Rovnomerné rozdelenie náhodnej premennej na segmente. Testovanie hypotézy rovnomerného rozdelenia
Pripomeňme si definíciu hustoty pravdepodobnosti.
Predstavme si teraz koncept rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti:
Definícia 2
Rozdelenie sa nazýva rovnomerné, ak v intervale obsahujúcom všetky možné hodnoty náhodnej premennej je hustota rozdelenia konštantná, to znamená:
Obrázok 1.
Zistime hodnotu konštanty $\C$ pomocou nasledujúcej vlastnosti hustoty rozdelenia: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)= 1 dolár
\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \
Funkcia hustoty rovnomerného rozdelenia má teda tvar:
Obrázok 2
Graf vyzerá takto (obr. 1):
Obrázok 3. Rovnomerná hustota rozdelenia pravdepodobnosti
Funkcia rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti
Poďme teraz nájsť distribučnú funkciu pre rovnomerné rozdelenie.
Na tento účel použijeme nasledujúci vzorec: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- Pre $x ≤ a$ podľa vzorca dostaneme:
- Pri $a
- Pre $x> 2$ podľa vzorca dostaneme:
Distribučná funkcia teda vyzerá takto:
Obrázok 4.
Graf vyzerá takto (obr. 2):
Obrázok 5. Funkcia rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť náhodnej premennej spadajúcej do intervalu $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ s rovnomerným rozdelením pravdepodobnosti
Na zistenie pravdepodobnosti náhodnej premennej spadajúcej do intervalu $(\alpha ,\beta)$ s rovnomerným rozdelením pravdepodobnosti použijeme nasledujúci vzorec:
Očakávaná hodnota:
štandardná odchýlka:
Príklady riešenia úlohy rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti
Príklad 1
Interval medzi trolejbusmi je 9 minút.
Zostavte distribučnú funkciu a hustotu distribúcie náhodnej premennej $X$ čakania na cestujúcich v trolejbuse.
Nájdite pravdepodobnosť, že cestujúci bude čakať na trolejbus za menej ako tri minúty.
Nájdite pravdepodobnosť, že cestujúci bude čakať na trolejbus aspoň 4 minúty.
Nájdite očakávanú hodnotu, rozptyl a smerodajnú odchýlku
- Keďže spojitá náhodná premenná čakania na trolejbus $X$ je rovnomerne rozdelená, potom $a=0,\b=9$.
Hustota distribúcie má teda podľa vzorca funkcie hustoty rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti tvar:
Obrázok 6.
Podľa vzorca funkcie rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti má v našom prípade distribučná funkcia tvar:
Obrázok 7.
- Túto otázku možno preformulovať takto: nájdite pravdepodobnosť náhodnej premennej rovnomerného rozdelenia spadajúcej do intervalu $\left(6,9\right).$
Dostaneme:
\ \ \
Funkcia hustoty rovnomerného rozdelenia má teda tvar:
Obrázok 2
Graf vyzerá takto (obr. 1):
Obrázok 3. Rovnomerná hustota rozdelenia pravdepodobnosti
Funkcia rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti
Poďme teraz nájsť distribučnú funkciu pre rovnomerné rozdelenie.
Na tento účel použijeme nasledujúci vzorec: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$
- Pre $x ≤ a$ podľa vzorca dostaneme:
- Pri $a
- Pre $x> 2$ podľa vzorca dostaneme:
Distribučná funkcia teda vyzerá takto:
Obrázok 4.
Graf vyzerá takto (obr. 2):
Obrázok 5. Funkcia rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť náhodnej premennej spadajúcej do intervalu $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ s rovnomerným rozdelením pravdepodobnosti
Na zistenie pravdepodobnosti náhodnej premennej spadajúcej do intervalu $(\alpha ,\beta)$ s rovnomerným rozdelením pravdepodobnosti použijeme nasledujúci vzorec:
Očakávaná hodnota:
štandardná odchýlka:
Príklady riešenia úlohy rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti
Príklad 1
Interval medzi trolejbusmi je 9 minút.
Zostavte distribučnú funkciu a hustotu distribúcie náhodnej premennej $X$ čakania na cestujúcich v trolejbuse.
Nájdite pravdepodobnosť, že cestujúci bude čakať na trolejbus za menej ako tri minúty.
Nájdite pravdepodobnosť, že cestujúci bude čakať na trolejbus aspoň 4 minúty.
Nájdite očakávanú hodnotu, rozptyl a smerodajnú odchýlku
- Keďže spojitá náhodná premenná čakania na trolejbus $X$ je rovnomerne rozdelená, potom $a=0,\b=9$.
Hustota distribúcie má teda podľa vzorca funkcie hustoty rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti tvar:
Obrázok 6.
Podľa vzorca funkcie rovnomerného rozdelenia pravdepodobnosti má v našom prípade distribučná funkcia tvar:
Obrázok 7.
- Túto otázku možno preformulovať takto: nájdite pravdepodobnosť náhodnej premennej rovnomerného rozdelenia spadajúcej do intervalu $\left(6,9\right).$
Dostaneme:
\, ak je na tomto segmente hustota rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej konštantná, teda ak funkcia diferenciálneho rozdelenia f(x) má nasledujúci tvar:
Táto distribúcia sa niekedy nazýva zákon rovnomernej hustoty. O množstve, ktoré má na určitom segmente rovnomerné rozloženie, povieme, že je na tomto segmente rozložené rovnomerne.
Zistime hodnotu konštanty c. Keďže oblasť ohraničená distribučnou krivkou a os oh, sa teda rovná 1
kde s=1/(b-a).
Teraz funkcia f(x)môžu byť zastúpené vo forme
Zostrojme distribučnú funkciu F(x ), prečo nachádzame výraz pre F(x) na intervale [ a, b]:
Grafy funkcií f (x) a F (x) vyzerajú takto:
Poďme nájsť číselné charakteristiky.
Pomocou vzorca na výpočet matematického očakávania NSV máme:
Matematické očakávanie náhodnej premennej rovnomerne rozloženej na intervale [a, b] sa zhoduje so stredom tohto segmentu.
Nájdite rozptyl rovnomerne rozloženej náhodnej premennej:
z čoho okamžite vyplýva, že štandardná odchýlka:
Nájdime teraz pravdepodobnosť, že hodnota náhodnej premennej s rovnomerným rozložením spadne na interval(a, b), úplne patriaci do segmentu [a,b
]:
|
Geometricky je táto pravdepodobnosť oblasťou tieňovaného obdĺžnika. čísla A A
bsa volajú distribučných parametrov A jednoznačne určujú rovnomerné rozdelenie.Príklad 1 Autobusy na niektorých trasách premávajú presne podľa cestovného poriadku. Interval pohybu je 5 minút. Nájdite pravdepodobnosť, že sa cestujúci blíži k zastávke. Čakanie na ďalší autobus bude menej ako 3 minúty.
Riešenie:
Čakacia doba na CB-bus má rovnomerné rozdelenie. Potom sa požadovaná pravdepodobnosť bude rovnať:
Príklad 2 Hrana kocky x sa meria približne. Navyše
Hranu kocky považujeme za náhodnú premennú rozloženú rovnomerne v intervale (
a,b), nájdite matematické očakávanie a rozptyl objemu kocky.Riešenie:
Objem kocky je náhodná veličina určená výrazom Y = X 3. Potom matematické očakávanie je:
Rozptyl:
Online služba: