Ako riešiť rovnice so zlomkami. Exponenciálne riešenie rovníc so zlomkami
Doteraz sme riešili len celočíselné rovnice vzhľadom na neznámu, teda také rovnice, v ktorých menovatele (ak nejaké sú) neznámu neobsahovali.
Často musíte riešiť rovnice, ktoré obsahujú v menovateľoch neznámu: takéto rovnice sa nazývajú zlomkové rovnice.
Na vyriešenie tejto rovnice vynásobíme obe strany tým, že polynóm obsahuje neznámu. Bude nová rovnica ekvivalentná tejto? Aby sme odpovedali na otázku, vyriešme túto rovnicu.
Vynásobením oboch strán číslom dostaneme:
Vyriešením tejto rovnice prvého stupňa zistíme:
Takže rovnica (2) má jeden koreň
Ak to dosadíme do rovnice (1), dostaneme:
To znamená, že je tiež koreňom rovnice (1).
Rovnica (1) nemá žiadne iné korene. V našom príklade je to vidieť napríklad z toho, že v rovnici (1)
Ako sa neznámy deliteľ musí rovnať dividende 1 vydelenej podielom 2, tj
Takže rovnice (1) a (2) majú jeden koreň, čo znamená, že sú ekvivalentné.
2. Teraz vyriešme nasledujúcu rovnicu:
Najjednoduchší spoločný menovateľ: ; vynásobte ním všetky členy rovnice:
Po redukcii dostaneme:
Rozšírime zátvorky:
Prinášame podobné výrazy a máme:
Vyriešením tejto rovnice zistíme:
Dosadením do rovnice (1) dostaneme:
Na ľavej strane sme dostali výrazy, ktoré nedávajú zmysel.
To znamená, že rovnica (1) nie je koreň. Z toho vyplýva, že rovnice (1) a nie sú ekvivalentné.
V tomto prípade hovoria, že rovnica (1) získala cudzí koreň.
Porovnajme riešenie rovnice (1) s riešením rovníc, ktoré sme uvažovali skôr (pozri § 51). Pri riešení tejto rovnice sme museli vykonať dve operácie, s ktorými sme sa predtým nestretli: po prvé sme obe strany rovnice vynásobili výrazom obsahujúcim neznámu (spoločný menovateľ) a po druhé sme zmenšili algebraické zlomky o faktory obsahujúce neznáme. .
Pri porovnaní rovnice (1) s rovnicou (2) vidíme, že nie všetky hodnoty x, ktoré sú platné pre rovnicu (2), sú platné pre rovnicu (1).
Práve čísla 1 a 3 nie sú prijateľné hodnoty neznámej pre rovnicu (1), ale v dôsledku transformácie sa stali prijateľnými pre rovnicu (2). Jedno z týchto čísel sa ukázalo ako riešenie rovnice (2), ale, samozrejme, nemôže byť riešením rovnice (1). Rovnica (1) nemá žiadne riešenia.
Tento príklad ukazuje, že keď sa obe strany rovnice vynásobia faktorom obsahujúcim neznámu, a keď sa algebraické zlomky znížia, možno získať rovnicu, ktorá nie je ekvivalentná danej rovnici, konkrétne: môžu sa objaviť cudzie korene.
Odtiaľto vyvodíme nasledujúci záver. Pri riešení rovnice obsahujúcej v menovateli neznámu treba výsledné korene skontrolovať dosadením do pôvodnej rovnice. Cudzie korene sa musia zlikvidovať.
Pozývame vás na lekciu o riešení rovníc so zlomkami S najväčšou pravdepodobnosťou ste sa s takýmito rovnicami už v minulosti stretli, preto si v tejto lekcii zopakujeme a zhrnieme informácie, ktoré poznáte.
Viac lekcií na stránke
Zlomkovo-racionálna rovnica je rovnica, v ktorej sú racionálne zlomky, teda premenná v menovateli. Pravdepodobne ste sa už v minulosti stretli s podobnými rovnicami, takže v tejto lekcii si zopakujeme a zhrnieme, čo viete.
Najprv navrhujem obrátiť sa na predchádzajúcu lekciu na túto tému - lekciu „Riešenie kvadratických rovníc“. V tejto lekcii sa zvažoval príklad riešenia zlomkovej racionálnej rovnice. Zvážme to
Riešenie tejto rovnice sa vykonáva v niekoľkých fázach:
- Prevod rovnice obsahujúcej racionálne zlomky.
- Prejsť na celú rovnicu a zjednodušiť ju;
- Riešenie kvadratickej rovnice.
Pri riešení akejkoľvek zlomkovej racionálnej rovnice je potrebné prejsť prvými 2 stupňami. Tretia etapa je voliteľná, pretože rovnica získaná ako výsledok zjednodušení nemusí byť kvadratická, ale lineárna; riešenie lineárnej rovnice je oveľa jednoduchšie. Pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice je ešte jeden dôležitý krok. Bude to viditeľné pri riešení ďalšej rovnice.
čo by ste mali urobiť ako prvé? – Samozrejme, priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi. A je veľmi dôležité nájsť presne najmenej spoločný menovateľ, inak bude rovnica ďalej v procese riešenia komplikovaná. Tu si všimneme, že menovateľ posledného zlomku môže byť faktorizovaný pri A y+2. Práve tento produkt bude v tejto rovnici spoločným menovateľom. Teraz musíme určiť ďalšie faktory pre každý zo zlomkov. Presnejšie povedané, pre posledný zlomok takýto násobiteľ nie je potrebný, pretože jeho menovateľ sa rovná spoločnému. Teraz, keď majú všetky zlomky rovnakých menovateľov, môžeme prejsť k celej rovnici, ktorá sa skladá z rovnakých čitateľov. Je však potrebné uviesť jednu poznámku, že zistená hodnota neznámej nemôže znížiť žiadny z menovateľov na nulu. Toto je ODZ: y≠0, y≠2. Tým je hotová prvá z predtým popísaných etáp riešenia a prejdeme k druhej – výslednú celú rovnicu zjednodušíme. Ak to chcete urobiť, otvorte zátvorky, presuňte všetky výrazy na jednu stranu rovnice a uveďte podobné. Urobte to sami a skontrolujte, či sú moje výpočty, ktoré poskytli rovnicu, správne 3 roky 2 – 12 rokov = 0. Táto rovnica je kvadratická, je napísaná v štandardnom tvare a jeden z jej koeficientov je nula.
Riešenie zlomkových racionálnych rovníc
Referenčná príručka
Racionálne rovnice sú rovnice, v ktorých ľavá aj pravá strana sú racionálnymi výrazmi.
(Pamätajte, že racionálne výrazy sú celočíselné a zlomkové výrazy bez radikálov vrátane operácií sčítania, odčítania, násobenia alebo delenia – napríklad: 6x; (m – n)2; x/3y atď.)
Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne redukujú do tvaru:
Kde P(X) A Q(X) sú polynómy.
Na vyriešenie takýchto rovníc vynásobte obe strany rovnice Q(x), čo môže viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto pri riešení zlomkových racionálnych rovníc je potrebné skontrolovať nájdené korene.
Racionálna rovnica sa nazýva celá alebo algebraická, ak sa nedelí výrazom obsahujúcim premennú.
Príklady celej racionálnej rovnice:
5x – 10 = 3 (10 – x)
3x
- = 2x – 10
4
Ak v racionálnej rovnici existuje delenie výrazom obsahujúcim premennú (x), potom sa rovnica nazýva zlomková racionálna.
Príklad zlomkovej racionálnej rovnice:
15
x + - = 5x – 17
X
Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne riešia takto:
1) nájdite spoločného menovateľa zlomkov a vynásobte ním obe strany rovnice;
2) vyriešiť výslednú celú rovnicu;
3) vylúčiť z koreňov tie, ktoré redukujú spoločného menovateľa zlomkov na nulu.
Príklady riešenia celočíselných a zlomkových racionálnych rovníc.
Príklad 1. Vyriešme celú rovnicu
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Riešenie:
Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. To je 6. Vydeľte 6 menovateľom a výsledný výsledok vynásobte čitateľom každého zlomku. Získame rovnicu ekvivalentnú tejto:
3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Keďže ľavá a pravá strana majú rovnakého menovateľa, možno ho vynechať. Potom dostaneme jednoduchšiu rovnicu:
3(x – 1) + 4x = 5x.
Riešime to otvorením zátvoriek a spojením podobných výrazov:
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x – 5x = 3
Príklad je vyriešený.
