Zmanjševanje logaritmov z isto osnovo. Logaritemska pravila za delo z logaritmi
Podane so osnovne lastnosti naravnega logaritma, grafa, domene definicije, niza vrednosti, osnovnih formul, odvoda, integrala, potenčne ekspanzije in predstavitev funkcije ln x s kompleksnimi števili.
Opredelitev
Naravni logaritem je funkcija y = v x, inverzna eksponenta, x = e y, in je logaritem osnove števila e: ln x = log e x.
Naravni logaritem se pogosto uporablja v matematiki, ker ima njegov derivat najpreprostejšo obliko: (ln x)′ = 1/ x.
Na podlagi definicije, je osnova naravnega logaritma število e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Graf funkcije y = v x.
Graf naravnega logaritma (funkcije y = v x) dobimo iz eksponentnega grafa z zrcalnim odbojem glede na premico y = x.
Naravni logaritem je definiran za pozitivne vrednosti spremenljivke x.
V svoji definicijski domeni monotono narašča. 0 Pri x →
meja naravnega logaritma je minus neskončnost (-∞).
Ko je x → + ∞, je meja naravnega logaritma plus neskončnost (+ ∞). Pri velikem x logaritem narašča precej počasi. Vsaka potenčna funkcija x a s pozitivnim eksponentom a raste hitreje kot logaritem.
Lastnosti naravnega logaritma
Domena definicije, niz vrednosti, ekstremi, naraščanje, padanje
Naravni logaritem je monotono naraščajoča funkcija, zato nima ekstremov. Glavne lastnosti naravnega logaritma so predstavljene v tabeli.
ln x vrednosti
V 1 = 0
Osnovne formule za naravne logaritme
Formule, ki izhajajo iz definicije inverzne funkcije:
Glavna lastnost logaritmov in njene posledice
Formula za zamenjavo baze
Vsak logaritem je mogoče izraziti z naravnimi logaritmi z uporabo osnovne substitucijske formule:
Dokazi teh formul so predstavljeni v razdelku "Logaritem".
Inverzna funkcija
Obratna vrednost naravnega logaritma je eksponent.
Če, potem
Če, potem.
Izpeljanka ln x
.
Odvod naravnega logaritma:
.
Odvod naravnega logaritma modula x:
.
Izpeljanka n-tega reda:
Izpeljava formul >>>
Integral
.
Integral izračunamo z integracijo po delih:
Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila
Razmislite o funkciji kompleksne spremenljivke z:
.
Izrazimo kompleksno spremenljivko z prek modula r in argument φ
:
.
Z uporabo lastnosti logaritma imamo:
.
oz
.
Argument φ ni enolično definiran. Če postavite
, kjer je n celo število,
to bo enako število za različne n.
Zato naravni logaritem kot funkcija kompleksne spremenljivke ni funkcija z eno vrednostjo.
Razširitev potenčnega niza
Ko pride do razširitve:
Uporabljena literatura:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.
Eden od elementov algebre primitivne ravni je logaritem. Ime izvira iz grškega jezika iz besede "število" ali "moč" in pomeni potenco, na katero je treba povzdigniti število v osnovi, da dobimo končno število.
Vrste logaritmov
- log a b – logaritem števila b na osnovo a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – decimalni logaritem (logaritem na osnovi 10, a = 10);
- ln b – naravni logaritem (logaritem na osnovi e, a = e).
Kako rešiti logaritme?
Logaritem b na osnovo a je eksponent, ki zahteva dvig b na osnovo a. Dobljeni rezultat se izgovori takole: "logaritem od b na osnovo a." Rešitev logaritemskih problemov je, da morate iz podanih števil določiti dano moč v številih. Obstaja nekaj osnovnih pravil za določanje ali reševanje logaritma, pa tudi za pretvorbo samega zapisa. Z njimi se rešujejo logaritemske enačbe, najdejo odvodi, rešujejo integrali in izvajajo številne druge operacije. V bistvu je rešitev samega logaritma njegov poenostavljen zapis. Spodaj so osnovne formule in lastnosti:
Za kateri koli a ; a > 0; a ≠ 1 in za vsak x ; y > 0.
- a log a b = b – osnovna logaritemska istovetnost
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x za k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – formula za premik na novo bazo
- log a x = 1/log x a
Kako rešiti logaritme - navodila po korakih za reševanje
- Najprej zapišite zahtevano enačbo.
Upoštevajte: če je osnovni logaritem 10, se vnos skrajša, rezultat pa je decimalni logaritem. Če obstaja naravno število e, ga zapišemo in reduciramo na naravni logaritem. To pomeni, da je rezultat vseh logaritmov potenca, na katero povišamo osnovno število, da dobimo število b.
Neposredno je rešitev v izračunu te stopnje. Preden rešimo izraz z logaritmom, ga moramo poenostaviti po pravilu, to je z uporabo formul. Glavne identitete najdete tako, da se v članku vrnete malo nazaj.
Pri seštevanju in odštevanju logaritmov z dvema različnima številoma, vendar z enakimi osnovami, zamenjajte z enim logaritmom z zmnožkom ali deljenjem števil b oziroma c. V tem primeru lahko uporabite formulo za premik na drugo bazo (glej zgoraj).
Če uporabljate izraze za poenostavitev logaritma, je treba upoštevati nekatere omejitve. In to je: osnova logaritma a je le pozitivno število, ni pa enaka ena. Število b mora biti tako kot a večje od nič.
Obstajajo primeri, ko s poenostavitvijo izraza ne boste mogli numerično izračunati logaritma. Zgodi se, da tak izraz nima smisla, ker so številne potence iracionalna števila. Pod tem pogojem pustite potenco števila kot logaritem.
\(a^(b)=c\) \(\Levodesna puščica\) \(\log_(a)(c)=b\)
Razložimo bolj preprosto. Na primer, \(\log_(2)(8)\) je enako potenci, na katero je treba dvigniti \(2\), da dobimo \(8\). Iz tega je jasno, da \(\log_(2)(8)=3\).
Primeri: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
ker \(5^(2)=25\) |
||
\(\log_(3)(81)=4\) |
ker \(3^(4)=81\) |
|||
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
ker \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argument in osnova logaritma
Vsak logaritem ima naslednjo "anatomijo":
Argument logaritma je običajno zapisan na njegovi ravni, osnova pa je zapisana v indeksu bližje znaku logaritma. In ta vnos se glasi takole: "logaritem od petindvajset na osnovo pet."
Kako izračunati logaritem?
Če želite izračunati logaritem, morate odgovoriti na vprašanje: na kakšno potenco je treba dvigniti osnovo, da dobimo argument?
Na primer, izračunajte logaritem: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(4\), da dobimo \(16\)? Očitno drugo. Zato:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(\sqrt(5)\), da dobimo \(1\)? Kakšna moč naredi katero koli številko ena? Nula, seveda!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(\sqrt(7)\), da dobimo \(\sqrt(7)\)? Prvič, vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Na kakšno potenco je treba dvigniti \(3\), da dobimo \(\sqrt(3)\)? Iz tega vemo, da je to delna potenca, kar pomeni, da je kvadratni koren potenca \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Primer : Izračunajte logaritem \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
rešitev :
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Najti moramo vrednost logaritma, označimo jo z x. Zdaj pa uporabimo definicijo logaritma: |
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Kaj povezuje \(4\sqrt(2)\) in \(8\)? Dva, ker sta obe števili lahko predstavljeni z dvojkama: |
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Na levi uporabimo lastnosti stopnje: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) in \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\) |
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Osnove so enake, prehajamo na enakost indikatorjev |
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Pomnožite obe strani enačbe z \(\frac(2)(5)\) |
|
Dobljeni koren je vrednost logaritma |
Odgovori : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Zakaj je bil izumljen logaritem?
Da bi to razumeli, rešimo enačbo: \(3^(x)=9\). Samo ujemite \(x\), da bo enakost delovala. Seveda \(x=2\).
Zdaj rešite enačbo: \(3^(x)=8\). Čemu je x enak? To je bistvo.
Najpametnejši bodo rekli: "X je malo manj kot dva." Kako točno napisati to številko? Za odgovor na to vprašanje je bil izumljen logaritem. Zahvaljujoč njemu lahko tukaj odgovor zapišemo kot \(x=\log_(3)(8)\).
Želim poudariti, da \(\log_(3)(8)\), kot vsak logaritem je samo število. Da, izgleda nenavadno, vendar je kratko. Če bi ga želeli zapisati kot decimalno število, bi bilo videti takole: \(1,892789260714.....\)
Primer : Rešite enačbo \(4^(5x-4)=10\)
rešitev :
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) in \(10\) ni mogoče postaviti na isto osnovo. To pomeni, da brez logaritma ne morete. Uporabimo definicijo logaritma: |
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Obrnimo enačbo tako, da bo X na levi |
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Pred nami. Premaknimo \(4\) v desno. In ne bojte se logaritma, obravnavajte ga kot običajno število. |
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Enačbo delite s 5 |
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
To je naša korenina. Da, videti je nenavadno, vendar ne izberejo odgovora. |
Odgovori : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Decimalni in naravni logaritmi
Kot je navedeno v definiciji logaritma, je njegova osnova lahko katero koli pozitivno število razen ena \((a>0, a\neq1)\). In med vsemi možnimi osnovami sta dve, ki se pojavljata tako pogosto, da je bil za logaritme z njima izumljen poseben kratek zapis:
Naravni logaritem: logaritem, katerega osnova je Eulerjevo število \(e\) (enako približno \(2,7182818…\)), logaritem pa je zapisan kot \(\ln(a)\).
to je \(\ln(a)\) je enako kot \(\log_(e)(a)\)
Decimalni logaritem: Logaritem z osnovo 10 je zapisan \(\lg(a)\).
to je \(\lg(a)\) je enako kot \(\log_(10)(a)\), kjer je \(a\) neko število.
Osnovna logaritemska identiteta
Logaritmi imajo številne lastnosti. Ena od njih se imenuje "Osnovna logaritemska identiteta" in je videti takole:
\(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ta lastnost izhaja neposredno iz definicije. Poglejmo, kako natančno je nastala ta formula.
Spomnimo se kratkega zapisa definicije logaritma:
če \(a^(b)=c\), potem \(\log_(a)(c)=b\)
To pomeni, \(b\) je enako kot \(\log_(a)(c)\). Potem lahko zapišemo \(\log_(a)(c)\) namesto \(b\) v formuli \(a^(b)=c\). Izkazalo se je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavna logaritemska identiteta.
Najdete lahko druge lastnosti logaritmov. Z njihovo pomočjo lahko poenostavite in izračunate vrednosti izrazov z logaritmi, ki jih je težko neposredno izračunati.
Primer : Poiščite vrednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)
rešitev :
Odgovori : \(25\)
Kako zapisati število kot logaritem?
Kot že omenjeno, je vsak logaritem samo število. Velja tudi obratno: vsako število lahko zapišemo kot logaritem. Na primer, vemo, da je \(\log_(2)(4)\) enako dve. Potem lahko namesto dveh napišete \(\log_(2)(4)\).
Toda \(\log_(3)(9)\) je enako tudi \(2\), kar pomeni, da lahko zapišemo tudi \(2=\log_(3)(9)\) . Podobno z \(\log_(5)(25)\) in z \(\log_(9)(81)\) itd. Se pravi, izkaže se
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Tako lahko, če potrebujemo, dva zapišemo kot logaritem s katero koli osnovo kjerkoli (tudi v enačbi, tudi v izrazu, tudi v neenačbi) - preprosto zapišemo kvadrat osnove kot argument.
Enako je s trojko – lahko jo zapišemo kot \(\log_(2)(8)\), ali kot \(\log_(3)(27)\), ali kot \(\log_(4)( 64) \)... Tukaj zapišemo osnovo v kocki kot argument:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
In s štirimi:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
In z minus ena:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)
In z eno tretjino:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Vsako število \(a\) je mogoče predstaviti kot logaritem z osnovo \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Primer : Poiščite pomen izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
rešitev :
Odgovori : \(1\)
Logaritem števila n temelji na A imenovan eksponent X , na katerega morate graditi A da dobim številko n
Pod pogojem, da
,
,
Iz definicije logaritma sledi, da
, tj.
- ta enakost je osnovna logaritemska identiteta.
Logaritme z osnovo 10 imenujemo decimalni logaritmi. Namesto
pisati
.
Logaritmi na osnovo e
se imenujejo naravne in so označene
.
Osnovne lastnosti logaritmov.
Logaritem ena je enak nič za katero koli osnovo.
Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.
3) Logaritem količnika je enak razliki logaritmov
Faktor
imenujemo modul prehoda od logaritmov do baze a
na logaritme na osnovi b
.
Z uporabo lastnosti 2-5 je pogosto mogoče zmanjšati logaritem kompleksnega izraza na rezultat preprostih aritmetičnih operacij na logaritmih.
na primer
Take transformacije logaritma imenujemo logaritmi. Transformacije, inverzne logaritmom, se imenujejo potenciranje.
Poglavje 2. Elementi višje matematike.
1. Omejitve
Meja funkcije
je končno število A, če, kot xx
0
za vsako vnaprej določeno
, obstaja taka številka
da takoj, ko
, To
.
Funkcija, ki ima limit, se od nje razlikuje za neskončno majhno količino:
, kjer je- b.m.v., tj.
.
Primer. Upoštevajte funkcijo
.
Pri prizadevanju
, funkcija l
teži k ničli:
1.1. Osnovni izreki o mejah.
Meja konstantne vrednosti je enaka tej konstantni vrednosti
.
Limita vsote (razlike) končnega števila funkcij je enaka vsoti (razliki) limitov teh funkcij.
Limita produkta končnega števila funkcij je enaka produktu limitov teh funkcij.
Limita kvocienta dveh funkcij je enaka kvocientu limes teh funkcij, če limit imenovalca ni enak nič.
Čudovite meje
,
, Kje
1.2. Primeri izračuna omejitev
Vseh omejitev pa ni mogoče izračunati tako enostavno. Pogosteje se izračun meje zmanjša na razkritje negotovosti tipa: ali .
.
2. Odvod funkcije
Naj imamo funkcijo
, neprekinjeno na segmentu
.
Argument dobil nekaj povečanja
. Nato bo funkcija prejela prirastek
.
Vrednost argumenta ustreza vrednosti funkcije
.
Vrednost argumenta
ustreza vrednosti funkcije.
Zato,.
Poiščimo mejo tega razmerja pri
. Če ta meja obstaja, se imenuje odvod dane funkcije.
Definicija 3 Odvod dane funkcije
z argumentom se imenuje meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ko se prirastek argumenta poljubno nagiba k ničli.
Odvod funkcije
lahko označimo na naslednji način:
; ; ; .
Definicija 4. Operacija iskanja odvoda funkcije se imenuje diferenciacija.
2.1. Mehanski pomen izpeljanke.
Oglejmo si premočrtno gibanje nekega togega telesa ali materialne točke.
Naj v nekem trenutku gibljiva točka
je bil na daljavo iz začetnega položaja
.
Po določenem času
premaknila se je daleč
. Odnos =- povprečna hitrost materialne točke
. Poiščimo mejo tega razmerja ob upoštevanju tega
.
Posledično se določanje trenutne hitrosti gibanja materialne točke zmanjša na iskanje odvoda poti glede na čas.
2.2. Geometrijska vrednost odvoda
Imejmo grafično definirano funkcijo
.
riž. 1. Geometrijski pomen izpeljanke
če
, nato pokažite
, se bo premikal vzdolž krivulje in se približal točki
.
Zato
, tj. vrednost izpeljanke za dano vrednost argumenta številčno enak tangensu kota, ki ga tvori tangenta v dani točki s pozitivno smerjo osi
.
2.3. Tabela osnovnih diferenciacijskih formul.
Funkcija moči
Eksponentna funkcija
Logaritemska funkcija
Trigonometrična funkcija
Inverzna trigonometrična funkcija
2.4. Pravila razlikovanja.
Izpeljanka iz
Odvod vsote (razlike) funkcij
Odvod produkta dveh funkcij
Odvod kvocienta dveh funkcij
2.5. Odvod kompleksne funkcije.
Naj bo funkcija podana
tako, da ga je mogoče predstaviti v obliki
in
, kjer je spremenljivka je torej vmesni argument
Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda dane funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na x.
Primer 1.
Primer 2.
3. Diferencialna funkcija.
Naj bo
, diferencibilen na nekem intervalu
in pusti pri
ta funkcija ima izpeljanko
,
potem lahko pišemo
(1),
kje - neskončno majhna količina,
od kdaj
Pomnožimo vse člene enakosti (1) s
imamo:
kje
- b.m.v. višjega reda.
Magnituda
imenujemo diferencial funkcije
in je določen
.
3.1. Geometrijska vrednost diferenciala.
Naj bo funkcija podana
.
Slika 2. Geometrijski pomen diferenciala.
.
Očitno je diferencial funkcije
je enak prirastku ordinate tangente v dani točki.
3.2. Odvodi in diferenciali različnih vrst.
Če obstaja
, Potem
se imenuje prva izpeljanka.
Odvod prvega odvoda imenujemo odvod drugega reda in ga zapišemo
.
Odvod n-tega reda funkcije
se imenuje odvod (n-1) reda in je zapisan:
.
Diferencial diferenciala funkcije imenujemo drugi diferencial ali diferencial drugega reda.
.
.
3.3 Reševanje bioloških problemov z uporabo diferenciacije.
Naloga 1. Študije so pokazale, da je rast kolonije mikroorganizmov v skladu z zakonom
, Kje n
– število mikroorganizmov (v tisočih), t
– čas (dnevi).
b) Se bo populacija kolonije v tem obdobju povečala ali zmanjšala?
Odgovori. Velikost kolonije se bo povečala.
Naloga 2. Vodo v jezeru občasno testiramo na vsebnost patogenih bakterij. Skozi t dni po testiranju se koncentracija bakterij določi z razmerjem
.
Kdaj bo v jezeru minimalna koncentracija bakterij in bo v njem možno plavati?
Rešitev: funkcija doseže max ali min, ko je njen odvod enak nič.
,
Določimo najvišjo ali najnižjo vrednost čez 6 dni. Da bi to naredili, vzemimo drugi derivat.
Odgovor: Po 6 dneh bo koncentracija bakterij minimalna.
Danes bomo govorili o logaritemske formule in dali bomo okvirno primeri rešitev.
Sami nakazujejo vzorce rešitev glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabimo logaritemske formule za reševanje, naj vas spomnimo na vse lastnosti:
Zdaj bomo na podlagi teh formul (lastnosti) pokazali primeri reševanja logaritmov.
Primeri reševanja logaritmov na podlagi formul.
Logaritem pozitivno število b na osnovo a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, pri čemer je b > 0, a > 0 in 1.
Po definiciji je log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.
Logaritmi, primeri:
log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8
dnevnik 7 49 = 2, ker 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritem- to je navaden logaritem, katerega osnova je 10. Označena je kot lg.
log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100
Naravni logaritem- tudi navaden logaritem, logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828... - iracionalno število). Označeno kot ln.
Formule oziroma lastnosti logaritmov si je priporočljivo zapomniti, saj jih bomo kasneje potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemskih enačb in neenačb. Ponovno preučimo vsako formulo s primeri.
- Osnovna logaritemska identiteta
hlod a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritem količnika je enak razliki logaritmov
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Lastnosti potence logaritemskega števila in osnove logaritma
Eksponent logaritemskega števila log a b m = mlog a b
Eksponent osnove logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
če je m = n, dobimo log a n b n = log a b
dnevnik 4 9 = dnevnik 2 2 3 2 = dnevnik 2 3
- Prehod na novo podlago
log a b = log c b/log c a,če je c = b, dobimo log b b = 1
potem je log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kot lahko vidite, formule za logaritme niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo si ogledali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb si bomo podrobneje ogledali v članku: "". Ne zamudite!
Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih napišite v komentarje k članku.
Opomba: odločili smo se za drug razred izobraževanja in študij v tujini kot možnost.