยโปรเซสเซอร์ว่าเป็นศูนย์
ดังที่เราทราบจากคณิตศาสตร์ เซตของจำนวนจริงนั้นเป็นอนันต์และต่อเนื่องกัน เซตของจำนวนจริงที่สามารถแสดงในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ในรูปแบบจุดลอยตัวนั้นมีจำกัดและไม่ต่อเนื่อง ค่าที่ตามมาแต่ละค่าจะได้รับโดยการบวกค่าหนึ่งในหลักสุดท้าย (24) เข้ากับแมนทิสซาของค่าก่อนหน้า จำนวนจำนวนจริงที่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำในหน่วยความจำของเครื่องคำนวณโดยสูตร
N = 2"-(U-L+ 1)+ 1.
ที่นี่ ที-จำนวนเลขฐานสองของแมนทิสซา ยู-ค่าสูงสุดของลำดับทางคณิตศาสตร์ ล- มูลค่าการสั่งซื้อขั้นต่ำ สำหรับตัวเลือกที่เราพิจารณา (/ = 24 ยู = 63, ล= -64) ปรากฎว่า
ยังไม่มีข้อความ=2 146683548.
ตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่อยู่ในชุดนี้ แต่อยู่ภายในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ จะแสดงอยู่ในหน่วยความจำโดยประมาณ (แมนทิสซาถูกตัดออกที่บิตที่ 24) และเนื่องจากตัวเลขมีข้อผิดพลาด ผลการคำนวณด้วยตัวเลขเหล่านี้ก็จะมีข้อผิดพลาดด้วย จากที่กล่าวมาข้างต้นสรุปดังนี้: การคำนวณด้วยจำนวนจริงในคอมพิวเตอร์จะดำเนินการโดยประมาณ
หน่วยข้อมูล
บิต (ภาษาอังกฤษ, เลขฐานสอง; การเล่นคำ: ภาษาอังกฤษ, บิต - เล็กน้อย) (เลขฐานสองหนึ่งหลักในระบบเลขฐานสอง) เป็นหนึ่งในหน่วยที่มีชื่อเสียงที่สุดในการวัดปริมาณข้อมูล
Nibble (อังกฤษ, nibble, nybble) หรือ nibble เป็นหน่วยของข้อมูลที่เท่ากับเลขฐานสองสี่หลัก (บิต) สะดวกตรงที่สามารถแสดงเป็นเลขฐานสิบหกหนึ่งหลักได้ เช่น เป็นเลขฐานสิบหกหนึ่งหลัก
ไบต์ (ภาษาอังกฤษ ไบต์ เป็นตัวย่อของวลี BinarYTERm - "คำไบนารี") เป็นหน่วยจัดเก็บและประมวลผลข้อมูลดิจิทัล ในระบบคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ไบต์จะเท่ากับแปดบิต ซึ่งในกรณีนี้อาจรับค่าใดค่าหนึ่งจาก 2 8 = 256 ค่าที่แตกต่างกัน (สถานะ รหัส) อย่างไรก็ตาม ในประวัติศาสตร์ของคอมพิวเตอร์ รู้จักโซลูชันที่มีขนาดไบต์อื่น เช่น 6 บิต, 36 บิตต่อ พีดีพี- 10. ดังนั้น บางครั้งในมาตรฐานคอมพิวเตอร์และเอกสารราชการ คำว่า "octet" (ภาษาละติน octet) จึงใช้เพื่อกำหนดคำ 8 บิตอย่างชัดเจน ในสถาปัตยกรรมการประมวลผลส่วนใหญ่ ไบต์คือชุดข้อมูลที่สามารถกำหนดแอดเดรสได้อย่างอิสระที่เล็กที่สุด
Machine word เป็นปริมาณที่ขึ้นกับเครื่องจักรและขึ้นอยู่กับแพลตฟอร์ม วัดเป็นบิตหรือไบต์ (trites หรือ trites) เท่ากับความกว้างของรีจิสเตอร์ตัวประมวลผล และ/หรือความกว้างของบัสข้อมูล (โดยปกติจะเป็นกำลังสอง) ในคอมพิวเตอร์ยุคแรกๆ ขนาดของคำก็ตรงกับขนาดขั้นต่ำของข้อมูลที่ระบุแอดเดรสได้ (ความกว้างของข้อมูลที่อยู่ในที่อยู่เดียวกัน) ในคอมพิวเตอร์ยุคใหม่ หน่วยข้อมูลขั้นต่ำที่สามารถระบุแอดเดรสได้มักจะเป็นไบต์ และคำหนึ่งคำประกอบด้วยหลายไบต์ คำที่เครื่องกำหนดคุณลักษณะต่อไปนี้ของแพลตฟอร์มฮาร์ดแวร์:
- ความลึกบิตของข้อมูลที่ประมวลผลโดยโปรเซสเซอร์
- ความกว้างของข้อมูลที่แอดเดรสได้ (ความกว้างของบัสข้อมูล);
- ค่าสูงสุดของประเภทจำนวนเต็มที่ไม่ได้ลงนามซึ่งตัวประมวลผลสนับสนุนโดยตรง: หากผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกินค่านี้ จะเกิดโอเวอร์โฟลว์
- จำนวน RAM สูงสุดที่โปรเซสเซอร์กำหนดที่อยู่ได้โดยตรง
คำนำหน้าทวีคูณทศนิยมและไบนารี
คำนำหน้าไบนารี่เป็นคำนำหน้าหน่วยการวัด ซึ่งระบุการคูณด้วย 2 10 = 1024 เนื่องจากตัวเลข 1024 และ 1000 อยู่ใกล้กัน คำนำหน้าไบนารี่จึงถูกสร้างขึ้นโดยการเปรียบเทียบกับคำนำหน้า SI ทศนิยมมาตรฐาน แต่ละคำนำหน้าไบนารีจะได้มาโดยการแทนที่พยางค์สุดท้ายของคำนำหน้าทศนิยมที่สอดคล้องกันด้วย bi (จากภาษาละติน binarius - ไบนารี่) คำนำหน้าไบนารีใช้เพื่อสร้างหน่วยข้อมูลที่มีหลายบิตและไบต์ คำนำหน้าถูกนำมาใช้โดย International Electrotechnical Commission (IEC) ในเดือนมีนาคม 2542 มีลักษณะเช่นนี้ (ตาราง 2.6)
การนำเสนอข้อมูลข้อความในคอมพิวเตอร์
การเข้ารหัส ASCII และ Unicode
เพื่อแสดงข้อมูลข้อความในคอมพิวเตอร์ รหัสบางอย่างจะเชื่อมโยงกับการแสดงกราฟิกของอักขระแต่ละตัว ชุดอักขระ/การเข้ารหัส (ภาษาอังกฤษ ชุดอักขระ) - ตารางที่ระบุการเข้ารหัสชุดอักขระตัวอักษรที่มีขอบเขตจำกัด (โดยทั่วไปคือองค์ประกอบข้อความ: ตัวอักษร ตัวเลข เครื่องหมายวรรคตอน) ตารางดังกล่าวจะจับคู่อักขระแต่ละตัวกับลำดับของอักขระตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปจากตัวอักษรอื่น เช่น ศูนย์และตัว (บิต)
แอสกี(รหัส English American Standard สำหรับการแลกเปลี่ยนข้อมูล) - ตารางการเข้ารหัสมาตรฐานอเมริกันสำหรับอักขระที่พิมพ์และรหัสพิเศษบางส่วน (รหัส 0x00 ถึง 0x1 F)
แอสกีเป็นการเข้ารหัสแทนเลขทศนิยม ตัวอักษรละติน และอักษรประจำชาติ และอักษรนำหน้า
คำนำหน้าไบนารีเพื่อสร้างหน่วยการวัดข้อมูล
ไบนารี่ คำนำหน้า |
คล้ายกัน ทศนิยม คำนำหน้า |
ตัวย่อ IEC สำหรับบิต, ไบต์ |
ค่าที่ใช้คูณค่าเดิม |
คิบิ/คิบิ (2 10) |
คิบิต, KiB/KlV |
||
เฟอร์นิเจอร์/เท (2 20) |
มิบิต, MiB/MSh |
2 20 = 1 048 576 |
|
กิบี/§іьі (2 30) |
กิบิต, GiB/vSh |
2 30 = 1 073741 824 |
|
เทบิเดบิ (2 40) |
เทรา (10 12) |
ทิบิต, TiB/TSh |
2 40 = 1 099511 627776 |
เปบี/เปบี (2 50) |
เพตา (10 15) |
พิบิต, PiB/P1V |
2 50 = 1 125 899906842624 |
exbi/exY (2 60) |
เช่น (10 18) |
เอบิต, EiB/ESh |
2 60 = 1 152921504606846976 |
เซบี/เกบี (2 70) |
เซตต้า (10 21) |
ซิบิต, ZiB/71V |
2 70 = 1 180591620717411 303424 |
โยบี/ยูบี (2 80) |
ยตตะ (10 24) |
ยิบิต, YiB/U1V |
2 80 = 1 208925819614629 174706 176 |
ความรู้และลักษณะการควบคุม พัฒนาครั้งแรก (ในปี 1963) เป็นไบต์ 7 บิต หลังจากมีการใช้ไบต์ 8 บิตอย่างกว้างขวาง แอสกีเริ่มถูกมองว่าเป็นครึ่งหนึ่งของ 8 บิต คอมพิวเตอร์มักจะใช้ส่วนขยาย ASCII ด้วยบิตที่ 8 เกี่ยวข้องและครึ่งหลังของตารางโค้ดอื่น (เช่น KOI 8)
Unicode หรือ Unicode เป็นมาตรฐานการเข้ารหัสอักขระที่ช่วยให้คุณสามารถแสดงอักขระของภาษาเขียนเกือบทั้งหมดได้
มาตรฐานนี้ถูกเสนอในปี 1991 โดยองค์กรไม่แสวงหากำไร Unicode Consortium (Unicode Inc.) การใช้มาตรฐานนี้ช่วยให้คุณสามารถเข้ารหัสอักขระจำนวนมากจากสคริปต์ที่แตกต่างกัน: เอกสาร Unicode อาจมีอักขระจีน สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอักษรของอักษรกรีก ตัวอักษรละตินและซีริลลิก ทำให้การสลับหน้าโค้ดไม่จำเป็น
มาตรฐานประกอบด้วยสองส่วนหลัก: ชุดอักขระสากล (ภาษาอังกฤษ. ยูซีเอสชุดอักขระสากล) และตระกูลการเข้ารหัส (eng. UTFรูปแบบการแปลง Unicode) ชุดยูนิเวอร์แซลอักขระระบุความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างอักขระและรหัสที่แสดงจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ การเข้ารหัสครอบครัวกำหนดการแสดงรหัสของเครื่อง ยูซีเอส
ในการกำหนดรูปแบบการแสดง Unicode ลายเซ็นจะถูกเขียนที่จุดเริ่มต้นของไฟล์ข้อความ - โค้ด เฟฟ(ไม่มีอักขระที่มีรหัสนี้ใน Unicode) หรือที่เรียกว่าเครื่องหมายลำดับไบต์ บอม)บางครั้งวิธีนี้ยังใช้เพื่อระบุรูปแบบอีกด้วย UTF 8 แม้ว่าแนวคิดเรื่องลำดับไบต์จะใช้ไม่ได้กับรูปแบบนี้
การเข้ารหัส Unicode พื้นฐาน:
- UTF-8 (EF BB BF);
- UTF-16BE (FE FF);
- UTF-16LE (FF FE);
- UTF-32BE (0000 FE FF);
- UTF-32LE (FF FE0000)
- + ^t-2ยัต 2 + + + เย้
- + ^t-2ยัต 2 + + + เย้
- + ^t-2ยัต 2 + + + เย้
- + ^t-2ยัต 2 + + + เย้
- + ^t-2ยัต 2 + + + เย้
- + ^t-2ยัต 2 + + + เย้
- + ^t-2ยัต 2 + + + เย้
- - ^]เพิ่ม - 1-^1 รอบ
ปัจจุบันในชีวิตประจำวันในการเข้ารหัสข้อมูลตัวเลขจะใช้ระบบเลขฐานสิบที่มีฐาน 10 ซึ่งใช้องค์ประกอบการกำหนด 10 รายการ: หมายเลข 0, 1, 2, ... 8, 9 ตัวเลขตัวแรก (รอง) หมายถึงตัวเลข ของหน่วย, วินาที - สิบ, ในสาม - ร้อย, ฯลฯ ; กล่าวอีกนัยหนึ่งในแต่ละหลักที่ตามมาน้ำหนักของค่าสัมประสิทธิ์หลักจะเพิ่มขึ้น 10 เท่า
อุปกรณ์ประมวลผลข้อมูลดิจิทัลใช้ระบบเลขฐานสองที่มีฐาน 2 ซึ่งใช้องค์ประกอบการกำหนดสองประการ: 0 และ 1 น้ำหนักของบิตจากซ้ายไปขวาจากบิตที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุดไปจนถึงบิตที่มีนัยสำคัญที่สุดเพิ่มขึ้น 2 เท่านั่นคือ มีลำดับดังต่อไปนี้: 8421 โดยทั่วไปลำดับนี้จะมีลักษณะดังนี้:
…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …
และใช้ในการแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบ ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 101011 เทียบเท่ากับเลขฐานสิบ 43:
2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43
ในอุปกรณ์ดิจิทัล มีการใช้คำศัพท์พิเศษเพื่อแสดงถึงหน่วยของข้อมูลขนาดต่างๆ เช่น บิต ไบต์ กิโลไบต์ เมกะไบต์ เป็นต้น
นิดหน่อยหรือ เลขฐานสองกำหนดค่าของอักขระหนึ่งตัวในเลขฐานสอง ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 101 มีสามบิตหรือสามหลัก เรียกว่าหลักขวาสุดที่มีน้ำหนักน้อยที่สุด อายุน้อยกว่าและอันซ้ายสุดที่มีน้ำหนักมากที่สุดคือ อาวุโส.
ไบต์กำหนด 8 บิตหน่วยข้อมูล 1 ไบต์ = 23 บิต เช่น 10110011 หรือ 01010111 เป็นต้น 1 kbyte = 2 10 ไบต์ 1 MB = 2 10 kbytes = 2 20 ไบต์
หากต้องการแสดงตัวเลขหลายหลักในระบบเลขฐานสอง จำเป็นต้องมีเลขฐานสองจำนวนมาก การบันทึกจะง่ายขึ้นหากคุณใช้ระบบเลขฐานสิบหก
พื้นฐาน ระบบเลขฐานสิบหกสัญกรณ์คือตัวเลข 16 = 2 4 ซึ่งใช้องค์ประกอบสัญกรณ์ 16 รายการ: ตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 และตัวอักษร A, B, C, D, E, F ในการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหกก็เพียงพอที่จะแบ่งเลขฐานสอง ตัวเลขออกเป็นกลุ่มสี่บิต: ส่วนจำนวนเต็มจากขวาไปซ้าย, เศษส่วน - จากซ้ายไปขวาของจุดทศนิยม กลุ่มภายนอกอาจไม่สมบูรณ์
กลุ่มไบนารีแต่ละกลุ่มจะแสดงด้วยอักขระเลขฐานสิบหกที่สอดคล้องกัน (ตารางที่ 1) ตัวอย่างเช่น เลขฐานสอง 0101110000111001 ในเลขฐานสิบหกจะแสดงเป็น 5C39
ระบบเลขทศนิยมจะสะดวกที่สุดสำหรับผู้ใช้ ดังนั้นอุปกรณ์ดิจิทัลจำนวนมากที่ทำงานกับเลขฐานสองจึงรับและออกเลขทศนิยมให้กับผู้ใช้ ในกรณีนี้ จะใช้รหัสทศนิยมไบนารี
รหัสบีซีดีถูกสร้างขึ้นโดยการแทนที่เลขทศนิยมแต่ละตัวของตัวเลขด้วยการแสดงเลขฐานสองสี่บิตของตัวเลขนี้ในรหัสไบนารี่ (ดูตารางที่ 1) ตัวอย่างเช่น หมายเลข 15 จะแสดงเป็น 00010101 BCD (Binary Coded Decimal) ในกรณีนี้ แต่ละไบต์จะมีทศนิยมสองหลัก โปรดทราบว่ารหัส BCD ในการแปลงนี้ไม่ใช่เลขฐานสองที่เทียบเท่ากับเลขทศนิยม
1.2 พื้นฐานลอจิกของคอมพิวเตอร์
สาขาของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรเชิงตรรกะที่มีเพียงสองค่าเรียกว่า พีชคณิตของตรรกะพีชคณิตแห่งตรรกศาสตร์ได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เจ. บูล และมักเรียกว่าพีชคณิตแบบบูล พีชคณิตลอจิกเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการสร้างระบบประมวลผลข้อมูลดิจิทัล ประการแรกตามกฎของพีชคณิตตรรกะสมการเชิงตรรกะของอุปกรณ์ได้รับการพัฒนาซึ่งช่วยให้คุณสามารถเชื่อมต่อองค์ประกอบเชิงตรรกะในลักษณะที่วงจรทำหน้าที่เชิงตรรกะที่กำหนด
ตารางที่ 1 – รหัสตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 15
เลขทศนิยม | รหัส | ||
---|---|---|---|
ไบนารี่ | เลขฐานสิบหก | บีซีดี | |
0 | 0000 | 0 | 000 |
1 | 0001 | 1 | 0001 |
2 | 0010 | 2 | 0010 |
3 | 0011 | 3 | 0011 |
4 | 0100 | 4 | 0100 |
5 | 0101 | 5 | 0101 |
6 | 0110 | 6 | 0110 |
7 | 0111 | 7 | 0111 |
8 | 1000 | 8 | 1000 |
9 | 1001 | 9 | 1001 |
10 | 1010 | ก | 00010000 |
11 | 1011 | บี | 00010001 |
12 | 1100 | ค | 00010010 |
13 | 1101 | ดี | 00010011 |
14 | 1110 | อี | 00010100 |
15 | 1111 | เอฟ | 00010101 |
1.2.1 พีชคณิตพื้นฐานของตรรกศาสตร์
ตัวแปรบูลีนที่แตกต่างกันสามารถเชื่อมโยงได้ด้วยการขึ้นต่อกันของฟังก์ชัน การพึ่งพาเชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรเชิงตรรกะสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรเชิงตรรกะหรือตารางความจริง
โดยทั่วไปแล้วตรรกะ สูตรฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวเขียนเป็น: ย=ฉ(เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2) ที่ไหน เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 - ตัวแปรอินพุต
ใน ตารางความจริงแสดงชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ชุดค่าผสม) ของตัวแปรอินพุตและค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน y ซึ่งเป็นผลมาจากการดำเนินการของการดำเนินการเชิงตรรกะบางอย่าง ด้วยตัวแปรเดียว ชุดทั้งชุดประกอบด้วยสี่ฟังก์ชัน ดังแสดงในตารางที่ 2
ตารางที่ 2 - ชุดฟังก์ชันที่สมบูรณ์สำหรับตัวแปรหนึ่งตัว
เอ็กซ์ | Y1 | ย2 | Y3 | Y4 |
---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Y1 - การผกผัน, Y2 - ฟังก์ชันเหมือนกัน, Y3 - ฟังก์ชันจริงอย่างแน่นอน และ Y4 - ฟังก์ชันเท็จอย่างแน่นอน
การผกผัน(การปฏิเสธ) เป็นหนึ่งในฟังก์ชันลอจิคัลพื้นฐานที่ใช้ในอุปกรณ์ประมวลผลข้อมูลดิจิทัล
ด้วยตัวแปรสองตัว ชุดเต็มประกอบด้วย 16 ฟังก์ชัน แต่ไม่ใช่ทั้งหมดที่ใช้ในอุปกรณ์ดิจิทัล
ฟังก์ชันลอจิคัลหลักของตัวแปรสองตัวที่ใช้ในอุปกรณ์ประมวลผลข้อมูลดิจิทัล ได้แก่: การแยกส่วน (การบวกเชิงตรรกะ) การเชื่อม (การคูณเชิงตรรกะ) ผลรวมโมดูโล 2 (ความแตกต่าง) ลูกศรของเพียร์ซ และจังหวะของแชฟเฟอร์ สัญลักษณ์ของการดำเนินการเชิงตรรกะที่ใช้ฟังก์ชันลอจิคัลข้างต้นของตัวแปรหนึ่งและสองตัวแสดงไว้ในตารางที่ 3
ตารางที่ 3 ชื่อและการกำหนดการดำเนินการเชิงตรรกะ
การดำเนินการผกผันสามารถทำได้ทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ: และพีชคณิต: จากนิพจน์เหล่านี้เป็นไปตามการผกผัน x, เช่น. เติมเต็ม xถึง 1 นี่คือที่มาของชื่ออื่นสำหรับการดำเนินการนี้ - ส่วนที่เพิ่มเข้าไป- จากที่นี่เราสามารถสรุปได้ว่าการผกผันสองครั้งนำไปสู่ข้อโต้แย้งดั้งเดิม นั่นคือ และมันถูกเรียกว่า กฎแห่งการปฏิเสธสองครั้ง
ตารางที่ 4 – ตารางความจริงของฟังก์ชันหลักของตัวแปรสองตัว
การแยกทาง | การเชื่อมต่อ | พิเศษหรือ | ลูกศรของเพียร์ซ | จังหวะของเชฟเฟอร์ | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
X1 | X2 | ย | X1 | X2 | ย | X1 | X2 | ย | X1 | X2 | ย | X1 | X2 | ย |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
การแยกทางต่างจากการบวกเลขคณิตหรือพีชคณิตทั่วไป การมีอยู่ของสองหน่วยจะให้ผลลัพธ์เป็นหน่วยเดียว ดังนั้น เมื่อแสดงถึงผลรวมเชิงตรรกะ ควรให้เครื่องหมาย (∨) แทนเครื่องหมาย (+)
สองแถวแรกของตารางความจริงของการดำเนินการแยก ( x 1 =0) กำหนด กฎการบวกกับศูนย์: x ∨ 0 = xและสองบรรทัดที่สอง (x 1 = 1) - กฎแห่งการบวกด้วยความสามัคคี: x ∨ 1 = 1.
การเชื่อมต่อตารางที่ 4 แสดงเอกลักษณ์ของการดำเนินการของการคูณแบบธรรมดาและแบบลอจิคัลได้อย่างน่าเชื่อ ดังนั้น เพื่อเป็นสัญลักษณ์สำหรับการคูณเชิงตรรกะ จึงเป็นไปได้ที่จะใช้เครื่องหมายที่คุ้นเคยสำหรับการคูณแบบธรรมดาในรูปของจุด
สองแถวแรกของตารางความจริงของการดำเนินการร่วมจะกำหนด กฎการคูณด้วยศูนย์: x 0 = 0 และสองตัวที่สอง - กฎการคูณด้วยหนึ่ง: x·1 = x.
พิเศษหรือฟังก์ชัน "เฉพาะหรือ" หมายถึงสิ่งต่อไปนี้: จะปรากฏที่เอาต์พุตเมื่อมีอินพุตเดียวเท่านั้น หากมีอินพุตตั้งแต่สองตัวขึ้นไป หรือหากอินพุตทั้งหมดเป็นศูนย์ เอาต์พุตจะเป็นศูนย์
คำจารึกบนการกำหนดองค์ประกอบ EXCLUSIVE หรือ “=1” (รูปที่ 1, d) หมายความว่าสถานการณ์จะถูกเน้นเมื่อมีอินพุตเพียงหน่วยเดียวเท่านั้น
การดำเนินการนี้คล้ายกับการดำเนินการผลรวมทางคณิตศาสตร์ แต่เหมือนกับการดำเนินการเชิงตรรกะอื่นๆ โดยไม่มีรูปแบบการยก นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีชื่อที่แตกต่างกัน รวมโมดูโล 2และสัญกรณ์ ⊕ คล้ายกับสัญกรณ์สำหรับผลรวมทางคณิตศาสตร์
ลูกศรของเพียร์ซและ สัมผัสของแชฟเฟอร์การดำเนินการเหล่านี้เป็นการผกผันของการดำเนินการของการแยกจากกันและการเชื่อมและไม่มีการกำหนดพิเศษ
ฟังก์ชันลอจิคัลที่พิจารณานั้นเรียบง่ายหรือเป็นฟังก์ชันพื้นฐาน เนื่องจากค่าของความจริงไม่ได้ขึ้นอยู่กับความจริงของฟังก์ชันอื่นใด แต่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระที่เรียกว่าเท่านั้น ข้อโต้แย้ง
อุปกรณ์คอมพิวเตอร์ดิจิทัลใช้ฟังก์ชันลอจิกที่ซับซ้อนซึ่งพัฒนามาจากฟังก์ชันพื้นฐาน
ซับซ้อนเป็นฟังก์ชันลอจิกที่มีค่าความจริงขึ้นอยู่กับความจริงของฟังก์ชันอื่นๆ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนนี้
ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชันลอจิคัลที่ซับซ้อน อาร์กิวเมนต์คือ X 1 ∨X 2 และ
1.2.2 องค์ประกอบลอจิก
ในการใช้ฟังก์ชันลอจิคัลในอุปกรณ์ประมวลผลข้อมูลดิจิทัล จะใช้องค์ประกอบลอจิคัล สัญลักษณ์ขององค์ประกอบลอจิคัลที่ใช้ฟังก์ชันที่กล่าวถึงข้างต้นแสดงในรูปที่ 1
รูปที่ 1 – UGO ขององค์ประกอบเชิงตรรกะ: a) อินเวอร์เตอร์ b) OR, c) AND, d) Exclusive OR, e) OR-NOT, f) AND-NOT
ฟังก์ชันลอจิคัลที่ซับซ้อนถูกนำมาใช้บนพื้นฐานขององค์ประกอบลอจิคัลอย่างง่าย โดยการเชื่อมต่อพวกมันอย่างเหมาะสมเพื่อใช้ฟังก์ชันการวิเคราะห์เฉพาะ แผนภาพการทำงานของอุปกรณ์ลอจิคัลที่ใช้ฟังก์ชันที่ซับซ้อน ที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้าแสดงในรูปที่ 2
รูปที่ 2 – ตัวอย่างการใช้งานฟังก์ชันลอจิคัลที่ซับซ้อน
ดังที่เห็นได้จากรูปที่ 2 สมการเชิงตรรกะแสดงให้เห็นว่า LE ใดและการเชื่อมต่อใดที่สามารถสร้างอุปกรณ์ลอจิคัลที่กำหนดได้
เนื่องจากสมการเชิงตรรกะและแผนภาพฟังก์ชันมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง จึงแนะนำให้ลดความซับซ้อนของฟังก์ชันเชิงตรรกะโดยใช้กฎของพีชคณิตเชิงตรรกะ ดังนั้นจึงลดจำนวนหรือเปลี่ยนระบบการตั้งชื่อของ LE ในระหว่างการใช้งาน
1.2.3 กฎและอัตลักษณ์ของพีชคณิตตรรกศาสตร์
เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ของพีชคณิตเชิงตรรกะช่วยให้คุณสามารถแปลงนิพจน์เชิงตรรกะโดยแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เทียบเท่าเพื่อลดความซับซ้อนลดจำนวนองค์ประกอบหรือแทนที่ฐานองค์ประกอบ
1 สับเปลี่ยน: X ∨ Y = Y ∨ X; X · Y = Y · X
2 การรวมกัน: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z); X Y Z = (X Y) Z = X (Y Z)
3 ความไม่สมดุล: X ∨ X = X; เอ็กซ์ · เอ็กซ์ = เอ็กซ์
การกระจาย 4: (X ∨ Y) Z = X Z ∨ Y Z
5 ลบสองเท่า: .
6 กฎความเป็นคู่ (กฎของเดอมอร์แกน):
ในการแปลงสูตรโครงสร้าง มีการใช้ข้อมูลระบุตัวตนจำนวนหนึ่ง:
X ∨ X Y = X; X(X ∨ Y) = X - กฎการดูดซึม
X· Y ∨ X· = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – กฎการติดกาว
กฎสำหรับลำดับความสำคัญของการดำเนินการเชิงตรรกะ1 การปฏิเสธคือการกระทำเชิงตรรกะของระยะแรก
2 Conjunction เป็นการกระทำเชิงตรรกะของขั้นที่สอง
3 Disjunction เป็นการกระทำเชิงตรรกะของขั้นตอนที่สาม
หากในนิพจน์เชิงตรรกะมีการกระทำของขั้นตอนต่าง ๆ แสดงว่าขั้นตอนแรกจะดำเนินการก่อน จากนั้นขั้นตอนที่สองและหลังจากนั้นเท่านั้นคือขั้นตอนที่สาม การเบี่ยงเบนจากคำสั่งนี้จะต้องระบุด้วยวงเล็บ
1. รูปแบบการแสดงตัวเลข.. 6
2. ระบบเลขฐานสอง... 13
3. ระบบเลขฐานแปด... 15
4. ระบบเลขฐานสิบหก... 17
5. เลขทศนิยมไบนารี... 19
6. เลขคณิตไบนารี.. 20
7. เลขคณิตในการย้อนกลับและรหัสเสริม 22
8. ตรรกะทางคณิตศาสตร์.. 25
คำตอบแบบฝึกหัด... 35
คำนำ
การเรียนรู้ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์เป็นงานที่สำคัญมากสำหรับโปรแกรมเมอร์ ความเข้าใจอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับรากฐานทางคณิตศาสตร์และตรรกะของคอมพิวเตอร์ช่วยให้คุณสร้างซอฟต์แวร์คุณภาพสูงได้
คู่มือนี้กล่าวถึงวิธีการแสดงข้อมูลในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์ โครงสร้าง และกฎการแปลง คู่มือทั้งแปดส่วนนี้อุทิศให้กับหัวข้อเฉพาะ ประกอบด้วยข้อมูลทางทฤษฎี ตัวอย่างการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตรรกะ ตลอดจนแบบฝึกหัดสำหรับการปฏิบัติงานจริงและงานอิสระของนักเรียน
คู่มือนี้จัดทำขึ้นสำหรับนักศึกษาเต็มเวลาและนอกเวลาในสาขาวิชาพิเศษ “ซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์และระบบอัตโนมัติ”
แนะนำให้ใช้รูปแบบการทำงานกับคู่มือต่อไปนี้ หลังจากศึกษาเนื้อหาที่จำเป็นแล้ว บทเรียนเชิงปฏิบัติจะตรวจสอบตัวอย่างการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตรรกะบนคอมพิวเตอร์ แต่ละส่วนประกอบด้วยข้อมูลทางทฤษฎีที่จำเป็นและการกำหนดปัญหา จากนั้นนักเรียนอาจถูกขอให้ทำแบบฝึกหัดในตอนท้ายของส่วนนี้ แบบฝึกหัดมีความซับซ้อนแตกต่างกันไป ซึ่งจะเพิ่มขึ้นตามหมายเลขลำดับของแบบฝึกหัดที่เพิ่มขึ้น
หากต้องการแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งอย่างรวดเร็ว นอกเหนือจากความสามารถในการใช้อัลกอริธึมการแปลมาตรฐานแล้ว นักเรียนจะต้องจดจำค่าของกำลังจำนวนเต็ม 2 จาก 0 ถึง 10 ซึ่งเป็นตัวแทนของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 16 ในระบบตัวเลข มีฐาน 2, 8, 10 และ 16 และยังรู้คุณสมบัติของระบบจำนวนที่มีฐานหารด้วย 2 ลงตัวด้วย
เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ขอแนะนำให้กำหนดสินเชื่อและการโอนจากหลักหนึ่งไปยังอีกหลักหนึ่ง เพื่อจำลองการทำงานของการลงทะเบียนคุณลักษณะ เมื่อทำงานกับโค้ดไดเร็กต์ ส่วนเสริม และโค้ดย้อนกลับ ขอแนะนำให้ใช้ 8 บิต
เมื่อทำแบบฝึกหัดจากหัวข้อ "ลอจิกทางคณิตศาสตร์" คุณต้องเข้าใจสัญลักษณ์และคำจำกัดความ (ตารางความจริง) ของการดำเนินการเชิงตรรกะพื้นฐานทั้งสามอย่างแน่นหนา เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์เชิงตรรกะคุณต้องจำลำดับความสำคัญของการดำเนินการเชิงตรรกะ
คำตอบของแบบฝึกหัดจะอยู่ท้ายคู่มือ
การแนะนำ
การนำเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์มาใช้อย่างแพร่หลายในทุกกิจกรรมของมนุษย์และประสิทธิผลของกระบวนการนี้มีความเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกทั้งกับการพัฒนาการพัฒนาทางเทคนิคที่ซับซ้อนจำนวนมากและระดับการฝึกอบรมในสาขานี้ของผู้เชี่ยวชาญในโปรไฟล์ต่างๆ ความสอดคล้องระหว่างการทำงานของระบบคอมพิวเตอร์และวัตถุประสงค์ทางเทคโนโลยีของวัตถุที่เกี่ยวข้องนั้นจำเป็นต้องมีการฝึกอบรมโปรแกรมเมอร์อย่างเหมาะสม
การแก้ปัญหานี้มีความเชื่อมโยงทั้งกับการจัดกระบวนการศึกษาในทุกระดับรวมถึงระบบการฝึกอบรมผู้เชี่ยวชาญขั้นสูงและด้วยการสนับสนุนด้านการศึกษาและระเบียบวิธี ผู้เชี่ยวชาญด้านซอฟต์แวร์สมัยใหม่จะต้องมีความรู้ทั้งด้านฮาร์ดแวร์และซอฟต์แวร์ของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์กำลังพัฒนาอย่างรวดเร็วจนเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงคอมพิวเตอร์รุ่นต่างๆ ซึ่งมีพื้นฐานองค์ประกอบลักษณะและวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม อุปกรณ์คอมพิวเตอร์เกือบทั้งหมดมีฐานทางคณิตศาสตร์และตรรกะที่เหมือนกัน รูปแบบการแสดงตัวเลข ตลอดจนกฎสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตรรกะ คำถามเหล่านี้ได้รับการแก้ไขแล้วในบทช่วยสอนนี้
แบบฟอร์มการแสดงตัวเลข
ข้อมูลใด ๆ จะถูกนำเสนอในคอมพิวเตอร์โดยใช้สัญญาณดิจิทัล วิธีการแสดงดังกล่าวถูกกำหนดโดยระบบตัวเลขที่ใช้ในคอมพิวเตอร์ ระบบตัวเลขคือชุดของเทคนิคและกฎเกณฑ์สำหรับการตั้งชื่อและการกำหนดตัวเลข โดยคุณสามารถสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างตัวเลขใดๆ และการแทนค่าของตัวเลขนั้นเป็นชุดของสัญลักษณ์จำนวนจำกัด ระบบตัวเลขทุกระบบจะใช้ตัวอักษรจำกัดจำนวนหนึ่งซึ่งประกอบด้วยตัวเลข a 1, a 2, .... และ n . ในกรณีนี้ แต่ละหลัก a i ในบันทึกตัวเลขจะสอดคล้องกับค่าที่เทียบเท่าในเชิงปริมาณ ("น้ำหนัก" ของมัน)
มาวิเคราะห์ "เทคโนโลยี" เพื่อแก้ไขปัญหาง่ายๆ - การนับวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน สมมติว่ามีการแข่งขันอยู่บนโต๊ะ มีความจำเป็นต้องกำหนดหมายเลขและจดไว้: หนึ่งนัด - 1; อีกหนึ่งนัด - 1; ฯลฯ มารับค่า: 111111 โดยที่แต่ละคู่ถูกกำหนดด้วยสัญลักษณ์ 1 เรามานับจำนวนหน่วย (สัญลักษณ์การจับคู่) แล้วเขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบปกติ (คุ้นเคย) สำหรับเรา - 6 หรือวิธีอื่น - VI ดังนั้น 6 = VI = 111111 เช่น จำนวนการแข่งขันเขียนในรูปแบบต่างๆ แบบฟอร์มบันทึก 111111 ยุ่งยากมาก รูปแบบการเขียนเลข 6 เป็นวิธีที่สะดวกและคุ้นเคยที่สุดสำหรับเรา
ในช่วงเวลาทางประวัติศาสตร์ต่างๆ ของการพัฒนามนุษย์ มีการใช้ระบบตัวเลขจำนวนหนึ่งสำหรับการคำนวณและการคำนวณ ตัวอย่างเช่น ระบบเลขฐานสองนั้นค่อนข้างแพร่หลาย สินค้าหลายชิ้น (มีด ส้อม จาน ผ้าเช็ดหน้า ฯลฯ) ยังคงนับเป็นหลายสิบ จำนวนเดือนในหนึ่งปีคือสิบสอง
ระบบเลขฐานสองจะถูกเก็บรักษาไว้ในระบบการวัดภาษาอังกฤษ (เช่น 1 ฟุต = 12 นิ้ว) และในระบบการเงิน (1 ชิลลิง = 12 เพนนี)
ในบาบิโลนโบราณมีระบบ sexagesimal ที่ซับซ้อนมาก เช่นเดียวกับระบบเลขฐานสองที่ถูกรักษาไว้จนถึงทุกวันนี้ (เช่น ในระบบการวัดเวลา: 1 ชั่วโมง = 60 นาที, 1 นาที = 60 วินาที ในทำนองเดียวกันในระบบการวัดมุม: 1° = 60 นาที , 1 นาที = 60 วินาที)
ชนเผ่าแอฟริกันบางเผ่ามีระบบเลขควินารี ชาวแอซเท็กและมายันซึ่งอาศัยอยู่ในพื้นที่อันกว้างใหญ่ของทวีปอเมริกามานานหลายศตวรรษ มีระบบเลขทศนิยม ชนเผ่าบางเผ่าในออสเตรเลียและโพลินีเซียใช้ระบบเลขฐานสอง
ระบบการวัดทศนิยมมีต้นกำเนิดในประเทศอินเดีย ต่อมาจึงเริ่มเรียกว่าภาษาอาหรับเนื่องจากชาวอาหรับนำเข้ามาในยุโรป ตัวเลขที่เราใช้ตอนนี้คืออารบิก
ในแต่ละช่วงเวลามีบันทึกตัวเลขอื่น ๆ ซึ่งตอนนี้เกือบลืมไปแล้ว อย่างไรก็ตาม บางครั้งเรายังพบตัวเลขที่เขียนด้วยตัวอักษรละติน เช่น บนหน้าปัดนาฬิกา ในหนังสือที่ระบุบทหรือส่วนต่าง ๆ บนกระดาษธุรกิจเพื่อระบุเดือน เป็นต้น
ระบบตัวเลขซึ่งขนาดของตัวเลขถูกกำหนดโดยตำแหน่ง (ตำแหน่ง) เรียกว่าตำแหน่ง ดังนั้นระบบเลขฐานสิบจึงเป็นตำแหน่ง ระบบเลขโรมันไม่ใช่ระบบตำแหน่ง เช่น ตำแหน่งของตัวเลขไม่เปลี่ยนความหมาย ตัวอย่างเช่น เราเขียนเลข 9 เป็น IX และเลข 11 เป็น XI ยิ่งไปกว่านั้น เครื่องหมาย I ในทั้งสองกรณีมีความหมายเหมือนกัน - เครื่องหมายเดียวในกรณีเดียวเท่านั้นที่จะถูกลบออกจากสิบ (X) และในอีกกรณีหนึ่งจะถูกเพิ่มเข้าไป คอมพิวเตอร์ใช้เฉพาะระบบตัวเลขตำแหน่งเท่านั้น จำนวนหลักที่แตกต่างกันของระบบตัวเลขเรียกว่าฐาน S
ระบบเลขทศนิยมที่ยอมรับโดยทั่วไปใช้ตัวเลขที่แตกต่างกันสิบหลัก: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ตำแหน่งของตัวเลขในตัวเลขเรียกว่าตัวเลข ในระบบเลขฐานสิบ เราจัดการกับหลักหน่วย สิบ ร้อย ฯลฯ เช่นเดียวกับหลักสิบ ร้อย หลักพัน ฯลฯ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในระบบเลขฐานสิบ “น้ำหนัก” ของแต่ละหลักจะมากกว่า “น้ำหนัก” ของตัวเลขก่อนหน้าถึง 10 เท่า ดังนั้น จำนวนใดๆ ในระบบเลขฐานสิบจึงถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมของจำนวนเต็มยกกำลังต่างๆ ของ 10 โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ a i (0, 1, .... 9) ที่สอดคล้องกัน ซึ่งนำมาจากตัวอักษรของระบบตัวเลขที่กำหนด ดังนั้นเราจึงเขียนเลขทศนิยมในรูปแบบทั่วไป:
A = a 0 ×10 n +a 1 ×10 n –1 +a 2 ×10 n –2 +…+a n –1 ×10 1 +a n ×10 0 = a 0 a 1 …a n –1 a n
ค่าของตัวเลข A ถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ที่กำลังของเลข 10 จากตรงนี้จะเห็นได้ชัดว่าเลข 10 เป็นฐานของระบบตัวเลข ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าทศนิยม ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ทศนิยม 245.83 สามารถเขียนเป็น:
245.83 = 2×10 2 + 4×10 1 + 5×10 0 + 8×10 –1 + 3×10 –2.
ละเว้นยกกำลังต่างๆ ของสิบ ให้เขียนเฉพาะสัมประสิทธิ์ของกำลังเหล่านี้ เช่น 245.83 เช่นเดียวกัน:
531 = 5×10 2 + 3×10 1 + 1×10 0 = 531;
3527 = 3×10 3 + 5×10 2 + 2×10 1 + 7×10 0 = 3527;
28395 = 2×10 4 + 8×10 3 + 3×10 2 + 9×10 1 + 5×10 0 = 28395.
สำหรับการแสดงตัวเลขทางกายภาพในคอมพิวเตอร์ จำเป็นต้องมีองค์ประกอบที่สามารถอยู่ในสถานะคงที่สถานะใดสถานะหนึ่งได้ จำนวนของรัฐดังกล่าวจะต้องเท่ากับฐานของระบบตัวเลขที่นำมาใช้ จากนั้นแต่ละรัฐจะแสดงตัวเลขที่สอดคล้องกันจากตัวอักษรของระบบตัวเลขที่กำหนด สิ่งที่ง่ายที่สุดจากมุมมองของการใช้งานทางเทคนิคคือสิ่งที่เรียกว่าองค์ประกอบสองตำแหน่งซึ่งสามารถอยู่ในสถานะเสถียรหนึ่งในสองสถานะ - "เปิด" หรือ "ปิด" ตัวอย่างเช่น รีเลย์แม่เหล็กไฟฟ้าปิดหรือเปิด วัสดุแม่เหล็กถูกทำให้เป็นแม่เหล็กหรือล้างอำนาจแม่เหล็ก สวิตช์ทรานซิสเตอร์อยู่ในสถานะนำไฟฟ้าหรือล็อค ฯลฯ หนึ่งในสถานะคงที่เหล่านี้สามารถแสดงด้วยหมายเลข 0 และอีกสถานะหนึ่งแสดงด้วยหมายเลข 1
ความเรียบง่ายของการใช้งานทางเทคนิคขององค์ประกอบสองตำแหน่งทำให้มั่นใจได้ว่าระบบเลขฐานสองนั้นถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในคอมพิวเตอร์ ฐานของระบบนี้คือ S = 2 โดยจะใช้เพียงสองหลักเท่านั้น คือ 0 และ 1 จำนวนใดๆ ในระบบเลขฐานสองจะแสดงเป็นผลรวมของกำลังจำนวนเต็มของฐาน S = 2 คูณด้วยสัมประสิทธิ์ 0 หรือ 1 เช่น เลขฐานสอง
11011.01 2 = 1×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 + 1×2 1 +
1×2 0 + 0×2 –1 + 1×2 - 2 = 16 + 8 + 2 + 1 + 0.25 = 27.25 10,
จากการขยายข้างต้น สอดคล้องกับเลขทศนิยม 27.25 10 เช่นเดียวกัน:
12 10 = 1×2 3 + 1×2 2 + 0×2 1 + 0×2 0 = 1100 2 ;
42 10 = 1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 + 1×2 1 + 0×2 0 = 101010 2.
นอกจากไบนารีแล้ว คอมพิวเตอร์ยังใช้ระบบเลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก ซึ่งใช้สำหรับการบันทึกรหัสไบนารี่ที่สั้นและสะดวกยิ่งขึ้น ฐานของระบบเหล่านี้สอดคล้องกับกำลังจำนวนเต็มของ 2 (8 = 2 3; 16 = 2 4) ดังนั้นกฎสำหรับการแปลงเป็นระบบเลขฐานสองและในทางกลับกันจึงง่ายมากสำหรับพวกเขา
รหัสทศนิยมไบนารีถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในอุปกรณ์แสดงผล ตารางแสดงรหัสของระบบตัวเลขซึ่งจะเห็นได้ว่ารหัสทศนิยมไบนารี่แตกต่างจากรหัสทศนิยมตรงที่ในแต่ละตำแหน่งทศนิยมเขียนด้วยรหัสไบนารี่
ในระบบสัญกรณ์สากล รหัสที่ให้ไว้ในตารางที่ 1 ถูกกำหนดไว้ดังนี้: ทศนิยม - DEC (ทศนิยม), ไบนารี - BIN (ไบนารี), ฐานแปด - OCT (ฐานแปด), เลขฐานสิบหก - HEX (เลขฐานสิบหก), เลขฐานสอง - BDC (รหัสไบนารี่-ทศนิยม)
คอมพิวเตอร์ใช้การแสดงตัวเลขสองรูปแบบ: จุดคงที่ (จุด) และจุดลอยตัว (จุด) มิฉะนั้น แบบฟอร์มเหล่านี้เรียกว่าธรรมชาติและกึ่งลอการิทึม ตามลำดับ สำหรับรูปแบบการแสดงตัวเลขเหล่านี้ จำนวน n บิตจะถูกจัดสรร ทำให้เกิดตารางบิตของคอมพิวเตอร์ เมื่อ n เพิ่มขึ้น ช่วงของตัวเลขที่แสดงและความแม่นยำของการคำนวณจะเพิ่มขึ้น
ในรูปแบบธรรมชาติ ตัวเลขจะแสดงเป็นส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขและเป็นเศษส่วนที่คั่นด้วยจุด ตัวอย่างเช่น หากจัดสรรทศนิยมสามตำแหน่งสำหรับจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลข จำนวน 245.6 จะแสดงเป็น: 245.600 ที่นี่จุดที่แยกส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วนจะถูกกำหนดไว้หลังหลักที่สาม
ตารางที่ 1
การแสดงตัวเลขในระบบตัวเลขต่างๆ
ทศนิยม | ไบนารี่ | ออกตัล | เลขฐานสิบหก | บีซีดี |
ก | 0001 0000 | |||
ใน | 0001 0001 | |||
กับ | 0001 0010 | |||
ดี | 0001 0011 | |||
อี | 0001 0100 | |||
เอฟ | 0001 0101 | |||
0001 0110 | ||||
0001 0111 | ||||
0001 1000 | ||||
0001 1001 | ||||
0010 0000 |
โดยทั่วไปแล้ว จุดจะถูกกำหนดไว้ทางด้านขวาของหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด ดังนั้นในรูปแบบนี้จึงสามารถแสดงเฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้น มีสองตัวเลือกในการแสดงจำนวนเต็ม: ไม่ได้ลงนามและลงนาม ในกรณีแรก ตัวเลขทั้งหมดใช้แทนโมดูลัสของตัวเลข ในกรณีที่สอง เพื่อเป็นตัวแทนเครื่องหมายของตัวเลข จะมีการจัดสรรตัวเลขทางซ้ายสุด โดยที่ 0 จะเขียนสำหรับจำนวนบวกและ 1 สำหรับจำนวนลบ
ช่วงของตัวเลขที่แสดงด้วยจุดคงที่นั้นมีจำกัด ดังนั้นในตาราง n บิต ตัวเลขที่ไม่ได้ลงนาม x สามารถแสดงได้ในช่วง 0 £ x £ 2 n -1 เพื่อแสดงตัวเลขที่ไม่อยู่ในช่วงนี้ จะมีการแนะนำตัวประกอบมาตราส่วนที่เหมาะสมในระหว่างกระบวนการตั้งโปรแกรม ความจำเป็นในการปรับขนาดข้อมูลถือเป็นข้อเสียเปรียบที่สำคัญของการนำเสนอแบบจุดคงที่ ข้อเสียอีกประการหนึ่งคือด้วยการแสดงตัวเลขในรูปแบบนี้ ความแม่นยำสัมพัทธ์ของการคำนวณที่ดำเนินการจะขึ้นอยู่กับค่าของตัวเลขและถึงค่าสูงสุดเมื่อดำเนินการกับตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้
ในเรื่องนี้ การแสดงตัวเลขจุดคงที่เป็นรูปแบบหลักและรูปแบบเดียวเท่านั้นสำหรับเครื่องจักรที่มีขนาดค่อนข้างเล็กในแง่ของความสามารถในการคำนวณ เช่น ในตัวควบคุมการควบคุม คอมพิวเตอร์ที่ออกแบบมาเพื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ส่วนใหญ่จะใช้ตัวเลขทศนิยม อย่างไรก็ตาม แม้แต่ในคอมพิวเตอร์ดังกล่าว ก็มีการใช้แบบฟอร์มการแสดงจุดคงที่สำหรับจำนวนเต็ม เนื่องจากการดำเนินการกับจำนวนเต็มจะดำเนินการในรูปแบบนี้ง่ายกว่าและใช้เวลาสั้นกว่า
ในรูปแบบจุดลอยตัว จำนวน N ใดๆ แทนเป็นผลคูณของตัวประกอบสองตัว: N = m×S p โดยที่ m คือแมนทิสซาของจำนวน (|m|)<1); р - ลำดับหมายเลข (จำนวนเต็ม); S - ฐานของระบบตัวเลข (จำนวนเต็ม)
เช่น เลขทศนิยม 6.15 ในรูปแบบจุดลอยตัว (ลูกน้ำ) สามารถเขียนได้ดังนี้
6.15 = 0.615×10 1;
6.15 = 0.0615×10 2 ;
6.15 = 0.00615×10 3 เป็นต้น
เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงลำดับในทิศทางเดียวหรืออีกทางหนึ่ง จุด (ลูกน้ำ) ดูเหมือนจะ "ลอย" ในรูปตัวเลข ดังนั้น เมื่อแสดงตัวเลขทศนิยมในตารางบิตของคอมพิวเตอร์ จำเป็นต้องเขียนแมนทิสซา ±m และลำดับ ±р ด้วยเครื่องหมายของมันเอง เครื่องหมายของตัวเลขนั้นตรงกับสัญลักษณ์ของแมนทิสซา
สำหรับความลึกบิตที่กำหนดของแมนทิสซา ความแม่นยำในการคำนวณจะยิ่งใหญ่ที่สุดหากนำเสนอแมนทิสซาในรูปแบบที่ทำให้เป็นมาตรฐาน โมดูลัสของแมนทิสซาที่ทำให้เป็นมาตรฐานจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (1/S) £ |m| < 1 ซึ่งเลขหลักที่สำคัญที่สุดของแมนทิสซาในระบบเลขซารีไม่ควรเท่ากับศูนย์ ในกระบวนการคำนวณ การทำให้เป็นมาตรฐานทางด้านขวาอาจถูกละเมิดเมื่อ |m|< (1/S), или влево, когда |m| ³ 1. В первом случае мантисса сдвигается влево до появления в старшем разряде ближайшей единицы. При этом в освобождающиеся младшие разряды мантиссы записываются нули и проводится соответствующее уменьшение порядка числа. При нарушении нормализации мантиссы влево производится ее сдвиг вправо с соответствующим увеличением порядка числа. Младшие разряды мантиссы, выходящие при этом за пределы разрядной сетки, отбрасываются.
คอมพิวเตอร์ประมวลผลไม่เพียงแต่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อมูลตัวอักษรและตัวเลขต่างๆ ซึ่งประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร วากยสัมพันธ์ ทางคณิตศาสตร์ การควบคุมต่างๆ และอักขระพิเศษอื่นๆ ข้อมูลดังกล่าวจะแสดงในคอมพิวเตอร์ด้วยรหัสไบนารี่ (คำไบนารี่) ของความลึกบิตที่เหมาะสม
ระบบเลขฐานสอง
ตามที่ระบุไว้แล้ว คอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ใช้ระบบเลขฐานสองเพื่อแสดงและจัดเก็บข้อมูลต่างๆ รวมถึงเมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์และตรรกะ ในระบบเลขฐานสอง ฐานคือเลข 2 ในกรณีนี้ จะใช้ตัวเลขสองหลักในการเขียนตัวเลข: 0 และ 1
การแปลงตัวเลขจากระบบเลขฐานสิบเป็นระบบเลขฐานสองทำได้โดยการหารตัวเลขตามลำดับด้วย 2 จนกระทั่งผลหารของการหารมีค่าเท่ากับ 1 ตัวเลขในระบบเลขฐานสองจะเขียนเป็นเศษที่เหลือจากการหาร โดยเริ่มจาก ผลหารสุดท้ายจากขวาไปซ้าย:
8 10 = 1×2 3 + 0×2 2 + 0×2 1 + 0×2 0 ;
8 10 = 8 + 0 + 0 + 0.
การแปลงเลขเศษส่วนทศนิยมเป็นระบบไบนารี่ดำเนินการในสองขั้นตอน: ขั้นแรก แปลงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข (ดูด้านบน) จากนั้นจึงแปลงส่วนที่เป็นเศษส่วน เศษส่วนจะถูกแปลโดยการคูณเศษส่วนด้วยสองตามลำดับ เลขฐานสองเขียนเป็นส่วนทั้งหมดของตัวเลขที่ได้จากการคูณเฉพาะส่วนที่เป็นเศษส่วน โดยเริ่มจากด้านบนหลังจุดทศนิยม สิ่งนี้จะกำหนดความแม่นยำของนิพจน์ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 0.41 10 ในระบบทศนิยมจะถูกแปลงเป็นตัวเลข 0.011 2 ในระบบไบนารี่:
ตามกฎที่กล่าวถึง ตัวเลขสามารถแปลงเป็นระบบตัวเลขอื่นๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายได้ - เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก เลขฐานสอง ในทุกกรณี การคูณหรือหารตัวเลขที่แปลจะดำเนินการตามระบบตัวเลขใหม่
แบบฝึกหัด
1. แปลงเลขฐานสองต่อไปนี้เป็นรหัสทศนิยม:
ก) 0001; ข) 0101; ค) 1,000; ง) 1,011; จ) 1111; ฉ) 0111; ก) 10000000; ซ) 00010000; ผม) 00110011; เจ) 01100100; ล) 00011111; ม) 11111111.
2. แปลงเลขทศนิยมต่อไปนี้เป็นเลขฐานสอง:
ก) 23; ข) 39; ค) 55; ง) 48.
3. แปลงเลขทศนิยมเป็นรหัสไบนารี่: 204;
4. แปลงเลขฐานสองเป็นรหัสทศนิยม: 11101110
- ชีวประวัติสั้น ๆ ของ Ferdinand Foch
- Isaev I.F., Mishchenko A.I., Shiyanov E.N. การสอน - ไฟล์ n1.doc สลาสเทนิน วี.เอ. วิธีการทำงานด้านการศึกษา - ไฟล์ n1.doc Slastenin ในสถาบันการศึกษา m การสอน
- การบัญชีภาษีของสถาบันของรัฐ ขั้นตอนการคำนวณภาษีและการชำระล่วงหน้า
- การกลับเข้าทำงานตามคำสั่งของพนักงานตรวจแรงงาน