Príklad 2. Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)
Hľadanie spoločného menovateľa. Toto je x(x – 5). Takže:
x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Teraz sa opäť zbavíme menovateľa, keďže je rovnaký pre všetky výrazy. Zredukujeme podobné členy, prirovnáme rovnicu k nule a získame kvadratickú rovnicu:
x 2 – 3 x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3 x – 10 = 0.
Po vyriešení kvadratickej rovnice nájdeme jej korene: –2 a 5.
Pozrime sa, či tieto čísla sú koreňmi pôvodnej rovnice.
Pri x = –2 spoločný menovateľ x(x – 5) nezmizne. To znamená, že –2 je koreň pôvodnej rovnice.
Pri x = 5 sa spoločný menovateľ dostane na nulu a dva z troch výrazov strácajú zmysel. To znamená, že číslo 5 nie je koreňom pôvodnej rovnice.
Odpoveď: x = –2
Viac príkladov
Príklad 1
x 1 = 6, x 2 = - 2,2.
Odpoveď: -2,2;6.
Príklad 2
Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Teraz rozšírme študované metódy na racionálne rovnice.
Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto pojmom sme sa už stretli. Racionálne výrazy sú výrazy zložené z čísel, premenných, ich mocničiek a symbolov matematických operácií.
Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde - racionálne prejavy.
Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré možno redukovať na lineárne. Teraz sa pozrime na tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické rovnice.
Príklad 1
Vyriešte rovnicu: .
Riešenie:
Zlomok sa rovná 0 práve vtedy, ak sa jeho čitateľ rovná 0 a menovateľ sa nerovná 0.
Získame nasledujúci systém:
Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred jeho riešením vydeľme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:
Získame dva korene: ; .
Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: . Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie sa nezhoduje s neplatnými hodnotami premennej, ktoré boli získané pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.
odpoveď:.
Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:
1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby pravá strana skončila s 0.
2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.
3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 pomocou nasledujúceho algoritmu: .
4. Napíšte tie korene, ktoré boli získané v prvej rovnici a vyhovie druhej nerovnici v odpovedi.
Pozrime sa na ďalší príklad.
Príklad 2
Vyriešte rovnicu: .
Riešenie
Na úplnom začiatku presunieme všetky výrazy doľava tak, aby 0 zostala vpravo.
Teraz prinesme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:
Táto rovnica je ekvivalentná systému:
Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.
Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:
Získame dva korene: ; .
Teraz vyriešme druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.
Musia byť splnené dve podmienky: . Zistili sme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.
odpoveď:.
V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálny výraz, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice.
V ďalšej lekcii sa pozrieme na racionálne rovnice ako na modely reálnych situácií a tiež sa pozrieme na pohybové problémy.
Bibliografia
- Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a ďalšie, 8. 5. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.
- Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Domáca úloha
§ 1 Celočíselné a zlomkové racionálne rovnice
V tejto lekcii sa pozrieme na pojmy ako racionálna rovnica, racionálne vyjadrenie, celé vyjadrenie, zlomkové vyjadrenie. Uvažujme o riešení racionálnych rovníc.
Racionálna rovnica je rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia.
Racionálne výrazy sú:
Zlomkový.
Celočíselný výraz sa skladá z čísel, premenných, celočíselných mocnín pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia číslom iným ako nula.
Napríklad:
Zlomkové výrazy zahŕňajú delenie premennou alebo výraz s premennou. Napríklad:
Zlomkový výraz nedáva zmysel pre všetky hodnoty premenných, ktoré obsahuje. Napríklad výraz
pri x = -9 to nedáva zmysel, pretože pri x = -9 ide menovateľ na nulu.
To znamená, že racionálna rovnica môže byť celočíselná alebo zlomková.
Celá racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú celé výrazy.
Napríklad:
Zlomková racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá alebo pravá strana sú zlomkové výrazy.
Napríklad:
§ 2 Riešenie celej racionálnej rovnice
Uvažujme o riešení celej racionálnej rovnice.
Napríklad:
Vynásobme obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom z menovateľov zlomkov v nej zahrnutých.
Pre to:
1. nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov 2, 3, 6. Rovná sa 6;
2. nájdite pre každý zlomok ďalší faktor. Za týmto účelom vydeľte spoločného menovateľa 6 každým menovateľom
dodatočný faktor pre zlomok
dodatočný faktor pre zlomok
3. vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi. Tak dostaneme rovnicu
čo je ekvivalentné danej rovnici
Otvoríme zátvorky vľavo, pravú časť posunieme doľava, pričom pri prenesení na opačný zmeníme znamienko výrazu.
