Klasická forma pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť udalosti
Klasická definícia pravdepodobnosti.
Ako už bolo spomenuté vyššie, s veľkým počtom n testovacia frekvencia P*(A)=m/ n výskyt udalosti A je stabilný a udáva približnú hodnotu pravdepodobnosti udalosti A , t.j. .
Táto okolnosť nám umožňuje experimentálne nájsť približnú pravdepodobnosť udalosti. V praxi tento spôsob zisťovania pravdepodobnosti udalosti nie je vždy vhodný. Pravdepodobnosť nejakej udalosti musíme predsa poznať vopred, ešte pred experimentom. Toto je heuristická, prediktívna úloha vedy. V mnohých prípadoch možno pravdepodobnosť udalosti určiť pred experimentom pomocou konceptu ekvipravdepodobnosti udalostí (alebo ekvimožnosti).
Dve udalosti sa nazývajú rovnako pravdepodobné (alebo rovnako možné ), ak neexistujú objektívne dôvody domnievať sa, že jeden z nich sa môže vyskytovať častejšie ako druhý.
Takže napríklad objavenie sa erbu alebo nápisu pri hode mincou sú rovnako pravdepodobné udalosti.
Pozrime sa na ďalší príklad. Nechajte ich hádzať kockou. Vzhľadom na symetriu kocky môžeme predpokladať, že vzhľad niektorého z čísel 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6 rovnako možné (rovnako pravdepodobné).
Diania v tomto experimente tvoria celá skupina
, ak by sa v dôsledku experimentu mal vyskytnúť aspoň jeden z nich. Takže v poslednom príklade sa kompletná skupina udalostí skladá zo šiestich udalostí - vzhľadu čísel 1, 2, 3, 4, 5
A 6.
Je zrejmé, že akákoľvek udalosť A a jeho protiľahlá udalosť tvoria ucelenú skupinu.
Udalosť B volal priaznivý udalosť A , ak vznik udalosti B znamená výskyt udalosti A . Takže ak A - výskyt párneho počtu bodov pri hode kockou, potom vzhľad čísla 4 predstavuje udalosť podporujúcu udalosť A.
Nechajte udalosti v tomto experimente tvoria kompletnú skupinu rovnako pravdepodobných a párovo nekompatibilných udalostí. Zavolajme im výsledky
testy. Predpokladajme, že udalosť A
uprednostňovať výsledky pokusov. Potom pravdepodobnosť udalosti A
v tomto experimente sa nazýva postoj. Dostávame sa teda k nasledujúcej definícii.
Pravdepodobnosť P(A) udalosti v danom experimente je pomer počtu experimentálnych výsledkov priaznivých pre udalosť A k celkovému počtu možných experimentálnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu rovnako pravdepodobných párovo nekompatibilných udalostí: .
Táto definícia pravdepodobnosti sa často nazýva klasický. Dá sa ukázať, že klasická definícia spĺňa axiómy pravdepodobnosti.
Príklad 1.1. Dávka z 1000 ložiská. K tejto várke som sa dostal náhodou 30 ložiská, ktoré nespĺňajú normu. Určiť pravdepodobnosť P(A) že náhodne vybraté ložisko sa ukáže ako štandardné.
Riešenie: Počet štandardných ložísk je 1000-30=970
. Budeme predpokladať, že každé ložisko má rovnakú pravdepodobnosť výberu. Potom sa celá skupina udalostí skladá z rovnako pravdepodobných výsledkov, z ktorých udalosť A
priaznivé výsledky. Preto .
Príklad 1.2. V urne 10 loptičky: 3 biele a 7 čierna. Z urny sa vyberú dve loptičky naraz. Aká je pravdepodobnosť R že obe gule sú biele?
Riešenie: Počet všetkých rovnako pravdepodobných výsledkov testu sa rovná počtu spôsobov, ktorými 10 vytiahnite dve loptičky, t.j. počet kombinácií z 10 prvky podľa 2 (celá skupina udalostí):
Počet priaznivých výsledkov (koľkými spôsobmi si možno vybrať 3
vybrať lopty 2)
: . Preto požadovaná pravdepodobnosť
.
Pri pohľade do budúcnosti možno tento problém vyriešiť aj inak.
