Logične in aritmetične osnove delovanja računalnika. Aritmetične osnove računalništva
Trenutno se v vsakdanjem življenju za kodiranje številskih informacij uporablja decimalni številski sistem z osnovo 10, ki uporablja 10 notacijskih elementov: številke 0,1,2,...8,9. Prva (možna) številka označuje število enot, druga - desetice, tretja - stotine itd.; z drugimi besedami, v vsaki naslednji števki se teža koeficienta števke poveča za 10-krat.
Naprave za digitalno obdelavo informacij uporabljajo binarni številski sistem z osnovo 2, ki uporablja dva elementa zapisa: 0 in 1.
Na primer, binarno število 101011 je enakovredno decimalnemu številu 43:
V digitalnih napravah se uporabljajo posebni izrazi za označevanje informacijskih enot različnih velikosti: bit, bajt, kilobajt, megabajt itd. Bit ali binarna cifra določa vrednost enega znaka v binarnem številu. Na primer, binarno število 101 ima tri bite ali tri števke. Številka na desni z najmanjšo težo se imenuje junior, števka na levi z največjo težo pa se imenuje senior.
Bajt določa 8-bitno enoto informacije, 1 bajt = 23 bitov, na primer 10110011 ali 01010111 itd.,
Za predstavitev večmestnih števil v binarnem številskem sistemu je potrebno veliko število binarnih števk. Zapisovanje je lažje, če uporabljate šestnajstiški številski sistem.
Šestnajstiški številski sistem temelji na številu 16=, ki uporablja 16 notnih elementov: številke od 0 do 9 in črke A, B, C, D, E, F. Če želite pretvoriti binarno število v šestnajstiško, je dovolj, da binarno število razdelite na štiri bitne skupine: celo število od desne proti levi, delni del od leve proti desni od decimalne vejice. Zunanje skupine so lahko nepopolne.
Vsaka binarna skupina je predstavljena z ustreznim šestnajstiškim znakom (tabela 1). Na primer, dvojiško število 0101110000111001 v šestnajstiški obliki je izraženo kot 5C39.
Decimalni številski sistem je najbolj primeren za uporabnika. Zato številne digitalne naprave, ki delajo z binarnimi številkami, sprejemajo in izdajajo decimalna števila uporabniku. V tem primeru se uporablja binarno-decimalna koda.
Dvojiška decimalna koda se oblikuje tako, da se vsaka decimalna cifra števila nadomesti s štirimestno binarno predstavitvijo te cifre v binarni kodi. Na primer, število 15 je predstavljeno kot 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). V tem primeru vsak bajt vsebuje dve decimalni števili. Upoštevajte, da koda BCD v tej pretvorbi ni binarno število, enakovredno decimalnemu številu.
Veja matematične logike, ki preučuje razmerja med logičnimi spremenljivkami, ki imajo samo dve vrednosti, se imenuje algebra logike. Algebro logike je razvil angleški matematik J. Boole in se pogosto imenuje Boolov algebra. Logična algebra je teoretična osnova za konstruiranje sistemov za digitalno obdelavo informacij. Najprej se na podlagi zakonov logične algebre razvije logična enačba naprave, ki omogoča povezavo logičnih elementov tako, da vezje opravlja dano logično funkcijo.
-
Aritmetika in logično osnove gradbeništvo računalnik. Trenutno se v vsakdanjem življenju za kodiranje številskih informacij uporablja decimalni številski sistem z osnovo 10, ki uporablja 10 notacijskih elementov: številke 0,1,2,...8,9. V prvem... -
Aritmetika in logično osnove gradbeništvo računalnik. Trenutno se v vsakdanjem življenju decimalni s uporablja za kodiranje številskih informacij. Načelo nadzora programa računalnik. -
ime " elektronski računalništvo avto» ustreza originalni aplikaciji računalnik- ti... več ». Aritmetika in logično osnove gradbeništvo računalnik. -
1642 - Pascal je razvil model računalništvo avtomobili izvršiti aritmetika dejanja ( zgrajena leta 1845 in so ga imenovali »Pascalovo kolo«).
Raziskave potekajo na področju optoelektronike in zgradba na njegovi podlagi računalnik... -
Osnovno načelo gradbeništvo vse moderno računalnik je programski nadzor. Osnove učenja o arhitekturi računalništvo avtomobili
Prava struktura računalnik veliko bolj zapleteno od zgoraj obravnavanega (lahko ga imenujemo logično struktura). -
Samo prenesite goljufije logično programiranje - in noben izpit te ne straši!
Osnove programiranje v Turbo-Prologu: aritmetika izračuni in primerjalne operacije. -
Računalniško modeliranje - osnove zastopanje znanja v računalnik (gradbeništvo različne baze znanja).
6) Testiranje in odpravljanje napak: - sintaktično odpravljanje napak. - semantično odpravljanje napak (debugging logično strukture). - testni izračuni, analiza rezultatov testov... -
Metoda je pot, način za dosego cilja, Gradnja drevo napak.
3. opredeli razmerje med vzrokom in glavnimi dogodki v izrazih logično Operaciji "IN" in "ALI". -
Za znanost so velikega pomena, so stebri logika, saj brez teh zakonov logike nepredstavljivo. Logično zakoni so objektivno obstoječa in nujno uporabljena pravila gradbeništvo logično razmišljanje. -
Informacijski model je izhodišče za gradbeništvo podatkovni model baze podatkov in služi kot vmesni model za specialiste predmetov (npr
Nato nanjo osnova konceptualno ( logično), notranji (fizični) in zunanji modeli.
Najdene podobne strani:10
Predavanje 1. Uvod Aritmetične in logične osnove računalnikov. Aritmetične osnove računalnikov. Logične osnove računalnikov. Osnovni principi algebre logike. Logični elementi. Zakoni in identitete algebre logike.
Elektronski računalniki izvajajo aritmetične in logične operacije z uporabo dveh razredov spremenljivk: števil in logičnih spremenljivk. Številke prenašajo informacije o kvantitativnih značilnostih sistema; Logične spremenljivke določanje stanja sistema oziroma njegove pripadnosti določenemu razredu stanj (preklapljanje kanalov, krmiljenje delovanja računalnika po programu ipd.) imajo lahko samo dve vrednosti: res in laž. V napravah za digitalno obdelavo informacij sta ti dve spremenljivi vrednosti povezani z dvema nivojema napetosti: visoko - ( logična "1")in nizko- (logično 0"). Vendar pa te vrednosti ne izražajo pomena količine. Elementi, ki izvajajo preproste operacije na takih binarnih signalih, se imenujejo logični. Na podlagi logičnih elementov se razvijajo naprave, ki izvajajo tako aritmetične kot logične operacije.
Trenutno se logični elementi (LE) izvajajo z uporabo različnih tehnologij, ki določajo numerične vrednosti glavnih parametrov LE in posledično kazalnike kakovosti naprav za digitalno obdelavo informacij, razvitih na njihovi podlagi. Zato je v tem priročniku ustrezna pozornost namenjena zasnovi vezja in parametrom LE različnih tehnologij.
Aritmetične osnove računalništva
Trenutno se v vsakdanjem življenju za kodiranje številskih informacij uporablja decimalni številski sistem z osnovo 10, ki uporablja 10 označevalnih elementov: številke 0, 1, 2, ... 8, 9. Prva (možna) številka označuje število enot, drugi - desetice, tretji - stotine itd.; z drugimi besedami, v vsaki naslednji števki se teža koeficienta števke poveča za 10-krat.
Naprave za digitalno obdelavo informacij uporabljajo binarni številski sistem z osnovo 2, ki uporablja dva elementa označevanja: 0 in 1. Uteži števk od leve proti desni od nizkih do visokih števk se povečajo za 2-krat, kar pomeni, da imajo naslednje zaporedje: 8421. Na splošno je to zaporedje videti takole:
…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …
in se uporablja za pretvorbo binarnega števila v decimalno število. Na primer, binarno število 101011 je enakovredno decimalnemu številu 43:
2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43
V digitalnih napravah se za označevanje informacijskih enot različnih velikosti uporabljajo posebni izrazi: bit, bajt, kilobajt, megabajt itd.
bit oz binarna cifra določa vrednost enega znaka v dvojiškem številu. Na primer, binarno število 101 ima tri bite ali tri števke. Pokličemo skrajno desno števko z najmanjšo težo mlajši, in tisti na skrajni levi, z največjo težo, je starejši.
Byte definira 8-bitno enota informacije, 1 bajt = 23 bitov, na primer 10110011 ali 01010111 itd., 1 kbajt = 2 10 bajtov, 1 MB = 2 10 kbajtov = 2 20 bajtov.
Za predstavitev večmestnih števil v binarnem številskem sistemu je potrebno veliko število binarnih števk. Zapisovanje je lažje, če uporabljate šestnajstiški številski sistem.
Osnova šestnajstiški sistem zapis je število 16 = 2 4, ki uporablja 16 notnih elementov: številke od 0 do 9 in črke A, B, C, D, E, F. Za pretvorbo binarnega števila v šestnajstiško je dovolj, da binarno število v štiribitne skupine: celo število od desne proti levi, delno - od leve proti desni decimalne vejice. Zunanje skupine so lahko nepopolne.
Vsaka binarna skupina je predstavljena z ustreznim šestnajstiškim znakom (tabela 1). Na primer, dvojiško število 0101110000111001 v šestnajstiški obliki je izraženo kot 5C39.
Decimalni številski sistem je najbolj primeren za uporabnika. Zato številne digitalne naprave, ki delajo z binarnimi številkami, sprejemajo in izdajajo decimalna števila uporabniku. V tem primeru se uporablja dvojiška decimalna koda.
koda BCD nastane z zamenjavo vsake decimalne števke števila s štiribitno binarno predstavitvijo te števke v binarni kodi (glej tabelo 1). Na primer, število 15 je predstavljeno kot 00010101 BCD (BinaryCodedDecimal). V tem primeru vsak bajt vsebuje dve decimalni števili. Upoštevajte, da koda BCD v tej pretvorbi ni binarno število, enakovredno decimalnemu številu.
V digitalnih napravah se morate ukvarjati z različnimi vrstami informacij. To so čiste binarne informacije, na primer, ali je naprava vklopljena ali izklopljena, ali naprava deluje ali ne. Informacije je mogoče predstaviti v obliki besedil, nato pa je treba črke abecede kodirati z uporabo binarnih nivojev signala. Pogosto so informacije lahko v obliki številk. Števila so lahko predstavljena v različnih številskih sistemih. Oblika, v kateri so številke zapisane v njih, se med seboj bistveno razlikuje, zato bomo, preden preidemo na značilnosti predstavljanja števil v digitalni tehnologiji, razmislili o njihovem zapisu v različnih številskih sistemih.
Številski sistemi
Številski sistem je nabor tehnik in pravil za predstavitev števil z uporabo digitalnih znakov.
Obstaja veliko načinov za pisanje številk z uporabo digitalnih znakov, vendar mora kateri koli uporabljeni številski sistem zagotavljati:
- obseg predstavitve poljubnega števila;
- edinstvenost predstavitve (vsaka kombinacija simbolov ustreza samo eni vrednosti).
Vsi številski sistemi so razdeljeni na pozicijske in nepozicijske. IN nepozicijski številski sistem Pomen števke kjerkoli v številu je enak, tj. ni odvisno od položaja lokacije. Na primer unarni sistem z enim simbolom, ki je enak ena. Ta številski sistem je namenjen skupnemu štetju (vozli za »spomin«, zareze, pomišljaji, štetje na prste itd.). Če želite prikazati število v tem sistemu, morate zapisati število enot (palic), ki so enake danemu številu. Ta sistem je neučinkovit, ker je številka predolga.
Drug primer "skoraj nepozicijskega" številskega sistema je rimski sistem štetja. Rimski sistem štetja uporablja naslednje simbole:
jaz - 1; V - 5; X - 10; b - 50; C - 100; 0-500; M - 1000.
Pravila za pretvorbo iz sistema rimskih številk v arabski sistem so naslednja. Manjše število na desni strani večjega števila se prišteje k večjemu številu, manjše število na levi strani večjega števila pa se odšteje od večjega števila.
Primer prevoda iz rimskega sistema v arabski številski sistem:
SSHUUP =100+100+10 + 5 + 5+1 + 1= 222;
Х1Х1У = 10 + (10 - 1) = 19.
Kot izhaja iz prevodnega pravila, rimski sistem ni popolnoma nepozicijski. Ta sistem se redko uporablja (številčnica, arhitektura, zgodovina itd.).
Pozicijski številski sistemi - to so številski sistemi, v katerih vrednost števke v zapisu števila N odvisno od njegovega položaja (mesta). Na primer, v decimalnem številskem sistemu številka 05 pomeni pet enic, 50 pomeni pet desetic, 500 pomeni pet stotic itd.
Osnova (osnova)številski sistemi (ts) - to je število znakov ali simbolov, ki se uporabljajo za predstavitev števil v danem številskem sistemu.
Možnih je neskončno število pozicijskih številskih sistemov, saj lahko poljubno število vzamemo za osnovo in sestavimo nov številski sistem.
Primeri nekaterih pozicijskih številskih sistemov in njihove uporabe so podani v tabeli. 2.1.
V tabeli 2.2 je za lažjo primerjavo podanih prvih 23 števil naravnega niza števil v različnih številskih sistemih.
Kot je razvidno iz tabele. 2.2 je za pisanje iste številke v različnih številskih sistemih potrebno različno število položajev ali števk. Na primer, 14 |0 = 1 1 10 2 = 16 8 = E [v. To pomeni, da v decimalnem številskem sistemu številka 14 zaseda dva mesta (dve števki), v binarnem številskem sistemu - štiri mesta, v šestnajstiškem številskem sistemu - eno mesto. Manjša je osnova številskega sistema
Primeri pozicijskih številskih sistemov
Ime mrtvo obračunavanje |
Osnova mrtvo obračunavanje |
Rabljeno |
Aplikacija |
Binarno |
V digitalnem računalništvu, diskretni matematiki, programiranju |
||
Trojica |
Kateri koli trije znaki: (-, 0,+), (-1,0,+1), (A, B, Z), (X, Y, T) ali tri števke: (1,2, 3) |
V digitalni elektroniki |
|
osmiško |
|||
decimalno |
Vseprisoten |
||
Šestnajst |
A, B, C, T |
V digitalnem računalništvu programiranje |
|
šestdeset |
00, 01,02,..., 59 |
Kot enote za čas, kote, koordinate, zemljepisno dolžino in širino |
Za določeno dolžino bitne mreže je največja absolutna vrednost števila, ki ga je mogoče zapisati, omejena.
Naj bo dolžina bitne mreže enaka pozitivnemu številu./V, največje število je
?^((Dtah - jaz ~ 1
Na primer, kdaj N= 8:
Lu)tah = Yu 8 - 1 = 9999999 (| 0) ;
L(2)max - 2 8 - 1 = 256 - 1 = 257 (|0) = 1111111 (2) ;
A ( 1 6)max = 16 8 - 1 =4294967296 - 1 = 4294967295 (10) = RRRRRRR (16) .
Torej z enako dolžino bitne mreže N=8 največja absolutna vrednost L (16)P1ax > L (10)P1ax > L (2)gpax, tj. več kot je #, več je L ((?)maks.
Naravna števila v različnih številskih sistemih
decimalno |
Binarno |
osmiško |
Šestnajstiško |
Translacija v pozicijskih številskih sistemih
Pretvorba v decimalni številski sistem. Poljubna številka N v pozicijskem številskem sistemu lahko predstavimo kot polinom
Za pretvorbo v decimalni sistem izračunamo ta znesek.
Na primer, število 253,24 10 v navadni decimalni obliki (
Primer 2.1. Pretvorite dvojiško število 1101.01(2) v decimalni številski sistem.
Dvojiški številski sistem uporablja dve števki 0 IN 1 TER binarno ŠTEVILO 1 1 01.012 (
TU 2 = 1101,01 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 2° + 0 2 _| + 1 2 -2 =
“=8 + 4 + 0+1+0+1/4= 14,25 10 .
Če po pravilih decimalne aritmetike izvedemo dejanja na desni strani zgornje enakosti, dobimo decimalni ekvivalent binarnega števila:
1101,01 2 = 8 + 4 + 0+ 1 +0 + 1/4 = 14,25 10 .
Primer 2.2. Pretvorite osmiško število 53,2 8 (# = 8) v decimalni številski sistem:
2560 + 240 + 7 + 8/16 = 2807,25 10 .
Pretvarjanje števil iz decimalnega številskega sistema v poljuben številski sistem z osnovnimi pravili prevajanja cel del Decimalno število je naslednje. Celoten del decimalnega števila je treba zaporedno deliti z ts(osnova poljubnega številskega sistema), dokler decimalno število ne postane nič. Ostanki, dobljeni z deljenjem in zapisani v zaporedju, začenši z zadnjim ostankom, so števke števila ^-arnega številskega sistema.
Pravila prevajanja delni del Decimalne številke so naslednje. Ulomek decimalnega števila je treba zaporedno pomnožiti z (osnovo poljubnega sistema) in cel del ločiti, dokler ne postane enak nič ali dokler ni dosežena določena točnost prevajanja.
Celotni deli rezultatov množenja v vrstnem redu, v katerem so dobljeni, sestavljajo število v novem sistemu.
Primer 2.4. Pretvorite število 26,625 10 v dvojiški številski sistem.
Prevedemo celoten del številke:
- 26: 2 = 13, ostanek 0;
- 13:2 = 6, ostanek je 1;
- 6:2 = 3, ostanek 0;
- 3:2=1, ostanek je 1;
- 1: 2 = 0, ostanek je 1.
Decimalno število postane nič, deljenje je končano. Vse ostanke prepišemo od spodaj navzgor in dobimo binarno število 11010 2.
- 0,625 2 = 1,250, celo število 1;
- 0,250 2 = 0,500, celi del 0;
- 0,500 2 = 1,000, celo število 1;
- 0,000 2 = 0,000, celo število 0.
Celo število je postalo enako nič. Cele dele rezultatov množenja prepišemo od zgoraj navzdol in dobimo binarno število 0,1010 2.
Primer 2.5. Število 70,05 10 pretvorite v osmiški številski sistem s 4-mestno natančnostjo.
Prevedemo celoten del številke:
- 70 : 8 = 8, ostanek je 6;
- 8:8=1, ostanek je 0;
- 1: 8 = 0, ostanek je 1.
Decimalno število postane nič, deljenje je končano. Vse ostanke prepišemo od spodaj navzgor in dobimo osmiško število 106 8.
Pretvarjanje ulomljenega dela števila:
- 0,05 8 = 0,40, celi del 0;
- 0,40 8 = 3,20, cel del 3;
- 0,30 8 = 2,40, cel del 2;
- 0,40 8 = 3,20, cel del 3.
Celo število ne postane enako nič, dobimo neskončno vrsto, postopek prevajanja je zaključen, saj je bila dosežena določena natančnost. Cele dele rezultatov množenja prepišemo od zgoraj navzdol in dobimo osmiško število 0,0323 8.
Primer 2.6. Število 76,05 10 pretvorite v šestnajstiški številski sistem s 4-mestno natančnostjo.
Prevedemo celoten del številke:
- 76: 16 = 4, ostanek je 12 -» C;
- 4: 16 = 0, ostanek je 4.
Decimalno število postane nič, deljenje je končano. Vse ostanke prepišemo od spodaj navzgor in dobimo šestnajstiško število 4C 16.
Pretvarjanje ulomljenega dela števila:
- 0,05 16 = 0,80, celi del 0;
- 0,80 16 = 12,80, cel del 12 -> C;
- 0,80 16 = 12,80, cel del 12 -> C;
- 0,80 -16= 12,80, cel del 12 -> C.
Celo število ne postane enako nič, dobimo neskončno vrsto, postopek prevajanja je zaključen, saj je bila dosežena določena natančnost. Celoštevilske dele rezultatov množenja prepišemo od zgoraj navzdol in dobimo šestnajstiško število 0,0ССС 16.
Primer 2.7. Pretvorite število 6610 v poljuben številski sistem, na primer z osnovo c = 5.
Prevedemo celoten del številke:
- 66: 5 = 13, ostanek je 1;
- 13:5 = 2, ostanek je 3;
- 2:5 = 0, ostanek je 2.
Decimalno število postane nič, deljenje je končano. Vse ostanke prepišemo od spodaj navzgor in dobimo petkratnik 231 5.
Pretvarjanje iz binarnega v osmiško in šestnajstiško. Za to vrsto delovanja obstaja poenostavljen algoritem.
Prevod celotnega dela.Število 2 se dvigne na moč, ki je potrebna za pridobitev osnove sistema, v katerega se mora pretvoriti. Pri osmiškem sistemu (8 = 23) dobimo število 3 (triada), pri šestnajstiškem sistemu (16 = 24) dobimo število 4 (tetrada).
Število, ki ga želimo prevesti, razdelimo na število števk, ki je enako 3 za osmiški številski sistem in enako 4 za šestnajstiški številski sistem.
Triade transformiramo po tabeli triad za oktalni sistem, tetrade pa po tabeli tetrad za šestnajstiški številski sistem (tabela 2.3).
Primer 2.8. Pretvorite dvojiško število 101110 2 v osmiški in šestnajstiški številski sistem:
- osmiško - 101 110 -> 56 8;
- šestnajstiški - 0010 1110 -> 2 E ]v.
Prevod ulomka. Algoritem za pretvorbo ulomkov iz binarnega številskega sistema v osmiški in šestnajstiški številski sistem je podoben algoritmu za cele dele števila,
Tabela triad in tetrad
a razčlenitev na triade in tetrade gre desno od decimalne vejice, manjkajoče števke se dopolnijo z ničlami na desni strani.
Primer 2.9. Pretvorite 11101.01011 2 v osmiški in šestnajstiški številski sistem:
- osmiško - 011 101.010 110 -> 35,26 8;
- šestnajstiško - 0001 1101.0101 1000 -> 1Z),58, 6 .
Pretvarjanje iz osmiškega in šestnajstiškega sistema v dvojiški.
Za to vrsto operacije obstaja poenostavljen algoritem inverzije. Za oseminski sistem pretvorimo po tabeli v trojčke: 0->000 4 -> 100;
- 1 -> 001 5 -> 101;
- 2 -> 010 6 -> 110;
- 3 -> 011 7 -> 111.
Za šestnajstiško - pretvorimo po tabeli v kvartete:
A -> 1010 |
|||
IN-> 1011 |
Primer 2.10. Pretvorite osmiško število 2438 in šestnajstiško število 7C 16 v binarni številski sistem:
- 243 8 -> ON 100011 2;
- 7C 16 -> 1111 1100 2.
Binarna aritmetika
Dodatek. Tabela za dodajanje binarnih števil je preprosta:
- 0 + 0 = 0;
- 0+1 = 1;
- 1+0=1;
- 1 + 1 = 10;
- 1 + 1 + 1 = 11.
Ko dodamo dve enoti, se številka prelije in se prenese na najpomembnejšo števko. Do presežka številk pride, ko vrednost števila v njem postane enaka ali večja od osnove.
Primer 2.11. Izvedite seštevanje v dvojiškem številskem sistemu.
1 1 1 Premakni se v višji vrstni red
1 1 0 0 0 1 = 49 - prvi člen
- 1 1 0 1 1 = 27 - drugi člen
- 1 0 0 1 1 0 0 = 76 - vsota
Binarno odštevanje. Oglejmo si pravila za odštevanje manjšega števila od večjega. V najpreprostejšem primeru imajo pravila binarnega odštevanja za vsako števko obliko
- 2 2 11
- 0 10 1
Ko se izvede odštevanje (0 - 1), se izposodi iz višje števke. Vprašaj pomeni, da se števka umanjenca spremeni zaradi izposoje po pravilu: pri odštevanju (0-1) v številu razlike dobimo ena, števke umanjenca, začenši z naslednjim ena, spremeni v nasprotno (obrnjeno) do prve števčne enote (vključno). Po tem se od spremenjenih števk odšteje pomanjševalec.
Oglejmo si primer odštevanja večmestnih števil (od večjega števila odštejemo manjše število).
Primer 2.12. Odštevanje v dvojiškem številskem sistemu:
- 0 111 Sprememba zmanjšanja posojila
- 1 1 0 0 0 1 = 49 - minuend
- 11011 - 21 - subtrahend
- 10 1 1 0 = 22 - razlika
Množenje. Operacija množenja se izvede z množilno tabelo po običajni shemi (uporablja se v decimalnem številskem sistemu) z zaporednim množenjem množitelja z naslednjo številko množitelja.
Primer 2.13. Množenje v dvojiškem številskem sistemu:
- *1011
- 1011
- 110111
Delitev. Pri deljenju s stolpcem morate izvesti množenje in odštevanje kot vmesna rezultata.
Zapis decimalnih števil (binarno kodirana decimalna)
Včasih je priročno shraniti številke v pomnilnik procesorja v decimalni obliki (na primer za prikaz). Za zapis takih števil se uporabljajo binarne decimalne kode. Za zapis enega decimalnega mesta se uporabljajo štirje binarni biti (tetradi). S štirimi biti lahko kodirate 16 števk (2 4 = 16). Dodatne kombinacije v binarni decimalni kodi so prepovedane. Ujemanje med binarno decimalno kodo in decimalnimi števkami je podano v tabeli. 2.4.
Tabela 2.4
Ujemanje med BCD in decimalnimi števkami
koda BCD |
Decimalna koda |
|||
Preostale kombinacije binarne kode v tetradi so prepovedane.
Primer 2.14. Zapišite dvojiško decimalno kodo števila 1258 10 -
1258 w = 0001 0010 0101 1000 2 .
V prvem zvezku je številka 1, v drugem – 2, v tretjem – 5, v zadnjem zvezku pa je številka 8. V tem primeru so bili potrebni štirje zvezki za zapis števila 1258. Število pomnilniških celic mikroprocesorja je odvisno od njegove zmogljivosti. Pri 16-bitnem procesorju se bo celotna številka prilegala v eno pomnilniško celico.
Primer 2.15. Zapišite dvojiško decimalno kodo za število 589 10:
589 10 = 0000 0101 1000 1001 2 .
V tem primeru so za zapis števila dovolj trije zvezki, vendar je pomnilniška celica 16-bitna. Zato je najvišja tetrada zapolnjena z ničlami. Ne spremenijo pomena števke.
Pri pisanju decimalnih števil je pogosto treba zapisati predznak števila in decimalno vejico (v angleško govorečih državah piko). BCD se pogosto uporablja za klicanje telefonske številke ali kode telefonskih storitev. V tem primeru se poleg decimalnih števk pogosto uporabljajo simboli "*" ali "#". Za zapis teh znakov v binarno decimalno kodo se uporabljajo prepovedane kombinacije (tabela 2.5).
Tabela 2.5
Ujemanje BCD in dodatni znaki
Precej pogosto je v pomnilniku procesorja dodeljena ena pomnilniška celica (8-, 16- ali 32-bitna) za shranjevanje ene decimalne številke. To se naredi za povečanje hitrosti programa. Da bi razlikovali ta način pisanja številke BCD od standardnega načina, način pisanja decimalne številke, kot je prikazano v primeru, imenujemo pakirana oblika BCD.
Primer 2.16. Zapišite nepakirano kodo BCD za številko 1258 10 za 8-bitni procesor:
- 1258 00000001
- 00000010 00000101 00001000
V prvi vrstici je številka 1, v drugi - 2, v tretji - 5, v zadnji vrstici pa je številka 8. V tem primeru so bile za zapis številke 1258 potrebne štiri vrstice (pomnilniške celice).
Seštevanje binarnih decimalnih števil. Seštevanje binarnih decimalnih števil je mogoče izvesti v skladu s pravili običajne binarne aritmetike, nato pa je mogoče izvesti binarno decimalno korekcijo. Popravek BCD je sestavljen iz preverjanja veljavnih kod vsake tetrade. Če je v kateri koli tetradi zaznana prepovedana kombinacija, to pomeni prelivanje. V tem primeru je treba opraviti binarno decimalno korekcijo. Korekcija BCD je sestavljena iz dodatnega seštevanja števila šest (število prepovedanih kombinacij) s tetrado, v kateri je prišlo do prelivanja ali prestopa v najvišjo tetrado. Tukaj je primer:
- 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
- 0 0 10 10 11
V drugem zvezku je bila najdena prepovedana kombinacija. Izvedemo binarno-decimalni popravek: seštejemo število šest z drugo tetrado:
- 0 0 10 10 11
- 0 0 0 0 0 1 1 0
- 0 0 1 1 0 0 0 1
Oblike računalniškega prikaza numeričnih podatkov
V matematiki uporabljamo dve obliki zapisa števil: naravno (število je zapisano v naravni obliki) in normalno (zapis števila je lahko različen glede na omejitve, ki veljajo za obliko).
Primeri naravna oblika pisanje številk:
- 15300 - celo število; 0,000564 - pravi ulomek;
- 6,4540 je nepravilen ulomek.
Primer normalna oblika posnetki istega števila 25.340, odvisno od omejitev, ki veljajo za običajno obliko:
25 340 = 2,534 - 10 4 = 0,2534 - 10 5 = 2534000 - 10“ 2 itd.
V računalništvu se z naravno predstavitev števil vzpostavi dolžina bitne mreže ter fiksna porazdelitev ulomkov in celih delov. Zato se ta način predstavljanja števil imenuje c fiksna točka.
Predstavitev števila v normalni obliki imenujemo predstavitev plavajočo vejico(položaj vejice se spremeni).
Glavni računalniki delujejo predvsem s števili s plavajočo vejico, računalniki s fiksno vejico pa s specializiranimi računalniki, vendar številni stroji delujejo s števili v teh dveh formatih.
Narava programiranja je odvisna od načina predstavitve števil.
Tako pri pisanju programov za računalnike, ki delujejo v sistemu z fiksna točka, je potrebno sledenje položaju vejice in izvajanje operacij z njim plavajočo vejico zahtevano je večje število mikrooperacij, kar zmanjša hitrost računalnika.
Fiksna vejica (pika)
V sodobnih računalnikih se metoda predstavljanja števil s fiksno vejico v računalništvu uporablja predvsem za predstavljanje celih števil.
Ker so števila lahko pozitivna in negativna, se v bitni mreži pri strojni predstavitvi en ali dva bita (za spremenjene kode) dodelijo predznaku števila, preostali biti pa tvorijo številsko polje. Predznakovni biti, ki se lahko nahajajo bodisi na začetku ali na koncu števila, vsebujejo informacije o predznaku števila. Znak "+" je kodiran kot nič, znak "-" je kodiran kot ena. Pri spremenjenih kodah je znak "+" kodiran z dvema ničlama, znak "-" pa z dvema enicama. Spremenjene kode so uvedene za odkrivanje napačnih rezultatov izračuna, tj. ko rezultat preseže največjo velikost bitne mreže in je potreben prenos pomembnega bita.