Uveďme podobné členy polynómu a získajme
Vidíme, že rovnica je lineárna.
Po vyriešení zistíme, že x = 0,5.
§ 3 Riešenie zlomkovej racionálnej rovnice
Uvažujme o riešení zlomkovej racionálnej rovnice.
Napríklad:
1.Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom menovateľov racionálnych zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.
Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov x + 7 a x - 1.
Rovná sa ich súčinu (x + 7) (x - 1).
2. Nájdime ďalší faktor pre každý racionálny zlomok.
Ak to chcete urobiť, vydeľte spoločného menovateľa (x + 7) (x - 1) každým menovateľom. Dodatočný faktor pre zlomky
rovná sa x - 1,
dodatočný faktor pre zlomok
rovná sa x+7.
3. Vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.
Získame rovnicu (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), ktorá je ekvivalentná tejto rovnici
4. Vynásobte dvojčlen binomom vľavo a vpravo a získajte nasledujúcu rovnicu
5. Pravú stranu posunieme doľava, pričom pri prevode na opačný zmeníme znamienko každého pojmu:
6. Uveďme podobné členy polynómu:
7. Obe strany možno deliť -1. Dostaneme kvadratickú rovnicu:
8. Po vyriešení nájdeme korene
Keďže v rov.
ľavá a pravá strana sú zlomkové výrazy a v zlomkových výrazoch sa pre niektoré hodnoty premenných môže menovateľ stať nulou, potom je potrebné skontrolovať, či spoločný menovateľ neklesne na nulu, keď sa nájdu x1 a x2 .
Pri x = -27 spoločný menovateľ (x + 7) (x - 1) nezaniká pri x = -1, spoločný menovateľ tiež nie je nula.
Preto oba korene -27 a -1 sú koreňmi rovnice.
Pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice je lepšie okamžite uviesť rozsah prijateľných hodnôt. Odstráňte tie hodnoty, pri ktorých je spoločný menovateľ nulový.
Uvažujme o ďalšom príklade riešenia zlomkovej racionálnej rovnice.
Napríklad vyriešme rovnicu
Faktorizujeme menovateľ zlomku na pravej strane rovnice
Dostaneme rovnicu
Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov (x - 5), x, x (x - 5).
Bude to výraz x(x - 5).
Teraz nájdime rozsah prijateľných hodnôt rovnice
Aby sme to dosiahli, vyrovnáme spoločného menovateľa nule x(x - 5) = 0.
Získame rovnicu, ktorej riešením zistíme, že pri x = 0 alebo pri x = 5 sa spoločný menovateľ dostane na nulu.
To znamená, že x = 0 alebo x = 5 nemôžu byť koreňmi našej rovnice.
Teraz je možné nájsť ďalšie multiplikátory.
Prídavný faktor pre racionálne zlomky
dodatočný faktor pre zlomok
bude (x - 5),
a dodatočný faktor zlomku
Čitateľov vynásobíme zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.
Dostaneme rovnicu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).
Otvorme zátvorky vľavo a vpravo, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.
Presuňme výrazy sprava doľava a zmeňme znamienko prenesených výrazov:
X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
A po privedení podobných členov dostaneme kvadratickú rovnicu x2 - 3x - 10 = 0. Po jej vyriešení nájdeme korene x1 = -2; x2 = 5.
Ale už sme zistili, že pri x = 5 je spoločný menovateľ x(x - 5) nulový. Preto koreň našej rovnice
bude x = -2.
§ 4 Stručné zhrnutie lekcie
Dôležité mať na pamäti:
Pri riešení zlomkových racionálnych rovníc postupujte takto:
1. Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici. Navyše, ak je možné rozdeliť menovateľov zlomkov, potom ich vynásobte a potom nájdite spoločného menovateľa.
2.Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom: nájdite ďalšie faktory, vynásobte čitateľa ďalšími faktormi.
3.Vyriešte výslednú celú rovnicu.
4. Odstráňte z koreňov tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zaniká.
Zoznam použitej literatúry:
- Makarychev Yu.N., N.G Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Editoval Telyakovsky S.A. Algebra: učebnica. pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2013.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. Časť 1: Učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Mnemosyne.
- Rurukin A.N. Vývoj lekcií z algebry: 8. ročník - M.: VAKO, 2010.
- Algebra 8. ročník: plány hodín podľa učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Učiteľ, 2005.