Príklad výpočtu určitého integrálu pomocou lichobežníkovej metódy. Ako vypočítať určitý integrál pomocou lichobežníkového vzorca a Simpsonovej metódy? Vypočítajte integrál príkladu lichobežníkového vzorca
Vzdelávacie úlohy:
- Didaktický účel. Oboznámiť študentov s metódami približného výpočtu určitého integrálu.
- Vzdelávací účel. Téma tejto lekcie má veľký praktický a vzdelávací význam. Najjednoduchší spôsob, ako pristupovať k myšlienke numerickej integrácie, je spoliehať sa na definíciu určitého integrálu ako limitu integrálnych súčtov. Napríklad, ak vezmeme akúkoľvek dostatočne malú časť segmentu [ a; b] a zostrojte k nemu integrálny súčet, potom jeho hodnotu môžeme približne brať ako hodnotu zodpovedajúceho integrálu. Zároveň je dôležité rýchlo a správne vykonávať výpočty pomocou výpočtovej techniky.
Základné vedomosti a zručnosti. Rozumieť približným metódam výpočtu určitého integrálu pomocou vzorcov obdĺžnikov a lichobežníkov.
Poskytovanie tried
- Pracovný list. Karty-úlohy na samostatnú prácu.
- TSO. Multiprojektor, PC, notebooky.
- zariadenia TSO. Prezentácie: „Geometrický význam derivácií“, „Metóda obdĺžnikov“, „Metóda lichobežníkov“. (Prezentácie je možné získať u autora).
- Výpočtová technika: PC, mikrokalkulačky.
- Smernice
Typ lekcie. Integrované praktické.
Motivácia kognitívnej činnosti žiakov. Veľmi často musíte vypočítať určité integrály, pre ktoré nie je možné nájsť primitívnu deriváciu. V tomto prípade sa používajú približné metódy na výpočet určitých integrálov. Niekedy sa približná metóda používa aj pre „prevzaté“ integrály, ak výpočet pomocou Newton-Leibnizovho vzorca nie je racionálny. Myšlienka približného výpočtu integrálu je, že krivka je nahradená novou krivkou, ktorá je k nej dostatočne „blízka“. V závislosti od výberu novej krivky možno použiť jeden alebo iný približný integračný vzorec.
Postupnosť lekcie.
- Obdĺžnikový vzorec.
- Trapézový vzorec.
- Riešenie cvičení.
Plán lekcie
- Zopakovanie základných vedomostí žiakov.
Zopakujte si so žiakmi: základné vzorce integrácie, podstata študovaných metód integrácie, geometrický význam určitého integrálu.
- Vykonávanie praktickej práce.
Riešenie mnohých technických problémov spočíva vo výpočte určitých integrálov, ktorých presné vyjadrenie je zložité, vyžaduje zdĺhavé výpočty a v praxi nie je vždy opodstatnené. Tu je ich približná hodnota úplne postačujúca.
Povedzme napríklad, že potrebujete vypočítať plochu ohraničenú priamkou, ktorej rovnica je neznáma. V tomto prípade môžete tento riadok nahradiť jednoduchším, ktorého rovnica je známa. Plocha krivočiareho lichobežníka získaná týmto spôsobom sa berie ako približná hodnota požadovaného integrálu.
Najjednoduchšia približná metóda je metóda obdĺžnika. Geometricky je myšlienka metódy výpočtu určitého integrálu pomocou obdĺžnikového vzorca taká, že oblasť krivočiareho lichobežníka A B C D sa nahradí súčtom plôch obdĺžnikov, ktorých jedna strana sa rovná , a druhá - .
Ak zhrnieme oblasti obdĺžnikov, ktoré znázorňujú oblasť zakriveného lichobežníka s nevýhodou [obrázok 1], dostaneme vzorec:
[Obrázok 1]
potom dostaneme vzorec:
Ak v prebytku
[Obrázok 2],
To
hodnoty y 0, y 1,..., y n zistené z rovnosti ,
k = 0, 1..., n.Tieto vzorce sa nazývajú obdĺžnikové vzorce a uveďte približný výsledok. S nárastom n výsledok bude presnejší.
Aby ste našli približnú hodnotu integrálu, potrebujete:
Ak chcete nájsť chybu výpočtu, musíte použiť vzorce:
Príklad 1 Vypočítajte pomocou obdĺžnikového vzorca. Nájdite absolútne a relatívne chyby výpočtov.
Rozdeľme segment [ a, b] na niekoľko (napríklad 6) rovnakých častí. Potom a = 0, b =
3
,
x k = a + k x
X 0 = 2 + 0
= 2
X 1 = 2 + 1
= 2,5
X 2 = 2 + 2
=3
X 3 = 2 + 3
= 3
X 4 = 2 + 4
= 4
X 5 = 2 + 5
= 4,5
f(X 0) = 2 2 = 4
f
(X
1)
= 2
,5
2
=
6,25
f
(X
2)
=
3 2
=
9
f
(X
3)
=
3,5 2
=
12,25
f
(X
4)
=
4 2
=
16
f
(X
5)
=
4,5 2
=
20,25.
X | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
pri | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
Podľa vzorca (1):
Na výpočet relatívnej chyby výpočtov je potrebné nájsť presnú hodnotu integrálu:
Výpočty trvali dlho a skončili sme s dosť hrubým zaokrúhľovaním. Na výpočet tohto integrálu s menšou aproximáciou môžete použiť technické možnosti počítača.
Ak chcete nájsť určitý integrál pomocou metódy obdĺžnika, musíte zadať hodnoty integrandu f(x) do hárka Excelu v rozsahu X s daným krokom X= 0,1.
- Vytvorenie tabuľky s údajmi (X A f(x)). X f(x). Argument a v bunke B1 - slovo Funkcia2 2,1 ). Potom výberom bloku buniek A2:A3 pomocou automatického vyplnenia získame všetky hodnoty argumentu (presunieme pravý dolný roh bloku do bunky A32, na hodnotu x=5).
- Ďalej zadáme hodnoty integrandu. Do bunky B2 musíte zapísať jeho rovnicu. Ak to chcete urobiť, umiestnite kurzor tabuľky do bunky B2 a zadajte vzorec z klávesnice =A2^2(s anglickým rozložením klávesnice). Stlačte kláves Zadajte. V bunke B2 sa objaví 4
. Teraz musíte skopírovať funkciu z bunky B2. Pomocou automatického dopĺňania skopírujte tento vzorec do rozsahu B2:B32.
Výsledkom by mala byť tabuľka údajov na nájdenie integrálu. - Teraz v bunke B33 nájdete približnú hodnotu integrálu. Ak to chcete urobiť, zadajte vzorec do bunky B33 = 0,1*, potom zavolajte Sprievodcu funkciou (kliknutím na tlačidlo Vložiť funkciu na paneli s nástrojmi (f(x)). V dialógovom okne, ktoré sa zobrazí, Sprievodca funkciou – krok 1 z 2, vľavo v poli Kategória vyberte položku Matematické. Vpravo v poli Funkcia je funkcia Súčet. stlač tlačidlo OK. Zobrazí sa dialógové okno Sumy. Pomocou myši zadajte do pracovného poľa rozsah súčtu B2:B31. stlač tlačidlo OK. V bunke B33 sa zobrazí približná hodnota požadovaného integrálu s nevýhodou ( 37,955 ) .
Porovnanie získanej približnej hodnoty so skutočnou hodnotou integrálu ( 39 ), je vidieť, že chyba aproximácie metódy obdĺžnika je v tomto prípade rovná
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
Príklad 2 Pomocou metódy obdĺžnika počítajte s daným krokom X = 0,05.
Porovnanie získanej približnej hodnoty so skutočnou hodnotou integrálu , môžeme vidieť, že aproximačná chyba metódy obdĺžnika je v tomto prípade rovná
Lichobežníková metóda zvyčajne poskytuje presnejšiu integrálnu hodnotu ako obdĺžniková metóda. Zakrivený lichobežník sa nahradí súčtom niekoľkých lichobežníkov a približná hodnota určitého integrálu sa zistí ako súčet plôch lichobežníkov.
[Obrázok 3]
Príklad 3 Nájdite pomocou lichobežníkovej metódy v krokoch X = 0,1.
- Otvorte prázdny pracovný hárok.
- Vytvorenie tabuľky s údajmi (X A f(x)). Nech sú v prvom stĺpci hodnoty X a druhý so zodpovedajúcimi indikátormi f(x). Ak to chcete urobiť, zadajte slovo do bunky A1 Argument a v bunke B1 - slovo Funkcia. Prvá hodnota argumentu sa zadá do bunky A2 - ľavý okraj rozsahu ( 0 ). Druhá hodnota argumentu sa zadá do bunky A3 - ľavá hranica rozsahu plus krok konštrukcie ( 0,1 ). Potom výberom bloku buniek A2:A3 pomocou automatického dopĺňania získame všetky hodnoty argumentu (presunieme pravý dolný roh bloku do bunky A33, na hodnotu x = 3,1).
- Ďalej zadáme hodnoty integrandu. V bunke B2 musíte zapísať jej rovnicu (v príklade sínus). Ak to chcete urobiť, kurzor tabuľky musí byť umiestnený v bunke B2. Tu by mala byť sínusová hodnota zodpovedajúca hodnote argumentu v bunke A2. Na získanie sínusovej hodnoty použijeme špeciálnu funkciu: kliknite na tlačidlo Vložiť funkciu na paneli nástrojov f(x). V dialógovom okne, ktoré sa zobrazí, Sprievodca funkciou – krok 1 z 2, vľavo v poli Kategória vyberte položku Matematické. Vpravo v poli Funkcia - funkcia HRIECH. stlač tlačidlo OK. Zobrazí sa dialógové okno HRIECH. Umiestnením kurzora myši nad sivé pole okna so stlačeným ľavým tlačidlom presuňte pole doprava, čím otvoríte stĺpec údajov ( A). Hodnotu sínusového argumentu označíme kliknutím na bunku A2. stlač tlačidlo OK. V bunke B2 sa zobrazí 0. Teraz musíte skopírovať funkciu z bunky B2. Pomocou automatického dopĺňania skopírujte tento vzorec do rozsahu B2:B33. Výsledkom by mala byť tabuľka údajov na nájdenie integrálu.
- Teraz v bunke B34 možno nájsť približnú hodnotu integrálu pomocou lichobežníkovej metódy. Ak to chcete urobiť, zadajte vzorec do bunky B34 = 0,1*((B2+B33)/2+, potom zavolajte Sprievodcu funkciou (kliknutím na tlačidlo Vložiť funkciu na paneli s nástrojmi (f(x)). V dialógovom okne, ktoré sa zobrazí, Sprievodca funkciou – krok 1 z 2, vľavo v poli Kategória vyberte položku Matematické. Vpravo v poli Funkcia je funkcia Súčet. stlač tlačidlo OK. Zobrazí sa dialógové okno Sumy. Pomocou myši zadajte do pracovného poľa rozsah súčtu B3:B32. stlač tlačidlo OK ešte raz OK. V bunke B34 sa zobrazí približná hodnota požadovaného integrálu s nevýhodou ( 1,997 ) .
Porovnaním získanej približnej hodnoty so skutočnou hodnotou integrálu je zrejmé, že chyba aproximácie obdĺžnikovej metódy je v tomto prípade pre prax celkom prijateľná.
- Riešenie cvičení.
Zoberme si opäť rozdelenie segmentu na časti , . Plochu pod grafom ležiacu nad intervalom rozdelenia približne nahradíme plochou lichobežníka, ktorého rovnobežnými základňami sú segmenty, ktoré určujú hodnoty funkcie na koncoch intervalu, tj. a (pozri obrázok).
Potom sa plocha takého lichobežníka zjavne rovná
Zhrnutím všetkých oblastí dostaneme kvadratúru lichobežníkový vzorec:
Ide o rovnaký vzorec, ktorý sme získali spojením vzorcov ľavého a pravého obdĺžnika, v ktorých sme pravú stranu označili .
