สูตรของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด อสมการตรีโกณมิติแบบง่ายและซับซ้อน
การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในโหมด ออนไลน์ สารละลายความไม่เท่าเทียมกันเกือบทุกประการ ออนไลน์- คณิตศาสตร์ ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์เพื่อแก้คณิตศาสตร์ ค้นหาอย่างรวดเร็ว การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในโหมด ออนไลน์- เว็บไซต์ www.site ช่วยให้คุณสามารถค้นหาได้ สารละลายเกือบทุกอย่างที่ได้รับ พีชคณิต, ตรีโกณมิติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันเหนือธรรมชาติทางออนไลน์- เมื่อเรียนคณิตศาสตร์เกือบทุกสาขาในแต่ละช่วง คุณต้องตัดสินใจ ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์- หากต้องการได้รับคำตอบทันที และที่สำคัญที่สุดคือคำตอบที่แม่นยำ คุณต้องมีทรัพยากรที่ช่วยให้คุณดำเนินการนี้ได้ ขอบคุณเว็บไซต์ www.site แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์จะใช้เวลาไม่กี่นาที ข้อได้เปรียบหลักของ www.site เมื่อแก้โจทย์คณิต ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์- นี่คือความเร็วและความแม่นยำของการตอบสนองที่ให้ไว้ เว็บไซต์สามารถแก้ปัญหาใดๆ อสมการพีชคณิตออนไลน์, อสมการตรีโกณมิติออนไลน์, ความไม่เท่าเทียมเหนือธรรมชาติออนไลน์และยัง ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในโหมด ออนไลน์. อสมการทำหน้าที่เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อันทรงพลัง โซลูชั่นปัญหาในทางปฏิบัติ ด้วยความช่วยเหลือ อสมการทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่จะแสดงข้อเท็จจริงและความสัมพันธ์ที่อาจดูสับสนและซับซ้อนเมื่อมองแวบแรก ปริมาณที่ไม่ทราบ ความไม่เท่าเทียมกันสามารถพบได้โดยการกำหนดปัญหาใน ทางคณิตศาสตร์ภาษาในรูปแบบ ความไม่เท่าเทียมกันและ ตัดสินใจได้รับงานในโหมด ออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. ใดๆ ความไม่เท่าเทียมกันทางพีชคณิต, อสมการตรีโกณมิติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันซึ่งประกอบด้วย เหนือธรรมชาติคุณสมบัติที่คุณทำได้อย่างง่ายดาย ตัดสินใจออนไลน์และรับคำตอบที่แน่นอน เมื่อเรียนวิทยาศาสตร์ธรรมชาติคุณจะพบกับความต้องการอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน- ในกรณีนี้คำตอบจะต้องแม่นยำและต้องได้รับทันทีในโหมด ออนไลน์- ดังนั้นเพื่อ แก้อสมการทางคณิตศาสตร์ออนไลน์เราขอแนะนำเว็บไซต์ www.site ซึ่งจะกลายเป็นเครื่องคิดเลขที่ขาดไม่ได้ของคุณ แก้อสมการพีชคณิตออนไลน์, อสมการตรีโกณมิติออนไลน์และยัง ความไม่เท่าเทียมเหนือธรรมชาติออนไลน์หรือ ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติในการหาวิธีแก้ปัญหาออนไลน์ต่างๆ อสมการทางคณิตศาสตร์ทรัพยากร www.. การแก้ปัญหา ความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์ตัวคุณเองก็มีประโยชน์ในการตรวจสอบคำตอบที่ได้รับโดยใช้ การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันออนไลน์บนเว็บไซต์ www.site. คุณต้องเขียนอสมการให้ถูกต้องและรับทันที โซลูชั่นออนไลน์หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการเปรียบเทียบคำตอบกับคำตอบของคุณกับอสมการ การตรวจสอบคำตอบจะใช้เวลาไม่เกินหนึ่งนาทีก็เพียงพอแล้ว แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์และเปรียบเทียบคำตอบ ซึ่งจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดได้ การตัดสินใจและแก้ไขคำตอบให้ทันเวลา การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันทางออนไลน์ไม่ว่าจะเป็น พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เหนือธรรมชาติหรือ ความไม่เท่าเทียมกันด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก
เมื่อแก้อสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ พวกมันจะลดลงเหลืออสมการที่ง่ายที่สุดในรูปแบบ cos(t)>a, sint(t)=a และอสมการที่คล้ายกัน และความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายที่สุดก็ได้รับการแก้ไขแล้ว ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
ตัวอย่างที่ 1- แก้อสมการ sin(t) > = -1/2
วาดวงกลมหนึ่งหน่วย เนื่องจาก sin(t) ตามคำจำกัดความคือพิกัด y เราจึงทำเครื่องหมายจุด y = -1/2 บนแกน Oy เราลากเส้นตรงผ่านมันขนานกับแกนวัว ที่จุดตัดของเส้นตรงกับกราฟของวงกลมหน่วย ให้ทำเครื่องหมายจุด Pt1 และ Pt2 เราเชื่อมต่อที่มาของพิกัดกับจุด Pt1 และ Pt2 ด้วยสองส่วน
วิธีแก้อสมการนี้คือจุดทุกจุดของวงกลมหน่วยที่อยู่เหนือจุดเหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่งการแก้ปัญหาจะเป็นส่วนโค้ง l ตอนนี้จำเป็นต้องระบุเงื่อนไขที่จุดใดจุดหนึ่งจะเป็นของส่วนโค้ง l
Pt1 อยู่ในครึ่งวงกลมด้านขวา พิกัดของมันคือ -1/2 จากนั้น t1=อาร์คซิน(-1/2) = - pi/6 เพื่ออธิบายจุด Pt1 คุณสามารถเขียนสูตรต่อไปนี้:
t2 = pi - อาร์คซิน(-1/2) = 7*pi/6 เป็นผลให้เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้สำหรับ t:
เรารักษาความไม่เท่าเทียมกัน และเนื่องจากฟังก์ชันไซน์มีคาบ จึงหมายความว่าคำตอบจะถูกทำซ้ำทุกๆ 2*pi เราเพิ่มเงื่อนไขนี้เข้ากับผลลัพธ์ของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ t และจดคำตอบไว้
คำตอบ: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
ตัวอย่างที่ 2แก้อสมการ cos(t)<1/2.
มาวาดวงกลมหน่วยกัน เนื่องจากตามคำจำกัดความ cos(t) คือพิกัด x เราจึงทำเครื่องหมายจุด x = 1/2 บนกราฟบนแกน Ox
เราวาดเส้นตรงผ่านจุดนี้ขนานกับแกน Oy ที่จุดตัดของเส้นตรงกับกราฟของวงกลมหน่วย ให้ทำเครื่องหมายจุด Pt1 และ Pt2 เราเชื่อมต่อที่มาของพิกัดกับจุด Pt1 และ Pt2 ด้วยสองส่วน
ผลเฉลยจะเป็นจุดทั้งหมดของวงกลมหน่วยที่อยู่ในส่วนโค้ง l ลองหาจุด t1 และ t2 กัน
t1 = ส่วนโค้ง (1/2) = pi/3
t2 = 2*pi - ส่วนโค้ง (1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6
เราได้อสมการสำหรับ t: ไพ/3 เนื่องจากโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบ คำตอบจะถูกทำซ้ำทุกๆ 2*pi เราเพิ่มเงื่อนไขนี้เข้ากับผลลัพธ์ของความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ t และจดคำตอบไว้ คำตอบ: pi/3+2*pi*n ตัวอย่างที่ 3แก้อสมการ tg(t)< = 1. คาบแทนเจนต์เท่ากับพาย ลองหาคำตอบที่อยู่ในช่วงครึ่งวงกลมขวา (-pi/2;pi/2) กัน ต่อไป เมื่อใช้คาบของแทนเจนต์ เราจะเขียนคำตอบทั้งหมดของอสมการนี้ ลองวาดวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วทำเครื่องหมายเส้นสัมผัสกัน ถ้า t เป็นคำตอบของอสมการ พิกัดของจุด T = tg(t) จะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 เซตของจุดดังกล่าวจะประกอบเป็นรังสี AT เซตของจุด Pt ที่จะตรงกับจุดของรังสีนี้คือส่วนโค้ง l ยิ่งไปกว่านั้น จุด P(-pi/2) ไม่ได้อยู่ในส่วนโค้งนี้ โครงการพีชคณิต “ การแก้อสมการตรีโกณมิติ” จัดทำโดยนักเรียนชั้น 10 “ B” Kazachkova Yulia หัวหน้างาน: ครูคณิตศาสตร์ Kochakova N.N. เป้าหมาย เพื่อรวบรวมเนื้อหาในหัวข้อ “การแก้อสมการตรีโกณมิติ” และสร้างคำเตือนให้นักเรียนเตรียมตัวสำหรับการสอบที่กำลังจะมาถึง วัตถุประสงค์: สรุปเนื้อหาในหัวข้อนี้ จัดระบบข้อมูลที่ได้รับ พิจารณาหัวข้อนี้ในการสอบ Unified State ความเกี่ยวข้อง ความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่ฉันเลือกนั้นอยู่ที่ความจริงที่ว่างานในหัวข้อ "การแก้ไขอสมการตรีโกณมิติ" จะรวมอยู่ในงานของการสอบ Unified State อสมการตรีโกณมิติ อสมการคือความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงตัวเลขหรือนิพจน์สองตัวเข้าด้วยกันผ่านเครื่องหมายตัวใดตัวหนึ่ง: (มากกว่า); ≥ (มากกว่าหรือเท่ากับ) อสมการตรีโกณมิติคืออสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ อสมการตรีโกณมิติ ตามกฎแล้วการแก้อสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติจะลดลงไปสู่การแก้อสมการที่ง่ายที่สุดในรูปแบบ: sin x>a, sin x ก, cos x ก, ทีจี x ก,กะรัต x อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ บนแกนที่สอดคล้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนด ให้ทำเครื่องหมายค่าตัวเลขที่กำหนดของฟังก์ชันนี้ ลากเส้นผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ซึ่งตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย เลือกจุดตัดกันของเส้นและวงกลม โดยคำนึงถึงเครื่องหมายอสมการแบบเข้มงวดหรือไม่เข้มงวด เลือกส่วนโค้งของวงกลมซึ่งมีคำตอบของอสมการอยู่ กำหนดค่ามุมที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของส่วนโค้งวงกลม เขียนคำตอบของอสมการโดยคำนึงถึงช่วงของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนด สูตรแก้อสมการตรีโกณมิติ sinx >a; x (อาร์คซิน a + 2πn; π- อาร์คซิน a + 2πn) บาป ก; x (- อาร์คคอส a + 2πn; อาร์คคอส a + 2πn) คอกซ์ก; x (อาร์คท์ ก + πn ; + πn) ทีจีเอ็กซ์ ก; x (πn ; อาร์กแทน + πn) ซีทีจีเอ็กซ์ คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน sinx >a คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน sinx คำตอบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน cosx >a คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน cosx คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน tgx >a คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน tgx คำตอบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน ctgx >a ในระหว่างบทเรียนภาคปฏิบัติเราจะทำซ้ำงานประเภทหลักจากหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" วิเคราะห์ปัญหาของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นเพิ่มเติมและพิจารณาตัวอย่างการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติและระบบต่างๆ บทเรียนนี้จะช่วยคุณเตรียมความพร้อมสำหรับงานประเภท B5, B7, C1 และ C3 ประเภทใดประเภทหนึ่ง เริ่มต้นด้วยการทบทวนงานประเภทหลักที่เรากล่าวถึงในหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" และแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานหลายประการ ภารกิจที่ 1- แปลงมุมเป็นเรเดียนและองศา: a); ข) . ก) ลองใช้สูตรแปลงองศาเป็นเรเดียนกัน ลองแทนค่าที่ระบุลงไป b) ใช้สูตรแปลงเรเดียนเป็นองศา มาดำเนินการแทนกัน . คำตอบ. ก) ; ข) . ภารกิจที่ 2- คำนวณ: ก) ; ข) . ก) เนื่องจากมุมนั้นไปไกลกว่าโต๊ะ เราจะลดมันลงด้วยการลบคาบไซน์ เพราะ มุมจะแสดงเป็นเรเดียน จากนั้นเราจะพิจารณาคาบเป็น b) ในกรณีนี้สถานการณ์จะคล้ายกัน เนื่องจากมุมมีหน่วยเป็นองศา เราจะพิจารณาคาบของแทนเจนต์เป็น มุมที่ได้แม้จะเล็กกว่าช่วง แต่ก็มีขนาดใหญ่กว่า ซึ่งหมายความว่ามันไม่ได้หมายถึงมุมหลักอีกต่อไป แต่หมายถึงส่วนที่ขยายของตาราง เพื่อไม่ให้ฝึกความจำของคุณอีกครั้งด้วยการจำตารางขยายของค่าตรีโกฟังก์ชัน ให้ลบคาบแทนเจนต์อีกครั้ง: เราใช้ประโยชน์จากความคี่ของฟังก์ชันแทนเจนต์ คำตอบ. ก) 1; ข) . ภารกิจที่ 3- คำนวณ , ถ้า . ให้เราลดนิพจน์ทั้งหมดให้เป็นแทนเจนต์โดยการหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย ขณะเดียวกันเราก็ไม่สามารถที่จะกลัวได้เพราะว่า ในกรณีนี้ จะไม่มีค่าแทนเจนต์อยู่ ภารกิจที่ 4- ลดความซับซ้อนของนิพจน์ นิพจน์ที่ระบุจะถูกแปลงโดยใช้สูตรการลดขนาด พวกเขาเขียนโดยใช้องศาอย่างผิดปกติ โดยทั่วไปนิพจน์แรกจะแสดงถึงตัวเลข มาลดความซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดทีละรายการ: เพราะ จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็น cofunction เช่น โคแทนเจนต์ และมุมตกไปอยู่ในควอเตอร์ที่สอง ซึ่งแทนเจนต์เดิมมีเครื่องหมายลบ ด้วยเหตุผลเดียวกันกับนิพจน์ก่อนหน้า ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน กล่าวคือ โคแทนเจนต์ และมุมตกลงไปในไตรมาสแรก ซึ่งแทนเจนต์ดั้งเดิมมีเครื่องหมายบวก ลองแทนที่ทุกอย่างเป็นนิพจน์แบบง่าย: ปัญหา #5- ลดความซับซ้อนของนิพจน์ ให้เราเขียนแทนเจนต์ของมุมคู่โดยใช้สูตรที่เหมาะสมและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น: ข้อมูลประจำตัวสุดท้ายเป็นหนึ่งในสูตรการแทนที่สากลสำหรับโคไซน์ ปัญหา #6- คำนวณ. สิ่งสำคัญคืออย่าทำผิดพลาดมาตรฐานโดยไม่ให้คำตอบว่านิพจน์เท่ากับ . คุณไม่สามารถใช้คุณสมบัติพื้นฐานของอาร์กแทนเจนต์ได้ตราบใดที่มีตัวประกอบในรูปของสองอยู่ข้างๆ เพื่อกำจัดมัน เราจะเขียนนิพจน์ตามสูตรแทนเจนต์ของมุมคู่ ในขณะที่ถือว่า เป็นอาร์กิวเมนต์ธรรมดา ตอนนี้เราสามารถใช้คุณสมบัติพื้นฐานของอาร์กแทนเจนต์ได้ โปรดจำไว้ว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับผลลัพธ์เชิงตัวเลข ปัญหาหมายเลข 7- แก้สมการ เมื่อแก้สมการเศษส่วนที่เท่ากับศูนย์ จะต้องระบุเสมอว่าตัวเศษเท่ากับศูนย์ แต่ตัวส่วนไม่ใช่เพราะ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ สมการแรกเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ง่ายที่สุดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ จำวิธีแก้ปัญหานี้ไว้ด้วยตัวเอง อสมการที่สองแก้ไขได้ด้วยสมการที่ง่ายที่สุดโดยใช้สูตรทั่วไปสำหรับรากของแทนเจนต์ แต่จะมีเครื่องหมายไม่เท่ากับเท่านั้น ดังที่เราเห็นแล้วว่ารากตระกูลหนึ่งไม่รวมอีกตระกูลหนึ่งที่มีรากประเภทเดียวกันทุกประการซึ่งไม่เป็นไปตามสมการ เหล่านั้น. ไม่มีราก คำตอบ. ไม่มีราก ปัญหาหมายเลข 8- แก้สมการ สังเกตทันทีว่าเราสามารถนำตัวประกอบร่วมออกมาแล้วลองทำดู: สมการได้ลดลงมาเป็นรูปแบบมาตรฐานรูปแบบหนึ่ง โดยที่ผลคูณของหลายปัจจัยเท่ากับศูนย์ เรารู้อยู่แล้วว่าในกรณีนี้ อันใดอันหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ หรืออีกอัน หรืออันที่สาม ลองเขียนสิ่งนี้ในรูปแบบของชุดสมการ: สมการสองอันแรกเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ง่ายที่สุด เราเคยเจอสมการที่คล้ายกันหลายครั้งแล้ว ดังนั้นเราจะระบุวิธีแก้ปัญหาทันที เราลดสมการที่สามให้เหลือหนึ่งฟังก์ชันโดยใช้สูตรไซน์มุมคู่ มาแก้สมการสุดท้ายแยกกัน: สมการนี้ไม่มีราก เพราะ ค่าไซน์ไม่สามารถไปไกลกว่านั้นได้ . ดังนั้น คำตอบจึงเป็นเพียงสองตระกูลแรกเท่านั้นที่สามารถรวมเข้าด้วยกันได้ ซึ่งง่ายต่อการแสดงบนวงกลมตรีโกณมิติ: นี่คือครอบครัวของทุกซีกเช่น มาดูการแก้อสมการตรีโกณมิติกันดีกว่า ขั้นแรก เราจะวิเคราะห์วิธีการแก้ตัวอย่างโดยไม่ต้องใช้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไป แต่ใช้วงกลมตรีโกณมิติ ปัญหาหมายเลข 9- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ให้เราวาดเส้นเสริมบนวงกลมตรีโกณมิติที่สอดคล้องกับค่าไซน์เท่ากับ และแสดงช่วงของมุมที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าจะระบุช่วงเวลาผลลัพธ์ของมุมได้อย่างไรเช่น อะไรคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมันคืออะไร จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาจะเป็นมุมที่สอดคล้องกับจุดที่เราจะเข้าไปที่จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาหากเราเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา ในกรณีของเรา นี่คือจุดที่อยู่ทางซ้าย เพราะว่า เคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาและผ่านจุดที่ถูกต้องในทางกลับกันเราจะออกจากช่วงมุมที่ต้องการ จุดที่ถูกต้องจึงตรงกับจุดสิ้นสุดของช่องว่าง ตอนนี้เราต้องเข้าใจมุมของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงการแก้ปัญหาอสมการของเรา ข้อผิดพลาดทั่วไปคือระบุทันทีว่าจุดที่ถูกต้องตรงกับมุมซ้ายแล้วให้คำตอบ นี่ไม่เป็นความจริง! โปรดทราบว่าเราเพิ่งระบุช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วนบนของวงกลม แม้ว่าเราจะสนใจส่วนล่าง หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ เราได้ผสมจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาการแก้ปัญหาที่เราต้องการ เพื่อให้ช่วงเวลาเริ่มต้นจากมุมของจุดขวาและสิ้นสุดด้วยมุมของจุดซ้าย จำเป็นที่มุมแรกที่ระบุจะต้องน้อยกว่ามุมที่สอง ในการทำเช่นนี้ เราจะต้องวัดมุมของจุดที่ถูกต้องในทิศทางลบของการอ้างอิง เช่น ตามเข็มนาฬิกาก็จะเท่ากับ จากนั้น เริ่มเคลื่อนที่จากจุดนั้นในทิศทางบวกตามเข็มนาฬิกา เราจะไปยังจุดที่ถูกต้องหลังจากจุดซ้าย และได้ค่ามุมของจุดนั้น ตอนนี้จุดเริ่มต้นของช่วงของมุมน้อยกว่าจุดสิ้นสุด และเราสามารถเขียนช่วงของการแก้ปัญหาโดยไม่ต้องคำนึงถึงระยะเวลา: เมื่อพิจารณาว่าช่วงเวลาดังกล่าวจะถูกทำซ้ำเป็นจำนวนอนันต์หลังจากการหมุนจำนวนเต็มใดๆ เราจะได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงคาบไซน์: เราใส่วงเล็บเพราะความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด และเราเลือกจุดบนวงกลมที่ตรงกับจุดสิ้นสุดของช่วง เปรียบเทียบคำตอบที่ได้รับกับสูตรเฉลยทั่วไปที่เราให้ไปในการบรรยาย คำตอบ. . วิธีนี้ดีสำหรับการทำความเข้าใจว่าสูตรสำหรับคำตอบทั่วไปของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมาจากไหน นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่ขี้เกียจเกินไปที่จะเรียนรู้สูตรที่ยุ่งยากเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม วิธีการนั้นก็ไม่ใช่เรื่องง่ายเช่นกัน เลือกวิธีการแก้ปัญหาที่สะดวกที่สุดสำหรับคุณ เพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติ คุณยังสามารถใช้กราฟของฟังก์ชันที่มีการสร้างเส้นเสริมได้ คล้ายกับวิธีที่แสดงโดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย หากคุณสนใจ ลองคิดหาแนวทางแก้ไขปัญหานี้ด้วยตัวเอง ต่อไปนี้เราจะใช้สูตรทั่วไปเพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย ปัญหาหมายเลข 10- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ขอให้เราใช้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นไม่เข้มงวด: ในกรณีของเราเราได้รับ: คำตอบ. ปัญหาหมายเลข 11- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ให้เราใช้สูตรการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเคร่งครัดที่สอดคล้องกัน: คำตอบ. . ปัญหาหมายเลข 12- แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) ; ข) . ในความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไปหรือวงกลมตรีโกณมิติเพียงจำช่วงของค่าไซน์และโคไซน์ก็เพียงพอแล้ว ก) ตั้งแต่ แล้วความไม่เท่าเทียมกันก็ไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา ข) เพราะ ในทำนองเดียวกัน ไซน์ของอาร์กิวเมนต์ใดๆ จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขเสมอ ดังนั้นคุณค่าที่แท้จริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน คำตอบ. ก) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ข) . ปัญหาที่ 13- แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน . วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ
ความเกี่ยวข้อง
ในอดีต สมการตรีโกณมิติและอสมการได้รับการจัดให้เป็นสถานที่พิเศษในหลักสูตรของโรงเรียน เราสามารถพูดได้ว่าตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในส่วนที่สำคัญที่สุดของหลักสูตรของโรงเรียนและวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป สมการตรีโกณมิติและอสมการครอบครองหนึ่งในศูนย์กลางของหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาทั้งในแง่ของเนื้อหาของสื่อการศึกษาและวิธีการของกิจกรรมการศึกษาและความรู้ความเข้าใจที่สามารถและควรเกิดขึ้นระหว่างการศึกษาและนำไปใช้กับการแก้จำนวนมาก ของปัญหาเชิงทฤษฎีและลักษณะประยุกต์ การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการสร้างข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการจัดระบบความรู้ของนักเรียนที่เกี่ยวข้องกับสื่อการศึกษาทั้งหมดในวิชาตรีโกณมิติ (เช่น คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วิธีการเปลี่ยนนิพจน์ตรีโกณมิติ ฯลฯ) และทำให้สามารถสร้างการเชื่อมโยงที่มีประสิทธิภาพกับเนื้อหาที่ศึกษา ในพีชคณิต (สมการ ความเท่าเทียมกันของสมการ อสมการ การแปลงนิพจน์พีชคณิตที่เหมือนกัน ฯลฯ ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง การพิจารณาเทคนิคในการแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการเกี่ยวข้องกับการถ่ายทอดทักษะเหล่านี้ไปยังเนื้อหาใหม่ ความสำคัญของทฤษฎีและการประยุกต์มากมายเป็นข้อพิสูจน์ถึงความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่เลือก ซึ่งจะช่วยให้คุณกำหนดเป้าหมาย วัตถุประสงค์ และหัวข้อการวิจัยของงานในหลักสูตรได้ วัตถุประสงค์ของการศึกษา:
สรุปประเภทอสมการตรีโกณมิติที่มีอยู่วิธีการพื้นฐานและพิเศษในการแก้ปัญหาเลือกชุดปัญหาสำหรับการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติโดยเด็กนักเรียน วัตถุประสงค์การวิจัย:
1. จากการวิเคราะห์วรรณกรรมที่มีอยู่ในหัวข้อการวิจัย จัดระบบเนื้อหา 2. จัดเตรียมชุดงานที่จำเป็นในการรวมหัวข้อ “อสมการตรีโกณมิติ” วัตถุประสงค์ของการศึกษา
เป็นอสมการตรีโกณมิติในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน หัวข้อการวิจัย:
ประเภทของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการแก้ไข นัยสำคัญทางทฤษฎี
คือการจัดระบบวัสดุ นัยสำคัญในทางปฏิบัติ:
การประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีในการแก้ปัญหา การวิเคราะห์วิธีการทั่วไปหลักในการแก้อสมการตรีโกณมิติ วิธีการวิจัย
: การวิเคราะห์วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์ การสังเคราะห์และสรุปความรู้ที่ได้รับ การวิเคราะห์การแก้ปัญหา ค้นหาวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน §1.
ประเภทของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการพื้นฐานในการแก้ปัญหา
1.1. อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
นิพจน์ตรีโกณมิติสองนิพจน์ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายหรือ > เรียกว่าอสมการตรีโกณมิติ การแก้อสมการตรีโกณมิติหมายถึงการค้นหาชุดของค่าที่ไม่รู้จักซึ่งรวมอยู่ในอสมการที่ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ ส่วนหลักของอสมการตรีโกณมิติได้รับการแก้ไขโดยการลดให้เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด: นี่อาจเป็นวิธีการแยกตัวประกอบ การเปลี่ยนแปลงตัวแปร ( อสมการที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้สองวิธี: การใช้วงกลมหนึ่งหน่วยหรือแบบกราฟิก อนุญาตฉ(x
– หนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ให้เรายกตัวอย่างอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการ อัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการ 1. กำหนดนิยามของไซน์ของตัวเลขx
บนวงกลมหน่วย 3. บนแกนกำหนด ให้ทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัดก
.
4. ลากเส้นขนานกับแกน OX ผ่านจุดนี้และทำเครื่องหมายจุดตัดด้วยวงกลม 5. เลือกส่วนโค้งของวงกลม โดยทุกจุดจะมีพิกัดน้อยกว่าก
.
6. ระบุทิศทางของวงกลม (ทวนเข็มนาฬิกา) แล้วจดคำตอบโดยบวกคาบของฟังก์ชันที่ปลายช่วงเวลา2πn
,
อัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการ 1. กำหนดนิยามแทนเจนต์ของตัวเลขx
บนวงกลมหน่วย 2. วาดวงกลมหนึ่งหน่วย 3. วาดเส้นแทนเจนต์และทำเครื่องหมายจุดที่มีการกำหนดไว้ก
.
4. เชื่อมต่อจุดนี้กับจุดเริ่มต้นและทำเครื่องหมายจุดตัดของส่วนผลลัพธ์ด้วยวงกลมหน่วย 5. เลือกส่วนโค้งของวงกลม โดยทุกจุดจะมีพิกัดบนเส้นสัมผัสกันน้อยกว่าก
.
6. ระบุทิศทางของการเคลื่อนที่และเขียนคำตอบโดยคำนึงถึงโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันโดยเพิ่มจุดπn
,
การตีความแบบกราฟิกของการแก้สมการและสูตรที่ง่ายที่สุดสำหรับการแก้อสมการในรูปแบบทั่วไปแสดงไว้ในภาคผนวก (ภาคผนวก 1 และ 2) ตัวอย่างที่ 1
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน ลากเส้นตรงบนวงกลมหนึ่งหน่วย ความหมายทั้งหมดย
ในช่วงเวลา NM มีค่ามากกว่า
ทุกจุดของส่วนโค้ง AMB เป็นไปตามอสมการนี้ ทุกมุมการหมุนขนาดใหญ่ แต่เล็กกว่า ,
รูปที่ 1 ดังนั้นการแก้อสมการจะเป็นค่าทั้งหมดในช่วงเวลานั้น เหล่านั้น. คำตอบ: 1.2. วิธีการแบบกราฟิก
ในทางปฏิบัติ วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติแบบกราฟิกมักจะมีประโยชน์ ให้เราพิจารณาสาระสำคัญของวิธีการโดยใช้ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกัน 1. ถ้าข้อโต้แย้งมีความซับซ้อน (แตกต่างจากเอ็กซ์
) จากนั้นแทนที่ด้วยที
.
2. เราสร้างในระนาบพิกัดเดียวของเล่น
กราฟฟังก์ชัน 3. เราพบสิ่งนี้จุดตัดกันสองจุดที่อยู่ติดกันของกราฟซึ่งระหว่างนั้นคลื่นไซน์ตั้งอยู่สูงกว่า
โดยตรง 4. เขียนความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าสำหรับการโต้แย้งที
โดยคำนึงถึงคาบโคไซน์ (ที
จะอยู่ระหว่างฝีที่พบ) 5. ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ (กลับไปที่อาร์กิวเมนต์ดั้งเดิม) และแสดงค่าเอ็กซ์
จากความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เราเขียนคำตอบในรูปของช่วงตัวเลข ตัวอย่างที่ 2
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: . เมื่อแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีกราฟิก จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันให้แม่นยำที่สุด มาแปลงความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบ: เรามาสร้างกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเดียวกันดีกว่า รูปที่ 2 กราฟของฟังก์ชันตัดกันที่จุดก
พร้อมพิกัด คำตอบ: 1.3. วิธีพีชคณิต
บ่อยครั้ง อสมการตรีโกณมิติดั้งเดิมสามารถลดลงเป็นอสมการเชิงพีชคณิต (เชิงตรรกศาสตร์หรืออตรรกยะ) ผ่านการแทนที่ที่เลือกมาอย่างดี วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกัน การแนะนำการทดแทน หรือการแทนที่ตัวแปร ลองดูตัวอย่างเฉพาะของการประยุกต์ใช้วิธีนี้ ตัวอย่างที่ 3
ลดขนาดให้เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด (รูปที่ 3)
รูปที่ 3 , คำตอบ: ตัวอย่างที่ 4
แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน: ODZ: การใช้สูตร: ลองเขียนอสมการในรูปแบบ: หรือเชื่อ ,
,
.
การแก้ปัญหาอสมการสุดท้ายโดยใช้วิธีช่วงเวลาเราได้รับ: รูปที่ 4 ตามลำดับ รูปที่ 5 คำตอบ: 1.4. วิธีช่วงเวลา
รูปแบบทั่วไปสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วิธีช่วงเวลา: ตัวประกอบโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ ค้นหาจุดไม่ต่อเนื่องและศูนย์ของฟังก์ชันแล้ววางลงบนวงกลม เอาจุดไหนก็ได้ถึง
(แต่ไม่พบก่อนหน้านี้) และค้นหาสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ หากผลคูณเป็นบวก ให้วางจุดนอกวงกลมหน่วยบนรังสีที่สอดคล้องกับมุม มิฉะนั้นให้วางจุดนั้นไว้ภายในวงกลม หากจุดหนึ่งเกิดขึ้นเป็นจำนวนคู่ เราจะเรียกมันว่าจุดของการคูณเลขคู่ หากเป็นจำนวนคี่ เราจะเรียกมันว่าจุดของการคูณเลขคี่ วาดส่วนโค้งดังนี้: เริ่มจากจุดถึง
ถ้าจุดถัดไปมีหลายหลากเป็นเลขคี่ ส่วนโค้งจะตัดวงกลมที่จุดนี้ แต่ถ้าจุดนั้นมีหลายหลากคู่ ส่วนโค้งจะไม่ตัดกัน ส่วนโค้งด้านหลังวงกลมเป็นช่วงที่เป็นบวก ภายในวงกลมมีช่องว่างเชิงลบ ตัวอย่างที่ 5
แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน , ประเด็นของซีรีส์แรก: ประเด็นของซีรีส์ที่สอง: แต่ละจุดเกิดขึ้นเป็นจำนวนคี่ กล่าวคือ ทุกจุดมีหลายหลากเป็นคี่ ให้เราค้นหาสัญลักษณ์ของสินค้าได้ที่ ข้าว. 6 คำตอบ: ตัวอย่างที่ 6
- แก้ความไม่เท่าเทียมกัน.
สารละลาย:
ลองหาศูนย์ของนิพจน์กัน .
รับเอ้ม :
,
, , , บนค่าอนุกรมหน่วยวงกลมเอ็กซ์
1
แสดงด้วยจุด ตอนนี้ให้หมายเลข จะเท่ากัน ลองประมาณตามสัญลักษณ์: งั้นก็หยุดให้เต็มที่ก
ควรเลือกบนรังสีที่สร้างมุม ด้วยลำแสงโอ้,
นอกวงกลมหน่วย (โปรดทราบว่าลำแสงเสริมเกี่ยวกับ
ก
ไม่จำเป็นต้องบรรยายเป็นภาพวาดเลย จุดก
จะถูกเลือกโดยประมาณ) ตอนนี้จากจุดก
ลากเส้นหยักอย่างต่อเนื่องตามลำดับไปยังจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด และตามจุดต่างๆ รูปที่ 7 คำตอบสุดท้าย: บันทึก.
หากเส้นหยักเมื่อข้ามจุดทั้งหมดที่ระบุไว้ในวงกลมหน่วยแล้ว ไม่สามารถกลับจุดนั้นได้ก
,
โดยไม่ต้องข้ามวงกลมในตำแหน่งที่ "ผิดกฎหมาย" ซึ่งหมายความว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในการแก้ปัญหา กล่าวคือ พลาดรากจำนวนคี่ คำตอบ:
.
§2 ชุดปัญหาสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ
ในกระบวนการพัฒนาความสามารถของเด็กนักเรียนในการแก้อสมการตรีโกณมิติสามารถแยกแยะได้ 3 ขั้นตอน 1. เตรียมความพร้อม 2. การพัฒนาความสามารถในการแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย 3. การแนะนำอสมการตรีโกณมิติประเภทอื่น วัตถุประสงค์ของขั้นตอนการเตรียมการคือจำเป็นต้องพัฒนาความสามารถในการใช้วงกลมหรือกราฟตรีโกณมิติในเด็กนักเรียนเพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันกล่าวคือ: ความสามารถในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์มอย่างง่าย ความสามารถในการสร้างอสมการสองเท่าสำหรับส่วนโค้งของวงกลมจำนวนหรือส่วนโค้งของกราฟของฟังก์ชัน ความสามารถในการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติต่างๆ ขอแนะนำให้ใช้ขั้นตอนนี้ในกระบวนการจัดระบบความรู้ของเด็กนักเรียนเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วิธีการหลักอาจเป็นงานที่เสนอให้กับนักเรียนและดำเนินการภายใต้การแนะนำของครูหรือโดยอิสระตลอดจนทักษะที่พัฒนาในการแก้สมการตรีโกณมิติ นี่คือตัวอย่างของงานดังกล่าว: 1
- ทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมหน่วย , ถ้า .
2.
จุดนั้นอยู่ที่ไตรมาสใดของระนาบพิกัด? , ถ้า เท่ากับ: 3.
ทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ , ถ้า: 4.
แปลงนิพจน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติฉันไตรมาส ก) 5.
ได้รับ Arc MR แล้วม
- กลางฉัน- ไตรมาสที่ร
- กลางครั้งที่สองไตรมาสที่ 3 จำกัดค่าของตัวแปรที
สำหรับ: (สร้างความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า) a) arc MR; b) ส่วนโค้ง RM 6.
เขียนความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าสำหรับส่วนที่เลือกของกราฟ: ข้าว. 1 7.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 8.
แปลงนิพจน์
.
ในขั้นตอนที่สองของการเรียนรู้เพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติเราสามารถเสนอคำแนะนำต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับระเบียบวิธีในการจัดกิจกรรมของนักเรียน ในกรณีนี้ มีความจำเป็นต้องมุ่งเน้นไปที่ทักษะที่มีอยู่ของนักเรียนในการทำงานกับวงกลมหรือกราฟตรีโกณมิติที่เกิดขึ้นพร้อมกับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด ประการแรก เราสามารถกระตุ้นความได้เปรียบของการได้รับวิธีการทั่วไปในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดโดยการเปลี่ยน เช่น ไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ประการที่สอง ครูควรดึงความสนใจของนักเรียนไปยังวิธีต่างๆ ในการทำงานให้สำเร็จ ยกตัวอย่างการแก้ปัญหาอสมการทั้งในรูปแบบกราฟิกและการใช้วงกลมตรีโกณมิติที่เหมาะสม ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ 1. แก้อสมการโดยใช้วงกลมหน่วย ในบทเรียนแรกเกี่ยวกับการแก้อสมการตรีโกณมิติ เราจะเสนออัลกอริธึมการแก้ปัญหาโดยละเอียดแก่นักเรียน ซึ่งในการนำเสนอทีละขั้นตอนจะสะท้อนถึงทักษะพื้นฐานทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน ขั้นตอนที่ 1ลองวาดวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วทำเครื่องหมายจุดบนแกนกำหนด แล้วลากเส้นตรงผ่านมันขนานกับแกน x เส้นนี้จะตัดวงกลมหน่วยที่จุดสองจุด แต่ละจุดเหล่านี้แสดงถึงตัวเลขที่มีไซน์เท่ากับ .
ขั้นตอนที่ 2เส้นตรงนี้แบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนโค้ง ให้เราเลือกอันที่แสดงตัวเลขที่มีไซน์มากกว่า - โดยธรรมชาติแล้วส่วนโค้งนี้จะอยู่เหนือเส้นตรงที่วาดไว้ ข้าว. 2 ขั้นตอนที่ 3เลือกปลายด้านหนึ่งของส่วนโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ ลองเขียนตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งที่แสดงโดยจุดนี้ของวงกลมหน่วย .
ขั้นตอนที่ 4ในการเลือกหมายเลขที่ตรงกับปลายที่สองของส่วนโค้งที่เลือก เราจะ "เดิน" ไปตามส่วนโค้งนี้จากปลายที่มีชื่อไปยังอีกด้านหนึ่ง ขณะเดียวกันให้จำไว้ว่าเวลาเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา จำนวนที่เราจะผ่านไปจะเพิ่มขึ้น (เมื่อเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม ตัวเลขจะลดลง) ลองเขียนตัวเลขที่ปรากฎบนวงกลมหน่วยตรงปลายที่สองของส่วนโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ .
ดังนั้นเราจึงเห็นความไม่เท่าเทียมกันนั้น ควรขอให้นักเรียนตรวจสอบภาพวาดอย่างรอบคอบ และหาคำตอบว่าเหตุใดจึงแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดได้ ข้าว. 3 จำเป็นต้องดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ความจริงที่ว่าเมื่อแก้ไขอสมการของฟังก์ชันโคไซน์เราจะวาดเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด วิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการ เราสร้างกราฟ ข้าว. 4 จากนั้นเราก็เขียนสมการ (การให้n
ค่า 0, 1, 2 เราจะพบรากทั้งสามของสมการที่คอมไพล์แล้ว) ค่านิยม ข้าว. 5 มาสรุปกัน เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ประการที่สาม ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับชุดรากของอสมการตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันนั้นได้รับการยืนยันอย่างชัดเจนมากเมื่อทำการแก้ไขแบบกราฟิก ข้าว. 6 จำเป็นต้องแสดงให้นักเรียนเห็นว่าการเลี้ยวซึ่งเป็นคำตอบของอสมการนั้นเกิดขึ้นซ้ำๆ ในช่วงเวลาเดียวกัน ซึ่งเท่ากับคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณยังสามารถพิจารณาภาพประกอบที่คล้ายกันสำหรับกราฟของฟังก์ชันไซน์ได้ ประการที่สี่ ขอแนะนำให้ดำเนินการอัปเดตเทคนิคของนักเรียนในการแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลิตภัณฑ์ และเพื่อดึงความสนใจของนักเรียนไปยังบทบาทของเทคนิคเหล่านี้ในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติ งานดังกล่าวสามารถจัดระเบียบได้โดยการทำงานที่ครูเสนอโดยอิสระโดยอิสระของนักเรียน โดยที่เราเน้นสิ่งต่อไปนี้: ประการที่ห้า นักเรียนจะต้องแสดงวิธีแก้ปัญหาของอสมการตรีโกณมิติอย่างง่ายแต่ละอย่างโดยใช้กราฟหรือวงกลมตรีโกณมิติ คุณควรใส่ใจกับความได้เปรียบของมันอย่างแน่นอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้วงกลม เนื่องจากเมื่อแก้ไขอสมการตรีโกณมิติ ภาพประกอบที่เกี่ยวข้องทำหน้าที่เป็นวิธีที่สะดวกมากในการบันทึกชุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด ขอแนะนำให้นักเรียนแนะนำวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดตามรูปแบบต่อไปนี้: เปลี่ยนเป็นอสมการตรีโกณมิติเฉพาะ เปลี่ยนเป็นสมการตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน ค้นหาร่วม (ครู - นักเรียน) เพื่อหาวิธีแก้ปัญหา ถ่ายโอนอิสระของ พบวิธีการแก้อสมการอื่นที่เป็นประเภทเดียวกัน เพื่อจัดระบบความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตรีโกณมิติ เราขอแนะนำให้เลือกความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวเป็นพิเศษ ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงต่างๆ ที่สามารถนำไปใช้ในกระบวนการแก้ปัญหาได้ และเน้นความสนใจของนักเรียนไปที่คุณลักษณะของพวกเขา เนื่องจากความไม่เท่าเทียมทางประสิทธิผลดังกล่าว เราสามารถเสนอได้ เช่น ต่อไปนี้: โดยสรุป เรายกตัวอย่างชุดปัญหาสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ 1. แก้อสมการ: ก) ข) 5. ค้นหาวิธีแก้ไขอสมการทั้งหมด: ก) ;
ข) ;
วี) ช) ง) 6. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) ;
ข) ;
วี) ; ช) ง) ; จ) ; และ) 7. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) ข) ;
วี) ; ช) . 8. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) ;
ข) ;
วี) ; ช) ง) จ) ; และ) ชม) . ขอแนะนำให้เสนองานที่ 6 และ 7 ให้กับนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์ในระดับสูง งานที่ 8 ให้กับนักเรียนในชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูง §3 วิธีพิเศษในการแก้อสมการตรีโกณมิติ
วิธีพิเศษในการแก้สมการตรีโกณมิติ - นั่นคือวิธีการเหล่านั้นที่สามารถใช้เพื่อแก้สมการตรีโกณมิติเท่านั้น วิธีการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตลอดจนการใช้สูตรและอัตลักษณ์ตรีโกณมิติต่างๆ 3.1. วิธีการภาค
ลองพิจารณาวิธีการเซกเตอร์สำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ในวิธีช่วงเวลา แต่ละปัจจัยเชิงเส้นของตัวเศษและส่วนของแบบฟอร์ม ต้องจำสิ่งต่อไปนี้: ก) ปัจจัยของรูปแบบ b) ปัจจัยของรูปแบบ ตัวอย่างที่ 1
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) 3.2. วิธีวงกลมศูนย์กลาง
วิธีนี้เป็นอะนาล็อกของวิธีแกนจำนวนขนานสำหรับการแก้ระบบอสมการเชิงตรรกยะ ลองพิจารณาตัวอย่างของระบบความไม่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างที่ 5
แก้ระบบอสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย ขั้นแรก เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแยกกัน (รูปที่ 5) ที่มุมขวาบนของรูป เราจะระบุว่ากำลังพิจารณาอาร์กิวเมนต์ใดที่วงกลมตรีโกณมิติกำลังพิจารณา รูปที่ 5 ต่อไป เราจะสร้างระบบวงกลมศูนย์กลางสำหรับการโต้แย้งเอ็กซ์
- เราวาดวงกลมและแรเงาตามวิธีแก้ปัญหาของอสมการแรก จากนั้นเราวาดวงกลมที่มีรัศมีใหญ่กว่าและแรเงาตามวิธีแก้ปัญหาของอสมการที่สอง จากนั้นเราสร้างวงกลมสำหรับอสมการที่สามและวงกลมฐาน เราวาดรังสีจากศูนย์กลางของระบบผ่านปลายส่วนโค้งเพื่อให้พวกมันตัดกันวงกลมทั้งหมด เราสร้างวิธีแก้ปัญหาบนวงกลมฐาน (รูปที่ 6) รูปที่ 6 คำตอบ:
บทสรุป
วัตถุประสงค์ทั้งหมดของการวิจัยหลักสูตรเสร็จสมบูรณ์ เนื้อหาทางทฤษฎีได้รับการจัดระบบ: ประเภทหลักของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการหลักในการแก้ปัญหาจะได้รับ (กราฟิก, พีชคณิต, วิธีช่วงเวลา, เซกเตอร์และวิธีการวงกลมศูนย์กลาง) มีตัวอย่างการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันสำหรับแต่ละวิธี ภาคทฤษฎีตามมาด้วยภาคปฏิบัติ ประกอบด้วยชุดงานสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ นักเรียนสามารถใช้หลักสูตรนี้เพื่อการทำงานอิสระได้ เด็กนักเรียนสามารถตรวจสอบระดับความเชี่ยวชาญของหัวข้อนี้และฝึกฝนการทำงานที่มีความซับซ้อนต่างกันให้สำเร็จ เมื่อศึกษาวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องในประเด็นนี้แล้ว เราสามารถสรุปได้ชัดเจนว่าความสามารถและทักษะในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติในหลักสูตรพีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นมีความสำคัญมากการพัฒนาซึ่งต้องใช้ความพยายามอย่างมากในส่วนของครูคณิตศาสตร์ ดังนั้นงานนี้จึงจะเป็นประโยชน์สำหรับครูคณิตศาสตร์เนื่องจากสามารถจัดฝึกอบรมนักเรียนในหัวข้อ “อสมการตรีโกณมิติ” ได้อย่างมีประสิทธิภาพ การวิจัยสามารถดำเนินต่อไปได้โดยการขยายไปสู่งานที่มีคุณสมบัติครบถ้วนขั้นสุดท้าย.
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว
โบโกโมลอฟ, N.V. รวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / N.V. โบโกโมลอฟ. – อ.: อีแร้ง, 2552. – 206 น. Vygodsky, M.Ya. คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา [ข้อความ] / ม.ย. วีก็อดสกี้ – อ.: อีแร้ง, 2549. – 509 น. Zhurbenko, L.N. คณิตศาสตร์ในตัวอย่างและโจทย์ [ข้อความ] / L.N. ซูร์เบนโก. – อ.: อินฟรา-เอ็ม, 2552. – 373 หน้า อีวานอฟ โอ.เอ. คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา สำหรับ เด็กนักเรียน นักเรียน และครู [ข้อความ] / O.A. อีวานอฟ. – อ.: MTsNMO, 2009. – 384 หน้า คาร์ป, เอ.พี. การมอบหมายพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เพื่อจัดการการทำซ้ำขั้นสุดท้ายและการรับรองในระดับ 11 [ข้อความ] / A.P. ปลาคาร์พ – อ.: การศึกษา, 2548. – 79 น. นพ. กุลานิน โจทย์การแข่งขันคณิตศาสตร์ 3,000 ข้อ [ข้อความ] / E.D. กุลานิน. – อ.: Iris-press, 2550. – 624 หน้า ไลบ์สัน, เค.แอล. รวบรวมงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / K.L. ไลบ์สัน. – อ.: อีแร้ง, 2010. – 182 น. ข้อศอก, V.V. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์และแนวทางแก้ไข ตรีโกณมิติ: สมการ อสมการ ระบบ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 [ข้อความ] / V.V. ข้อศอก. – อ.: ARKTI, 2551. – 64 หน้า มาโนวา, A.N. คณิตศาสตร์. ครูสอนพิเศษด่วนสำหรับการเตรียมตัวสอบ Unified State: นักเรียน คู่มือ [ข้อความ] / A.N. มาโนวา. – Rostov-on-Don: ฟีนิกซ์, 2012. – 541 หน้า มอร์ดโควิช, เอ.จี. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10-11 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป [ข้อความ] / A.G. มอร์ดโควิช. – อ.: Iris-press, 2552. – 201 น. Novikov, A.I. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ สมการ และอสมการ [ข้อความ] / A.I. โนวิคอฟ – อ.: FIZMATLIT, 2010. – 260 น. โอกาเนเซียน เวอร์จิเนีย วิธีสอนคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษา: ระเบียบวิธีทั่วไป หนังสือเรียน คู่มือสำหรับนักศึกษาฟิสิกส์ - เสื่อ ปลอม พล.อ. สถาบัน [ข้อความ] / วี.เอ. โอกาเนเซียน. – อ.: การศึกษา, 2549 – 368 หน้า Olehnik, S.N. สมการและอสมการ วิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน [ข้อความ] / S.N. โอเลห์นิค. – อ.: สำนักพิมพ์แฟคทอเรียล, 1997. – 219 น. เซฟริวคอฟ, P.F. สมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง และลอการิทึม และอสมการ [ข้อความ] / P.F. เซฟริวคอฟ – อ.: การศึกษาสาธารณะ, 2551. – 352 น. Sergeev, I.N. การสอบ Unified State: 1,000 ปัญหาพร้อมคำตอบและคำตอบทางคณิตศาสตร์ งานทั้งหมดของกลุ่ม C [ข้อความ] / I.N. เซอร์เกฟ. – อ.: สอบ พ.ศ. 2555 – 301 น. โซโบเลฟ, เอ.บี. คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา [ข้อความ] / A.B. โซโบเลฟ. – เอคาเทรินเบิร์ก: สถาบันการศึกษาของรัฐสำหรับการศึกษาวิชาชีพขั้นสูง USTU-UPI, 2548. – 81 หน้า เฟนโก, แอล.เอ็ม. วิธีหาช่วงเวลาในการแก้อสมการและศึกษาฟังก์ชัน [ข้อความ] / ล.ม. เฟนโก. – อ.: อีแร้ง, 2548. – 124 น. ฟรีดแมน, แอล.เอ็ม. รากฐานทางทฤษฎีของวิธีการสอนคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / L.M. ฟรีดแมน. – อ.: บ้านหนังสือ “LIBROKOM”, 2552. – 248 หน้า ภาคผนวก 1 การตีความแบบกราฟิกของการแก้อสมการเชิงง่าย ข้าว. 1 ข้าว. 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 รูปที่ 5 รูปที่ 6 รูปที่ 7 รูปที่ 8 ภาคผนวก 2 คำตอบของอสมการง่ายๆ
,
ฯลฯ) โดยที่ความไม่เท่าเทียมกันตามปกติได้รับการแก้ไขก่อน แล้วจึงแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ
ฯลฯ หรือวิธีการอื่นๆ
ก็เพียงพอแล้วที่จะหาวิธีแก้ปัญหาในช่วงเวลาหนึ่งนั่นคือ บนส่วนใดๆ ที่มีความยาวเท่ากับคาบของฟังก์ชันฉ
x
- จากนั้นจะพบวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันแบบเดิมทั้งหมดx
เช่นเดียวกับค่าเหล่านั้นที่แตกต่างจากค่าที่พบตามจำนวนงวดของฟังก์ชันจำนวนเต็ม ในกรณีนี้ จะสะดวกในการใช้วิธีการแบบกราฟิก
(
) และ
.
(
).
.
.
(ตัวเลขทางด้านซ้ายของรายการจะน้อยกว่าตัวเลขทางด้านขวาเสมอ)
.
ซึ่งตัดวงกลมที่จุด A และ B
จะรับเอาคุณค่าที่มากขึ้น
(แต่ไม่เกินหนึ่ง)
, เช่น.
- เพื่อให้ได้คำตอบทั้งหมดสำหรับอสมการนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะบวกเข้ากับจุดสิ้นสุดของช่วงเวลานี้
, ที่ไหน
, เช่น.
,
.
โปรดทราบว่าค่าต่างๆ
และ
คือรากของสมการ
,
;
.
,
.
:
และ
.
- เราพบจุดขาดของจุดเหล่านี้
และ
(รูปที่ 2)
;
- ในระหว่าง
จุดกราฟ
ใต้จุดกราฟ
- และเมื่อไร
ค่าฟังก์ชันจะเหมือนกัน นั่นเป็นเหตุผล
ที่
.
.
.
.
,
,
.
,
.
หลังจากการแปลงอย่างง่าย ๆ ที่เราได้รับ
- แล้วจากรูป.. 4 ตามมา
, ที่ไหน
.
,
.
.
.
.
- ทำเครื่องหมายจุดทั้งหมดบนวงกลมหน่วย (รูปที่ 6):
,
;
,
;
,
.
;
;
;
;
- ชุดเอ็กซ์
2
ให้คะแนน
- จากซีรีส์เอ็กซ์
3
เราได้สองแต้ม
- ในที่สุดก็มีซีรีส์เอ็กซ์
4
จะเป็นตัวแทนของคะแนน
- ลองพลอตจุดทั้งหมดเหล่านี้บนวงกลมหน่วย โดยระบุความหลายหลากในวงเล็บถัดจากแต่ละจุด
เส้นของเราไปจากพื้นที่หนึ่งไปอีกพื้นที่หนึ่ง: ถ้าอยู่นอกวงกลมหน่วยก็จะเข้าไปข้างใน เข้าใกล้จุด เส้นจะย้อนกลับไปยังบริเวณด้านใน เนื่องจากจุดหลายหลากของจุดนี้เป็นเลขคู่ ในทำนองเดียวกัน ณ จุดนั้น (ที่มีหลายหลากคู่) จะต้องหมุนเส้นไปทางด้านนอก ดังนั้นเราจึงวาดภาพบางอย่างที่แสดงในรูปที่. 7. ช่วยเน้นบริเวณที่ต้องการบนวงกลมหน่วย มีเครื่องหมาย "+" กำกับไว้
,
,
,
,
การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
,
ข)
,
วี)
,
,
,
.
.
การใช้ความรู้และทักษะที่ได้รับในขั้นเตรียมการ นักเรียนจะนำความไม่เท่าเทียมกันที่เสนอมาสู่แบบฟอร์ม
แต่อาจพบว่าเป็นการยากที่จะหาชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเพราะว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้มันโดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์เท่านั้น ความยากลำบากนี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยหันไปใช้ภาพประกอบที่เหมาะสม (การแก้สมการแบบกราฟิกหรือใช้วงกลมหน่วย)
.
ตอบสนองตัวเลขที่อสมการเป็นจริง
- เราแก้ไขอสมการของตัวเลขที่อยู่ในคาบเดียวกันของฟังก์ชันไซน์ ดังนั้นคำตอบทั้งหมดของอสมการจึงสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
สามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มได้
,
.
และ
เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนั้นแล้ว
.
และการตัดสินใจของเขา
,
,
พบว่าใช้สูตร
,
,
.
คือจุดตัดกันสามจุดติดต่อกันของจุดตัดของกราฟ
และ
- แน่นอนว่าต้องเว้นระยะห่างเสมอ
ความไม่เท่าเทียมกันถือ
และตามช่วงเวลา
– ความไม่เท่าเทียมกัน
- เราสนใจในกรณีแรก แล้วบวกเข้ากับจุดสิ้นสุดของช่วงเวลานี้ด้วยตัวเลขที่เป็นผลคูณของคาบของไซน์ เราจะได้คำตอบของอสมการ
ในรูปแบบ:
,
.
คุณต้องสร้างสมการที่เกี่ยวข้องแล้วแก้สมการนั้น ค้นหารากจากสูตรผลลัพธ์ และ และเขียนคำตอบของอสมการในรูปแบบ: ,
.
, เป็นไปตามเงื่อนไข
;
, เป็นไปตามเงื่อนไข
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, ที่ไหนป
(
x
)
และถาม
(
x
)
– ฟังก์ชันตรีโกณมิติเชิงตรรกยะ (ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์รวมอยู่ในเหตุผลแล้ว) คล้ายกับการแก้อสมการเชิงตรรกยะ สะดวกในการแก้อสมการเชิงตรรกยะโดยใช้วิธีช่วงเวลาบนเส้นจำนวน อะนาล็อกในการแก้อสมการตรีโกณมิติเชิงตรรกยะคือวิธีการของเซกเตอร์ในวงกลมตรีโกณมิติสำหรับบาป
และคอกซ์
(
) หรือครึ่งวงกลมตรีโกณมิติสำหรับทีจีเอ็กซ์
และซีทีจีเอ็กซ์
(
).
บนแกนตัวเลขตรงกับจุด และเมื่อผ่านจุดนี้ไปแล้ว
เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง ในวิธีการเซกเตอร์แต่ละแฟคเตอร์จะมีรูปแบบ
, ที่ไหน
- หนึ่งในฟังก์ชั่นบาป
หรือคอกซ์
และ
ในวงกลมตรีโกณมิติจะมีมุมสองมุมตรงกัน และ
ซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน เมื่อผ่าน และ การทำงาน
เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง
และ
, ที่ไหน
, คงเครื่องหมายไว้ทุกค่า - ตัวประกอบของตัวเศษและส่วนดังกล่าวจะถูกยกเลิกโดยการเปลี่ยน (ถ้า
) ในการปฏิเสธแต่ละครั้ง เครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันจะกลับกัน
และ
ก็ถูกทิ้งเช่นกัน นอกจากนี้ หากสิ่งเหล่านี้เป็นตัวประกอบของตัวส่วน อสมการในรูปแบบนี้จะถูกบวกเข้ากับระบบอสมการที่เทียบเท่ากัน
และ
- หากสิ่งเหล่านี้เป็นปัจจัยของตัวเศษ ในระบบข้อจำกัดที่เทียบเท่า ค่าเหล่านี้จะสอดคล้องกับอสมการ
และ
ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันเริ่มต้นที่เข้มงวดและความเท่าเทียมกัน
และ
ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันเริ่มต้นที่ไม่เข้มงวด เมื่อละทิ้งตัวคูณ
หรือ
เครื่องหมายอสมการกลับด้าน
, ข)
.
เรามีฟังก์ชัน b) . แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เรามี
,
.