Faktorizácia mocenských rozdielov. Ako faktorizovať algebraickú rovnicu
Faktorizácia polynómu. Časť 2
V tomto článku budeme pokračovať v rozhovore o tom, ako faktor polynóm. To sme už povedali faktorizácia je univerzálna technika, ktorá pomáha riešiť zložité rovnice a nerovnice. Prvá myšlienka, ktorá by vám mala prísť na myseľ pri riešení rovníc a nerovníc, v ktorých je na pravej strane nula, je pokúsiť sa vynásobiť ľavú stranu.
Vymenujme hlavné spôsoby faktorizácie polynómu:
- uvedenie spoločného činiteľa zo zátvoriek
- pomocou skrátených vzorcov na násobenie
- pomocou vzorca na rozklad kvadratického trinomu
- metóda zoskupovania
- delenie polynómu binómom
- metóda neurčených koeficientov.
Už sme sa na to podrobne pozreli. V tomto článku sa zameriame na štvrtú metódu, metóda zoskupovania.
Ak počet členov v polynóme presiahne tri, potom sa pokúsime použiť metóda zoskupovania. Je to nasledovné:
1.Pojmy zoskupujeme určitým spôsobom, aby sa potom každá skupina dala nejakým spôsobom faktorizovať. Kritériom správneho zoskupenia výrazov je prítomnosť rovnakých faktorov v každej skupine.
2. Rovnaké faktory dávame zo zátvoriek.
Keďže sa táto metóda používa najčastejšie, rozoberieme ju na príkladoch.
Príklad 1
Riešenie. 1. Spojme pojmy do skupín:
2. Vyberme spoločný faktor z každej skupiny:
3. Vyberme faktor spoločný pre obe skupiny:
Príklad 2 Zvážte výraz:
1. Zoskupme posledné tri výrazy a rozložme ich pomocou vzorca na druhú druhú:
2. Rozložme výsledný výraz na faktor pomocou vzorca rozdielu štvorcov:
Príklad 3 Vyriešte rovnicu:
Na ľavej strane rovnice sú štyri pojmy. Skúsme faktorovať ľavú stranu pomocou zoskupovania.
1. Aby bola štruktúra ľavej strany rovnice prehľadnejšia, zavedieme zmenu premennej: ,
Dostaneme takúto rovnicu:
2. Rozložme ľavú stranu na faktor pomocou zoskupenia:
Pozor! Aby nedošlo k omylu so znamienkami, odporúčam spojiť pojmy do skupín „tak, ako sú“, teda bez zmeny znamienok koeficientov, a v ďalšom kroku, ak je to potrebné, vyradiť „mínus“ z zátvorka.
3. Dostali sme rovnicu:
4. Vráťme sa k pôvodnej premennej:
Vydelme obe strany . Dostaneme: . Odtiaľ
odpoveď: 0
Príklad 4. Vyriešte rovnicu:
Aby bola štruktúra rovnice „transparentnejšia“, zavádzame zmenu premennej:
Dostaneme rovnicu:
Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor. Aby sme to dosiahli, zoskupíme prvý a druhý výraz a umiestnime ich do zátvoriek:
Vyložme to zo zátvoriek:
Vráťme sa k rovnici:
Odtiaľ, resp.
Vráťme sa k pôvodnej premennej:
Vo všeobecnosti si táto úloha vyžaduje kreatívny prístup, pretože neexistuje univerzálna metóda na jej riešenie. Ale skúsme dať pár tipov.
V drvivej väčšine prípadov je faktorizácia polynómu založená na dôsledku Bezoutovej vety, to znamená, že koreň sa nájde alebo vyberie a stupeň polynómu sa zníži o jednu delením číslom . Hľadá sa koreň výsledného polynómu a proces sa opakuje až do úplného rozšírenia.
Ak koreň nemožno nájsť, potom sa použijú špecifické metódy rozšírenia: od zoskupovania až po zavedenie ďalších vzájomne sa vylučujúcich výrazov.
Ďalšia prezentácia je založená na zručnostiach riešenia rovníc vyšších stupňov s celočíselnými koeficientmi.
Vymedzenie spoločného faktora.
Začnime s najjednoduchším prípadom, keď sa voľný člen rovná nule, čiže polynóm má tvar .
Je zrejmé, že koreň takéhoto polynómu je , to znamená, že polynóm môžeme reprezentovať v tvare .
Táto metóda nie je nič iné ako uvedenie spoločného činiteľa zo zátvoriek.
Príklad.
Faktor polynómu tretieho stupňa.
Riešenie.
Je zrejmé, čo je koreňom polynómu, tj X možno vyňať zo zátvoriek:
Poďme nájsť korene kvadratického trinomu
teda
Začiatok stránky
Rozdelenie polynómu s racionálnymi koreňmi.
Najprv uvažujme o metóde rozšírenia polynómu s celočíselnými koeficientmi tvaru , koeficient najvyššieho stupňa sa rovná jednej.
V tomto prípade, ak má polynóm celé číslo, potom sú deliteľmi voľného člena.
Príklad.
Riešenie.
Skontrolujeme, či sú neporušené korene. Ak to chcete urobiť, zapíšte si deliteľa čísla -18
: . To znamená, že ak má polynóm celé číslo, patria medzi zapísané čísla. Skontrolujme tieto čísla postupne pomocou Hornerovej schémy. Jeho výhoda spočíva aj v tom, že nakoniec získame koeficienty expanzie polynómu:
teda x=2 A x = -3 sú korene pôvodného polynómu a môžeme ho reprezentovať ako súčin:
Zostáva rozšíriť kvadratický trinom.
Diskriminant tejto trojčlenky je záporný, preto nemá žiadne skutočné korene.
odpoveď:
komentár:
Namiesto Hornerovej schémy by sa dal použiť výber koreňa a následné delenie polynómu polynómom.
Teraz zvážte rozšírenie polynómu s celočíselnými koeficientmi tvaru , pričom koeficient najvyššieho stupňa sa nerovná jednej.
V tomto prípade môže mať polynóm zlomkové racionálne korene.
Príklad.
Zvážte výraz.
Riešenie.
Vykonaním premennej zmeny y=2x, prejdime k polynómu s koeficientom rovným jednej na najvyššom stupni. Ak to chcete urobiť, najprv vynásobte výraz číslom 4 .
Ak má výsledná funkcia celočíselné korene, potom patria medzi deliteľov voľného člena. Zapíšme si ich:
Postupne vypočítajme hodnoty funkcie g(y) v týchto bodoch, kým sa nedosiahne nula.
Faktorovanie polynómov je transformácia identity, v dôsledku ktorej sa polynóm premení na súčin viacerých faktorov – polynómov alebo monomérov.
Existuje niekoľko spôsobov, ako faktorizovať polynómy.
Metóda 1. Vybratie spoločného činiteľa zo zátvoriek.
Táto transformácia je založená na distributívnom zákone násobenia: ac + bc = c(a + b). Podstatou transformácie je izolovať spoločný faktor v dvoch uvažovaných zložkách a „vybrať“ ho zo zátvoriek.
Vynásobme polynóm 28x 3 – 35x 4.
Riešenie.
1. Nájdite spoločného deliteľa pre prvky 28x3 a 35x4. Pre 28 a 35 to bude 7; pre x 3 a x 4 – x 3. Inými slovami, náš spoločný faktor je 7x 3.
2. Každý z prvkov reprezentujeme ako súčin faktorov, z ktorých jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Zo zátvoriek vyberieme spoločný faktor
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Metóda 2. Použitie skrátených vzorcov na násobenie. „Majstrovstvom“ používania tejto metódy je všimnúť si jeden zo skrátených vzorcov násobenia vo výraze.
Vynásobme polynóm x 6 – 1.
Riešenie.
1. Na tento výraz môžeme použiť vzorec rozdielu štvorcov. Aby ste to urobili, predstavte si x 6 ako (x 3) 2 a 1 ako 1 2, t.j. 1. Výraz bude mať tvar:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Na výsledný výraz môžeme použiť vzorec pre súčet a rozdiel kociek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
takže,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metóda 3. Zoskupovanie. Metóda zoskupovania zahŕňa kombinovanie komponentov polynómu takým spôsobom, aby sa s nimi dali ľahko vykonávať operácie (sčítanie, odčítanie, odčítanie spoločného činiteľa).
Vynásobme polynóm x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Riešenie.
1. Zoraďme komponenty takto: 1. s 2. a 3. so 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. Vo výslednom výraze vyberieme zo zátvoriek spoločné činitele: x 2 v prvom prípade a 5 v druhom.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).
3. Vyberieme spoločný faktor x – 3 zo zátvoriek a dostaneme:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).
takže,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Zabezpečme materiál.
Faktor polynómu a 2 – 7ab + 12b 2 .
Riešenie.
1. Znázornime monomiál 7ab ako súčet 3ab + 4ab. Výraz bude mať tvar:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.
Otvorme zátvorky a získame:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Zoskupme zložky polynómu takto: 1. s 2. a 3. so 4.. Dostaneme:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Vyberme zo zátvoriek bežné faktory:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Vyberme spoločný faktor (a – 3b) zo zátvoriek:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
takže,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.
Faktorizácia polynómu. Časť 1
Faktorizácia je univerzálna technika, ktorá pomáha riešiť zložité rovnice a nerovnice. Prvá myšlienka, ktorá by vám mala prísť na myseľ pri riešení rovníc a nerovníc, v ktorých je na pravej strane nula, je pokúsiť sa vynásobiť ľavú stranu.
Vymenujme hlavné spôsoby faktorizácie polynómu:
- uvedenie spoločného činiteľa zo zátvoriek
- pomocou skrátených vzorcov na násobenie
- pomocou vzorca na rozklad kvadratického trinomu
- metóda zoskupovania
- delenie polynómu binómom
- metóda neurčitých koeficientov
V tomto článku sa budeme podrobne zaoberať prvými tromi metódami, zvyšok zvážime v nasledujúcich článkoch.
1. Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek.
Ak chcete vyňať spoločný faktor zo zátvoriek, musíte ho najprv nájsť. Spoločný multiplikačný faktor rovný najväčšiemu spoločnému deliteľovi všetkých koeficientov.
Listová časť spoločný činiteľ sa rovná súčinu výrazov zahrnutých v každom člene s najmenším exponentom.
Schéma priradenia spoločného multiplikátora vyzerá takto:
Pozor!
Počet výrazov v zátvorkách sa rovná počtu výrazov v pôvodnom výraze. Ak sa jeden z pojmov zhoduje so spoločným činiteľom, potom pri jeho delení spoločným činiteľom dostaneme jeden.
Príklad 1
Faktor polynómu:
Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek. Aby sme to urobili, najprv ho nájdeme.
1. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa všetkých koeficientov polynómu, t.j. čísla 20, 35 a 15. Rovná sa 5.
2. Stanovíme, že premenná je obsiahnutá vo všetkých členoch a najmenší z jej exponentov sa rovná 2. Premenná je obsiahnutá vo všetkých členoch a najmenší z jej exponentov je 3.
Premenná je obsiahnutá len v druhom člene, teda nie je súčasťou spoločného činiteľa.
Takže celkový faktor je
3. Násobiteľ vyberieme zo zátvoriek pomocou vyššie uvedenej schémy:
Príklad 2 Vyriešte rovnicu:
Riešenie. Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor. Vyberme faktor zo zátvoriek:
Takže dostaneme rovnicu
Prirovnajme každý faktor k nule:
Dostaneme - koreň prvej rovnice.
Korene:
Odpoveď: -1, 2, 4
2. Faktorizácia pomocou skrátených vzorcov násobenia.
Ak je počet členov v polynóme, ktorý ideme vynásobiť, menší alebo rovný trom, potom sa pokúsime použiť skrátené vzorce násobenia.
1. Ak je polynómrozdiel dvoch termínov, potom sa pokúsime uplatniť vzorec štvorcového rozdielu:
alebo vzorec rozdielu kociek:
Tu sú písmená a označujú číslo alebo algebraický výraz.
2. Ak je polynóm súčtom dvoch členov, možno ho možno rozdeliť pomocou vzorce súčtu kociek:
3. Ak sa polynóm skladá z troch členov, potom sa pokúsime použiť vzorec štvorcového súčtu:
alebo vzorec štvorcového rozdielu:
Alebo sa pokúsime faktorizovať podľa vzorec na rozklad kvadratického trinomu:
Tu a sú korene kvadratickej rovnice
Príklad 3Zvážte výraz:
Riešenie. Máme pred sebou súčet dvoch pojmov. Skúsme použiť vzorec pre súčet kociek. Aby ste to dosiahli, musíte najprv reprezentovať každý výraz ako kocku nejakého výrazu a potom použiť vzorec pre súčet kociek:
Príklad 4. Zvážte výraz:
rozhodnutie. Tu máme rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov. Prvý výraz: , druhý výraz:
Použime vzorec pre rozdiel štvorcov:
Otvorme zátvorky a pridáme podobné výrazy, dostaneme:
Aby bolo možné faktorizovať, je potrebné zjednodušiť výrazy. To je potrebné, aby sa mohlo ďalej znižovať. Rozšírenie polynómu má zmysel vtedy, keď jeho stupeň nie je nižší ako dva. Polynóm s prvým stupňom sa nazýva lineárny.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Článok bude pokrývať všetky koncepty rozkladu, teoretické základy a metódy faktorizácie polynómu.
teória
Veta 1Pri akomkoľvek polynóme so stupňom n, ktorý má tvar P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sú reprezentované ako súčin s konštantným faktorom s najvyšším stupňom a n a n lineárnych faktorov (x - x i), i = 1, 2, ..., n, potom P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kde x i, i = 1, 2, …, n sú korene polynómu.
Veta je určená pre korene komplexného typu x i, i = 1, 2, …, n a pre komplexné koeficienty a k, k = 0, 1, 2, …, n. To je základ každého rozkladu.
Keď koeficienty tvaru a k, k = 0, 1, 2, …, n sú reálne čísla, potom sa komplexné korene budú vyskytovať v konjugovaných pároch. Napríklad korene x 1 a x 2 súvisia s polynómom v tvare P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sa považujú za komplexne konjugované, potom sú ostatné korene reálne, z čoho dostaneme, že polynóm má tvar P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2).
Komentujte
Korene polynómu sa môžu opakovať. Zoberme si dôkaz algebrickej vety, dôsledok Bezoutovej vety.
Základná veta algebry
Veta 2Každý polynóm so stupňom n má aspoň jeden koreň.
Bezoutova veta
Po delení polynómu tvaru P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), potom dostaneme zvyšok, ktorý sa rovná polynómu v bode s, potom dostaneme
Pn x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kde Q n - 1 (x) je polynóm so stupňom n - 1.
Dôsledok Bezoutovej vety
Keď sa koreň polynómu P n (x) považuje za s, potom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Qn - 1 (x) . Tento dôsledok je dostatočný, keď sa použije na opis riešenia.
Rozdelenie kvadratického trinomu
Štvorcový trojčlen v tvare a x 2 + b x + c možno rozdeliť na lineárne faktory. potom dostaneme, že a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kde x 1 a x 2 sú korene (komplexné alebo skutočné).
To ukazuje, že samotná expanzia sa redukuje na následné riešenie kvadratickej rovnice.
Príklad 1
Faktor kvadratického trinomu.
Riešenie
Je potrebné nájsť korene rovnice 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby ste to dosiahli, musíte pomocou vzorca nájsť hodnotu diskriminantu, potom dostaneme D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Odtiaľ to máme
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Z toho dostaneme, že 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Ak chcete vykonať kontrolu, musíte otvoriť zátvorky. Potom dostaneme výraz vo forme:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po kontrole sa dostávame k pôvodnému výrazu. To znamená, že môžeme konštatovať, že rozklad bol vykonaný správne.
Príklad 2
Faktor kvadratického trinomu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 .
Riešenie
Zistíme, že je potrebné vypočítať výslednú kvadratickú rovnicu v tvare 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Ak chcete nájsť korene, musíte určiť hodnotu diskriminantu. Chápeme to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Z toho dostaneme, že 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Príklad 3
Vynásobte polynóm 2 x 2 + 1.
Riešenie
Teraz musíme vyriešiť kvadratickú rovnicu 2 x 2 + 1 = 0 a nájsť jej korene. Chápeme to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Tieto korene sa nazývajú komplexne konjugované, čo znamená, že samotná expanzia môže byť znázornená ako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Príklad 4
Rozlož kvadratickú trojčlenku x 2 + 1 3 x + 1 .
Riešenie
Najprv musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare x 2 + 1 3 x + 1 = 0 a nájsť jej korene.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Po získaní koreňov píšeme
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Komentujte
Ak je diskriminačná hodnota záporná, potom polynómy zostanú polynómami druhého rádu. Z toho vyplýva, že ich nebudeme rozširovať na lineárne faktory.
Metódy faktorizácie polynómu stupňa vyššieho ako dva
Pri rozklade sa predpokladá univerzálna metóda. Väčšina všetkých prípadov je založená na dôsledku Bezoutovej vety. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať hodnotu koreňa x 1 a znížiť jeho stupeň delením polynómom o 1 delením (x - x 1). Výsledný polynóm potrebuje nájsť koreň x 2 a proces vyhľadávania je cyklický, kým nedosiahneme úplné rozšírenie.
Ak sa koreň nenájde, potom sa použijú iné metódy faktorizácie: zoskupenie, ďalšie výrazy. Táto téma zahŕňa riešenie rovníc s vyššími mocninami a celočíselnými koeficientmi.
Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek
Uvažujme prípad, keď sa voľný člen rovná nule, potom tvar polynómu bude P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Je vidieť, že koreň takéhoto polynómu sa bude rovnať x 1 = 0, potom je možné polynóm znázorniť ako výraz P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)
Táto metóda sa považuje za vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek.
Príklad 5
Faktor polynómu tretieho stupňa 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Riešenie
Vidíme, že x 1 = 0 je koreň daného polynómu, potom môžeme odstrániť x zo zátvoriek celého výrazu. Dostaneme:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Prejdime k hľadaniu koreňov štvorcového trojčlenu 4 x 2 + 8 x - 1. Poďme nájsť diskriminant a korene:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Potom z toho vyplýva
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Na začiatok zoberme do úvahy metódu rozkladu obsahujúcu celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kde koeficient najvyššieho stupňa je 1.
Keď má polynóm celé číslo, potom sa považujú za deliteľa voľného člena.
Príklad 6
Rozviňte výraz f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Riešenie
Zvážme, či existujú úplné korene. Je potrebné zapísať deliteľa čísla - 18. Dostaneme, že ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Z toho vyplýva, že tento polynóm má celočíselné korene. Môžete to skontrolovať pomocou Hornerovej schémy. Je to veľmi pohodlné a umožňuje vám rýchlo získať koeficienty expanzie polynómu:
Z toho vyplýva, že x = 2 a x = - 3 sú korene pôvodného polynómu, ktorý možno znázorniť ako súčin tvaru:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Pristúpime k rozvoju kvadratického trinómu v tvare x 2 + 2 x + 3.
Keďže diskriminant je záporný, znamená to, že neexistujú žiadne skutočné korene.
odpoveď: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentujte
Namiesto Hornerovej schémy je dovolené použiť výber koreňa a delenie polynómu polynómom. Prejdime k úvahe o expanzii polynómu obsahujúceho celočíselné koeficienty v tvare P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z ktorých najvyššia sa rovná jednej.
Tento prípad nastáva pre racionálne zlomky.
Príklad 7
Faktorizujte f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Riešenie
Je potrebné nahradiť premennú y = 2 x, mali by ste prejsť na polynóm s koeficientmi rovnými 1 na najvyššom stupni. Musíte začať vynásobením výrazu číslom 4. Chápeme to
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Keď má výsledná funkcia tvaru g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 celé číslo, potom je ich umiestnenie medzi deliteľmi voľného člena. Záznam bude vyzerať takto:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Prejdime k výpočtu funkcie g (y) v týchto bodoch, aby sme vo výsledku dostali nulu. Chápeme to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Zistíme, že y = - 5 je koreňom rovnice v tvare y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, čo znamená, že x = y 2 = - 5 2 je koreň pôvodnej funkcie.
Príklad 8
Je potrebné rozdeliť stĺpcom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2.
Riešenie
Zapíšme si to a získame:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Kontrola deliteľov zaberie veľa času, preto je výhodnejšie výsledný kvadratický trojčlen v tvare x 2 + 7 x + 3 rozložiť na faktor. Vyrovnaním nuly nájdeme diskriminant.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Z toho vyplýva
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Umelé techniky faktorizácie polynómu
Racionálne korene nie sú vlastné všetkým polynómom. Aby ste to dosiahli, musíte použiť špeciálne metódy na nájdenie faktorov. Ale nie všetky polynómy môžu byť rozšírené alebo reprezentované ako súčin.
Metóda zoskupovania
Existujú prípady, keď môžete zoskupiť členy polynómu, aby ste našli spoločný faktor a dali ho mimo zátvorky.
Príklad 9
Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Riešenie
Pretože koeficienty sú celé čísla, potom korene môžu byť pravdepodobne aj celé čísla. Pre kontrolu vezmite hodnoty 1, - 1, 2 a - 2, aby ste vypočítali hodnotu polynómu v týchto bodoch. Chápeme to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To ukazuje, že neexistujú žiadne korene, je potrebné použiť iný spôsob rozšírenia a riešenia.
Je potrebné zoskupiť:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Po zoskupení pôvodného polynómu ho musíte reprezentovať ako súčin dvoch štvorcových trojčlenov. Aby sme to dosiahli, musíme faktorizovať. dostaneme to
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentujte
Jednoduchosť zoskupovania neznamená, že výber výrazov je dostatočne jednoduchý. Neexistuje žiadna špecifická metóda riešenia, preto je potrebné použiť špeciálne vety a pravidlá.
Príklad 10
Faktor polynóm x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Riešenie
Daný polynóm nemá celočíselné korene. Pojmy by mali byť zoskupené. Chápeme to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktorizácii to dostaneme
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Použitie skrátených vzorcov na násobenie a Newtonovho binomu na faktor polynómu
Zo vzhľadu často nie je vždy jasné, ktorá metóda by sa mala pri rozklade použiť. Po vykonaní transformácií môžete zostaviť čiaru pozostávajúcu z Pascalovho trojuholníka, inak sa nazývajú Newtonov binom.
Príklad 11
Vynásobte polynóm x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Riešenie
Je potrebné previesť výraz do formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Postupnosť koeficientov súčtu v zátvorkách je označená výrazom x + 1 4 .
To znamená, že máme x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Po nanesení rozdielu štvorcov dostaneme
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Zvážte výraz, ktorý je v druhej zátvorke. Je jasné, že tam nie sú žiadni rytieri, takže by sme mali znova použiť vzorec rozdielu štvorcov. Dostaneme vyjadrenie formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Príklad 12
Faktorizujte x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Riešenie
Začnime transformovať výraz. Chápeme to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie rozdielu kociek. Dostaneme:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metóda nahradenia premennej pri faktorizácii polynómu
Pri nahradení premennej sa stupeň zníži a polynóm sa rozloží.
Príklad 13
Faktor polynóm tvaru x 6 + 5 x 3 + 6 .
Riešenie
Podľa podmienky je zrejmé, že je potrebné urobiť náhradu y = x 3. Dostaneme:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Korene výslednej kvadratickej rovnice sú teda y = - 2 a y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Je potrebné použiť vzorec na skrátené násobenie súčtu kociek. Dostávame výrazy vo forme:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
To znamená, že sme dosiahli požadovaný rozklad.
Vyššie uvedené prípady pomôžu pri zvažovaní a faktorizácii polynómu rôznymi spôsobmi.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter