Riešenie exponenciálnych mocninových rovníc, algoritmov a príkladov. Exponenciálne rovnice
Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Mocninné alebo exponenciálne rovnice sú rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách a základom je číslo. Napríklad:
Riešenie exponenciálnej rovnice pozostáva z 2 pomerne jednoduchých krokov:
1. Musíte skontrolovať, či sú základy rovnice vpravo a vľavo rovnaké. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sa základy stanú rovnakými, zrovnáme stupne a vyriešime výslednú novú rovnicu.
Predpokladajme, že dostaneme exponenciálnu rovnicu nasledujúceho tvaru:
Riešenie tejto rovnice stojí za to začať analýzou základu. Základy sú rôzne - 2 a 4, ale na vyriešenie potrebujeme, aby boli rovnaké, preto transformujeme 4 pomocou nasledujúceho vzorca -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
K pôvodnej rovnici pridáme:
Vyberme to zo zátvoriek \
Vyjadrime \
Keďže stupne sú rovnaké, zahodíme ich:
Odpoveď: \
Kde môžem vyriešiť exponenciálnu rovnicu pomocou online riešiteľa?
Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https://site. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnice akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Všetko, čo musíte urobiť, je jednoducho zadať svoje údaje do riešiteľa. Na našej stránke si môžete pozrieť aj video návod a naučiť sa riešiť rovnicu. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa k našej skupine, vždy vám radi pomôžeme.
Prejdite na youtube kanál našej webovej stránky, aby ste mali prehľad o všetkých nových video lekciách.
Najprv si pripomeňme základné vzorce mocnin a ich vlastnosti.
Súčin čísla a vyskytuje sa na sebe n-krát, môžeme tento výraz zapísať ako a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Mocninné alebo exponenciálne rovnice– sú to rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách (alebo exponentoch) a základom je číslo.
Príklady exponenciálnych rovníc:
V tomto príklade je číslo 6 základ, je vždy na spodku a premenná X stupňa alebo ukazovateľa.
Uveďme viac príkladov exponenciálnych rovníc.
2 x * 5 = 10
16 x - 4 x - 6 = 0
Teraz sa pozrime, ako sa riešia exponenciálne rovnice?
Zoberme si jednoduchú rovnicu:
2 x = 2 3
Tento príklad sa dá vyriešiť aj v hlave. Je možné vidieť, že x=3. Koniec koncov, aby boli ľavá a pravá strana rovnaké, musíte namiesto x zadať číslo 3.
Teraz sa pozrime, ako formalizovať toto rozhodnutie:
2 x = 2 3
x = 3
Aby sme takúto rovnicu vyriešili, odstránili sme rovnaké dôvody(teda dvojky) a zapísal čo ostalo, to sú stupne. Dostali sme odpoveď, ktorú sme hľadali.
Teraz si zhrňme naše rozhodnutie.
Algoritmus na riešenie exponenciálnej rovnice:
1. Treba skontrolovať rovnakýči má rovnica základy vpravo a vľavo. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sa základy stanú rovnakými, rovnať stupňa a vyriešiť výslednú novú rovnicu.
Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov:
Začnime niečím jednoduchým.
Základy na ľavej a pravej strane sa rovnajú číslu 2, čo znamená, že základňu môžeme zahodiť a prirovnať ich sily.
x+2=4 Získame najjednoduchšiu rovnicu.
x = 4 – 2
x=2
Odpoveď: x=2
V nasledujúcom príklade môžete vidieť, že základy sú rôzne: 3 a 9.
3 3x - 9x+8 = 0
Najprv presuňte deviatku na pravú stranu a získame:
Teraz musíte urobiť rovnaké základy. Vieme, že 9=3 2. Použime mocninový vzorec (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Dostaneme 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Teraz je jasné, že na ľavej a pravej strane sú základy rovnaké a rovnajú sa trom, čo znamená, že ich môžeme zahodiť a priradiť stupne.
3x=2x+16 dostaneme najjednoduchšiu rovnicu
3x - 2x=16
x=16
Odpoveď: x=16.
Pozrime sa na nasledujúci príklad:
2 2x+4 - 104 x = 2 4
Najprv sa pozrieme na základy, základy dva a štyri. A potrebujeme, aby boli rovnaké. Štvoricu transformujeme pomocou vzorca (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
A tiež používame jeden vzorec a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Pridajte do rovnice:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Ale trápia nás ďalšie čísla 10 a 24, čo s nimi? Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť, že na ľavej strane sa opakuje 2 2x, tu je odpoveď - môžeme dať 2 2x zo zátvoriek:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Vypočítajme výraz v zátvorkách:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Celú rovnicu vydelíme 6:
Predstavme si 4=2 2:
2 2x = 2 2 základy sú rovnaké, zahodíme ich a zrovnáme stupne.
2x = 2 je najjednoduchšia rovnica. Vydelíme 2 a dostaneme
x = 1
Odpoveď: x = 1.
Poďme vyriešiť rovnicu:
9 x – 12 x 3 x +27 = 0
Poďme previesť:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Dostaneme rovnicu:
3 2x - 12 3x +27 = 0
Naše základy sú rovnaké, rovné trom V tomto príklade môžete vidieť, že prvé tri majú stupeň dvakrát (2x) ako druhé (len x). V tomto prípade môžete vyriešiť náhradná metóda. Číslo nahradíme najmenším stupňom:
Potom 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Všetky x mocniny v rovnici nahradíme t:
t2 - 12t+27 = 0
Dostaneme kvadratickú rovnicu. Riešením cez diskriminant dostaneme:
D = 144-108 = 36
ti = 9
t2 = 3
Návrat k premennej X.
Vezmite t 1:
ti = 9 = 3 x
teda
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého z t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpoveď: x 1 = 2; x 2 = 1.
Na stránke sa môžete v sekcii POMOC ROZHODNÚŤ opýtať na akékoľvek otázky, určite vám odpovieme.
Pridajte sa do skupiny
Čo je to exponenciálna rovnica? Príklady.
Takže, exponenciálna rovnica... Nový unikátny exponát v našej všeobecnej výstave širokej škály rovníc!) Ako takmer vždy, kľúčovým slovom každého nového matematického pojmu je zodpovedajúce prídavné meno, ktoré ho charakterizuje. Tak je to tu. Kľúčovým slovom v pojme „exponenciálna rovnica“ je slovo "indikatívny". Čo to znamená? Toto slovo znamená, že neznáme (x) sa nachádza z hľadiska akýchkoľvek stupňov. A len tam! Toto je mimoriadne dôležité.
Napríklad tieto jednoduché rovnice:
3 x +1 = 81
5 x + 5 x +2 = 130
4 2 2 x -17 2 x +4 = 0
Alebo dokonca tieto príšery:
2 hriech x = 0,5
Okamžite venujte pozornosť jednej dôležitej veci: dôvodov stupne (dole) – iba čísla. Ale v ukazovatele stupne (vyššie) - široká škála výrazov s X. Absolútne akékoľvek.) Všetko závisí od konkrétnej rovnice. Ak sa zrazu x objaví v rovnici niekde inde, okrem indikátora (povedzme 3 x = 18 + x 2), takáto rovnica už bude rovnicou zmiešaný typ. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá na ich riešenie. Preto ich v tejto lekcii nebudeme brať do úvahy. Na potešenie študentov.) Tu budeme brať do úvahy iba exponenciálne rovnice v ich „čistej“ forme.
Všeobecne povedané, nie všetky a nie vždy ani čisté exponenciálne rovnice sa dajú jednoznačne vyriešiť. Ale medzi všetkou bohatou škálou exponenciálnych rovníc existujú určité typy, ktoré sa dajú a mali by vyriešiť. Práve tieto typy rovníc budeme uvažovať. A príklady určite vyriešime.) Takže poďme do pohody a ideme! Rovnako ako v počítačových strieľačkách bude naša cesta prebiehať cez úrovne.) Od základných po jednoduché, od jednoduchých po stredne pokročilé a od stredne po zložité. Po ceste vás bude čakať aj tajná úroveň - techniky a metódy riešenia neštandardných príkladov. Tie, o ktorých sa vo väčšine školských učebníc nedočítate... No a na záver vás samozrejme čaká záverečný šéf v podobe domácich úloh.)
Úroveň 0. Aká je najjednoduchšia exponenciálna rovnica? Riešenie jednoduchých exponenciálnych rovníc.
Najprv sa pozrime na niektoré úprimné základné veci. Niekde začať treba, však? Napríklad táto rovnica:
2 x = 2 2
Aj bez akýchkoľvek teórií je jednoduchou logikou a zdravým rozumom jasné, že x = 2. Iná cesta neexistuje, však? Žiadny iný význam X nie je vhodný... A teraz obráťme našu pozornosť na záznam o rozhodnutí táto skvelá exponenciálna rovnica:
2 x = 2 2
X = 2
čo sa nám stalo? A stalo sa nasledovné. Vlastne sme to zobrali a... jednoducho vyhodili tie isté základne (dvojky)! Úplne vyhodené. A dobrá správa je, že sme trafili do očí!
Áno, skutočne, ak v exponenciálnej rovnici existuje ľavá a pravá strana rovnakýčísla v ľubovoľných mocninách, potom tieto čísla možno zahodiť a jednoducho prirovnať exponenty. Matematika umožňuje.) A potom môžete pracovať samostatne s ukazovateľmi a riešiť oveľa jednoduchšiu rovnicu. Skvelé, však?
Tu je kľúčový nápad na riešenie akejkoľvek (áno, presne akejkoľvek!) exponenciálnej rovnice: pomocou identických transformácií je potrebné zabezpečiť, aby ľavá a pravá strana rovnice boli rovnaký základné čísla v rôznych mocninách. A potom môžete bezpečne odstrániť rovnaké základy a prirovnať exponenty. A pracujte s jednoduchšou rovnicou.
Teraz si spomeňme na železné pravidlo: je možné odstrániť rovnaké základy vtedy a len vtedy, ak čísla naľavo a napravo od rovnice majú základné čísla v hrdej osamelosti.
Čo to znamená v nádhernej izolácii? To znamená bez akýchkoľvek susedov a koeficientov. Nechaj ma vysvetliť.
Napríklad v rov.
3 3 x-5 = 3 2 x +1
Trojky sa nedajú odstrániť! prečo? Pretože naľavo nemáme len osamelú trojku na stupeň, ale práca 3,3 x-5. Ďalšie tri zasahujú: koeficient, rozumiete.)
To isté možno povedať o rovnici
5 3 x = 5 2 x +5 x
Aj tu sú všetky základy rovnaké – päť. Ale napravo nemáme ani jednu mocninu piatich: je tu súčet síl!
Stručne povedané, máme právo odstrániť rovnaké základy iba vtedy, keď naša exponenciálna rovnica vyzerá takto a iba takto:
af (X) = a g (X)
Tento typ exponenciálnej rovnice sa nazýva najjednoduchšie. Alebo vedecky, kanonický . A bez ohľadu na to, akú spletitú rovnicu máme pred sebou, tak či onak ju zredukujeme presne na túto najjednoduchšiu (kánonickú) formu. Alebo v niektorých prípadoch na totality rovnice tohto typu. Potom môže byť naša najjednoduchšia rovnica prepísaná vo všeobecnom tvare takto:
F(x) = g(x)
To je všetko. To by bola ekvivalentná konverzia. V tomto prípade môžu byť f(x) a g(x) absolútne ľubovoľné výrazy s x. Hocičo.
Možno sa obzvlášť zvedavý študent čuduje: prečo, preboha, tak ľahko a jednoducho zahodíme rovnaké základy vľavo a vpravo a dávame rovnítko medzi exponenty? Intuícia je intuícia, ale čo ak sa v nejakej rovnici a z nejakého dôvodu tento prístup ukáže ako nesprávny? Je vždy legálne zahodiť rovnaké dôvody?Žiaľ, pre rigoróznu matematickú odpoveď na túto zaujímavú otázku sa musíte pomerne hlboko a vážne ponoriť do všeobecnej teórie štruktúry a správania funkcií. A trochu konkrétnejšie – vo fenoméne prísna monotónnosť. Najmä prísna monotónnosť exponenciálna funkciar= a x. Keďže práve exponenciálna funkcia a jej vlastnosti sú základom riešenia exponenciálnych rovníc, áno.) Podrobná odpoveď na túto otázku bude uvedená v samostatnej špeciálnej lekcii venovanej riešeniu zložitých neštandardných rovníc pomocou monotónnosti rôznych funkcií.)
Ak by sme teraz podrobne vysvetlili tento bod, priemernému študentovi by to len otriaslo hlavou a vopred ho odstrašilo suchou a ťažkou teóriou. Toto neurobím.) Pretože náš hlavný tento momentúloha - Naučte sa riešiť exponenciálne rovnice! Tie najjednoduchšie! Preto sa ešte nebojme a smelo zahoďme tie isté dôvody. Toto Môcť, vezmite ma za slovo!) A potom vyriešime ekvivalentnú rovnicu f(x) = g(x). Spravidla jednoduchšie ako pôvodná exponenciála.
Predpokladá sa, samozrejme, že ľudia už vedia riešiť aspoň , a rovnice, bez x v exponentoch.) Pre tých, ktorí ešte nevedia ako, pokojne zatvorte túto stránku, sledujte príslušné odkazy a vyplňte staré medzery. Inak to budeš mať ťažké, áno...
Nehovorím o iracionálnych, trigonometrických a iných brutálnych rovniciach, ktoré môžu tiež vzniknúť v procese likvidácie základov. Ale nezľaknite sa, zatiaľ nebudeme uvažovať o úplnej krutosti z hľadiska stupňov: je príliš skoro. Budeme trénovať iba na najjednoduchších rovniciach.)
Teraz sa pozrime na rovnice, ktoré si vyžadujú ďalšie úsilie na ich redukciu na najjednoduchšie. Pre rozlíšenie ich nazvime jednoduché exponenciálne rovnice. Takže, poďme na ďalšiu úroveň!
Úroveň 1. Jednoduché exponenciálne rovnice. Spoznávajme stupne! Prírodné ukazovatele.
Kľúčové pravidlá pri riešení akýchkoľvek exponenciálnych rovníc sú pravidlá zaobchádzania s titulmi. Bez týchto vedomostí a zručností nebude nič fungovať. žiaľ. Takže, ak sú problémy s titulmi, potom ste vítaní. Okrem toho budeme potrebovať aj . Tieto transformácie (dve z nich!) sú základom pre riešenie všetkých matematických rovníc vo všeobecnosti. A nielen tie demonštratívne. Takže, kto zabudol, pozrite si aj odkaz: Nedávam ich tam len tak.
Samotné operácie so schopnosťami a transformáciou identity však nestačia. Vyžaduje sa aj osobný postreh a vynaliezavosť. Potrebujeme rovnaké dôvody, však? Preto skúmame príklad a hľadáme ich v explicitnej alebo skrytej forme!
Napríklad táto rovnica:
3 2 x – 27 x +2 = 0
Prvý pohľad na dôvodov. Sú iní! Tri a dvadsať sedem. Ale na paniku a zúfalstvo je priskoro. Je načase si to pripomenúť
27 = 3 3
Čísla 3 a 27 sú príbuzní podľa stupňa! A blízkych.) Preto máme plné právo napísať:
27 x +2 = (3 3) x + 2
Teraz spojme naše poznatky o akcie s titulmi(a varoval som ťa!). Existuje veľmi užitočný vzorec:
(a m) n = a mn
Ak to teraz uvediete do činnosti, funguje to skvele:
27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)
Pôvodný príklad teraz vyzerá takto:
3 2 x – 3 3 (x +2) = 0
Skvelé, základy stupňov sa vyrovnali. To sme chceli. Polovica bitky je hotová.) Teraz spustíme základnú transformáciu identity - posuňte sa o 3 3 (x +2) doprava. Nikto nezrušil základné operácie matematiky, áno.) Dostávame:
3 2 x = 3 3 (x +2)
Čo nám dáva tento typ rovnice? A skutočnosť, že teraz je naša rovnica znížená do kánonickej podoby: vľavo a vpravo sú v mocninách rovnaké čísla (trojky). Navyše sú obe tri v nádhernej izolácii. Neváhajte odstrániť trojky a získajte:
2x = 3(x+2)
Vyriešime to a dostaneme:
X = -6
To je všetko. Toto je správna odpoveď.)
Teraz sa zamyslime nad riešením. Čo nás v tomto príklade zachránilo? Poznanie síl troch nás zachránilo. ako presne? my identifikovanéčíslo 27 obsahuje zašifrovanú trojku! Tento trik (kódovanie rovnakého základu pod rôznymi číslami) je jedným z najpopulárnejších v exponenciálnych rovniciach! Pokiaľ nie je najobľúbenejší. Áno, a mimochodom rovnakým spôsobom. Preto je pozorovanie a schopnosť rozpoznať mocniny iných čísel v číslach také dôležité v exponenciálnych rovniciach!
Praktické rady:
Musíte poznať silu populárnych čísel. V tvári!
Samozrejme, každý môže zvýšiť dve na siedmu mocninu alebo tri na piatu mocninu. Nie v mojej mysli, ale aspoň v koncepte. Ale v exponenciálnych rovniciach oveľa častejšie nie je potrebné zvyšovať na mocninu, ale skôr zistiť, aké číslo a na akú mocninu sa skrýva za číslom, povedzme 128 alebo 243. A to je zložitejšie ako jednoduché zvýšenie, budete súhlasiť. Cítite ten rozdiel, ako sa hovorí!
Keďže schopnosť rozpoznať tituly osobne bude užitočná nielen na tejto úrovni, ale aj na ďalších, je tu pre vás malá úloha:
Určte, aké mocniny a aké čísla sú čísla:
4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.
Odpovede (samozrejme náhodne):
27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .
Áno áno! Nečudujte sa, že odpovedí je viac ako úloh. Napríklad 2 8, 4 4 a 16 2 sú všetky 256.
Úroveň 2. Jednoduché exponenciálne rovnice. Poznáme stupne! Záporné a zlomkové ukazovatele.
Na tejto úrovni už naplno využívame naše znalosti titulov. Konkrétne do tohto fascinujúceho procesu zapájame negatívne a zlomkové ukazovatele! Áno áno! Musíme zvýšiť našu silu, však?
Napríklad táto hrozná rovnica:
Opäť platí, že prvý pohľad smeruje k základom. Dôvody sú rôzne! A tentoraz sa na seba ani zďaleka nepodobajú! 5 a 0,04... A na elimináciu báz sú potrebné tie isté... Čo robiť?
Je to v poriadku! V skutočnosti je všetko rovnaké, len spojenie medzi piatimi a 0,04 je vizuálne zle viditeľné. Ako sa dostaneme von? Prejdime na číslo 0,04 ako obyčajný zlomok! A potom, uvidíte, všetko bude fungovať.)
0,04 = 4/100 = 1/25
Wow! Ukázalo sa, že 0,04 je 1/25! No, kto by si bol pomyslel!)
Tak ako? Je teraz jednoduchšie vidieť súvislosť medzi číslami 5 a 1/25? to je všetko...
A teraz podľa pravidiel akcií so stupňami s negatívny ukazovateľ Pevnou rukou môžete písať:
To je skvelé. Tak sme sa dostali na rovnakú základňu – päťku. Teraz nahradíme nepohodlné číslo 0,04 v rovnici 5 -2 a dostaneme:
Opäť, podľa pravidiel operácií so stupňami, môžeme teraz písať:
(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)
Pre každý prípad pripomínam (pre prípad, že by niekto nevedel), že základné pravidlá pre nakladanie s titulmi platia pre akýkoľvek ukazovatele! Vrátane negatívnych.) Takže si kľudne vezmite a vynásobte ukazovatele (-2) a (x-1) podľa príslušného pravidla. Naša rovnica je stále lepšia a lepšia:
Všetky! Okrem osamelých pätiek nie je v mocnostiach naľavo a napravo nič iné. Rovnica je zredukovaná na kanonickú formu. A potom - po vrúbkovanej dráhe. Odstránime päťky a prirovnáme ukazovatele:
X 2 –6 X+5=-2(X-1)
Príklad je takmer vyriešený. Zostáva už len matematika základnej školy – otvorte (správne!) zátvorky a pozbierajte všetko naľavo:
X 2 –6 X+5 = -2 X+2
X 2 –4 X+3 = 0
Vyriešime to a dostaneme dva korene:
X 1 = 1; X 2 = 3
To je všetko.)
Teraz sa zamyslime znova. V tomto príklade sme opäť museli rozpoznať rovnaké číslo v rôznych stupňoch! Totiž vidieť zašifrovanú päťku v čísle 0,04. A tentoraz - in negatívny stupeň! Ako sme to urobili? Hneď na začiatku - v žiadnom prípade. Ale po prechode z desatinného zlomku 0,04 na bežný zlomok 1/25 sa všetko vyjasnilo! A potom celé rozhodnutie išlo ako po masle.)
Preto ďalšia zelená praktická rada.
Ak exponenciálna rovnica obsahuje desatinné zlomky, potom prejdeme od desatinných zlomkov k obyčajným zlomkom. Je oveľa jednoduchšie rozpoznať mocniny mnohých populárnych čísel v zlomkoch! Po rozpoznaní prejdeme od zlomkov k mocninám so zápornými exponentmi.
Majte na pamäti, že tento trik sa vyskytuje veľmi, veľmi často v exponenciálnych rovniciach! Ale osoba nie je v téme. Pozrie sa napríklad na čísla 32 a 0,125 a rozčúli sa. Bez toho, aby o tom vedel, ide o jednu a tú istú dvojku, len v rôznych stupňoch... Ale vy už to viete!)
Vyriešte rovnicu:
In! Vyzerá to ako tichý horor... Zdanie však klame. Toto je najjednoduchšia exponenciálna rovnica, napriek jej zastrašujúcemu vzhľadu. A teraz vám to ukážem.)
Najprv sa pozrime na všetky čísla v základoch a koeficientoch. Sú, samozrejme, iní, áno. Ale aj tak budeme riskovať a pokúsime sa ich vyrobiť identické! Skúsme sa dostať rovnaký počet v rôznych mocnostiach. Navyše, pokiaľ možno, čísla sú čo najmenšie. Takže začnime dekódovať!
So štyrmi je všetko hneď jasné - je to 22. Tak to už je niečo.)
So zlomkom 0,25 - je to stále nejasné. Treba skontrolovať. Využime praktickú radu – prejdite z desatinného zlomku na obyčajný zlomok:
0,25 = 25/100 = 1/4
Už oveľa lepšie. Pretože teraz je jasne vidieť, že 1/4 je 2 -2. Skvelé a číslo 0,25 je tiež podobné dvom.)
Zatiaľ je všetko dobré. Ale najhoršie číslo zo všetkých zostáva - druhá odmocnina z dvoch!Čo robiť s touto paprikou? Dá sa to vyjadriť aj ako mocnina dvoch? A ktovie...
Nuž, poďme sa opäť ponoriť do našej pokladnice vedomostí o tituloch! Tentoraz navyše prepájame naše poznatky o koreňoch. Z kurzu 9. ročníka sme sa vy a ja mali naučiť, že každý koreň, ak je to žiaduce, sa dá vždy zmeniť na titul s zlomkovým ukazovateľom.
Páči sa ti to:
V našom prípade:
Wow! Ukazuje sa, že druhá odmocnina z dvoch je 2 1/2. To je všetko!
To je v poriadku! Všetky naše nepohodlné čísla sa v skutočnosti ukázali ako zašifrovaná dvojka.) Nehádam sa, niekde veľmi sofistikovane zašifrované. Ale zvyšujeme aj našu profesionalitu pri riešení takýchto šifier! A potom je už všetko zrejmé. V našej rovnici nahradíme čísla 4, 0,25 a odmocninu dvoch mocninou dvoch:
Všetky! Základy všetkých stupňov v príklade sa stali rovnakými - dvoma. A teraz sa používajú štandardné akcie so stupňami:
a ma n = a m + n
a m:a n = a m-n
(a m) n = a mn
Pre ľavú stranu dostanete:
2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)
Pre pravú stranu to bude:
A teraz naša zlá rovnica vyzerá takto:
Pre tých, ktorí presne neprišli na to, ako táto rovnica vznikla, potom otázka nie je o exponenciálnych rovniciach. Otázka sa týka akcií s titulmi. Požiadal som vás, aby ste to naliehavo zopakovali tým, ktorí majú problémy!
Tu je cieľová čiara! Kanonický tvar exponenciálnej rovnice bol získaný! Tak ako? Presvedčil som vás, že všetko nie je také strašidelné? ;) Odstránime dvojky a prirovnáme ukazovatele:
Zostáva len vyriešiť túto lineárnu rovnicu. Ako? S pomocou identických transformácií, samozrejme.) Rozhodnite, čo sa deje! Vynásobte obe strany dvoma (aby ste odstránili zlomok 3/2), posuňte členy s X doľava, bez X doprava, prineste podobné, počítajte - a budete šťastní!
Všetko by malo dopadnúť krásne:
X = 4
Teraz sa znova zamyslime nad riešením. V tomto príklade nám pomohol prechod z odmocnina Komu stupňa s exponentom 1/2. Navyše len takáto prefíkaná premena nám pomohla dosiahnuť všade rovnakú základňu (dve), čo zachránilo situáciu! A ak nie, potom by sme mali šancu navždy zamrznúť a nikdy sa s týmto príkladom vyrovnať, áno...
Preto nezanedbávame nasledujúce praktické rady:
Ak exponenciálna rovnica obsahuje odmocniny, potom prejdeme od odmocnin k mocninám so zlomkovými exponentmi. Veľmi často len takáto premena objasní ďalšiu situáciu.
Samozrejme, negatívne a zlomkové sily sú už oveľa zložitejšie ako prirodzené sily. Aspoň z pohľadu zrakového vnímania a najmä rozpoznávania sprava doľava!
Je jasné, že priamo zvýšiť napríklad dvojku na -3 alebo štvorku na -3/2 nie je až taký problém. Pre znalých.)
Ale choďte napríklad, okamžite si to uvedomte
0,125 = 2 -3
Alebo
Tu vládne len prax a bohaté skúsenosti, áno. A, samozrejme, jasná myšlienka, Čo je negatívny a zlomkový stupeň? A tiež praktické rady! Áno, áno, tie isté zelená.) Dúfam, že vám aj tak pomôžu lepšie sa orientovať v celej rozmanitej škále stupňov a výrazne zvýšia vaše šance na úspech! Nezanedbávajme ich teda. Nie nadarmo občas píšem zelenou farbou.)
Ale ak sa poznáte aj s takými exotickými mocnosťami, akými sú záporné a zlomkové, potom sa vaše schopnosti v riešení exponenciálnych rovníc nesmierne rozšíria a zvládnete takmer akýkoľvek typ exponenciálnych rovníc. No, ak nie žiadne, tak 80 percent všetkých exponenciálnych rovníc – určite! Áno, áno, nežartujem!
Takže naša prvá časť nášho úvodu do exponenciálnych rovníc dospela k svojmu logickému záveru. A ako stredný tréning tradične navrhujem trochu sebareflexie.)
Cvičenie 1.
Aby moje slová o dešifrovaní negatívnych a zlomkových síl nevyšli nazmar, navrhujem zahrať si malú hru!
Vyjadrite čísla ako mocniny dvoch:
Odpovede (v neporiadku):
Stalo? Skvelé! Potom urobíme bojovú misiu - vyriešte najjednoduchšie a najjednoduchšie exponenciálne rovnice!
Úloha 2.
Vyriešte rovnice (všetky odpovede sú neporiadok!):
5 2x-8 = 25
2 5x-4 – 16x+3 = 0
Odpovede:
x = 16
X 1 = -1; X 2 = 2
X = 5
Stalo? V skutočnosti je to oveľa jednoduchšie!
Potom vyriešime nasledujúcu hru:
(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4
35 1-x = 0,2 - x ·7 x
Odpovede:
X 1 = -2; X 2 = 2
X = 0,5
X 1 = 3; X 2 = 5
A zostali tieto príklady? Skvelé! Rastiete! Potom tu je niekoľko ďalších príkladov, ktoré môžete ochutnať:
Odpovede:
X = 6
X = 13/31
X = -0,75
X 1 = 1; X 2 = 8/3
A toto je rozhodnuté? No rešpekt! Dávam klobúk dolu.) To znamená, že lekcia nebola márna a počiatočnú úroveň riešenia exponenciálnych rovníc možno považovať za úspešne zvládnutú. Pred nami sú ďalšie úrovne a zložitejšie rovnice! A nové techniky a prístupy. A neštandardné príklady. A nové prekvapenia.) To všetko je v ďalšej lekcii!
Stalo sa niečo? To znamená, že s najväčšou pravdepodobnosťou sú problémy v . Alebo v . Alebo oboje naraz. Som tu bezmocný. Opäť môžem navrhnúť len jednu vec – nebuďte leniví a sledujte odkazy.)
Pokračovanie nabudúce.)
Príklady:
\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)
Ako riešiť exponenciálne rovnice
Pri riešení akejkoľvek exponenciálnej rovnice sa ju snažíme dostať do tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\) a potom prejsť na rovnosť exponentov, teda:
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
Napríklad:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Dôležité! Z rovnakej logiky vyplývajú dve požiadavky na takýto prechod:
- číslo v ľavá a pravá strana by mali byť rovnaké;
- stupne vľavo a vpravo musia byť „čisté“, to znamená, že by nemalo dochádzať k násobeniu, deleniu atď.
Napríklad:
Na zmenšenie rovnice do tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\) a sa používajú.
Príklad
. Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Riešenie:
\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Vieme, že \(27 = 3^3\). Berúc toto do úvahy, transformujeme rovnicu. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Vlastnosťou koreňa \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dostaneme, že \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Ďalej pomocou vlastnosti stupňa \((a^b)^c=a^(bc)\ získame \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Vieme tiež, že \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Aplikovaním tohto na ľavú stranu dostaneme: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Teraz si zapamätajte, že: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Tento vzorec možno použiť aj v opačnom smere: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Potom \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\) |
Aplikovaním vlastnosti \((a^b)^c=a^(bc)\) na pravú stranu dostaneme: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) = 3^(-2x)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\) |
A teraz sú naše základy rovnaké a neexistujú žiadne rušivé koeficienty atď. Takže môžeme urobiť prechod. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Príklad
. Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Odpoveď : \(-1; 1\). Otázkou zostáva - ako pochopiť, kedy použiť ktorú metódu? Toto prichádza so skúsenosťami. Kým ho nevyviniete, na riešenie zložitých problémov používajte všeobecné odporúčanie – „ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš“. To znamená, hľadajte, ako môžete v princípe transformovať rovnicu, a skúste to urobiť - čo ak sa stane, čo? Hlavná vec je robiť iba matematicky založené transformácie. Exponenciálne rovnice bez riešeníPozrime sa na ďalšie dve situácie, ktoré študentov často mätú: Skúsme to vyriešiť hrubou silou. Ak je x kladné číslo, potom ako x rastie, celá mocnina \(2^x\) sa bude len zvyšovať: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) Tiež podľa. Zostávajú záporné X. Zapamätajúc si vlastnosť \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) skontrolujeme: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) Napriek tomu, že sa číslo každým krokom zmenšuje, nikdy nedosiahne nulu. Negatívny stupeň nás teda nezachránil. Dostávame sa k logickému záveru: Kladné číslo v akomkoľvek stupni zostane kladným číslom.Obidve vyššie uvedené rovnice teda nemajú riešenia. Exponenciálne rovnice s rôznymi bázamiV praxi sa niekedy stretávame s exponenciálnymi rovnicami s rôznymi bázami, ktoré nie sú navzájom redukovateľné, a zároveň s rovnakými exponentmi. Vyzerajú takto: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kde \(a\) a \(b\) sú kladné čísla. Napríklad: \(7^(x)=11^(x)\) Takéto rovnice sa dajú ľahko vyriešiť delením ktoroukoľvek stranou rovnice (zvyčajne delenou pravou stranou, teda \(b^(f(x))\). Takto môžete deliť, pretože kladné číslo je kladný voči akejkoľvek mocnine (to znamená, že nedelíme nulou). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Príklad
. Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Odpoveď : \(-7\). Niekedy nie je „rovnakosť“ exponentov zrejmá, ale zručné využitie vlastností exponentov tento problém rieši. Príklad
. Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Odpoveď : \(2\). |
Toto je názov pre rovnice tvaru, kde neznáma je v exponente aj v základe mocniny.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image018.png)
Môžete zadať úplne jasný algoritmus na riešenie rovnice formulára. Aby ste to urobili, musíte venovať pozornosť skutočnosti, že kedy oh) nerovná sa nule, jedna a mínus jedna, rovnosť stupňov s rovnakými základmi (či už kladnými alebo zápornými) je možná iba vtedy, ak sú exponenty rovnaké, to znamená, že všetky korene rovnice budú koreňmi rovnice f(x) = g(x) Opačné tvrdenie nie je pravdivé, kedy oh)< 0 a zlomkové hodnoty f(x) A g(x) výrazov oh) f(x) A
oh) g(x) strácajú zmysel. Teda pri prechode z do f(x) = g(x)(môžu sa objaviť pre a cudzie korene, ktoré treba vylúčiť kontrolou oproti pôvodnej rovnici. A prípady a = 0, a = 1, a = -1 je potrebné posudzovať samostatne.
Aby sme rovnicu úplne vyriešili, zvážime prípady:
a(x) = O f(x) A g(x) budú kladné čísla, potom je toto riešenie. Inak nie
a(x) = 1. Korene tejto rovnice sú zároveň koreňmi pôvodnej rovnice.
a(x) = -1. Ak pre hodnotu x, ktorá spĺňa túto rovnicu, f(x) A g(x) sú celé čísla rovnakej parity (buď obe párne alebo obidve nepárne), potom je toto riešenie. Inak nie
Kedy a riešime rovnicu f(x)= g(x) a dosadením získaných výsledkov do pôvodnej rovnice sme odrezali cudzie korene.
Príklady riešenia exponenciálno-mocninových rovníc.
Príklad č.1.
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image019.png)
1) x - 3 = 0, x = 3. pretože 3 > 0 a 3 2 > 0, potom x 1 = 3 je riešením.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Oba ukazovatele sú párne. Toto riešenie je x 3 = 1.
4) x - 3? 0 a x? ± 1. x = x 2, x = 0 alebo x = 1. Pre x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - toto riešenie je správne: x 4 = 0. Pre x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - toto riešenie je správne x 5 = 1.
Odpoveď: 0, 1, 2, 3, 4.
Príklad č.2.
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image020.png)
Podľa definície aritmetickej druhej odmocniny: x - 1? 0, x? 1.
1) x - 1 = 0 alebo x = 1, = 0, 0 0 nie je riešenie.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 sa nezmestí do ODZ.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image022.png)
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image023.png)
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image024.png)
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image025.png)
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - bez koreňov.
- Čaj Taiga: zloženie, indikácie a podmienky skladovania pre kolekciu čaju Taiga
- Aké mäso je pre človeka najzdravšie?
- Znamenia zvestovania Panny Márie, ako aj rituály a zákazy Zvestovacie zvyky a znamenia, čo môžete robiť
- Hubárčenie: všeobecné pravidlá a rady pre začínajúcich hubárov Snívajte o zbieraní húb v lese