เศษส่วนไม่ลงตัวคืออะไร? จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะคืออะไร
เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจะแสดงด้วยตัวอักษร N ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่เราใช้ในการนับวัตถุ ได้แก่ 1,2,3,4, ... ในบางแหล่ง เลข 0 ก็ถือเป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน
เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดจะแสดงด้วยตัวอักษร Z จำนวนเต็มล้วนเป็นจำนวนธรรมชาติ ศูนย์ และจำนวนลบ:
1,-2,-3, -4, …
ตอนนี้เราบวกเซตของเศษส่วนสามัญทั้งหมดเข้ากับเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด: 2/3, 18/17, -4/5 และอื่นๆ จากนั้นเราจะได้เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด
เซตของจำนวนตรรกยะ
เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเขียนแทนด้วยตัวอักษร Q เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด (Q) เป็นเซตที่ประกอบด้วยตัวเลขในรูปแบบ m/n, -m/n และเลข 0 จำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถทำหน้าที่เป็น น,ม. ควรสังเกตว่าจำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์ได้ ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกันว่าเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์สามารถเขียนเป็นจำนวนตรรกยะได้
แต่แล้วอย่างเช่น หมายเลข 2.0100100010...ล่ะ? มันเป็นเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีรอบระยะเวลาอนันต์ และมันใช้ไม่ได้กับจำนวนตรรกยะ
ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนจะศึกษาเฉพาะจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) เท่านั้น เซตของจำนวนจริงทั้งหมดเขียนแทนด้วยตัวอักษร R เซต R ประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทั้งหมด
แนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะ
จำนวนอตรรกยะล้วนเป็นทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่เศษส่วนเป็นงวด จำนวนอตรรกยะไม่มีการกำหนดพิเศษ
ตัวอย่างเช่น จำนวนทั้งหมดที่ได้จากการแยกรากที่สองของจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่กำลังสองของจำนวนธรรมชาติจะถือเป็นจำนวนอตรรกยะ (√2, √3, √5, √6 ฯลฯ)
แต่อย่าคิดว่าจำนวนอตรรกยะจะได้มาจากการแยกรากที่สองเท่านั้น ตัวอย่างเช่น จำนวน “pi” ก็ไม่มีเหตุผลเช่นกัน และได้มาจากการหาร และไม่ว่าคุณจะพยายามแค่ไหน คุณก็ไม่สามารถหามันได้โดยการหารากที่สองของจำนวนธรรมชาติใดๆ
เนื้อหาในบทความนี้ให้ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับ ตัวเลขอตรรกยะ- ก่อนอื่นเราจะให้คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะและอธิบายก่อน ด้านล่างนี้เราจะยกตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ สุดท้ายนี้ เรามาดูวิธีการบางอย่างในการหาว่าจำนวนที่ระบุนั้นไม่มีเหตุผลหรือไม่
การนำทางหน้า
ความหมายและตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
เมื่อศึกษาทศนิยม เราจะแยกพิจารณาทศนิยมแบบไม่สิ้นสุดเป็นช่วงอนันต์ เศษส่วนดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อวัดความยาวทศนิยมของส่วนที่ไม่สามารถเทียบเคียงกับส่วนของหน่วยได้ นอกจากนี้เรายังตั้งข้อสังเกตอีกว่าเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้ (ดูการแปลงเศษส่วนสามัญเป็นทศนิยมและในทางกลับกัน) ดังนั้น ตัวเลขเหล่านี้จึงไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แต่เป็นตัวแทนของสิ่งที่เรียกว่าจำนวนอตรรกยะ
เราก็เลยมา. คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ.
คำนิยาม.
ตัวเลขที่แสดงถึงเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบเป็นอนันต์ในรูปแบบทศนิยมเรียกว่า ตัวเลขอตรรกยะ.
คำจำกัดความดังกล่าวช่วยให้เราสามารถให้ ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ- ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยมแบบไม่เป็นงวด 4.10110011100011110000... (จำนวนหลักและศูนย์เพิ่มขึ้นครั้งละหนึ่ง) ถือเป็นจำนวนอตรรกยะ ลองยกตัวอย่างอีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะ: −22.353335333335... (จำนวนสามที่แยกแปดออกจะเพิ่มขึ้นทีละสองในแต่ละครั้ง)
ควรสังเกตว่าจำนวนอตรรกยะนั้นค่อนข้างหายากในรูปแบบของเศษส่วนทศนิยมที่ไม่มีคาบไม่สิ้นสุด มักจะพบในรูปแบบ ฯลฯ เช่นเดียวกับในรูปแบบของตัวอักษรที่ป้อนเป็นพิเศษ ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของจำนวนอตรรกยะในรูปแบบนี้คือรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของสอง ตัวเลข “pi” π=3.141592... ตัวเลข e=2.718281... และเลขทอง
จำนวนอตรรกยะสามารถกำหนดได้ในรูปของจำนวนจริง ซึ่งรวมจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะเข้าด้วยกัน
คำนิยาม.
ตัวเลขอตรรกยะเป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
ตัวเลขนี้ไม่มีเหตุผลใช่ไหม?
เมื่อตัวเลขไม่ได้ถูกกำหนดให้อยู่ในรูปของเศษส่วนทศนิยม แต่อยู่ในรูปของรูท ลอการิทึม ฯลฯ การตอบคำถามว่าตัวเลขนั้นไม่มีเหตุผลหรือไม่นั้นในหลายกรณีค่อนข้างยาก
ไม่ต้องสงสัยเลยว่าเมื่อตอบคำถามที่ถูกวางไว้จะมีประโยชน์มากที่จะรู้ว่าตัวเลขใดที่ไม่ลงตัว จากคำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะ จะได้ว่าจำนวนอตรรกยะไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ดังนั้น จำนวนอตรรกยะจึงไม่ใช่:
- เศษส่วนทศนิยมคาบที่มีขอบเขตจำกัดและอนันต์
นอกจากนี้ องค์ประกอบของจำนวนตรรกยะใดๆ ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (+, −, ·, :) ก็ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ เนื่องจากผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของจำนวนตรรกยะสองตัวนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ เช่น ค่าของนิพจน์และเป็นจำนวนตรรกยะ ในที่นี้เราทราบว่าหากนิพจน์ดังกล่าวมีจำนวนอตรรกยะตัวเดียวในหมู่จำนวนตรรกยะ ค่าของนิพจน์ทั้งหมดจะเป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ จำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนที่เหลือเป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นจึงเป็นจำนวนอตรรกยะ ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะ ความสมเหตุสมผลของจำนวนก็จะตามมา แต่จำนวนนั้นไม่เป็นตรรกยะ
หากนิพจน์ที่ระบุตัวเลขประกอบด้วยจำนวนอตรรกยะ เครื่องหมายราก ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวเลข π e ฯลฯ หลายจำนวน จำเป็นต้องพิสูจน์ความไร้เหตุผลหรือเหตุผลของตัวเลขที่ระบุในแต่ละกรณี อย่างไรก็ตาม มีผลลัพธ์จำนวนหนึ่งที่สามารถนำมาใช้ได้ เรามาแสดงรายการหลักกัน
ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ารากที่ k ของจำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อตัวเลขที่อยู่ใต้รากนั้นเป็นกำลัง k ของจำนวนเต็มอื่น ในกรณีอื่น รากดังกล่าวระบุจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข และ เป็นจำนวนอตรรกยะ เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มที่มีกำลังสองเป็น 7 และไม่มีจำนวนเต็มซึ่งการบวกยกกำลังที่ 5 จะให้เลข 15 และตัวเลขนั้นไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก และ .
สำหรับลอการิทึม บางครั้งเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ความไร้เหตุผลโดยใช้วิธีขัดแย้ง ตามตัวอย่าง ลองพิสูจน์ว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ
สมมติว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนตรรกยะ ไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ กล่าวคือ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดา m/n ได้ และให้เราเขียนห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: . ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายเป็นไปไม่ได้เนื่องจากอยู่ทางด้านซ้าย เลขคี่และทางด้านขวา – เท่ากัน ดังนั้นเราจึงเกิดข้อขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานของเราไม่ถูกต้อง และพิสูจน์ว่าบันทึก 2 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ
โปรดทราบว่า lna สำหรับ a ที่เป็นจำนวนตรรกยะบวกและไม่เป็นหนึ่งใดๆ จะเป็นจำนวนอตรรกยะ ตัวอย่างเช่น และ เป็นจำนวนอตรรกยะ
นอกจากนี้ยังพิสูจน์ได้ว่าจำนวน e a สำหรับจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ a ใดๆ นั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวน π z สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ z นั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น ตัวเลขไม่ลงตัว
จำนวนอตรรกยะยังเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg และ ctg สำหรับค่าตรรกยะและไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ ตัวอย่างเช่น sin1 , tan(−4) , cos5,7 เป็นจำนวนอตรรกยะ
ยังมีผลลัพธ์ที่พิสูจน์แล้วอื่นๆ แต่เราจะจำกัดตัวเองไว้เฉพาะผลลัพธ์ที่ระบุไว้แล้ว ก็ควรจะกล่าวด้วยว่าเมื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ข้างต้นทฤษฎีที่เกี่ยวข้องด้วย ตัวเลขพีชคณิตและ ตัวเลขเหนือธรรมชาติ.
โดยสรุป เราทราบว่าเราไม่ควรด่วนสรุปเกี่ยวกับความไร้เหตุผลของตัวเลขที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เห็นได้ชัดว่าจำนวนอตรรกยะถึงระดับที่ไม่ลงตัวนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป เพื่อยืนยันข้อเท็จจริงดังกล่าว เราขอนำเสนอปริญญา เป็นที่ทราบกันว่า - เป็นจำนวนอตรรกยะ และได้รับการพิสูจน์แล้วว่า - เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่เป็นจำนวนตรรกยะ คุณยังสามารถยกตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ ผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และผลหารที่เป็นจำนวนตรรกยะได้ ยิ่งไปกว่านั้น ความสมเหตุสมผลหรือความไม่ลงตัวของตัวเลข π+e, π−e, π·e, π π, π e และอื่นๆ อีกมากมายยังไม่ได้รับการพิสูจน์
อ้างอิง.
- คณิตศาสตร์.ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [น. ใช่แล้ว Vilenkin และคนอื่น ๆ ] - ฉบับที่ 22, ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00897-2.
- พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย
ตัวเลขอตรรกยะคืออะไร? ทำไมพวกเขาถึงเรียกอย่างนั้น? พวกเขาใช้ที่ไหนและพวกเขาคืออะไร? น้อยคนนักที่จะตอบคำถามเหล่านี้ได้โดยไม่ต้องคิด แต่ในความเป็นจริงแล้ว คำตอบนั้นค่อนข้างง่าย แม้ว่าไม่ใช่ทุกคนที่ต้องการและในสถานการณ์ที่หายากมาก
สาระสำคัญและการกำหนด
จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอนันต์ที่ไม่ใช่คาบ ความจำเป็นในการแนะนำแนวคิดนี้เนื่องมาจากความจริงที่ว่าเพื่อแก้ไขปัญหาใหม่ที่เกิดขึ้น แนวคิดที่มีอยู่ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับจำนวนจริงหรือจำนวนจริง จำนวนเต็ม ธรรมชาติ และจำนวนตรรกยะไม่เพียงพออีกต่อไป ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณว่าปริมาณใดเป็นกำลังสองของ 2 คุณต้องใช้ทศนิยมอนันต์ที่ไม่ใช่คาบ นอกจากนี้ สมการง่ายๆ หลายๆ สมการยังไม่มีคำตอบหากไม่มีแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะ
ชุดนี้แสดงเป็น I และตามที่ชัดเจนแล้วค่าเหล่านี้ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนอย่างง่ายได้ซึ่งตัวเศษจะเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วนจะเป็น
นับเป็นครั้งแรกไม่ทางใดก็ทางหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียพบกับปรากฏการณ์นี้ในศตวรรษที่ 7 เมื่อพบว่ารากที่สองของปริมาณบางปริมาณไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน และการพิสูจน์ครั้งแรกของการมีอยู่ของตัวเลขดังกล่าวนั้นมาจาก Pythagorean Hippasus ซึ่งทำสิ่งนี้ขณะศึกษาสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว นักวิทยาศาสตร์บางคนที่มีชีวิตอยู่ก่อนยุคของเราได้มีส่วนสนับสนุนอย่างจริงจังในการศึกษาชุดนี้ การนำแนวคิดเรื่องจำนวนอตรรกยะมาใช้นั้นต้องอาศัยการแก้ไขระบบทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีความสำคัญมาก
ที่มาของชื่อ
หากอัตราส่วนที่แปลจากภาษาละตินคือ "เศษส่วน", "อัตราส่วน" ดังนั้นคำนำหน้า "ir"
ทำให้คำนี้มีความหมายตรงกันข้าม ดังนั้นชื่อของชุดตัวเลขเหล่านี้จึงบ่งบอกว่าไม่สามารถเชื่อมโยงกับจำนวนเต็มหรือเศษส่วนได้และมีตำแหน่งที่แยกจากกัน สิ่งนี้ตามมาจากสาระสำคัญของพวกเขา
จัดอยู่ในประเภททั่วไป
จำนวนอตรรกยะและจำนวนตรรกยะอยู่ในกลุ่มของจำนวนจริงหรือจำนวนจริง ซึ่งในทางกลับกันก็อยู่ในจำนวนเชิงซ้อน ไม่มีเซตย่อย แต่มีความหลากหลายทางพีชคณิตและทิพย์ซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง
คุณสมบัติ
เนื่องจากจำนวนอตรรกยะเป็นส่วนหนึ่งของชุดของจำนวนจริง คุณสมบัติทั้งหมดที่ศึกษาในวิชาเลขคณิต (หรือเรียกอีกอย่างว่ากฎพีชคณิตพื้นฐาน) จึงมีผลกับจำนวนเหล่านี้
a + b = b + a (การสับเปลี่ยน);
(a + b) + c = a + (b + c) (การเชื่อมโยง);
a + (-a) = 0 (การมีอยู่ของจำนวนตรงข้าม);
ab = ba (กฎหมายสับเปลี่ยน);
(ab)c = a(bc) (การกระจายตัว);
a(b+c) = ab + ac (กฎการกระจาย);
a x 1/a = 1 (การมีอยู่ของจำนวนกลับ);
การเปรียบเทียบจะดำเนินการตามกฎหมายและหลักการทั่วไป:
ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c (การถ่ายทอดของความสัมพันธ์) และ ฯลฯ
แน่นอนว่าจำนวนอตรรกยะทั้งหมดสามารถแปลงได้โดยใช้เลขคณิตพื้นฐาน ไม่มีกฎพิเศษสำหรับเรื่องนี้
นอกจากนี้ สัจพจน์ของอาร์คิมิดีสยังใช้กับจำนวนอตรรกยะด้วย โดยระบุว่าสำหรับปริมาณ a และ b ใดๆ สองปริมาณ เป็นเรื่องจริงที่ว่าถ้าคุณใช้ a เป็นเทอมมากพอคูณด้วย คุณก็เอาชนะ b ได้
การใช้งาน
แม้ว่าคุณจะไม่ได้พบพวกเขาบ่อยนักในชีวิตประจำวัน แต่ก็ไม่สามารถนับจำนวนที่ไม่ลงตัวได้ มีจำนวนมากแต่แทบจะมองไม่เห็นเลย ตัวเลขอตรรกยะมีอยู่รอบตัวเรา ตัวอย่างที่ทุกคนคุ้นเคยคือตัวเลข ไพ เท่ากับ 3.1415926... หรือ e ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ 2.718281828... ในพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเรขาคณิต ต้องใช้อย่างต่อเนื่อง อนึ่ง ความหมายอันโด่งดังของ “อัตราส่วนทองคำ” นั่นก็คือ อัตราส่วนของทั้งส่วนที่ใหญ่กว่าต่อส่วนที่เล็กกว่าและในทางกลับกันก็เช่นกัน
อยู่ในชุดนี้ “เงิน” ที่รู้จักกันน้อยเช่นกัน
บนเส้นจำนวนพวกมันอยู่หนาแน่นมาก ดังนั้นระหว่างปริมาณสองปริมาณใดๆ ที่จัดว่าเป็นจำนวนตรรกยะ ปริมาณที่ไม่ลงตัวจะต้องเกิดขึ้นอย่างแน่นอน
ยังมีปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขอีกมากมายที่เกี่ยวข้องกับชุดนี้ มีเกณฑ์ต่างๆ เช่น การวัดความไม่ลงตัวและความปกติของตัวเลข นักคณิตศาสตร์ยังคงศึกษาตัวอย่างที่สำคัญที่สุดต่อไปเพื่อพิจารณาว่าตัวอย่างเหล่านั้นอยู่ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เชื่อกันว่า e เป็นจำนวนปกติ นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขต่างกันจะปรากฏในรูปแบบเดียวกัน สำหรับพายนั้น การวิจัยยังอยู่ในระหว่างดำเนินการ การวัดความไม่ลงตัวคือค่าที่แสดงให้เห็นว่าตัวเลขที่กำหนดสามารถประมาณด้วยจำนวนตรรกยะได้ดีเพียงใด
พีชคณิตและเหนือธรรมชาติ
ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว จำนวนอตรรกยะแบ่งออกเป็นพีชคณิตและทิพย์ ตามเงื่อนไข เนื่องจากพูดอย่างเคร่งครัด การจำแนกประเภทนี้จึงใช้เพื่อแบ่งเซต C
การกำหนดนี้จะซ่อนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งรวมถึงจำนวนจริงหรือจำนวนจริงด้วย
ดังนั้นพีชคณิตคือค่าที่เป็นรากของพหุนามที่ไม่เท่ากันกับศูนย์ ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 2 จะอยู่ในหมวดหมู่นี้เนื่องจากเป็นคำตอบของสมการ x 2 - 2 = 0
จำนวนจริงอื่นๆ ทั้งหมดที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าจำนวนเหนือธรรมชาติ ความหลากหลายนี้รวมถึงตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดและกล่าวถึงแล้ว - ตัวเลข pi และฐานของลอการิทึมธรรมชาติ e
สิ่งที่น่าสนใจคือนักคณิตศาสตร์ทั้งสองคนไม่ได้พัฒนาขึ้นมาในตำแหน่งนี้ ความไร้เหตุผลและความมีชัยของพวกเขาได้รับการพิสูจน์แล้วหลายปีหลังจากการค้นพบของพวกเขา สำหรับพาย มีการให้การพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2425 และทำให้ง่ายขึ้นในปี พ.ศ. 2437 ซึ่งยุติการอภิปรายที่ยาวนาน 2,500 ปีเกี่ยวกับปัญหากำลังสองของวงกลม ยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างครบถ้วน นักคณิตศาสตร์ยุคใหม่จึงมีบางอย่างที่ต้องทำ อย่างไรก็ตาม Archimedes คำนวณค่านี้ได้อย่างแม่นยำเป็นครั้งแรก ก่อนหน้าเขา การคำนวณทั้งหมดเป็นการประมาณมากเกินไป
สำหรับ e (เลขของออยเลอร์หรือเนเปียร์) พบข้อพิสูจน์ถึงความเหนือกว่าของมันในปี พ.ศ. 2416 ใช้ในการแก้สมการลอการิทึม
ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ ค่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สำหรับค่าพีชคณิตที่ไม่เป็นศูนย์
จำนวนตรรกยะทั้งหมดสามารถแสดงเป็นเศษส่วนร่วมได้ สิ่งนี้ใช้กับจำนวนเต็ม (เช่น 12, –6, 0) และเศษส่วนทศนิยมจำกัด (เช่น 0.5; –3.8921) และเศษส่วนทศนิยมเป็นคาบไม่สิ้นสุด (เช่น 0.11(23); –3 ,(87 )).
อย่างไรก็ตาม ทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัดไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ นั่นคือสิ่งที่พวกเขาเป็น ตัวเลขอตรรกยะ(นั่นคือไม่มีเหตุผล) ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวคือตัวเลข π ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 3.14 อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถระบุค่าที่เท่ากันเป๊ะๆ ได้ เนื่องจากหลังจากเลข 4 จะมีจำนวนอื่นๆ ต่อเนื่องกันไม่รู้จบ ซึ่งไม่สามารถแยกแยะคาบการทำซ้ำได้ ยิ่งกว่านั้น แม้ว่าจะไม่สามารถแสดงตัวเลข π ได้อย่างแม่นยำ แต่ก็มีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจง ตัวเลข π คืออัตราส่วนของความยาวของวงกลมใดๆ ต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้น จำนวนอตรรกยะจึงมีอยู่ในธรรมชาติ เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ
อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะก็คือรากที่สองของจำนวนบวก การแยกรากออกจากตัวเลขบางตัวจะให้ค่าตรรกยะจากตัวเลขอื่น - ไม่ลงตัว ตัวอย่างเช่น √4 = 2 กล่าวคือ รากของ 4 เป็นจำนวนตรรกยะ แต่ √2, √5, √7 และอื่นๆ อีกมากมายส่งผลให้เกิดจำนวนอตรรกยะ กล่าวคือ สามารถแยกออกมาได้โดยการประมาณเท่านั้น โดยปัดเศษให้เป็นทศนิยมตำแหน่งที่กำหนด ในกรณีนี้ เศษส่วนจะกลายเป็นแบบไม่เป็นคาบ นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะพูดอย่างแน่ชัดและแน่นอนว่ารากของตัวเลขเหล่านี้คืออะไร
ดังนั้น √5 จึงเป็นตัวเลขที่อยู่ระหว่างเลข 2 กับ 3 เนื่องจาก √4 = 2 และ √9 = 3 เราสามารถสรุปได้ว่า √5 ใกล้ 2 มากกว่า 3 เพราะ √4 ใกล้ √5 มากกว่า √9 ถึง √5 อันที่จริง √5 data 2.23 หรือ √5 data 2.24
จำนวนอตรรกยะยังได้รับในการคำนวณอื่นๆ (ไม่ใช่เฉพาะเมื่อแยกราก) และอาจเป็นค่าลบได้
ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับจำนวนอตรรกยะ เราสามารถพูดได้ว่าไม่ว่าเราจะใช้หน่วยส่วนใดในการวัดความยาวที่แสดงโดยตัวเลขดังกล่าว เราก็ไม่สามารถวัดได้อย่างแน่นอน
ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ จำนวนอตรรกยะสามารถมีส่วนร่วมพร้อมกับจำนวนตรรกยะได้ ในขณะเดียวกันก็มีความสม่ำเสมอหลายประการ ตัวอย่างเช่น ถ้าเฉพาะจำนวนตรรกยะเท่านั้นที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ หากมีผู้ไม่มีเหตุผลเข้าร่วมในปฏิบัติการก็เป็นไปไม่ได้ที่จะพูดได้อย่างชัดเจนว่าผลลัพธ์จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ
ตัวอย่างเช่น หากคุณคูณจำนวนอตรรกยะสองตัว √2 * √2 คุณจะได้ 2 - นี่คือจำนวนตรรกยะ ในทางกลับกัน √2 * √3 = √6 เป็นจำนวนอตรรกยะ
หากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ลงตัว เช่น 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.
ทำไม √17 – 4 จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ? ลองจินตนาการว่าเราได้รับจำนวนตรรกยะ x จากนั้น √17 = x + 4 แต่ x + 4 เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะเราถือว่า x เป็นจำนวนตรรกยะ จำนวน 4 ก็เป็นจำนวนตรรกยะเช่นกัน ดังนั้น x + 4 จึงเป็นจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม จำนวนตรรกยะไม่สามารถเท่ากับจำนวนอตรรกยะ √17 ได้ ดังนั้นสมมติฐานที่ว่า √17 – 4 ให้ผลลัพธ์ที่เป็นตรรกยะจึงไม่ถูกต้อง ผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะไม่มีเหตุผล
อย่างไรก็ตาม มีข้อยกเว้นสำหรับกฎนี้ ถ้าเราคูณจำนวนอตรรกยะด้วย 0 เราจะได้จำนวนตรรกยะ 0
เราได้แสดงไปแล้วก่อนหน้านี้ว่า $1\frac25$ อยู่ใกล้กับ $\sqrt2$ ถ้ามันเท่ากับ $\sqrt2$ ทุกประการ จากนั้นอัตราส่วนคือ $\frac(1\frac25)(1)$ ซึ่งสามารถแปลงเป็นอัตราส่วนจำนวนเต็ม $\frac75$ ได้โดยการคูณส่วนบนและล่างของเศษส่วนด้วย 5 และจะเป็นค่าที่ต้องการ
แต่น่าเสียดายที่ $1\frac25$ ไม่ใช่ค่าที่แน่นอนของ $\sqrt2$ คำตอบที่ถูกต้องกว่า $1\frac(41)(100)$ ให้ความสัมพันธ์ $\frac(141)(100)$ แก่เรา เราได้รับความแม่นยำมากยิ่งขึ้นเมื่อเราเทียบ $\sqrt2$ กับ $1\frac(207)(500)$ ในกรณีนี้ อัตราส่วนเป็นจำนวนเต็มจะเท่ากับ $\frac(707)(500)$ แต่ $1\frac(207)(500)$ ไม่ใช่ค่าที่แน่นอนของรากที่สองของ 2 นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในการคำนวณค่าที่แน่นอนของ $\sqrt2$ แต่ก็ไม่ประสบผลสำเร็จเลย พวกเขาไม่สามารถแสดงอัตราส่วน $\frac(\sqrt2)(1)$ เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้
ในที่สุด ยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ได้พิสูจน์ว่าไม่ว่าความแม่นยำในการคำนวณจะเพิ่มขึ้นมากเพียงใด ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะได้ค่าที่แน่นอนของ $\sqrt2$ ไม่มีเศษส่วนใดที่เมื่อยกกำลังสองจะให้ผลลัพธ์ 2 พวกเขาบอกว่าพีธากอรัสเป็นคนแรกที่ได้ข้อสรุปนี้ แต่ข้อเท็จจริงที่อธิบายไม่ได้นี้ทำให้นักวิทยาศาสตร์ประหลาดใจมากจนเขาสาบานตัวเองและสาบานจากนักเรียนของเขาว่าจะรักษา ความลับในการค้นพบนี้ อย่างไรก็ตามข้อมูลนี้อาจไม่เป็นความจริง
แต่ถ้าตัวเลข $\frac(\sqrt2)(1)$ ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้ ก็แสดงว่าไม่มีตัวเลขที่มี $\sqrt2$ เช่น $\frac(\sqrt2)(2)$ หรือ $\frac (4)(\sqrt2)$ ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้ เนื่องจากเศษส่วนดังกล่าวทั้งหมดสามารถแปลงเป็น $\frac(\sqrt2)(1)$ คูณด้วยตัวเลขบางตัวได้ ดังนั้น $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$ หรือ $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$ ซึ่งสามารถแปลงได้โดยการคูณด้านบนและด้านล่างด้วย $\sqrt2$ เพื่อให้ได้ $\frac(4) (\sqrt2)$. (เราควรจำไว้ว่าไม่ว่าตัวเลข $\sqrt2$ จะเป็นเท่าใด ถ้าเราคูณมันด้วย $\sqrt2$ เราจะได้ 2)
เนื่องจากจำนวน $\sqrt2$ ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้ จึงถูกเรียกว่า จำนวนอตรรกยะ- ในทางกลับกัน ตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มจะถูกเรียกว่า มีเหตุผล.
จำนวนเต็มและเศษส่วนทั้งหมดทั้งบวกและลบล้วนเป็นจำนวนตรรกยะ
ปรากฎว่ารากที่สองส่วนใหญ่เป็นจำนวนอตรรกยะ เฉพาะตัวเลขในชุดตัวเลขกำลังสองเท่านั้นที่มีรากที่สองที่เป็นตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่ากำลังสองสมบูรณ์ จำนวนตรรกยะก็เป็นเศษส่วนที่สร้างจากกำลังสองสมบูรณ์เหล่านี้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น $\sqrt(1\frac79)$ เป็นจำนวนตรรกยะเนื่องจาก $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ หรือ $1\frac13$ (4 คือราก รากที่สองของ 16 และ 3 คือรากที่สองของ 9)