Riešenie: Pravdepodobnosť, že pri prvom pokuse (vytiahnutie lopty) bude vytiahnutá biela guľa, sa rovná (celkový počet loptičiek 10
, z nich 3
biely). Pravdepodobnosť, že počas druhého pokusu bude biela guľa opäť vytiahnutá, sa rovná (celkový počet loptičiek je teraz 9,
pretože vytiahli jeden, stal sa bielym 2,
pretože Vytiahli bielu). V dôsledku toho sa pravdepodobnosť spojenia udalostí rovná súčinu ich pravdepodobností, t.j. .
Príklad 1.3. V urne 2 zelená, 7 červená, 5 hnedé a 10 biele gule. Aká je pravdepodobnosť, že sa objaví farebná guľa?
Riešenie: Zisťujeme, v tomto poradí, pravdepodobnosti výskytu zelených, červených a hnedých guľôčok: ; ; . Keďže uvažované udalosti sú zjavne nezlučiteľné, potom pomocou axiómy sčítania nájdeme pravdepodobnosť výskytu farebnej gule:
Alebo, iným spôsobom. Pravdepodobnosť výskytu bielej gule je . Potom pravdepodobnosť výskytu nebielej gule (t.j. farebnej), t.j. pravdepodobnosť opačnej udalosti sa rovná .
Geometrická definícia pravdepodobnosti. Aby sa prekonala nevýhoda klasickej definície pravdepodobnosti (nie je použiteľná pre testy s nekonečným počtom výsledkov), zavádza sa geometrická definícia pravdepodobnosti - pravdepodobnosť pádu bodu do oblasti (úseku, časti roviny, atď.).
Nech je segment súčasťou segmentu. Bod je na segmente umiestnený náhodne, čo znamená, že sú splnené nasledujúce predpoklady: umiestnený bod môže byť v ktoromkoľvek bode segmentu, pravdepodobnosť pádu bodu na segment je úmerná dĺžke tohto segmentu a nie je závisí od jeho polohy vzhľadom na segment. Za týchto predpokladov je pravdepodobnosť pádu bodu na segment určená rovnosťou
Klasická a štatistická definícia pravdepodobnosti
Pre praktické činnosti je potrebné vedieť porovnávať udalosti podľa miery možnosti ich vzniku. Zoberme si klasický prípad. V urne je 10 loptičiek, z toho 8 bielych, 2 čierne. Je zrejmé, že udalosť „z urny sa vytiahne biela guľa“ a udalosť „z urny sa vytiahne čierna guľa“ majú rôznu mieru možnosti ich výskytu. Preto je na porovnanie udalostí potrebné určité kvantitatívne meranie.
Kvantitatívna miera možnosti výskytu udalosti je pravdepodobnosť . Najpoužívanejšie definície pravdepodobnosti udalosti sú klasické a štatistické.
Klasická definícia pravdepodobnosť je spojená s pojmom priaznivý výsledok. Pozrime sa na to podrobnejšie.
Nech výsledky nejakého testu tvoria ucelenú skupinu udalostí a sú rovnako možné, t.j. jedinečne možné, nezlučiteľné a rovnako možné. Takéto výsledky sú tzv elementárne výsledky, alebo prípady. Hovorí sa, že test sa scvrkáva prípadová schéma alebo " urnová schéma“, pretože Akýkoľvek problém pravdepodobnosti pre takýto test môže byť nahradený ekvivalentným problémom s urnami a loptičkami rôznych farieb.
Výsledok je tzv priaznivý udalosť A, ak vznik tohto prípadu má za následok vznik udalosti A.
Podľa klasickej definície pravdepodobnosť udalosti A sa rovná pomeru počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu výsledkov, t.j.
, | (1.1) |
Kde P(A)- pravdepodobnosť udalosti A; m– počet prípadov priaznivých pre udalosť A; n– celkový počet prípadov.
Príklad 1.1. Pri hádzaní kockou existuje šesť možných výsledkov: 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodov. Aká je pravdepodobnosť získania párneho počtu bodov?
