Logické a aritmetické základy prevádzky počítača. Aritmetické základy počítačov
V súčasnosti sa v bežnom živote na kódovanie číselnej informácie používa desiatková číselná sústava so základom 10, ktorá využíva 10 prvkov zápisu: čísla 0,1,2,...8,9. Prvá (vedľajšia) číslica označuje počet jednotiek, druhá - desiatky, tretia - stovky atď.; inými slovami, v každej nasledujúcej číslici sa váha číslicového koeficientu zvyšuje 10-krát.
Zariadenia na digitálne spracovanie informácií používajú systém binárnych čísel so základom 2, ktorý používa dva prvky zápisu: 0 a 1.
Napríklad binárne číslo 101011 je ekvivalentné desiatkovému číslu 43:
V digitálnych zariadeniach sa na označenie jednotiek informácií rôznych veľkostí používajú špeciálne výrazy: bit, bajt, kilobajt, megabajt atď. Bit alebo binárna číslica určuje hodnotu jedného znaku v binárnom čísle. Napríklad binárne číslo 101 má tri bity alebo tri číslice. Číslica na pravej strane s najmenšou hmotnosťou sa nazýva junior a číslica vľavo s najvyššou hmotnosťou sa nazýva senior.
Bajt definuje 8-bitovú jednotku informácie, 1 bajt = 23 bitov, napríklad 10110011 alebo 01010111 atď.
Na reprezentáciu viacciferných čísel v binárnom číselnom systéme je potrebný veľký počet binárnych číslic. Nahrávanie je jednoduchšie, ak používate systém hexadecimálnych čísel.
Hexadecimálny číselný systém je založený na čísle 16=, ktoré používa 16 prvkov zápisu: čísla od 0 do 9 a písmená A, B, C, D, E, F. Ak chcete previesť binárne číslo na šestnástkové, stačí rozdeliť binárne číslo do štyroch bitových skupín: celá časť sprava doľava, zlomková časť zľava doprava od desatinnej čiarky. Vonkajšie skupiny môžu byť neúplné.
Každá binárna skupina je reprezentovaná zodpovedajúcim hexadecimálnym znakom (tabuľka 1). Napríklad binárne číslo 0101110000111001 v šestnástkovej sústave je vyjadrené ako 5C39.
Systém desiatkových čísel je pre používateľa najpohodlnejší. Preto mnohé digitálne zariadenia pracujúce s binárnymi číslami prijímajú a vydávajú používateľovi desatinné čísla. V tomto prípade sa používa binárno-desiatkový kód.
Binárny desiatkový kód sa vytvorí nahradením každej desiatkovej číslice čísla štvormiestnym binárnym vyjadrením tejto číslice v binárnom kóde. Napríklad číslo 15 je reprezentované ako 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). V tomto prípade každý bajt obsahuje dve desatinné číslice. Všimnite si, že BCD kód v tejto konverzii nie je binárne číslo ekvivalentné desiatkovému číslu.
Odvetvie matematickej logiky, ktoré študuje vzťahy medzi logickými premennými, ktoré majú iba dve hodnoty, sa nazýva algebra logiky. Algebru logiky vyvinul anglický matematik J. Boole a často sa nazýva Booleovská algebra. Logická algebra je teoretickým základom pre konštrukciu systémov digitálneho spracovania informácií. Najprv sa na základe zákonov logickej algebry vyvinie logická rovnica zariadenia, ktorá umožňuje spájať logické prvky tak, aby obvod vykonával danú logickú funkciu.
-
Aritmetika A hlavolam základy výstavby počítač. V súčasnosti sa v bežnom živote na kódovanie číselnej informácie používa desiatková číselná sústava so základom 10, ktorá využíva 10 prvkov zápisu: čísla 0,1,2,...8,9. V prvom... -
Aritmetika A hlavolam základy výstavby počítač. V súčasnosti sa v každodennom živote na kódovanie číselných informácií používa desatinné s. Princíp ovládania programu počítač. -
Názov " elektronické výpočtový auto» zodpovedá pôvodnej aplikácii počítač- ty viac ". Aritmetika A hlavolam základy výstavby počítač. -
1642 - Pascal vyvinul model výpočtový autá na popravu aritmetika akcie ( postavený v roku 1845 a nazývalo sa „Pascalovo koleso“).
Prebieha výskum v oblasti optoelektroniky a budova na jej základe počítač... -
Základný princíp výstavby všetko moderné počítač je softvérové ovládanie. Základy učenie o architektúre výpočtový autá
Skutočná štruktúra počítač oveľa komplikovanejšie ako to, o ktorom sme hovorili vyššie (možno ho nazvať logickéštruktúra). -
Stačí si stiahnuť cheat sheets logické programovanie - a žiadna skúška pre vás nie je desivá!
Základy programovanie v Turbo-Prolog: aritmetika výpočty a porovnávacie operácie. -
Počítačové modelovanie - základ reprezentácia znalostí v počítač (výstavby rôzne bázy znalostí).
6) Testovanie a ladenie: - syntaktické ladenie. - sémantické ladenie (ladenie logickéštruktúry). - testovacie výpočty, analýza výsledkov testov... -
Metóda je spôsob, spôsob, ako dosiahnuť cieľ, Stavebníctvo strom porúch.
3. definovať vzťah medzi príčinou a hlavnými udalosťami v pojmoch logické Operácie „AND“ a „ALEBO“. -
Pre vedu majú veľký význam, sú piliermi logika, pretože bez týchto zákonov logiky nemysliteľné. hlavolam zákony sú objektívne existujúce a nevyhnutne aplikované pravidlá výstavby logické myslenie. -
Informačný model je východiskovým bodom pre výstavby datalogický databázový model a slúži ako prechodný model pre špecialistov na danú problematiku (napr
Potom na ňu základ koncepčný ( logické), interné (fyzické) a externé modely.
Nájdené podobné stránky:10
Prednáška 1. Úvod Aritmetické a logické základy počítačov. Aritmetické základy počítačov. Logické základy počítačov. Základné princípy algebry logiky. Logické prvky. Zákony a identity algebry logiky.
Elektronické počítače vykonávajú aritmetické a logické operácie pomocou dvoch tried premenných: čísel a logických premenných. čísla nesú informácie o kvantitatívnych charakteristikách systému, vykonávajú sa na nich aritmetické operácie. Booleovské premenné určiť stav systému alebo či patrí do určitej triedy stavov (prepínanie kanálov, riadenie činnosti počítača podľa programu atď.) Logické premenné môžu nadobúdať iba dve hodnoty: pravda A klamať. V zariadeniach na digitálne spracovanie informácií sú tieto dve premenné hodnoty spojené s dvoma úrovňami napätia: vysoká - ( logické "1")anízke- (logická 0"). Tieto hodnoty však nevyjadrujú význam množstva. Prvky, ktoré vykonávajú jednoduché operácie s takýmito binárnymi signálmi, sa nazývajú logické. Na základe logických prvkov sa vyvíjajú zariadenia, ktoré vykonávajú aritmetické aj logické operácie.
V súčasnosti sa logické prvky (LE) implementujú pomocou rôznych technológií, ktoré určujú číselné hodnoty hlavných parametrov LE a v dôsledku toho ukazovatele kvality zariadení na digitálne spracovanie informácií vyvinutých na ich základe. Preto je v tomto návode venovaná náležitá pozornosť návrhu obvodov a parametrom LE rôznych technológií.
Aritmetické základy počítačov
V súčasnosti sa v bežnom živote na kódovanie číselných informácií používa desiatková číselná sústava so základom 10, ktorá využíva 10 označovacích prvkov: čísla 0, 1, 2, ... 8, 9. Prvá (vedľajšia) číslica označuje číslo jednotiek, druhá - desiatky, tretia - stovky atď.; inými slovami, v každej nasledujúcej číslici sa váha číslicového koeficientu zvyšuje 10-krát.
Zariadenia na digitálne spracovanie informácií používajú systém binárnych čísel so základom 2, ktorý používa dva prvky označenia: 0 a 1. Váhy bitov zľava doprava od najmenej významných po najvýznamnejšie sa zvyšujú 2-krát, to znamená, že majú nasledujúcu postupnosť: 8421. Vo všeobecnosti táto postupnosť vyzerá takto:
…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …
a používa sa na prevod binárneho čísla na desiatkové číslo. Napríklad binárne číslo 101011 je ekvivalentné desiatkovému číslu 43:
2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43
V digitálnych zariadeniach sa na označenie jednotiek informácií rôznych veľkostí používajú špeciálne výrazy: bit, bajt, kilobajt, megabajt atď.
Trocha alebo Binárna číslica určuje hodnotu jedného znaku v binárnom čísle. Napríklad binárne číslo 101 má tri bity alebo tri číslice. Volá sa číslica úplne vpravo s najmenšou váhou mladší, a ten úplne vľavo s najväčšou váhou je senior.
Bajt definuje 8-bit jednotka informácie, 1 bajt = 23 bitov, napríklad 10110011 alebo 01010111 atď., 1 kbajt = 2 10 bajtov, 1 MB = 2 10 kbajtov = 2 20 bajtov.
Na reprezentáciu viacciferných čísel v binárnom číselnom systéme je potrebný veľký počet binárnych číslic. Nahrávanie je jednoduchšie, ak používate systém hexadecimálnych čísel.
Základ hexadecimálna sústavačíslo je číslo 16 = 2 4, ktoré používa 16 prvkov zápisu: čísla od 0 do 9 a písmená A, B, C, D, E, F. Na prevod binárneho čísla na šestnástkové stačí rozdeliť dvojkové číslo číslo do štvorbitových skupín: celá časť sprava doľava, zlomková - zľava doprava od desatinnej čiarky. Vonkajšie skupiny môžu byť neúplné.
Každá binárna skupina je reprezentovaná zodpovedajúcim hexadecimálnym znakom (tabuľka 1). Napríklad binárne číslo 0101110000111001 v šestnástkovej sústave je vyjadrené ako 5C39.
Systém desiatkových čísel je pre používateľa najpohodlnejší. Preto mnohé digitálne zariadenia pracujúce s binárnymi číslami prijímajú a vydávajú používateľovi desatinné čísla. V tomto prípade sa používa binárny desiatkový kód.
BCD kód sa vytvorí nahradením každej desatinnej číslice čísla štvorbitovou binárnou reprezentáciou tejto číslice v binárnom kóde (pozri tabuľku 1). Napríklad číslo 15 je reprezentované ako 00010101 BCD (BinaryCodedDecimal). V tomto prípade každý bajt obsahuje dve desatinné číslice. Všimnite si, že BCD kód v tejto konverzii nie je binárne číslo ekvivalentné desiatkovému číslu.
V digitálnych zariadeniach musíte pracovať s rôznymi typmi informácií. Ide o čisté binárne informácie, napríklad či je zariadenie zapnuté alebo vypnuté, či zariadenie funguje alebo nie. Informácie môžu byť prezentované vo forme textov a potom musia byť písmená abecedy zakódované pomocou binárnych úrovní signálu. Pomerne často môžu byť informácie vo forme čísel. Čísla môžu byť reprezentované v rôznych číselných sústavách. Forma, v akej sú v nich zapísané čísla, sa od seba výrazne líši, preto predtým, ako prejdeme k vlastnostiam reprezentácie čísel v digitálnej technológii, zvážime ich zaznamenávanie v rôznych číselných systémoch.
Číselné sústavy
Číselný systém je súbor techník a pravidiel na reprezentáciu čísel pomocou digitálnych znakov.
Existuje mnoho spôsobov, ako písať čísla pomocou digitálnych znakov, ale každý použitý číselný systém musí poskytovať:
- rozsah zastúpenia ľubovoľného čísla;
- jedinečnosť zobrazenia (každá kombinácia symbolov zodpovedá len jednej hodnote).
Všetky číselné sústavy sa delia na pozičné a nepozičné. IN nepozičný číselný systém Význam číslice kdekoľvek v čísle je rovnaký, t.j. nezávisí od polohy umiestnenia. Napríklad unárny systém s jedným symbolom rovným jednému. Tento číselný systém je určený na celkové počítanie (uzlíky pre „pamäť“, zárezy, čiarky, počítanie na prstoch atď.). Ak chcete zobraziť číslo v tomto systéme, musíte si zapísať počet jednotiek (palíc), ktorý sa rovná danému číslu. Tento systém je neúčinný, pretože číslo je príliš dlhé.
Ďalším príkladom „takmer nepozičného“ číselného systému je rímsky systém počítania. Rímsky systém počítania používa nasledujúce symboly:
I - 1; V - 5; X - 10; b - 50; C - 100; 0-500; M – 1000.
Pravidlá pre prevod z rímskeho číselného systému do arabského systému sú nasledovné. Menšie číslo napravo od väčšieho čísla sa pripočíta k väčšiemu číslu a menšie číslo naľavo od väčšieho čísla sa od väčšieho čísla odpočíta.
Príklad prekladu z rímskeho systému do arabského číselného systému:
SSHUUP = 100 + 100 + 10 + 5 + 5 + 1 + 1 = 222;
Х1Х1У = 10 + (10 - 1) = 19.
Ako vyplýva z prekladového pravidla, rímsky systém nie je úplne nepozičný. Tento systém je málo používaný (ciferník, architektúra, história atď.).
Polohové číselné sústavy - ide o číselné sústavy, v ktorých je hodnota číslice v číselnom zázname N závisí od jeho polohy (miesta). Napríklad v desiatkovej číselnej sústave číslo 05 znamená päť jednotiek, 50 päť desiatok, 500 päť stoviek atď.
Základňa (základňa)číselné sústavy (ts) - je to počet znakov alebo symbolov používaných na reprezentáciu čísel v danej číselnej sústave.
Je možný nekonečný počet pozičných číselných sústav, pretože za základ možno vziať akékoľvek číslo a vytvoriť nový číselný systém.
Príklady niektorých pozičných číselných sústav a ich aplikácie sú uvedené v tabuľke. 2.1.
V tabuľke 2.2 je pre ľahšie porovnanie uvedených prvých 23 čísel prirodzeného radu čísel v rôznych číselných sústavách.
Ako je možné vidieť z tabuľky. 2.2, na zapísanie toho istého čísla v rôznych číselných sústavách je potrebný iný počet pozícií alebo číslic. Napríklad 14 |0 = 1 1 10 2 = 16 8 = E [v. To znamená, že v desiatkovej číselnej sústave číslo 14 zaberá dve pozície (dve číslice), v binárnej číselnej sústave - štyri pozície, v šestnástkovej sústave - jednu pozíciu. Čím menší je základ číselnej sústavy
Príklady pozičných číselných sústav
názov mŕtve zúčtovanie |
Základňa mŕtve zúčtovanie |
Použité |
Aplikácia |
Binárne |
V digitálnej výpočtovej technike, diskrétnej matematike, programovaní |
||
Trojica |
Akékoľvek tri znamienka: (-, 0,+), (-1,0,+1), (A, B, S), (X, Y, T) alebo tri číslice: (1,2,3) |
V digitálnej elektronike |
|
Octal |
|||
Desatinné |
Všadeprítomný |
||
Šestnásť |
A, B, C, T |
V digitálnej výpočtovej technike, programovaní |
|
šesťdesiat |
00, 01,02,..., 59 |
Ako jednotky času, uhly, súradnice, zemepisná dĺžka a šírka |
Pre danú dĺžku bitovej mriežky je obmedzená maximálna absolútna hodnota čísla, ktoré je možné zapísať.
Nech sa dĺžka bitovej mriežky rovná kladnému číslu./V, maximálny počet je
?^((Dtah - Ja ~ 1
Napríklad kedy N= 8:
Lu)tah = Yu 8 - 1 = 9999999 (| 0) ;
L(2)max - 2 8 - 1 = 256 - 1 = 257 (|0) = 1111111 (2);
A ( 1 6) max = 16 8 - 1 =4294967296 - 1 = 4294967295 (10) = RRRRRRR (16) .
Teda s rovnakou dĺžkou bitovej mriežky N=8 maximum v absolútnej hodnote L (16)P1ax > L (10)P1ax > L (2)gpax, t.j. čím viac #, tým viac L ((?) max.
Prirodzené čísla v rôznych číselných sústavách
Desatinné |
Binárne |
Octal |
Hexadecimálne |
Preklad v pozičných číselných sústavách
Prevod do desiatkovej číselnej sústavy. Akékoľvek číslo N v pozičnom číselnom systéme môže byť reprezentovaný ako polynóm
Na prevod do desiatkovej sústavy vypočítame túto sumu.
Napríklad číslo 253,24 10 v bežnom desiatkovom tvare (
Príklad 2.1. Preveďte binárne číslo 1101.01(2) do desiatkovej číselnej sústavy.
Systém binárnych čísel používa dve číslice 0 A 1 A binárne ČÍSLO 1 1 01.012 (
TU 2 = 1101,01 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 2° + 0 2 _| + 12-2 =
“=8 + 4 + 0+1+0+1/4= 14,25 10 .
Ak podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky vykonáme akcie na pravej strane vyššie uvedenej rovnosti, získame desiatkový ekvivalent binárneho čísla:
1101,01 2 = 8 + 4 + 0+ 1 +0 + 1/4 = 14,25 10 .
Príklad 2.2. Preveďte osmičkové číslo 53,2 8 (# = 8) do desiatkovej sústavy:
2560 + 240 + 7 + 8/16 = 2807,25 10 .
Prevod čísel z desiatkovej číselnej sústavy do ľubovoľnej číselnej sústavy so základnými pravidlami prekladu celú časť Desatinné číslo je nasledovné. Celá časť desatinného čísla sa musí postupne deliť ts(základ ľubovoľnej číselnej sústavy), kým sa desiatkové číslo nestane nulou. Zvyšky získané delením a zapísané v poradí, počnúc posledným zvyškom, sú číslice čísla ^-árnej číselnej sústavy.
Pravidlá prekladu zlomková časť Desatinné čísla sú nasledovné. Zlomková časť desatinného čísla sa musí postupne vynásobiť (základ ľubovoľného systému) a celá časť sa musí oddeliť, kým sa nerovná nule alebo kým sa nedosiahne špecifikovaná presnosť prekladu.
Celé časti výsledkov násobenia v poradí, v akom boli získané, tvoria číslo v novom systéme.
Príklad 2.4. Preveďte číslo 26,625 10 do binárnej číselnej sústavy.
Preložíme celú časť čísla:
- 26: 2 = 13, zvyšok 0;
- 13:2 = 6, zvyšok je 1;
- 6:2 = 3, zvyšok 0;
- 3:2=1, zvyšok je 1;
- 1:2 = 0, zvyšok je 1.
Desatinné číslo sa zmení na nulu, delenie je dokončené. Všetky zvyšky prepíšeme zdola nahor a dostaneme binárne číslo 11010 2.
- 0,625 2 = 1,250, celé číslo časť 1;
- 0,250 2 = 0,500, celé číslo časť 0;
- 0,500 2 = 1,000, celé číslo časť 1;
- 0,000 2 = 0,000, celá časť 0.
Celá časť sa rovná nule. Prepíšeme celočíselné časti výsledkov násobenia zhora nadol a dostaneme binárne číslo 0,1010 2.
Príklad 2.5. Preveďte číslo 70,05 10 do osmičkového číselného systému s presnosťou na 4 číslice.
Preložíme celú časť čísla:
- 70: 8 = 8, zvyšok je 6;
- 8:8=1, zvyšok je 0;
- 1: 8 = 0, zvyšok je 1.
Desatinné číslo sa zmení na nulu, delenie je dokončené. Všetky zvyšky prepíšeme zdola nahor a dostaneme osmičkové číslo 106 8.
Prevod zlomkovej časti čísla:
- 0,05 8 = 0,40, celá časť 0;
- 0,40 8 = 3,20, celá časť 3;
- 0,30 8 = 2,40, celá časť 2;
- 0,40 8 = 3,20, celá časť 3.
Celočíselná časť sa nerovná nule, získa sa nekonečný rad, proces prekladu je dokončený, pretože bola dosiahnutá špecifikovaná presnosť. Prepíšeme celočíselné časti výsledkov násobenia zhora nadol a dostaneme osmičkové číslo 0,0323 8.
Príklad 2.6. Preveďte číslo 76,05 10 do hexadecimálnej číselnej sústavy s presnosťou na 4 číslice.
Preložíme celú časť čísla:
- 76: 16 = 4, zvyšok je 12 -» C;
- 4: 16 = 0, zvyšok je 4.
Desatinné číslo sa zmení na nulu, delenie je dokončené. Všetky zvyšky prepíšeme zdola nahor a dostaneme hexadecimálne číslo 4C 16.
Prevod zlomkovej časti čísla:
- 0,05 16 = 0,80, celá časť 0;
- 0,80 16 = 12,80, celá časť 12 -> C;
- 0,80 16 = 12,80, celá časť 12 -> C;
- 0,80 -16= 12,80, celá časť 12 -> C.
Celá časť sa nerovná nule, získa sa nekonečný rad, proces prekladu je dokončený, pretože bola dosiahnutá špecifikovaná presnosť. Prepíšeme celé časti výsledkov násobenia zhora nadol a dostaneme hexadecimálne číslo 0,0ССС 16.
Príklad 2.7. Preveďte číslo 6610 na ľubovoľnú číselnú sústavu, napríklad so základom c = 5.
Preložíme celú časť čísla:
- 66: 5 = 13, zvyšok je 1;
- 13:5 = 2, zvyšok je 3;
- 2:5 = 0, zvyšok je 2.
Desatinné číslo sa zmení na nulu, delenie je dokončené. Všetky zvyšky prepíšeme zdola nahor a dostaneme päťnásobné číslo 231 5.
Konvertovať z binárneho na osmičkové a hexadecimálne. Pre tento typ operácie existuje zjednodušený algoritmus.
Preklad celej časti.Číslo 2 sa zvýši na výkon potrebný na získanie základu systému, na ktorý sa vyžaduje konverzia. Pre osmičkovú sústavu (8 = 23) dostaneme číslo 3 (triáda), pre šestnástkovú sústavu (16 = 24) číslo 4 (tetrada).
Číslo, ktoré sa má preložiť, rozdelíme na počet číslic rovný 3 pre osmičkovú číselnú sústavu a rovný 4 pre šestnástkovú číselnú sústavu.
Trojice transformujeme podľa tabuľky triád pre osmičkovú sústavu a tetrády podľa tabuľky tetrád pre šestnástkovú číselnú sústavu (tab. 2.3).
Príklad 2.8. Preveďte binárne číslo 101110 2 na osmičkové a hexadecimálne číselné systémy:
- osmičková - 101 110 -> 56 8;
- hexadecimálne - 0010 1110 -> 2 E ]v.
Preklad zlomkovej časti. Algoritmus na prevod zlomkovej časti z dvojkovej číselnej sústavy na osmičkovú a hexadecimálnu číselnú sústavu je podobný algoritmu pre celé číslo,
Tabuľka triád a tetrád
ale rozdelenie na triády a tetrády ide vpravo od desatinnej čiarky, chýbajúce číslice sú doplnené nulami vpravo.
Príklad 2.9. Preveďte 11101.01011 2 na osmičkové a hexadecimálne číselné sústavy:
- osmičková - 011 101,010 110 -> 35,26 8;
- hex - 0001 1101,0101 1000 -> 1Z),58, 6 .
Konvertovať z osmičkových a šestnástkových systémov na binárne.
Pre tento typ operácie existuje zjednodušený inverzný algoritmus. Pre osmičkovú sústavu prevádzame podľa tabuľky na trojičky: 0->000 4 -> 100;
- 1 -> 001 5 -> 101;
- 2 -> 010 6 -> 110;
- 3 -> 011 7 -> 111.
Pre šestnástkovú sústavu prevádzame podľa tabuľky na kvartetá:
A -> 1010 |
|||
IN-> 1011 |
Príklad 2.10. Preveďte osmičkové číslo 2438 a hexadecimálne číslo 7C 16 na binárnu číselnú sústavu:
- 243 8 -> ON 100011 2;
- 7C 16 -> 1111 1100 2.
Binárna aritmetika
Doplnenie. Tabuľka na sčítanie binárnych čísel je jednoduchá:
- 0 + 0 = 0;
- 0+1 = 1;
- 1+0=1;
- 1 + 1 = 10;
- 1 + 1 + 1 = 11.
Keď sa pridajú dve jednotky, číslica pretečie a prenesie sa na najvýznamnejšiu číslicu. Pretečenie číslic nastane, keď sa hodnota čísla v ňom rovná alebo je väčšia ako základ.
Príklad 2.11. Vykonajte sčítanie v binárnej číselnej sústave.
1 1 1 Presuňte sa do vyššieho poradia
1 1 0 0 0 1 = 49 - prvý termín
- 1 1 0 1 1 = 27 - druhý termín
- 1 0 0 1 1 0 0 = 76 - súčet
Binárne odčítanie. Pozrime sa na pravidlá odčítania menšieho čísla od väčšieho. V najjednoduchšom prípade majú pre každú číslicu binárne pravidlá odčítania tvar
- 2 2 11
- 0 10 1
Pri odčítaní (0 - 1) sa požičiava z vyššej číslice. Otáznik znamená, že číslica menovky sa mení v dôsledku pôžičky podľa pravidla: pri odčítaní (0-1) od číslice rozdielu sa získa jedna, číslice menovky, začínajúc od nasledujúcej jedna, zmeňte na opačnú (obrátenú) až po prvú počítaciu jednotku (vrátane). Potom sa menovka odčíta od zmenených číslic.
Pozrime sa na príklad odčítania viacciferných čísel (menšie číslo sa odčíta od väčšieho čísla).
Príklad 2.12. Odčítanie v binárnej číselnej sústave:
- 0 111 Zmena zníženia úveru
- 1 1 0 0 0 1 = 49 - minuend
- 11011 - 21 - subtrahend
- 10 1 1 0 = 22 - rozdiel
Násobenie. Operácia násobenia sa vykonáva pomocou tabuľky násobenia podľa bežnej schémy (používanej v sústave desiatkových čísel) s postupným násobením násobiteľa ďalšou číslicou násobiteľa.
Príklad 2.13. Násobenie v binárnej číselnej sústave:
- *1011
- 1011
- 110111
divízie. Pri delení podľa stĺpca musíte vykonať násobenie a odčítanie ako medzivýsledky.
Zápis desiatkových čísel (binárne kódované desiatkové číslo)
Niekedy je vhodné ukladať čísla do pamäte procesora v desiatkovej forme (napríklad na zobrazenie). Na zápis takýchto čísel sa používajú binárne desiatkové kódy. Na zaznamenanie jedného desatinného miesta sa používajú štyri binárne bity (tetrady). So štyrmi bitmi môžete zakódovať 16 číslic (2 4 = 16). Extra kombinácie v binárnom desiatkovom kóde sú zakázané. Zhoda medzi binárnym desiatkovým kódom a desiatkovými číslicami je uvedená v tabuľke. 2.4.
Tabuľka 2.4
Korešpondencia medzi BCD a desatinnými číslicami
BCD kód |
Desatinný kód |
|||
Zostávajúce kombinácie binárnych kódov v tetráde sú zakázané.
Príklad 2.14. Napíšte binárny desiatkový kód čísla 1258 10 -
1258 w = 0001 0010 0101 1000 2 .
Prvý zošit obsahuje číslo 1, druhý – 2, tretí – 5 a posledný zošit obsahuje číslo 8. V tomto príklade boli na napísanie čísla 1258 potrebné štyri zošity. Počet pamäťových buniek mikroprocesora závisí od jeho kapacity. Pri 16-bitovom procesore sa celý počet zmestí do jednej pamäťovej bunky.
Príklad 2.15. Napíšte binárny desiatkový kód pre číslo 589 10:
589 10 = 0000 0101 1000 1001 2 .
V tomto príklade stačia na zaznamenanie čísla tri notebooky, ale pamäťová bunka je 16-bitová. Preto je najvyššia tetráda vyplnená nulami. Nemenia význam číslice.
Pri písaní desatinných čísel je často potrebné zapísať znamienko čísla a desatinnú čiarku (v anglicky hovoriacich krajinách bodku). BCD sa často používa na vytáčanie telefónneho čísla alebo vytáčanie kódov telefónnej služby. V tomto prípade sa okrem desatinných číslic často používajú aj symboly „*“ alebo „#“. Na zápis týchto znakov v binárnom desiatkovom kóde sa používajú zakázané kombinácie (tabuľka 2.5).
Tabuľka 2.5
Zodpovedajúce BCD a ďalšie znaky
Pomerne často je v pamäti procesora alokovaná jedna pamäťová bunka (8-, 16- alebo 32-bitová) na uloženie jednej desatinnej číslice. Toto sa vykonáva na zvýšenie rýchlosti programu. Na odlíšenie tohto spôsobu zápisu čísla BCD od štandardného spôsobu zápisu desatinného čísla, ako je znázornené v príklade, sa nazýva zbalená forma BCD.
Príklad 2.16. Napíšte rozbalený BCD kód pre číslo 1258 10 pre 8-bitový procesor:
- 1258 00000001
- 00000010 00000101 00001000
Prvý riadok obsahuje číslo 1, druhý - 2, tretí - 5 a posledný riadok obsahuje číslo 8. V tomto príklade boli na napísanie čísla 1258 potrebné štyri riadky (pamäťové bunky).
Súčet binárnych desatinných čísel. Sčítanie binárnych desiatkových čísel sa môže uskutočniť podľa pravidiel bežnej binárnej aritmetiky a potom sa môže vykonať binárna desiatková korekcia. Korekcia BCD pozostáva z kontroly každej tetrády na platné kódy. Ak sa v ktorejkoľvek tetráde zistí zakázaná kombinácia, znamená to pretečenie. V tomto prípade je potrebné vykonať binárnu desiatkovú korekciu. Korekcia BCD spočíva v dodatočnom sčítaní čísla šesť (počet zakázaných kombinácií) s tetrádou, v ktorej došlo k pretečeniu alebo k prechodu na najvyššiu tetrádu. Tu je príklad:
- 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
- 0 0 10 10 11
V druhom zošite sa našla zakázaná kombinácia. Vykonávame binárnu desiatkovú opravu: číslo šesť sčítame s druhou tetrádou:
- 0 0 10 10 11
- 0 0 0 0 0 1 1 0
- 0 0 1 1 0 0 0 1
Formy počítačovej reprezentácie číselných údajov
V matematike sa používajú dve formy zápisu čísel: prirodzená (číslo sa zapisuje v prirodzenom tvare) a normálne (zápis čísla sa môže líšiť v závislosti od obmedzení kladených na formu).
Príklady prirodzený tvar písanie čísel:
- 15300 - celé číslo; 0,000564 - vlastný zlomok;
- 6,4540 je nesprávny zlomok.
Príklad normálny tvar nahrávky s rovnakým počtom 25 340 v závislosti od obmedzení uložených na normálnu formu:
25 340 = 2,534 - 10 4 = 0,2534 - 10 5 = 2534000 - 10“ 2 atď.
Vo výpočtovej technike s prirodzenou reprezentáciou čísel je stanovená dĺžka bitovej mriežky, ako aj pevná distribúcia zlomkových a celých častí. Preto sa tento spôsob reprezentácie čísel nazýva c pevný bod.
Reprezentácia čísla v normálnej forme sa nazýva reprezentácia s pohyblivou rádovou čiarkou(pozícia čiarky sa mení).
Väčšinou sálové počítače pracujú s číslami reprezentovanými vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou a špecializované počítače pracujú s číslami s pevnou rádovou čiarkou, ale množstvo strojov pracuje s číslami v týchto dvoch formátoch.
Povaha programovania závisí od spôsobu, akým sú čísla reprezentované.
Teda pri písaní programov pre počítače bežiace v systéme s pevný bod, sledovanie pozície čiarky je nevyhnutné a na vykonávanie operácií s s pohyblivou rádovou čiarkou je potrebný väčší počet mikrooperácií, čo znižuje rýchlosť počítača.
Pevná čiarka (bodka)
V moderných počítačoch sa metóda reprezentácie čísel s pevnou desatinnou čiarkou vo výpočtovej technike používa predovšetkým na reprezentáciu celých čísel.
Keďže čísla môžu byť kladné a záporné, v bitovej mriežke, keď ich reprezentujú strojom, jeden alebo dva bity (pre upravené kódy) sú pridelené znamienku čísla a zvyšné bity tvoria číselné pole. Znamenkové bity, ktoré môžu byť umiestnené buď na začiatku alebo na konci čísla, obsahujú informáciu o znamienku čísla. Znamienko „+“ je kódované ako nula, znamienko „-“ je kódované ako jedna. V prípade upravených kódov je znak „+“ kódovaný dvoma nulami a znak „-“ je kódovaný dvoma jednotkami. Na zistenie nesprávnych výsledkov výpočtu sa zavádzajú upravené kódy, t.j. keď výsledok presahuje maximálnu veľkosť bitovej mriežky a je potrebný prenos z významného bitu.
Napríklad v dôsledku vykonávania operácií so znamienkovým bitom číslo 01 označuje kladné pretečenie bitovej mriežky a číslo 10 označuje záporné pretečenie bitovej mriežky.
Číselné pole má konštantný počet číslic - P. Rozsah reprezentácie celých čísel je obmedzený na hodnoty -(2 str-1) a +(2"-1).
Napríklad v binárnom kóde s použitím 6-bitovej mriežky môže byť číslo 7 vo forme s pevnou bodkou reprezentované ako
kde číslica naľavo od bodky je znakom čísla a číslice napravo od bodky sú mantisou čísla v priamom kóde. Tu sa predpokladá, že čiarka je pevná napravo od číslice nižšieho rádu a bod na obrázku čísla v tomto prípade jednoducho oddeľuje znamienkový bit od mantisy čísla.
V nasledujúcom texte bude tento typ reprezentácie čísla v strojovej forme často používaný v príkladoch. Môžete použiť inú formu reprezentácie čísla v strojovom tvare:
kde znamienkový bit je oddelený hranatými zátvorkami.
Počet číslic v bitovej mriežke pridelených na reprezentáciu mantisy čísla určuje rozsah a presnosť reprezentácie čísla s pevnou desatinnou čiarkou. Maximálne binárne číslo v absolútnej hodnote predstavujú jednotky vo všetkých čísliciach, okrem znamienka jedna, t.j. pre celé číslo
|/1|max = (2 (P - 1) - 1),
Kde P - po celej dĺžke bitovej mriežky.
V prípade 16-bitovej siete
|L|max = (2(16- 1)-1) = 3276710,
tie. Rozsah reprezentácie celého čísla bude v tomto prípade od +3 276710 do -3276710.
Pre prípad, keď je čiarka fixovaná napravo od číslice nižšieho rádu mantisy, t.j. pre celé čísla, čísla, ktorých modul je väčší ako (2 (P- 1) - 1) a menej ako jedna nie sú znázornené v pevnej bodovej forme. V tomto prípade sa volajú čísla, ktorých absolútna hodnota je menšia ako jednotky najmenej významnej číslice bitovej mriežky stroj nula. Záporná nula je zakázaná.
V niektorých prípadoch, keď je možné pracovať len s modulmi čísel, je celá bitová mriežka, vrátane najvýznamnejšieho bitu, pridelená na reprezentáciu čísla, čo umožňuje rozšíriť rozsah reprezentácie čísel.
Predstavuje záporné čísla vo formáte s pevnou desatinnou čiarkou
Aby sa zjednodušili aritmetické operácie, počítače používajú špeciálne binárne kódy na vyjadrenie záporných čísel: recipročné a doplnkové. Pomocou týchto kódov sa zjednodušuje určenie znamienka výsledku operácie počas algebraického sčítania. Operácia odčítania (alebo algebraického sčítania) je zredukovaná na aritmetické sčítanie operandov, čo uľahčuje vývoj znakov pretečenia bitovej mriežky. V dôsledku toho sú počítačové zariadenia, ktoré vykonávajú aritmetické operácie, zjednodušené.
Je známe, že jedným zo spôsobov, ako vykonať operáciu odčítania, je nahradiť znamienko subtrahendu jeho opačným znamienkom a pridať ho k minuendu:
A-B = A+ (-B).
Toto nahrádza operáciu aritmetického odčítania operáciou algebraického sčítania, ktorú možno vykonať pomocou binárnych sčítačiek.
Na strojové znázornenie záporných čísel sa používajú nasledujúce kódy: dopredný, doplnkový a inverzný. Zjednodušená definícia týchto kódov môže byť uvedená nasledovne. Ak číslo A v bežnom binárnom kóde (priamo binárny kód) zobrazený ako
potom číslo -A v rovnakom kóde je reprezentovaný ako
[-D] Pr-1-A7/gth/7_| J L _2....J G | 0,
a v obrátene(inverzný) kód bude toto číslo vyzerať
[-D] 0 b - 1*^77 *2/7-1 *2 /g _ A 0,
A, - 1 ak 1- 0, i,- = 0, ak i, = 1,
i, je číslica /"-tej číslice binárneho čísla. V dôsledku toho sa pri prechode z priameho kódu na spätný kód všetky číslice matissových číslic čísla obrátia.
Potom číslo -A V dodatočné kód je reprezentovaný ako
Ak teda chcete získať doplnkový kód záporných čísel, musíte najprv invertovať digitálnu časť pôvodného čísla, čo vedie k jeho opačnému kódu, a potom pridať jednotku k najmenej významnej číslici digitálnej časti čísla.
Doplnok čísla sa získa jeho nahradením novým číslom, jeho doplnením o číslo rovnajúce sa váhe číslice nasledujúcej za najvýznamnejšou číslicou bitovej mriežky, ktorá predstavuje mantisu čísla vo formáte s pevnou bodkou. Preto sa takýto číselný kód nazýva dodatočný.
Predstavme si, že máme len dve číslice na vyjadrenie čísel v desiatkovej číselnej sústave. Potom bude maximálne zobrazené číslo 99 a váha tretej, neexistujúcej najvyššej číslice bude 10 2, t.j. 100. V tomto prípade pre číslo 20 bude doplnkové číslo 80, ktoré dopĺňa 20 až 100 (100 - 20 = 80). Preto podľa definície odčítanie
možno nahradiť pridaním:
Tu najvyššia jednotka presahuje pridelenú bitovú mriežku, v ktorej zostáva len číslo 30, t.j. Výsledok odčítania čísla 20 od 50.
Teraz sa pozrime na podobný príklad pre čísla reprezentované v 4-bitovom binárnom kóde. Nájdite dodatočné číslo pre 0010 2 = 2 10. Musíme odpočítať 0010 od 0000, dostaneme 1110, čo je doplnkový kód 2. Číslica uvedená v hranatých zátvorkách v skutočnosti neexistuje. Ale keďže máme 4-riadkovú mriežku, je v princípe nemožné vykonať takéto odčítanie a ešte viac sa snažíme odčítania zbaviť. Dodatočný číselný kód sa preto získa spôsobom opísaným vyššie, t.j. Najprv získajú reverzný kód čísla a potom k nemu pridajú jedničku. Keď sme to všetko urobili s naším číslom (2), je ľahké vidieť, že dostaneme podobnú odpoveď.
Zdôrazňujeme, že kódy dvojkového doplnku a dvojkového doplnku sa používajú iba na reprezentáciu záporných binárnych čísel vo forme s pevnou bodkou. Kladné čísla v týchto kódoch nemenia svoj obraz a sú znázornené ako v priamom kóde.
Digitálne číslice záporného čísla v priamom kóde teda zostanú nezmenené a do znakovej časti sa zapíše jednotka.
Pozrime sa na jednoduché príklady.
Sedem v priamom kóde je znázornené takto:
Pr = 0,0001112.
Číslo -7 v priamom kóde
[-7] pr = 1,000111 2,
a v opačnom kóde to bude vyzerať
[-7] rev = 1,111000 2,
tie. jednotky sú nahradené nulami a nuly sú nahradené jednotkami. Rovnaké číslo v dvojkovom doplnkovom kóde bude
[-7] extra = 1,111001 2 .
Uvažujme znova o tom, ako sa procedúra odčítania, využívajúca reprezentáciu subtrahendu v dvojkovom doplnkovom kóde, redukuje na procedúru sčítania. Odčítajte číslo 7 od 10: 10-7 = 3. Ak sú oba operandy uvedené v priamom kóde, postup odčítania sa vykoná takto:
0.001010 -1.000111 0.000011 =310.
A ak je subtrahendable, t.j. -7, prezentované v kóde dvoch doplnkov, potom sa postup odčítania zredukuje na postup sčítania:
0.001010 + 1,111001 1 0.000011 =310.
V súčasnosti počítače zvyčajne používajú dvojkový doplnkový kód na vyjadrenie záporných čísel vo formáte s pevnou bodkou.
Reálne čísla
Volajú sa číselné veličiny, ktoré môžu nadobudnúť ľubovoľnú hodnotu (celé a zlomkové). reálne čísla.
Reálne čísla sú reprezentované v pamäti počítača vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou. Forma s pohyblivou rádovou čiarkou používa reprezentáciu reálnych čísel ja ako produkt mantisy T na základe číselného systému R do istej miery P ktorá sa volá v poriadku:
ja= w r p.
Napríklad číslo 25.324 možno zapísať takto:
Tu T= 0,25324 - mantisa; P= 2 - poradie. Poradie udáva, koľko polôh a akým smerom má „plávať“, t.j. posun, desatinná čiarka v mantise. Odtiaľ pochádza názov „plávajúca desatinná čiarka“.
Platia však aj nasledujúce rovnosti:
25,324 = 2,5324 - 10 1 = 0,0025324 10 4 = 2532,4 - 10" 2 atď.
Ukazuje sa, že reprezentácia čísla vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou je nejednoznačná? Aby sa predišlo nejednoznačnosti, používajú počítače normalizovaná reprezentácia čísla vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou. Mantisa v normalizovanom zobrazení musí spĺňať podmienku
Inými slovami, mantisa je menšia ako jedna a prvá platná číslica nie je nula. To znamená, že pre uvažované číslo bude normalizované zobrazenie 0,25324 10 2. Rôzne typy počítačov používajú rôzne možnosti reprezentácie čísel vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou. Pozrime sa napríklad na jeden z možných. Nech je reálne číslo reprezentované v pamäti počítača vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou v binárnej číselnej sústave (R= 2) a zaberá bunku s veľkosťou 4 bajty. Bunka musí obsahovať nasledujúce informácie o čísle: znamienko čísla, poradie a významné číslice mantisy. Takto sú tieto informácie usporiadané v bunke:
Najvýznamnejší bit 1. bajtu ukladá znamienko čísla. V tejto číslici nula označuje plus, jedna - mínus. Zvyšných 7 bitov prvého bajtu obsahuje strojové poradie. Nasledujúce tri bajty ukladajú významné číslice mantisy.
Sedem binárnych číslic obsahuje binárne čísla v rozsahu od 0000000 do 1111111. V desiatkovej sústave to zodpovedá rozsahu od 0 do 127 – spolu 128 hodnôt. Znak objednávky nie je uložený v bunke. Ale poradie, samozrejme, môže byť pozitívne alebo negatívne. Je rozumné rozdeliť týchto 128 hodnôt rovnomerne medzi hodnoty kladného a záporného poradia.
V tomto prípade sa medzi strojovým poradím a skutočným (nazvime to matematický) vytvorí nasledujúca zhoda:
Strojové poradie |
|||||||||||
Matematické poradie |
Ak označujeme strojový poriadok Pán a matematické - R, potom spojenie medzi nimi bude vyjadrené vzorcom
Pán = p + 64.
Takže strojové poradie je posunuté oproti matematickému o 64 jednotiek a má len kladné hodnoty. Pri výpočtoch s pohyblivou rádovou čiarkou procesor zohľadňuje tento posun.
Výsledný vzorec je zapísaný v desiatkovej sústave. Keďže 64 |0 = 40 16 (skontrolujte!), potom v hexadecimálnej sústave bude mať vzorec tvar
Мр 1в = Рб + 40 16.
A nakoniec binárne
Мр 2 = р 2 + yuo 0000 2.
Teraz môžeme napísať internú reprezentáciu 25 324 vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou.
- 1. Preveďme to na binárnu číselnú sústavu s 24 platnými číslicami:
- 25,324 10 = 11001,0101001011110001101 2 .
- 2. Napíšte ho vo forme normalizovaného binárneho čísla s pohyblivou rádovou čiarkou:
- 0,110010101001011110001101 Yu 101 .
Tu sú mantisa, radix (2 10 = 10 2) a exponent (5 10 = 101 2) zapísané binárne.
3. Vypočítajme poradie stroja:
Pán 2 = 101 + 100 0000= 100 0101.
4. Napíšte znázornenie čísla do pamäťovej bunky:
Na získanie internej reprezentácie záporného čísla -25,324 stačí nahradiť 0 v znamienkovej číslici čísla 1 v kóde získanom vyššie.
A v hexadecimálnom tvare:
Nedochádza tu k žiadnej inverzii, ako pri záporných číslach s pevnou desatinnou čiarkou.
Uvažujme konečne o otázke rozsahu čísel reprezentovateľných vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou. Je zrejmé, že kladné a záporné čísla sú umiestnené symetricky okolo nuly. Preto sú maximálne a minimálne čísla rovnaké v absolútnej hodnote: ja ta =|/? T; p |. Najmenšie číslo v absolútnej hodnote je nula. Akú hodnotu má I tah? Toto je číslo s najväčšou mantisou a najväčším exponentom:
0,11111111111111111111111 yu5 111Sh.
Ak prevedieme do desiatkovej sústavy, dostaneme
L max = (1-2-24)-264 = 1019.
Je zrejmé, že rozsah reálnych čísel je oveľa širší ako rozsah celých čísel. Ak je výsledkom výpočtov číslo, ktorého absolútna hodnota je väčšia ako Ja som tah potom sa procesor preruší. Táto situácia sa nazýva pretečenie s pohyblivou rádovou čiarkou. Najmenšia nenulová hodnota modulo je
(1/2) 2 -64 = 2 -66 .
Akékoľvek hodnoty menšie ako táto absolútna hodnota sú procesorom vnímané ako nulové.
Ako vieme z matematiky, množina reálnych čísel je nekonečná a spojitá. Množina reálnych čísel, ktoré môžu byť reprezentované v pamäti počítača vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou, je obmedzená a diskrétna. Každá nasledujúca hodnota sa získa pridaním jednej v poslednej (24.) číslici k mantise predchádzajúcej. Počet reálnych čísel, ktoré je možné presne znázorniť v pamäti stroja, sa vypočíta podľa vzorca
N = 2"-(U-L+ 1)+ 1.
Tu t- počet binárnych číslic mantisy; U- maximálna hodnota matematického poriadku; L- minimálna hodnota objednávky. Pre možnosť, ktorú sme zvažovali (/ = 24, U = 63, L= -64) ukazuje sa
N=2 146683548.
Všetky ostatné čísla, ktoré nepatria do tejto množiny, ale sú v rozsahu prijateľných hodnôt, sú v pamäti reprezentované približne (mantisa je odrezaná na 24. bite). A keďže čísla obsahujú chyby, výsledky výpočtov s týmito číslami budú tiež obsahovať chyby. Z uvedeného vyplýva záver: výpočty s reálnymi číslami v počítači sa vykonávajú približne.
Jednotky informácií
Bit (anglicky, binárna číslica; aj slovná hračka: anglicky, bit - trochu) (jedna dvojková číslica v dvojkovej číselnej sústave) je jednou z najznámejších jednotiek merania množstva informácie.
Nibble (anglicky, nibble, nybble), alebo nibble, je jednotka informácie rovnajúca sa štyrom binárnym čísliciam (bitom); je výhodné v tom, že môže byť vyjadrené jednou hexadecimálnou číslicou, t.j. je jedna hexadecimálna číslica.
Bajt (anglicky, byte, je skratka slovného spojenia BinaryTERm – „binárny termín“) je jednotka uchovávania a spracovania digitálnych informácií. V moderných výpočtových systémoch sa bajt považuje za rovný ôsmim bitom, v takom prípade môže mať jednu z 2 8 = 256 rôznych hodnôt (stavov, kódov). V histórii počítačov sú však známe riešenia s inými veľkosťami bajtov, napríklad 6 bitov, 36 bitov na PDP- 10. Preto sa niekedy v počítačových štandardoch a oficiálnych dokumentoch používa termín „oktet“ (latinský oktet) na jednoznačné označenie 8-bitového slova. Vo väčšine výpočtových architektúr je bajt najmenšia nezávisle adresovateľná množina údajov.
Strojové slovo je veličina závislá od stroja a platformy, meraná v bitoch alebo bajtoch (trite alebo trite), ktorá sa rovná šírke registrov procesora a/alebo šírke dátovej zbernice (zvyčajne nejaká mocnina dvoch). Na skorých počítačoch sa veľkosť slova zhodovala s minimálnou veľkosťou adresovateľných informácií (šírka údajov umiestnených na rovnakej adrese); na moderných počítačoch je minimálna adresovateľná jednotka informácie zvyčajne bajt a slovo pozostáva z niekoľkých bajtov. Slovo stroj definuje nasledujúce charakteristiky hardvérovej platformy:
- bitová hĺbka údajov spracovaných procesorom;
- adresovateľná šírka dát (šírka dátovej zbernice);
- maximálna hodnota typu celé číslo bez znamienka priamo podporovaná procesorom: ak výsledok aritmetickej operácie prekročí túto hodnotu, dôjde k pretečeniu;
- Maximálne množstvo pamäte RAM priamo adresovateľné procesorom.
Desatinné a binárne násobné predpony
Binárne predpony sú predpony pred mernými jednotkami, ktoré označujú ich násobenie 2 10 = 1024. Vzhľadom na blízkosť čísel 1024 a 1000 sú binárne predpony konštruované analogicky so štandardnými desatinnými predponami SI. Každá binárna predpona sa získa nahradením poslednej slabiky zodpovedajúcej desiatkovej predpony bi (z latinského binarius - binárny). Binárne predpony sa používajú na vytváranie jednotiek informácií, ktoré sú násobkami bitov a bajtov. Predpony zaviedla Medzinárodná elektrotechnická komisia (IEC) v marci 1999. Vyzerajú takto (tabuľka 2.6).
Prezentácia textových informácií v počítači.
Kódovanie ASCII a Unicode
Na reprezentáciu textových informácií v počítači je s grafickým zobrazením každého znaku spojený určitý kód. Znaková sada/kódovanie (angličtina, znaková sada) - tabuľka, ktorá špecifikuje kódovanie konečnej množiny abecedných znakov (zvyčajne textové prvky: písmená, čísla, interpunkčné znamienka). Takáto tabuľka mapuje každý znak na postupnosť jedného alebo viacerých znakov z inej abecedy, ako sú nuly a jednotky (bity).
ASCII(English American Standard Code for Information Interchange) - Americká štandardná tabuľka kódovania pre tlačené znaky a niektoré špeciálne kódy (kódy 0x00 až 0x1 F).
ASCII je kódovanie reprezentujúce desatinné číslice, latinské a národné abecedy, znaky predpony
Binárne predpony tvoria jednotky merania informácií
Binárne konzola |
Podobný desiatkový konzola |
IEC skratky pre bity, bajty |
Hodnota, ktorou sa pôvodná hodnota vynásobí |
kibi/kіьі (2 10) |
Kibit, KiB/KlV |
||
nábytok/teY (2 20) |
Mibit, MiB/MSh |
2 20 = 1 048 576 |
|
gibi/§іьі (2 30) |
Gibit, GiB/vSh |
2 30 = 1 073741 824 |
|
tebiDebi (2 40) |
tera (10 12) |
Tibit, TiB/TSh |
2 40 = 1 099511 627776 |
pebi/pebі (2 50) |
peta (10 15) |
Pibit, PiB/P1V |
2 50 = 1 125 899906842624 |
exbi/exY (2 60) |
exa (10 18) |
Eibit, EiB/ESh |
2 60 = 1 152921504606846976 |
zebi/gebі (2 70) |
zetta (10 21) |
Zibit, ZiB/71V |
2 70 = 1 180591620717411 303424 |
yobi/youbi (2 80) |
yotta (10 24) |
Yibit, YiB/U1V |
2 80 = 1 208925819614629 174706 176 |
vedomostné a riadiace postavy. Pôvodne vyvinutý (v roku 1963) ako 7-bitový bajt, po rozšírenom prijatí 8-bitového bajtu ASCII začal byť vnímaný ako polovičný 8-bit. Počítače zvyčajne používajú rozšírenia ASCII s 8. bit a druhá polovica inej kódovej tabuľky (napríklad KOI 8).
Unicode alebo Unicode je štandard kódovania znakov, ktorý vám umožňuje reprezentovať znaky takmer všetkých písaných jazykov.
Normu navrhla v roku 1991 nezisková organizácia Unicode Consortium (Unicode Inc.). Použitie tohto štandardu umožňuje kódovať veľmi veľké množstvo znakov z rôznych písiem: Unicode dokumenty môžu obsahovať čínske znaky, matematické symboly, písmená gréckej abecedy, latinky a cyriliky; Vďaka tomu nie je potrebné prepínať kódové stránky.
Štandard pozostáva z dvoch hlavných častí: univerzálnej znakovej sady (angličtina. UCS, univerzálna znaková sada) a rodiny kódovania (angl. UTF Transformačný formát Unicode). Univerzálny set Characters špecifikuje vzájomnú zhodu medzi znakmi a kódmi reprezentujúcimi nezáporné celé čísla. Kódovacia rodina definuje strojovú reprezentáciu kódov UCS.
Na určenie formátu reprezentácie Unicode sa na začiatok textového súboru zapíše podpis – kód FEFF(v Unicode nie je žiadny znak s týmto kódom), nazývaný aj značka poradia bajtov, kusovník). Táto metóda sa niekedy používa aj na označenie formátu UTF 8, hoci koncept poradia bajtov sa na tento formát nevzťahuje.
Základné kódovanie Unicode:
- UTF-8 (EF BB BF);
- UTF-16BE (FE FF);
- UTF-16LE (FF FE);
- UTF-32BE (0000 FE FF);
- UTF-32LE (FF FE0000).
- + ^t-2Yat 2 + + + Jao
- + ^t-2Yat 2 + + + Jao
- + ^t-2Yat 2 + + + Jao
- + ^t-2Yat 2 + + + Jao
- + ^t-2Yat 2 + + + Jao
- + ^t-2Yat 2 + + + Jao
- + ^t-2Yat 2 + + + Jao
- - ^]pridať - 1-^1 rev
V súčasnosti sa v bežnom živote na kódovanie číselných informácií používa desiatková číselná sústava so základom 10, ktorá využíva 10 označovacích prvkov: čísla 0, 1, 2, ... 8, 9. Prvá (vedľajšia) číslica označuje číslo jednotiek, druhá - desiatky, tretia - stovky atď.; inými slovami, v každej nasledujúcej číslici sa váha číslicového koeficientu zvyšuje 10-krát.
Zariadenia na digitálne spracovanie informácií používajú systém binárnych čísel so základom 2, ktorý používa dva prvky označenia: 0 a 1. Váhy bitov zľava doprava od najmenej významných po najvýznamnejšie sa zvyšujú 2-krát, to znamená, že majú nasledujúcu postupnosť: 8421. Vo všeobecnosti táto postupnosť vyzerá takto:
…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …
a používa sa na prevod binárneho čísla na desiatkové číslo. Napríklad binárne číslo 101011 je ekvivalentné desiatkovému číslu 43:
2 5 ·1+2 4 ·0+2 3 ·1+2 2 ·0+2 1 ·1+2 0 ·1=43
V digitálnych zariadeniach sa na označenie jednotiek informácií rôznych veľkostí používajú špeciálne výrazy: bit, bajt, kilobajt, megabajt atď.
Trocha alebo Binárna číslica určuje hodnotu jedného znaku v binárnom čísle. Napríklad binárne číslo 101 má tri bity alebo tri číslice. Volá sa číslica úplne vpravo s najmenšou váhou mladší, a ten úplne vľavo s najväčšou váhou je senior.
Bajt definuje 8-bit jednotka informácie, 1 bajt = 23 bitov, napríklad 10110011 alebo 01010111 atď., 1 kbajt = 2 10 bajtov, 1 MB = 2 10 kbajtov = 2 20 bajtov.
Na reprezentáciu viacciferných čísel v binárnom číselnom systéme je potrebný veľký počet binárnych číslic. Nahrávanie je jednoduchšie, ak používate systém hexadecimálnych čísel.
Základ hexadecimálna sústavačíslo je číslo 16 = 2 4, ktoré používa 16 prvkov zápisu: čísla od 0 do 9 a písmená A, B, C, D, E, F. Na prevod binárneho čísla na šestnástkové stačí rozdeliť dvojkové číslo číslo do štvorbitových skupín: celá časť sprava doľava, zlomková - zľava doprava od desatinnej čiarky. Vonkajšie skupiny môžu byť neúplné.
Každá binárna skupina je reprezentovaná zodpovedajúcim hexadecimálnym znakom (tabuľka 1). Napríklad binárne číslo 0101110000111001 v šestnástkovej sústave je vyjadrené ako 5C39.
Systém desiatkových čísel je pre používateľa najpohodlnejší. Preto mnohé digitálne zariadenia pracujúce s binárnymi číslami prijímajú a vydávajú používateľovi desatinné čísla. V tomto prípade sa používa binárny desiatkový kód.
BCD kód sa vytvorí nahradením každej desatinnej číslice čísla štvorbitovou binárnou reprezentáciou tejto číslice v binárnom kóde (pozri tabuľku 1). Napríklad číslo 15 je reprezentované ako 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). V tomto prípade každý bajt obsahuje dve desatinné číslice. Všimnite si, že BCD kód v tejto konverzii nie je binárne číslo ekvivalentné desiatkovému číslu.
1.2 Logické základy počítačov
Odvetvie matematickej logiky, ktorá študuje vzťahy medzi logickými premennými, ktoré majú iba dve hodnoty, sa nazýva algebra logiky. Algebru logiky vyvinul anglický matematik J. Boole a často sa nazýva Booleovská algebra. Logická algebra je teoretickým základom pre konštrukciu systémov digitálneho spracovania informácií. Najprv sa na základe zákonov logickej algebry vyvinie logická rovnica zariadenia, ktorá umožňuje spájať logické prvky tak, aby obvod vykonával danú logickú funkciu.
Tabuľka 1 – Číselné kódy od 0 do 15
Desatinné číslo | Kódy | ||
---|---|---|---|
Binárne | hexadecimálny | BCD | |
0 | 0000 | 0 | 000 |
1 | 0001 | 1 | 0001 |
2 | 0010 | 2 | 0010 |
3 | 0011 | 3 | 0011 |
4 | 0100 | 4 | 0100 |
5 | 0101 | 5 | 0101 |
6 | 0110 | 6 | 0110 |
7 | 0111 | 7 | 0111 |
8 | 1000 | 8 | 1000 |
9 | 1001 | 9 | 1001 |
10 | 1010 | A | 00010000 |
11 | 1011 | B | 00010001 |
12 | 1100 | C | 00010010 |
13 | 1101 | D | 00010011 |
14 | 1110 | E | 00010100 |
15 | 1111 | F | 00010101 |
1.2.1 Základy algebry logiky
Rôzne boolovské premenné môžu byť prepojené funkčnými závislosťami. Funkčné závislosti medzi logickými premennými možno popísať logickými vzorcami alebo pravdivostnými tabuľkami.
Vo všeobecnosti logické vzorec funkcia dvoch premenných sa zapíše ako: r=f(X 1 , X 2), kde X 1 , X 2 - vstupné premenné.
IN pravdivostná tabuľka zobrazuje všetky možné kombinácie (kombinácie) vstupných premenných a zodpovedajúcich hodnôt funkcie y, vyplývajúce z vykonania nejakej logickej operácie. S jednou premennou sa kompletný súbor skladá zo štyroch funkcií, ktoré sú uvedené v tabuľke 2.
Tabuľka 2 - Kompletná sada funkcií jednej premennej
X | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 |
---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Y1 - Inverzia, Y2 - Identická funkcia, Y3 - Absolútne pravdivá funkcia a Y4 - Absolútne nepravdivá funkcia.
Inverzia(negácia) je jednou zo základných logických funkcií používaných v zariadeniach na digitálne spracovanie informácií.
S dvomi premennými pozostáva celý set zo 16 funkcií, no nie všetky sa používajú v digitálnych zariadeniach.
Hlavné logické funkcie dvoch premenných používaných v zariadeniach na digitálne spracovanie informácií sú: disjunkcia (logické sčítanie), konjunkcia (logické násobenie), sum modulo 2 (disekvivalencia), Peirceov šíp a Schaefferov ťah. Symboly logických operácií, ktoré implementujú vyššie uvedené logické funkcie jednej a dvoch premenných, sú uvedené v tabuľke 3.
Tabuľka 3 Názvy a označenia logických operácií
Operáciu inverzie možno vykonať čisto aritmeticky: a algebraicky: Z týchto výrazov vyplýva, že inverzia X, t.j. dopĺňa X na 1. Odtiaľ pochádza ďalší názov pre túto operáciu - prídavok. Odtiaľto môžeme usúdiť, že dvojitá inverzia vedie k pôvodnému argumentu, t.j.
a volá sa zákon dvojitej negácie.
Tabuľka 4 – Pravdivé tabuľky hlavných funkcií dvoch premenných
Disjunkcia | Konjunkcia | Exkluzívne OR | Pierceov šíp | Schaefferova mŕtvica | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y | X1 | X2 | Y |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Disjunkcia. Na rozdiel od bežného aritmetického alebo algebraického súčtu tu prítomnosť dvoch jednotiek dáva výsledok jeden. Preto pri označovaní logického súčtu treba uprednostniť znamienko (∨) namiesto znamienka (+).
Prvé dva riadky pravdivostnej tabuľky operácie disjunkcie ( X 1 = 0) určiť zákon sčítania s nulou: x ∨ 0 = X a druhé dva riadky (x 1 = 1) - zákon sčítania s jednotou: X ∨ 1 = 1.
Konjunkcia. Tabuľka 4 presvedčivo ukazuje identitu operácií obyčajných a logických násobení. Preto ako znak pre logické násobenie je možné použiť známy znak pre obyčajné násobenie v podobe bodky.
Prvé dva riadky pravdivostnej tabuľky konjunkčnej operácie určujú zákon násobenia nulou: X 0 = 0 a druhé dva - zákon násobenia jednou: x·1 = X.
Exkluzívne OR. Funkcia „Exclusive OR“ znamená nasledovné: jednotka sa objaví na výstupe, ak má jednotku iba jeden vstup. Ak sú na vstupoch dve alebo viac jednotiek, alebo ak sú všetky vstupy nulové, výstup bude nula.
Nápis na označení prvku EXCLUSIVE ALEBO „=1“ (obrázok 1, d) len znamená, že je zvýraznená situácia, keď je na vstupoch iba jedna jednotka.
Táto operácia je podobná operácii aritmetického súčtu, ale rovnako ako iné logické operácie bez vytvorenia prenosu. Preto má iný názov súčet modulo 2 a zápis ⊕, podobný zápisu pre aritmetický súčet.
Pierceov šíp A Schaefferov dotyk. Tieto operácie sú inverziami operácií disjunkcie a konjunkcie a nemajú žiadne špeciálne označenie.
Uvažované logické funkcie sú jednoduché alebo elementárne, keďže hodnota ich pravdivosti nezávisí od pravdivosti žiadnych iných funkcií, ale závisí len od nezávislých premenných tzv. argumenty.
Digitálne výpočtové zariadenia využívajú zložité logické funkcie, ktoré sú vyvinuté z elementárnych funkcií.
Komplexné je logická funkcia, ktorej pravdivostná hodnota závisí od pravdivosti iných funkcií. Tieto funkcie sú argumentmi tejto komplexnej funkcie.
Napríklad v komplexnej logickej funkcii argumenty sú X 1 ∨ X 2 a .
1.2.2 Logické prvky
Na implementáciu logických funkcií v zariadeniach na digitálne spracovanie informácií sa používajú logické prvky. Symboly logických prvkov, ktoré implementujú funkcie diskutované vyššie, sú znázornené na obrázku 1.
Obrázok 1 – UGO logických prvkov: a) Invertor, b) ALEBO, c) AND, d) Výhradné ALEBO, e) ALEBO-NIE, f) A-NIE.
Komplexné logické funkcie sú implementované na základe jednoduchých logických prvkov ich vhodným prepojením na implementáciu špecifickej analytickej funkcie. Funkčný diagram logického zariadenia, ktoré implementuje komplexnú funkciu, uvedený v predchádzajúcom odseku je znázornený na obrázku 2.
![](https://i0.wp.com/plam.ru/radioel/lekcii_po_shemotehnike/image022.png)
Obrázok 2 – Príklad implementácie komplexnej logickej funkcie
Ako je zrejmé z obrázku 2, logická rovnica ukazuje, z ktorých LE a s akými spojeniami je možné dané logické zariadenie vytvoriť.
Keďže logická rovnica a funkčný diagram majú vzájomnú korešpondenciu, je vhodné logickú funkciu zjednodušiť pomocou zákonov logickej algebry, a preto pri jej implementácii znížiť počet alebo zmeniť nomenklatúru LE.
1.2.3 Zákony a identity algebry logiky
Matematický aparát logickej algebry vám umožňuje transformovať logický výraz a nahradiť ho ekvivalentným, aby ste zjednodušili, znížili počet prvkov alebo nahradili základňu prvkov.
1 Komutatívne: X ∨ Y = Y ∨ X; X · Y = Y · X.
2 Kombinatív: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z); XYZ = (XY) Z = X (YZ).
3 Impotencie: X ∨ X = X; X x X = X.
4 Rozdeľovacie: (X ∨ Y) Z = X Z ∨ Y Z.
5 Dvojitý zápor: .
6 Zákon duality (De Morganovo pravidlo):
Na transformáciu štruktúrnych vzorcov sa používa množstvo identít:
X ∨ X Y = X; X(X ∨ Y) = X - Pravidlá absorpcie.
X· Y ∨ X· = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – Pravidlá lepenia.
Pravidlá priority pre logické operácie.1 Negácia je logická akcia prvej fázy.
2 Konjunkcia je logickým dejom druhého štádia.
3 Disjunkcia je logickým úkonom tretej etapy.
Ak v logickom vyjadrení existujú akcie rôznych etáp, potom sa najprv vykoná prvá etapa, potom druhá a až potom tretia etapa. Akákoľvek odchýlka od tohto poradia musí byť označená zátvorkami.
1. FORMY ZÁZNAMU ČÍSEL.. 6
2. BINÁRNA ČÍSELNÁ SÚSTAVA... 13
3. OCTÁLNA ČÍSELNÁ SÚSTAVA... 15
4. ŠESTNÁCHODNÁ ČÍSELNÁ SÚSTAVA... 17
5. Binárne desatinné čísla... 19
6. BINÁRNA ARITMETIKA.. 20
7. ARITMETIKA V REVERZNÝCH A DOPLŇOVACÍCH KÓDOCH 22
8. MATEMATICKÁ LOGIKA.. 25
ODPOVEDE NA CVIČENIA... 35
PREDSLOV
Osvojenie si základných znalostí výpočtovej techniky je pre programátorov veľmi dôležitou úlohou. Hlboké pochopenie aritmetických a logických základov počítačov vám umožňuje vytvárať vysokokvalitný softvér.
Príručka rozoberá spôsoby reprezentácie údajov v pamäti počítača, ich štruktúru a pravidlá prevodu. Každá z ôsmich častí príručky je venovaná konkrétnej téme, obsahuje teoretické informácie, príklady vykonávania počtových a logických operácií, ale aj cvičenia na praktickú a samostatnú prácu žiakov.
Príručka je určená pre študentov denného a externého štúdia v odbore „Počítačový softvér a automatizované systémy“.
Na prácu s návodom sa odporúča nasledujúca schéma. Po preštudovaní potrebného materiálu praktická lekcia skúma príklady vykonávania aritmetických a logických operácií na počítači. Každá časť obsahuje potrebné množstvo teoretických informácií a formuláciu problému. Študenti potom môžu byť požiadaní, aby dokončili cvičenia na konci časti. Cvičenia majú rôznu zložitosť, ktorá sa zvyšuje so zvyšujúcim sa poradovým číslom cviku.
Na rýchlu konverziu čísel z jednej číselnej sústavy do druhej si študenti musia okrem možnosti používať štandardné prekladové algoritmy zapamätať aj hodnoty celočíselných mocnín 2 od 0 do 10, reprezentáciu čísel od 0 do 16 v číselných sústavách. so základmi 2, 8, 10 a 16 a tiež poznať vlastnosti číselných sústav so základmi deliteľnými 2.
Pri vykonávaní aritmetických operácií sa odporúča označiť všetky výpožičky a prevody z jednej číslice na druhú, čím sa simuluje činnosť registra atribútov. Pri práci s priamymi, doplnkovými a reverznými kódmi sa odporúča použiť 8 bitov.
Pri vykonávaní cvičení z časti „Matematická logika“ musíte pevne pochopiť symboliku a definície (pravdivé tabuľky) troch základných logických operácií. Pri výpočte hodnôt logických výrazov si musíte pamätať na prioritu logických operácií.
Odpovede na cvičenia sú uvedené na konci príručky.
ÚVOD
Rozsiahle zavádzanie výpočtovej techniky do všetkých oblastí ľudskej činnosti a efektívnosť tohto procesu sú neoddeliteľne spojené s rozvojom mnohých komplexných technických pokrokov, ako aj s úrovňou odbornej prípravy špecialistov rôznych profilov v tejto oblasti. Súlad medzi funkčnosťou počítačových systémov a technologickým účelom objektov s nimi spojených si vyžaduje primerané školenie programátorov.
Riešenie tohto problému je spojené jednak s organizáciou vzdelávacieho procesu na všetkých úrovniach, vrátane systému zdokonaľovania špecialistov, ako aj s jeho vzdelávacím a metodickým zabezpečením. Moderní softvéroví špecialisti musia mať znalosti o hardvérovej aj softvérovej časti výpočtovej techniky.
Počítačová technológia sa vyvíja takým rýchlym tempom, že je dnes zvykom hovoriť o generáciách počítačov, ktoré sa líšia svojou základnou základňou, vlastnosťami a účelom. Takmer všetky výpočtové zariadenia však majú spoločné aritmetické a logické základy, formy reprezentácie čísel, ako aj pravidlá na vykonávanie aritmetických a logických operácií. Toto sú otázky, ktorým sa venuje tento tutoriál.
FORMY REPREZENTÁCIE ČÍSEL
Akákoľvek informácia je reprezentovaná v počítači pomocou digitálnych znakov. Spôsob takejto reprezentácie je určený číselným systémom prijatým v počítači. Číselný systém je súbor techník a pravidiel na pomenovanie a označovanie čísel, pomocou ktorých je možné vytvoriť vzájomnú zhodu medzi ľubovoľným číslom a jeho reprezentáciou ako množinou konečného počtu symbolov. Každý číselný systém používa nejakú konečnú abecedu pozostávajúcu z čísel a 1, a 2, .... a n . V tomto prípade každá číslica a i v číselnom zázname zodpovedá určitému kvantitatívnemu ekvivalentu (jej „váhe“).
Poďme analyzovať „technológiu“ na riešenie jednoduchého problému - počítanie homogénnych objektov. Povedzme, že na stole sú zápasy. Je potrebné určiť ich počet a zapísať ho: jedna zhoda - 1; ešte jeden zápas - 1; atď. Dostaneme záznam: 111111, kde každá zhoda je označená symbolom 1. Spočítajme počet jednotiek (symbolov zhody) a toto číslo zapíšme v pre nás obvyklom (známom) tvare - 6 alebo iným spôsobom - VI. Takže, 6 = VI = 111111, t.j. počet zápasov sa píše v rôznych formách. Záznamový formulár 111111 je veľmi ťažkopádny; Forma písania čísla 6 je pre nás najpohodlnejšia a najznámejšia.
V rôznych historických obdobiach vývoja ľudstva sa na výpočty a výpočty používali určité číselné sústavy. Dosť rozšírený bol napríklad duodecimálny systém. Mnohé predmety (nože, vidličky, taniere, vreckovky atď.) sa stále počítajú na desiatky. Počet mesiacov v roku je dvanásť.
Duodecimálny číselný systém je zachovaný v anglickom systéme mier (napríklad 1 stopa = 12 palcov) a v peňažnom systéme (1 šiling = 12 pencí).
V starovekom Babylone existoval veľmi zložitý šesťdesiatkový systém. Ten sa podobne ako duodecimálny systém do istej miery zachoval dodnes (napr. v systéme merania času: 1 hodina = 60 minút, 1 minúta = 60 s, podobne v systéme merania uhla: 1° = 60 minút , 1 min = 60 s).
Niektoré africké kmene mali kvinárny číselný systém, zatiaľ čo Aztékovia a Mayovia, ktorí po mnoho storočí obývali rozsiahle oblasti amerického kontinentu, mali desiatkový číselný systém. Niektoré kmene Austrálie a Polynézie používali binárny číselný systém.
Desatinný systém merania pochádza z Indie. Následne sa začala nazývať arabská, pretože ju do Európy priniesli Arabi. Čísla, ktoré teraz používame, sú arabské.
V rôznych časoch existovali iné záznamy o číslach, dnes už takmer zabudnuté. Stále sa však niekedy stretávame s číslami napísanými pomocou písmen latinskej abecedy, napríklad na ciferníku hodiniek, v knihách na označenie kapitol alebo častí, na obchodných papieroch na označenie mesiacov atď.
Číselná sústava, v ktorej je veľkosť číslice určená jej umiestnením (polohou), sa nazýva pozičná. Desatinná číselná sústava je teda pozičná. Rímsky číselný systém nie je pozičný, t.j. pozícia čísel nemení jeho význam. Napríklad číslo 9 napíšeme ako IX a číslo 11 ako XI. Navyše znak I má v oboch prípadoch rovnaký význam - jeden, iba v jednom prípade sa odčíta od desiatich (X) a v druhom prípade sa pridáva. Počítače používajú iba pozičné číselné systémy. Počet rôznych číslic číselnej sústavy sa nazýva jej základ S.
Všeobecne uznávaný systém desiatkových čísel používa desať rôznych číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pozície číslic v čísle sa nazývajú číslice. V desiatkovej číselnej sústave narábame s číslicami jednotiek, desiatok, stoviek atď., ako aj s číslicami desatín, stotín, tisícin atď. Inými slovami, v systéme desiatkových čísel je „váha“ každej číslice 10-krát väčšia ako „váha“ predchádzajúcej číslice. V dôsledku toho je každé číslo v desiatkovej číselnej sústave tvorené súčtom rôznych celočíselných mocnín desiatich so zodpovedajúcimi koeficientmi a i (0, 1, .... 9), prevzatými z abecedy danej číselnej sústavy. Desatinné číslo teda zapíšeme vo všeobecnom tvare:
A = a 0 ×10 n +a 1 ×10 n –1 +a 2 ×10 n –2 +…+a n –1 ×10 1 +a n ×10 0 = a 0 a 1 …a n –1 a n .
Hodnotu čísla A určujú koeficienty pri mocninách čísla 10. Z toho je zrejmé, že číslo 10 je základom číselnej sústavy, ktorá sa v tomto prípade nazýva desiatková. Napríklad desiatkový zápis 245,83 možno zapísať ako:
245,83 = 2 × 10 2 + 4 × 10 1 + 5 × 10 0 + 8 × 10 –1 + 3 × 10 –2.
Ak vynecháte rôzne mocniny desiatich, zapíšte len koeficienty pri týchto mocniciach, teda 245,83. Podobne:
531 = 5×102 + 3×101 + 1×100 = 531;
3527 = 3×103 + 5×102 + 2×101 + 7×100 = 3527;
28395 = 2×10 4 + 8×10 3 + 3×10 2 + 9×10 1 + 5×10 0 = 28395.
Pre fyzickú reprezentáciu čísel v počítači sú potrebné prvky, ktoré môžu byť v jednom z niekoľkých stabilných stavov. Počet takýchto stavov sa musí rovnať základu prijatého číselného systému. Potom bude každý stav predstavovať zodpovedajúcu číslicu z abecedy daného číselného systému. Najjednoduchšie z hľadiska technickej realizácie sú takzvané dvojpolohové prvky, ktoré môžu byť v jednom z dvoch stabilných stavov – „zapnuté“ alebo „vypnuté“. Napríklad elektromagnetické relé je zatvorené alebo otvorené, magnetický materiál je magnetizovaný alebo demagnetizovaný, tranzistorový spínač je vo vodivom alebo zablokovanom stave atď. Jeden z týchto stabilných stavov môže byť reprezentovaný číslom 0 a druhý číslom 1.
Jednoduchosť technickej realizácie dvojpolohových prvkov zabezpečila, že binárna číselná sústava je najrozšírenejšia v počítačoch. Základ tejto sústavy je S = 2. Používa iba dve číslice: 0 a 1. Akékoľvek číslo v binárnej číselnej sústave je reprezentované ako súčet celočíselných mocnín jeho základu S = 2, vynásobený koeficientmi; 0 alebo 1. Napríklad binárne číslo
11011.01 2 = 1×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 + 1×2 1 +
1×2 0 + 0×2 –1 + 1×2 – 2 = 16 + 8 + 2 + 1 + 0,25 = 27,25 10,
ako vyplýva z vyššie uvedeného rozšírenia, zodpovedá desatinnému číslu 27,25 10. Podobne:
12 10 = 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0 = 1100 2 ;
42 10 = 1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 + 1×2 1 + 0×2 0 = 101010 2.
Počítače okrem dvojkovej používajú aj osmičkové a šestnástkové číselné sústavy, ktoré slúžia na kratší a pohodlnejší záznam binárnych kódov. Základy týchto sústav zodpovedajú celočíselným mocninám 2 (8 = 2 3; 16 = 2 4), takže pravidlá na prevod do dvojkovej číselnej sústavy a naopak sú pre nich mimoriadne jednoduché.
Binárny desiatkový kód je široko používaný v zobrazovacích zariadeniach. V tabuľke sú uvedené kódy číselných sústav, z ktorých je vidieť, že binárny desiatkový kód sa líši od desiatkového kódu tým, že v ňom je každé číslo desatinného miesta zapísané v binárnom kóde.
V medzinárodnom systéme notácie sú kódy uvedené v tabuľke 1 označené nasledovne: desiatkový - DEC (desiatkový), binárny - BIN (binárny), osmičkový - OCT (oktalový), šestnástkový - HEX (hexadecimálny), binárne - desiatkový - BDC (binárno-desiatkový kód).
Počítače používajú dve formy reprezentácie čísel: pevná bodka (bodka) a pohyblivá bodka (bodka). Inak sa tieto formy nazývajú prirodzené a semilogaritmické. Pre tieto formy reprezentácie čísel je pridelený určitý počet n-bitov, ktoré tvoria bitovú mriežku počítača. S rastúcim n sa zvyšuje rozsah reprezentovaných čísel a presnosť výpočtov.
V prirodzenej forme je číslo reprezentované ako celá časť čísla a zlomková časť oddelená od neho bodkou. Ak sú napríklad pre celé číslo a zlomkové časti čísla priradené tri desatinné miesta, číslo 245.6 sa zobrazí ako: 245.600. Tu je bod oddeľujúci celú časť čísla od zlomkovej časti pevne stanovený za treťou číslicou.
stôl 1
Reprezentácia čísel v rôznych číselných sústavách
Desatinné | Binárne | Octal | Hexadecimálne | BCD |
A | 0001 0000 | |||
IN | 0001 0001 | |||
S | 0001 0010 | |||
D | 0001 0011 | |||
E | 0001 0100 | |||
F | 0001 0101 | |||
0001 0110 | ||||
0001 0111 | ||||
0001 1000 | ||||
0001 1001 | ||||
0010 0000 |
Bodka je zvyčajne umiestnená napravo od najmenej významnej číslice, a preto môžu byť v tejto forme znázornené iba celé čísla. Existujú dve možnosti reprezentácie celých čísel: bez znamienka a so znamienkom. V prvom prípade všetky číslice predstavujú modul čísla. V druhom prípade, na vyjadrenie znamienka čísla, je priradená číslica úplne vľavo, v ktorej je 0 napísaná pre kladné čísla a 1 pre záporné.
Rozsah čísel znázornených pevnou bodkou je obmedzený. V n-bitovej mriežke teda môžu byť čísla bez znamienka x reprezentované v rozsahu 0 £ x £ 2 n -1. Na vyjadrenie čísel, ktoré sa nezmestia do tohto rozsahu, sa počas procesu programovania zavedú vhodné faktory mierky. Potreba škálovania údajov je významnou nevýhodou reprezentácie s pevným bodom. Ďalšou nevýhodou je, že pri tejto forme znázornenia čísel relatívna presnosť vykonaných výpočtov závisí od hodnoty čísel a dosahuje maximum pri vykonávaní operácií s čo najväčšími číslami.
V tomto ohľade je reprezentácia čísel s pevným bodom hlavnou a jedinou formou len pre stroje, ktoré sú z hľadiska ich výpočtových možností relatívne malé, napríklad v riadiacich automatoch. Počítače určené na riešenie širokého spektra problémov používajú najmä čísla s pohyblivou rádovou čiarkou. Avšak aj v takýchto počítačoch sa pre celé čísla používa forma reprezentácie s pevnou bodkou, keďže operácie s celými číslami sa v tejto forme vykonávajú jednoduchšie a v kratšom čase.
Vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou je ľubovoľné číslo N reprezentované ako súčin dvoch faktorov: N = m × S p, kde m je mantisa čísla (|m|)<1); р - poradie čísel (celé číslo); S - základ číselnej sústavy (celé číslo).
Napríklad desiatkové číslo 6,15 vo forme s pohyblivou rádovou čiarkou (čiarkou) možno zapísať takto:
6,15 = 0,615 x 101;
6,15 = 0,0615 x 102;
6,15 = 0,00615 × 103 atď.
Pri zmene poradia v jednom alebo druhom smere sa zdá, že bodka (čiarka) „pláva“ na obrázku čísla. Preto pri reprezentácii čísel s pohyblivou rádovou čiarkou v bitovej mriežke počítača je potrebné zapísať mantisu ±m a poradie ±р s vlastnými znamienkami. Znak čísla sa zhoduje so znakom mantisy.
Pre danú bitovú hĺbku mantisy je presnosť výpočtu najväčšia, ak je mantisa prezentovaná v normalizovanej forme. Modul normalizovanej mantisy musí spĺňať podmienku (1/S) £ |m| < 1, v ktorom by sa najvýznamnejšia číslica mantisy v sústave čísel S-ary nemala rovnať nule. V procese výpočtov môže byť porušená normalizácia doprava, keď |m|< (1/S), или влево, когда |m| ³ 1. В первом случае мантисса сдвигается влево до появления в старшем разряде ближайшей единицы. При этом в освобождающиеся младшие разряды мантиссы записываются нули и проводится соответствующее уменьшение порядка числа. При нарушении нормализации мантиссы влево производится ее сдвиг вправо с соответствующим увеличением порядка числа. Младшие разряды мантиссы, выходящие при этом за пределы разрядной сетки, отбрасываются.
Počítače spracúvajú nielen číselné, ale aj rôzne alfanumerické informácie, obsahujúce okrem čísel aj abecedné, syntaktické, matematické, rôzne riadiace a iné špeciálne znaky. Takáto informácia je v počítači reprezentovaná binárnymi kódmi (binárnymi slovami) príslušnej bitovej hĺbky.
BINÁRNA ČÍSELNÁ SÚSTAVA
Ako už bolo uvedené, väčšina počítačov používa systém binárnych čísel na reprezentáciu a ukladanie rôznych informácií, ako aj pri vykonávaní aritmetických a logických operácií. V dvojkovej číselnej sústave je základom číslo 2. V tomto prípade sa na zápis čísel používajú dve číslice: 0 a 1.
Prevod čísla z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej číselnej sústavy sa vykonáva postupným delením čísla 2, kým sa podiel delenia nerovná 1. Číslo v dvojkovej číselnej sústave sa zapisuje ako zvyšky z delenia, počnúc od posledného podielu sprava doľava:
8 10 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 0 × 2 0 ;
8 10 = 8 + 0 + 0 + 0.
Prevod desatinného zlomkového čísla do dvojkovej sústavy sa vykonáva v dvoch fázach: najprv sa prevedie celá časť čísla (pozri vyššie), potom sa prevedie zlomková časť. Zlomková časť sa preloží postupným vynásobením zlomkovej časti dvoma. Binárne číslo sa zapisuje ako celé časti čísel získaných vynásobením iba zlomkovej časti, začínajúc zhora za desatinnou čiarkou. Tým sa nastavuje presnosť výrazov. Napríklad číslo 0,41 10 v desiatkovej sústave sa prevedie na číslo 0,011 2 v dvojkovej sústave:
Podľa diskutovaných pravidiel je možné čísla previesť na iné široko používané číselné sústavy – osmičkové, šestnástkové, binárne desiatkové. Vo všetkých prípadoch sa násobenie alebo delenie preložených čísel vykonáva na základe nového číselného systému.
Cvičenia
1. Preveďte nasledujúce binárne čísla na desiatkový kód:
a) 0001; b) 0101; c) 1000; d) 1011; e) 1111; f) 0111; g) 1 000 000; h) 00010000; i) 00110011; j) 01100100; l) 00011111; m) 11111111.
2. Preveďte nasledujúce desatinné čísla na binárne:
a) 23; b) 39; c) 55; d) 48.
3. Preveďte desiatkové číslo na binárny kód: 204;
4. Preveďte binárne číslo na desiatkový kód: 11101110.