Stacionárne body. Kritické body na grafe funkcie
Stacionárne body funkcie.
Nevyhnutná podmienka pre lokálny extrém funkcie
Prvá postačujúca podmienka pre lokálny extrém
Druhá a tretia postačujúce podmienky pre lokálny extrém
Najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie v segmente
Konvexné funkcie a inflexné body
1. Stacionárne body funkcie. Nevyhnutná podmienka pre lokálny extrém funkcie
Definícia 1
. Nech je funkcia definovaná na
. Bodka
nazývaný stacionárny bod funkcie , Ak
.
diferencované v určitom bode
A
Veta 1 (nevyhnutná podmienka pre lokálny extrém funkcie)
. Nechajte funkciu
určený na
a má na mieste
lokálny extrém. Potom je splnená jedna z podmienok:
Aby sme teda našli body, ktoré sú pre extrém podozrivé, je potrebné nájsť stacionárne body funkcie a body, v ktorých derivácia funkcie neexistuje, ale patria do definičného oboru funkcie.
Príklad
. Nechaj
. Nájdite za to body, ktoré sú extrémne podozrivé. Na vyriešenie problému najskôr nájdeme doménu definície funkcie:
. Teraz nájdime deriváciu funkcie:
Body, v ktorých derivát neexistuje:
. Stacionárne funkčné body:
Od a
, A
patria do oblasti definície funkcie, potom obe budú podozrivé pre extrém. Ale aby sme dospeli k záveru, či tam naozaj bude extrém, je potrebné uplatniť dostatočné podmienky pre extrém.
A
Veta 1 (nevyhnutná podmienka pre lokálny extrém funkcie)
2. Prvá postačujúca podmienka pre lokálny extrém
Veta 1 (prvá postačujúca podmienka pre lokálny extrém) a diferencované na tomto intervale všade, možno okrem bodu
, ale v tomto bode funkciu
je nepretržitý. Ak existujú také pravé a ľavé polosusedstvá bodu
, v každom z nich
zachováva si teda určité znamenie . Bodka
1) funkcia
má v bode lokálny extrém
preberá hodnoty rôznych znakov v zodpovedajúcich polosusedstvách; 2) funkcia
nemá v bode lokálny extrém
, ak napravo a naľavo od bodu
má rovnaké znamenie.
Dôkaz
. 1) Predpokladajme, že v polosusedstve
.
derivát a diferencované na tomto intervale všade, možno okrem bodu
, a v
2) Predpokladajme, že naľavo a napravo od bodu derivát si zachováva svoje znamienko, napr.
. Potom ďalej
, Ak
a diferencované na tomto intervale všade, možno okrem bodu
rastie striktne monotónne, to znamená:
Teda extrém v bode a diferencované na tomto intervale všade, možno okrem bodu
nemá, čo bolo potrebné dokázať.
Poznámka 1
. Ak je derivát
pri prechode bodom zmení znamienko z „+“ na „-“, potom na bod a diferencované na tomto intervale všade, možno okrem bodu
má lokálne maximum a ak sa znamienko zmení z „-“ na „+“, potom má lokálne minimum.
Poznámka 2
. Dôležitou podmienkou je kontinuita funkcie
v bode . Ak táto podmienka nie je splnená, potom Veta 1 nemusí platiť.
lokálny extrém. Potom je splnená jedna z podmienok: . Uvažuje sa funkcia (obr. 1):
Táto funkcia je definovaná na a je súvislá všade okrem bodu
, kde má odnímateľnú medzeru. Pri prechode cez bod
zmení znamienko z „-“ na „+“, ale funkcia v tomto bode nemá lokálne minimum, ale podľa definície má lokálne maximum. Naozaj, blízko bodu
je možné zostrojiť okolie tak, že pre všetky argumenty z tohto okolia budú hodnoty funkcie menšie ako hodnota
. Veta 1 nefungovala, pretože v bode
funkcia mala medzeru.
Poznámka 3
. Prvá postačujúca podmienka pre lokálny extrém nemôže byť použitá, keď je derivácia funkcie
mení svoje znamienko v každom ľavom a každom pravom polosusedstve bodu .
lokálny extrém. Potom je splnená jedna z podmienok: . Uvažovaná funkcia je:
Od r
, To
, a preto
, Ale
. Takto:
,
tie. v bode
a diferencované na tomto intervale všade, možno okrem bodu
má podľa definície lokálne minimum. Pozrime sa, či tu funguje prvá postačujúca podmienka pre lokálny extrém.
Pre
:
Pre prvý člen na pravej strane výsledného vzorca máme:
,
a teda v malom okolí bodu
znamienko derivácie je určené znamienkom druhého člena, teda:
,
čo znamená, že v akomkoľvek okolí bodu
bude nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. V skutočnosti zvážte ľubovoľné susedstvo bodu
:
. Kedy
,
To
(obr. 2) a nekonečne veľakrát tu mení svoje znamenie. V uvedenom príklade teda nemožno použiť prvú postačujúcu podmienku pre lokálny extrém.
Definície:
Extrémne volať maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie na danej množine.
Extrémny bod je bod, v ktorom sa dosiahne maximálna alebo minimálna hodnota funkcie.
Maximálny bod je bod, v ktorom sa dosiahne maximálna hodnota funkcie.
Minimálny bod je bod, v ktorom sa dosiahne minimálna hodnota funkcie.
Vysvetlenie.
Na obrázku v blízkosti bodu x = 3 funkcia dosahuje svoju maximálnu hodnotu (t. j. v okolí tohto konkrétneho bodu už nie je bod vyššie). V okolí x = 8 má opäť maximálnu hodnotu (upresnime ešte raz: práve v tomto okolí nie je bod vyššie). V týchto bodoch nárast ustupuje poklesu. Sú to maximálny počet bodov:
x max = 3, x max = 8.
V okolí bodu x = 5 je dosiahnutá minimálna hodnota funkcie (teda v okolí x = 5 nie je bod nižšie). V tomto bode pokles ustupuje nárastu. Ide o minimálny bod:
Maximálny a minimálny počet bodov je extrémnych bodov funkcie a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú jej extrémy.
Kritické a stacionárne body funkcie:
Nevyhnutná podmienka pre extrém:
Dostatočná podmienka pre extrém:
Na segmente funkcia r = f(x) môže dosiahnuť najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu buď v kritických bodoch alebo na koncoch segmentu.
Algoritmus na štúdium spojitej funkcier = f(x) pre monotónnosť a extrémy:
Proces skúmania funkcie na prítomnosť stacionárnych bodov a ich nájdenie je jedným z dôležitých prvkov pri konštrukcii grafu funkcie. Stacionárne body funkcie môžete nájsť, ak máte určitý súbor matematických znalostí.
Budete potrebovať
- - funkcia, ktorú je potrebné preskúmať na prítomnosť stacionárnych bodov;
- - definícia stacionárnych bodov: stacionárne body funkcie sú body (hodnoty argumentov), v ktorých zaniká derivácia funkcie prvého poriadku.
Pokyny
- Pomocou tabuľky derivácií a vzorcov pre derivačné funkcie je potrebné nájsť deriváciu funkcie. Tento krok je počas úlohy najťažší a najzodpovednejší. Ak sa v tejto fáze pomýlite, ďalšie výpočty nebudú mať zmysel.
- Skontrolujte, či derivácia funkcie závisí od jej argumentu. Ak nájdená derivácia nezávisí od argumentu, to znamená, že ide o číslo (napríklad f"(x) = 5), potom funkcia v tomto prípade nemá stacionárne body. Takéto riešenie je možné iba vtedy, ak skúmaná funkcia je lineárna funkcia prvého rádu (napríklad f(x) = 5x+1). Ak derivácia funkcie závisí od argumentu, prejdite na posledný krok.
- Zostavte rovnicu f"(x) = 0 a vyriešte ju. Rovnica nemusí mať žiadne riešenia - v tomto prípade funkcia nemá stacionárne body. Ak má rovnica riešenia, potom budú tieto konkrétne hodnoty argumentu stacionárne body funkcie V tomto bode by sa riešenie rovnice malo skontrolovať substitúciou argumentov.
Kritické body– to sú body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje. Ak sa derivácia rovná 0, funkcia v tomto bode trvá miestne minimum alebo maximum. Na grafe v takýchto bodoch má funkcia horizontálnu asymptotu, to znamená, že dotyčnica je rovnobežná s osou Ox.
Takéto body sa nazývajú stacionárne. Ak na grafe spojitej funkcie vidíte „hrb“ alebo „dieru“, nezabudnite, že maximum alebo minimum sa dosiahne v kritickom bode. Zoberme si nasledujúcu úlohu ako príklad.
Príklad 1 Nájdite kritické body funkcie y=2x^3-3x^2+5.
Riešenie. Algoritmus na nájdenie kritických bodov je nasledujúci:
Funkcia má teda dva kritické body.
Ďalej, ak potrebujete študovať funkciu, určíme znamienko derivácie vľavo a vpravo od kritického bodu. Ak derivácia pri prechode cez kritický bod zmení znamienko z „-“ na „+“, potom funkcia prevezme miestne minimum. Ak by malo byť od „+“ po „-“. miestne maximum.
Druhý typ kritických bodov to sú nuly menovateľa zlomkových a iracionálnych funkcií
Logaritmické a goniometrické funkcie, ktoré v týchto bodoch nie sú definované
Tretí typ kritických bodov majú po častiach spojité funkcie a moduly.
Napríklad každá modulová funkcia má minimum alebo maximum v bode zlomu.
Napríklad modul y = | x -5 |
v bode x = 5 má minimum (kritický bod).
Derivácia v ňom neexistuje, ale vpravo a vľavo má hodnotu 1 a -1.
1)
2)
3)
4)
5)
Pokúste sa určiť kritické body funkcií
Ak je odpoveď y, dostanete hodnotu
1) x = 4;
2) x = -1; x = 1;
3) x = 9;
4) x = Pi*k;
5) x = 1. potom už vieš ako nájsť kritické body