Rovinnoparalelný pohyb tuhého telesa. Rotačný pohyb tuhého telesa Rovinný pohyb bodu teoretická mechanika
Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie Štát Nižný Novgorodarchitektonické a stavebné univerzite
Inštitút otvoreného dištančného vzdelávania
Aistov A.S., Baranova A.S., Tryanina N.Yu.
Teoretická mechanika
Časť II. Kinematika a dynamika tuhého telesa
Schválené redakčnou a vydavateľskou radou univerzity
ako učebná pomôcka
Nižný Novgorod – 2004
BBK 22,21 T 11
Aistov A.S., Baranova A.S., Tryanina N.Yu. Teoretická mechanika. Časť II. Kinematika a dynamika tuhého telesa. Učebnica – N.Novgorod: Nižný Novgorod. štát architekt-stavia univ., 2004.– 69 s.
ISBN 5-87941-303-9
Učebnica obsahuje základné informácie a teoretické princípy kinematiky a dynamiky tuhého telesa. Obsahuje úlohy na testy z kinematiky a dynamiky, stručné informácie z teórie, odporúčania na riešenie úloh, príklady riešenia typických problémov.
ISBN 5-87941-303-9
ODDIEL 1. KINEMATIKA
Úvod
Kinematika je odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje mechanický pohyb, t.j. zmena polohy jedného telesa voči inému telesu, s ktorým je spojený referenčný systém, ktorý môže byť buď pohyblivý alebo stacionárny, bez zohľadnenia pôsobiacich síl.
Príslušnosť k sekcii základných vied, teoretická mechanika a kinematika, ako jej dôležitá súčasť, sú základom pre štúdium mnohých odborov študovaných na vyšších odborných školách.
Zákony a metódy teoretickej mechaniky sú široko používané pri štúdiu najdôležitejších problémov techniky, ako je návrh rôznych štruktúr, strojov a mechanizmov, štúdium pohybu kozmických telies, riešenie problémov aerodynamiky, balistiky a iné. .
Teoretická mechanika, založená na dielach Aristotela, Archimeda, Galilea a Newtona, sa nazýva klasická mechanika, uvažuje o pohybe telies rýchlosťou oveľa nižšou ako je rýchlosť svetla.
Mechanický pohyb sa vyskytuje v čase v priestore, zatiaľ čo v klasickej mechanike sa priestor považuje za trojrozmerný, podlieha euklidovskej geometrii; čas sa považuje za plynulý a identický vo všetkých referenčných systémoch.
1. ZÁKLADNÉ POJMY KINEMATIKY
Všetky kinematické veličiny charakterizujúce pohyb telesa alebo jeho jednotlivého bodu (vzdialenosť, rýchlosť, zrýchlenie atď.) sa považujú za funkcie času.
Riešenie kinematického problému znamená nájsť trajektóriu, polohu, rýchlosť a zrýchlenie každého bodu telesa.
Bodová trajektória- toto je geometrické miesto postupných pozícií, ktoré zaujíma bod v priestore, keď sa pohybuje.
Rýchlosť bodu je vektorová veličina, ktorá charakterizuje rýchlosť zmeny polohy bodu v priestore.
Zrýchlenie bodu je vektorová veličina, ktorá charakterizuje rýchlosť zmeny rýchlosti.
2. JEDNODUCHÉ POHYBY PEVNÉHO TELA
2.1. Translačný pohyb tuhého telesa
Translačný pohyb je pohyb tuhého telesa, pri ktorom sa segment spájajúci ľubovoľné dva body telesa pohybuje rovnobežne so sebou samým.
Pri translačnom pohybe tuhého telesa sú rýchlosti a zrýchlenia všetkých bodov telesa geometricky rovnaké a trajektórie všetkých bodov zhodné, t.j. pri superponovaní sa zhodujú, takže stačí presne poznať charakteristiku pohybu jedného bodu telesa.
2.2. Rotačný pohyb tuhého telesa
2.2.1. Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie
Rotačný pohyb je pohyb tuhého telesa, pri ktorom zostávajú najmenej dva body telesa nehybné. Priamka prechádzajúca týmito bodmi sa nazýva os otáčania. Všetky body tela ležiace na osi zostávajú počas rotácie nehybné. Všetky ostatné body telesa sa pohybujú v rovinách kolmých na os otáčania a opisujú kružnice, ktorých stredy ležia na osi a polomery sa rovnajú vzdialenostiam bodov k osi (obr. 1). Body A a B sú držané nehybne pomocou axiálneho ložiska a ložiska.
Zvoľme kladný smer osi z a nakreslíme cez ňu pevnú rovinu I a cez os nakreslíme druhú rovinu II a spojíme ju s telesom. Pri rotácii bude rovina II zvierať uhol s rovinou I. Lineárny uhol ϕ tohto pohyblivého uhla sa nazýva uhol rotácie. Ak je funkcia ϕ = f (t) známa, potom sa rotačný pohyb považuje za daný. Veličina charakterizujúca rýchlosť zmeny uhla natočenia sa nazýva uhlová rýchlosť. Uhlová rýchlosť ω je definovaná ako časová derivácia uhla natočenia
ω= d dt ϕ =ϕ& (rad/s) alebo (s-1)
Veličina charakterizujúca rýchlosť zmeny uhlovej rýchlosti je tzv uhlové zrýchlenie, ktorá je definovaná ako druhá derivácia uhla natočenia vzhľadom na čas alebo prvá derivácia uhlovej rýchlosti
d2ϕ |
||||
dt 2 dt |
ε=ϕ&&=ω& (rad/s2) alebo (s-2)
Ak má prvá a druhá derivácia uhla ϕ vzhľadom na čas rovnaké znamienko, potom je rotácia zrýchlená, ak je znamienko iné, potom je pomalé. Ak je uhlová rýchlosť konštantná, potom je rotácia rovnomerná (v tomto prípade uhlové zrýchlenie ε = 0).
2.2.2. Rýchlosť a zrýchlenie bodu rotujúceho telesa
Rýchlosť pohybu bodu na telese v kruhu sa nazýva rýchlosť otáčania, a jeho modul závisí od vzdialenosti od bodu k osi rotácie.
V = co OM
Vektor rýchlosti smeruje kolmo na polomer kružnice opísanej bodom v smere otáčania (obr. 2).
Zrýchlenie bodu na rotujúcom telese má dve zložky – dostredivé a rotačné zrýchlenie.
Acs = ω2 OM avr = ε OM
Vektor a cs smeruje z bodu k osi rotácie, vektor a bp smeruje kolmo na polomer k ε.
Celkový vektor zrýchlenia a sa rovná geometrickému súčtu a cs a a wr
a = a cs + a vr,
a modul celkového zrýchlenia je určený vzorcom
a = OMco4 + ε2
2.2.3. Vektorové vyjadrenie rýchlosti, dostredivého a rotačného zrýchlenia bodov rotujúceho telesa
Všeobecne sa uznáva, že uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie sú vektory nasmerované pozdĺž osi rotácie a vektor ω je nasmerovaný pozdĺž osi takým spôsobom, že od jeho konca sa zdá, že rotácia prebieha proti smeru hodinových ručičiek, vektor uhlového zrýchlenia ε je tiež nasmerovaná pozdĺž osi do rovnakého smeru ako ω pri zrýchlenej rotácii alebo v opačnom smere pri pomalej rotácii.
Rýchlosť otáčania bodu, dostredivé a rotačné zrýchlenia možno znázorniť vo forme vektorových súčinov (obr. 3).
v =ω x r,
a cs = ω x v = ω x ω x r
a čas = ε x r
Kinematika bodu.
1. Predmet teoretickej mechaniky. Základné abstrakcie.
Teoretická mechanika- je veda, v ktorej sa študujú všeobecné zákonitosti mechanického pohybu a mechanickej interakcie hmotných telies
Mechanický pohybje pohyb telesa vo vzťahu k inému telesu, vyskytujúci sa v priestore a čase.
Mechanická interakcia je interakcia hmotných telies, ktorá mení charakter ich mechanického pohybu.
Statika je odvetvie teoretickej mechaniky, v ktorom sa študujú metódy transformácie sústav síl na ekvivalentné sústavy a stanovujú sa podmienky pre rovnováhu síl pôsobiacich na pevné teleso.
Kinematika - je odbor teoretickej mechaniky, ktorý študuje pohyb hmotných telies v priestore z geometrického hľadiska bez ohľadu na sily, ktoré na ne pôsobia.
Dynamika je odbor mechaniky, ktorý študuje pohyb hmotných telies v priestore v závislosti od síl, ktoré na ne pôsobia.
Predmety štúdia teoretickej mechaniky:
hmotný bod,
systém hmotných bodov,
Absolútne pevné telo.
Absolútny priestor a absolútny čas sú na sebe nezávislé. Absolútny priestor - trojrozmerný, homogénny, nehybný euklidovský priestor. Absolútny čas - plynie z minulosti do budúcnosti nepretržite, je homogénna, vo všetkých bodoch priestoru rovnaká a nezávisí od pohybu hmoty.
2. Predmet kinematiky.
kinematika - je to odvetvie mechaniky, v ktorom sa skúmajú geometrické vlastnosti pohybu telies bez zohľadnenia ich zotrvačnosti (t.j. hmotnosti) a síl, ktoré na ne pôsobia.
Na určenie polohy pohybujúceho sa telesa (alebo bodu) s telom, voči ktorému sa pohyb tohto telesa študuje, je pevne spojený nejaký súradnicový systém, ktorý spolu s telom tvorí referenčný systém.
Hlavná úloha kinematiky je pri poznaní zákona o pohybe daného telesa (bodu) určiť všetky kinematické veličiny, ktoré charakterizujú jeho pohyb (rýchlosť a zrýchlenie).
3. Metódy určenia pohybu bodu
· Prirodzenou cestou
Malo by byť známe:
Trajektória bodu;
Pôvod a smer referencie;
Zákon pohybu bodu po danej trajektórii v tvare (1.1)
· Súradnicová metóda
Rovnice (1.2) sú pohybové rovnice bodu M.
Rovnicu pre trajektóriu bodu M možno získať odstránením parametra času « t » z rovníc (1.2)
· Vektorová metóda
(1.3) Vzťah medzi súradnicovými a vektorovými metódami určenia pohybu bodu (1.4) |
Vzťah medzi súradnicovými a prirodzenými metódami špecifikácie pohybu bodu
Určte trajektóriu bodu odstránením času z rovníc (1.2);
-- nájdite zákon pohybu bodu pozdĺž trajektórie (použite výraz pre diferenciál oblúka)
Po integrácii dostaneme zákon pohybu bodu po danej trajektórii:
Súvislosť medzi súradnicovou a vektorovou metódou špecifikácie pohybu bodu určuje rovnica (1.4)
4. Určenie rýchlosti bodu pomocou vektorovej metódy určenia pohybu.
Nechajte v okamihutpoloha bodu je určená vektorom polomeru a v časet 1 – vektor polomeru, potom za určité časové obdobie bod sa pohne.
|
(1.5) priemerná bodová rýchlosť, smer vektora je rovnaký ako smer vektora |
Rýchlosť bodu v danom čase
Na získanie rýchlosti bodu v danom čase je potrebné prejsť na limit
(1.6)
(1.7)
Vektor rýchlosti bodu v danom čase rovná prvej derivácii vektora polomeru vzhľadom na čas a smeruje tangenciálne k trajektórii v danom bode.
(jednotka¾ m/s, km/h)
Priemerný vektor zrýchlenia má rovnaký smer ako vektorΔ v , to znamená, že smeruje ku konkávnosti trajektórie.
Vektor zrýchlenia bodu v danom čase rovná prvej derivácii vektora rýchlosti alebo druhej derivácii vektora polomeru bodu vzhľadom na čas.
(jednotka - )
Ako je vektor umiestnený vo vzťahu k trajektórii bodu?
Pri priamočiarom pohybe je vektor nasmerovaný pozdĺž priamky, po ktorej sa bod pohybuje. Ak je trajektóriou bodu plochá krivka, potom vektor zrýchlenia , rovnako ako vektor ср, leží v rovine tejto krivky a smeruje k jej konkávnosti. Ak trajektória nie je rovinná krivka, potom vektor ср bude smerovať ku konkávnosti trajektórie a bude ležať v rovine prechádzajúcej cez dotyčnicu k trajektórii v bode.M a priamka rovnobežná s dotyčnicou v susednom bodeM 1 . IN limit, keď bodM 1 usiluje o M táto rovina zaberá polohu takzvanej oskulačnej roviny. Preto vo všeobecnom prípade vektor zrýchlenia leží v kontaktnej rovine a smeruje ku konkávnosti krivky.
Kinematika je odvetvie mechaniky, v ktorom sa skúmajú geometrické vlastnosti pohybu telies bez zohľadnenia ich zotrvačnosti (hmotnosti) a síl, ktoré na ne pôsobia.
Kinematika bodu
Vyberme si pevný súradnicový systém Oxyz so stredom v pevnom bode O. Potom je poloha bodu M jednoznačne určená jeho súradnicami (x, y, z). Poloha bodu je teda určená vektorom nakresleným z počiatku O do bodu M. Takýto vektor sa nazýva vektor polomeru:
,
kde sú jednotkové vektory v smere osí x, y, z.
Bodová rýchlosť je derivácia vektora polomeru vzhľadom na čas:
.
Vektor rýchlosti smeruje tangenciálne k trajektórii bodu. Rýchlostný modul:
.
Bod zrýchlenia je derivácia vektora rýchlosti vzhľadom na čas:
.
Akceleračný modul:
.
Tangentné (tangenciálne) zrýchlenie je priemet vektora zrýchlenia na smer vektora rýchlosti:
;
.
Spôsobuje zmenu rýchlostného modulu:
.
Keď sa rýchlosť v absolútnej hodnote zvyšuje a vektor smeruje pozdĺž rýchlosti. Keď rýchlosť klesá a vektor je nasmerovaný opačne ako rýchlosť.
Normálne zrýchlenie kolmá na vektor rýchlosti a smerujúca k stredu zakrivenia trajektórie:
.
Spôsobuje zmenu smeru rýchlosti a súvisí s polomerom zakrivenia trajektórie ρ:
.
Odtiaľ
.
Celkové zrýchlenie sa rovná vektorovému súčtu tangenciálnych a normálových zrýchlení:
.
Keďže tangenciálne zrýchlenie je kolmé na normálne
.
Pevná kinematika karosérie
Ak chcete jednoznačne určiť polohu tuhého telesa, musíte zadať tri súradnice (x A , y A , z A ) jeden z bodov A tela a tri uhly natočenia. Poloha tuhého telesa je teda určená šiestimi súradnicami. To znamená, že tuhé teleso má šesť stupňov voľnosti.
Vo všeobecnom prípade je závislosť súradníc bodov na tuhom telese vzhľadom na pevný súradnicový systém určená pomerne ťažkopádnymi vzorcami. Rýchlosti a zrýchlenia bodov sa však určujú pomerne jednoducho. Na to potrebujete poznať závislosť súradníc od času jedného, ľubovoľne zvoleného bodu A a vektora uhlovej rýchlosti. V závislosti od času zistíme rýchlosť a zrýchlenie bodu A a uhlové zrýchlenie telesa:
; ; .
Potom sa rýchlosť a zrýchlenie bodu telesa s vektorom polomeru určujú podľa vzorcov:
(1)
;
(2)
.
Tu a nižšie produkty vektorov v hranatých zátvorkách znamenajú vektorové produkty.
Poznač si to vektor uhlovej rýchlosti je rovnaký pre všetky body telesa. Nezáleží na súradniciach bodov tela. Tiež vektor uhlového zrýchlenia je rovnaký pre všetky body telesa.
Pozrite si výstup vzorca (1) A (2) na strane: Rýchlosť a zrýchlenie bodov tuhého telesa >> >
Translačný pohyb tuhého telesa
Počas translačného pohybu je uhlová rýchlosť nulová. Rýchlosti všetkých bodov telesa sú rovnaké. Akákoľvek priamka nakreslená v tele sa pohybuje, pričom zostáva rovnobežná s jej pôvodným smerom. Na štúdium pohybu tuhého telesa počas translačného pohybu teda stačí študovať pohyb ktoréhokoľvek bodu tohto telesa. Pozri sekciu.
Rovnomerne zrýchlený pohyb
Zoberme si prípad rovnomerne zrýchleného pohybu. Nech je priemet zrýchlenia bodu telesa na os x konštantný a rovný x. Potom priemet rýchlosti v x a x - súradnica tohto bodu závisí od času t podľa zákona:
v x = v x 0 + a x t;
,
kde v x 0
a x 0
- rýchlosť a súradnice bodu v počiatočnom okamihu t = 0
.
Rotačný pohyb tuhého telesa
Uvažujme teleso, ktoré sa otáča okolo pevnej osi. Vyberme si pevný súradnicový systém Oxyz so stredom v bode O. Nasmerujme os z pozdĺž osi rotácie. Predpokladáme, že z-ové súradnice všetkých bodov telesa zostávajú konštantné. Potom dochádza k pohybu v rovine xy. Uhlová rýchlosť ω a uhlové zrýchlenie ε smerujú pozdĺž osi z:
; .
Nech φ je uhol natočenia telesa, ktorý závisí od času t. Zisťujeme, že rozlišujeme s ohľadom na čas projekcie uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia na os z:
;
.
Uvažujme pohyb bodu M, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti r od osi rotácie. Trajektória pohybu je kružnica (alebo oblúk kružnice) s polomerom r.
Bodová rýchlosť:
v = ωr.
Vektor rýchlosti smeruje tangenciálne k trajektórii.
Tangenciálne zrýchlenie:
a τ = ε r .
Tangenciálne zrýchlenie smeruje aj tangenciálne k trajektórii.
Normálne zrýchlenie:
.
Smeruje k osi otáčania O.
Plné zrýchlenie:
.
Keďže vektory a sú na seba kolmé, tak akceleračný modul:
.
Rovnomerne zrýchlený pohyb
V prípade rovnomerne zrýchleného pohybu, pri ktorom je uhlové zrýchlenie konštantné a rovné ε, sa uhlová rýchlosť ω a uhol natočenia φ s časom t menia podľa zákona:
ω = ω 0 + εst;
,
kde ω 0
a φ 0
- uhlová rýchlosť a uhol natočenia v počiatočnom čase t = 0
.
Rovinnoparalelný pohyb tuhého telesa
Rovinne-paralelné alebo ploché je pohyb tuhého telesa, pri ktorom sa všetky jeho body pohybujú rovnobežne s nejakou pevnou rovinou. Vyberme si pravouhlý súradnicový systém Oxyz. Os x a y umiestnime do roviny, v ktorej sa body telesa pohybujú. Potom všetky z - súradnice bodov telesa zostanú konštantné, z - zložky rýchlostí a zrýchlení sa rovnajú nule. Vektory uhlovej rýchlosti a uhlového zrýchlenia sú naopak nasmerované pozdĺž osi z. Ich zložky x a y sú nulové.
Priemet rýchlostí dvoch bodov tuhého telesa na os prechádzajúcu týmito bodmi sú si navzájom rovné.
vA cos α = v B cos β.
Okamžitý stred rýchlosti
Okamžitý stred rýchlosti je bod rovinného útvaru, ktorého rýchlosť je momentálne nulová.
Na určenie polohy okamžitého stredu rýchlostí P plochého útvaru vám stačí poznať smery rýchlostí a jeho dva body A a B. Za týmto účelom nakreslite priamku cez bod A kolmú na smer rýchlosti. Bodom B vedieme priamku kolmú na smer rýchlosti. Priesečníkom týchto čiar je okamžitý stred rýchlostí P. Uhlová rýchlosť otáčania tela:
.
Ak sú rýchlosti dvoch bodov navzájom rovnobežné, potom ω = 0 . Rýchlosti všetkých bodov telesa sú navzájom rovnaké (v danom časovom okamihu).
Ak je známa rýchlosť ktoréhokoľvek bodu A plochého telesa a jeho uhlová rýchlosť ω, potom rýchlosť ľubovoľného bodu M je určená vzorcom (1)
, ktorý možno znázorniť ako súčet translačného a rotačného pohybu:
,
kde je rýchlosť rotačného pohybu bodu M vzhľadom na bod A. To znamená rýchlosť, ktorú by mal bod M pri rotácii v kruhu s polomerom |AM| s uhlovou rýchlosťou ω, ak by bod A bol stacionárny.
Modul relatívnej rýchlosti:
v MA = ω |AM| .
Vektor smeruje tangenciálne ku kružnici s polomerom |AM| so stredom v bode A.
Určenie zrýchlení bodov plochého telesa sa vykonáva pomocou vzorca (2)
. Zrýchlenie ktoréhokoľvek bodu M sa rovná vektorovému súčtu zrýchlenia niektorého bodu A a zrýchlenia bodu M počas rotácie okolo bodu A, pričom bod A považujeme za stacionárny:
.
možno rozložiť na tangenciálne a normálne zrýchlenia:
.
Tangenciálne zrýchlenie smeruje tangenciálne k trajektórii. Normálne zrýchlenie smeruje z bodu M do bodu A. Tu ω a ε sú uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie telesa.
Komplexný pohyb bodu
Nech O 1 x 1 r 1 z 1- pevný pravouhlý súradnicový systém. Rýchlosť a zrýchlenie bodu M v tomto súradnicovom systéme budeme nazývať absolútna rýchlosť a absolútne zrýchlenie.
Nech je Oxyz pohyblivý pravouhlý súradnicový systém, povedzme, pevne spojený s určitým tuhým telesom pohybujúcim sa vzhľadom na systém O 1 x 1 r 1 z 1. Rýchlosť a zrýchlenie bodu M v súradnicovom systéme Oxyz budeme nazývať relatívna rýchlosť a relatívne zrýchlenie. Nech je uhlová rýchlosť otáčania systému Oxyz vzhľadom na O 1 x 1 r 1 z 1.
Uvažujme bod, ktorý sa v danom časovom okamihu zhoduje s bodom M a je nehybný vzhľadom na systém Oxyz (bod pevne spojený s pevným telesom). Rýchlosť a zrýchlenie takého bodu v súradnicovom systéme O 1 x 1 r 1 z 1 budeme to nazývať prenosná rýchlosť a prenosné zrýchlenie.
Veta o pridávaní rýchlosti
Absolútna rýchlosť bodu sa rovná vektorovému súčtu relatívnych a prenosných rýchlostí:
.
Veta o pridaní zrýchlenia (Coriolisova veta)
Absolútne zrýchlenie bodu sa rovná vektorovému súčtu relatívnych, transportných a Coriolisových zrýchlení:
,
Kde
- Coriolisovo zrýchlenie.
Referencie:
S. M. Targ, Krátky kurz teoretickej mechaniky, „Vysoká škola“, 2010.
Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie
Federálna štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia
vyššie odborné vzdelanie
"Kubánska štátna technologická univerzita"
Teoretická mechanika
Poznámky k prednáške
pre mládencov ZiDO
technické oblasti
KINEMATIKA
Zostavil: doktor technických vied, prof. Smelyagin A.I.
Ph.D., docent Kegeles V.L.
Krasnodar 2011
1 Kinematika. Všeobecné pojmy 2
2 Kinematika bodu 2
3 Kinematika tuhého telesa 7
3.1 Translačný pohyb tuhého telesa 7
3.2 Rotácia tuhého telesa okolo pevnej osi 7
3.3 Rovinnoparalelný (rovinný) pohyb tuhého telesa 9
3.4 Sférický pohyb 15
4 Komplexný pohyb bodu 17
1 Kinematika. Všeobecné pojmy
Kinematika je časť teoretickej mechaniky, ktorá študuje pohyb hmotných telies bez toho, aby brala do úvahy dôvody spôsobujúce tento pohyb.
V klasickej mechanike sa pohyb hmotných telies uvažuje v trojrozmernom euklidovskom priestore a čas sa považuje za absolútny, nezávislý od referenčného systému.
Referenčný systém je súradnicový systém vždy spojený s telom, vo vzťahu ku ktorému sa uvažuje o pohybe skúmaných objektov.
Ak je referenčný systém v pokoji, pohyb objektu vo vzťahu k nemu sa nazýva absolútny. Pohyb objektu vzhľadom na pohybujúci sa referenčný rámec sa nazýva relatívny.
Kinematické metódy umožňujú určiť polohu študovaného objektu v uvažovanom referenčnom systéme, ako aj kedykoľvek nájsť jeho rýchlosť a zrýchlenie.
Štúdium rezu začína kinematikou bodu (izolovaného, patriacemu do pevného telesa alebo spojitého média), potom sa prechádza k uvažovaniu o pohybe pevných telies a ich systémov.
2-bodová kinematika
Charakteristiky pohybu bodu v akomkoľvek čase sú jeho poloha, rýchlosť a zrýchlenie.
Geometrický bod po sebe nasledujúcich polôh bodu sa nazýva trajektória.
Na určenie charakteristík pohybu a trajektórie bodu sa zvyčajne používajú tri spôsoby špecifikácie jeho pohybu - vektorový, súradnicový a prirodzený.
Vektorová metóda špecifikácie pohybu
pozícia bodov v ľubovoľnom čase je určený vektorom polomeru , ťahané z nejakého pevného stredu.
Pohybová rovnica:
.
Trajektória body sú vektorový hodograf .
Priemerná rýchlosť bodu za čas Δt
, Kde
.
Rýchlosť bodov v čase t
.
IN vektor rýchlosti smeruje tangenciálne k trajektórii v danom bode.
Priemerné zrýchlenie bodu za čas Δt
, Kde
.
Zrýchlenie bodov v čase t
.
Táto metóda sa spravidla používa pri teoretickej analýze vzorcov pohybu.
takže,
;
;
.
Súradnicová metóda špecifikácie pohybu
Na popis pohybu bodu sa používajú súradnicové systémy: karteziánske, polárne, valcové, sférické atď.
pozícia bod v kartézskom súradnicovom systéme je kedykoľvek určený jeho súradnicami x, y, z.
pohybová rovnica bodu
Tieto rovnice definujú trajektóriu bodu v parametrickom tvare.
Rovnice trajektórie bodu v súradnicovom tvare možno získať pomocou
vylúčením parametra t z pohybových rovníc, vo forme sústavy rovníc
,
.
Rýchlosť .
teda
,
,
.
Modul rýchlosti
.
Smerové kosínusy
;
;
.
Zrýchlenie ,
Potom
,
,
.
Akceleračný modul
.
Smerové kosínusy
;
;
.
Teoretická mechanika je časť mechaniky, ktorá stanovuje základné zákony mechanického pohybu a mechanickej interakcie hmotných telies.
Teoretická mechanika je veda, ktorá študuje pohyb telies v čase (mechanické pohyby). Slúži ako základ pre ďalšie odvetvia mechaniky (teória pružnosti, pevnosti materiálov, teória plasticity, teória mechanizmov a strojov, hydroaerodynamika) a mnohé technické disciplíny.
Mechanický pohyb- ide o časovú zmenu relatívnej polohy v priestore hmotných telies.
Mechanická interakcia- ide o interakciu, v dôsledku ktorej sa mení mechanický pohyb alebo sa mení vzájomná poloha častí tela.
Pevná statika tela
Statika je sekcia teoretickej mechaniky, ktorá sa zaoberá problémami rovnováhy pevných telies a premenou jedného systému síl na iný, jemu ekvivalentný.
- Základné pojmy a zákony statiky
- Absolútne tuhé telo(pevné teleso, teleso) je hmotné teleso, vzdialenosť medzi akýmikoľvek bodmi sa nemení.
- Materiálny bod je teleso, ktorého rozmery podľa podmienok problému možno zanedbať.
- Voľné telo- ide o teleso, na pohyb ktorého nie sú kladené žiadne obmedzenia.
- Nevoľné (spútané) telo je teleso, ktorého pohyb podlieha obmedzeniam.
- Spojenia– ide o telesá, ktoré bránia pohybu predmetného predmetu (telesa alebo sústavy telies).
- Komunikačná reakcia je sila, ktorá charakterizuje pôsobenie väzby na pevné teleso. Ak za akciu považujeme silu, ktorou pevné teleso pôsobí na väzbu, tak reakcia väzby je reakciou. V tomto prípade sa sila - pôsobenie aplikuje na spojenie a reakcia spojenia sa aplikuje na pevné teleso.
- Mechanický systém je súborom vzájomne prepojených telies alebo hmotných bodov.
- Pevné možno považovať za mechanický systém, ktorého polohy a vzdialenosti medzi bodmi sa nemenia.
- sila je vektorová veličina charakterizujúca mechanické pôsobenie jedného hmotného telesa na druhé.
Sila ako vektor je charakterizovaná bodom pôsobenia, smerom pôsobenia a absolútnou hodnotou. Jednotkou modulu sily je Newton. - Línia pôsobenia sily je priamka, pozdĺž ktorej smeruje vektor sily.
- Sústredená sila– sila pôsobiaca v jednom bode.
- Rozložené sily (rozložené zaťaženie)- sú to sily pôsobiace na všetky body objemu, povrchu alebo dĺžky telesa.
Rozložené zaťaženie je určené silou pôsobiacou na jednotku objemu (plocha, dĺžka).
Rozmer rozloženého zaťaženia je N/m 3 (N/m 2, N/m). - Vonkajšia sila je sila pôsobiaca od telesa, ktorá nepatrí do uvažovaného mechanického systému.
- Vnútorná sila je sila pôsobiaca na hmotný bod mechanického systému z iného hmotného bodu prislúchajúceho do uvažovaného systému.
- Systém síl je súbor síl pôsobiacich na mechanickú sústavu.
- Systém plochej sily je sústava síl, ktorých akčné línie ležia v rovnakej rovine.
- Priestorový systém síl je sústava síl, ktorých akčné línie neležia v rovnakej rovine.
- Systém konvergujúcich síl je sústava síl, ktorých akčné línie sa pretínajú v jednom bode.
- Svojvoľný systém síl je sústava síl, ktorých akčné línie sa nepretínajú v jednom bode.
- Systémy ekvivalentných síl- sú to sústavy síl, ktorých výmena za druhú nemení mechanický stav tela.
Akceptované označenie: . - Rovnováha- je to stav, v ktorom teleso pôsobením síl zostáva nehybné alebo sa pohybuje rovnomerne v priamom smere.
- Vyvážený systém síl- ide o sústavu síl, ktorá pri pôsobení na voľné pevné teleso nemení svoj mechanický stav (nevyvádza ho z rovnováhy).
. - Výsledná sila je sila, ktorej pôsobenie na teleso je ekvivalentné pôsobeniu sústavy síl.
. - Moment sily je veličina charakterizujúca rotačnú schopnosť sily.
- Pár síl je sústava dvoch rovnobežných síl rovnakej veľkosti a opačne smerujúcich.
Akceptované označenie: .
Pod vplyvom dvojice síl telo vykoná rotačný pohyb. - Premietanie sily na os- je to úsečka uzavretá medzi kolmicami vedenými od začiatku a konca vektora sily k tejto osi.
Projekcia je kladná, ak sa smer segmentu zhoduje s kladným smerom osi. - Projekcia sily na rovinu je vektor v rovine, uzavretý medzi kolmicami vedenými od začiatku a konca vektora sily k tejto rovine.
- Zákon 1 (zákon zotrvačnosti). Izolovaný hmotný bod je v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro.
Rovnomerný a priamočiary pohyb hmotného bodu je pohyb zotrvačnosťou. Rovnovážny stav hmotného bodu a tuhého telesa sa chápe nielen ako stav pokoja, ale aj ako pohyb zotrvačnosťou. Pre tuhé teleso existujú rôzne druhy pohybu zotrvačnosťou, napríklad rovnomerné otáčanie tuhého telesa okolo pevnej osi. - Zákon 2. Pevné teleso je v rovnováhe pri pôsobení dvoch síl iba vtedy, ak sú tieto sily rovnako veľké a smerujú v opačných smeroch pozdĺž spoločnej akčnej línie.
Tieto dve sily sa nazývajú vyrovnávanie.
Vo všeobecnosti sa sily nazývajú vyvážené, ak je pevné teleso, na ktoré tieto sily pôsobia, v pokoji. - Zákon 3. Bez narušenia stavu (slovo „stav“ tu znamená stav pohybu alebo pokoja) tuhého telesa je možné pridávať a odmietať vyrovnávacie sily.
Dôsledok. Bez narušenia stavu tuhého telesa môže byť sila prenesená pozdĺž jej pôsobiska do akéhokoľvek bodu telesa.
Dva systémy síl sa nazývajú ekvivalentné, ak jeden z nich môže byť nahradený druhým bez narušenia stavu pevného telesa. - Zákon 4. Výslednica dvoch síl pôsobiacich v jednom bode, pôsobiacich v tom istom bode, sa rovná veľkosti uhlopriečky rovnobežníka skonštruovaného z týchto síl a smeruje pozdĺž tohto
uhlopriečky.
Absolútna hodnota výsledku je: - Zákon 5 (zákon o rovnosti akcie a reakcie). Sily, ktorými na seba dve telesá pôsobia, sú rovnako veľké a smerujú v opačných smeroch pozdĺž tej istej priamky.
Treba mať na pamäti, že akcie- sila pôsobiaca na telo B, A opozície- sila pôsobiaca na telo A, nie sú vyvážené, pretože sa aplikujú na rôzne telá. - Zákon 6 (zákon tuhnutia). Rovnováha nepevného telesa sa pri stuhnutí nenaruší.
Netreba zabúdať, že rovnovážne podmienky, ktoré sú potrebné a postačujúce pre pevné teleso, sú nevyhnutné, ale nedostatočné pre zodpovedajúce nepevné teleso. - Zákon 7 (zákon o emancipácii od väzieb). Nevoľné pevné teleso možno považovať za slobodné, ak je duševne oslobodené od väzieb, pričom pôsobenie väzieb nahrádza zodpovedajúcimi reakciami väzieb.
- Spojenia a ich reakcie
- Jemný povrch obmedzuje pohyb kolmo na nosnú plochu. Reakcia smeruje kolmo k povrchu.
- Kĺbová pohyblivá podpera obmedzuje pohyb tela kolmo na referenčnú rovinu. Reakcia smeruje kolmo k povrchu nosiča.
- Kĺbová pevná podpera pôsobí proti akémukoľvek pohybu v rovine kolmej na os otáčania.
- Kĺbová beztiažová tyč pôsobí proti pohybu tela pozdĺž línie tyče. Reakcia bude smerovať pozdĺž línie tyče.
- Slepá pečať pôsobí proti akémukoľvek pohybu a rotácii v rovine. Jeho pôsobenie môže byť nahradené silou reprezentovanou vo forme dvoch zložiek a dvojice síl s momentom.
Kinematika
Kinematika- časť teoretickej mechaniky, ktorá skúma všeobecné geometrické vlastnosti mechanického pohybu ako procesu prebiehajúceho v priestore a čase. Pohybujúce sa objekty sa považujú za geometrické body alebo geometrické telesá.
- Základné pojmy kinematiky
- Zákon pohybu bodu (telesa)– ide o závislosť polohy bodu (telesa) v priestore od času.
- Bodová trajektória– ide o geometrické umiestnenie bodu v priestore počas jeho pohybu.
- Rýchlosť bodu (tela)– ide o charakteristiku časovej zmeny polohy bodu (telesa) v priestore.
- Zrýchlenie bodu (tela)– ide o charakteristiku časovej zmeny rýchlosti bodu (telesa).
- Určenie kinematických charakteristík bodu
- Bodová trajektória
Vo vektorovom referenčnom systéme je trajektória opísaná výrazom: .
V súradnicovom referenčnom systéme je trajektória určená zákonom pohybu bodu a je opísaná výrazmi z = f(x,y)- vo vesmíre, príp y = f(x)- v lietadle.
V prirodzenom referenčnom systéme je trajektória vopred špecifikovaná. - Určenie rýchlosti bodu vo vektorovom súradnicovom systéme
Pri špecifikácii pohybu bodu vo vektorovom súradnicovom systéme sa pomer pohybu k časovému intervalu nazýva priemerná hodnota rýchlosti za tento časový interval: .
Ak vezmeme časový interval za nekonečne malú hodnotu, získame hodnotu rýchlosti v danom čase (okamžitú hodnotu rýchlosti): .
Vektor priemernej rýchlosti smeruje pozdĺž vektora v smere pohybu bodu, vektor okamžitej rýchlosti smeruje tangenciálne k trajektórii v smere pohybu bodu.
záver: rýchlosť bodu je vektorová veličina rovnajúca sa časovej derivácii pohybového zákona.
Odvodená vlastnosť: derivácia akejkoľvek veličiny vzhľadom na čas určuje rýchlosť zmeny tejto veličiny. - Určenie rýchlosti bodu v súradnicovom referenčnom systéme
Rýchlosť zmeny súradníc bodu:
.
Modul celkovej rýchlosti bodu s pravouhlým súradnicovým systémom sa bude rovnať:
.
Smer vektora rýchlosti je určený kosínusmi smerových uhlov:
,
kde sú uhly medzi vektorom rýchlosti a súradnicovými osami. - Určenie rýchlosti bodu v prirodzenom referenčnom systéme
Rýchlosť bodu v prirodzenom referenčnom systéme je definovaná ako derivácia zákona o pohybe bodu: .
Podľa predchádzajúcich záverov je vektor rýchlosti nasmerovaný tangenciálne k trajektórii v smere pohybu bodu a v osiach je určený iba jednou projekciou.
- Pevná kinematika karosérie
- V kinematike tuhých telies sa riešia dva hlavné problémy:
1) nastavenie pohybu a určenie kinematických charakteristík tela ako celku;
2) určenie kinematických charakteristík bodov tela. - Translačný pohyb tuhého telesa
Translačný pohyb je pohyb, pri ktorom priamka vedená dvoma bodmi telesa zostáva rovnobežná s jeho pôvodnou polohou.
Veta: počas translačného pohybu sa všetky body telesa pohybujú po rovnakých trajektóriách a v každom časovom okamihu majú rovnakú veľkosť a smer rýchlosti a zrýchlenia.
záver: translačný pohyb tuhého telesa je určený pohybom ktoréhokoľvek z jeho bodov, a preto je úloha a štúdium jeho pohybu redukované na kinematiku bodu.. - Rotačný pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi
Rotačný pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi je pohyb tuhého telesa, pri ktorom dva body patriace telesu zostávajú nehybné počas celej doby pohybu.
Poloha tela je určená uhlom natočenia. Jednotkou merania uhla je radián. (Radián je stredový uhol kruhu, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru; celkový uhol kruhu obsahuje 2π radián.)
Zákon rotačného pohybu telesa okolo pevnej osi.
Uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie telesa určíme metódou diferenciácie:
— uhlová rýchlosť, rad/s;
— uhlové zrýchlenie, rad/s².
Ak rozložíte teleso rovinou kolmou na os, vyberte bod na osi rotácie S a ľubovoľný bod M, potom bod M opíše okolo bodu S polomer kruhu R. Počas dt existuje elementárna rotácia cez uhol , a bod M sa bude pohybovať po trajektórii o určitú vzdialenosť .
Modul lineárnej rýchlosti:
.
Bod zrýchlenia M so známou trajektóriou je určená jej komponentmi:
,
Kde .
V dôsledku toho dostaneme vzorce
tangenciálne zrýchlenie: ;
normálne zrýchlenie: .
Dynamika
Dynamika je úsek teoretickej mechaniky, v ktorom sa študujú mechanické pohyby hmotných telies v závislosti od príčin, ktoré ich spôsobujú.
- Základné pojmy dynamiky
- Zotrvačnosť- ide o vlastnosť hmotných telies udržiavať stav pokoja alebo rovnomerného priamočiareho pohybu, kým vonkajšie sily tento stav nezmenia.
- Hmotnosť je kvantitatívna miera zotrvačnosti telesa. Jednotkou hmotnosti je kilogram (kg).
- Materiálny bod- ide o teleso s hmotnosťou, ktorej rozmery sa pri riešení tohto problému zanedbávajú.
- Ťažisko mechanického systému- geometrický bod, ktorého súradnice sú určené vzorcami:
Kde m k, x k, y k, z k— hmotnosť a súradnice k- ten bod mechanického systému, m— hmotnosť systému.
V rovnomernom ťažisku sa poloha ťažiska zhoduje s polohou ťažiska. - Moment zotrvačnosti hmotného telesa vzhľadom na os je kvantitatívna miera zotrvačnosti počas rotačného pohybu.
Moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom na os sa rovná súčinu hmotnosti bodu druhej mocniny vzdialenosti bodu od osi:
.
Moment zotrvačnosti sústavy (telesa) vzhľadom na os sa rovná aritmetickému súčtu momentov zotrvačnosti všetkých bodov: - Zotrvačná sila hmotného bodu je vektorová veličina, ktorá sa v module rovná súčinu hmotnosti bodu a modulu zrýchlenia a smeruje opačne k vektoru zrýchlenia:
- Zotrvačná sila hmotného telesa je vektorová veličina, ktorá sa modulom rovná súčinu hmotnosti tela a modulu zrýchlenia ťažiska telesa a smeruje opačne k vektoru zrýchlenia ťažiska: ,
kde je zrýchlenie ťažiska telesa. - Elementárny impulz sily je vektorová veličina rovnajúca sa súčinu vektora sily a nekonečne malého časového úseku dt:
.
Celkový silový impulz pre Δt sa rovná integrálu základných impulzov:
. - Elementárna silová práca je skalárna veličina dA, rovná sa skalárnemu proi
- Čaj Taiga: zloženie, indikácie a podmienky skladovania pre kolekciu čaju Taiga
- Aké mäso je pre človeka najzdravšie?
- Znamenia zvestovania Panny Márie, ako aj rituály a zákazy Zvestovacie zvyky a znamenia, čo môžete robiť
- Hubárčenie: všeobecné pravidlá a rady pre začínajúcich hubárov Snívajte o zbieraní húb v lese