Температуре 0 градусов цельсия имеет длину. Готовимся к ЕГЭ по математике на уроках физики (или к ЕГЭ по физике на уроках математики)
При температуре 0 °C рельс имеет длину L0 = 10м. При прокладке путей между рельсами оставилизазор в 4,5 мм.
Зазор - это то расстояние, которое оставляют между рельсами, для того, чтобы они могли расширяться при нагревании. А нагревание происходит вследствие трения, возникающего при прохождении поезда по рельсам.
Выразим зазор в метрах: 4,5 мм = 4,5 · 10-3 м.
L(t°) = L0 + зазор - длина рельса при удлинении после нагревания на t°.
С другой стороны L(t°) = L0(1+α·t°). Приравняем правые части равенств, подставим данные величины, раскроем скобки, получим:
10 + 4,5·10-3 = 10 + 10·1,2·10-5 ·t° --> t°·12·10-5 = 4,5·10-3 --> t°=450 / 12 = 37,5°.
Ответ: 37,5
При температуре 0 °C рельс имеет длину L0 = 12,5м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6 мм.
При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L(t°) = L0 (1 +αt°), где α = 1,2·10-5 (°C)-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)
При температуре 0 °C рельс имеет длину L0 = 15м. При прокладке путей между рельсами оставилизазор в 6,3 мм.
При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L(t°) = L0 (1 +αt°), где α = 1,2·10-5 (°C)-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t2. До дождя время падения камушков составляло 0,6 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t2. До дождя время падения камушков составляло 1 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)
Ответ: 1,8.
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t2. До дождя время падения камушков составляло 0,8 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,1 с? (Ответ выразите в м.)
Ответ: 0,75.
Пусть h1 - уровень воды до дождя, h2 - уровень воды после дождя, t1 - время падения камешка до поверхности до дождя, t2 - время падения после дождя.
За нулевую отметку принимаем точку, лежащую на поверхности земли, тогда h1 и h2 - координаты уровней воды и они отрицательны, что можно видеть из формулы h = - 5t2.
После дождя уровень воды повысился на |h1 - h2| метра.
По условию t1=0,6c, а t2 уменьшилось более, чем на 0,2 с, т.е. t2 ≤ 0,4 c.
|h1 - h2| = | -5·t12 - (-5·t22)| = | -5·0,62 +5·0,42| = 5|0,62 - 0,42| = 5·0,2 = 1(метр).
h1=h(0,6) = -5*0,36= -1,8
h2=h(0,4) = -5*0,16 = -0,8
h2-h1 = -0,8-(-1,8) = 1
Т.е. после дождя прежний уровень повысится на 1 метр.
При температуре 0° С рельс имеет длину l0 = 20 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = l0(1 + a·t°), где a = 1,2·10-5(°C)-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия).
Удлинение рельса - это и есть зазор, только 3мм надо выразить в метрах.
l(t°) - l0 =0,003 --> 20(1 + 1,2·10-5 ·t°) - 20 = 0,003 --> 24·10-5 ·t° = 3·10-3 --> t°= 12.5°C
Часто бывает, что в одной задаче B12 присутствует и функция, и формула. В таких задачах кроме основной переменной присутствуют дополнительные неизвестные, значения которых надо искать где-то в тексте.
Общая схема решения почти ничем не отличается от задач с формулами (см. урок «Работа с формулами в задаче B12 »). В двух словах: найти в тексте числа и подставить их в исходную формулу. Если все сделать правильно, получится стандартное уравнение с одной переменной.
Задача. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:
где m 0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m 0 = 56 мг. Период его полураспада T = 7 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 7 мг?
По условию, известны следующие величины: m 0 = 56; T = 7. Подставим их в функцию — получим m (t ) = 56 · 2 −t /7 . Требуется найти момент, когда m (t ) = 7 мг. Составим и решим уравнение:
56 · 2 −t
/7 = 7;
2 −t
/7 = 1/8 — разделили все на 56;
2 −t
/7 = 2 −3 — представили 1/8 как 2 −3 ;
−t
/7 = −3;
t
= 21.
Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p . Определите максимальный уровень p цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.
Итак, у нас есть функция r = q · p , причем q — неизвестная величина. Более того, переменная q сама является функцией: по условию, q = 75 − 5p . Подставим это выражение в функцию r . Получим:
r = (75 − 5p ) · p = 75p − 5p 2 .
Теперь у нас есть функция, выражающая прибыль через цену. Все цены установлены в тысячах рублей — это следует из условия. Также, по условию, прибыль должна быть не менее 270 тыс. руб., поэтому можно написать r = 270. Составим и решим уравнение:
270 = 75p
− 5p
2 ;
5p
2 − 75p
+ 270 = 0 — перенесли все влево;
p
2 − 15p
+ 54 = 0 — разделили все на 5;
... (решаем квадратное уравнение)
p
1 = 6; p
2 = 9.
Поскольку нас интересует наибольшая цена, выбираем p 2 = 9.
Задача. При температуре 0 °С рельс имеет длину l 0 = 20 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l (t ) = l 0 · (1 + a · t ), где a = 1,2 · 10 −5 (°C) −1 — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Изначально нам известны две величины: l 0 = 20 и a = 1,2 · 10 −5 . Самый тонкий момент — понять, чему равно l (t ). А именно: зазор исчезнет, когда рельс удлинится на эти самые 9 мм. Была длина 20 метров, а стала — 20 метров + 9 мм.
Переведем все в метрическую систему. В одном метре 1000 мм, поэтому 9 мм = 9 · 10 −3 м. Итого, l (t ) = 20 + 9 · 10 −3 . Оставим эту запись именно в таком виде, не будем складывать. Получилось уравнение:
20 + 9 · 10 −3 = 20 · (1 + 1,2 · 10 −5 · t ).
Раскроем скобки — и после очевидных преобразований уравнение станет совсем простым:
20 + 9 · 10 −3 = 20 + 20 · 1,2 · 10 −5 · t
;
9 · 10 −3 = 24 · 10 −5 · t
— убрали с обеих сторон число 20.
Умножим обе стороны на 10 5 и получим:
9 · 10 −3 + 5 = 24 · 10 −5 + 5 · t
;
9 · 10 2 = 24t
— обычное линейное уравнение;
t
= 900/24 = 37,5.
Как видите, задача про рельсы оказалась довольно сложной. И многие, кто писал пробный ЕГЭ по математике, с этой задачей не справились. В большинстве случаев ученики забывали, что итоговая длина l (t ) — это сумма исходной длины l 0 и удлинения, которое еще надо перевести в метры.
Общие выводы из приведенных решений:
- Иногда в задачах о радиоактивных изотопах указывают название вещества — не обращайте внимания на это. Хоть медь-64, хоть ксенон-133 — что угодно. Эти числа не участвуют в решении, а только засоряют текст задачи. Возможно, составители задач делают это намеренно;
- В задачах о предприятиях-монополистах не стоит пугаться единиц измерений. Даже если это сотни тысяч рублей, не надо приписывать нули к указанным в задаче числам. Используйте то, что дано — и получите правильный ответ;
- Когда речь идет о рельсах, важно понимать, что l (t ) — это длина всего рельса, а не только его удлинение. Само удлинение (или зазор) надо перевести в метры. Например, 4,5 мм — это 4,5 · 10 −3 м. Кроме того, не спешите складывать длину рельса и зазор. Лучше раскройте скобки — формула сложная, но объем вычислений сократится многократно. И не надо вычислять 10 −5 , а то получится одна стотысячная и будет очень грустно.
Сложные задачи B12
Но рельсы — это еще не все! Существуют еще более сложные задачи, требующие действительно грамотных размышлений. По сравнению с ними даже рельсы отдыхают. Вероятность нарваться на подобную задачу в настоящем ЕГЭ невелика, но знать, как они решаются, совершенно необходимо.
Рассмотрим две такие задачи. Они действительно предлагались на пробном ЕГЭ по математике. Справились с ними лишь единицы.
Задача. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:
где σ = 5,7 · 10 −8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.
Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/128) · 10 20 м 2 , а излучаемая ею мощность P не менее 1,14 · 10 25 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.
Конечно, формула с четвертой степенью и числа, содержащие степени десятки, выглядят угрожающе. Но в действительности все не так плохо. Нам известна мощность P , площадь S и постоянная σ . Подставим их в формулу — получим:
1,14 · 10 25 = 5,7 · 10 −8 · (1/128) · 10 20 · T 4 .
Единицы измерения не пишем — они только засоряют уравнение. Чтобы упростить решение, умножим обе стороны на 128, а затем по возможности сократим количество множителей. Имеем:
1,14 · 10 25 · 128 = 5,7 · 10 −8 · (1/128
) · 10 20 · T
4 · 128
;
1,14 · 128 · 10 25 = 5,7 · 10 −8 · 10 20 · T
4 — сократили множители, отмеченные красным
;
1,14 · 128 · 10 25 = 5,7 · 10 12 · T
4 ;
1,14 · 128 · 10 25 − 12 = 5,7 · 10 12 − 12 · T
4 — разделили все на 10 12 ;
1,14 · 128 · 10 13 = 5,7 · T
4 ;
1,14 · 128 · 10 13: 5,7 = 5,7 · T
4: 5,7 — делим все на 5,7;
0,2 · 128 · 10 13 = T
4 — потому что 1,14: 5,7 = 0,2;
2 · 10 −1 · 128 · 10 13 = T
4 — записали 0,2 = 2 · 10 −1 ;
256 · 10 12 = T
4 — группируем двойки и десятки;
T
4 = 10 12 · 2 8 — поскольку 256 = 2 8 ;
T
= 10 3 · 2 2 = 1000 · 4 = 4000.
На последнем шаге мы находим корень 4-й степени. Напомню: извлечение корня понижает степени у каждого множителя.
Вообще говоря, действительных корней в уравнении будет два: T 1 = 4000 и T 2 = −4000. Но температура в Кельвинах не может быть отрицательной, поэтому второй вариант нас не интересует.
Задача. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:
где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с 2).
Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?
Для начала выясним, чему равно искомое H (t ). По условию, в баке должна остаться четверть первоначального объема воды. Поэтому H (t ) = (1/4) · 20 = 5 м.
Теперь, когда все параметры известны, подставим числа в функцию. Чтобы не усложнять выкладки, заметим следующее:
Таким образом, вместо корня можно смело писать число 20. Имеем:
5 = 20 − 20 · (1/50) · t
+ (10/2) · (1/50) 2 · t
2 ;
0 = 15 − 20 · (1/50) · t
+ 5 · (1/50) 2 · t
2 — перенесли все в одну сторону;
(1/50) 2 · t
2 − 4 · (1/50) · t
+ 3 = 0 — разделили все на 5.
Сделаем замену переменной: (1/50) · t = x . Тогда (1/50) 2 · t 2 = x 2 , и все уравнение перепишется следующим образом:
x
2 − 4x
+ 3 = 0;
(x
− 3) · (x
− 1) = 0 — корни квадратного уравнения легко угадываются без всякого дискриминанта (см. урок «Теорема Виета »);
x
1 = 3; x
2 = 1.
Теперь вспоминаем, что такое x . Поскольку мы выполняли замену x = (1/50) · t , имеем:
t
= 50x
;
t
1 = 50 · 3 = 150;
t
2 = 50 · 1 = 50.
Итак, у нас два кандидата на ответ: числа 50 и 150. Заметим, что в момент времени t = 100 высота столба воды равна:
H (100) = 20 − 20 · (1/50) · 100 + 5 · (1/50) 2 · 100 2 = 20 − 40 + 20 = 0.
Другими словами, через t = 100 секунд вода полностью вытечет из бака, и уравнение H (t ) теряет физический смысл. Поэтому вариант t = 150 нас не интересует. Остается только t = 50.
В заключение хочу еще раз заострить внимание на последней задаче. Мы отсеяли корень t = 150, поскольку он расположен слишком далеко от старта — там, где исходная формула теряет всякий физический смысл. Сравните:
- С точки зрения математики, перед нами стандартная квадратичная функция, график которой — парабола. И вполне нормально, что квадратное уравнение имеет два корня;
- Но с точки зрения физики, после отметки t = 100 графика вообще не существует. Потому что через 100 секунд вода полностью вытекает из бака, и функция H (t ) перестает описывать рассматриваемый процесс. Все, что расположено дальше этой отметки — бред, который нас не интересует.
В задаче про звезды мы выбрали положительный корень, также руководствуясь физическим смыслом. Данные примеры наглядно демонстрируют, насколько опасно «увлекаться» математическими уравнениями без оглядки на реальные условия задач. Будьте внимательны!