Funcțiile trigonometrice sunt reciproc inverse. Funcții trigonometrice inverse

Interesant - 29.09.2019

Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții matematice care sunt inversul funcțiilor trigonometrice.

Funcția y=arcsin(x)

Arcsinusul unui număr α este un număr α din intervalul [-π/2;π/2] al cărui sinus este egal cu α.
Graficul unei funcții
Funcția у= sin⁡(x) pe intervalul [-π/2;π/2], este strict crescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict crescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y= sin⁡(x), unde x ∈[-π/2;π/2], se numește arcsinus și se notează y=arcsin(x), unde x∈[-1;1; ].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arcsinusului este segmentul [-1;1], iar mulțimea de valori este segmentul [-π/2;π/2].
Rețineți că graficul funcției y=arcsin(x), unde x ∈[-1;1], este simetric cu graficul funcției y= sin(⁡x), unde x∈[-π/2;π /2], în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate primul și al treilea sfert.

Domeniul de funcții y=arcsin(x).

Exemplul nr. 1.

Găsiți arcsin(1/2)?

Deoarece intervalul de valori al funcției arcsin(x) aparține intervalului [-π/2;π/2], atunci numai valoarea π/6 este potrivită, prin urmare, arcsin(1/2) =π/. 6.
Răspuns: π/6

Exemplul nr. 2.
Găsiți arcsin(-(√3)/2)?

Deoarece intervalul de valori arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], atunci numai valoarea -π/3 este potrivită, prin urmare, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funcția y=arccos(x)

Arccosinusul unui număr α este un număr α din intervalul al cărui cosinus este egal cu α.

Graficul unei funcții

Funcția y= cos(⁡x) pe segment este strict descrescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict descrescătoare și continuă.
Se numește funcția inversă pentru funcția y= cos⁡x, unde x ∈ arc cosinusși se notează cu y=arccos(x),unde x ∈[-1;1].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arcului cosinus este segmentul [-1;1], iar setul de valori este segmentul.
Rețineți că graficul funcției y=arccos(x), unde x ∈[-1;1] este simetric cu graficul funcției y= cos(⁡x), unde x ∈, în raport cu bisectoarea unghiurile de coordonate ale primului și al treilea sferturi.

Domeniul de funcții y=arccos(x).

Exemplul nr. 3.

Găsiți arccos(1/2)?

Deoarece intervalul de valori este arccos(x) x∈, atunci numai valoarea π/3 este potrivită.
Exemplul nr. 4.
Găsiți arccos(-(√2)/2)?

Deoarece intervalul de valori al funcției arccos(x) aparține intervalului, atunci numai valoarea 3π/4 este potrivită. Prin urmare, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Răspuns: 3π/4

Funcția y=arctg(x)

Arctangenta unui număr α este un număr α din intervalul [-π/2;π/2] a cărui tangentă este egală cu α.

Graficul unei funcții

Funcția tangentă este continuă și strict crescătoare pe interval (-π/2;π/2); prin urmare, are o funcție inversă care este continuă și strict crescătoare.
Funcția inversă pentru funcția y= tan⁡(x), unde x∈(-π/2;π/2); se numește arctangentă și se notează cu y=arctg(x), unde x∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arctangentei este intervalul (-∞;+∞), iar setul de valori este intervalul
(-π/2;π/2).
Rețineți că graficul funcției y=arctg(x), unde x∈R, este simetric față de graficul funcției y= tan⁡x, unde x ∈ (-π/2;π/2), relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate ale primului și al treilea sferturi.

Domeniul funcției y=arctg(x).

Exemplul nr. 5?

Găsiți arctan((√3)/3).

Deoarece intervalul de valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atunci numai valoarea π/6 este potrivită. Prin urmare, arctg((√3)/3) =π/6.
Exemplul nr. 6.
Găsiți arctg(-1)?

Deoarece intervalul de valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atunci numai valoarea -π/4 este potrivită. Prin urmare, arctg(-1) = - π/4.