Riešenie. Všetky n= 6 výstupov tvorí ucelenú skupinu udalostí a sú rovnako možné, t.j. jedinečne možné, nezlučiteľné a rovnako možné. Udalosť A – „vznik párneho počtu bodov“ – uprednostňujú 3 výsledky (prípady) – strata 2, 4 alebo 6 bodov. Pomocou klasického vzorca pre pravdepodobnosť udalosti získame
P(A) = = . ◄
Na základe klasickej definície pravdepodobnosti udalosti si všimneme jej vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou, t.j.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej.
3. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
Ako už bolo uvedené, klasická definícia pravdepodobnosti je použiteľná len pre tie udalosti, ktoré môžu vzniknúť ako výsledok testov, ktoré majú symetriu možných výsledkov, t.j. redukovateľné na model prípadov. Existuje však veľká trieda udalostí, ktorých pravdepodobnosti nemožno vypočítať pomocou klasickej definície.
Ak napríklad predpokladáme, že minca je sploštená, je zrejmé, že udalosti „vzhľad erbu“ a „vzhľad hláv“ nemožno považovať za rovnako možné. Preto vzorec na určenie pravdepodobnosti podľa klasickej schémy nie je v tomto prípade použiteľný.
Existuje však aj iný prístup k odhadu pravdepodobnosti udalostí na základe toho, ako často sa daná udalosť vyskytne v vykonaných pokusoch. V tomto prípade sa používa štatistická definícia pravdepodobnosti.
Štatistická pravdepodobnosťudalosť A je relatívna frekvencia (frekvencia) výskytu tejto udalosti v n vykonaných pokusoch, t.j.
![]() | (1.2) |
Kde P*(A)– štatistická pravdepodobnosť udalosti A; w(A)– relatívna frekvencia udalosti A; m– počet pokusov, v ktorých k udalosti došlo A; n– celkový počet testov.
Na rozdiel od matematickej pravdepodobnosti P(A), považovaný v klasickej definícii, štatistická pravdepodobnosť P*(A) je charakteristika skúsený, experimentálne. Inými slovami, štatistická pravdepodobnosť udalosti A je číslo, okolo ktorého je relatívna frekvencia stabilizovaná (nastavená) w(A) s neobmedzeným zvyšovaním počtu testov vykonaných za rovnakých podmienok.
Napríklad, keď o strelcovi hovoria, že zasiahne cieľ s pravdepodobnosťou 0,95, znamená to, že zo stoviek výstrelov, ktoré vystrelil za určitých podmienok (rovnaký cieľ v rovnakej vzdialenosti, rovnaká puška atď. ), v priemere je ich asi 95 úspešných. Prirodzene, nie každá stovka bude mať 95 úspešných výstrelov, niekedy ich bude menej, niekedy viac, ale v priemere, keď sa streľba mnohokrát opakuje za rovnakých podmienok, toto percento zásahov zostane nezmenené. Údaj 0,95, ktorý slúži ako ukazovateľ šikovnosti strelca, býva väčšinou veľmi stabilný, t.j. percento zásahov vo väčšine strelieb bude pre daného strelca takmer rovnaké, iba v ojedinelých prípadoch sa výrazne odchýli od priemernej hodnoty.
Ďalšou nevýhodou klasickej definície pravdepodobnosti ( 1.1 ) obmedzenie jeho použitia je v tom, že predpokladá konečný počet možných výsledkov testu. V niektorých prípadoch možno túto nevýhodu prekonať použitím geometrickej definície pravdepodobnosti, t.j. zistenie pravdepodobnosti pádu bodu do určitej oblasti (úsečka, časť roviny a pod.).
Nechajte plochú postavu g tvorí súčasť plochej postavy G(obr. 1.1). Fit G náhodne sa hodí bodka. To znamená, že všetky body v regióne G„rovnaké práva“, pokiaľ ide o to, či ho zasiahne hodený náhodný bod. Za predpokladu, že pravdepodobnosť udalosti A– hodený hrot zasiahne figúrku g- je úmerná ploche tohto obrázku a nezávisí od jeho umiestnenia vzhľadom na G, ani z formulára g, nájdeme
Teória pravdepodobnosti je matematická veda, ktorá študuje vzorce v náhodných javoch. Vznik teórie sa datuje do polovice 17. storočia a spája sa s menami Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli.
Nerozložiteľné výsledky,..., niektorých experimentov budeme nazývať elementárne udalosti a ich súhrn
(konečný) priestor elementárnych udalostí, alebo priestor výsledkov.
Príklad 21. a) Pri hode kockou sa priestor elementárnych udalostí skladá zo šiestich bodov:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image008.png)
b) Potom si dvakrát za sebou hoďte mincou
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image009.png)
kde G je „erb“, P je „mriežka“ a celkový počet výsledkov
c) Hoďte si mincou, kým sa prvýkrát neobjaví „erb“, potom
V tomto prípade sa nazýva diskrétny priestor elementárnych udalostí.
Človek sa zvyčajne nezaujíma o to, aký konkrétny výsledok nastane ako výsledok pokusu, ale o to, či výsledok patrí do jednej alebo druhej podskupiny všetkých výsledkov. Všetky tie podmnožiny, pre ktoré je podľa experimentálnych podmienok možná odpoveď jedného z dvoch typov: „výsledok“ alebo „výsledok“, budeme nazývať udalosti.
V príklade 21 b) je množina = (GG, GR, RG) prípad, keď sa objaví aspoň jeden „erb“. Udalosť teda pozostáva z troch elementárnych výstupov priestoru
Súčet dvoch udalostí je udalosť pozostávajúca z naplnenia udalosti alebo udalosti.
Výroba udalostí je udalosť, ktorá pozostáva zo spoločnej realizácie udalosti a udalosti.
Opakom udalosti je udalosť, ktorá pozostáva z nezjavenia sa, a preto ju dopĺňa.
Množina sa nazýva spoľahlivá udalosť, prázdna množina sa nazýva nemožná.
Ak je každý výskyt udalosti sprevádzaný udalosťou, potom napíšu a povedia, čo predchádza alebo čo z toho vyplýva.
Udalosti a hovorí sa, že sú ekvivalentné, ak a.
Definícia. Pravdepodobnosť udalosti je číslo, ktoré sa rovná pomeru počtu elementárnych výsledkov, ktoré tvoria udalosť, k počtu všetkých elementárnych výsledkov
Prípad rovnako pravdepodobných udalostí (nazývaných „klasické“, teda pravdepodobnosť
nazývaný „klasický“.
Základné udalosti (výsledky skúseností) zahrnuté do udalosti sa nazývajú „priaznivé“.
Vlastnosti klasickej pravdepodobnosti:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image021.png)
Ak (a sú nekompatibilné udalosti).
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image023.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image024.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image025.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image027.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image028.png)
Príklad 22 (Huygensov problém). V urne sú 2 biele a 4 čierne gule. Jeden hráč sa staví s druhým, že medzi 3 vyžrebovanými loptičkami bude práve jedna biela. V akom vzťahu sú šance diskutujúcich?
Riešenie 1 (tradičné). V tomto prípade test = (vytiahnutie 3 loptičiek) a udalosť je priaznivá pre jedného z diskutujúcich:
= (získa presne jednu bielu guľu).
Keďže poradie, v akom sú tri loptičky žrebované, nie je dôležité
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image029.png)
V puzdrách je možné získať jednu bielu guľu a dve čierne - a potom podľa základného pravidla kombinatoriky. Preto a piatou vlastnosťou pravdepodobnosti Preto,
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image030.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image031.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image032.png)
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image033.png)
Riešenie 2. Vytvorme pravdepodobnostný strom výsledkov:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image034.jpg)
Príklad 23. Uvažujme prasiatko, v ktorom zostali štyri mince - tri z 2 rubľov. a jeden za 5 rubľov. Vyberieme dve mince.
Riešenie. a) Dve po sebe idúce extrakcie (s návratom) môžu viesť k nasledujúcim výsledkom:
Aká je pravdepodobnosť každého z týchto výsledkov?
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image035.jpg)
Tabuľka zobrazuje všetkých šestnásť možných prípadov.
teda
Nasledujúci strom vedie k rovnakým výsledkom:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image036.jpg)
b) Dve po sebe idúce extrakcie (bez opakovania) môžu viesť k týmto trom výsledkom:
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image037.jpg)
V tabuľke sú uvedené všetky možné výsledky:
teda
Zodpovedajúci strom vedie k rovnakým výsledkom:
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image038.jpg)
Príklad 24 (de Mere problém). Dvaja ľudia hrajú hádzaciu hru s až piatimi výhrami. Hra sa zastaví, keď prvý vyhral štyri hry a druhý vyhral tri. Ako by sa mala v tomto prípade rozdeliť počiatočná stávka?
Riešenie. Nech udalosť = (byť prvým hráčom, ktorý vyhrá cenu). Potom je pravdepodobnostný výplatný strom pre prvého hráča takýto:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image039.jpg)
Preto by tri časti stávky mali dostať prvý hráč a jedna časť druhému.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image040.png)
![](https://i0.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image041.png)
Efektívnosť riešenia pravdepodobnostných úloh pomocou grafov demonštrujme na nasledujúcom príklade, ktorý sme uvažovali v §1 (príklad 2).
Príklad 25. Je výber pomocou „počítacej tabuľky“ spravodlivý?
Riešenie. Vytvorme pravdepodobnostný strom výsledkov:
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image042.jpg)
a preto je pri hraní „počítacích hier“ výhodnejšie stáť na druhom mieste.
Posledné riešenie využíva grafovú interpretáciu vety o sčítaní a násobení pravdepodobností:
a najmä
Ak a sú nezlučiteľné udalosti
a, ak a - nezávislé udalosti.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/104660/image045.png)
Statická pravdepodobnosť
Klasická definícia pri zvažovaní zložitých problémov naráža na ťažkosti neprekonateľného charakteru. Najmä v niektorých prípadoch nemusí byť možné identifikovať rovnako pravdepodobné prípady. Aj v prípade mince, ako vieme, je zjavne nie rovnako pravdepodobná možnosť vypadnutia „hrany“, čo sa z teoretických úvah nedá posúdiť (možno len povedať, že je nepravdepodobná a táto úvaha je skôr praktické). Preto už na úsvite vzniku teórie pravdepodobnosti bola navrhnutá alternatívna „frekvenčná“ definícia pravdepodobnosti. Formálne možno pravdepodobnosť definovať ako hranicu frekvencie pozorovaní udalosti A za predpokladu homogenity pozorovaní (teda zhodnosti všetkých podmienok pozorovania) a ich vzájomnej nezávislosti:
kde je počet pozorovaní a počet výskytov udalosti.
Napriek tomu, že táto definícia skôr naznačuje spôsob odhadu neznámej pravdepodobnosti - prostredníctvom veľkého počtu homogénnych a nezávislých pozorovaní - táto definícia odráža obsah pojmu pravdepodobnosti. Totiž, ak je nejakej udalosti priradená určitá pravdepodobnosť ako objektívne meradlo jej možnosti, potom to znamená, že za pevných podmienok a opakovaných opakovaní by sme mali dostať frekvenciu jej výskytu blízku (čím bližšie, tým viac pozorovaní). V skutočnosti je to pôvodný význam pojmu pravdepodobnosti. Vychádza z objektivistického pohľadu na prírodné javy. Nižšie sa budeme zaoberať takzvanými zákonmi veľkých čísel, ktoré poskytujú teoretický základ (v rámci moderného axiomatického prístupu uvedeného nižšie), vrátane frekvenčného odhadu pravdepodobnosti.
Aby bolo možné kvantitatívne porovnávať udalosti medzi sebou podľa stupňa ich možnosti, samozrejme, je potrebné priradiť ku každej udalosti určité číslo, ktoré je väčšie, čím je udalosť možnejšia. Toto číslo nazveme pravdepodobnosťou udalosti. teda pravdepodobnosť udalosti je číselnou mierou miery objektívnej možnosti tejto udalosti.
Za prvú definíciu pravdepodobnosti treba považovať tú klasickú, ktorá vzišla z analýzy hazardných hier a bola spočiatku aplikovaná intuitívne.
Klasická metóda určovania pravdepodobnosti je založená na koncepte rovnako možných a nezlučiteľných udalostí, ktoré sú výsledkom danej skúsenosti a tvoria ucelenú skupinu nezlučiteľných udalostí.
Najjednoduchším príkladom rovnako možných a nezlučiteľných udalostí tvoriacich ucelenú skupinu je objavenie sa jednej alebo druhej loptičky z urny obsahujúcej niekoľko loptičiek rovnakej veľkosti, hmotnosti a iných hmatateľných vlastností, líšiacich sa len farbou, dôkladne premiešaných pred vybratím.
Preto sa o teste, ktorého výsledky tvoria kompletnú skupinu nekompatibilných a rovnako možných udalostí, hovorí, že je redukovateľný na vzor urien alebo vzor prípadov, alebo zapadá do klasického vzoru.
Rovnako možné a nezlučiteľné udalosti, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa budú nazývať jednoducho prípady alebo šance. Navyše v každom experimente spolu s prípadmi môžu nastať zložitejšie udalosti.
Príklad: Pri hode kockou spolu s prípadmi A i - strata i-bodov na hornej strane môžeme považovať také udalosti ako B - strata párneho počtu bodov, C - strata určitého počtu bodov. bodov, ktoré sú násobkom troch...
Vo vzťahu ku každej udalosti, ktorá môže nastať počas experimentu, sa prípady delia na priaznivý, v ktorom k tejto udalosti dôjde, a nepriaznivá, v ktorej k udalosti nedochádza. V predchádzajúcom príklade je udalosť B uprednostňovaná prípadmi A 2, A 4, A 6; udalosť C - prípady A 3, A 6.
Klasická pravdepodobnosť výskyt určitej udalosti sa nazýva pomer počtu prípadov priaznivých pre výskyt tejto udalosti k celkovému počtu rovnako možných, nezlučiteľných prípadov, ktoré tvoria úplnú skupinu v danom experimente:
Kde P(A)- pravdepodobnosť výskytu udalosti A; m- počet prípadov priaznivých pre udalosť A; n- celkový počet prípadov.
Príklady:
1) (pozri príklad vyššie) P(B)= , P(C) =.
2) Urna obsahuje 9 červených a 6 modrých loptičiek. Nájdite pravdepodobnosť, že jedna alebo dve náhodne vytiahnuté loptičky sa ukážu ako červené.
A- náhodne vylosovaná červená guľa:
m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=
B- dve náhodné červené gule:
Z klasickej definície pravdepodobnosti vyplývajú nasledujúce vlastnosti (ukážte sa):
1) Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je 0;
2) Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti je 1;
3) Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi 0 a 1;
4) Pravdepodobnosť udalosti opačnej k udalosti A,
Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že počet výsledkov pokusu je konečný. V praxi veľmi často existujú testy, ktorých počet možných prípadov je nekonečný. Okrem toho slabinou klasickej definície je, že veľmi často nie je možné znázorniť výsledok testu vo forme súboru elementárnych udalostí. Je ešte ťažšie uviesť dôvody, prečo sa elementárne výsledky testu považujú za rovnako možné. Zvyčajne sa ekvimožnosť základných výsledkov testu vyvodzuje z úvah o symetrii. Takéto úlohy sú však v praxi veľmi zriedkavé. Z týchto dôvodov sa popri klasickej definícii pravdepodobnosti používajú aj iné definície pravdepodobnosti.
Štatistická pravdepodobnosť udalosť A je relatívna frekvencia výskytu tejto udalosti v vykonaných testoch:
kde je pravdepodobnosť výskytu udalosti A;
Relatívna frekvencia výskytu udalosti A;
Počet pokusov, v ktorých sa objavila udalosť A;
Celkový počet pokusov.
Na rozdiel od klasickej pravdepodobnosti je štatistická pravdepodobnosť experimentálna charakteristika.
Príklad: Na kontrolu kvality výrobkov zo šarže bolo náhodne vybraných 100 výrobkov, z ktorých sa 3 výrobky ukázali ako chybné. Určte pravdepodobnosť manželstva.
.
Štatistická metóda určovania pravdepodobnosti je použiteľná len pre tie udalosti, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:
Uvažované udalosti by mali byť výsledkom iba tých testov, ktoré je možné reprodukovať neobmedzene veľakrát za rovnakých podmienok.
Udalosti musia mať štatistickú stabilitu (alebo stabilitu relatívnych frekvencií). To znamená, že v rôznych sériách testov sa relatívna frekvencia udalosti mení len málo.
Počet pokusov vedúcich k udalosti A musí byť dosť veľký.
Je ľahké overiť, že vlastnosti pravdepodobnosti vyplývajúce z klasickej definície sú zachované aj v štatistickej definícii pravdepodobnosti.