Všimnite si, že pri výpočte plochy každého ďalšieho lichobežníka stačí vypočítať hodnotu funkcie iba v jednom novom bode - na pravom konci nasledujúceho intervalu, pretože bod bol pravým koncom predchádzajúceho segmentu a hodnota v tomto bode bola vypočítaná už pri hľadaní oblasti predchádzajúceho lichobežníka.
Ak sú všetky segmenty priečky zvolené tak, aby mali rovnakú dĺžku, potom bude mať tvar lichobežníkový vzorec
Všetky hodnoty funkcie okrem a sa v tomto vzorci objavia dvakrát. Preto spojením rovnakých pojmov môžeme do formulára zapísať lichobežníkový vzorec
Nech má funkcia druhú deriváciu, ktorá zachováva znamienko na intervale. Ako je ľahko zrejmé z predchádzajúceho obrázku, povaha chyby v tomto kvadratúrnom vzorci je nasledovná: if , to znamená, ak je graf konvexný smerom nahor, potom a, teda, ; ak je graf konvexný smerom nadol, potom .
Ak to porovnáme s chybovými hodnotami vyššie študovaného vzorca stredného obdĺžnika, vidíme, že pre funkcie, ktorých druhá derivácia si zachováva svoje znamienko na integračnom segmente, znamienka chýb a sú opačné. Existuje túžba spojiť vzorec lichobežníkov a vzorec stredových obdĺžnikov tak, aby tieto chyby boli čo najviac kompenzované. Aby sme pochopili, ktorá kombinácia vzorcov by sa mala použiť, musíme zistiť, akú veľkosť majú tieto chyby a v závislosti od výberu krok. Tieto odhady chýb majú tiež nezávislý význam, pretože umožňujú zistiť presnosť približnej hodnoty integrálu získanej použitím zodpovedajúceho kvadratúrneho vzorca.
Metóda Monte Carlo na výpočet jednorozmerných integrálov sa zvyčajne nepoužíva, pretože kvadratúrne vzorce sú vhodnejšie na získanie vysokej presnosti. Táto metóda sa ukazuje ako efektívnejšia pri výpočte viacnásobných integrálov, keď sú vzorce kubatúr príliš ťažkopádne a vyžadujú veľké množstvo výpočtov na dosiahnutie malej chyby.
Pri použití kvadratúrnych alebo kubatúrnych vzorcov sa počet operácií rýchlo zvyšuje s rastúcim rozmerom integrálu. Napríklad, ak na výpočet jednorozmerného integrálu pomocou lichobežníkovej metódy s danou presnosťou, je potrebné vypočítať súčet rádu Nčlenov, potom na výpočet dvojitého integrálu pomocou rovnakej metódy je potrebné pridať o N 2 členy a pre trojný integrál je počet členov asi N 3 .
Počet testov N potrebné na dosiahnutie danej presnosti ε približná hodnota, v metóde Monte Carlo je hodnota rádu a nezávisí od rozmeru integrálu .
Uplatňuje sa nasledujúce kritérium na výber medzi vzorcom kubatúry R rádu presnosti a metódou Monte Carlo pre presné výpočty ε viacnásobný integrál funkcie m premenné:
1) ak je počet rozmerov m < 2R, je lepšie použiť kubatúrne alebo kvadratúrne vzorce;
2) ak m > 2R – Metóda Monte Carlo.
Napríklad ak R= 1, je výhodnejšie počítať trojné integrály pomocou metódy Monte Carlo a jednorozmerné integrály pomocou kvadratúrnych vzorcov.
Ak R= 2, je lepšie vypočítať päťrozmerné integrály pomocou metódy Monte Carlo a jednorozmerné, dvojité a trojité integrály pomocou kvadratúrnych alebo kubatúrnych vzorcov.
Uvažujme konkrétne vzorce metódy Monte Carlo na výpočet viacnásobných integrálov, získané spôsobom, ktorý bol použitý na odvodenie vzorca (9.7).