Na primer, kot rezultat izvajanja operacij v predznačnem bitu, številka 01 označuje pozitivno prelivanje bitne mreže, številka 10 pa negativno prelivanje bitne mreže.
Številsko polje ima konstantno število števk - str. Obseg predstavitve celih števil je omejen na vrednosti -(2 str- 1) in +(2" - 1).
Na primer, v binarni kodi, ki uporablja 6-bitno mrežo, lahko številko 7 v obliki s fiksno vejico predstavimo kot
kjer je števka levo od pike znak števila, števke desno od pike pa so mantisa števila v neposredni kodi. Tu se predpostavlja, da je vejica pritrjena na desno od števke nižjega reda, točka na sliki števila pa v tem primeru preprosto loči bit predznaka od mantise števila.
V prihodnosti se bo ta vrsta predstavitve števila v strojni obliki pogosto uporabljala v primerih. Uporabite lahko drugo obliko predstavitve števila v strojni obliki:
kjer je bit predznaka ločen z oglatimi oklepaji.
Število števk v bitni mreži, dodeljenih za predstavitev mantise števila, določa obseg in natančnost predstavitve števila s fiksno vejico. Največje binarno število v absolutni vrednosti predstavljajo enice v vseh cifrah, razen predznaka ena, tj. za celo število
|/1|max = (2 (str - 1) - 1),
kje p - polna dolžina bitne mreže.
V primeru 16-bitne mreže
|L|max = (2(16- 1)- 1) = 3276710,
tiste. Razpon celih predstavitev bo v tem primeru od +3 276710 do -3276710.
Za primer, ko je vejica fiksirana desno od nižje številke mantise, tj. za cela števila, števila, katerih modul je večji od (2 (str- 1) - 1) in manj kot ena niso predstavljeni v obliki fiksne točke. V tem primeru se imenujejo števila, katerih absolutna vrednost je manjša od enot najmanj pomembne števke bitne mreže strojna ničla. Negativna ničla je prepovedana.
V nekaterih primerih, ko je mogoče delovati samo z moduli števil, je celotna bitna mreža, vključno z najpomembnejšim bitom, dodeljena predstavitvi števila, kar omogoča razširitev obsega predstavitve števil.
Predstavljanje negativnih števil v obliki s fiksno vejico
Da bi poenostavili aritmetične operacije, računalniki uporabljajo posebne binarne kode za predstavitev negativnih števil: recipročnih in komplementnih. Z uporabo teh kod je poenostavljeno določiti predznak rezultata operacije med algebrskim seštevanjem. Operacija odštevanja (ali algebraičnega seštevanja) je zmanjšana na aritmetično seštevanje operandov, zaradi česar je lažje razviti znake prelivanja bitne mreže. Posledično so računalniške naprave, ki izvajajo aritmetične operacije, poenostavljene.
Znano je, da je eden od načinov za izvedbo operacije odštevanja zamenjava predznaka odštevanca z nasprotnim znakom in dodajanje minuendu:
A-B = A + (-B).
To nadomešča operacijo aritmetičnega odštevanja z operacijo algebraičnega seštevanja, ki se lahko izvede z uporabo binarnih seštevalnikov.
Za strojno predstavitev negativnih števil se uporabljajo naslednje kode: naprej, komplementarno in inverzno. Poenostavljeno definicijo teh kod lahko podamo na naslednji način. Če število A v običajni binarni kodi (neposredno binarna koda), prikazana kot
potem številka -A v isti kodi je predstavljen kot
[-D] P r - 1-?7 /g th /7 _| J L _2....J G | a 0,
in v vzvratno(inverzna) koda, kot bo izgledala ta številka
[-D] 0 b - 1*^77 *2/7-1 *2 /g _ A 0,
A, - 1 če a 1- 0, i,- = 0, če je i, = 1,
i, je števka /"-te števke binarnega števila. Posledično se pri prehodu iz neposredne kode v obratno kodo vse števke matissovih števk števila obrnejo.
Potem številka -A V dodatno koda je predstavljena kot
Če želite torej dobiti komplementarno kodo negativnih števil, morate najprej obrniti digitalni del izvirne številke, kar ima za posledico njeno obratno kodo, in nato dodati eno najmanj pomembni številki digitalnega dela številke.
Komplement števila dobimo tako, da ga nadomestimo z novim številom, ki ga dopolnimo do števila, ki je enako teži števke, ki sledi najpomembnejši števki bitne mreže, ki se uporablja za predstavitev mantise števila v formatu s fiksno vejico. Zato se taka številčna koda imenuje dodatna.
Predstavljajmo si, da imamo samo dve števki za predstavitev števil v decimalnem številskem sistemu. Takrat bo največje število, ki ga lahko upodobimo, 99, teža tretje, neobstoječe najvišje števke pa 10 2, tj. 100. V tem primeru bo za število 20 komplementarno število 80, ki dopolnjuje 20 s 100 (100 - 20 = 80). Zato po definiciji odštevanje
se lahko nadomesti z dodatkom:
Tukaj najvišja enota presega dodeljeno bitno mrežo, v kateri ostane le številka 30, tj. Rezultat odštevanja števila 20 od 50.
Zdaj pa si poglejmo podoben primer za števila, predstavljena v 4-bitni binarni kodi. Poiščimo dodatno številko za 0010 2 = 2 10. Od 0000 moramo odšteti 0010, dobimo 1110, kar je dodatna koda 2. Številka, prikazana v oglatih oklepajih, dejansko ne obstaja. Ker pa imamo 4-vrstično mrežo, je takšno odštevanje v bistvu nemogoče izvesti, še več, odštevanja se poskušamo znebiti. Zato dodatno številčno kodo pridobimo na prej opisan način, tj. Najprej dobijo obratno kodo številke, nato pa ji dodajo eno. Ko smo vse to naredili z našo številko (2), je zlahka videti, da bomo dobili podoben odgovor.
Poudarjamo, da se komplement dvojke in kode komplementa dvojke uporabljajo samo za predstavitev negativnih binarnih števil v obliki s fiksno vejico. Pozitivna števila v teh kodah ne spremenijo svoje podobe in so predstavljena kot v neposredni kodi.
Tako ostanejo digitalne števke negativnega števila v neposredni kodi nespremenjene, v predznakovnem delu pa je zapisana enota.
Poglejmo preproste primere.
Sedem v neposredni kodi je predstavljeno na naslednji način:
Pr = 0,00011 1 2 .
Število -7 v neposredni kodi
[-7] pr = 1,000111 2 ,
in v obratni kodi bo videti tako
[-7] rev = 1,111000 2,
tiste. enice zamenjamo z ničlami, ničle pa z enicami. Enako število v kodi komplementa dveh bo
[-7] dodatno = 1,111001 2 .
Ponovno razmislimo, kako se postopek odštevanja z uporabo predstavitve odštevanca v kodi komplementa dveh reducira na postopek seštevanja. Odštejte število 7 od 10: 10-7 = 3. Če sta oba operanda predstavljena v neposredni kodi, se postopek odštevanja izvede na naslednji način:
0.001010 -1.000111 0.000011 =310.
In če je subtrahendable, tj. -7, predstavljeno v kodi komplementa dveh, se postopek odštevanja zmanjša na postopek dodajanja:
0.001010 + 1,111001 1 0.000011 =310.
Dandanes računalniki običajno uporabljajo kodo komplementa dveh za predstavitev negativnih števil v obliki s fiksno vejico.
Realne številke
Imenujemo številske količine, ki imajo lahko poljubno vrednost (celo in delno). realna števila.
Realna števila so v računalniškem pomnilniku predstavljena v obliki plavajoče vejice. Oblika s plavajočo vejico uporablja predstavitev realnih števil jaz kot produkt mantise T ki temelji na številskem sistemu r do neke mere n ki se imenuje v redu:
jaz= w r str.
Na primer, število 25.324 lahko zapišemo takole:
Tukaj T= 0,25324 - mantisa; n= 2 - vrstni red. V vrstnem redu je navedeno, koliko pozicij in v katero smer naj »plava«, tj. premik, decimalna vejica v mantisi. Od tod tudi ime "plavajoča točka".
Veljajo pa tudi naslednje enakosti:
25,324 = 2,5324 - 10 1 = 0,0025324 10 4 = 2532,4 - 10" 2 itd.
Se izkaže, da je predstavitev števila v obliki s plavajočo vejico dvoumna? Da bi se izognili dvoumnosti, računalniki uporabljajo normalizirana predstavitev števila v obliki s plavajočo vejico. Mantisa v normalizirani predstavitvi mora izpolnjevati pogoj
Z drugimi besedami, mantisa je manjša od ena in prva pomembna številka ni nič. To pomeni, da bo za obravnavano število normalizirana predstavitev 0,25324 10 2. Različne vrste računalnikov uporabljajo različne možnosti za predstavitev števil v obliki plavajoče vejice. Na primer, poglejmo enega od možnih. Naj bo realno število predstavljeno v pomnilniku računalnika v obliki plavajoče vejice v binarnem številskem sistemu (str= 2) in zavzema celico 4 bajtov. Celica mora vsebovati naslednje podatke o številu: znak števila, vrstni red in pomembne števke mantise. Takole so te informacije razporejene v celici:
Najpomembnejši bit 1. bajta hrani predznak števila. V tej številki ničla pomeni plus, ena - minus. Preostalih 7 bitov prvega bajta vsebuje strojni vrstni red. Naslednji trije bajti hranijo pomembne števke mantise.
Sedem binarnih števk vsebuje binarna števila v območju od 0000000 do 1111111. V decimalnem sistemu to ustreza območju od 0 do 127 - skupaj 128 vrednosti. Znak naročila ni shranjen v celici. Toda vrstni red je očitno lahko pozitiven ali negativen. Teh 128 vrednosti je smiselno enakomerno razdeliti med pozitivne in negativne vrednosti reda.
V tem primeru se vzpostavi naslednja korespondenca med strojnim vrstnim redom in resničnim (recimo mu matematični):
Naročilo stroja |
|||||||||||
Matematični red |
Če označimo strojni red g, in matematični - p, potem bo povezava med njima izražena s formulo
g = p + 64.
Torej je strojni vrstni red premaknjen glede na matematični za 64 enot in ima samo pozitivne vrednosti. Pri izvajanju izračunov s plavajočo vejico procesor upošteva ta odmik.
Dobljena formula je zapisana v decimalnem sistemu. Ker je 64 |0 = 40 16 (preverite!), bo v šestnajstiški obliki formula dobila obliko
Mr 1в = Рб + 40 16.
In končno, v dvojiški obliki
Мр 2 =р 2 + ti 0000 2 .
Zdaj lahko zapišemo notranjo predstavitev 25.324 v obliki plavajoče vejice.
- 1. Pretvorimo ga v binarni številski sistem s 24 pomembnimi ciframi:
- 25,324 10 = 11001,0101001011110001101 2 .
- 2. Zapišite ga v obliki normaliziranega binarnega števila s plavajočo vejico:
- 0,110010101001011110001101 Yu 101 .
Tukaj so mantisa, koren (2 10 = 10 2) in eksponent (5 10 = 101 2) zapisani v dvojiški obliki.
3. Izračunajmo strojni red:
gospod 2 = 101 + 100 0000= 100 0101.
4. Zapišite predstavitev števila v pomnilniško celico:
Da bi dobili notranjo predstavitev negativnega števila -25,324, je dovolj, da zamenjamo 0 v predznaku števila z 1 v zgoraj dobljeni kodi.
In v šestnajstiški obliki:
Tu ne pride do inverzije, kot pri negativnih številih s fiksno vejico.
Končno razmislimo o razponu števil, ki jih je mogoče predstaviti v obliki plavajoče vejice. Očitno je, da se pozitivna in negativna števila nahajajo simetrično okoli ničle. Zato sta največje in najmanjše število enaki v absolutni vrednosti: jaz tah =|/? T; p |. Najmanjše število v absolutni vrednosti je nič. Kakšna je vrednost I tah? To je število z največjo mantiso in največjim eksponentom:
0,11111111111111111111111 yu5 111Sh.
Če pretvorimo v decimalni sistem, dobimo
L max = (1 -2- 24)-2 64 = 10 19.
Očitno je območje realnih števil veliko širše od območja celih števil. Če je rezultat izračuna število, katerega absolutna vrednost je večja od jaz sem tah potem se procesor prekine. Ta situacija se imenuje prelivanje s plavajočo vejico. Najmanjša modulo neničelna vrednost je
(1/2) 2 -64 = 2 -66 .
Vse vrednosti, manjše od te absolutne vrednosti, procesor zazna kot nič.
Kot vemo iz matematike, je množica realnih števil neskončna in zvezna. Nabor realnih števil, ki jih je mogoče predstaviti v računalniškem pomnilniku v obliki plavajoče vejice, je omejen in diskreten. Vsako naslednjo vrednost dobimo tako, da mantisi prejšnje dodamo eno v zadnji (24.) števki. Število realnih števil, ki jih je mogoče natančno predstaviti v pomnilniku stroja, se izračuna po formuli
N = 2"-(U-L+ 1)+ 1.
Tukaj t-število binarnih števk mantise; U- največja vrednost matematičnega reda; L- minimalna vrednost naročila. Za možnost, ki smo jo obravnavali (/ = 24, U = 63, L= -64) se izkaže
N=2 146683548.
Vsa ostala števila, ki ne sodijo v ta niz, vendar so znotraj območja sprejemljivih vrednosti, so v pomnilniku predstavljena približno (mantisa je odrezana pri 24. bitu). In ker imajo številke napake, bodo tudi rezultati izračunov s temi številkami vsebovali napake. Iz navedenega sledi sklep: izračuni z realnimi števili v računalniku se izvajajo približno.
Enote informacij
Bit (angleško, binary digit; tudi besedna igra: angleščina, bit - a little) (ena binarna cifra v binarnem številskem sistemu) je ena najbolj znanih enot za merjenje količine informacij.
Nibble (angleško nibble, nybble) ali nibble je enota informacije, enaka štirim binarnim cifram (biti); je priročno, ker ga je mogoče predstaviti z eno šestnajstiško številko, tj. je ena šestnajstiška številka.
Bajt (angleško byte, je okrajšava besedne zveze BinarYTERm - “binarni izraz”) je enota za shranjevanje in obdelavo digitalnih informacij. V sodobnih računalniških sistemih se šteje, da je bajt enak osmim bitom, v tem primeru lahko sprejme eno od 2 8 = 256 različnih vrednosti (stanja, kode). Vendar pa so v zgodovini računalnikov znane rešitve z drugimi velikostmi bajtov, na primer 6 bitov, 36 bitov na PDP- 10. Zato se včasih v računalniških standardih in uradnih dokumentih izraz "oktet" (latinsko octet) uporablja za nedvoumno označevanje 8-bitne besede. V večini računalniških arhitektur je bajt najmanjši neodvisno naslovljiv nabor podatkov.
Strojna beseda je od stroja in platforme odvisna količina, merjena v bitih ali bajtih (triti ali triti), ki je enaka širini procesorskih registrov in/ali širini podatkovnega vodila (običajno neka potenca dvojke). Na zgodnjih računalnikih je velikost besede sovpadala tudi z najmanjšo velikostjo naslovljive informacije (širina podatkov, ki se nahajajo na istem naslovu); na sodobnih računalnikih je najmanjša naslovljiva enota informacije običajno bajt, beseda pa je sestavljena iz več bajtov. Strojna beseda definira naslednje značilnosti platforme strojne opreme:
- bitna globina podatkov, ki jih obdeluje procesor;
- širina naslovljivih podatkov (širina podatkovnega vodila);
- največja vrednost nepredznačenega celega tipa, ki ga neposredno podpira procesor: če rezultat aritmetične operacije preseže to vrednost, pride do prelivanja;
- Največja količina RAM-a, ki jo lahko neposredno naslovi procesor.
Predpone decimalnih in dvojiških večkratnikov
Binarne predpone so predpone pred merskimi enotami, ki označujejo njihovo množenje z 2 10 = 1024. Zaradi bližine števil 1024 in 1000 so binarne predpone sestavljene po analogiji s standardnimi decimalnimi predponami SI. Vsako binarno predpono dobimo z zamenjavo zadnjega zloga ustrezne decimalne predpone z bi (iz latinskega binarius - dvojiško). Binarne predpone se uporabljajo za oblikovanje enot informacij, ki so večkratniki bitov in bajtov. Predpone je uvedla Mednarodna komisija za elektrotehniko (IEC) marca 1999. Videti so takole (tabela 2.6).
Predstavitev besedilnih informacij v računalniku.
Kodiranja ASCII in Unicode
Za predstavitev besedilnih informacij v računalniku je določena koda povezana z grafičnim prikazom vsakega znaka. Nabor znakov/kodiranje (angleško, character set) - tabela, ki določa kodiranje končnega nabora abecednih znakov (običajno besedilni elementi: črke, številke, ločila). Takšna tabela preslika vsak znak v zaporedje enega ali več znakov iz druge abecede, kot so ničle in enice (biti).
ASCII(Angleško ameriška standardna koda za izmenjavo informacij) - ameriška standardna kodirna tabela za tiskane znake in nekatere posebne kode (kode 0x00 do 0x1 F).
ASCII je kodiranje za predstavitev decimalnih števk, latinice in nacionalnih abeced, predponskih znakov
Binarne predpone za tvorbo merskih enot informacij
Binarno predpono |
Podobno decimalno predpono |
IEC okrajšave za bite, bajte |
Vrednost, s katero se pomnoži prvotna vrednost |
kibi/kіьі (2 10) |
Kibit, KiB/KlV |
||
pohištvo/teY (2 20) |
Mibit, MiB/MSh |
2 20 = 1 048 576 |
|
gibi/§іьі (2 30) |
Gibit, GiB/vSh |
2 30 = 1 073741 824 |
|
tebiDebi (2 40) |
tera (10 12) |
Tibit, TiB/TSh |
2 40 = 1 099511 627776 |
pebi/pebi (2 50) |
peta (10 15) |
Pibit, PiB/P1V |
2 50 = 1 125 899906842624 |
exbi/exY (2 60) |
exa (10 18) |
Eibit, EiB/ESh |
2 60 = 1 152921504606846976 |
zebi/gebі (2 70) |
zetta (10 21) |
Zibit, ZiB/71V |
2 70 = 1 180591620717411 303424 |
yobi/youbi (2 80) |
yotta (10 24) |
Yibit, YiB/U1V |
2 80 = 1 208925819614629 174706 176 |
znanje in kontrolni znaki. Prvotno razvit (leta 1963) kot 7-bitni bajt po širokem sprejetju 8-bitnega bajta ASCII začeli dojemati kot polovico 8-bitnega. Računalniki običajno uporabljajo razširitve ASCII z vključeni 8. bit in druga polovica druge kodne tabele (na primer KOI 8).
Unicode ali Unicode je standard za kodiranje znakov, ki omogoča predstavitev znakov skoraj vseh pisnih jezikov.
Standard je leta 1991 predlagala neprofitna organizacija Unicode Consortium (Unicode Inc.). Uporaba tega standarda vam omogoča kodiranje zelo velikega števila znakov iz različnih pisav: dokumenti Unicode lahko vsebujejo kitajske znake, matematične simbole, črke grške abecede, latinice in cirilice; Zaradi tega je preklapljanje kodnih strani nepotrebno.
Standard je sestavljen iz dveh glavnih razdelkov: univerzalni nabor znakov (angleški. UCS, univerzalni nabor znakov) in družine kodiranja (eng. UTF Format transformacije Unicode). Univerzalni set characters določa ujemanje ena proti ena med znaki in kodami, ki predstavljajo nenegativna cela števila. Družina kodiranja definira strojno predstavitev kod UCS.
Za določitev oblike predstavitve Unicode se na začetek besedilne datoteke zapiše podpis - koda FEFF(v Unicode ni znaka s to kodo), imenovano tudi oznaka vrstnega reda bajtov, BOM). Ta metoda se včasih uporablja tudi za označevanje oblike UTF 8, čeprav koncept vrstnega reda bajtov ne velja za ta format.
Osnovna kodiranja Unicode:
- UTF-8 (EF BB BF);
- UTF-16BE (FE FF);
- UTF-16LE (FF FE);
- UTF-32BE (0000 FE FF);
- UTF-32LE (FF FE0000).
- + ^t-2Yat 2 + + + Yao
- + ^t-2Yat 2 + + + Yao
- + ^t-2Yat 2 + + + Yao
- + ^t-2Yat 2 + + + Yao
- + ^t-2Yat 2 + + + Yao
- + ^t-2Yat 2 + + + Yao
- + ^t-2Yat 2 + + + Yao
- - ^]dodaj - 1-^1 rev
Trenutno se v vsakdanjem življenju za kodiranje številskih informacij uporablja decimalni številski sistem z osnovo 10, ki uporablja 10 označevalnih elementov: številke 0, 1, 2, ... 8, 9. Prva (možna) številka označuje število enot, drugi - desetice, tretji - stotine itd.; z drugimi besedami, v vsaki naslednji števki se teža koeficienta števke poveča za 10-krat.
Naprave za digitalno obdelavo informacij uporabljajo binarni številski sistem z osnovo 2, ki uporablja dva elementa označevanja: 0 in 1. Uteži števk od leve proti desni od nizkih do visokih števk se povečajo za 2-krat, kar pomeni, da imajo naslednje zaporedje: 8421. Na splošno je to zaporedje videti takole:
…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …
in se uporablja za pretvorbo binarnega števila v decimalno število. Na primer, binarno število 101011 je enakovredno decimalnemu številu 43:
2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43
V digitalnih napravah se za označevanje informacijskih enot različnih velikosti uporabljajo posebni izrazi: bit, bajt, kilobajt, megabajt itd.
bit oz binarna cifra določa vrednost enega znaka v dvojiškem številu. Na primer, binarno število 101 ima tri bite ali tri števke. Pokličemo skrajno desno števko z najmanjšo težo mlajši, in tisti na skrajni levi, z največjo težo, je starejši.
Byte definira 8-bitno enota informacije, 1 bajt = 23 bitov, na primer 10110011 ali 01010111 itd., 1 kbajt = 2 10 bajtov, 1 MB = 2 10 kbajtov = 2 20 bajtov.
Za predstavitev večmestnih števil v binarnem številskem sistemu je potrebno veliko število binarnih števk. Zapisovanje je lažje, če uporabljate šestnajstiški številski sistem.
Osnova šestnajstiški sistem zapis je število 16 = 2 4, ki uporablja 16 notnih elementov: številke od 0 do 9 in črke A, B, C, D, E, F. Za pretvorbo binarnega števila v šestnajstiško je dovolj, da binarno število v štiribitne skupine: celo število od desne proti levi, delno - od leve proti desni decimalne vejice. Zunanje skupine so lahko nepopolne.
Vsaka binarna skupina je predstavljena z ustreznim šestnajstiškim znakom (tabela 1). Na primer, dvojiško število 0101110000111001 v šestnajstiški obliki je izraženo kot 5C39.
Decimalni številski sistem je najbolj primeren za uporabnika. Zato številne digitalne naprave, ki delajo z binarnimi številkami, sprejemajo in izdajajo decimalna števila uporabniku. V tem primeru se uporablja dvojiška decimalna koda.
koda BCD nastane z zamenjavo vsake decimalne števke števila s štiribitno binarno predstavitvijo te števke v binarni kodi (glej tabelo 1). Na primer, število 15 je predstavljeno kot 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). V tem primeru vsak bajt vsebuje dve decimalni števili. Upoštevajte, da koda BCD v tej pretvorbi ni binarno število, enakovredno decimalnemu številu.
1.2 Logične osnove računalnikov
Veja matematične logike, ki preučuje razmerja med logičnimi spremenljivkami, ki imajo samo dve vrednosti, se imenuje algebra logike. Algebro logike je razvil angleški matematik J. Boole in se pogosto imenuje Boolov algebra. Logična algebra je teoretična osnova za konstruiranje sistemov za digitalno obdelavo informacij. Najprej se na podlagi zakonov logične algebre razvije logična enačba naprave, ki omogoča povezavo logičnih elementov tako, da vezje opravlja dano logično funkcijo.
Tabela 1 – Številčne kode od 0 do 15
Decimalno število | Kode | ||
---|---|---|---|
Binarno | šestnajstiško | BCD | |
0 | 0000 | 0 | 000 |
1 | 0001 | 1 | 0001 |
2 | 0010 | 2 | 0010 |
3 | 0011 | 3 | 0011 |
4 | 0100 | 4 | 0100 |
5 | 0101 | 5 | 0101 |
6 | 0110 | 6 | 0110 |
7 | 0111 | 7 | 0111 |
8 | 1000 | 8 | 1000 |
9 | 1001 | 9 | 1001 |
10 | 1010 | A | 00010000 |
11 | 1011 | B | 00010001 |
12 | 1100 | C | 00010010 |
13 | 1101 | D | 00010011 |
14 | 1110 | E | 00010100 |
15 | 1111 | F | 00010101 |
1.2.1 Osnove algebre logike
Različne logične spremenljivke so lahko povezane s funkcionalnimi odvisnostmi. Funkcionalne odvisnosti med logičnimi spremenljivkami je mogoče opisati z logičnimi formulami ali tabelami resnic.
Na splošno logično formula funkcija dveh spremenljivk je zapisana kot: l=f(X 1 , X 2), kjer X 1 , X 2 - vhodne spremenljivke.
IN tabela resnice prikaže vse možne kombinacije (kombinacije) vhodnih spremenljivk in ustreznih vrednosti funkcije y, ki izhajajo iz izvajanja neke logične operacije. Z eno spremenljivko je celoten niz sestavljen iz štirih funkcij, ki so prikazane v tabeli 2.
Tabela 2 – Celoten niz funkcij za eno spremenljivko
X | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 |
---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Y1 - Inverzija, Y2 - Identična funkcija, Y3 - Absolutno pravilna funkcija in Y4 - Absolutno napačna funkcija.
Inverzija(negacija) je ena od osnovnih logičnih funkcij, ki se uporabljajo v napravah za digitalno obdelavo informacij.
Z dvema spremenljivkama je celoten nabor sestavljen iz 16 funkcij, vendar se vse ne uporabljajo v digitalnih napravah.
Glavne logične funkcije dveh spremenljivk, ki se uporabljata v napravah za digitalno obdelavo informacij, so: disjunkcija (logično seštevanje), konjunkcija (logično množenje), vsota modulo 2 (neekvivalentnost), Peirceova puščica in Schaefferjeva poteza. Simboli logičnih operacij, ki izvajajo zgornje logične funkcije ene in dveh spremenljivk, so podani v tabeli 3.
Tabela 3 Imena in oznake logičnih operacij
Operacijo inverzije je mogoče izvesti čisto aritmetično: in algebraično: Iz teh izrazov sledi, da inverzija x, tj. dopolnjuje x do 1. Od tod je prišlo drugo ime za to operacijo - dodatek. Od tu lahko sklepamo, da dvojna inverzija vodi do prvotnega argumenta, tj. in se imenuje zakon dvojne negacije.
Tabela 4 – Tabele resničnosti glavnih funkcij dveh spremenljivk
Disjunkcija | Konjunkcija | Ekskluzivni OR | Pierceova puščica | Schaefferjeva možganska kap | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Disjunkcija. Za razliko od običajnega aritmetičnega ali algebraičnega seštevanja tukaj prisotnost dveh enot daje rezultat eno. Zato je treba pri označevanju logičnega seštevka dati prednost znaku (∨) namesto znaku (+).
Prvi dve vrstici tabele resnic operacije disjunkcije ( x 1 =0) določi zakon seštevanja z ničlo: x ∨ 0 = x in drugi dve vrstici (x 1 = 1) - zakon seštevanja z enoto: x ∨ 1 = 1.
Konjunkcija. Tabela 4 prepričljivo prikazuje istovetnost operacij navadnega in logičnega množenja. Zato je kot znak za logično množenje mogoče uporabiti znani znak za navadno množenje v obliki pike.
Prvi dve vrstici tabele resnic operacije konjunkcije določata zakon množenja z ničlo: x·0 = 0, druga dva pa - zakon množenja z ena: x·1 = x.
Ekskluzivni OR. Funkcija »Izključni ALI« pomeni naslednje: ena se pojavi na izhodu, ko ima samo en vhod eno. Če sta na vhodih dve ali več enic ali če so vsi vhodi ničle, bo izhod enak nič.
Napis na oznaki elementa IZKLJUČNO ALI "=1" (slika 1, d) samo pomeni, da je situacija poudarjena, ko je na vhodih ena in samo ena enota.
Ta operacija je podobna operaciji aritmetične vsote, vendar tako kot druge logične operacije brez oblikovanja prenosa. Zato ima drugačno ime vsota modulo 2 in zapis ⊕, podoben zapisu za aritmetično seštevanje.
Pierceova puščica in Schaefferjev dotik. Te operacije so inverzije operacij disjunkcije in konjunkcije in nimajo posebne oznake.
Obravnavane logične funkcije so enostavne ali elementarne, saj vrednost njihove resnice ni odvisna od resnic nobenih drugih funkcij, ampak le od neodvisnih spremenljivk, imenovanih argumenti.
Digitalne računalniške naprave uporabljajo kompleksne logične funkcije, ki so razvite iz elementarnih funkcij.
Kompleksno je logična funkcija, katere resničnostna vrednost je odvisna od resnicnosti drugih funkcij. Te funkcije so argumenti te kompleksne funkcije.
Na primer v kompleksni logični funkciji argumenta sta X 1 ∨X 2 in .
1.2.2 Logični elementi
Za izvajanje logičnih funkcij v napravah za digitalno obdelavo informacij se uporabljajo logični elementi. Simboli logičnih elementov, ki izvajajo zgoraj obravnavane funkcije, so prikazani na sliki 1.
Slika 1 – UGO logičnih elementov: a) Inverter, b) ALI, c) IN, d) Izključujoči ALI, e) ALI-NE, f) IN-NE.
Kompleksne logične funkcije se izvajajo na osnovi enostavnih logičnih elementov, tako da se le-ti ustrezno povežejo za izvedbo določene analitične funkcije. Funkcionalni diagram logične naprave, ki izvaja kompleksno funkcijo, iz prejšnjega odstavka je prikazan na sliki 2.
Slika 2 – Primer izvedbe kompleksne logične funkcije
Kot je razvidno iz slike 2, logična enačba prikazuje, iz katerih LE in s kakšnimi povezavami je mogoče ustvariti dano logično napravo.
Ker imata logična enačba in funkcionalni diagram korespondenco ena proti ena, je priporočljivo poenostaviti logično funkcijo z uporabo zakonov logične algebre in zato med izvajanjem zmanjšati število ali spremeniti nomenklaturo LE.
1.2.3 Zakoni in identitete algebre logike
Matematični aparat logične algebre vam omogoča preoblikovanje logičnega izraza in ga nadomestite z enakovrednim, da poenostavite, zmanjšate število elementov ali zamenjate bazo elementov.
1 Komutativno: X ∨ Y = Y ∨ X; X · Y = Y · X.
2 Kombinacija: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z); X Y Z = (X Y) Z = X (Y Z).
3 Idempotence: X ∨ X = X; X · X = X.
4 Distributivni: (X ∨ Y) Z = X Z ∨ Y Z.
5 Dvojno negativno: .
6 Zakon dvojnosti (De Morganovo pravilo):
Za transformacijo strukturnih formul se uporabljajo številne identitete:
X ∨ X Y = X; X(X ∨ Y) = X - Pravila absorpcije.
X· Y ∨ X· = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – Pravila lepljenja.
Pravila prednosti za logične operacije.1 Negacija je logično dejanje prve stopnje.
2 Konjunkcija je logično dejanje druge stopnje.
3 Disjunkcija je logično dejanje tretje stopnje.
Če so v logičnem izrazu dejanja različnih stopenj, se najprej izvede prva stopnja, nato druga in šele nato tretja stopnja. Vsako odstopanje od tega vrstnega reda mora biti označeno z oklepaji.
1. OBLIKE PREDSTAVITVE ŠTEVIL.. 6
2. BINARNI ŠTEVILSKI SISTEM... 13
3. OSMIČNI ŠTEVILNI SISTEM... 15
4. HEKSADECIMALNI ŠTEVILSKI SISTEM... 17
5. Dvojiška decimalna števila... 19
6. BINARNA ARITMETIKA.. 20
7. ARITMETIKA V REVERZIVNIH IN KOMPLEMENTNIH KODAH 22
8. MATEMATIČNA LOGIKA.. 25
ODGOVORI NA VAJE... 35
PREDGOVOR
Obvladovanje osnovnih znanj računalniške tehnologije je za programerje zelo pomembna naloga. Poglobljeno razumevanje aritmetičnih in logičnih osnov računalnikov vam omogoča ustvarjanje visokokakovostne programske opreme.
Priročnik obravnava načine predstavljanja podatkov v pomnilniku računalnika, njihovo zgradbo in pravila pretvorbe. Vsak od osmih razdelkov priročnika je posvečen določeni temi, vsebuje teoretične informacije, primere izvajanja aritmetičnih in logičnih operacij ter vaje za praktično in samostojno delo študentov.
Priročnik je namenjen rednim in izrednim študentom specialnosti "Računalniška programska oprema in avtomatizirani sistemi."
Priporočamo naslednjo shemo dela s priročnikom. Po študiju potrebnega materiala praktična lekcija preučuje primere izvajanja aritmetičnih in logičnih operacij na računalniku. Vsak razdelek vsebuje potrebno količino teoretičnih informacij in formulacijo problema. Študente lahko nato prosimo, da opravijo vaje na koncu razdelka. Vaje imajo različno zahtevnost, ki se povečuje z večanjem zaporedne številke vaje.
Za hitro pretvorbo števil iz enega številskega sistema v drugega morajo učenci poleg sposobnosti uporabe standardnih algoritmov za prevajanje zapomniti vrednosti celih potenc 2 od 0 do 10, predstavitev števil od 0 do 16 v številskih sistemih z osnovami 2, 8, 10 in 16 , poznajo pa tudi lastnosti številskih sistemov z osnovami, deljivimi z 2.
Pri izvajanju aritmetičnih operacij je priporočljivo označiti vse izposoje in prenose iz ene števke v drugo in s tem simulirati delovanje atributnega registra. Pri delu z neposrednimi, komplementnimi in obratnimi kodami je priporočljiva uporaba 8 bitov.
Pri izvajanju vaj iz razdelka "Matematična logika" morate trdno razumeti simboliko in definicije (tabele resnic) treh osnovnih logičnih operacij. Pri izračunu vrednosti logičnih izrazov se morate spomniti prioritete logičnih operacij.
Na koncu priročnika so odgovori na vaje.
UVOD
Razširjena uvedba računalniške tehnologije v vsa področja človeške dejavnosti in učinkovitost tega procesa sta neločljivo povezana tako z razvojem številnih kompleksnih tehničnih razvojev kot s stopnjo usposobljenosti strokovnjakov različnih profilov na tem področju. Skladnost med funkcionalnostjo računalniških sistemov in tehnološkim namenom z njimi povezanih objektov zahteva ustrezno usposobljenost programerjev.
Rešitev tega problema je povezana tako z organizacijo izobraževalnega procesa na vseh ravneh, vključno s sistemom za izpopolnjevanje strokovnjakov, kot z njegovo izobraževalno in metodološko podporo. Sodobni strokovnjaki za programsko opremo morajo poznati tako strojno kot programsko opremo računalniške tehnologije.
Računalniška tehnologija se razvija tako hitro, da je zdaj običajno govoriti o generacijah računalnikov, ki se razlikujejo po svoji elementarni osnovi, lastnostih in namenu. Vendar imajo skoraj vse računalniške naprave skupne aritmetične in logične osnove, oblike predstavljanja števil, pa tudi pravila za izvajanje aritmetičnih in logičnih operacij. To so vprašanja, ki jih obravnava ta vadnica.
OBLIKE PREDSTAVLJANJA ŠTEVIL
Vse informacije so v računalniku predstavljene z digitalnimi znaki. Metoda takšne predstavitve je določena s številskim sistemom, sprejetim v računalniku. Številski sistem je niz tehnik in pravil za poimenovanje in označevanje števil, s pomočjo katerih je mogoče vzpostaviti ujemanje ena proti ena med poljubnim številom in njegovo predstavitvijo kot nizom končnega števila simbolov. Vsak številski sistem uporablja neko končno abecedo, sestavljeno iz števil a 1, a 2, .... in n . V tem primeru vsaka številka a i v številskem zapisu ustreza določenemu kvantitativnemu ekvivalentu (njeni "teži").
Analizirajmo "tehnologijo" za reševanje preprostega problema - štetje homogenih predmetov. Recimo, da so na mizi vžigalice. Treba je določiti njihovo število in ga zapisati: ena tekma - 1; še ena tekma - 1; itd. Dobimo vnos: 111111, kjer je vsako ujemanje označeno s simbolom 1. Preštejmo število enot (simbolov ujemanja) in to število zapišimo v nam običajni (znani) obliki - 6 ali kako drugače - VI. Torej, 6 = VI = 111111, tj. število ujemanja je zapisano v različnih oblikah. Evidentiranje obrazca 111111 je zelo okorno; Oblika pisanja številke 6 je najbolj priročna in znana za nas.
V različnih zgodovinskih obdobjih človekovega razvoja so se za izračune in izračune uporabljali določeni sistemi številk. Na primer, dvanajstiški sistem je bil precej razširjen. Številni predmeti (noži, vilice, krožniki, robčki itd.) se še vedno štejejo na desetine. Število mesecev v letu je dvanajst.
Dvanajstiški številski sistem je ohranjen v angleškem sistemu mer (npr. 1 čevelj = 12 palcev) in v denarnem sistemu (1 šiling = 12 penijev).
V starem Babilonu je obstajal zelo zapleten šestdesetinski sistem. Ta se je, tako kot dvanajstiški sistem, do neke mere ohranil do danes (npr. v sistemu merjenja časa: 1 ura = 60 minut, 1 minuta = 60 s, podobno v sistemu merjenja kotov: 1° = 60 minut). , 1 min = 60 s).
Nekatera afriška plemena so imela petni sistem številčenja, Azteki in Maji, ki so dolga stoletja poseljevali obsežna območja ameriške celine, pa so imeli desetiški sistem številčenja. Nekatera plemena Avstralije in Polinezije so uporabljala binarni številski sistem.
Decimalni merski sistem izvira iz Indije. Kasneje so ga začeli imenovati arabski, ker so ga v Evropo prinesli Arabci. Številke, ki jih zdaj uporabljamo, so arabske.
V različnih časih so obstajali tudi drugi zapisi številk, ki so zdaj skoraj pozabljeni. Še vedno pa včasih srečamo številke, zapisane s črkami latinice, na primer na številčnicah ure, v knjigah za označevanje poglavij ali delov, na poslovnih papirjih za označevanje mesecev itd.
Številski sistem, v katerem je velikost števke določena z njeno lokacijo (položajem), se imenuje pozicijski. Tako je decimalni številski sistem pozicijski. Rimski številski sistem ni pozicijski, tj. položaj številk ne spremeni pomena. Število 9 na primer zapišemo kot IX, število 11 pa kot XI. Poleg tega ima znak I v obeh primerih enak pomen - ena, le v enem primeru se odšteje od deset (X), v drugem primeru pa se doda. Računalniki uporabljajo le pozicijske številske sisteme. Število različnih števk številskega sistema se imenuje njegova osnova S.
Splošno sprejeti decimalni številski sistem uporablja deset različnih števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Položaj števk v številu imenujemo števke. V desetiškem številskem sistemu imamo opravka s števkami enot, desetic, stotink itd., pa tudi s števkami desetin, stotink, tisočink itd. enot. Z drugimi besedami, v decimalnem številskem sistemu je "teža" vsake števke 10-krat večja od "teže" prejšnje. Posledično je vsako število v decimalnem številskem sistemu oblikovano kot vsota različnih celih potenc desetice z ustreznimi koeficienti a i (0, 1, .... 9), vzetimi iz abecede danega številskega sistema. Tako zapišemo decimalno število v splošni obliki:
A = a 0 ×10 n +a 1 ×10 n –1 +a 2 ×10 n –2 +…+a n –1 ×10 1 +a n ×10 0 = a 0 a 1 …a n –1 a n .
Vrednost števila A določajo koeficienti pri potencah števila 10. Iz tega je razvidno, da je število 10 osnova številskega sistema, ki se v tem primeru imenuje decimalni. Na primer, decimalni zapis 245,83 lahko zapišemo kot:
245,83 = 2×10 2 + 4×10 1 + 5×10 0 + 8×10 –1 + 3×10 –2.
Če izpustimo različne potence števila deset, zapiši le koeficiente pri teh potencah, to je 245,83. Enako:
531 = 5×10 2 + 3×10 1 + 1×10 0 = 531;
3527 = 3×10 3 + 5×10 2 + 2×10 1 + 7×10 0 = 3527;
28395 = 2×10 4 + 8×10 3 + 3×10 2 + 9×10 1 + 5×10 0 = 28395.
Za fizično predstavitev števil v računalniku so potrebni elementi, ki so lahko v enem od več stabilnih stanj. Število takih stanj mora biti enako osnovi sprejetega številskega sistema. Potem bo vsako stanje predstavljalo ustrezno števko iz abecede danega številskega sistema. Najenostavnejši z vidika tehnične izvedbe so tako imenovani dvopozicijski elementi, ki so lahko v enem od dveh stabilnih stanj - "vklopljeno" ali "izklopljeno". Na primer, elektromagnetni rele je zaprt ali odprt, magnetni material je magnetiziran ali razmagneten, tranzistorsko stikalo je v prevodnem ali zaklenjenem stanju itd. Eno od teh stabilnih stanj je lahko predstavljeno s številko 0, drugo pa s številko 1.
Preprosta tehnična izvedba dvopozicijskih elementov je zagotovila, da je binarni številski sistem najbolj razširjen v računalnikih. Osnova tega sistema je S = 2. Uporablja le dve števki: 0 in 1. Vsako število v dvojiškem številskem sistemu je predstavljeno kot vsota celih potenc njegove osnove S = 2, pomnožena s koeficienti; 0 ali 1. Na primer binarno število
11011,01 2 = 1×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 + 1×2 1 +
1×2 0 + 0×2 –1 + 1×2 - 2 = 16 + 8 + 2 + 1 + 0,25 = 27,25 10,
kot izhaja iz zgornje razširitve, ustreza decimalnemu številu 27,25 10. Enako:
12 10 = 1×2 3 + 1×2 2 + 0×2 1 + 0×2 0 = 1100 2 ;
42 10 = 1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 + 1×2 1 + 0×2 0 = 101010 2.
Računalniki poleg binarnega uporabljajo tudi osmiški in šestnajstiški številski sistem, ki služita za krajše in priročnejše zapisovanje binarnih kod. Osnove teh sistemov ustrezajo celim potencam števila 2 (8 = 2 3; 16 = 2 4), zato so pravila za pretvorbo v binarni številski sistem in obratno zanje izjemno preprosta.
Binarna decimalna koda se pogosto uporablja v prikazovalnih napravah. V tabeli so prikazane kode številskih sistemov, iz katerih je razvidno, da se dvojiška decimalna koda razlikuje od decimalne po tem, da je v njej vsako število decimalnega mesta zapisano v dvojiški kodi.
V mednarodnem notacijskem sistemu so kode iz tabele 1 označene na naslednji način: decimalno - DEC (decimalno), binarno - BIN (binarno), oktalno - OCT (oktalno), heksadecimalno - HEX (šestnajstiško), binarno-decimalno - BDC (binarno-decimalna koda).
Računalniki uporabljajo dve obliki predstavljanja števil: fiksno vejico (piko) in plavajočo vejico (piko). V nasprotnem primeru se te oblike imenujejo naravne in pollogaritemske. Za te oblike predstavitve števil je dodeljeno določeno število n-bitov, ki tvorijo bitno mrežo računalnika. Z večanjem n se poveča obseg predstavljenih števil in natančnost izračunov.
V naravni obliki je število predstavljeno kot cel del števila in ulomek, ločen od njega s piko. Če so na primer celemu in ulomku števila dodeljena tri decimalna mesta, bo število 245,6 predstavljeno kot: 245,600. Tu je točka, ki ločuje celo število števila od ulomka, določena za tretjo števko.
Tabela 1
Predstavitev števil v različnih številskih sistemih
decimalno | Binarno | osmiško | Šestnajstiško | BCD |
A | 0001 0000 | |||
IN | 0001 0001 | |||
Z | 0001 0010 | |||
D | 0001 0011 | |||
E | 0001 0100 | |||
F | 0001 0101 | |||
0001 0110 | ||||
0001 0111 | ||||
0001 1000 | ||||
0001 1001 | ||||
0010 0000 |
Običajno je pika pritrjena desno od najmanj pomembne števke, zato so v tej obliki lahko predstavljena samo cela števila. Obstajata dve možnosti za predstavitev celih števil: brez predznaka in predznaka. V prvem primeru vse števke predstavljajo modul števila. V drugem primeru je za predznak števila dodeljena skrajna leva števka, v kateri je za pozitivna števila zapisana 0, za negativna pa 1.
Razpon števil, predstavljenih s fiksno piko, je omejen. Tako so lahko v n-bitni mreži nepredznačena števila x predstavljena v območju 0 £ x £ 2 n -1. Za predstavitev števil, ki ne spadajo v to območje, se med postopkom programiranja uvedejo ustrezni faktorji lestvice. Potreba po skaliranju podatkov je pomembna pomanjkljivost predstavitve s fiksno točko. Druga pomanjkljivost je, da je pri tej obliki predstavitve števil relativna natančnost izvedenih izračunov odvisna od vrednosti števil in doseže maksimum pri izvajanju operacij z največjimi možnimi števili.
V zvezi s tem je predstavitev števil s fiksno vejico glavna in edina oblika samo za stroje, ki so relativno majhni glede na njihove računalniške zmogljivosti, na primer v krmilnikih krmilnikov. Računalniki, namenjeni reševanju širokega nabora problemov, večinoma uporabljajo števila s plavajočo vejico. Vendar se tudi v takšnih računalnikih za cela števila uporablja predstavitev s fiksno vejico, saj se v tej obliki operacije s celimi števili izvajajo lažje in v krajšem času.
V obliki s plavajočo vejico je poljubno število N predstavljeno kot produkt dveh faktorjev: N = m×S p, kjer je m mantisa števila (|m|)<1); р - vrstni red številk (celo število); S - osnova številskega sistema (celo število).
Na primer, decimalno število 6,15 v obliki plavajoče vejice (vejice) lahko zapišemo na naslednji način:
6,15 = 0,615×10 1;
6,15 = 0,0615 × 10 2 ;
6,15 = 0,00615 × 10 3 itd.
S spremembo vrstnega reda v eno ali drugo smer se zdi, da točka (vejica) "lebdi" na sliki številke. Tako je treba pri predstavitvi števil s plavajočo vejico v bitni mreži računalnika zapisati mantiso ±m in vrstni red ±r z lastnimi predznaki. Predznak števila sovpada z znakom mantise.
Za določeno bitno globino mantise postane natančnost izračuna največja, če je mantisa predstavljena v normalizirani obliki. Modul normalizirane mantise mora izpolnjevati pogoj (1/S) £ |m| < 1, v kateri najpomembnejša številka mantise v S-arnem številskem sistemu ne sme biti enaka nič. V procesu izračunov je normalizacija na desno lahko kršena, ko |m|< (1/S), или влево, когда |m| ³ 1. В первом случае мантисса сдвигается влево до появления в старшем разряде ближайшей единицы. При этом в освобождающиеся младшие разряды мантиссы записываются нули и проводится соответствующее уменьшение порядка числа. При нарушении нормализации мантиссы влево производится ее сдвиг вправо с соответствующим увеличением порядка числа. Младшие разряды мантиссы, выходящие при этом за пределы разрядной сетки, отбрасываются.
Računalniki obdelujejo ne samo numerične, ampak tudi različne alfanumerične informacije, ki poleg številk vsebujejo tudi abecedne, sintaktične, matematične, različne kontrolne in druge posebne znake. Takšne informacije so v računalniku predstavljene z binarnimi kodami (binarnimi besedami) ustrezne bitne globine.
DVOJIČNI ŠTEVILSKI SISTEM
Kot smo že omenili, večina računalnikov uporablja binarni številski sistem za predstavitev in shranjevanje različnih informacij, pa tudi pri izvajanju aritmetičnih in logičnih operacij. V binarnem številskem sistemu je osnova številka 2. V tem primeru se za zapis števil uporabljata dve števki: 0 in 1.
Pretvarjanje števila iz decimalnega številskega sistema v binarni sistem izvedemo tako, da število zaporedno delimo z 2, dokler količnik deljenja ne postane enak 1. Število v binarnem številskem sistemu zapišemo kot ostanke pri deljenju, začenši z zadnji količnik, od desne proti levi:
8 10 = 1×2 3 + 0×2 2 + 0×2 1 + 0×2 0 ;
8 10 = 8 + 0 + 0 + 0.
Pretvarjanje decimalnega ulomka v binarni sistem poteka v dveh stopnjah: najprej se pretvori celo število števila (glej zgoraj), nato pa ulomek. Ulomek se prevede tako, da se ulomek pomnoži z dva. Dvojiško število je zapisano kot celi deli števil, ki jih dobimo z množenjem samo delnega dela, začenši z vrha za decimalno vejico. To nastavi natančnost izrazov. Na primer, število 0,41 10 v decimalnem sistemu se pretvori v število 0,011 2 v dvojiškem sistemu:
V skladu z obravnavanimi pravili je mogoče številke pretvoriti v druge široko uporabljene številske sisteme - osmiško, šestnajstiško, dvojiško decimalno. V vseh primerih se množenje ali deljenje prevedenih števil izvede na podlagi novega številskega sistema.
vaje
1. Pretvorite naslednja binarna števila v decimalno kodo:
a) 0001; b) 0101; c) 1000; d) 1011; e) 1111; f) 0111; g) 10000000; h) 00010000; i) 00110011; j) 01100100; k) 00011111; m) 11111111.
2. Pretvorite naslednja decimalna števila v dvojiška:
a) 23; b) 39; c) 55; d) 48.
3. Pretvorite decimalno število v binarno kodo: 204;
4. Pretvorite binarno število v decimalno kodo: 11101110.
- Biografija Kratka biografija Ferdinanda Focha
- Isaev I.F., Miščenko A.I., Šijanov E.N. Pedagogika - datoteka n1.doc. Slastenin V.A. Metode vzgojno-izobraževalnega dela - datoteka n1.doc Slastenin na pedagoški akademiji
- Davčno računovodstvo državnih institucij. Postopek za izračun davka in akontacije
- Vrnitev na delo po odredbi inšpektorata za delo