Funcția y=arcctg(x)

Cotangenta arcului unui număr α este un număr α din intervalul (0;π) a cărui cotangentă este egală cu α.

Graficul unei funcții

Pe intervalul (0;π), funcția cotangentă scade strict; în plus, este continuă în fiecare punct al acestui interval; prin urmare, pe intervalul (0;π), această funcție are o funcție inversă, care este strict descrescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y=ctg(x), unde x ∈(0;π), se numește arccotangent și se notează y=arcctg(x), unde x∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arccotangentei va fi R, iar setul de valori va fi intervalul (0;π Graficul funcției y=arcctg(x)). , unde x∈R este simetric față de graficul funcției y=ctg(x) x∈(0 ;π), relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate ale primului și al treilea sfert.

Domeniul de funcții y=arcctg(x).

Exemplul nr. 7.
Găsiți arcctg((√3)/3)?

Deoarece intervalul de valori arcctg(x) x ∈(0;π), atunci numai valoarea π/3 este potrivită.

Exemplul nr. 8.
Găsiți arcctg(-(√3)/3)?

Deoarece intervalul de valori este arcctg(x) x∈(0;π), atunci numai valoarea 2π/3 este potrivită. Prin urmare, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Editori: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Sunt date definiții ale funcțiilor trigonometrice inverse și graficele acestora. Precum și formule care conectează funcții trigonometrice inverse, formule pentru sume și diferențe.

Definiția funcțiilor trigonometrice inverse

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, funcțiile lor inverse nu sunt unice. Deci, ecuația y = sin x, pentru un dat, are infinit de rădăcini. Într-adevăr, datorită periodicității sinusului, dacă x este o astfel de rădăcină, atunci așa este x + 2πn(unde n este un număr întreg) va fi, de asemenea, rădăcina ecuației. Astfel, funcțiile trigonometrice inverse sunt multivalorice. Pentru a facilita lucrul cu ei, este introdus conceptul semnificațiilor lor principale. Luați în considerare, de exemplu, sinusul: y = sin x. sin x Dacă limităm argumentul x la intervalul , atunci pe el funcția y = crește monoton. Prin urmare, are o funcție inversă unică, care se numește arcsinus: x =.

arcsin y

Dacă nu se specifică altfel, prin funcții trigonometrice inverse înțelegem valorile lor principale, care sunt determinate de următoarele definiții. Arcsin ( y=) arcsin x este funcția inversă a sinusului ( x =

siny Arcsin ( Arccosinus () arccos x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a cosinusului ( ca si

), având un domeniu de definiție și un set de valori. Arcsin ( Arctangent () arctan x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a tangentei ( ca si

tg y Arcsin ( arccotangent () arcctg x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a cotangentei ( ca si

ctg y

Grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse

Arcsin ( y=

Arcsin ( Arccosinus (

Arcsin ( Arctangent (

Arcsin ( arccotangent (

Graficele funcțiilor trigonometrice inverse se obțin din graficele funcțiilor trigonometrice prin reflexie în oglindă față de dreapta y = x.

Vezi secțiunile Sinus, cosinus, Tangent, cotangent.

Formule de bază Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
arcsin(sin x) = x
la Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
sin(arcsin x) = x

arccos(cos x) = x Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
tg(arctg x) = x

arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Formule care raportează funcții trigonometrice inverse

Formule de sumă și diferență

la sau

la şi

la şi

la sunt utilizate pe scară largă în analiza matematică. Cu toate acestea, pentru majoritatea elevilor de liceu, sarcinile asociate cu acest tip de funcție provoacă dificultăți semnificative. Acest lucru se datorează în principal faptului că multe manuale și materiale didactice acordă prea puțină atenție sarcinilor de acest tip. Și dacă elevii cel puțin se confruntă cumva cu problemele de calculare a valorilor funcțiilor trigonometrice inverse, atunci ecuațiile și inegalitățile care conțin astfel de funcții, în cea mai mare parte, îi derutează pe copii. De fapt, acest lucru nu este surprinzător, deoarece practic niciun manual nu explică cum să rezolvi chiar și cele mai simple ecuații și inegalități care conțin funcții trigonometrice inverse.

Să ne uităm la mai multe ecuații și inegalități care implică funcții trigonometrice inverse și să le rezolvăm cu o explicație detaliată.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Soluţie.

Exprimând funcția trigonometrică inversă din ecuație, obținem:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Acum să folosim definiția arccosinusului.

Arccosinusul unui anumit număr a, aparținând segmentului de la -1 la 1, este un unghi y din segmentul de la 0 la π astfel încât cosinusul său este egal cu numărul x. Prin urmare, putem scrie astfel:

2x + 3 = cos 5π/6.

Să scriem partea dreaptă a ecuației rezultate folosind formula de reducere:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Să reducem partea dreaptă la un numitor comun.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Răspuns: -(6 + √3) / 4 .

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Soluţie.

Deoarece cos (arcсos x) = x cu x aparținând lui [-1; 1], atunci această ecuație este echivalentă cu sistemul:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Să rezolvăm ecuația inclusă în sistem.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Este pătrat, așa că obținem asta

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Să rezolvăm inegalitatea dublă inclusă în sistem.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Adăugați 9 la toate părțile, avem:

8 ≤ 4x ≤ 10. Împărțiți fiecare număr la 4, obținem:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Acum să combinăm răspunsurile primite. Este ușor de observat că rădăcina x = 7 nu satisface răspunsul la inegalitate. Prin urmare, singura soluție a ecuației este x = 2.

Raspuns: 2.

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Soluţie.

Deoarece tg (arctg x) = x pentru toate numerele reale, această ecuație este echivalentă cu ecuația:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Să rezolvăm ecuația pătratică rezultată folosind discriminantul, după ce a adus-o mai întâi în formă standard.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Răspuns: 1; 2.

Exemplul 4.

Rezolvați ecuația: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Soluţie.

Deoarece arcctg f(x) = arcctg g(x) dacă și numai dacă f(x) = g(x), atunci

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Să rezolvăm ecuația pătratică rezultată:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Prin teorema lui Vieta obținem că

x = 1 sau x = 2.

Răspuns: 1; 2.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

Soluţie.

Deoarece o ecuație de forma arcsin f(x) = arcsin g(x) este echivalentă cu sistemul

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

atunci ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Să rezolvăm sistemul rezultat:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Din prima ecuație, folosind teorema lui Vieta, avem că x = 1 sau x = 7. Rezolvând a doua inegalitate a sistemului, constatăm că 7 ≤ x ≤ 8. Prin urmare, doar rădăcina x = 7 este potrivită pentru finala răspuns.

Raspuns: 7.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Soluţie.

Fie arccos x = t, atunci t aparține segmentului și ecuația ia forma:

t 2 – 6t + 8 = 0. Rezolvați ecuația pătratică rezultată folosind teorema lui Vieta, constatăm că t = 2 sau t = 4.

Deoarece t = 4 nu aparține segmentului, obținem că t = 2, adică. arccos x = 2, ceea ce înseamnă x = cos 2.

Raspuns: cos 2.

Exemplul 7.

Rezolvați ecuația: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Soluţie.

Să folosim egalitatea arcsin x + arccos x = π/2 și să scriem ecuația sub forma

(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Fie arcsin x = t, atunci t aparține segmentului [-π/2; π/2] și ecuația ia forma:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Să rezolvăm ecuația rezultată:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Înmulțind fiecare termen cu 9 pentru a scăpa de fracțiile din ecuație, obținem:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

Să găsim discriminantul și să rezolvăm ecuația rezultată:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 sau t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 sau t = 12π/36.

După reducere avem:

t = π/6 sau t = π/3. Apoi

arcsin x = π/6 sau arcsin x = π/3.

Astfel, x = sin π/6 sau x = sin π/3. Adică x = 1/2 sau x =√3/2.

Raspuns: 1/2; √3/2.

Exemplul 8.

Aflați valoarea expresiei 5nx 0, unde n este numărul de rădăcini și x 0 este rădăcina negativă a ecuației 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.

Soluţie.

Deoarece -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, atunci -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Mai mult, (x + 1) 2 ≥ 0 pentru tot x real,
atunci -(x + 1) 2 ≤ 0 și -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Astfel, ecuația poate avea o soluție dacă ambele laturi sunt simultan egale cu –π, adică. ecuația este echivalentă cu sistemul:

(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Să rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Din a doua ecuație avem că x = -1, respectiv n = 1, apoi 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Răspuns: -5.

După cum arată practica, capacitatea de a rezolva ecuații cu funcții trigonometrice inverse este o condiție necesară pentru promovarea cu succes a examenelor. De aceea, pregătirea pentru rezolvarea unor astfel de probleme este pur și simplu necesară și obligatorie atunci când vă pregătiți pentru Examenul Unificat de Stat.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Lecțiile 32-33. Funcții trigonometrice inverse

09.07.2015 5917 0

Ţintă: luați în considerare funcțiile trigonometrice inverse și utilizarea lor pentru scrierea soluțiilor ecuațiilor trigonometrice.

I. Comunicarea temei și a scopului lecțiilor

II. Învățarea de materiale noi

1. Funcții trigonometrice inverse

Să începem discuția noastră despre acest subiect cu următorul exemplu.

Exemplul 1

Să rezolvăm ecuația: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Pe axa ordonatelor trasăm valoarea 1/2 și construim unghiurile x 1 și x2, pentru care sin x = 1/2. În acest caz x1 + x2 = π, de unde x2 = π – x 1 . Folosind tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, găsim valoarea x1 = π/6, apoiSă luăm în considerare periodicitatea funcției sinus și să notăm soluțiile acestei ecuații:unde k ∈ Z.

b) Evident, algoritmul de rezolvare a ecuaţiei păcat x = a este la fel ca în paragraful anterior. Desigur, acum valoarea a este trasată de-a lungul axei ordonatelor. Este nevoie de a desemna cumva unghiul x1. Am convenit să notăm acest unghi cu simbolul arcsin O. Apoi soluțiile acestei ecuații pot fi scrise sub formaAceste două formule pot fi combinate într-una singură:în același timp

Funcțiile trigonometrice inverse rămase sunt introduse într-un mod similar.

Foarte des este necesar să se determine mărimea unui unghi din valoarea cunoscută a funcției sale trigonometrice. O astfel de problemă este multivalorică - există nenumărate unghiuri ale căror funcții trigonometrice sunt egale cu aceeași valoare. Prin urmare, pe baza monotonității funcțiilor trigonometrice, sunt introduse următoarele funcții trigonometrice inverse pentru a determina unic unghiuri.

Arcsin al numărului a (arcsin , al cărui sinus este egal cu a, i.e.

Arccosinus al unui număr a(arccos a) este un unghi a din intervalul al cărui cosinus este egal cu a, adică.

Arctangenta unui număr a(arctg a) - un astfel de unghi a din intervala cărui tangentă este egală cu a, i.e.tg a = a.

Arccotangente a unui număr a(arcctg a) este un unghi a din intervalul (0; π), a cărui cotangentă este egală cu a, i.e. ctg a = a.

Exemplul 2

Să găsim:

Ținând cont de definițiile funcțiilor trigonometrice inverse, obținem:

Exemplul 3

Să calculăm

Fie unghiul a = arcsin 3/5, apoi prin definiție sin a = 3/5 și . Prin urmare, trebuie să găsim cos O. Folosind identitatea trigonometrică de bază, obținem:Se ține cont de faptul că cos a ≥ 0. Deci,

Proprietățile funcției	Funcţie
Proprietățile funcției	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctan x	y = arcctg x
Domeniul definirii	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Gama de valori	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Paritate	Ciudat	Nici par, nici impar	Ciudat	Nici par, nici impar
Zerourile funcției (y = 0)	La x = 0	La x = 1	La x = 0	y ≠ 0
Intervale de constanță a semnelor	y > 0 pentru x ∈ (0; 1], la< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 pentru x ∈ [-1; 1)	y > 0 pentru x ∈ (0; +∞), la< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 pentru x ∈ (-∞; +∞)
Monoton	În creștere	Descendent	În creștere	Descendent
Relația cu funcția trigonometrică	sin y = x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
Programa

Să dăm o serie de exemple mai tipice legate de definițiile și proprietățile de bază ale funcțiilor trigonometrice inverse.

Exemplul 4

Să găsim domeniul de definire al funcției

Pentru ca funcția y să fie definită este necesar să se satisfacă inegalitateacare este echivalent cu sistemul de inegalităţiSoluția primei inegalități este intervalul x∈ (-∞; +∞), secunda - Acest interval și este o soluție a sistemului de inegalități și, prin urmare, domeniul de definire al funcției

Exemplul 5

Să găsim zona de schimbare a funcției

Să luăm în considerare comportamentul funcției z = 2x - x2 (vezi poza).

Este clar că z ∈ (-∞; 1]. Având în vedere că argumentul z funcția arc cotangent se modifică în limitele specificate, din datele din tabel obținem căDeci zona schimbării

Exemplul 6

Să demonstrăm că funcția y = arctg x impar. LasăAtunci tg a = -x sau x = - tg a = tg (- a) și Prin urmare, - a = arctg x sau a = - arctg X. Astfel, vedem astaadică y(x) este o funcție impară.

Exemplul 7

Să exprimăm prin toate funcțiile trigonometrice inverse

Lasă Este evident că Apoi de când

Să introducem unghiul Deoarece Că

La fel deci Şi

Aşa,

Exemplul 8

Să construim un grafic al funcției y = cos(arcsin x).

Să notăm a = arcsin x, atunci Să luăm în considerare că x = sin a și y = cos a, adică x 2 + y2 = 1 și restricții asupra x (x∈ [-1; 1]) și y (y ≥ 0). Apoi graficul funcției y = cos(arcsin x) este un semicerc.

Exemplul 9

Să construim un grafic al funcției y = arccos (cos x ).

Deoarece funcţia cos x se modifică pe intervalul [-1; 1], atunci funcția y este definită pe toată axa numerică și variază pe segmentul . Să reținem că y = arccos(cosx) = x pe segment; funcția y este pară și periodică cu perioada 2π. Avand in vedere ca functia are aceste proprietati cos x Acum este ușor să creezi un grafic.

Să notăm câteva egalități utile:

Exemplul 10

Să găsim cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției Să notăm Apoi Să luăm funcția Această funcție are un minim la punct z = π/4 și este egal cu Cea mai mare valoare a funcției este atinsă la punct z = -π/2 și este egal Astfel, și

Exemplul 11

Să rezolvăm ecuația

Să luăm în considerare asta Atunci ecuația arată astfel:sau unde Prin definiția arctangentei obținem:

2. Rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice simple

Similar cu exemplul 1, puteți obține soluții pentru cele mai simple ecuații trigonometrice.

Ecuaţie	Soluţie


tgx = a
ctg x = a

Exemplul 12

Să rezolvăm ecuația

Deoarece funcția sinus este impară, scriem ecuația sub formaSoluții la această ecuație:de unde il gasim?

Exemplul 13

Să rezolvăm ecuația

Folosind formula dată, notăm soluțiile ecuației:si vom gasi

Rețineți că în cazuri speciale (a = 0; ±1) la rezolvarea ecuațiilor sin x = a și cos x = și este mai ușor și mai convenabil să folosiți nu formule generale, ci să scrieți soluții bazate pe cercul unității:

pentru ecuația sin x = 1 soluție

pentru ecuația sin x = 0 soluții x = π k;

pentru ecuația sin x = -1 soluție