การรบกวนของคลื่น คลื่นนิ่ง
บทที่ 7 คลื่นกล
คลื่น. สมการคลื่น
นอกเหนือจากการเคลื่อนไหวที่เราได้พิจารณาไปแล้ว ในเกือบทุกสาขาของฟิสิกส์ยังพบการเคลื่อนไหวอีกประเภทหนึ่ง - คลื่น- คุณลักษณะที่โดดเด่นของการเคลื่อนไหวนี้ซึ่งทำให้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวคือไม่ใช่อนุภาคของสสารที่แพร่กระจายในคลื่น แต่มีการเปลี่ยนแปลงในสถานะของพวกมัน (การรบกวน)
การรบกวนที่แพร่กระจายในอวกาศเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่า คลื่น - คลื่นเป็นคลื่นกลและแม่เหล็กไฟฟ้า
คลื่นยืดหยุ่นกำลังแพร่กระจายการรบกวนของตัวกลางยืดหยุ่น
การรบกวนของตัวกลางยืดหยุ่นคือการเบี่ยงเบนของอนุภาคของตัวกลางนี้จากตำแหน่งสมดุล การรบกวนเกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการเสียรูปของตัวกลางในบางแห่ง
เซตของจุดทั้งหมดที่คลื่นมาถึง ณ เวลาที่กำหนด ก่อให้เกิดพื้นผิวที่เรียกว่า หน้าคลื่น .
ตามรูปร่างของส่วนหน้า คลื่นจะแบ่งออกเป็นทรงกลมและแบน ทิศทาง มีการกำหนดการแพร่กระจายคลื่นด้านหน้าตั้งฉากกับหน้าคลื่น เรียกว่า คาน - สำหรับคลื่นทรงกลม รังสีจะเป็นลำแสงที่แยกออกไปในแนวรัศมี สำหรับคลื่นระนาบ รังสีจะเป็นลำแสงเส้นขนาน
ในคลื่นกลใดๆ การเคลื่อนที่มีอยู่สองประเภทพร้อมกัน: การสั่นของอนุภาคของตัวกลาง และการแพร่กระจายของการรบกวน
คลื่นที่มีการสั่นของอนุภาคของตัวกลางและการแพร่กระจายของการรบกวนเกิดขึ้นในทิศทางเดียวเรียกว่า ตามยาว (รูปที่ 7.2 ก).
คลื่นที่อนุภาคของตัวกลางสั่นตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของการรบกวนเรียกว่า ขวาง (รูปที่ 7.2 ข)
ในคลื่นตามยาว การรบกวนแสดงถึงการบีบอัด (หรือการทำให้บริสุทธิ์) ของตัวกลาง และในคลื่นตามขวาง พวกมันแสดงถึงการกระจัด (เฉือน) ของชั้นบางชั้นของตัวกลางที่สัมพันธ์กับชั้นอื่น ๆ คลื่นตามยาวสามารถแพร่กระจายได้ในตัวกลางทุกชนิด (ของเหลว ของแข็ง และก๊าซ) ในขณะที่คลื่นตามขวางสามารถแพร่กระจายได้ในตัวกลางที่เป็นของแข็งเท่านั้น
แต่ละคลื่นเดินทางด้วยความเร็วที่แน่นอน - ภายใต้ ความเร็วคลื่น υ เข้าใจความเร็วของการแพร่กระจายของสัญญาณรบกวนความเร็วของคลื่นถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของตัวกลางที่คลื่นแพร่กระจาย ในของแข็ง ความเร็วของคลื่นตามยาวจะมากกว่าความเร็วของคลื่นตามขวาง
ความยาวคลื่นแลมคือระยะทางที่คลื่นแพร่กระจายในเวลาเท่ากับคาบการสั่นที่แหล่งกำเนิด- เนื่องจากความเร็วของคลื่นเป็นค่าคงที่ (สำหรับตัวกลางที่กำหนด) ระยะทางที่คลื่นเดินทางจะเท่ากับผลคูณของความเร็วและเวลาในการแพร่กระจาย ดังนั้นความยาวคลื่น
จากสมการ (7.1) จะได้ว่าอนุภาคที่แยกจากกันด้วยช่วง lam แกว่งไปแกว่งมาในเฟสเดียวกัน จากนั้นเราสามารถให้คำจำกัดความของความยาวคลื่นได้ดังต่อไปนี้: ความยาวคลื่นคือระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้ที่สุดสองจุดซึ่งแกว่งไปมาในเฟสเดียวกัน
ขอให้เราได้สมการของคลื่นระนาบซึ่งช่วยให้เราสามารถระบุการกระจัดของจุดใดๆ บนคลื่นได้ตลอดเวลา ปล่อยให้คลื่นแผ่ไปตามรังสีจากแหล่งกำเนิดด้วยความเร็วคงที่ v
แหล่งกำเนิดจะกระตุ้นการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย และการกระจัดของจุดใดๆ บนคลื่น ณ เวลาใดๆ จะถูกกำหนดโดยสมการ
S = อะซินωt (7.2)
จากนั้นจุดในตัวกลางซึ่งอยู่ที่ระยะทาง x จากแหล่งกำเนิดคลื่นก็จะทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกด้วย แต่จะมีการหน่วงเวลาจำนวนหนึ่งนั่นคือ เวลาที่การสั่นสะเทือนจะแพร่กระจายจากแหล่งกำเนิดมาถึงจุดนี้ การกระจัดของจุดสั่นสัมพันธ์กับตำแหน่งสมดุล ณ เวลาใดๆ จะถูกอธิบายโดยความสัมพันธ์
นี่คือสมการคลื่นระนาบ คลื่นนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยพารามิเตอร์ต่อไปนี้:
· S - การกระจัดจากตำแหน่งสมดุลของจุดของตัวกลางยืดหยุ่นซึ่งถึงการสั่น
· ω - ความถี่วงจรของการแกว่งที่สร้างโดยแหล่งกำเนิดซึ่งจุดของตัวกลางจะสั่นด้วย
· υ - ความเร็วการแพร่กระจายคลื่น (ความเร็วเฟส);
· x คือระยะห่างถึงจุดในตัวกลางที่การสั่นไปถึงและการกระจัดเท่ากับ S
· t – เวลาที่นับจากจุดเริ่มต้นของการสั่น
โดยการใส่ความยาวคลื่น λ เข้าไปในนิพจน์ (7.3) สมการคลื่นระนาบสามารถเขียนได้ดังนี้:
(7. 4)
|
การรบกวนของคลื่น คลื่นนิ่ง. สมการคลื่นนิ่ง
คลื่นนิ่งเกิดขึ้นจากการรบกวนของคลื่นระนาบต้านการแพร่กระจายที่มีความถี่เท่ากัน ω และแอมพลิจูด A
ลองจินตนาการว่า ณ จุด S จะมีเครื่องสั่นซึ่งคลื่นระนาบจะแพร่กระจายไปตามรังสี SO เมื่อถึงสิ่งกีดขวางที่จุด O คลื่นจะสะท้อนและไปในทิศทางตรงกันข้ามคือ คลื่นระนาบเคลื่อนที่สองลูกแพร่กระจายไปตามลำแสง: ไปข้างหน้าและข้างหลัง คลื่นทั้งสองนี้มีความสอดคล้องกัน เนื่องจากคลื่นเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นจากแหล่งกำเนิดเดียวกันและซ้อนทับกันจะรบกวนซึ่งกันและกัน
สถานะการสั่นของตัวกลางที่เกิดจากการรบกวนเรียกว่าคลื่นนิ่ง
ให้เราเขียนสมการของคลื่นเคลื่อนที่ไปข้างหน้าและข้างหลัง:
ตรง - - ย้อนกลับ -
โดยที่ S 1 และ S 2 คือการกระจัดของจุดใดก็ได้บนรังสี SO เมื่อคำนึงถึงสูตรของไซน์ของผลรวม ผลการกระจัดที่ได้จะเท่ากับ
ดังนั้นสมการคลื่นนิ่งจึงมีรูปแบบ
ตัวคูณcosωtแสดงให้เห็นว่าทุกจุดของตัวกลางบนลำแสง SO ทำการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายด้วยความถี่ การแสดงออกนี้เรียกว่าแอมพลิจูดของคลื่นนิ่ง อย่างที่คุณเห็น แอมพลิจูดถูกกำหนดโดยตำแหน่งของจุดบนรังสี SO (x)
ค่าสูงสุดแอมพลิจูดจะมีจุดซึ่ง
หรือ (n = 0, 1, 2,….)
จากที่ไหนหรือ (4.70)
แอนติโนดคลื่นนิ่ง .
ค่าต่ำสุดเท่ากับศูนย์จะมีจุดเหล่านั้นซึ่ง
หรือ (น = 0, 1, 2,….)
จากที่ไหนหรือ (4.71)
จุดที่มีพิกัดดังกล่าวเรียกว่า โหนดคลื่นยืน - เมื่อเปรียบเทียบนิพจน์ (4.70) และ (4.71) เราจะเห็นว่าระยะห่างระหว่างแอนติโหนดข้างเคียงและโหนดข้างเคียงเท่ากับ แล/2
ในรูป เส้นทึบแสดงการกระจัดของจุดที่สั่นของตัวกลางในช่วงเวลาหนึ่ง เส้นโค้งประแสดงตำแหน่งของจุดเดียวกันผ่าน T/2 แต่ละจุดจะแกว่งด้วยแอมพลิจูดที่กำหนดโดยระยะห่างจากเครื่องสั่น (x)
คลื่นนิ่งไม่เหมือนกับคลื่นเคลื่อนที่ เนื่องจากไม่มีการถ่ายโอนพลังงานเกิดขึ้นในคลื่นนิ่ง พลังงานเพียงแค่ผ่านจากศักย์ไฟฟ้า (ที่การกระจัดสูงสุดของจุดในตัวกลางจากตำแหน่งสมดุล) ไปยังจลน์ (เมื่อจุดผ่านตำแหน่งสมดุล) ภายในขอบเขตระหว่างจุดต่างๆ ที่ยังคงนิ่งอยู่
จุดทั้งหมดของคลื่นนิ่งภายในขอบเขตระหว่างโหนดจะแกว่งในเฟสเดียวกันและที่ด้านตรงข้ามของโหนด - ในแอนติเฟส
ตัวอย่างเช่น คลื่นนิ่งจะเกิดขึ้นในสายแรงดึงที่ตรึงไว้ที่ปลายทั้งสองข้างเมื่อมีการสั่นสะเทือนตามขวางตื่นเต้นอยู่ นอกจากนี้ในสถานที่ยึดยังมีโหนดคลื่นยืนอยู่
หากคลื่นนิ่งถูกสร้างขึ้นในคอลัมน์อากาศที่เปิดอยู่ที่ปลายด้านหนึ่ง (คลื่นเสียง) ก็จะเกิดแอนติโนดที่ปลายเปิด และโหนดจะเกิดขึ้นที่ปลายด้านตรงข้าม
เสียง. ผลกระทบดอปเปลอร์
คลื่นยืดหยุ่นตามยาวที่แพร่กระจายในก๊าซ ของเหลว และของแข็ง จะมองไม่เห็น อย่างไรก็ตาม จะสามารถได้ยินได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ดังนั้น ถ้าเรากระตุ้นการสั่นสะเทือนของไม้บรรทัดเหล็กยาวที่ถูกหนีบไว้ เราจะไม่ได้ยินเสียงคลื่นที่เกิดจากไม้บรรทัดนั้น แต่ถ้าเราย่อส่วนที่ยื่นออกมาของไม้บรรทัดให้สั้นลงและเพิ่มความถี่ของการแกว่ง เราจะพบว่าไม้บรรทัดจะเริ่มส่งเสียง
เรียกว่าคลื่นยืดหยุ่นที่ทำให้เกิดความรู้สึกทางการได้ยินในมนุษย์ คลื่นเสียงหรือเพียงแค่ เสียง.
หูของมนุษย์สามารถรับรู้คลื่นกลยืดหยุ่นที่มีความถี่ ν ตั้งแต่ 16 Hz ถึง 20,000 Hz คลื่นยืดหยุ่นที่มีความถี่ ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20,000Hz - อัลตราซาวนด์
ความถี่ในช่วงตั้งแต่ 16 Hz ถึง 20,000 Hz เรียกว่าความถี่เสียง วัตถุใดๆ (ของแข็ง ของเหลว หรือก๊าซ) ที่สั่นสะเทือนด้วยความถี่เสียงจะสร้างคลื่นเสียงในสิ่งแวดล้อม
ในก๊าซและของเหลว คลื่นเสียงแพร่กระจายในรูปแบบของคลื่นการบีบอัดตามยาวและคลื่นการทำให้บริสุทธิ์ การบีบอัดและการแยกตัวของสื่อ ซึ่งเป็นผลมาจากการสั่นสะเทือนของแหล่งกำเนิดเสียง (สาย ขาของส้อมเสียง สายเสียง ฯลฯ) หลังจากผ่านไประยะหนึ่งแล้วจึงไปถึงหูของมนุษย์ และส่งผลให้แก้วหูต้องบังคับแรงสั่นสะเทือน ทำให้เกิดการได้ยินบางอย่าง ความรู้สึกในบุคคล
ในสุญญากาศ คลื่นเสียงไม่สามารถแพร่กระจายได้ เนื่องจากไม่มีอะไรสั่นสะเทือน สามารถตรวจสอบได้ด้วยประสบการณ์ที่เรียบง่าย ถ้าเราวางกระดิ่งไฟฟ้าไว้ใต้ฝากระจกของปั๊มลม เมื่ออากาศถูกสูบออก เราจะพบว่าเสียงจะเบาลงเรื่อยๆ จนหยุดสนิท
เสียงในก๊าซ- เป็นที่ทราบกันว่าในช่วงที่เกิดพายุฝนฟ้าคะนอง เราจะเห็นฟ้าแลบเป็นอันดับแรก จากนั้นจึงได้ยินเสียงฟ้าร้องดังกึกก้อง ความล่าช้านี้เกิดขึ้นเนื่องจากความเร็วของเสียงในอากาศน้อยกว่าความเร็วแสงอย่างมาก ความเร็วของเสียงในอากาศถูกวัดครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Marin Mersen ในปี 1646 ที่อุณหภูมิ +20°С จะเท่ากับ 343 m/s กล่าวคือ 1235 กม./ชม.
ความเร็วของเสียงขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของตัวกลาง เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้นก็จะเพิ่มขึ้น และเมื่ออุณหภูมิลดลงก็จะลดลง
ความเร็วของเสียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของก๊าซที่เสียงนี้เดินทาง อย่างไรก็ตามขึ้นอยู่กับมวลของโมเลกุลด้วย ยิ่งมวลของโมเลกุลของก๊าซมาก ความเร็วของเสียงในนั้นก็จะยิ่งลดลง ดังนั้นที่อุณหภูมิ
0 ºС ความเร็วของเสียงในไฮโดรเจนคือ 1284 m/s และในคาร์บอนไดออกไซด์คือ 259 m/s
เสียงในของเหลว ความเร็วของเสียงในของเหลวมักจะมากกว่าความเร็วของเสียงในก๊าซ ความเร็วของเสียงในน้ำถูกวัดครั้งแรกในปี พ.ศ. 2369 การทดลองดังกล่าวเกิดขึ้นที่ทะเลสาบเจนีวาในประเทศสวิตเซอร์แลนด์ บนเรือลำหนึ่งพวกเขาจุดไฟเผาดินปืนและในเวลาเดียวกันก็ตีระฆังลงไปในน้ำ เสียงระฆังนี้ใช้แตรพิเศษจุ่มลงไปในน้ำก็ถูกจับบนเรืออีกลำซึ่งอยู่ห่างจากเรือลำแรก 14 กม. จากความแตกต่างของเวลาระหว่างแสงแฟลชและการมาถึงของสัญญาณเสียง ความเร็วของเสียงในน้ำจึงถูกกำหนด ที่อุณหภูมิ 8 ºС จะเท่ากับ 1,435 m/s
ในของเหลว โดยทั่วไปความเร็วของเสียงจะลดลงตามอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น น้ำเป็นข้อยกเว้นสำหรับกฎนี้ ในนั้นความเร็วของเสียงจะเพิ่มขึ้นตามอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้นและถึงสูงสุดที่อุณหภูมิ 74 ºСและเมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้นอีกก็จะลดลง
ต้องบอกว่าหูของมนุษย์ "ทำงาน" ได้ไม่ดีใต้น้ำ เสียงส่วนใหญ่สะท้อนจากแก้วหูจึงไม่ทำให้เกิดความรู้สึกทางการได้ยิน นี่คือสิ่งที่ครั้งหนึ่งทำให้บรรพบุรุษของเรามีพื้นฐานในการพิจารณาว่าโลกใต้น้ำเป็น "โลกแห่งความเงียบ" จึงเป็นที่มาของคำว่า "โง่เหมือนปลา" อย่างไรก็ตาม เลโอนาร์โด ดาวินชี ยังแนะนำให้ฟังเสียงใต้น้ำโดยแนบหูของคุณไว้กับไม้พายที่หย่อนลงไปในน้ำ หากใช้วิธีนี้ คุณจะเห็นว่าจริงๆ แล้วปลาพูดได้ค่อนข้างมาก
เสียงที่เป็นของแข็ง- ความเร็วของเสียงในของแข็งนั้นมากกว่าในของเหลวด้วยซ้ำ เฉพาะที่นี่เท่านั้นที่ควรคำนึงถึงว่าทั้งคลื่นตามยาวและตามขวางสามารถแพร่กระจายเป็นของแข็งได้ อย่างที่เรารู้ความเร็วของคลื่นเหล่านี้แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ในเหล็ก คลื่นตามขวางแพร่กระจายด้วยความเร็ว 3300 เมตรต่อวินาที และคลื่นตามยาวที่ความเร็ว 6100 เมตรต่อวินาที ความจริงที่ว่าความเร็วของเสียงในตัวของแข็งมากกว่าในอากาศสามารถตรวจสอบได้ดังนี้ หากเพื่อนของคุณชนปลายรางข้างหนึ่งและคุณเอาหูไปอีกด้านหนึ่ง ก็จะได้ยินเสียงชนสองครั้ง เสียงจะเข้าถึงหูของคุณผ่านทางรางก่อน แล้วจึงผ่านอากาศ
โลกมีค่าการนำไฟฟ้าที่ดี ดังนั้นในสมัยก่อนในระหว่างการปิดล้อม "ผู้ฟัง" จึงถูกวางไว้ในกำแพงป้อมปราการซึ่งด้วยเสียงที่ส่งมาจากพื้นดินสามารถระบุได้ว่าศัตรูกำลังขุดเข้าไปในกำแพงหรือไม่ การวางหูลงบนพื้นทำให้สามารถตรวจจับการเข้าใกล้ของทหารม้าของศัตรูได้
นอกจากเสียงที่ได้ยินแล้ว คลื่นอินฟราโซนิกยังแพร่กระจายในเปลือกโลกด้วย ซึ่งหูของมนุษย์ไม่สามารถรับรู้ได้อีกต่อไป คลื่นดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้ในระหว่างเกิดแผ่นดินไหว
คลื่นอินฟาเรดที่ทรงพลังแพร่กระจายทั้งในพื้นดินและในอากาศเกิดขึ้นระหว่างการระเบิดของภูเขาไฟและการระเบิดของระเบิดปรมาณู แหล่งที่มาของอินฟราซาวด์ยังอาจรวมถึงกระแสลมในบรรยากาศ การปล่อยสินค้า กระสุนปืน ลม กระแสคลื่นทะเล เครื่องยนต์ไอพ่นที่ทำงานอยู่ ฯลฯ
หูของมนุษย์ไม่สามารถรับรู้อัลตราซาวนด์ได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม สัตว์บางชนิด เช่น ค้างคาวและโลมา สามารถปล่อยและตรวจจับได้ ในเทคโนโลยีมีการใช้อุปกรณ์พิเศษเพื่อรับอัลตราซาวนด์
กรณีของการรบกวนที่สำคัญมากเกิดขึ้นเมื่อคลื่นระนาบที่มีแอมพลิจูดเท่ากันถูกซ้อนทับ กระบวนการออสซิลเลชันที่เกิดขึ้นนั้นเรียกว่า คลื่นยืน.
คลื่นนิ่งเกือบจะเกิดขึ้นเมื่อคลื่นสะท้อนจากสิ่งกีดขวาง คลื่นที่ตกลงบนสิ่งกีดขวางและคลื่นสะท้อนที่วิ่งเข้าหามันซ้อนทับกันทำให้เกิดคลื่นนิ่ง
ลองพิจารณาผลลัพธ์ของการรบกวนของคลื่นระนาบไซน์ซอยด์สองอันที่มีแอมพลิจูดเท่ากันซึ่งแพร่กระจายไปในทิศทางตรงกันข้าม
เพื่อความง่ายในการให้เหตุผล ให้เราสมมติว่าคลื่นทั้งสองทำให้เกิดการแกว่งในเฟสเดียวกันที่จุดกำเนิด
สมการของการแกว่งเหล่านี้มีรูปแบบ:
เพิ่มทั้งสมการและการแปลงผลลัพธ์โดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของไซน์ที่เราได้รับ:
- สมการคลื่นนิ่ง.
เมื่อเปรียบเทียบสมการนี้กับสมการการแกว่งของฮาร์มอนิก เราจะเห็นว่าแอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นมีค่าเท่ากับ:
ตั้งแต่ และ จากนั้น .
ณ จุดในตัวกลาง โดยที่ ไม่มีการสั่นสะเทือน กล่าวคือ - จุดเหล่านี้เรียกว่า โหนดคลื่นยืน.
ณ จุดที่ แอมพลิจูดของการแกว่งมีค่ามากที่สุด เท่ากับ จุดเหล่านี้เรียกว่า แอนติโนดคลื่นนิ่ง- พิกัดของแอนติโนดพบได้จากเงื่อนไข เนื่องจาก , ที่ .
จากที่นี่:
ในทำนองเดียวกัน พิกัดของโหนดจะพบได้จากเงื่อนไข:
ที่ไหน:
จากสูตรพิกัดของโหนดและแอนติโหนด เป็นไปตามว่าระยะห่างระหว่างแอนติโหนดที่อยู่ติดกัน รวมถึงระยะห่างระหว่างโหนดที่อยู่ติดกัน เท่ากับ แอนติโนดและโหนดจะเลื่อนสัมพันธ์กันประมาณหนึ่งในสี่ของความยาวคลื่น
ขอให้เราเปรียบเทียบธรรมชาติของการแกว่งของคลื่นนิ่งและคลื่นเคลื่อนที่ ในคลื่นเคลื่อนที่ แต่ละจุดผ่านการสั่น ซึ่งแอมพลิจูดไม่แตกต่างจากแอมพลิจูดของจุดอื่นๆ แต่การแกว่งของจุดต่างๆเกิดขึ้นด้วย ขั้นตอนที่แตกต่างกัน.
ในคลื่นนิ่ง อนุภาคทั้งหมดของตัวกลางที่อยู่ระหว่างโหนดข้างเคียงสองโหนดจะสั่นในเฟสเดียวกัน แต่มีแอมพลิจูดต่างกัน เมื่อผ่านโหนด ระยะการสั่นจะเปลี่ยนทันทีด้วย เพราะ เครื่องหมายเปลี่ยนไป
ในเชิงกราฟิก คลื่นนิ่งสามารถแสดงได้ดังนี้:
ณ เวลาที่ จุดทุกจุดของตัวกลางมีการกระจัดสูงสุด ซึ่งทิศทางของจุดนั้นจะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของ การกระจัดเหล่านี้จะแสดงในรูปด้วยลูกศรทึบ
หลังจากหนึ่งในสี่ของช่วงเวลา เมื่อ การกระจัดของจุดทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ อนุภาคเคลื่อนผ่านเส้นด้วยความเร็วที่ต่างกัน
หลังจากผ่านไปอีกหนึ่งไตรมาสของช่วงเวลา เมื่อ อนุภาคจะมีการกระจัดสูงสุดอีกครั้ง แต่ไปในทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรประ)
เมื่ออธิบายกระบวนการแกว่งในระบบยืดหยุ่น ไม่เพียงแต่การกระจัดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเร็วของอนุภาค รวมถึงการเสียรูปสัมพัทธ์ของตัวกลางที่สามารถใช้เป็นปริมาณการสั่นได้ด้วย
ในการค้นหากฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วของคลื่นนิ่ง เราแยกความแตกต่างด้วยสมการการกระจัดของคลื่นนิ่ง และเพื่อค้นหากฎแห่งการเปลี่ยนแปลงของการเปลี่ยนรูป เราจะแยกความแตกต่างด้วยสมการของคลื่นนิ่ง
จากการวิเคราะห์สมการเหล่านี้ เราจะเห็นว่าโหนดและแอนติโนดของความเร็วตรงกับโหนดและแอนติโนดของการกระจัด โหนดและแอนติบอดีของการเปลี่ยนรูปเกิดขึ้นพร้อมกันตามลำดับโดยมีแอนติบอดีและโหนดของความเร็วและการกระจัด
การสั่นสะเทือนของสาย
ในสายดึงตึงที่ปลายทั้งสองข้าง เมื่อเกิดการสั่นสะเทือนตามขวาง คลื่นนิ่งจะถูกสร้างขึ้น และโหนดควรอยู่ในตำแหน่งที่สายได้รับการแก้ไข ดังนั้น มีเพียงการสั่นสะเทือนดังกล่าวเท่านั้นที่จะตื่นเต้นในเชือก ซึ่งครึ่งหนึ่งของความยาวนั้นพอดีกับจำนวนเต็มคูณด้วยความยาวของเชือก
นี่หมายถึงเงื่อนไขต่อไปนี้:
ความยาวของเชือกอยู่ที่ไหน
หรืออย่างอื่น ความยาวคลื่นเหล่านี้สอดคล้องกับความถี่ โดยที่ คือความเร็วเฟสของคลื่น ขนาดของมันถูกกำหนดโดยแรงดึงของเชือกและมวลของมัน
ที่ - ความถี่พื้นฐาน
ใน - ความถี่ธรรมชาติของการสั่นสะเทือนของสายหรือ หวือหวา.
ผลกระทบดอปเปลอร์
ให้เราพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อแหล่งกำเนิดของคลื่นและผู้สังเกตการณ์เคลื่อนที่สัมพันธ์กับตัวกลางในเส้นตรงเดียวกัน:
1. แหล่งกำเนิดเสียงเคลื่อนที่สัมพันธ์กับตัวกลางด้วยความเร็ว เครื่องรับเสียงจะหยุดนิ่ง
ในกรณีนี้ ในช่วงการสั่น คลื่นเสียงจะเคลื่อนออกจากแหล่งกำเนิดในระยะไกล และแหล่งกำเนิดจะเคลื่อนที่ในระยะห่างเท่ากับ
หากแหล่งที่มาถูกลบออกจากเครื่องรับนั่นคือ เคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น จากนั้นตามด้วยความยาวคลื่น
หากแหล่งกำเนิดเสียงถูกนำเข้ามาใกล้กับเครื่องรับมากขึ้น เช่น เคลื่อนที่ไปในทิศทางของการแพร่กระจายคลื่น จากนั้น
ความถี่เสียงที่เครื่องรับรับรู้คือ:
ลองทดแทนค่าทั้งสองกรณี:
โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า ความถี่การสั่นของแหล่งกำเนิดอยู่ที่ไหน ความเท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบ:
ให้เราหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วย แล้ว:
2. แหล่งกำเนิดเสียงอยู่กับที่ และเครื่องรับจะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับตัวกลางด้วยความเร็ว .
ในกรณีนี้ ความยาวคลื่นในตัวกลางจะไม่เปลี่ยนแปลงและยังคงเท่ากัน ในเวลาเดียวกัน แอมพลิจูดสองอันต่อเนื่องกันซึ่งต่างกันในเวลาหนึ่งช่วงของการสั่นเมื่อไปถึงตัวรับที่กำลังเคลื่อนที่จะต่างกันตามเวลาในขณะที่คลื่นกระทบกับตัวรับในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งค่าจะมากกว่าหรือน้อยกว่า ขึ้นอยู่กับว่าเครื่องรับกำลังเคลื่อนออกไปหรือเข้าใกล้แหล่งกำเนิดเสียง เมื่อเวลาผ่านไป เสียงจะเดินทางเป็นระยะทางไกล และเครื่องรับจะเคลื่อนที่เป็นระยะทางหนึ่ง ผลรวมของปริมาณเหล่านี้ทำให้เราได้ความยาวคลื่น:
ระยะเวลาของการสั่นที่เครื่องรับรับรู้สัมพันธ์กับความถี่ของการสั่นเหล่านี้ตามอัตราส่วน:
แทนที่นิพจน์จากความเท่าเทียมกัน (1) เราจะได้:
เพราะ โดยที่ความถี่การสั่นของแหล่งกำเนิดคือ และ จากนั้น:
3. แหล่งกำเนิดและตัวรับสัญญาณของการเคลื่อนที่ของเสียงสัมพันธ์กับสื่อ เมื่อรวมผลลัพธ์ที่ได้รับในสองกรณีก่อนหน้านี้ เราได้รับ:
คลื่นเสียง
หากคลื่นยืดหยุ่นที่แพร่กระจายในอากาศมีความถี่ตั้งแต่ 20 ถึง 20,000 เฮิรตซ์ เมื่อคลื่นไปถึงหูของมนุษย์จะทำให้เกิดความรู้สึกของเสียง ดังนั้นคลื่นที่อยู่ในช่วงความถี่นี้จึงเรียกว่าเสียง คลื่นยืดหยุ่นที่มีความถี่น้อยกว่า 20 เฮิรตซ์เรียกว่า อินฟาเรด - คลื่นที่มีความถี่มากกว่า 20,000 เฮิรตซ์เรียกว่า อัลตราซาวนด์- หูของมนุษย์ไม่สามารถได้ยินเสียงอัลตราซาวนด์และอินฟราซาวนด์ได้
ความรู้สึกทางเสียงมีลักษณะเฉพาะด้วยระดับเสียงสูงต่ำ ต่ำ และระดับเสียง ระดับเสียงจะถูกกำหนดโดยความถี่ของการสั่นสะเทือน อย่างไรก็ตาม แหล่งกำเนิดเสียงไม่ได้ส่งเสียงออกมาเพียงเสียงเดียว แต่ส่งคลื่นความถี่ทั้งหมดออกมาด้วย ชุดความถี่การสั่นสะเทือนที่มีอยู่ในเสียงที่กำหนดเรียกว่าชุดความถี่การสั่นสะเทือน สเปกตรัมเสียง- พลังงานการสั่นสะเทือนจะกระจายไปในทุกความถี่ของสเปกตรัมเสียง ระดับเสียงจะถูกกำหนดโดยหนึ่ง - ความถี่หลักหากความถี่นี้มีปริมาณพลังงานมากกว่าส่วนแบ่งของความถี่อื่นอย่างมีนัยสำคัญ
หากสเปกตรัมประกอบด้วยความถี่หลายความถี่ที่อยู่ในช่วงความถี่ตั้งแต่ ถึง แสดงว่าสเปกตรัมนั้นถูกเรียก แข็ง(ตัวอย่าง - เสียงรบกวน)
หากสเปกตรัมประกอบด้วยชุดของการสั่นของความถี่ที่ไม่ต่อเนื่อง สเปกตรัมนั้นเรียกว่า ปกครอง(ตัวอย่าง - เสียงดนตรี)
สเปกตรัมเสียงของเสียง ขึ้นอยู่กับธรรมชาติและการกระจายพลังงานระหว่างความถี่ เป็นตัวกำหนดความริเริ่มของความรู้สึกของเสียง ที่เรียกว่าเสียงต่ำของเสียง เครื่องดนตรีแต่ละชนิดก็มีสเปกตรัมเสียงที่แตกต่างกัน เช่น ต่างกันที่เสียงต่ำ
ความเข้มของเสียงมีลักษณะเป็นปริมาณต่างๆ เช่น การสั่นสะเทือนของอนุภาคของตัวกลาง ความเร็ว แรงกด ความเค้นในตัวมัน เป็นต้น
เป็นการแสดงลักษณะของแอมพลิจูดของการแกว่งของปริมาณแต่ละปริมาณเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากปริมาณเหล่านี้มีความสัมพันธ์กัน จึงแนะนำให้แนะนำคุณลักษณะพลังงานเดียว คุณลักษณะนี้สำหรับคลื่นทุกประเภทถูกเสนอในปี พ.ศ. 2420 เอ็น.เอ. อูโมฟอฟ
ให้เราตัดแท่นออกจากด้านหน้าของคลื่นที่กำลังเดินทาง ในช่วงเวลาดังกล่าวบริเวณนี้จะเคลื่อนตัวเป็นระยะทาง โดยที่ความเร็วคลื่นจะเป็นเท่าใด
ให้เราแสดงด้วยพลังงานของหน่วยปริมาตรของตัวกลางที่สั่น จากนั้นพลังงานของปริมาตรทั้งหมดจะเท่ากัน
พลังงานนี้ถูกถ่ายโอนเมื่อเวลาผ่านไปโดยคลื่นที่แพร่กระจายผ่านพื้นที่
เมื่อหารนิพจน์นี้ด้วย และ เราจะได้พลังงานที่ถ่ายโอนโดยคลื่นผ่านหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา ปริมาณนี้เขียนแทนด้วยตัวอักษรและเรียกว่า เวกเตอร์อูมอฟ
สำหรับสนามเสียง เวกเตอร์อูมอฟเรียกว่าความแรงของเสียง
ความเข้มของเสียงเป็นลักษณะทางกายภาพของความเข้มของเสียง เราประเมินมันตามอัตวิสัยเช่น ปริมาณเสียง. หูของมนุษย์รับรู้เสียงที่มีความแรงเกินค่าต่ำสุดที่แน่นอน ซึ่งแตกต่างกันไปตามความถี่ที่ต่างกัน ค่านี้เรียกว่า เกณฑ์การได้ยินเสียง. สำหรับความถี่เฉลี่ยของลำดับ Hz เกณฑ์การได้ยินจะอยู่ที่
ด้วยความเข้มของเสียงที่สูงมาก เสียงจะถูกรับรู้โดยอวัยวะสัมผัสอื่นที่ไม่ใช่หู และทำให้เกิดอาการปวดในหู
ค่าความเข้มที่เกิดขึ้นนี้เรียกว่า เกณฑ์ความเจ็บปวด- เกณฑ์ของความเจ็บปวดและเกณฑ์การได้ยินนั้นขึ้นอยู่กับความถี่
มนุษย์มีอุปกรณ์ที่ค่อนข้างซับซ้อนในการรับรู้เสียง การสั่นสะเทือนของเสียงจะถูกรวบรวมโดยใบหูและส่งผลกระทบต่อแก้วหูผ่านทางช่องหู การสั่นสะเทือนจะถูกส่งไปยังช่องเล็กๆ ที่เรียกว่าคอเคลีย ภายในคอเคลียมีเส้นใยจำนวนมากที่มีความยาวและความตึงต่างกัน ดังนั้นจึงมีความถี่การสั่นสะเทือนตามธรรมชาติต่างกัน เมื่อสัมผัสกับเสียง เส้นใยแต่ละเส้นจะสะท้อนเสียงที่มีความถี่สอดคล้องกับความถี่ธรรมชาติของเส้นใย ชุดความถี่เรโซแนนซ์ในเครื่องช่วยฟังจะกำหนดพื้นที่ของการสั่นสะเทือนของเสียงที่เรารับรู้
ระดับเสียงที่หูของเราประเมินตามอัตวิสัยจะเพิ่มขึ้นช้ากว่าความเข้มของคลื่นเสียงมาก ในขณะที่ความเข้มข้นเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ ปริมาตรก็จะเพิ่มขึ้นตามหลักคณิตศาสตร์ บนพื้นฐานนี้ ระดับเสียงถูกกำหนดเป็นลอการิทึมของอัตราส่วนของความเข้มของเสียงที่กำหนดต่อความเข้มที่ใช้เป็นต้นฉบับ
หน่วยความดังเรียกว่า สีขาว- นอกจากนี้ยังใช้หน่วยขนาดเล็ก - เดซิเบล(น้อยกว่าสีขาวถึง 10 เท่า)
ค่าสัมประสิทธิ์การดูดซับเสียงอยู่ที่ไหน
ค่าสัมประสิทธิ์การดูดซับเสียงจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนกำลังสองของความถี่เสียง ดังนั้นเสียงต่ำจึงเดินทางได้ไกลกว่าเสียงสูง
ในด้านอะคูสติกทางสถาปัตยกรรมสำหรับห้องขนาดใหญ่มีบทบาทสำคัญ เสียงก้องหรือห้องเอคโค่ เสียงที่มีการสะท้อนหลายครั้งจากพื้นผิวที่ปิดล้อม ผู้ฟังจะรับรู้ได้ในระยะเวลาอันยาวนาน สิ่งนี้จะเพิ่มความแรงของเสียงที่มาถึงเรา แต่ถ้าเสียงก้องยาวเกินไป แต่ละเสียงจะทับซ้อนกันและคำพูดจะไม่ชัดเจนอีกต่อไป ดังนั้นผนังห้องโถงจึงถูกหุ้มด้วยวัสดุดูดซับเสียงชนิดพิเศษเพื่อลดเสียงสะท้อน
แหล่งที่มาของการสั่นสะเทือนของเสียงอาจเป็นร่างกายที่สั่นได้: ลิ้นกระดิ่ง, ส้อมเสียง, สายไวโอลิน, คอลัมน์อากาศในเครื่องลม ฯลฯ วัตถุเดียวกันนี้ยังสามารถทำหน้าที่เป็นตัวรับเสียงได้เมื่อพวกมันเคลื่อนที่ภายใต้อิทธิพลของการสั่นสะเทือนของสิ่งแวดล้อม
อัลตราซาวนด์
เพื่อให้ได้ทิศทางเช่น ใกล้กับคลื่นแบน ขนาดของตัวปล่อยจะต้องมากกว่าความยาวคลื่นหลายเท่า คลื่นเสียงในอากาศมีความยาวได้ถึง 15 เมตร ในวัตถุที่เป็นของเหลวและของแข็งความยาวคลื่นจะยาวกว่านั้นอีก ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้เลยที่จะสร้างหม้อน้ำที่จะสร้างคลื่นกำกับที่มีความยาวขนาดนั้น
การสั่นสะเทือนแบบอัลตราโซนิกมีความถี่มากกว่า 20,000 เฮิรตซ์ ดังนั้นความยาวคลื่นจึงสั้นมาก เมื่อความยาวคลื่นลดลง บทบาทของการเลี้ยวเบนในกระบวนการกระจายคลื่นก็ลดลงเช่นกัน ดังนั้นคลื่นอัลตราโซนิกจึงสามารถผลิตได้ในรูปของลำแสงที่มีทิศทางเหมือนกับลำแสง
มีการใช้ปรากฏการณ์สองประการเพื่อกระตุ้นคลื่นอัลตราโซนิก: เอฟเฟกต์เพียโซอิเล็กทริกแบบย้อนกลับและ สนามแม่เหล็ก.
เอฟเฟกต์เพียโซอิเล็กทริกแบบย้อนกลับคือแผ่นคริสตัลบางชนิด (เกลือโรแชล, ควอตซ์, แบเรียมไททาเนต ฯลฯ ) มีรูปร่างผิดปกติเล็กน้อยภายใต้อิทธิพลของสนามไฟฟ้า เมื่อวางไว้ระหว่างแผ่นโลหะที่ใช้แรงดันไฟฟ้ากระแสสลับ อาจทำให้เกิดการสั่นสะเทือนแบบบังคับของแผ่นได้ การสั่นสะเทือนเหล่านี้จะถูกส่งไปยังสิ่งแวดล้อมและสร้างคลื่นอัลตราโซนิกในนั้น
แมกนีโตสตริกชันหมายความว่าสารเฟอร์โรแมกเนติก (เหล็ก นิกเกิล โลหะผสมของสารดังกล่าว ฯลฯ) มีรูปร่างผิดปกติภายใต้อิทธิพลของสนามแม่เหล็ก ดังนั้น การวางแท่งเฟอร์โรแมกเนติกในสนามแม่เหล็กสลับ อาจทำให้เกิดการสั่นสะเทือนทางกลได้
ค่าความเร็วและความเร่งของเสียงที่สูงตลอดจนวิธีการที่ได้รับการพัฒนาอย่างดีสำหรับการศึกษาและรับการสั่นสะเทือนแบบอัลตราโซนิกทำให้สามารถใช้เพื่อแก้ไขปัญหาทางเทคนิคมากมายได้ เรามาแสดงรายการบางส่วนกัน
ในปี 1928 นักวิทยาศาสตร์ชาวโซเวียต S.Ya. Sokolov เสนอให้ใช้อัลตราซาวนด์เพื่อการตรวจจับข้อบกพร่องเช่น สำหรับการตรวจจับข้อบกพร่องภายในที่ซ่อนอยู่ เช่น เปลือกหอย รอยแตก การหลวม การรวมตัวของตะกรัน ฯลฯ ในผลิตภัณฑ์โลหะ หากขนาดของข้อบกพร่องเกินความยาวคลื่นของอัลตราซาวนด์ พัลส์อัลตราโซนิกจะสะท้อนจากข้อบกพร่องและส่งคืนกลับมา ด้วยการส่งพัลส์อัลตราโซนิกเข้าไปในผลิตภัณฑ์และบันทึกสัญญาณเสียงสะท้อนที่สะท้อน ไม่เพียงแต่จะตรวจจับการมีอยู่ของข้อบกพร่องในผลิตภัณฑ์เท่านั้น แต่ยังช่วยตัดสินขนาดและตำแหน่งของข้อบกพร่องเหล่านี้ด้วย ปัจจุบันวิธีนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรม
คานอัลตราโซนิกแบบกำหนดทิศทางมีการใช้งานอย่างกว้างขวางเพื่อจุดประสงค์ด้านตำแหน่ง เช่น เพื่อตรวจจับวัตถุในน้ำและกำหนดระยะห่างจากวัตถุเหล่านั้น แนวคิดเรื่องตำแหน่งอัลตราโซนิกถูกเสนอครั้งแรกโดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสผู้โดดเด่น พี. ลังเกวินและได้รับการพัฒนาโดยเขาในช่วงสงครามโลกครั้งที่หนึ่งเพื่อตรวจจับเรือดำน้ำ ปัจจุบันหลักการของโซนาร์ใช้ในการตรวจจับภูเขาน้ำแข็ง ฝูงปลา ฯลฯ วิธีการเหล่านี้ยังสามารถกำหนดความลึกของทะเลใต้ท้องเรือได้ (เครื่องสะท้อนเสียง)
คลื่นอัลตราโซนิกแอมพลิจูดสูงในปัจจุบันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในเทคโนโลยีสำหรับการประมวลผลทางกลของวัสดุแข็ง การทำความสะอาดวัตถุขนาดเล็ก (ชิ้นส่วนนาฬิกา ท่อ ฯลฯ) ที่อยู่ในของเหลว การไล่แก๊ส ฯลฯ
คลื่นอัลตราโซนิคทำให้เกิดปรากฏการณ์เฉพาะหลายประการในการสร้างแรงกดทับในตัวกลางระหว่างการเคลื่อนที่: การบด (การกระจายตัว) ของอนุภาคที่แขวนลอยในของเหลว การก่อตัวของอิมัลชัน การเร่งกระบวนการแพร่กระจาย การกระตุ้นปฏิกิริยาเคมี ผลกระทบต่อวัตถุทางชีวภาพ ฯลฯ
ลองพิจารณาผลลัพธ์ของการรบกวนของคลื่นระนาบไซน์ซอยด์สองอันที่มีแอมพลิจูดและความถี่เท่ากันซึ่งแพร่กระจายไปในทิศทางตรงกันข้าม เพื่อความง่ายในการให้เหตุผล ให้เราสมมติว่าสมการของคลื่นเหล่านี้มีรูปแบบ:
ซึ่งหมายความว่าที่จุดกำเนิดคลื่นทั้งสองจะแกว่งในเฟสเดียวกัน ที่จุด A ที่มีพิกัด x ค่ารวมของปริมาณการสั่นตามหลักการซ้อนทับ (ดูมาตรา 19) เท่ากับ
สมการนี้แสดงให้เห็นว่าจากการรบกวนของคลื่นไปข้างหน้าและข้างหลังในแต่ละจุดของตัวกลาง (ด้วยพิกัดคงที่) การสั่นของฮาร์มอนิกจึงเกิดขึ้นที่ความถี่เดียวกัน แต่มีแอมพลิจูด
ขึ้นอยู่กับค่าของพิกัด x ที่จุดในตัวกลางซึ่งไม่มีการสั่นเลย จุดเหล่านี้เรียกว่าโหนดการสั่น
ณ จุดที่แอมพลิจูดของการสั่นมีค่ามากที่สุด เท่ากับจุดเหล่านี้เรียกว่าแอนติโนดของการสั่น มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าระยะห่างระหว่างโหนดที่อยู่ติดกันหรือแอนติโหนดที่อยู่ติดกันเท่ากับระยะห่างระหว่างแอนติโหนดและโหนดที่ใกล้ที่สุดเท่ากับ เมื่อ x เปลี่ยนแปลงด้วยโคไซน์ในสูตร (5.16) เครื่องหมายจะกลับกัน (อาร์กิวเมนต์ของมันเปลี่ยนเป็น ดังนั้นหากภายในครึ่งคลื่นหนึ่ง - จากโหนดหนึ่งไปยังอีกโหนดหนึ่ง - อนุภาคของตัวกลางถูกเบี่ยงเบนไปในทิศทางเดียว จากนั้นภายในครึ่งคลื่นที่อยู่ติดกัน อนุภาคของตัวกลางจะถูกเบี่ยงเบนไปในทิศทางตรงกันข้าม
กระบวนการของคลื่นในตัวกลางที่อธิบายไว้ในสูตร (5.16) เรียกว่าคลื่นนิ่ง ในเชิงกราฟิก สามารถแสดงคลื่นนิ่งได้ดังแสดงในรูปที่ 1 1.61. สมมติว่า y เป็นการกระจัดของจุดในตัวกลางจากสภาวะสมดุล จากนั้นสูตร (5.16) อธิบาย "คลื่นการกระจัดยืน" ณ จุดใดจุดหนึ่ง เมื่อจุดทั้งหมดของตัวกลางมีการกระจัดสูงสุด ทิศทางของจุดนั้นจะขึ้นอยู่กับค่าของพิกัด x จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมาย การกระจัดเหล่านี้จะแสดงในรูปที่ 1 1.61 มีลูกศรทึบ หลังจากหนึ่งในสี่ของช่วงเวลา เมื่อการกระจัดของจุดทั้งหมดของตัวกลางเท่ากับศูนย์ อนุภาคของตัวกลางเคลื่อนผ่านเส้นด้วยความเร็วที่ต่างกัน หลังจากผ่านไปอีกหนึ่งในสี่ของช่วงเวลา เมื่ออนุภาคของตัวกลางจะมีการกระจัดสูงสุดอีกครั้ง แต่ไปในทิศทางตรงกันข้าม การชดเชยเหล่านี้จะแสดงอยู่ใน
ข้าว. 1.61 มีลูกศรประ. จุดเหล่านี้เป็นแอนติโนดของคลื่นการกระจัดแบบยืน จุดและโหนดของคลื่นนี้
ลักษณะเฉพาะของคลื่นนิ่ง ซึ่งตรงกันข้ามกับการแพร่กระจายหรือการเคลื่อนที่ตามปกติมีดังต่อไปนี้ (หมายถึงคลื่นระนาบในกรณีที่ไม่มีการลดทอน):
1) ในคลื่นนิ่ง แอมพลิจูดของการแกว่งจะแตกต่างกันในตำแหน่งต่าง ๆ ของระบบ ระบบมีโหนดและแอนติบอดีของการแกว่ง ในคลื่น "กำลังเดินทาง" แอมพลิจูดเหล่านี้จะเท่ากันทุกที่
2) ภายในส่วนของระบบจากโหนดหนึ่งไปยังโหนดข้างเคียง จุดทั้งหมดของตัวกลางจะสั่นในเฟสเดียวกัน เมื่อเคลื่อนที่ไปยังส่วนใกล้เคียง ระยะของการแกว่งจะกลับกัน ในคลื่นเคลื่อนที่ ระยะของการแกว่งตามสูตร (5.2) ขึ้นอยู่กับพิกัดของจุดต่างๆ
3) ในคลื่นนิ่งไม่มีการถ่ายโอนพลังงานทางเดียว เช่นเดียวกับในกรณีของคลื่นเดินทาง
เมื่ออธิบายกระบวนการออสซิลเลชันในระบบยืดหยุ่น ค่าการสั่น y สามารถนำมาใช้ได้ไม่เพียงแต่เป็นการกระจัดหรือความเร็วของอนุภาคของระบบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าของการเสียรูปสัมพัทธ์หรือค่าของการบีบอัด แรงดึง หรือความเค้นเฉือน เป็นต้น ยิ่งไปกว่านั้น ในคลื่นนิ่ง ในสถานที่ที่มีการสร้างแอนติโหนดความเร็วอนุภาค โหนดการเปลี่ยนรูปจะตั้งอยู่ และในทางกลับกัน โหนดความเร็วจะตรงกับแอนติโหนดการเปลี่ยนรูป การแปลงพลังงานจากรูปแบบจลน์ไปสู่รูปแบบที่เป็นไปได้และในทางกลับกันเกิดขึ้นภายในส่วนของระบบจากแอนติบอดีไปยังโหนดข้างเคียง เราสามารถสรุปได้ว่าแต่ละพื้นที่ดังกล่าวไม่ได้แลกเปลี่ยนพลังงานกับพื้นที่ใกล้เคียง โปรดทราบว่าการแปลงพลังงานจลน์ของอนุภาคเคลื่อนที่เป็นพลังงานศักย์ของส่วนที่ผิดรูปของตัวกลางเกิดขึ้นสองครั้งในช่วงเวลาหนึ่ง
ข้างต้น เมื่อพิจารณาการรบกวนของคลื่นไปข้างหน้าและข้างหลัง (ดูสำนวน (5.16)) เราไม่สนใจต้นกำเนิดของคลื่นเหล่านี้ ตอนนี้เราสมมติว่าตัวกลางที่การสั่นสะเทือนแพร่กระจายมีขนาดที่จำกัด เช่น การสั่นสะเทือนเกิดขึ้นในตัวของแข็งบางชนิด - ในแท่งหรือเชือก ในคอลัมน์ของเหลวหรือก๊าซ เป็นต้น คลื่นที่แพร่กระจายในตัวกลางดังกล่าว ( ร่างกาย) สะท้อนจากขอบเขต ดังนั้น ภายในปริมาตรของร่างกายนี้ การรบกวนของคลื่นที่เกิดจากแหล่งภายนอกและสะท้อนจากขอบเขตจึงเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง
ลองดูตัวอย่างง่ายๆ สมมติว่า ณ จุดหนึ่ง (รูปที่ 1.62) ของแท่งหรือเชือก การเคลื่อนที่แบบสั่นด้วยความถี่จะตื่นเต้นด้วยความช่วยเหลือของแหล่งกำเนิดไซนัสซอยด์ภายนอก เราเลือกจุดเริ่มต้นของการนับเวลาเพื่อที่ ณ จุดนี้การกระจัดจะถูกแสดงโดยสูตร
โดยที่แอมพลิจูดของการแกว่ง ณ จุด คลื่นที่เกิดในแท่งจะสะท้อนจากปลายที่สองของแท่ง 0% และจะไปในทิศทางตรงกันข้าม
ทิศทาง. ลองหาผลลัพธ์ของการแทรกสอดของคลื่นตรงและคลื่นสะท้อนที่จุดหนึ่งของแกนที่มีพิกัด x เพื่อความง่ายในการให้เหตุผล เราถือว่าไม่มีการดูดซับพลังงานการสั่นสะเทือนในแกน ดังนั้น แอมพลิจูดของคลื่นตรงและคลื่นสะท้อนจึงเท่ากัน
ณ จุดหนึ่งเมื่อการกระจัดของอนุภาคที่สั่น ณ จุดหนึ่งเท่ากับ y ที่จุดอื่นของแกน การกระจัดที่เกิดจากคลื่นตรงจะเท่ากับตามสูตรคลื่น
คลื่นสะท้อนก็ผ่านจุด A เดียวกันด้วย ในการหาการกระจัดที่เกิดจากคลื่นสะท้อนที่จุด A (ในขณะเดียวกันจำเป็นต้องคำนวณระยะเวลาที่คลื่นเดินทางจากจุด A ไปยังจุดสะท้อนกลับ เนื่องจากค่าการกระจัดที่เกิดจากคลื่นสะท้อนที่จุด A คลื่นจะเท่ากับ
สันนิษฐานว่าที่ปลายสะท้อนของแท่งในระหว่างกระบวนการสะท้อน ไม่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันในระยะการสั่น ในบางกรณี การเปลี่ยนแปลงเฟสนี้ (เรียกว่าการสูญเสียเฟส) เกิดขึ้นและต้องนำมาพิจารณาด้วย
การรวมกันของการแกว่งที่เกิดขึ้นที่จุดต่างๆ ของก้านโดยคลื่นตรงและคลื่นสะท้อนทำให้เกิดคลื่นนิ่ง จริงหรือ,
โดยมีเฟสคงที่ไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด x และปริมาณ
คือแอมพลิจูดของการแกว่งที่จุดหนึ่ง ขึ้นอยู่กับพิกัด x กล่าวคือ มันต่างกันในตำแหน่งต่างๆ ของแท่ง
ให้เราค้นหาพิกัดของจุดเหล่านั้นของแท่งซึ่งเกิดโหนดและแอนติโนดของคลื่นนิ่ง โคไซน์เปลี่ยนเป็นศูนย์หรือหนึ่งเมื่อค่าอาร์กิวเมนต์ทวีคูณ
จำนวนเต็มอยู่ที่ไหน หากตัวเลขนี้เป็นเลขคี่ โคไซน์จะกลายเป็นศูนย์ และสูตร (5.19) จะให้พิกัดของโหนดของคลื่นนิ่ง ถ้าเท่ากันเราจะได้พิกัดของแอนติโนด
ด้านบนมีการเพิ่มคลื่นเพียง 2 คลื่น คือ คลื่นตรงที่มาจากและคลื่นสะท้อนที่แพร่กระจายจาก อย่างไรก็ตาม ควรคำนึงว่าคลื่นสะท้อนที่ขอบของแท่งไม้จะสะท้อนอีกครั้งและไปในทิศทางของคลื่นตรง . ภาพสะท้อนดังกล่าว
จะมีจำนวนมากจากปลายไม้เท้าและดังนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาผลลัพธ์ของการรบกวนไม่ใช่สองอัน แต่เป็นคลื่นที่มีอยู่ในแกนทั้งหมดพร้อมกัน
สมมติว่าแหล่งกำเนิดการสั่นภายนอกทำให้เกิดคลื่นในแกนเป็นระยะเวลาหนึ่ง หลังจากนั้นการจ่ายพลังงานการสั่นจากภายนอกก็หยุดลง ในช่วงเวลานี้ การสะท้อนเกิดขึ้นในไม้วัด ซึ่งเป็นเวลาที่คลื่นส่งผ่านจากปลายด้านหนึ่งของไม้วัดไปยังอีกด้านหนึ่ง ดังนั้นคลื่นที่เคลื่อนที่ในทิศทางไปข้างหน้าและคลื่นที่เคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้ามจึงมีอยู่ในแกนพร้อม ๆ กัน
สมมติว่าเป็นผลมาจากการรบกวนของคลื่นคู่หนึ่ง (ตรงและสะท้อน) การกระจัดที่จุด A จะเท่ากับ y ให้เราค้นหาเงื่อนไขที่การกระจัดทั้งหมด y ที่เกิดจากคลื่นแต่ละคู่มีทิศทางเดียวกันที่จุด A ของแกนแล้วจึงรวมกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระยะของการแกว่งที่เกิดจากคลื่นแต่ละคู่ที่จุดหนึ่งจะต้องแตกต่างจากระยะการแกว่งที่เกิดจากคลื่นคู่ถัดไป แต่แต่ละคลื่นจะกลับไปที่จุด A อีกครั้งด้วยทิศทางการแพร่กระจายเดียวกันหลังจากนั้นไม่นานเท่านั้น กล่าวคือ มันล้าหลังในเฟสโดยการเทียบความล่าช้านี้กับจำนวนเต็มที่ไหน เราจะได้
นั่นคือครึ่งคลื่นจำนวนเต็มจะต้องพอดีกับความยาวของไม้วัด โปรดทราบว่าภายใต้เงื่อนไขนี้ เฟสของคลื่นทั้งหมดที่เดินทางจากทิศทางไปข้างหน้าจะแตกต่างกันโดยที่ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม ในทำนองเดียวกัน เฟสของคลื่นทั้งหมดที่เดินทางจากทิศทางตรงกันข้ามจะต่างกันด้วย ดังนั้น หากคลื่นคู่หนึ่ง (ตรงและข้างหลัง) ให้การกระจายตัวของการกระจัดไปตามแกนที่กำหนดโดยสูตร (5.17) แล้วเมื่อใด คลื่นคู่ดังกล่าวรบกวน การกระจายตัวของการกระจัดจะไม่เปลี่ยนแปลง มีเพียงแอมพลิจูดของการแกว่งเท่านั้นที่จะเพิ่มขึ้น หากแอมพลิจูดสูงสุดของการแกว่งระหว่างการรบกวนของคลื่นสองคลื่นตามสูตร (5.18) เท่ากัน ดังนั้นเมื่อมีการรบกวนของคลื่นหลาย ๆ คลื่นก็จะยิ่งใหญ่กว่า ให้เราแสดงแทนแล้วการกระจายตัวของแอมพลิจูดการแกว่งไปตามแกนแทนนิพจน์ (5.18) จะถูกกำหนดโดยสูตร
จากนิพจน์ (5.19) และ (5.20) จุดที่โคไซน์มีค่าหรือ 1 ถูกกำหนด:
โดยที่จำนวนเต็ม พิกัดของโหนดของคลื่นนิ่งได้มาจากสูตรนี้สำหรับค่าคี่จากนั้นขึ้นอยู่กับความยาวของแท่งนั่นคือ ขนาด
พิกัดของแอนติโนดจะได้รับที่ค่าคู่
ในรูป รูปที่ 1.63 แผนผังแสดงคลื่นนิ่งในท่อนไม้ที่มีความยาว ; จุดนั้นเป็นแอนติบอดี จุดนั้นเป็นโหนดของคลื่นนิ่งนี้
ในช. แสดงให้เห็นว่าหากไม่มีอิทธิพลภายนอกเป็นระยะ ธรรมชาติของการเคลื่อนที่แบบแกว่งในระบบและเหนือสิ่งอื่นใด ปริมาณหลัก - ความถี่ของการแกว่ง - จะถูกกำหนดโดยขนาดและคุณสมบัติทางกายภาพของระบบ ระบบออสซิลเลเตอร์แต่ละระบบมีการเคลื่อนที่แบบออสซิลเลเตอร์ของตัวเอง การสั่นนี้สามารถสังเกตได้หากระบบถูกนำออกจากสมดุลแล้วอิทธิพลภายนอกจะถูกลบออกไป
ในช. ส่วนที่ 4 ฉันพิจารณาระบบการแกว่งที่มีพารามิเตอร์เป็นก้อนเป็นหลัก ซึ่งวัตถุบางส่วน (วัตถุจุด) มีมวลเฉื่อย และวัตถุอื่นๆ (สปริง) มีคุณสมบัติยืดหยุ่น ในทางตรงกันข้าม ระบบออสซิลลาทอรีซึ่งมีมวลและความยืดหยุ่นอยู่ในปริมาตรเบื้องต้นแต่ละปริมาตรเรียกว่าระบบที่มีพารามิเตอร์แบบกระจาย ซึ่งรวมถึงท่อนไม้ เครื่องสายที่กล่าวถึงข้างต้น ตลอดจนเสาของเหลวหรือก๊าซ (ในเครื่องดนตรีประเภทลม) ฯลฯ สำหรับระบบดังกล่าว การสั่นตามธรรมชาติคือคลื่นนิ่ง ลักษณะสำคัญของคลื่นเหล่านี้ - ความยาวคลื่นหรือการกระจายของโหนดและแอนติโนดตลอดจนความถี่การสั่น - ถูกกำหนดโดยขนาดและคุณสมบัติของระบบเท่านั้น คลื่นนิ่งสามารถดำรงอยู่ได้แม้ว่าจะไม่มีอิทธิพลภายนอก (เป็นระยะ) ต่อระบบก็ตาม ผลกระทบนี้มีความจำเป็นเพียงเพื่อทำให้เกิดหรือรักษาคลื่นนิ่งในระบบหรือเพื่อเปลี่ยนแอมพลิจูดของการแกว่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าอิทธิพลภายนอกต่อระบบที่มีพารามิเตอร์แบบกระจายเกิดขึ้นกับความถี่เท่ากับความถี่ของการแกว่งของมันเอง กล่าวคือ ความถี่ของคลื่นนิ่ง ปรากฏการณ์ของการสั่นพ้องจะเกิดขึ้น ตามที่อภิปรายในบทนี้ 5. เหมือนกันสำหรับความถี่ที่ต่างกัน
ดังนั้น ในระบบที่มีพารามิเตอร์แบบกระจาย การสั่นตามธรรมชาติ - คลื่นนิ่ง - มีลักษณะเฉพาะด้วยสเปกตรัมทั้งหมดที่ทวีคูณซึ่งกันและกัน ความถี่ที่เล็กที่สุดซึ่งสอดคล้องกับความยาวคลื่นที่ยาวที่สุดเรียกว่าความถี่พื้นฐาน ที่เหลือ) เป็นโอเวอร์โทนหรือฮาร์โมนิค
แต่ละระบบมีเอกลักษณ์เฉพาะไม่เพียงแค่มีสเปกตรัมของการสั่นสะเทือนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการกระจายพลังงานบางอย่างระหว่างการสั่นสะเทือนของความถี่ที่ต่างกันด้วย สำหรับเครื่องดนตรี การกระจายนี้จะทำให้เสียงมีคุณลักษณะพิเศษที่เรียกว่า timbre of sound ซึ่งจะแตกต่างกันไปตามเครื่องดนตรีต่างๆ
การคำนวณข้างต้นใช้กับแท่งที่แกว่งอย่างอิสระ อย่างไรก็ตาม เรามักจะมีแท่งที่ยึดอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งหรือทั้งสองข้าง (เช่น สายสั่น) หรือมีจุดยึดอย่างน้อยหนึ่งจุดตามแนวแท่ง ระบบไม่สามารถสั่นสะเทือนได้เมื่อมีการบังคับแทนที่โหนด ตัวอย่างเช่น
หากจำเป็นต้องรับคลื่นนิ่งในแท่งที่จุดยึดหนึ่ง, สอง, สามจุด ฯลฯ จุดเหล่านี้ไม่สามารถเลือกได้โดยพลการ แต่จะต้องตั้งอยู่ตามแท่งเพื่อให้จุดสิ้นสุดที่โหนดของผลลัพธ์ คลื่นยืน สิ่งนี้ถูกแสดงไว้ เช่น ในรูป 1.64. ในรูปเดียวกัน เส้นประแสดงการกระจัดของจุดของแกนระหว่างการสั่นสะเทือน แอนติโนดดิสเพลสเมนต์จะเกิดขึ้นที่ปลายอิสระเสมอ ส่วนดิสเพลสเมนต์แอนติโนดจะเกิดขึ้นที่ปลายคงที่เสมอ สำหรับคอลัมน์อากาศที่สั่นในท่อ โหนดการกระจัด (และความเร็ว) จะได้รับที่ผนังทึบสะท้อนแสง แอนติโนดของการกระจัดและความเร็วจะเกิดขึ้นที่ปลายเปิดของท่อ
หากคลื่นหลายคลื่นแพร่กระจายพร้อมกันในตัวกลาง การแกว่งของอนุภาคในตัวกลางจะกลายเป็นผลรวมทางเรขาคณิตของการแกว่งที่อนุภาคจะเกิดขึ้นหากคลื่นแต่ละคลื่นแพร่กระจายแยกกัน ด้วยเหตุนี้ คลื่นจึงซ้อนทับกันโดยไม่รบกวนกัน ข้อความนี้เรียกว่าหลักการของการซ้อนคลื่น หลักการของการซ้อนทับระบุว่าการเคลื่อนไหวที่เกิดจากการแพร่กระจายของคลื่นหลายลูกในคราวเดียวนั้นเป็นกระบวนการของคลื่นที่แน่นอนอีกครั้ง เช่น กระบวนการดังกล่าวคือเสียงของวงออเคสตรา มันเกิดจากการกระตุ้นการสั่นสะเทือนของเสียงในอากาศพร้อมกันโดยเครื่องดนตรีแต่ละชิ้น เป็นที่น่าสังเกตว่าเมื่อคลื่นซ้อนทับกัน อาจเกิดปรากฏการณ์พิเศษขึ้นได้ พวกมันถูกเรียกว่าเอฟเฟกต์เพิ่มเติมหรืออย่างที่พวกเขาพูดกันว่าการซ้อนทับของคลื่น ผลกระทบที่สำคัญที่สุดคือการรบกวนและการเลี้ยวเบน
การรบกวนเป็นปรากฏการณ์ของการกระจายพลังงานการสั่นในอวกาศใหม่ตามเวลาอย่างยั่งยืน ซึ่งเป็นผลมาจากการสั่นที่เพิ่มขึ้นในบางสถานที่และอ่อนลงในที่อื่น ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อคลื่นที่มีความต่างเฟสซึ่งยังคงอยู่เมื่อเวลาผ่านไปถูกรวมเข้าด้วยกัน เรียกว่าคลื่นต่อเนื่องกัน การรบกวนของคลื่นจำนวนมากเรียกว่าการเลี้ยวเบน ไม่มีความแตกต่างพื้นฐานระหว่างการรบกวนและการเลี้ยวเบน ธรรมชาติของปรากฏการณ์เหล่านี้ก็เหมือนกัน เราจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงอภิปรายถึงผลกระทบจากการรบกวนที่สำคัญมากเพียงประการเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือการก่อตัวของคลื่นนิ่ง
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการก่อตัวของคลื่นนิ่งคือการมีขอบเขตที่สะท้อนคลื่นที่ตกกระทบ คลื่นนิ่งเกิดขึ้นจากการเพิ่มของเหตุการณ์และคลื่นสะท้อน ปรากฏการณ์ประเภทนี้เกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย ดังนั้นทุกโทนเสียงของเครื่องดนตรีจึงตื่นเต้นกับคลื่นนิ่ง คลื่นนี้ถูกสร้างขึ้นในเครื่องสาย (เครื่องสาย) หรือในคอลัมน์อากาศ (เครื่องลม) ขอบเขตที่สะท้อนในกรณีเหล่านี้คือจุดยึดสายและพื้นผิวของโพรงภายในของเครื่องลม
คลื่นนิ่งแต่ละคลื่นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ พื้นที่ทั้งหมดของอวกาศที่คลื่นตื่นเต้นสามารถแบ่งออกเป็นเซลล์ในลักษณะที่ไม่มีความผันผวนที่ขอบเขตของเซลล์โดยสิ้นเชิง จุดที่อยู่บนขอบเขตเหล่านี้เรียกว่าโหนดคลื่นนิ่ง เฟสของการแกว่งที่จุดภายในของแต่ละเซลล์จะเท่ากัน การสั่นในเซลล์ข้างเคียงเกิดขึ้นต่อกันนั่นคือในแอนติเฟส ภายในเซลล์เดียว แอมพลิจูดของการแกว่งจะแตกต่างกันไปในอวกาศ และในบางสถานที่จะถึงค่าสูงสุด จุดที่สังเกตสิ่งนี้เรียกว่าแอนติโนดคลื่นนิ่ง สุดท้ายนี้ คุณสมบัติเฉพาะของคลื่นนิ่งคือความไม่ต่อเนื่องของสเปกตรัมความถี่ ในคลื่นนิ่ง การแกว่งสามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะกับความถี่ที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดเท่านั้น และการเปลี่ยนจากความถี่หนึ่งไปยังอีกความถี่หนึ่งจะเกิดขึ้นอย่างกะทันหัน
ลองดูตัวอย่างง่ายๆ ของคลื่นนิ่ง สมมติว่าสตริงที่มีความยาวจำกัดถูกยืดออกไปตามแนวแกน ปลายของมันได้รับการแก้ไขอย่างแน่นหนาโดยปลายด้านซ้ายอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด จากนั้นพิกัดปลายขวาจะเป็น . มากระตุ้นคลื่นในเชือกกันเถอะ
,
แผ่ขยายจากซ้ายไปขวา คลื่นจะสะท้อนจากปลายด้านขวาของเชือก สมมติว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นโดยไม่สูญเสียพลังงาน ในกรณีนี้ คลื่นสะท้อนจะมีแอมพลิจูดเท่ากันและความถี่เท่ากันกับคลื่นที่ตกกระทบ ดังนั้นคลื่นสะท้อนจึงควรมีรูปแบบดังนี้
เฟสของมันมีค่าคงที่ซึ่งกำหนดการเปลี่ยนแปลงของเฟสเมื่อมีการสะท้อนกลับ เนื่องจากการสะท้อนเกิดขึ้นที่ปลายทั้งสองของสายและไม่มีการสูญเสียพลังงาน คลื่นที่มีความถี่เดียวกันจะแพร่กระจายในสายไฟฟ้าไปพร้อมๆ กัน ดังนั้นควรเกิดการรบกวนระหว่างการเติม ลองหาคลื่นผลลัพธ์กัน
นี่คือสมการคลื่นนิ่ง หลังจากนั้นในแต่ละจุดของการแกว่งของสตริงจะเกิดขึ้นพร้อมกับความถี่ ในกรณีนี้ แอมพลิจูดของการแกว่งที่จุดหนึ่งจะเท่ากับ
.
เนื่องจากปลายเชือกได้รับการแก้ไขแล้ว จึงไม่มีการสั่นสะเทือนที่นั่น เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า ดังนั้นในที่สุดเราก็ได้:
.
ตอนนี้ชัดเจนว่า ณ จุดที่ ไม่มีการแกว่งใดๆ เลย จุดเหล่านี้เป็นโหนดของคลื่นนิ่ง โดยที่ แอมพลิจูดของการออสซิลเลชันมีค่าสูงสุด จะเท่ากับสองเท่าของแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันที่เพิ่ม จุดเหล่านี้เป็นแอนติโนดของคลื่นนิ่ง การปรากฏตัวของแอนติโหนดและโหนดนั้นเกิดขึ้นเมื่อมีการรบกวน: ในบางสถานที่การแกว่งจะรุนแรงขึ้นในขณะที่บางแห่งก็หายไป ระยะห่างระหว่างโหนดข้างเคียงและแอนติโหนดจะพบได้จากเงื่อนไขที่ชัดเจน: เพราะว่าแล้ว. ดังนั้น ระยะห่างระหว่างโหนดข้างเคียงคือ
จากสมการคลื่นนิ่งจะเห็นได้ชัดเจนว่าปัจจัย เมื่อผ่านค่าศูนย์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย ด้วยเหตุนี้ เฟสของการแกว่งที่ด้านตรงข้ามของโหนดจึงแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าจุดที่วางอยู่บนด้านตรงข้ามของโหนดจะสั่นในแอนติเฟส จุดทั้งหมดระหว่างสองโหนดที่อยู่ติดกันจะแกว่งในเฟสเดียวกัน
ดังนั้นด้วยการเพิ่มเหตุการณ์และคลื่นสะท้อน จึงเป็นไปได้ที่จะได้ภาพการเคลื่อนที่ของคลื่นที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้ ในกรณีนี้ เซลล์ที่กล่าวถึงในกรณีมิติเดียวคือส่วนที่อยู่ระหว่างโหนดที่อยู่ติดกันและมีความยาว
ในที่สุด ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าคลื่นที่เราพิจารณาสามารถมีอยู่ได้ที่ความถี่การสั่นที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดเท่านั้น ลองใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีการสั่นที่ปลายด้านขวาของสายนั่นเอง ปรากฎว่า. ความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปได้ถ้า โดยที่ เป็นจำนวนเต็มบวกตามอำเภอใจ
6.1 คลื่นนิ่งในตัวกลางยืดหยุ่น
ตามหลักการของการซ้อนทับ เมื่อคลื่นหลายคลื่นแพร่กระจายพร้อมกันในตัวกลางที่ยืดหยุ่น การซ้อนทับของพวกมันจะเกิดขึ้น และคลื่นจะไม่รบกวนซึ่งกันและกัน การแกว่งของอนุภาคของตัวกลางคือผลรวมเวกเตอร์ของการแกว่งที่อนุภาคจะสร้าง เมื่อแต่ละคลื่นกระจายตัวแยกกัน
คลื่นที่สร้างการสั่นของตัวกลาง ระยะต่างเฟสที่คงที่ในแต่ละจุดในอวกาศ เรียกว่า สอดคล้องกัน.
เมื่อเพิ่มคลื่นต่อเนื่องกัน ปรากฏการณ์นี้จะเกิดขึ้น การรบกวนซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าในบางจุดในอวกาศคลื่นจะเสริมกำลังซึ่งกันและกันและ ณ จุดอื่น ๆ พวกเขาก็ทำให้กันและกันอ่อนแอลง กรณีสำคัญของการรบกวนจะสังเกตได้เมื่อมีการวางซ้อนคลื่นระนาบต้านการแพร่กระจายที่มีความถี่และแอมพลิจูดเท่ากัน การแกว่งที่เกิดขึ้นเรียกว่า คลื่นยืน- บ่อยครั้งที่คลื่นนิ่งเกิดขึ้นเมื่อคลื่นเคลื่อนที่สะท้อนจากสิ่งกีดขวาง ในกรณีนี้ คลื่นตกกระทบและคลื่นสะท้อนเข้าหาคลื่นเมื่อบวกเข้าด้วยกัน ทำให้เกิดคลื่นนิ่ง
เราได้สมการคลื่นนิ่ง ลองใช้คลื่นฮาร์มอนิกระนาบสองอันที่แพร่กระจายเข้าหากันตามแนวแกน เอ็กซ์และมีความถี่และแอมพลิจูดเท่ากัน:
ที่ไหน – เฟสการแกว่งของจุดของตัวกลางระหว่างการเคลื่อนที่ของคลื่นลูกแรก
– ระยะการแกว่งของจุดในตัวกลางระหว่างการเคลื่อนที่ของคลื่นลูกที่สอง
ความต่างเฟสในแต่ละจุดบนแกน เอ็กซ์เครือข่ายจะไม่ขึ้นอยู่กับเวลาเช่น จะคงที่:
ดังนั้นคลื่นทั้งสองจะสอดคล้องกัน
การสั่นสะเทือนของอนุภาคของตัวกลางที่เกิดจากการเติมคลื่นที่พิจารณาจะเป็นดังนี้:
ให้เราแปลงผลรวมของโคไซน์ของมุมตามกฎ (4.4) และรับ:
เมื่อจัดกลุ่มปัจจัยใหม่แล้ว เราจะได้:
เพื่อให้การแสดงออกง่ายขึ้น เราเลือกจุดอ้างอิงเพื่อให้เฟสแตกต่าง และจุดเริ่มต้นของเวลานับเพื่อให้ผลรวมของเฟสเท่ากับศูนย์: .
จากนั้นสมการของผลรวมของคลื่นจะอยู่ในรูปแบบ:
เรียกว่าสมการ (6.6) สมการคลื่นนิ่ง- มันแสดงให้เห็นว่าความถี่ของคลื่นนิ่งเท่ากับความถี่ของคลื่นเคลื่อนที่ และความกว้างต่างจากคลื่นเคลื่อนที่ ขึ้นอยู่กับระยะห่างจากจุดกำเนิด:
. (6.7)
เมื่อคำนึงถึง (6.7) สมการคลื่นนิ่งจะอยู่ในรูปแบบ:
. (6.8)
ดังนั้นจุดของตัวกลางจึงแกว่งด้วยความถี่ที่สอดคล้องกับความถี่ของคลื่นเคลื่อนที่และแอมพลิจูด กขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุดบนแกน เอ็กซ์- ดังนั้นแอมพลิจูดจึงเปลี่ยนแปลงไปตามกฎโคไซน์และมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของตัวเอง (รูปที่ 6.1)
|
เพื่อให้เห็นภาพตำแหน่งของแอมพลิจูดต่ำสุดและสูงสุด เราจะแทนที่หมายเลขคลื่นตาม (5.29) ด้วยค่าของมัน:
จากนั้นนิพจน์ (6.7) สำหรับแอมพลิจูดจะอยู่ในรูปแบบ
(6.10)
จากนี้จะเห็นได้ชัดว่าแอมพลิจูดของการกระจัดอยู่ที่สูงสุด , เช่น. ณ จุดที่พิกัดเป็นไปตามเงื่อนไข:
, (6.11)
ที่ไหน
จากที่นี่เราได้รับพิกัดของจุดที่แอมพลิจูดการกระจัดสูงสุด:
; (6.12)
จุดที่แอมพลิจูดของการสั่นสะเทือนของตัวกลางเรียกว่าสูงสุด แอนติโนดของคลื่น.
แอมพลิจูดของคลื่นเป็นศูนย์ที่จุดที่ - พิกัดของจุดดังกล่าวเรียกว่า โหนดคลื่น, เป็นไปตามเงื่อนไข:
, (6.13)
ที่ไหน
จาก (6.13) เป็นที่ชัดเจนว่าพิกัดของโหนดมีค่าดังนี้:
, (6.14)
ในรูป รูปที่ 6.2 แสดงมุมมองโดยประมาณของคลื่นนิ่ง ซึ่งระบุตำแหน่งของโหนดและแอนติบอดี จะเห็นได้ว่าโหนดข้างเคียงและแอนติโนดการกระจัดนั้นเว้นระยะห่างจากกันในระยะห่างเท่ากัน
|
ลองหาระยะห่างระหว่างแอนติโนดและโหนดข้างเคียงกัน จาก (6.12) เราได้ระยะห่างระหว่างแอนติโนด:
(6.15)
ระยะห่างระหว่างโหนดได้มาจาก (6.14):
(6.16)
จากความสัมพันธ์ที่ได้รับ (6.15) และ (6.16) เป็นที่ชัดเจนว่าระยะห่างระหว่างโหนดข้างเคียง เช่นเดียวกับระหว่างแอนติโหนดข้างเคียง นั้นคงที่และเท่ากับ ; โหนดและแอนติบอดีจะถูกเลื่อนสัมพันธ์กันโดย (รูปที่ 6.3)
จากคำจำกัดความของความยาวคลื่น เราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับความยาวของคลื่นนิ่งได้ โดยมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของคลื่นเคลื่อนที่:
ให้เราเขียนโดยคำนึงถึง (6.17) นิพจน์สำหรับพิกัดของโหนดและแอนติโหนด:
, (6.18)
, (6.19)
ปัจจัยที่กำหนดความกว้างของคลื่นนิ่งจะเปลี่ยนสัญญาณเมื่อผ่านค่าศูนย์ ซึ่งเป็นผลมาจากระยะการแกว่งที่ด้านต่างๆ ของโหนดแตกต่างกัน ดังนั้นจุดทั้งหมดที่วางอยู่บนด้านตรงข้ามของโหนดจึงแกว่งในแอนติเฟส จุดทั้งหมดที่ตั้งอยู่ระหว่างโหนดข้างเคียงจะสั่นในเฟส
|
โหนดแบ่งสภาพแวดล้อมตามอัตภาพออกเป็นส่วนอิสระซึ่งการสั่นของฮาร์มอนิกเกิดขึ้นอย่างอิสระ ไม่มีการถ่ายโอนการเคลื่อนที่ระหว่างภูมิภาค ดังนั้นจึงไม่มีการไหลของพลังงานระหว่างภูมิภาค กล่าวคือไม่มีการส่งสัญญาณรบกวนตามแนวแกน นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมคลื่นจึงถูกเรียกว่าคลื่นนิ่ง
ดังนั้น คลื่นนิ่งจึงถูกสร้างขึ้นจากคลื่นเคลื่อนที่ที่มีความถี่และแอมพลิจูดเท่ากันสองคลื่นที่มีทิศทางตรงข้ามกัน เวกเตอร์ Umov ของคลื่นแต่ละคลื่นมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม และเมื่อบวกกันก็จะให้ค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นคลื่นนิ่งจึงไม่ถ่ายโอนพลังงาน
6.2 ตัวอย่างคลื่นนิ่ง
6.2.1 คลื่นยืนในเส้นเชือก
ลองพิจารณาสตริงที่มีความยาว ล, แก้ไขที่ปลายทั้งสองข้าง (รูปที่ 6.4)
ลองวางแกนตามแนวเส้นเชือก เอ็กซ์เพื่อให้ปลายด้านซ้ายของสตริงมีพิกัด x=0และอันที่ถูกต้อง- x=ล- การสั่นสะเทือนเกิดขึ้นในสตริง อธิบายโดยสมการ:
ให้เราเขียนเงื่อนไขขอบเขตของสตริงที่กำลังพิจารณา เนื่องจากปลายของมันได้รับการแก้ไขแล้วจึงอยู่ที่จุดที่มีพิกัด x=0และ x=ลไม่ลังเลเลย:
(6.22)
ให้เราค้นหาสมการของการแกว่งของสตริงตามเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นลายลักษณ์อักษร ให้เราเขียนสมการ (6.20) สำหรับปลายด้านซ้ายของสตริงโดยคำนึงถึง (6.21):
ความสัมพันธ์ (6.23) มีความพึงพอใจเมื่อใดก็ได้ ทีในสองกรณี:
1. - สิ่งนี้เป็นไปได้หากไม่มีการสั่นในสตริง () กรณีนี้ไม่น่าสนใจ และเราจะไม่พิจารณา
2. . นี่เฟส.. กรณีนี้จะทำให้เราได้สมการของการสั่นของสายอักขระ
ให้เราแทนที่ค่าเฟสผลลัพธ์ลงในเงื่อนไขขอบเขต (6.22) สำหรับปลายด้านขวาของสตริง:
. (6.25)
เมื่อพิจารณาแล้วว่า
, (6.26)
จาก (6.25) เราได้รับ:
อีกครั้ง มี 2 กรณีเกิดขึ้นซึ่งความสัมพันธ์ (6.27) เป็นที่พอใจ เราจะไม่พิจารณากรณีที่ไม่มีการสั่นในสตริง ()
ในกรณีที่สอง จะต้องได้รับความเท่าเทียมกัน:
และจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์ของไซน์เป็นผลคูณของจำนวนเต็ม:
เราละทิ้งคุณค่าเพราะว่า ในกรณีนี้ และนี่อาจหมายถึงความยาวของสตริงเป็นศูนย์ ( L=0) หรือหมายเลขคลื่น เค=0- เมื่อคำนึงถึงความสัมพันธ์ (6.9) ระหว่างเลขคลื่นกับความยาวคลื่น เป็นที่ชัดเจนว่าเพื่อให้หมายเลขคลื่นเท่ากับศูนย์ ความยาวคลื่นควรจะไม่มีที่สิ้นสุด และนี่จะหมายถึงไม่มีการแกว่ง
จาก (6.28) เห็นได้ชัดว่าหมายเลขคลื่นเมื่อทำการสั่นสตริงที่คงที่ที่ปลายทั้งสองข้างสามารถรับได้เฉพาะค่าที่ไม่ต่อเนื่องบางค่าเท่านั้น:
โดยคำนึงถึง (6.9) เราเขียน (6.30) ในรูปแบบ:
ซึ่งเราได้รับนิพจน์สำหรับความยาวคลื่นที่เป็นไปได้ในสตริง:
กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเกินความยาวของสตริง ลต้องพอดีกับจำนวนเต็ม nครึ่งคลื่น:
ความถี่การสั่นที่สอดคล้องกันสามารถกำหนดได้จาก (5.7):
นี่คือความเร็วเฟสของคลื่น ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นเชิงเส้นของเส้นเชือกและแรงดึงของเส้นเชือกตาม (5.102)
เมื่อแทน (6.34) ลงใน (6.33) เราจะได้นิพจน์ที่อธิบายความถี่การสั่นสะเทือนที่เป็นไปได้ของสตริง:
, (6.36)
ความถี่จะถูกเรียกว่า ความถี่ธรรมชาติสตริง ความถี่ (ณ n = 1):
(6.37)
เรียกว่า ความถี่พื้นฐาน(หรือ โทนเสียงหลัก) สตริง ความถี่ที่กำหนดที่ ไม่มี>1ถูกเรียกว่า หวือหวาหรือ ฮาร์โมนิค- เลขฮาร์มอนิกคือ n-1- ตัวอย่างเช่น ความถี่:
สอดคล้องกับฮาร์มอนิกแรก และความถี่:
สอดคล้องกับฮาร์มอนิกที่สอง ฯลฯ เนื่องจากสตริงสามารถแสดงเป็นระบบที่แยกจากกันโดยมีระดับความอิสระเป็นอนันต์ ดังนั้นฮาร์โมนิคแต่ละตัวจึงมีค่าเท่ากับ แฟชั่นการสั่นสะเทือนของสาย ในกรณีทั่วไป การสั่นของสายแสดงถึงการซ้อนทับของโหมด
ฮาร์มอนิกแต่ละตัวมีความยาวคลื่นของตัวเอง สำหรับโทนเสียงหลัก (ด้วย n= 1) ความยาวคลื่น:
ตามลำดับสำหรับฮาร์โมนิกที่หนึ่งและที่สอง (ที่ n= 2 และ n= 3) ความยาวคลื่นจะเป็น:
รูปที่ 6.5 แสดงลักษณะของการสั่นสะเทือนหลายรูปแบบที่กระทำโดยเชือก
ดังนั้น สตริงที่มีปลายคงที่จึงทำให้เกิดกรณีพิเศษภายในกรอบของฟิสิกส์คลาสสิก นั่นคือสเปกตรัมความถี่การสั่นสะเทือน (หรือความยาวคลื่น) ที่แยกจากกัน แท่งยางยืดที่มีปลายยึดด้านใดด้านหนึ่งหรือทั้งสองข้างและการแกว่งของเสาอากาศในท่อจะมีพฤติกรรมในลักษณะเดียวกัน ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อต่อๆ ไป
6.2.2 อิทธิพลของเงื่อนไขเริ่มต้นต่อการเคลื่อนไหว
สตริงต่อเนื่อง การวิเคราะห์ฟูริเยร์
นอกเหนือจากสเปกตรัมที่ไม่ต่อเนื่องของความถี่การออสซิลเลชันแล้ว การออสซิลเลชันของสตริงที่มีปลายแบบหนีบยังมีคุณสมบัติที่สำคัญอีกประการหนึ่ง: รูปแบบเฉพาะของการออสซิลเลชันของสตริงนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการกระตุ้นของการออสซิลเลชัน เช่น จากเงื่อนไขเริ่มต้น มาดูกันดีกว่า
สมการ (6.20) ซึ่งอธิบายโหมดหนึ่งของคลื่นนิ่งในสตริง เป็นวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะของสมการดิฟเฟอเรนเชียลคลื่น (5.61) เนื่องจากการสั่นของสตริงประกอบด้วยโหมดที่เป็นไปได้ทั้งหมด (สำหรับสตริง - จำนวนอนันต์) ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการคลื่น (5.61) จึงประกอบด้วยคำตอบบางส่วนจำนวนอนันต์:
, (6.43)
ที่ไหน ฉัน– หมายเลขโหมดการสั่นสะเทือน Expression (6.43) ถูกเขียนโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าส่วนท้ายของสตริงได้รับการแก้ไขแล้ว:
และยังคำนึงถึงการเชื่อมต่อความถี่ด้วย ฉันโหมด -th และหมายเลขคลื่น:
(6.46)
ที่นี่ – หมายเลขคลื่น ฉันแฟชั่น;
– หมายเลขคลื่นของโหมดที่ 1
ให้เราค้นหาค่าของเฟสเริ่มต้นสำหรับโหมดการสั่นแต่ละโหมด สำหรับสิ่งนี้ในขณะนี้ เสื้อ=0กำหนดรูปร่างให้กับสตริงที่ฟังก์ชันอธิบายไว้ ฉ 0 (เอ็กซ์)นิพจน์ที่เราได้รับจาก (6.43):
. (6.47)
ในรูป รูปที่ 6.6 แสดงตัวอย่างรูปร่างของสตริงที่อธิบายโดยฟังก์ชัน ฉ 0 (เอ็กซ์).
|
ในช่วงเวลาหนึ่ง เสื้อ=0เชือกยังคงนิ่งอยู่ เช่น ความเร็วของคะแนนทั้งหมดเป็นศูนย์ จาก (6.43) เราพบนิพจน์สำหรับความเร็วของจุดสตริง:
และแทนที่ในนั้น เสื้อ=0เราจะได้นิพจน์สำหรับความเร็วของจุดบนสตริง ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น:
. (6.49)
เนื่องจาก ณ เวลาเริ่มต้น ความเร็วจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นนิพจน์ (6.49) จะเท่ากับศูนย์สำหรับทุกจุดของสตริง ถ้า จากนี้ไปเฟสเริ่มต้นสำหรับทุกโหมดจะเป็นศูนย์ด้วย () เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ นิพจน์ (6.43) ซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของสตริงจะอยู่ในรูปแบบ:
, (6.50)
และนิพจน์ (6.47) ซึ่งอธิบายรูปร่างเริ่มต้นของสตริง มีลักษณะดังนี้:
. (6.51)
คลื่นนิ่งในสตริงอธิบายโดยฟังก์ชันที่เป็นคาบในช่วงเวลา โดยที่มันเท่ากับความยาวสองความยาวของสตริง (รูปที่ 6.7):
สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าช่วงเวลาในช่วงเวลาหมายถึง:
เพราะฉะนั้น,
ซึ่งนำเราไปสู่การแสดงออก (6.52)
จากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เป็นที่ทราบกันว่าฟังก์ชันคาบใดๆ สามารถขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้อย่างแม่นยำ:
, (6.57)
โดยที่ , , คือสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์