Predpokladajme, že potrebujeme vypočítať dvojitý integrál
Urobme sériu N náhodné bodové testy ( x i, y i), Kde x i a, b], a y i rovnomerne rozložené na segmente [ s, d]. Vypočítajme integrál (9.9) pomocou vzorca
Pre trojný integrál dostaneme podobne vzorec
Kde x i rovnomerne rozložené na segmente [ a, b], y i– na segmente [ s, d], a z i– na segmente [ R, q]; N– počet testov.
Pre m-viacnásobný integrálny vzorec metódy Monte Carlo má tvar
Dnes sa zoznámime s ďalšou metódou numerickej integrácie, lichobežníkovou metódou. S jeho pomocou vypočítame určité integrály s daným stupňom presnosti. V článku popíšeme podstatu lichobežníkovej metódy, rozoberieme spôsob odvodenia vzorca, porovnáme lichobežníkovú metódu s obdĺžnikovou metódou a napíšeme odhad absolútnej chyby metódy. Každú časť ilustrujeme príkladmi pre hlbšie pochopenie materiálu.
Predpokladajme, že potrebujeme približne vypočítať určitý integrál ∫ a b f (x) d x , ktorého integrand y = f (x) je spojitý na intervale [ a ; b]. Ak to chcete urobiť, rozdeľte segment [a; b ] do niekoľkých rovnakých intervalov dĺžky h s bodmi a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
Nájdite krok rozdelenia: h = b - a n. Určme uzly z rovnosti x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , č.
Na elementárnych segmentoch uvažujeme integrandovú funkciu x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. . , č.
Keďže n rastie nekonečne, zredukujeme všetky prípady na štyri najjednoduchšie možnosti:
Vyberme segmenty x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , č. Nahradme funkciu y = f (x) na každom z grafov priamkou, ktorá prechádza bodmi so súradnicami x i - 1 ; fxi-1 a xi; f x i. Označme ich na obrázkoch modrou farbou.
Vezmime výraz f (x i - 1) + f (x i) 2 · h ako približnú hodnotu integrálu ∫ x i - 1 x i f (x) d x. Tie. zoberme ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .
Pozrime sa, prečo sa metóda numerickej integrácie, ktorú študujeme, nazýva lichobežníková metóda. K tomu musíme zistiť, čo znamená napísaná približná rovnosť z geometrického hľadiska.
Na výpočet plochy lichobežníka je potrebné vynásobiť polovičné sumy jeho základov jeho výškou. V prvom prípade je plocha zakriveného lichobežníka približne rovnaká ako lichobežník so základňami f (x i - 1), f (x i) výška h. Vo štvrtom z uvažovaných prípadov je daný integrál ∫ x i - 1 x f (x) d x približne rovný ploche lichobežníka so základňami - f (x i - 1), - f (x i) a výškou h, ktoré je potrebné brať so znamienkom „-“. Aby sme mohli vypočítať približnú hodnotu určitého integrálu ∫ x i - 1 x i f (x) d x v druhom a treťom z uvažovaných prípadov, musíme nájsť rozdiel v plochách červenej a modrej oblasti, ktoré sme označili šrafovanie na obrázku nižšie.
Poďme si to zhrnúť. Podstata lichobežníkovej metódy je nasledovná: určitý integrál ∫ a b f (x) d x môžeme reprezentovať ako súčet integrálov v tvare ∫ x i - 1 x i f (x) d x na každom elementárnom segmente a v následnom približnom nahradení ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.
Vzorec lichobežníkovej metódy
Pripomeňme si piatu vlastnosť určitého integrálu: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Na získanie vzorca lichobežníkovej metódy je potrebné namiesto integrálov dosadiť ich približné hodnoty ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (. x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Definícia 1
Vzorec lichobežníkovej metódy:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Odhad absolútnej chyby lichobežníkovej metódy
Odhadnime absolútnu chybu lichobežníkovej metódy takto:
Definícia 2
5 n ≤ m a x x ∈ [ a; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2
Grafické znázornenie lichobežníkového spôsobu je na obrázku:
Príklady výpočtov
Pozrime sa na príklady použitia lichobežníkovej metódy na približný výpočet určitých integrálov. Osobitnú pozornosť budeme venovať dvom typom úloh:
- výpočet určitého integrálu lichobežníkovou metódou pre dané číslo rozdelenia segmentu n;
- nájdenie približnej hodnoty určitého integrálu so špecifikovanou presnosťou.
Pre dané n musia byť všetky medzivýpočty vykonané s dostatočne vysokým stupňom presnosti. Presnosť výpočtov by mala byť vyššia, čím väčšie n.
Ak máme danú presnosť pri výpočte určitého integrálu, potom všetky medzivýpočty musia byť vykonané o dva alebo viac rádov presnejšie. Napríklad, ak je presnosť nastavená na 0,01, potom vykonáme medzivýpočty s presnosťou 0,0001 alebo 0,00001. Pre veľké n je potrebné vykonať medzivýpočty s ešte vyššou presnosťou.
Pozrime sa na vyššie uvedené pravidlo s príkladom. Za týmto účelom porovnajte hodnoty určitého integrálu vypočítané pomocou vzorca Newton-Leibniz a získané pomocou lichobežníkovej metódy.
Takže ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.
Príklad 1
Pomocou lichobežníkovej metódy vypočítame určitý integrál ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x pre n rovné 10.
Riešenie
Vzorec pre lichobežníkovú metódu je ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Aby sme mohli použiť vzorec, musíme vypočítať krok h pomocou vzorca h = b - a n, určiť uzly x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, vypočítajte hodnoty integrandovej funkcie f (x) = 7 x 2 + 1.
Rozdeľovací krok sa vypočíta takto: h = b - a n = 5 - 010 = 0. 5. Na výpočet integrandu v uzloch x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n budeme brať štyri desatinné miesta:
i = 0: x 0 = 0 + 00. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0, 5) = 7 0, 5 2 + 1 = 5, 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692
Výsledky výpočtu zapíšeme do tabuľky:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
Získané hodnoty dosadíme do vzorca lichobežníkovej metódy: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5,6 + 3,5 + 2,1538 + 1,4 + 0,9655 + 0,7 + 0,5283 + 0,4117 + 0,3294 + 0,2692 = 9,6117
Porovnajme naše výsledky s výsledkami vypočítanými pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. Získané hodnoty sa zhodujú na stotiny.
odpoveď:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9, 6117
Príklad 2
Pomocou lichobežníkovej metódy vypočítame hodnotu určitého integrálu ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x s presnosťou 0,01.
Riešenie
Podľa podmienky úlohy a = 1; b = 2, f (x) = 112 x 4 + 13 x - 160; δn ≤ 0,01.
Nájdite n, ktoré sa rovná počtu bodov rozdelenia integračného segmentu, pomocou nerovnosti na odhad absolútnej chyby δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Urobíme to takto: nájdeme hodnoty n, pre ktoré platí nerovnosť m a x x ∈ [ a ; b] f "" (x) · (b - a) 312 n2 ≤ 0,01. Ak je dané n, lichobežníkový vzorec nám dá približnú hodnotu určitého integrálu s danou presnosťou.
Najprv nájdime najväčšiu hodnotu modulu druhej derivácie funkcie na intervale [ 1 ; 2].
f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
Druhá derivačná funkcia je kvadratická parabola f "" (x) = x 2 . Z jeho vlastností vieme, že je kladný a rastie na intervale [1; 2]. V tomto ohľade m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
V uvedenom príklade je proces hľadania m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) sa ukázalo byť celkom jednoduché. V zložitých prípadoch môžete na výpočty použiť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie. Po zvážení tohto príkladu predstavíme alternatívnu metódu na nájdenie m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
Výslednú hodnotu dosadíme do nerovnosti m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01
4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0,01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5,7735
Počet elementárnych intervalov, na ktoré sa delí integračný segment n, je prirodzené číslo. Pre správanie výpočtov berieme n rovné šiestim. Táto hodnota n nám umožní dosiahnuť zadanú presnosť lichobežníkovej metódy s minimom výpočtov.
Vypočítajme krok: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
Nájdite uzly x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , určujeme hodnoty integrandu v týchto uzloch:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1,9833
Výsledky výpočtu zapíšeme vo forme tabuľky:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
Získané výsledky dosadíme do lichobežníkového vzorca:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0,5266 + 0,6911 + 0,9052 + 1,1819 + 1,5359 + 1,9833 ≈ 1,0054
Na porovnanie vypočítame pôvodný integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
Ako vidíte, dosiahli sme presnosť výpočtu.
Odpoveď: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1,0054
Pre integrandy komplexného tvaru nie je vždy ľahké nájsť číslo n z nerovnosti na odhad absolútnej chyby. V tomto prípade bude vhodná nasledujúca metóda.
Označme približnú hodnotu určitého integrálu, ktorá bola získaná lichobežníkovou metódou pre n uzlov, ako I n. Zvoľme si ľubovoľné číslo n. Pomocou vzorca lichobežníkovej metódy vypočítame počiatočný integrál pre jednoduchý (n = 10) a dvojitý (n = 20) počet uzlov a nájdeme absolútnu hodnotu rozdielu medzi dvoma získanými približnými hodnotami I 20 - ja 10.
Ak je absolútna hodnota rozdielu medzi dvoma získanými približnými hodnotami menšia ako požadovaná presnosť I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
Ak je absolútna hodnota rozdielu medzi dvoma získanými približnými hodnotami väčšia ako požadovaná presnosť, potom je potrebné zopakovať kroky s dvojnásobným počtom uzlov (n = 40).
Táto metóda vyžaduje veľké množstvo výpočtov, preto je rozumné používať výpočtovú techniku, aby ste ušetrili čas.
Vyriešme problém pomocou vyššie uvedeného algoritmu. Z dôvodu úspory času vynecháme medzivýpočty lichobežníkovou metódou.
Príklad 3
Je potrebné vypočítať určitý integrál ∫ 0 2 x e x d x pomocou lichobežníkovej metódy s presnosťou 0,001.
Riešenie
Vezmime si n rovné 10 a 20. Pomocou lichobežníkového vzorca získame I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.
I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, čo si vyžaduje ďalšie výpočty.
Vezmime si, že n sa rovná 40: I 40 = 8, 3934656.
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, čo si tiež vyžaduje ďalšie výpočty.
Zoberme si, že n sa rovná 80: I 80 = 8, 3901585.
I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, čo si vyžaduje ďalšie zdvojnásobenie počtu uzlov.
Vezmime si, že n sa rovná 160: I 160 = 8, 3893317.
I 160 – I 80 = 8,3893317 – 8,3901585 = 0,0008268< 0 , 001
Približnú hodnotu pôvodného integrálu možno získať zaokrúhlením I 160 = 8, 3893317 na tisíciny: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.
Pre porovnanie vypočítajme pôvodný určitý integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Požadovaná presnosť bola dosiahnutá.
Odpoveď: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
Chyby
Medzivýpočty na určenie hodnoty určitého integrálu sa väčšinou vykonávajú približne. To znamená, že ako n rastie, výpočtová chyba sa začína hromadiť.
Porovnajme odhady absolútnych chýb lichobežníkovej metódy a metódy priemerného obdĺžnika:
5 n ≤ m a x x ∈ [ a; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .
Obdĺžniková metóda pre dané n s rovnakým množstvom výpočtovej práce dáva polovičnú chybu. Vďaka tomu je metóda výhodnejšia v prípadoch, keď sú známe hodnoty funkcie v stredných segmentoch elementárnych segmentov.
V prípadoch, keď funkcie, ktoré sa majú integrovať, nie sú špecifikované analyticky, ale ako množina hodnôt v uzloch, môžeme použiť lichobežníkovú metódu.
Ak porovnáme presnosť metódy lichobežníka a metódy pravého a ľavého obdĺžnika, potom je prvá metóda lepšia ako druhá v presnosti výsledku.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter