วิธีแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น “การแก้ปัญหาด้วยการเลือกสรร” คืออะไร และจะแก้ปัญหาให้แตกต่างออกไปได้หรือไม่
สมการไดโอแฟนไทน์
วิธีการแก้สมการไดโอแฟนไทน์
สมการที่มีการศึกษามากที่สุดคือสมการไดโอแฟนไทน์ขององศาที่หนึ่งและสอง ให้เราพิจารณาสมการของดีกรีแรกก่อน เนื่องจากการแก้สมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าหนึ่งจึงไม่น่าสนใจ เราจึงหันไปใช้สมการที่ไม่ทราบค่าสองค่า เราจะพิจารณาสองวิธีในการแก้สมการเหล่านี้
วิธีแรกในการแก้สมการดังกล่าวคืออัลกอริทึมแบบยุคลิด เป็นไปได้ที่จะหาตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนธรรมชาติ a และ b โดยไม่ต้องแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้ โดยใช้กระบวนการหารด้วยเศษ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องหารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า จากนั้นให้นำจำนวนที่น้อยกว่าไปหารด้วยส่วนที่เหลือของการหารแรก จากนั้นส่วนที่เหลือของการหารแรกด้วยส่วนที่เหลือของการหารที่สอง และดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อ จนกระทั่งเกิดการแบ่งแยกเกิดขึ้นไม่เหลือเศษ เศษที่เหลือที่ไม่ใช่ศูนย์สุดท้ายคือ gcd(a,b) ที่ต้องการ เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ ขอให้เราจินตนาการถึงกระบวนการที่อธิบายไว้ในรูปแบบของห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้: ถ้า a>b แล้ว
โดยที่ r1,….,rn เป็นเศษบวก ลดลงตามจำนวนที่เพิ่มขึ้น จากความเท่าเทียมกันอันแรก จะตามมาว่าตัวหารร่วมของตัวเลข a และ b หาร r1 และตัวหารร่วมของ b และ r1 หาร a ดังนั้น gcd (a,b) = gcd (r1,r2)=….= gcd (rn -1, rn) = GCD (rn,0)= rn ให้เรากลับไปที่ระบบ (1) อีกครั้ง จากความเท่าเทียมกันครั้งแรกโดยแสดงเศษ r1 ในรูปของ a และ b เราจะได้ r1 = a - bq0 เมื่อแทนมันลงในความเท่าเทียมกันที่สอง เราจะได้ r2=b(1+q0q1)-aq1 ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไป เราจะสามารถแสดงเศษที่เหลือทั้งหมดในรูปของ a และ b รวมถึง rn = Aa + Bb สุดท้ายด้วย ด้วยเหตุนี้ เราได้พิสูจน์ข้อเสนอต่อไปนี้: ถ้า d เป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนธรรมชาติ a และ b แล้วจะมีจำนวนเต็ม A และ B โดยที่ d = Aa + Bb โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ A และ B มีเครื่องหมายต่างกัน ถ้า GCD(a,b)=1 แล้ว Aa+Bb=1 วิธีค้นหาตัวเลข A และ B สามารถดูได้จากอัลกอริทึม Euclid
ตอนนี้เรามาดูการแก้สมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวกัน ดูเหมือนว่า:
มีสองกรณีที่เป็นไปได้: c หารด้วย d= gcd(a,b) หรือไม่ก็ได้ ในกรณีแรก คุณสามารถหารทั้งสองข้างด้วย d และลดปัญหาลงเป็นจำนวนเต็มโดยใช้สมการ a1x+b1y=c1 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ที่ a1=a/d และ b1=b/d เป็นโคไพรม์ ในกรณีที่สอง สมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม สำหรับจำนวนเต็ม x และ y ตัวเลข ax+by หารด้วย d ลงตัวได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถเท่ากับตัวเลข c ซึ่งหารด้วย d ไม่ลงตัว ดังนั้นเราจึงจำกัดตัวเองอยู่ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ในสมการ (2) เป็นโคไพรม์ได้ ตามข้อเสนอก่อนหน้านี้ มีจำนวนเต็ม x0 และ y0 โดยที่ ax0+by0=1 โดยที่คู่ (cx0,cy0) เป็นไปตามสมการ (2) เมื่อประกอบกัน สมการ (2) ก็จะได้รับความพึงพอใจด้วยเซตของคู่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด (x,y) ของจำนวนเต็ม ซึ่งหาได้จากสูตร
x=cx0+bt,y=cy0-ที่ (3)
โดยที่ t คือจำนวนเต็มใดๆ มันง่ายที่จะแสดงว่าสมการ ax+by=c ไม่มีคำตอบจำนวนเต็มอื่นๆ คำตอบที่เขียนอยู่ในรูป (3) เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการ (2) แทนที่จำนวนเต็มเฉพาะแทน t เราจะได้คำตอบเฉพาะของมัน ตัวอย่างเช่น ให้เราค้นหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการ 2x+5y=17 ที่เราพบไปแล้ว เมื่อใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดกับตัวเลข 2 และ 5 เราจะได้ 2*3-5=1 ซึ่งหมายความว่าคู่ cx0=3*17,cy0=-1*17 เป็นไปตามสมการ 2x+5y=17 ดังนั้น วิธีแก้ทั่วไปของสมการดั้งเดิมคือ x=51+5t, y=-17-2t โดยที่ t รับค่าจำนวนเต็มใดๆ แน่นอนว่าวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นลบนั้นสอดคล้องกับค่า t ที่ทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน
จากที่นี่เราพบว่า - 51 ?ที? - 17 - อสมการเหล่านี้พอใจกับตัวเลข -10, -9 52
คำตอบบางส่วนที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนเป็นคู่ (1,3), (6,1)
ลองใช้วิธีเดียวกันนี้ในการแก้ปัญหาเรื่องนกของจีนโบราณ
ปัญหา: คุณสามารถซื้อไก่ ไก่ และไก่ได้กี่ตัวด้วยเหรียญ 100 เหรียญ หากคุณต้องการซื้อนกทั้งหมด 100 ตัว ไก่ตัวหนึ่งราคา 5 เหรียญ ไก่ตัวหนึ่งราคา 4 เหรียญ และไก่ 4 ตัวราคา 1 เหรียญ
เพื่อแก้ปัญหานี้ ลองเขียนจำนวนไก่ที่ต้องการด้วย x ไก่ด้วย y และไก่ด้วย 4z (จากเงื่อนไขชัดเจนว่าจำนวนไก่ต้องหารด้วย 4 ลงตัว) มาสร้างระบบสมการกันดีกว่า:
ซึ่งต้องแก้เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ด้วยการคูณสมการแรกของระบบด้วย 4 และสมการที่สองด้วย (-- 1) แล้วบวกผลลัพธ์ เราจะได้สมการ -- x+15z=300 ด้วยคำตอบจำนวนเต็ม x= -- 300+ 15t, z = ที แทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสมการแรกเราจะได้ y = 400 -- 19t ซึ่งหมายความว่าคำตอบจำนวนเต็มของระบบมีรูปแบบ x = --300+15t, y = 400--19t, z = t เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหาที่ว่า
20?t?21 1/19 มาจากไหน เช่น t = 20 หรือ t = 21 ดังนั้น ด้วย 100 เหรียญ คุณสามารถซื้อไก่ 20 ตัวและไก่ 80 ตัว หรือไก่ 15 ตัว ไก่ 1 ตัว และไก่ 84 ตัว
วิธีที่สองในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ในระดับแรกนั้นไม่ได้มีความแตกต่างในสาระสำคัญจากที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้ามากนัก แต่มันเกี่ยวข้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่ง เรากำลังพูดถึงเศษส่วนต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง. เพื่อพิจารณาสิ่งเหล่านี้ เราจะหันไปใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดอีกครั้ง จากความเท่าเทียมกันครั้งแรกของระบบ (1) จะได้ว่าเศษส่วน a/b สามารถเขียนเป็นผลรวมของส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนแท้ได้: a/b=q0+r1/b แต่ r1/b=1/b และจากความเท่าเทียมกันอันดับสองของระบบเดียวกัน เราได้ b/r1=q1+r2/r1 นี่หมายถึง a/b=q0+1/q1+r2/r1 ต่อไปเราจะได้ a/b=q0+1/q1+1/q2+r3/r2 ลองทำขั้นตอนนี้ต่อไปจนกว่าเราจะถึงตัวส่วน qn ด้วยเหตุนี้ เราจะนำเสนอเศษส่วนร่วม a/b ในรูปแบบต่อไปนี้: a/b=q0+1/q1+1/q2+1/…1/qn ออยเลอร์เรียกว่าเศษส่วนประเภทนี้อย่างต่อเนื่อง ในเวลาเดียวกันก็มีอีกคำหนึ่งปรากฏในเยอรมนี - เศษส่วนต่อเนื่อง เศษส่วนเหล่านี้จึงคงชื่อไว้ทั้งสองชื่อ ตามตัวอย่าง ลองจินตนาการเศษส่วน 40/3t เป็นเศษส่วนลูกโซ่: 40/3t=1+9/3t=1/3t/9=1+1/3+4/9=1+1/3+1/ 9/4= 1+1/3+1/2+1/4
เศษส่วนต่อเนื่องมีคุณสมบัติที่สำคัญดังต่อไปนี้ หากเขียนจำนวนจริง a เป็นเศษส่วนต่อเนื่อง แล้วเศษส่วนที่เหมาะสม Pk/Qk จะให้การประมาณตัวเลข a ได้ดีที่สุดในบรรดาเศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวส่วนไม่เกิน Qk อยู่ในกระบวนการค้นหาการประมาณค่ารากที่สองที่ดีที่สุดซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Pietro Antonio Cataldi (1552-1626) เข้ามาหาเศษส่วนต่อเนื่องในปี 1623 ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการศึกษาของพวกเขา โดยสรุป กลับไปที่เศษส่วนต่อเนื่องและสังเกตข้อดีและข้อเสียของมันเมื่อเปรียบเทียบกับทศนิยม ความสะดวกอยู่ที่ว่าคุณสมบัติไม่เกี่ยวข้องกับระบบตัวเลขใดๆ ด้วยเหตุนี้ เศษส่วนต่อเนื่องจึงถูกนำมาใช้อย่างมีประสิทธิภาพในการศึกษาเชิงทฤษฎี แต่พวกเขายังไม่ได้รับการนำไปใช้จริงอย่างกว้างขวางเนื่องจากไม่มีกฎที่สะดวกสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีให้สำหรับเศษส่วนทศนิยม
ลองพิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์แล้วแก้มัน
1 แก้สมการ 3x+5y=7 ด้วยจำนวนเต็ม
x=7-5y/3=6-3y-2y+1/3=2-y+1-2y/3,
y=1-3k/2=1-2k-k/2=-k+1-k/2,
y=1-3(1-2t)/2=-1+3t,
x=7-5(-1+3t)/3=4-5t
(t-หมายเลขใดก็ได้)
2 แก้สมการ 6xІ+5yІ=74 เป็นจำนวนเต็ม
6xI-24=50-5yI หรือ 6(xI-4)=5(10-yI) โดยที่ xI-4=5u นั่นคือ 4+5u?0, คุณมาจากไหน?-4/5.
เช่นเดียวกัน:
10-yІ=6u เช่น 10-6u?0, คุณ?5/3.
จำนวนเต็ม u เป็นไปตามอสมการ
4/5?u?5/3 นั่นคือ. ยู=0 และ ยู=1
เมื่อ u=0 เราจะได้ 10=yІ โดยที่ y ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งไม่ถูกต้อง ให้ u=1 จากนั้น xI=9, yI=4
คำตอบ: (x1=3, (x2=3, (x3=-3, (x4=-3,
(y1=2, (y2=-2, (y3=2, (y4=-2)
3 แก้สมการ xі+yі-3xy=2 เป็นจำนวนเต็ม
ถ้า x และ y เป็นเลขคี่ทั้งคู่ หรืออันใดอันหนึ่งเป็นเลขคี่ ทางซ้ายของสมการจะเป็นเลขคี่ และทางขวาเป็นเลขคู่ ถ้า x=2m และ y=2n ดังนั้น 8mі+8nі-12mn=2 นั่นคือ 2(2mі+2nі-3mn)=1 ซึ่งเป็นไปไม่ได้สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ใดๆ
4 พิสูจน์ว่าสมการ 2xІ+5yІ=7 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
การพิสูจน์.
สมการแสดงว่า y ต้องเป็นเลขคี่ เมื่อใส่ y=2z+1 เราจะได้ 2xI-20zI-20z-5=7 หรือ xI-10zI-10z=6 ซึ่งหมายความว่า x เป็นเลขคู่ ลองใส่ x=2u กัน จากนั้น 2uІ-5z(z=1)=3 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก z(z+1) เป็นเลขคู่
5 พิสูจน์ว่าสำหรับค่าจำนวนเต็มบวกใดๆ ของ a สมการ xI+yI=ai สามารถแก้ได้เป็นจำนวนเต็ม
การพิสูจน์.
ลองใส่ x+y=aI, x-y=a โดยที่ x=a(a+1)/2 และ y=a(a-1)/2 เนื่องจากสำหรับค่าจำนวนเต็มใดๆ ของ a ตัวเศษของเศษส่วนแต่ละเศษส่วนจะมีผลคูณของจำนวนคู่และจำนวนคี่ x และ y ที่กำหนดด้วยวิธีนี้จึงแทนจำนวนเต็มและเป็นไปตามสมการดั้งเดิม
6 แก้สมการ (x+1)(xІ+10=yі) เป็นจำนวนเต็ม
เราจะเห็นได้ทันทีว่าคู่ของตัวเลข (0;1) และ (-1;0) เป็นคำตอบของสมการ ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นเพราะว่า
ซี<(x+1)(xІ+1)<(x+1)(x+1)І=(x+1) і, то (x+1)(xІ+1)?yі
ไม่ใช่สำหรับจำนวนเต็ม y ใดๆ (อยู่ระหว่างลูกบาศก์ของจำนวนเต็มต่อเนื่องกัน)
10 และอีกวิธีในการแก้สมการกำลังสอง
1. วิธีการ: แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ 2. วิธีการ: วิธีการสกัดแบบเต็มกำลังสอง 3. วิธีการ: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร 4. วิธีการ: ผลเฉลยกราฟิกของสมการกำลังสอง...
10 วิธีในการแก้สมการกำลังสอง
สมการกำลังสองเป็นรากฐานที่อาคารพีชคณิตอันสง่างามตั้งอยู่ สมการกำลังสองถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม...
สมการไดโอแฟนไทน์
ปัญหาของ "เลขคณิต" ของไดโอแฟนไทน์ได้รับการแก้ไขด้วยความช่วยเหลือของสมการ ปัญหาของการแก้สมการเป็นของพีชคณิตมากกว่าเลขคณิต แล้วทำไมเราถึงบอกว่าสมการเหล่านี้เป็นเลขคณิต? เรื่องคือ...
สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น
ไดโอแฟนตอสนำเสนอหนึ่งในปริศนาที่สนุกสนานที่สุดในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ เราไม่รู้ว่าไดโอแฟนทัสคือใคร อายุปีที่แน่นอนในชีวิตของเขา เราไม่รู้ว่าบรรพบุรุษของเขาที่จะทำงานในสายงานเดียวกันกับเขา...
ปัญหาเชิงตรรกะและวิธีการแก้ไข
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบติดตามเรดาร์
มีปัญหาในการผลิตมาโดยตลอด สาระสำคัญคือการถ่ายโอนระบบจากสถานะเฟสเริ่มต้นไปยังสถานะสุดท้ายที่กำหนดไว้ล่วงหน้า นอกจากนี้ ความถูกต้องของการเปลี่ยนแปลงควรจะสูงสุด...
สมการทางคณิตศาสตร์และการนำไปใช้ในการแก้ปัญหา
สมการที่ไม่ทราบค่าหนึ่งคือสัญกรณ์ในรูปแบบ A (x) = B (x) - นิพจน์สำหรับค่า x ที่ไม่รู้จัก นอกจากตัวเลข สัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ และสัญลักษณ์ฟังก์ชันแล้ว สำนวนเหล่านี้ยังอาจมีตัวอักษรอื่นๆ ที่แสดงถึงตัวแปร...
ลักษณะระเบียบวิธีการสอนการแก้ปัญหาคำศัพท์ให้กับนักเรียนชั้นประถมศึกษา
การแก้ปัญหาหมายถึงการดำเนินการและการดำเนินการตามลำดับที่ถูกต้องตามหลักตรรกะด้วยจำนวน ปริมาณ และความสัมพันธ์ที่มีอยู่ในปัญหา ไม่ว่าจะโดยชัดแจ้งหรือโดยอ้อม เพื่อตอบสนองความต้องการของปัญหา (ตอบคำถาม)...
วิธีเรขาคณิตจำนวนสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์
ทฤษฎีบทสี่กำลังสองของลากรองจ์ ทฤษฎีบท: จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเต็มกำลังสองสี่ตัว (*) เห็นได้ชัดว่าเพียงพอที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของการแทนค่า (*) เฉพาะสำหรับจำนวนที่ไม่มีกำลังสองเท่านั้น...
วิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้มาตรฐาน
หนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดในการสอบแข่งขันทางคณิตศาสตร์คือปัญหาที่มีวิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการพิจารณาสมการเชิงฟังก์ชันของรูปแบบหรือที่ไหน --- ฟังก์ชันบางอย่างและ...
วิธีการแก้สมการและอสมการที่ไม่ได้มาตรฐาน
มีวิธีการอื่นๆ ที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้สมการและอสมการ นอกเหนือจากการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน บทนี้กล่าวถึงวิธีการเพิ่มเติมในการแก้ปัญหา...
สมการที่มีการศึกษามากที่สุดคือสมการไดโอแฟนไทน์ขององศาที่หนึ่งและสอง ให้เราพิจารณาสมการของดีกรีแรกก่อน เนื่องจากการแก้สมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าหนึ่งจึงไม่น่าสนใจ เราจึงหันไปใช้สมการที่ไม่ทราบค่าสองค่า เราจะพิจารณาสองวิธีในการแก้สมการเหล่านี้
วิธีแรกในการแก้สมการดังกล่าวคืออัลกอริทึมแบบยุคลิด เป็นไปได้ที่จะหาตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนธรรมชาติ a และ b โดยไม่ต้องแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้ โดยใช้กระบวนการหารด้วยเศษ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องหารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า จากนั้นให้นำจำนวนที่น้อยกว่าไปหารด้วยส่วนที่เหลือของการหารแรก จากนั้นส่วนที่เหลือของการหารแรกด้วยส่วนที่เหลือของการหารที่สอง และดำเนินการตามขั้นตอนนี้ต่อ จนกระทั่งเกิดการแบ่งแยกเกิดขึ้นไม่เหลือเศษ เศษที่เหลือที่ไม่ใช่ศูนย์สุดท้ายคือ gcd(a,b) ที่ต้องการ เพื่อพิสูจน์ข้อความนี้ ขอให้เราจินตนาการถึงกระบวนการที่อธิบายไว้ในรูปแบบของห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้: ถ้า a>b แล้ว
โดยที่ r1,….,rn เป็นเศษบวก ลดลงตามจำนวนที่เพิ่มขึ้น จากความเท่าเทียมกันอันแรก จะตามมาว่าตัวหารร่วมของตัวเลข a และ b หาร r1 และตัวหารร่วมของ b และ r1 หาร a ดังนั้น gcd (a,b) = gcd (r1,r2)=….= gcd (rn -1, rn) = GCD (rn,0)= rn ให้เรากลับไปที่ระบบ (1) อีกครั้ง จากความเท่าเทียมกันครั้งแรกโดยแสดงเศษ r1 ในรูปของ a และ b เราจะได้ r1 = a - bq0 เมื่อแทนมันลงในความเท่าเทียมกันที่สอง เราจะได้ r2=b(1+q0q1)-aq1 ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไป เราจะสามารถแสดงเศษที่เหลือทั้งหมดในรูปของ a และ b รวมถึง rn = Aa + Bb สุดท้ายด้วย ด้วยเหตุนี้ เราได้พิสูจน์ข้อเสนอต่อไปนี้: ถ้า d เป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนธรรมชาติ a และ b แล้วจะมีจำนวนเต็ม A และ B โดยที่ d = Aa + Bb โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์ A และ B มีเครื่องหมายต่างกัน ถ้า GCD(a,b)=1 แล้ว Aa+Bb=1 วิธีค้นหาตัวเลข A และ B สามารถดูได้จากอัลกอริทึม Euclid
ตอนนี้เรามาดูการแก้สมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวกัน ดูเหมือนว่า:
มีสองกรณีที่เป็นไปได้: c หารด้วย d= gcd(a,b) หรือไม่ก็ได้ ในกรณีแรก คุณสามารถหารทั้งสองข้างด้วย d และลดปัญหาลงเป็นจำนวนเต็มโดยใช้สมการ a1x+b1y=c1 ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ที่ a1=a/d และ b1=b/d เป็นโคไพรม์ ในกรณีที่สอง สมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม สำหรับจำนวนเต็ม x และ y ตัวเลข ax+by หารด้วย d ลงตัวได้ ดังนั้นจึงไม่สามารถเท่ากับตัวเลข c ซึ่งหารด้วย d ไม่ลงตัว ดังนั้นเราจึงจำกัดตัวเองอยู่ในกรณีที่สัมประสิทธิ์ในสมการ (2) เป็นโคไพรม์ได้ ตามข้อเสนอก่อนหน้านี้ มีจำนวนเต็ม x0 และ y0 โดยที่ ax0+by0=1 โดยที่คู่ (cx0,cy0) เป็นไปตามสมการ (2) เมื่อประกอบกัน สมการ (2) ก็จะได้รับความพึงพอใจด้วยเซตของคู่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด (x,y) ของจำนวนเต็ม ซึ่งหาได้จากสูตร
x=cx0+bt,y=cy0-ที่ (3)
โดยที่ t คือจำนวนเต็มใดๆ มันง่ายที่จะแสดงว่าสมการ ax+by=c ไม่มีคำตอบจำนวนเต็มอื่นๆ คำตอบที่เขียนอยู่ในรูป (3) เรียกว่าคำตอบทั่วไปของสมการ (2) แทนที่จำนวนเต็มเฉพาะแทน t เราจะได้คำตอบเฉพาะของมัน ตัวอย่างเช่น ให้เราค้นหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการ 2x+5y=17 ที่เราพบไปแล้ว เมื่อใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดกับตัวเลข 2 และ 5 เราจะได้ 2*3-5=1 ซึ่งหมายความว่าคู่ cx0=3*17,cy0=-1*17 เป็นไปตามสมการ 2x+5y=17 ดังนั้น วิธีแก้ทั่วไปของสมการดั้งเดิมคือ x=51+5t, y=-17-2t โดยที่ t รับค่าจำนวนเต็มใดๆ แน่นอนว่าวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นลบนั้นสอดคล้องกับค่า t ที่ทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน
จากที่นี่เราพบว่า - 51 ?ที? - 17 - อสมการเหล่านี้พอใจกับตัวเลข -10, -9 52
คำตอบบางส่วนที่สอดคล้องกันจะถูกเขียนเป็นคู่ (1,3), (6,1)
ลองใช้วิธีเดียวกันนี้ในการแก้ปัญหาเรื่องนกของจีนโบราณ
ปัญหา: คุณสามารถซื้อไก่ ไก่ และไก่ได้กี่ตัวด้วยเหรียญ 100 เหรียญ หากคุณต้องการซื้อนกทั้งหมด 100 ตัว ไก่ตัวหนึ่งราคา 5 เหรียญ ไก่ตัวหนึ่งราคา 4 เหรียญ และไก่ 4 ตัวราคา 1 เหรียญ
เพื่อแก้ปัญหานี้ ลองเขียนจำนวนไก่ที่ต้องการด้วย x ไก่ด้วย y และไก่ด้วย 4z (จากเงื่อนไขชัดเจนว่าจำนวนไก่ต้องหารด้วย 4 ลงตัว) มาสร้างระบบสมการกันดีกว่า:
ซึ่งต้องแก้เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ เมื่อคูณสมการแรกของระบบด้วย 4 และสมการที่สองด้วย (-- 1) แล้วบวกผลลัพธ์ เราก็จะได้สมการ -- x+15z= 300 พร้อมคำตอบจำนวนเต็ม x= -- 300+ 15t, z = เสื้อ แทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสมการแรกเราจะได้ y = 400 -- 19t ซึ่งหมายความว่าคำตอบจำนวนเต็มของระบบมีรูปแบบ x= --300+15t, y = 400--19t, z = เสื้อ เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหาที่ว่า
20?t?21 1/19 มาจากไหน เช่น t = 20 หรือ t = 21 ดังนั้น ด้วย 100 เหรียญ คุณสามารถซื้อไก่ 20 ตัวและไก่ 80 ตัว หรือไก่ 15 ตัว ไก่ 1 ตัว และไก่ 84 ตัว
วิธีที่สองในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ในระดับแรกนั้นไม่ได้มีความแตกต่างในสาระสำคัญจากที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้ามากนัก แต่มันเกี่ยวข้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่ง เรากำลังพูดถึงเศษส่วนต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง. เพื่อพิจารณาสิ่งเหล่านี้ เราจะหันไปใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดอีกครั้ง จากความเท่าเทียมกันครั้งแรกของระบบ (1) จะได้ว่าเศษส่วน a/b สามารถเขียนเป็นผลรวมของส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนแท้ได้: a/b=q0+r1/b แต่ r1/b=1/b และจากความเท่าเทียมกันอันดับสองของระบบเดียวกัน เราได้ b/r1=q1+r2/r1 นี่หมายถึง a/b=q0+1/q1+r2/r1 ต่อไปเราจะได้ a/b=q0+1/q1+1/q2+r3/r2 ลองทำขั้นตอนนี้ต่อไปจนกว่าเราจะถึงตัวส่วน qn ด้วยเหตุนี้ เราจะนำเสนอเศษส่วนร่วม a/b ในรูปแบบต่อไปนี้: a/b=q0+1/q1+1/q2+1/…1/qn ออยเลอร์เรียกว่าเศษส่วนประเภทนี้อย่างต่อเนื่อง ในเวลาเดียวกันก็มีอีกคำหนึ่งปรากฏในเยอรมนี - เศษส่วนต่อเนื่อง เศษส่วนเหล่านี้จึงคงชื่อไว้ทั้งสองชื่อ ตามตัวอย่าง ลองจินตนาการเศษส่วน 40/3t เป็นเศษส่วนลูกโซ่: 40/3t=1+9/3t=1/3t/9=1+1/3+4/9=1+1/3+1/ 9/4= 1+1/3+1/2+1/4
เศษส่วนต่อเนื่องมีคุณสมบัติที่สำคัญดังต่อไปนี้ หากเขียนจำนวนจริง a เป็นเศษส่วนต่อเนื่อง แล้วเศษส่วนที่เหมาะสม Pk/Qk จะให้การประมาณตัวเลข a ได้ดีที่สุดในบรรดาเศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวส่วนไม่เกิน Qk อยู่ในกระบวนการค้นหาการประมาณค่ารากที่สองที่ดีที่สุดซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Pietro Antonio Cataldi (1552-1626) เข้ามาหาเศษส่วนต่อเนื่องในปี 1623 ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการศึกษาของพวกเขา โดยสรุป กลับไปที่เศษส่วนต่อเนื่องและสังเกตข้อดีและข้อเสียของมันเมื่อเปรียบเทียบกับทศนิยม ความสะดวกอยู่ที่ว่าคุณสมบัติไม่เกี่ยวข้องกับระบบตัวเลขใดๆ ด้วยเหตุนี้ เศษส่วนต่อเนื่องจึงถูกนำมาใช้อย่างมีประสิทธิภาพในการศึกษาเชิงทฤษฎี แต่พวกเขายังไม่ได้รับการนำไปใช้จริงอย่างกว้างขวางเนื่องจากไม่มีกฎที่สะดวกสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีให้สำหรับเศษส่วนทศนิยม
ลองพิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์แล้วแก้มัน
1 แก้สมการ 3x+5y=7 ด้วยจำนวนเต็ม
x=7-5y/3=6-3y-2y+1/3=2-y+1-2y/3,
y=1-3k/2=1-2k-k/2=-k+1-k/2,
y=1-3(1-2t)/2=-1+3t,
x=7-5(-1+3t)/3=4-5t
(t-หมายเลขใดก็ได้)
2 แก้สมการ 6xІ+5yІ=74 เป็นจำนวนเต็ม
6xI-24=50-5yI หรือ 6(xI-4)=5(10-yI) โดยที่ xI-4=5u นั่นคือ 4+5u?0, คุณมาจากไหน?-4/5.
เช่นเดียวกัน:
10-yІ=6u เช่น 10-6u?0, คุณ?5/3.
จำนวนเต็ม u เป็นไปตามอสมการ
4/5?u?5/3 นั่นคือ. ยู=0 และ ยู=1
เมื่อ u=0 เราจะได้ 10=yІ โดยที่ y ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งไม่ถูกต้อง ให้ u=1 จากนั้น xI=9, yI=4
คำตอบ: (x1=3, (x2=3, (x3=-3, (x4=-3,
(y1=2, (y2=-2, (y3=2, (y4=-2)
3 แก้สมการ xі+yі-3xy=2 เป็นจำนวนเต็ม
ถ้า x และ y เป็นเลขคี่ทั้งคู่ หรืออันใดอันหนึ่งเป็นเลขคี่ ทางซ้ายของสมการจะเป็นเลขคี่ และทางขวาเป็นเลขคู่ ถ้า x=2m และ y=2n ดังนั้น 8mі+8nі-12mn=2 นั่นคือ 2(2mі+2nі-3mn)=1 ซึ่งเป็นไปไม่ได้สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ใดๆ
4 พิสูจน์ว่าสมการ 2xІ+5yІ=7 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
การพิสูจน์.
สมการแสดงว่า y ต้องเป็นเลขคี่ เมื่อใส่ y=2z+1 เราจะได้ 2xI-20zI-20z-5=7 หรือ xI-10zI-10z=6 ซึ่งหมายความว่า x เป็นเลขคู่ ลองใส่ x=2u กัน จากนั้น 2uІ-5z(z=1)=3 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก z(z+1) เป็นเลขคู่
5 พิสูจน์ว่าสำหรับค่าจำนวนเต็มบวกใดๆ ของ a สมการ xI+yI=ai สามารถแก้ได้เป็นจำนวนเต็ม
การพิสูจน์.
ลองใส่ x+y=aI, x-y=a โดยที่ x=a(a+1)/2 และ y=a(a-1)/2 เนื่องจากสำหรับค่าจำนวนเต็มใดๆ ของ a ตัวเศษของเศษส่วนแต่ละเศษส่วนจะมีผลคูณของจำนวนคู่และจำนวนคี่ x และ y ที่กำหนดด้วยวิธีนี้จึงแทนจำนวนเต็มและเป็นไปตามสมการดั้งเดิม
6 แก้สมการ (x+1)(xІ+10=yі) เป็นจำนวนเต็ม
เราจะเห็นได้ทันทีว่าคู่ของตัวเลข (0;1) และ (-1;0) เป็นคำตอบของสมการ ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นเพราะว่า
ซี<(x+1)(xІ+1)<(x+1)(x+1)І=(x+1) і, то (x+1)(xІ+1)?yі
ไม่ใช่สำหรับจำนวนเต็ม y ใดๆ (อยู่ระหว่างลูกบาศก์ของจำนวนเต็มต่อเนื่องกัน)
อสมการพีชคณิตหรือระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะ ซึ่งหาคำตอบเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็ม ตามกฎแล้ว จำนวนสิ่งที่ไม่ทราบในสมการไดโอแฟนไทน์จะมีมากกว่า ดังนั้นจึงเรียกว่าอสมการที่ไม่ได้กำหนด ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แนวคิดข้างต้นถูกนำไปใช้กับสมการพีชคณิต ซึ่งมีการค้นหาคำตอบในจำนวนเต็มพีชคณิตของส่วนขยายบางส่วนของสนามของตัวแปร Q-rational สนามของตัวแปร p-adic เป็นต้น
ต้นกำเนิดของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้
การศึกษาสมการของไดโอแฟนตัสอยู่บนขอบเขตระหว่างทฤษฎีจำนวนกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต การค้นหาคำตอบในตัวแปรจำนวนเต็มถือเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดปัญหาหนึ่ง ในตอนต้นของสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช ชาวบาบิโลนโบราณสามารถแก้ระบบสมการโดยไม่ทราบค่าสองค่าได้ สาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้เจริญรุ่งเรืองที่สุดในสมัยกรีกโบราณ เลขคณิตของไดโอแฟนตัส (ประมาณคริสต์ศตวรรษที่ 3) เป็นแหล่งสำคัญที่สำคัญซึ่งประกอบด้วยสมการประเภทต่างๆ และระบบต่างๆ
ในหนังสือเล่มนี้ ไดโอแฟนทัสได้เล็งเห็นถึงวิธีการหลายประการในการศึกษาความไม่เท่าเทียมกันของระดับที่ 2 และ 3 ซึ่งได้รับการพัฒนาอย่างสมบูรณ์ในศตวรรษที่ 19 การสร้างทฤษฎีจำนวนตรรกยะโดยนักวิจัยชาวกรีกโบราณผู้นี้นำไปสู่การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาเชิงตรรกะสำหรับระบบไม่แน่นอน ซึ่งมีการติดตามอย่างเป็นระบบในหนังสือของเขา แม้ว่างานของเขาจะมีคำตอบสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ที่เฉพาะเจาะจง แต่ก็มีเหตุผลที่เชื่อได้ว่าเขาก็คุ้นเคยกับวิธีการทั่วไปหลายวิธีเช่นกัน
การศึกษาความไม่เท่าเทียมเหล่านี้มักจะเกี่ยวข้องกับปัญหาร้ายแรง เนื่องจากพวกมันมีพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม F (x,y1,…, yn) จากข้อมูลนี้ สรุปได้ว่าไม่มีอัลกอริธึมเดียวที่เป็นไปได้สำหรับ x ใดๆ ที่กำหนด เพื่อพิจารณาว่าสมการ F (x, y 1 ,…., y n) เป็นไปตามสมการหรือไม่ สถานการณ์สามารถแก้ไขได้สำหรับ y 1, ..., y n ตัวอย่างของพหุนามดังกล่าวสามารถเขียนลงไปได้
ความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุด
ax + by = 1 โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มและเป็นจำนวนเฉพาะ มีการดำเนินการจำนวนมาก (หาก x 0, y 0 ผลลัพธ์จะถูกสร้างขึ้น จากนั้นตัวแปรคู่หนึ่ง x = x 0 + bn และ y = y 0 -an โดยที่ n เป็นค่าใดก็ได้ จะถือว่าเป็นการเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกันด้วย) อีกตัวอย่างหนึ่งของสมการไดโอแฟนไทน์คือ x 2 + y 2 = z 2 ผลเฉลยอินทิกรัลเชิงบวกของอสมการนี้คือความยาวของด้านเล็ก x, y และสามเหลี่ยมมุมฉาก รวมถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก z ที่มีขนาดด้านเป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขพีทาโกรัส แฝดสามทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอย่างง่ายที่กล่าวถึงข้างต้นได้มาจากสูตร x=m 2 - n 2, y = 2mn, z = m 2 + n 2 โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มและจำนวนเฉพาะ (m>n>0 ).
ไดโอแฟนทัสในวิชาเลขคณิตของเขา ค้นหาคำตอบที่เป็นเหตุเป็นผล (ไม่จำเป็นต้องเป็นอินทิกรัล) สำหรับอสมการประเภทพิเศษของเขา ทฤษฎีทั่วไปสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ในระดับที่ 1 ได้รับการพัฒนาโดย C. G. Bachet ในศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ศึกษาความไม่เท่าเทียมที่คล้ายกันของประเภท ax 2 +bxy + cy 2 + dx +ey +f = 0 เป็นหลัก โดยที่ a, b, c, d, e และ f เป็นค่าทั่วไป ต่างกัน โดยมีสิ่งไม่รู้ระดับที่สองอยู่สองตัว ลากรองจ์ใช้เศษส่วนต่อเนื่องในการวิจัยของเขา เกาส์ได้พัฒนาทฤษฎีทั่วไปสำหรับรูปกำลังสองที่รองรับการแก้โจทย์บางประเภท
ในการศึกษาความไม่เท่าเทียมระดับ 2 ความก้าวหน้าที่สำคัญเกิดขึ้นได้เฉพาะในศตวรรษที่ 20 เท่านั้น A. Thue กำหนดว่าสมการไดโอแฟนไทน์ a 0 xn + a 1 xn-1 y +…+a n y n =c โดยที่ n≥3, a 0 ,…,a n,c เป็นจำนวนเต็ม และ 0 t n + … + a n ไม่สามารถมีคำตอบจำนวนเต็มจำนวนอนันต์ได้ อย่างไรก็ตามวิธีการของ Thue ยังไม่ได้รับการพัฒนาอย่างเหมาะสม A. Baker ได้สร้างทฤษฎีบทที่มีประสิทธิผลซึ่งให้ค่าประมาณสำหรับการดำเนินการของสมการประเภทนี้ B. N. Delaunay เสนอวิธีการวิจัยอีกวิธีหนึ่งที่สามารถใช้ได้กับความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ในระดับที่แคบกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปแบบ ax 3 + y 3 = 1 สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีนี้
สมการไดโอแฟนไทน์: วิธีการแก้ปัญหา
ทฤษฎีของไดโอแฟนตัสมีหลายทิศทาง ดังนั้น ปัญหาที่รู้จักกันดีในระบบนี้คือการคาดเดาว่าสมการไดโอแฟนไทน์ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ซับซ้อน x n + y n = z n ถ้า n ≥ 3 (คำถามของแฟร์มาต์) การศึกษาการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกันของจำนวนเต็มเป็นลักษณะทั่วไปตามธรรมชาติของปัญหาแฝดพีทาโกรัส ออยเลอร์ได้คำตอบเชิงบวกสำหรับปัญหาของแฟร์มาต์สำหรับ n = 4 โดยอาศัยผลลัพธ์นี้ มันเกี่ยวข้องกับการพิสูจน์จำนวนเต็มที่หายไป การศึกษาสมการที่ไม่ใช่ศูนย์ ถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะคี่
การวิจัยเกี่ยวกับการตัดสินใจยังไม่เสร็จสิ้น ความยากลำบากในการดำเนินการนั้นเกิดจากการที่การแยกตัวประกอบอย่างง่ายในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตนั้นไม่ซ้ำกัน ทฤษฎีตัวหารในระบบนี้สำหรับเลขชี้กำลังเฉพาะจำนวน n หลายคลาส ทำให้สามารถยืนยันความถูกต้องของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้ ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการและวิธีการที่มีอยู่ สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัวจึงถูกดำเนินการ
ประเภทและประเภทของงานที่อธิบายไว้
เลขคณิตของวงแหวนจำนวนเต็มพีชคณิตยังใช้ในปัญหาและการแก้โจทย์อื่นๆ ของสมการไดโอแฟนไทน์อีกด้วย ตัวอย่างเช่น วิธีการดังกล่าวถูกนำไปใช้เมื่อตอบสนองอสมการของรูปแบบ N(a 1 x 1 +…+ a n x n) = m โดยที่ N(a) คือบรรทัดฐานของ a และ x 1 , …, x n พบตัวแปรตรรกศาสตร์อินทิกรัล . คลาสนี้ประกอบด้วยสมการของเพลล์ x 2- dy 2 = 1
ค่า a 1, ..., a n ที่ปรากฏ สมการเหล่านี้แบ่งออกเป็นสองประเภท ประเภทแรก - ที่เรียกว่ารูปแบบที่สมบูรณ์ - รวมสมการที่ในหมู่ a มี m ตัวเลขอิสระเชิงเส้นเหนือฟิลด์ของตัวแปรตรรกยะ Q โดยที่ m = ซึ่งมีระดับของเลขชี้กำลังพีชคณิต Q (a1,.. ., a n) มากกว่า Q สปีชีส์ที่ไม่สมบูรณ์คือสปีชีส์ที่จำนวนสูงสุดของ a i น้อยกว่า m
รูปแบบยาวจะง่ายกว่า การค้นคว้าเสร็จสมบูรณ์ และสามารถอธิบายวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดได้ ประเภทที่สอง - สายพันธุ์ที่ไม่สมบูรณ์ - มีความซับซ้อนมากขึ้นและการพัฒนาทฤษฎีดังกล่าวยังไม่เสร็จสมบูรณ์ สมการดังกล่าวได้รับการศึกษาโดยใช้การประมาณไดโอแฟนไทน์ ซึ่งรวมถึงอสมการ F(x,y)=C โดยที่ F (x,y) คือพหุนามที่มีระดับ n≥3 ซึ่งลดไม่ได้และเป็นเนื้อเดียวกัน ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่า y i → ∞ ดังนั้น หาก y มีขนาดใหญ่พอ อสมการก็จะขัดแย้งกับทฤษฎีบทของ Thue, Siegel และ Roth ซึ่งตามมาว่า F(x,y)=C โดยที่ F เป็นรูปแบบหนึ่งของระดับที่สามหรือสูงกว่า ไม่สามารถลดทอนได้ มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน
ตัวอย่างนี้ถือเป็นคลาสที่ค่อนข้างแคบในบรรดาทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ถึงแม้จะเรียบง่าย x 3 + y 3 + z 3 = N รวมถึง x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = N จะไม่รวมอยู่ในคลาสนี้ การศึกษาการแก้ปัญหาเป็นสาขาวิชาหนึ่งของสมการไดโอแฟนไทน์ที่มีการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วน โดยพื้นฐานคือการแทนตัวเลขในรูปแบบกำลังสอง ลากรองจ์สร้างทฤษฎีบทที่ระบุว่าความพึงพอใจมีอยู่สำหรับ N ตามธรรมชาติทั้งหมด จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองสามรูปได้ (ทฤษฎีบทของเกาส์) แต่จะต้องไม่อยู่ในรูปแบบ 4 a (8K-1) โดยที่ a และ k เป็นตัวบ่งชี้ทั้งหมดที่ไม่เป็นลบ
ผลเฉลยเชิงตรรกยะหรือปริพันธ์ของระบบสมการไดโอแฟนไทน์ประเภท F (x 1, ..., x n) = a โดยที่ F (x 1, ..., x n) เป็นรูปแบบกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น ตามทฤษฎีบทมินโคว์สกี้-ฮาสเซอ อสมการ ∑a ij x i x j = b โดยที่ a ij และ b เป็นตรรกยะ มีวิธีแก้แบบอินทิกรัลในจำนวนจริงและจำนวน p-adic สำหรับไพรม์ p ทุกตัวก็ต่อเมื่อแก้ได้ในโครงสร้างนี้เท่านั้น
เนื่องจากความยากลำบากโดยธรรมชาติ การศึกษาตัวเลขที่มีรูปแบบตามอำเภอใจในระดับที่สามขึ้นไปจึงได้รับการศึกษาในระดับที่น้อยกว่า วิธีการหลักในการดำเนินการคือวิธีการบวกตรีโกณมิติ ในกรณีนี้ จำนวนคำตอบของสมการจะถูกเขียนไว้อย่างชัดเจนในรูปของอินทิกรัลฟูริเยร์ หลังจากนั้นจะใช้วิธีล้อมรอบเพื่อแสดงจำนวนการปฏิบัติตามความไม่เท่าเทียมกันของความสอดคล้องที่สอดคล้องกัน วิธีการหาผลรวมตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับคุณลักษณะพีชคณิตของอสมการ มีวิธีการเบื้องต้นมากมายในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น
การวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์
สาขาวิชาคณิตศาสตร์ หัวข้อหนึ่งคือการศึกษาการแก้ปริพันธ์และเหตุผลของระบบสมการพีชคณิตโดยใช้วิธีเรขาคณิตจากสาขาเดียวกัน ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 การเกิดขึ้นของทฤษฎีจำนวนนี้นำไปสู่การศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์จากสาขาใดก็ได้ที่มีค่าสัมประสิทธิ์และมีการพิจารณาวิธีแก้ปัญหาในนั้นหรือในวงแหวนของมัน ระบบฟังก์ชันพีชคณิตที่พัฒนาควบคู่ไปกับตัวเลข การเปรียบเทียบพื้นฐานระหว่างทั้งสอง ซึ่งเน้นโดย D. Hilbert และโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดย L. Kronecker นำไปสู่การสร้างแนวคิดทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่สม่ำเสมอ ซึ่งมักเรียกว่าระดับโลก
สิ่งนี้จะสังเกตเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษหากฟังก์ชันพีชคณิตที่กำลังศึกษาในสนามค่าคงที่อันจำกัดเป็นตัวแปรตัวหนึ่ง แนวคิดต่างๆ เช่น ทฤษฎีสนามคลาส ตัวหาร และการแตกแขนงและผลลัพธ์ เป็นตัวอย่างที่ดีของแนวคิดข้างต้น มุมมองนี้ได้รับการยอมรับในระบบความไม่เท่าเทียมกันของไดโอแฟนไทน์ในเวลาต่อมา และการวิจัยอย่างเป็นระบบไม่เพียงแต่กับตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าสัมประสิทธิ์ซึ่งเป็นฟังก์ชันด้วย เริ่มต้นในปี 1950 เท่านั้น ปัจจัยชี้ขาดประการหนึ่งในแนวทางนี้คือการพัฒนาเรขาคณิตเชิงพีชคณิต การศึกษาเขตข้อมูลจำนวนและฟังก์ชันไปพร้อมๆ กัน ซึ่งเกิดขึ้นเป็นสองประเด็นที่สำคัญเท่าเทียมกันในวิชาเดียวกัน ไม่เพียงแต่ให้ผลลัพธ์ที่สวยงามและน่าเชื่อเท่านั้น แต่ยังนำไปสู่การปฏิสนธิข้ามหัวข้อทั้งสองอีกด้วย
ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต แนวคิดเรื่องความหลากหลายจะถูกแทนที่ด้วยชุดของอสมการที่ไม่แปรเปลี่ยนในสนาม K ที่กำหนด และคำตอบจะถูกแทนที่ด้วยคะแนนตรรกยะที่มีค่าเป็น K หรือส่วนขยายอันจำกัดของมัน ตามนั้น เราสามารถพูดได้ว่างานพื้นฐานของเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์คือการศึกษาจุดตรรกยะของเซตพีชคณิต X(K) โดยที่ X คือตัวเลขที่แน่นอนในสนาม K การคำนวณจำนวนเต็มมีความหมายทางเรขาคณิตในสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น
การศึกษาความไม่เท่าเทียมกันและทางเลือกในการดำเนินการ
เมื่อศึกษาประเด็นเหตุผล (หรืออินทิกรัล) ของพันธุ์พีชคณิต ปัญหาแรกที่เกิดขึ้นคือการมีอยู่ของพวกมัน ปัญหาที่สิบของฮิลเบิร์ตถูกกำหนดให้เป็นปัญหาในการหาวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหานี้ ในกระบวนการสร้างคำจำกัดความที่แม่นยำของอัลกอริทึมและหลังจากได้รับการพิสูจน์แล้วว่าการใช้งานดังกล่าวไม่มีอยู่สำหรับปัญหาจำนวนมาก ปัญหาก็ได้รับผลลัพธ์เชิงลบที่ชัดเจน และคำถามที่น่าสนใจที่สุดคือคำจำกัดความของคลาสของไดโอแฟนไทน์ สมการที่มีระบบข้างต้นอยู่ แนวทางที่เป็นธรรมชาติที่สุดจากมุมมองพีชคณิตคือสิ่งที่เรียกว่าหลักการของ Hasse: ศึกษาสนามเริ่มต้น K ร่วมกับผลสำเร็จของสนาม K v ตามการประมาณค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เนื่องจาก X(K) = X(K v) เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ และจุด K คำนึงถึงว่าเซต X(K v) ไม่ว่างเปล่าสำหรับ v ทั้งหมด
ความสำคัญอยู่ที่ว่ามันนำสองปัญหามารวมกัน อันที่สองนั้นง่ายกว่ามากซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริธึมที่รู้จักกันดี ในกรณีพิเศษที่ X เป็นแบบฉายภาพ บทแทรกของเฮนเซลและลักษณะทั่วไปของมันทำให้การลดลงเพิ่มเติมเป็นไปได้: ปัญหาสามารถลดลงได้จนถึงการศึกษาจุดตรรกยะในสนามที่มีขอบเขตจำกัด จากนั้นเขาก็ตัดสินใจสร้างแนวคิดนี้ผ่านการวิจัยอย่างสม่ำเสมอหรือด้วยวิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น
ข้อควรพิจารณาที่สำคัญขั้นสุดท้ายคือ เซต X(K v) จะไม่ว่างสำหรับ v ทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด ดังนั้นจึงมีจำนวนเงื่อนไขจำกัดเสมอและสามารถทดสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตาม หลักการของ Hasse ใช้ไม่ได้กับเส้นโค้งองศา ตัวอย่างเช่น 3x 3 + 4y 3 =5 มีคะแนนในช่องจำนวน p-adic ทั้งหมดและในระบบ แต่ไม่มีคะแนนตรรกยะ
วิธีการนี้เป็นจุดเริ่มต้นในการสร้างแนวคิดที่อธิบายคลาสของช่องว่างเนื้อเดียวกันหลักของพันธุ์อาบีเลียนเพื่อทำการ "เบี่ยงเบน" จากหลักการของ Hasse มีการอธิบายในแง่ของโครงสร้างพิเศษที่สามารถเชื่อมโยงกับแต่ละท่อร่วมไอดี (กลุ่ม Tate-Shafarevich) ปัญหาหลักของทฤษฎีนี้คือวิธีการคำนวณกลุ่มนั้นหาได้ยาก แนวคิดนี้ยังได้ขยายไปสู่คลาสพีชคณิตประเภทอื่นด้วย
ค้นหาอัลกอริทึมเพื่อเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกัน
แนวคิดฮิวริสติกอีกแนวคิดหนึ่งที่ใช้ในการศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์ก็คือ ถ้าจำนวนตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับชุดของอสมการมีจำนวนมาก ระบบก็มักจะมีวิธีแก้ปัญหา อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเรื่องยากมากที่จะพิสูจน์ได้ในกรณีใดกรณีหนึ่งโดยเฉพาะ แนวทางทั่วไปในการแก้ปัญหาประเภทนี้ใช้ทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์และอิงจากการประมาณผลรวมตรีโกณมิติ เดิมวิธีนี้เคยใช้กับสมการประเภทพิเศษ
อย่างไรก็ตาม ได้รับการพิสูจน์ในเวลาต่อมาด้วยความช่วยเหลือว่า หากรูปแบบของระดับคี่เป็น F ในตัวแปร d และ n และด้วยสัมประสิทธิ์ตรรกยะ แล้ว n ก็มีขนาดใหญ่เพียงพอเมื่อเทียบกับ d ดังนั้น ไฮเปอร์พื้นผิวที่ฉายภาพ F = 0 จึงมีจุดตรรกยะ ตามการคาดเดาของ Artina ผลลัพธ์นี้เป็นจริงแม้ว่า n > d 2 ก็ตาม สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับรูปแบบกำลังสองเท่านั้น ปัญหาที่คล้ายกันสามารถถามในสาขาอื่นได้ ปัญหาสำคัญของเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์คือโครงสร้างของเซตของจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะและการศึกษาของพวกเขา และคำถามแรกที่ต้องชี้แจงคือเซตนี้มีขอบเขตจำกัดหรือไม่ ในปัญหานี้ สถานการณ์มักจะมีจำนวนการดำเนินการที่จำกัด หากระดับของระบบมากกว่าจำนวนตัวแปรมาก นี่คือสมมติฐานพื้นฐาน
ความไม่เท่าเทียมกันของเส้นและเส้นโค้ง
กลุ่ม X(K) สามารถแสดงเป็นผลรวมโดยตรงของโครงสร้างอิสระอันดับ r และกลุ่มที่มีขอบเขตจำกัดของลำดับ n ตั้งแต่ทศวรรษที่ 1930 เป็นต้นมา ได้มีการศึกษาคำถามที่ว่าตัวเลขเหล่านี้อยู่บนเซตของเส้นโค้งรูปไข่ทั้งหมดบนสนาม K ที่กำหนดหรือไม่ ขอบเขตของแรงบิด n ถูกแสดงให้เห็นในช่วงทศวรรษที่ 1970 มีเส้นโค้งของตำแหน่งสูงตามอำเภอใจในกรณีการทำงาน ในกรณีตัวเลขยังไม่มีคำตอบสำหรับคำถามนี้
สุดท้าย การคาดเดาของมอร์เดลล์ระบุว่าจำนวนจุดอินทิกรัลมีจำกัดสำหรับเส้นโค้งประเภท g>1 ในกรณีที่ใช้งานได้จริง แนวคิดนี้แสดงให้เห็นโดย Yu. Manin ในปี 1963 เครื่องมือหลักที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทความจำกัดในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์คือความสูง ในบรรดาพันธุ์พีชคณิตที่มีมิติมากกว่าหนึ่ง พันธุ์ Abelian ซึ่งเป็นอะนาล็อกที่มีมิติสูงของเส้นโค้งรูปไข่ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วนที่สุด
A. ไวล์สรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับความจำกัดของจำนวนเครื่องกำเนิดของกลุ่มจุดตรรกยะกับพันธุ์อาบีเลียนในทุกมิติ (แนวคิดของมอร์เดลล์-ไวล์) และขยายขอบเขตออกไป ในคริสต์ทศวรรษ 1960 การคาดเดาของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ปรากฏขึ้น เพื่อปรับปรุงสิ่งนี้และฟังก์ชันหมู่และซีตาของท่อร่วม หลักฐานเชิงตัวเลขสนับสนุนสมมติฐานนี้
ปัญหาการแก้ได้
ปัญหาคือการหาอัลกอริธึมที่สามารถใช้เพื่อพิจารณาว่าสมการไดโอแฟนไทน์มีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ คุณลักษณะที่สำคัญของปัญหาที่เกิดขึ้นคือการค้นหาวิธีการสากลที่เหมาะสมกับความไม่เท่าเทียมกัน วิธีการดังกล่าวจะช่วยให้สามารถแก้ระบบข้างต้นได้ เนื่องจากจะเทียบเท่ากับ P21+⋯+P2k=0.п1= 0,..., PK= 0п = 0,...,пК = 0 หรือ р21+ ⋯ + P2К= 0. p12+⋯+pK2=0. ปัญหาในการหาวิธีสากลในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับอสมการเชิงเส้นในจำนวนเต็มถูกวางโดย D. กิลเบิร์ต.
ในช่วงต้นทศวรรษ 1950 การศึกษาครั้งแรกปรากฏขึ้นโดยมีจุดประสงค์เพื่อพิสูจน์การไม่มีอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ ในเวลานี้ การคาดเดาของเดวิสปรากฏขึ้น ซึ่งระบุว่าฉากที่นับได้ทั้งหมดยังเป็นของนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกคนนี้ด้วย เนื่องจากตัวอย่างของชุดที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ทางอัลกอริทึมนั้นเป็นที่รู้จัก แต่สามารถนับซ้ำได้ ตามมาว่าการคาดเดาของเดวิสนั้นถูกต้อง และปัญหาความสามารถในการแก้สมการเหล่านี้ก็มีคำตอบเชิงลบ
หลังจากนี้ สำหรับการคาดเดาของเดวิส ยังคงต้องพิสูจน์ว่ามีวิธีการในการเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกันซึ่ง (หรือไม่มี) ก็มีวิธีแก้ปัญหาในเวลาเดียวกัน แสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงในสมการไดโอแฟนไทน์นั้นเป็นไปได้หากมีคุณสมบัติสองประการที่ระบุ: 1) ในสารละลายประเภทนี้ โวลต์≤คุณ- 2) สำหรับใครก็ตาม เคมีการดำเนินการซึ่งมีการเติบโตแบบทวีคูณ
ตัวอย่างของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นของคลาสนี้พิสูจน์ได้สำเร็จ ปัญหาของการมีอยู่ของอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหาและการรับรู้ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ในจำนวนตรรกยะยังถือเป็นคำถามสำคัญและเปิดกว้างที่ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างเพียงพอ
- ตัวอย่างที่ 1 (แบบง่าย)
- ตัวอย่างที่ 2 (ซับซ้อน)
- ปัญหาเรื่องไก่ กระต่าย และอุ้งเท้า
- ปัญหาเกี่ยวกับพนักงานขายและการเปลี่ยนแปลง
ตามความคิดเห็นของนักเรียน สมการไดโอแฟนไทน์กลายเป็นอุปสรรคอย่างแท้จริงในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ไม่เพียงแต่สำหรับนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผู้ปกครองด้วย พวกเขาคืออะไรและจะแก้ไขได้อย่างไร? ครูคณิตศาสตร์ที่ศูนย์การศึกษา Gornostai Aelita Bekesheva และผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ Yuri Shanko ช่วยให้เราคิดออก
ไดโอแฟนทัสคือใคร?
เพื่อความสะดวกในการให้เหตุผลแม้แต่ชาวอียิปต์โบราณก็เกิดคำพิเศษที่แสดงถึงตัวเลขที่ไม่รู้จัก แต่ในเวลานั้นไม่มีเครื่องหมายการกระทำและเครื่องหมายเท่ากับดังนั้นพวกเขาจึงไม่รู้วิธีเขียนสมการ
บุคคลแรกที่รู้วิธีเขียนสมการนี้คือ ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย นักวิทยาศาสตร์ผู้วิเศษ อเล็กซานเดรียเป็นศูนย์กลางทางวัฒนธรรม การค้า และวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ของโลกยุคโบราณ เมืองนี้ยังคงมีอยู่ตั้งอยู่บนชายฝั่งทะเลเมดิเตอร์เรเนียนของอียิปต์
เห็นได้ชัดว่าไดโอแฟนทัสมีชีวิตอยู่ในคริสตศตวรรษที่ 3 และเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนสุดท้ายในสมัยโบราณ ผลงานของเขาสองชิ้นมาถึงเราแล้ว - "เลขคณิต" (จากหนังสือสิบสามเล่มเหลือรอดหกเล่ม) และ "เกี่ยวกับตัวเลขหลายเหลี่ยม" (เป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อย) งานของไดโอแฟนทัสมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาพีชคณิต การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีจำนวน
แต่คุณรู้บางอย่างเกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์...
ทุกคนรู้สมการไดโอแฟนไทน์! สิ่งเหล่านี้เป็นปัญหาสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาที่แก้ไขได้ด้วยการคัดเลือก
” ตัวอย่างเช่น “คุณสามารถชำระค่าไอศกรีมราคา 96 โกเปคได้หลายวิธี หากคุณมีเพียงเพนนีและเหรียญห้าโกเปค”
หากเราให้คำจำกัดความทั่วไปแก่สมการไดโอแฟนไทน์ เราก็สามารถพูดได้ว่ามันคือสมการพีชคณิตที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม: คำตอบทั้งหมดต้องเป็นจำนวนเต็ม (และในกรณีทั่วไปคือสมการตรรกยะ)
” บ่อยครั้งที่มารดา (โดยเฉพาะผู้ที่สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนภายใต้ลัทธิสังคมนิยมที่พัฒนาแล้ว) เชื่อว่าเป้าหมายหลักของงานดังกล่าวคือการสอนให้เด็ก ๆ จ่ายเงินเล็กน้อยสำหรับไอศกรีม ดังนั้นเมื่อพวกเขาเชื่อมั่นอย่างจริงใจว่าการใส่ของเล็ก ๆ น้อย ๆ เป็นเรื่องของอดีต นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 (หรือชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) อันเป็นที่รักของพวกเขาก็เกิดคำถามที่ไม่คาดคิด: "แม่จะแก้ปัญหานี้อย่างไร" และนำเสนอ สมการที่มีตัวแปรสองตัว ก่อนหน้านี้ไม่มีปัญหาดังกล่าวในหลักสูตรของโรงเรียน (เราทุกคนจำได้ว่าควรมีสมการมากพอๆ กับตัวแปร) ดังนั้นแม่ของผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์จึงมักตกอยู่ในอาการมึนงง แต่นี่คือปัญหาเดียวกันเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงและไอศกรีมที่เขียนไว้ในรูปแบบทั่วไปเท่านั้น!
ว่าแต่ทำไมจู่ๆ พวกเขาถึงกลับมาหาเธอตอนเกรด 7 ล่ะ? ง่ายมาก: จุดประสงค์ของการศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์คือเพื่อเป็นรากฐานของทฤษฎีจำนวนเต็ม ซึ่งได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมทั้งในวิชาคณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และการเขียนโปรแกรม สมการไดโอแฟนไทน์มักพบในปัญหาในส่วน "C" ของการสอบ Unified State ความยากประการแรกคือมีวิธีแก้ไขหลายวิธี ซึ่งผู้สำเร็จการศึกษาจะต้องเลือกวิธีที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น ax + by = c สามารถแก้ได้ค่อนข้างง่ายโดยใช้อัลกอริธึมพิเศษ
อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์
การศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์เริ่มต้นในหลักสูตรพีชคณิตเชิงลึกตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ในตำราเรียน Yu.N. มาคารีเชวา, N.G. Mindyuk เสนอปัญหาและสมการบางอย่างที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้ อัลกอริทึมแบบยุคลิดและ วิธีการแจงนับด้วยเศษ, - Aelita Bekesheva กล่าว- ต่อมาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - 9 เมื่อพิจารณาสมการจำนวนเต็มลำดับที่สูงกว่าแล้ว ให้นักเรียนดู วิธีการแยกตัวประกอบและการวิเคราะห์เพิ่มเติมของการแก้สมการนี้ วิธีการประเมินผล- มาแนะนำกันดีกว่า ด้วยวิธีการเลือกแบบเต็มกำลังสอง- เมื่อศึกษาคุณสมบัติของจำนวนเฉพาะ เราจะแนะนำทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ ซึ่งเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานในทฤษฎีการแก้สมการในจำนวนเต็ม ในระดับที่สูงกว่าคนรู้จักนี้จะดำเนินต่อไปในเกรด 10-11 ในเวลาเดียวกัน เราแนะนำให้เด็ก ๆ ได้เรียนรู้และการประยุกต์ใช้ทฤษฎี "การเปรียบเทียบแบบโมดูโล" เราฝึกฝนอัลกอริทึมที่เราคุ้นเคยในเกรด 7-9 เนื้อหานี้ครอบคลุมเป็นอย่างดีในหนังสือเรียนของ A.G. Mordkovich "พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เกรด 10" และ G.V. Dorofeeva "คณิตศาสตร์" สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 10
อัลกอริธึมของยุคลิด
วิธีการของยุคลิดนั้นอ้างอิงถึงปัญหาทางคณิตศาสตร์อีกข้อหนึ่ง นั่นคือการหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด แทนที่จะเป็นคู่เดิมของตัวเลข คู่ใหม่จะถูกเขียนขึ้น ซึ่งเป็นตัวเลขที่น้อยกว่าและผลต่างระหว่างจำนวนที่น้อยกว่าและจำนวนที่มากขึ้นของคู่เดิม การดำเนินการนี้จะดำเนินต่อไปจนกว่าตัวเลขในคู่จะเท่ากัน ซึ่งจะเป็นปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด เวอร์ชันของอัลกอริธึมยังใช้ในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ด้วย - ตอนนี้เราแล้ว ร่วมกับยูริ ชานโกมาดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา “เกี่ยวกับเหรียญ” กัน
เราพิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น ขวาน + โดย = c,โดยที่ a, b, c, x และ y เป็นจำนวนเต็ม อย่างที่คุณเห็น สมการหนึ่งประกอบด้วยตัวแปรสองตัว แต่อย่างที่คุณจำได้เราต้องการเพียงรากทั้งหมดซึ่งจะทำให้เรื่องง่ายขึ้น - สามารถหาคู่ของตัวเลขที่สมการเป็นจริงได้
อย่างไรก็ตาม สมการไดโอแฟนไทน์ไม่ได้มีคำตอบเสมอไป ตัวอย่าง: 4x + 14y = 5 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา เพราะ ทางด้านซ้ายของสมการ สำหรับจำนวนเต็ม x และ y ผลลัพธ์จะเป็นเลขคู่ และ 5 จะเป็นเลขคี่ ตัวอย่างนี้สามารถสรุปได้ ถ้าอยู่ในสมการ ขวาน + โดย = คสัมประสิทธิ์ a และ b หารด้วยจำนวนเต็ม d ลงตัว แต่จำนวน c ไม่สามารถหารด้วย d นี้ลงตัวได้ สมการนี้จึงไม่มีคำตอบ ในทางกลับกัน หากสัมประสิทธิ์ทั้งหมด (a, b และ c) หารด้วย d ลงตัว สมการทั้งหมดก็สามารถหารด้วย d นี้ได้เช่นกัน
ตัวอย่างเช่น ในสมการ 4x + 14y = 8 ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดจะถูกหารด้วย 2 หารสมการด้วยตัวเลขนี้แล้วได้: 2𝑥 + 7𝑦 = 4 เทคนิคนี้ (การหารสมการด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง) บางครั้งช่วยให้คุณคำนวณได้ง่ายขึ้น .
เราไปจากอีกด้านหนึ่งกันเถอะ สมมติว่าค่าสัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งทางด้านซ้ายของสมการ (a หรือ b) เท่ากับ 1 จากนั้นสมการของเราจะได้รับการแก้ไขจริงๆ อันที่จริง สมมุติว่า a = 1 แล้วเราจะหาจำนวนเต็มใดๆ เป็น y โดยที่ x = c − โดย หากเราเรียนรู้ที่จะลดสมการดั้งเดิมให้เป็นสมการที่มีสัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ 1 เราก็จะได้เรียนรู้การแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นใดๆ ก็ตาม!
ฉันจะแสดงสิ่งนี้โดยใช้สมการ 2x + 7y = 4 เป็นตัวอย่าง
สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: 2(x + 3y) + y = 4
ขอแนะนำตัวใหม่ที่ไม่รู้จัก z = x + 3y จากนั้นสมการจะเขียนดังนี้: 2z + y = 4
เรามีสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นหนึ่ง! จากนั้น z คือตัวเลขใดๆ y = 4 − 2z
สิ่งที่เหลืออยู่คือหา x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12
ให้ z=1 จากนั้น y=2, x=-5 2 * (-5)+7 * 2=4
ให้ z=5 จากนั้น y=-6, x=23 2 * (23)+7 * (-6)=4
” ในตัวอย่างนี้ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าเราย้ายจากสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 2 และ 7 ไปเป็นสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 2 และ 1 ได้อย่างไร ในกรณีนี้ (และเสมอ!) สัมประสิทธิ์ใหม่ (ในกรณีนี้ หนึ่ง) จะเป็นส่วนที่เหลือ ของการหารสัมประสิทธิ์เดิมซึ่งกันและกัน (7 คูณ 2)
ในตัวอย่างนี้ เราโชคดี ทันทีหลังจากการแทนที่ครั้งแรก เราได้รับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1 สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป แต่เราสามารถทำซ้ำเคล็ดลับก่อนหน้านี้ โดยแนะนำสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่และเขียนสมการใหม่ ไม่ช้าก็เร็วหลังจากการทดแทนดังกล่าว คุณจะได้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 1
มาลองแก้สมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า Aelita Bekesheva แนะนำ
พิจารณาสมการ 13x - 36y = 2
ขั้นตอนที่ #1
36/13=2 (เหลือ 10) ดังนั้น สมการดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: 13x-13* 2y-10y=2 ลองแปลงมันดู: 13(x-2y)-10y=2 ขอแนะนำตัวแปรใหม่ z=x-2y ตอนนี้เรามีสมการ: 13z-10y=2
ขั้นตอนที่ #2
13/10=1 (เหลือ 3) สมการเดิม 13z-10y=2 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: 10z-10y+3z=2 มาแปลงมันกัน: 10(z-y)+3z=2 ขอแนะนำตัวแปรใหม่ m=z-y ตอนนี้เรามีสมการ: 10m+3z=2
ขั้นตอนที่ #3
10/3=3 (เหลือ 1) สมการเดิม 10m+3z=2 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: 3* 3m+3z+1m=2 ลองแปลงมันดู: 3(3m+z)+1m=2 ขอแนะนำตัวแปรใหม่ n=3m+z ตอนนี้เรามีสมการ: 3n+1m=2
ไชโย! เราได้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นหนึ่ง!
m=2-3n และ n สามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ อย่างไรก็ตาม เราจำเป็นต้องค้นหา x และ y ลองเปลี่ยนตัวแปรในลำดับย้อนกลับ จำไว้ว่าเราต้องเขียน x และ y ในรูปของ n ซึ่งอาจเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้
y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3* (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8
x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22
ให้ n=1 จากนั้น y=5, x=24 13 * (14)-36 * 5=2
ให้ n=5 จากนั้น y=57, x=158 13 * (158)-36 * (57)=2
ใช่มันไม่ง่ายเลยที่จะเข้าใจ แต่ตอนนี้คุณสามารถแก้ไขปัญหาที่แก้ไขโดยการเลือกโดยทั่วไปได้แล้ว!
การแก้ปัญหาการจับคู่ตัวเลข
ตัวอย่างปัญหาสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาที่สามารถแก้ไขได้โดยการเลือก: แข่งขันกับลูกของคุณเพื่อดูว่าใครแก้ปัญหาได้เร็วกว่า: คุณใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด หรือนักเรียนใช้การเลือก
ปัญหาอุ้งเท้า
เงื่อนไข
ไก่และกระต่ายนั่งอยู่ในกรง มีอุ้งเท้าทั้งหมด 20 อุ้งเท้า มีไก่ได้กี่ตัว และกระต่ายได้กี่ตัว?
สารละลาย
ขอให้เรามีไก่ x และกระต่าย y มาสร้างสมการกัน: 2x+4y=20 ลองลดทั้งสองข้างของสมการลงสอง: x+2y=10 ดังนั้น x=10-2y โดยที่ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก
คำตอบ
จำนวนกระต่ายและไก่: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)
เห็นด้วย ปรากฏเร็วกว่าผ่านไป “ให้มีกระต่ายตัวหนึ่งอยู่ในกรง…”
ปัญหาเรื่องเหรียญ
เงื่อนไข
พนักงานขายหญิงคนหนึ่งมีเหรียญห้าและสองรูเบิลเท่านั้น เธอสามารถเก็บเงินทอนได้ 57 รูเบิลได้กี่วิธี?
สารละลาย
ขอให้เรามีเหรียญ x สองรูเบิลและ y เหรียญห้ารูเบิล มาสร้างสมการกัน: 2x+5y=57 ลองแปลงสมการกัน: 2(x+2y)+y=57 ให้ z=x+2y จากนั้น 2z+y=57 เพราะฉะนั้น, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114- โปรดทราบว่าตัวแปร z ต้องไม่ต่ำกว่า 23 (มิฉะนั้น x จำนวนเหรียญสองรูเบิลจะเป็นลบ) และมากกว่า 28 (มิฉะนั้น y จำนวนเหรียญห้ารูเบิลจะเป็นลบ) ค่าทั้งหมดตั้งแต่ 23 ถึง 28 เหมาะสำหรับเรา
คำตอบ
หกวิธี
จัดทำโดย Tatyana Yakovleva
การประชุมทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติระดับนานาชาติ
“ก้าวแรกสู่วิทยาศาสตร์”
งานวิจัยทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อ:
“สมการไดโอแฟนไทน์ ชนิด และวิธีการแก้โจทย์”
สาขาวิชา: คณิตศาสตร์
งานเสร็จโดย: Olga Khomyakova นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10
ครู: ครูคณิตศาสตร์
สถาบันการศึกษา:
ไบรอันสค์ 2014
1. บทนำ-3
2.ส่วนหลัก.---5
1.ประวัติความเป็นมา-----5
2.ประเภทของสมการไดโอแฟนไทน์และการจำแนกประเภท
3. สมการไดโอแฟนไทน์ในส่วน C ของการสอบ Unified State-13
4. การประยุกต์ทฤษฎีสมการไดโอแฟนไทน์ -16 ในทางปฏิบัติ
บทสรุป
5. วรรณกรรม
การแนะนำ
ความเกี่ยวข้องของการศึกษา:
ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนไม่มีการศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์ในทางปฏิบัติ แต่ตัวอย่างเช่นในงานของกลุ่ม C6 ในการสอบ Unified State มีสมการระดับที่ 2 ฉันยังพบงานเหล่านี้ในโอลิมปิกคณิตศาสตร์ด้วย ฉันเริ่มสนใจหัวข้อนี้เพื่อที่จะผ่านการสอบ Unified State และมีส่วนร่วมในการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกและการแข่งขันได้สำเร็จ นอกจากนี้ฉันยังสนใจการปฐมนิเทศเชิงปฏิบัติของหัวข้อนี้
สาขาวิชาวิจัยของฉันคือคณิตศาสตร์
วัตถุประสงค์ของงานคือสมการไดโอแฟนไทน์ ประเภท และวิธีการแก้โจทย์เหล่านั้น
วัตถุประสงค์ของงาน:
1. เพิ่มระดับวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์;
2. พัฒนาทักษะการวิจัยในสาขาคณิตศาสตร์
3. เรียนรู้การแก้สมการไดโอแฟนไทน์ด้วยตัวเองและสอนผู้อื่นโดยใช้วิธีการที่มีประสิทธิภาพ
4. ใช้วิธีการแก้ปัญหาเหล่านี้กับปัญหาในชีวิตประจำวันของบุคคลตลอดจนปัญหาที่นำเสนอในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยและในงานโอลิมปิก
5. จำแนกวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์
6. รวบรวมปัญหาพร้อมแนวทางช่วยเหลือนักเรียนโรงเรียนของเรา
งาน:
1. สำรวจรากเหง้าทางประวัติศาสตร์;
2. เรียนรู้การใช้วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์สร้างกราฟในโปรแกรมคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ค้นหาข้อมูลบนอินเทอร์เน็ตได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ
3. สำรวจวิธีการแก้ปัญหาที่สามารถลดเป็นสมการระดับแรกด้วยตัวแปรสองตัวโดยเลือกวิธีที่สะดวกและง่ายที่สุด
4. เรียนรู้การแก้ปัญหาจากชีวิตประจำวัน การสอบเข้ามหาวิทยาลัยด้านเศรษฐศาสตร์และงานโอลิมปิก โดยใช้วิธีการที่เรียนมาก่อนหน้านี้
5. พัฒนาคู่มือระเบียบวิธีสำหรับผู้สนใจ (เลือกหรือตั้งปัญหาเกี่ยวกับเนื้อหาทางเศรษฐศาสตร์นำไปสู่การแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัว)
วิธีการวิจัย : การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ การเปรียบเทียบ การเปรียบเทียบ การจัดอันดับ การพยากรณ์ การสังเกต
สมมติฐาน: เมื่อศึกษาประเภทและจำแนกสมการไดโอแฟนไทน์ตามวิธีการแก้ปัญหาแล้ว คุณสามารถรับมือกับการแก้ปัญหาข้อความ ปัญหาเกี่ยวกับเนื้อหาเชิงปฏิบัติและงานการสอบ C6 Unified State บางส่วนได้สำเร็จ
ขั้นตอนการทำงาน:
1. ศึกษาประวัติความเป็นมาของสมการไดโอแฟนไทน์ซึ่งเป็นวรรณกรรมหลักในหัวข้อนี้
2. ศึกษาวิธีการและเทคนิคในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์
3. ความพยายามที่จะจำแนกพวกเขา;
4. ค้นหาความสำคัญเชิงปฏิบัติของหัวข้อนี้
ส่วนหลัก.
1.ข้อมูลทางประวัติศาสตร์
ไดโอแฟนทัส (อาจเป็นคริสตศตวรรษที่ 3 - นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณจากอเล็กซานเดรีย)
สมการไดโอแฟนไทน์ – สมการพีชคณิตหรือระบบสมการพีชคณิตที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่ต้องการหาคำตอบจำนวนเต็มหรือตรรกยะ
สมการเหล่านี้ตั้งชื่อตามไดโอแฟนทัส (อาจเป็นคริสตศตวรรษที่ 3 - นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณจากอเล็กซานเดรีย) ซึ่งศึกษาสมการดังกล่าว
ไดโอแฟนทัสนำเสนอหนึ่งในความลึกลับที่ยากที่สุดในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ เราไม่รู้ว่าพระองค์มีชีวิตอยู่เมื่อใด หรือบรรพบุรุษของพระองค์ที่จะทำงานในสาขาเดียวกันนั้นเมื่อใด การแก้สมการระดับแรกกับสมการที่ไม่รู้จักก็เพียงพอแล้ว และเราพบว่าไดโอแฟนทัสมีอายุ 84 ปี
สิ่งที่ลึกลับที่สุดคือผลงานของไดโอแฟนทัส หนังสือหกในสิบสามเล่มที่รวมเข้ากับ "เลขคณิต" มาถึงเราแล้ว รูปแบบและเนื้อหาของหนังสือเหล่านี้แตกต่างอย่างมากจากงานโบราณคลาสสิกเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนและพีชคณิตตัวอย่างที่เรารู้จาก "องค์ประกอบ" ของ Euclid "ข้อมูล" ของเขา ” บทแทรกจากผลงานของ Archimedes และ Apollonius “เลขคณิต” ไม่ต้องสงสัยเลยว่าเป็นผลมาจากการศึกษาจำนวนมากที่ยังไม่ทราบแน่ชัด จำนวนสิ่งที่ไม่ทราบในสมการไดโอแฟนไทน์มีมากกว่าจำนวนสมการ ดังนั้นบางครั้งจึงเรียกว่าความไม่แน่นอน
สมการไดโอแฟนไทน์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดเป็นครั้งแรกในหนังสือเลขคณิตของไดโอแฟนตัส สมการดังกล่าวมีคุณสมบัติบางประการ:
1. พวกมันถูกรีดิวซ์เป็นสมการหรือระบบสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม
2. จำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นธรรมชาติและครบถ้วนเท่านั้น
2. คำจำกัดความ ประเภทของสมการไดโอแฟนไทน์ และวิธีการแก้โจทย์
ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์สำหรับตัวแปรจำนวนเต็มเอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , …, เอ็กซ์ n เรียกว่าสมการที่สามารถลดรูปลงได้
ป ( x 1 , x 2 , …, x n ) =0
ที่ไหน ร - พหุนามบางตัวในตัวแปรที่ระบุพร้อมค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม
สมการไดโอแฟนไทน์ที่ง่ายที่สุดคือสมการของรูปแบบขวาน + โดย = ค , ที่ไหน ก และ ข เป็นจำนวนเต็มโคไพรม์ สมการไดโอแฟนไทน์ดังกล่าวมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด: ถ้าx 0 และ ย 0 – ทางออกหนึ่ง ตามด้วยตัวเลขx = x 0 + พันล้าน และ ย = ย 0 - หนึ่ง (ที่ไหน n - จำนวนเต็มใดๆ) จะเป็นการตัดสินใจที่ทำให้การตัดสินใจทั้งชุดหมดลง
ประเภทของสมการไดโอแฟนไทน์:
1. สมการเอกพันธ์:
ตัวอย่างที่ 1:
ผมจึงเสนอให้พิจารณาแก้สมการต่อไปนี้
8 x+9 ย=43
เนื่องจาก 8 และ 9 เป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก กล่าวคือ ตัวหารร่วมมากของ 8 และ 9 คือ 1 จึงมีคำตอบอยู่ เราจะพบวิธีแก้ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งโดยเลือก:
x 0 =2, ย 0 =3. โซลูชันที่เหลือคำนวณโดยใช้สูตร:
x = x 0 + พันล้าน
ย = ย 0 - หนึ่ง
จากที่นี่ เอ็กซ์ =2+9 n , ย =3-8 n , n เป็นของ ซี .
ถ้าตัวหารร่วมมากง ค่าสัมประสิทธิ์ ก และข มากกว่า 1 สมาชิกฟรี กับ หารด้วยไม่ได้ง แล้วสมการ อา + โดย = คไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 2:
ตอนนี้ให้พิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นที่ไม่มีคำตอบจำนวนเต็ม:
5 x+35y=17
เพื่อพิสูจน์ว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบจำนวนเต็ม จำเป็นต้องนำตัวประกอบร่วม 5 ออกจากวงเล็บ เราจะได้ 5( x+7 ย)=17 - จากนั้นด้านซ้ายของสมการหารด้วย 5 ลงตัว แต่ด้านขวาหารด้วย 5 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่าสมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
สมการใดๆ อา + โดย= คโดยที่ gcd(a, b ) = 1 มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ
ภารกิจที่ 1:
ปัญหาต่อไปนี้ยังนำไปสู่สมการไดโอแฟนไทน์ด้วย:
เราใช้เงินเพียง 61 รูเบิลเพื่อซื้อโปสการ์ดหลายใบในราคา 11 รูเบิลและซองจดหมายราคา 13 รูเบิล คุณซื้อโปสการ์ดไปกี่ใบ?
เรามาแสดงจำนวนโปสการ์ดกัน เอ็กซ์ และจำนวนซองจดหมายที่ผ่านย แล้วปัญหาก็ลดเหลือสมการ 11 x +13 ย =61 - เห็นได้ชัดว่าตามเงื่อนไขของปัญหา เฉพาะจำนวนเต็มบวกเท่านั้นที่เหมาะสมที่นี่ เราจะค้นหาตัวเลขดังกล่าวโดยใช้วิธีการเลือก สมการนี้มีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น:x =2, ย =3 .
ย้อนกลับไปในบาบิโลนโบราณ ปัญหาในการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านที่เท่ากันเป็นคู่ได้ถือกำเนิดขึ้น ความสอดคล้องกันของด้านข้างหมายความว่ามีมาตราส่วนที่ขาและด้านตรงข้ามมุมฉากจะแสดงเป็นตัวเลขธรรมชาติx และ ย แต่แล้ว:
x^2+y^2=z^2 .
ดังนั้น ปัญหาของชาวบาบิโลนจึงลดลงเหลือเพียงปัญหาการสร้างเลขธรรมชาติแฝดสามทั้งหมดx , ย , z เป็นไปตามสมการก่อนหน้า ชาวพีทาโกรัสค้นพบวิธีสร้างวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด แต่บางทีวิธีนี้อาจพบได้ก่อนหน้านี้ในบาบิโลนและอินเดียด้วยซ้ำ ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง วิธีแก้ปัญหา (x , ย , z ) สมการ x ^2+ ย ^2= z ^2 โดยทั่วไปเรียกว่าแฝดพีทาโกรัส : x =2 n +1; ย =2 n ( n +1) ; z =2 n ^2+2 n +1 , n เป็นของ ซี . ตัวอย่างของแฝดพีทาโกรัส: 3, 4, 5 ; 6, 8, 10 ; 5, 12, 13 .
อย่างไรก็ตาม สูตรเหล่านี้ไม่ได้ทำให้สามารถค้นหาตัวเลขสามเท่าของพีทาโกรัสทั้งหมดที่มีตัวเลขเริ่มต้นที่เลือกได้ สูตรของพีทาโกรัสและเพลโตและการดัดแปลงต่างๆ ให้คำตอบเพียงบางส่วนเท่านั้น ให้เรายกตัวอย่างเพิ่มเติมของตัวเลขสามเท่าของพีทาโกรัสที่ไม่สามารถหาได้โดยใช้สูตรข้างต้น: 72, 65, 97 ; 72, 320, 328 .
ตัวเลขแฝดพีทาโกรัสเหล่านี้และตัวเลขแฝดอื่นๆ ของพีทาโกรัสได้รับจากแท็บเล็ตรูปลิ่มของชาวบาบิโลนที่มีอายุย้อนกลับไปถึงยุคก่อนคริสตศักราช พ.ศ จ. วิธีการแบบบาบิโลนช่วยให้สามารถค้นหาเลขสามเท่าของพีทาโกรัสที่มีหมายเลขดั้งเดิมที่เลือกไว้ได้
ที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีสมการไดโอแฟนไทน์คือปัญหาของแฟร์มาต์ (ปิแอร์แฟร์มาต์ () - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส) ปัญหานี้เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์
ทฤษฎีบท:
สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆn >2 สมการ x ^ n + ย ^ n = z ^ n ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกx , ย , z .
จัดทำขึ้นโดยแฟร์มาต์ราวปี ค.ศ. 1630 ริมขอบหนังสือเลขคณิตของไดโอแฟนทัส หลักฐานทั่วไปนี้ได้รับโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ไวล์ส ในปี 1995
2 สมการของระดับที่สอง:
สมการไดโอแฟนไทน์ประเภทถัดไปคือสมการระดับที่สองขวาน ^2+ บีซี + ไซ ^2+ ดีเอ็กซ์ + เฮ้ + ฉ =0 , ที่ไหน ก , ข , ค , ง , จ , ฉ – จำนวนเต็ม สมการดังกล่าวสามารถมีคำตอบได้ไม่จำกัด ตัวอย่างเช่น สมการของเพลล์ (จอห์น เพลล์: นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ):x ^2- อ๋อ ^2=1 (ก >0, ก - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่สมบูรณ์)
ตัวอย่างที่ 3, 4, 5, 6:
ฉันขอแนะนำให้คุณแก้สมการ 4 ข้อ:
1. x(x + y)=11
2. x(x – 3ป)=2
3. (x + 2y)(2x – y)= -2
4. xy - 3y + x =5
งั้นเราลองหาวิธีแก้ปัญหากันดู สำหรับสมการแรก :
เนื่องจากตัวเลข 11 มีตัวหารเพียง 1 และ 11 จึงสามารถใช้ตัวประกอบต่อไปนี้ร่วมกันได้:
1.x=1,
x + y=11
จากนั้น x=1, y=10
2.x=11,
x + y=1
จากนั้น x=11, y= -10
3. x= -1,
x + y= -11
จากนั้น x= -1, y= -10
4. x= -11
x = y= -1
จากนั้น x= -11, y= 10
ลองเขียนคำตอบในรูปแบบต่อไปนี้: (1;10), (11;-10), (-1;-10), (-11;10).
ภารกิจที่ 2 ผมเสนอให้แก้แบบเดียวกันโดยใช้ 4 ระบบ
1.x=2,
X – 3y=1
จากนั้น x=2, y=1/3 (นั่นคือ ระบบไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)
2.x=1,
X – 3y=2
จากนั้น x=1, y=-1/3 (นั่นคือ ระบบไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)
3. x=-1,
X – 3y=-2
จากนั้น x=-1, y=1/3 (นั่นคือ ระบบไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)
4. x=-2,
X - 3y=-1
จากนั้น x=-2, y=-1/3 (กล่าวคือ ระบบไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)
จากคู่ตัวเลขเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่าสมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
ภารกิจที่ 3 ก็สามารถแก้ไขได้โดยใช้ 4 ระบบ เมื่อแก้ไขระบบแล้วเราจะได้คู่ตัวเลขดังต่อไปนี้: (0;-1), (0;1), ( y =4/5), (y = -4/5)
สองระบบสุดท้ายไม่มีคำตอบจำนวนเต็ม ดังนั้นคำตอบคือ: (0;-1),(0;1)
สมการสุดท้าย ไม่เหมือน 3 ก่อนหน้านี้
ลองแปลงสมการที่กำหนด (เอาออกจากวงเล็บ)ย และลบและเพิ่มจำนวน 3):
ย( x – 3) + x – 3=5 -3 ;
จากผลของการแปลง เราได้สมการ:
(x – 3)(y + 1)=2
เนื่องจากเลข 2 สามารถแสดงได้ 4 วิธีเป็นผลคูณของจำนวนเต็ม 2= (-2) * (-1); 2=(-1) * (-2); 2=1*2; 2= 2*1 จึงเป็นไปได้ 4 ระบบ จากนั้นเราจะได้ตัวเลขสี่คู่ (1; -2), (2; -3), (4;1), (5;0) คำตอบของสมการนี้จะเป็นทั้งหมด 4 คู่
ตัวอย่างที่ 7:
9 x^2 – ย^2= 14
ให้เราเขียนสมการนี้ในรูปแบบ (3 x – ย) * (3 x + ย)=14 - เนื่องจากหมายเลข 14 โดยคำนึงถึงลำดับของปัจจัยสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเต็มได้ดังนี้ 14=(-2) * (-7); 14=(-7) *(-2); 14=(-1) * ; 14= (-14) * (-1); 14= 2 * 7; 14= 7 * 2; 14= 1* 14; 14= 14* 1 จะได้ 8 กรณี
เมื่อแก้ทั้ง 8 ระบบแล้ว เราก็จะได้ค่าเศษส่วน ซึ่งหมายความว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
ตัวอย่างที่ 8:
3 x^2 + 5 เอ็กซ์ซี + 2 ย^2=7
ให้เราแยกด้านซ้ายของสมการที่กำหนดให้เป็นปัจจัยเชิงเส้น: สมการจะอยู่ในรูปแบบ: (3 x + 2 ย)( x + ย)=7
เนื่องจาก 7 เป็นจำนวนเฉพาะ จึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวในสี่กรณี เมื่อแก้ทั้ง 4 ระบบแล้ว เราก็จะได้ตัวเลขคู่กัน (-5;4), (5; -4), (-13;20), (13;-20) - ตัวเลขเหล่านี้จะเป็นคำตอบ
ตัวอย่าง 9:
x^2 + y^2 – 2x + 4y=-5
ทางด้านซ้ายของสมการ ให้เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:
x^2 – 2x + 1 + y^2 + 4y + 4=0
(x – 1)^2 + (y + 2)^2=0
ผลรวมของกำลังสองเป็น 0 ในกรณีเดียวเท่านั้น
(x – 1) ^ 2=0 ,
(y + 2)^2=0
หลังจากแก้ไขระบบแล้วเราก็เข้าใจสิ่งนั้นx= 1, ย= -2
คำตอบ: (1; -2).
ตัวอย่างที่ 10:
x^2 – 6x + y^2 + 6y + 18=0
ให้เราพิสูจน์ว่าสมการนี้มีวิธีแก้จำนวนเต็มเฉพาะ
ทางด้านซ้ายของสมการ ให้เลือกกำลังสองสมบูรณ์:
(x – 3)^2 + (y + 3)^2=0
สมการนี้มีคำตอบเมื่อใด
x – 3=0,
ย+3=0
นั่นคือเมื่อ x=3, y= -3.
ตอนนี้ฉันเสนอให้พิจารณาวิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์
อัลกอริทึมสำหรับการวางแผนสมการ อา + โดย+ ค = 0:
1. ให้ค่าเฉพาะแก่ตัวแปร x x = x1; หาได้จากสมการ ขวาน1 + โดย + ค = 0 ค่าที่สอดคล้องกันย = ย 1
2. ให้ตัวแปร x มีค่าอื่น x=x2; หาได้จากสมการ ax2 + โดย + ค = 0 ค่าที่สอดคล้องกัน y = y 2.
3. สร้างบนระนาบพิกัด xเฮ้ย สองจุด (x1;y1) และ (x2;y2)
4. ลากเส้นตรงผ่านจุดทั้งสองนี้ - มันจะเป็นกราฟของสมการ อา + โดย+ ค = 0
ตัวอย่างที่ 11:
ตัวอย่างเช่น สมการที่ 5 x + 7 ปี =17 สามารถแก้ไขได้ด้วยการวาดเส้นตรง 5 x + 7 ปี = 17 และการกำหนดจุดบนเส้นนี้ ซึ่งทั้งสองพิกัดจะเป็นตัวเลขธรรมชาติในกรณีนี้
วิธีแก้ปัญหาทั้งหมด: (2 ;1),(9;-4), (16;-9),(-5;6),(-12;11)