Tipuri de unități de tun autopropulsate. Unități tipice de tunuri autopropulsate și caracteristicile acestora
Introducere
Teoria controlului automat este o știință tehnică de aplicare generală. Acesta oferă o bază teoretică pentru cercetarea, dezvoltarea și proiectarea sistemelor automate și automate.
1. Concepte de bază și definiții
Există o varietate extrem de mare de sisteme care realizează automat anumite funcții pentru a controla diferite procese fizice din toate domeniile tehnologiei.
Un sistem automat este capabil să modifice orice mărime fizică într-un anumit proces controlat pe o perioadă lungă de timp.
Un sistem automatizat este un sistem în care un operator uman este folosit ca unul dintre noduri.
Operare de control – acțiuni care vizează funcționarea corectă și de înaltă calitate a obiectului controlat. Ele asigură începutul, succesiunea și încheierea acțiunilor individuale la momentul potrivit; prevede alocarea resurselor necesare și stabilește parametrii necesari procesului în sine.
Un obiect de control este un ansamblu de mijloace tehnice care efectuează un anumit proces și sunt supuse controlului.
Toate sistemele de control automat (ACS) pot fi clasificate după cum urmează.
1. După tipul de diagramă bloc:
– deschis (mașini automate care funcționează după anumite programe);
– închis (cu feedback).
2. După tipul de ecuații pentru dinamica proceselor de control:
– liniar;
– neliniar.
Sistemele liniare au fost studiate pe deplin.
3. După natura transmisiei semnalului:
– continuu;
- discret:
– pulsat (discret în timp);
– digital (discret în timp și nivel);
– releu (semnalul se schimbă brusc).
4. După natura funcționării:
– obișnuit;
– adaptiv (auto-ajustabil).
5. În funcție de natura modificării acțiunii de control:
– sisteme automate de stabilizare;
– sisteme de control al programelor;
– sisteme de urmărire.
O diagramă ACS tipică arată astfel (Fig. 1).
Orez. 1. Schema tipică de tunuri autopropulsate
g(t) – influența de stabilire;
f(t) – influență perturbatoare (poate acționa asupra oricărui bloc al sistemului);
la(t) – semnal de ieșire;
1 – dispozitiv principal. Dispozitivul convertește influența de intrare g(t) într-un semnal proporțional cu valoarea specificată a mărimii de ieșire la(t);
2, 5 – dispozitive de comparare. Generează un semnal de nepotrivire (eroare). e(t) între semnalul de intrare și semnalul principal de feedback
comunicații;
3 – dispozitiv de conversie;
4, 8 – dispozitive de corectare. Îmbunătățirea calității managementului;
6 – dispozitiv de amplificare;
7 – actuator;
9 – aparat de masura;
10 – dispozitiv de potrivire. Produce un semnal care este într-o anumită dependență funcțională de variabila controlată;
11 – obiect de control.
Astfel, într-o manieră simplificată, orice tun autopropulsat poate fi reprezentat astfel (Fig. 2).
Orez. 2. Schema simplificată a tunurilor autopropulsate
Probleme ale teoriei tunurilor autopropulsate
Teoria controlului automat studiază principiile generale de construire a sistemelor de control automat și metodele de studiere a acestora, indiferent de natura fizică a proceselor.
Se pot distinge două sarcini.
1. Sarcina de analiză: studiul proprietăților statice și dinamice ale sistemului.
2. Sarcina de sinteză: dezvoltarea de noi sisteme care să îndeplinească cerințele tehnice date.
În rezolvarea acestor probleme sunt investigate următoarele întrebări.
1. Formarea schemelor funcționale și structurale ale sistemelor de control automat.
2. Construirea caracteristicilor statice și dinamice ale legăturilor individuale și ale sistemului în ansamblu.
3. Determinarea erorilor de control și a indicatorilor de precizie ai unui sistem în buclă închisă.
4. Studiul stabilității sistemului.
5. Evaluarea indicatorilor de calitate ai procesului de management.
6. Sinteza dispozitivelor corective și optimizarea parametrilor sistemului.
3. Ecuații diferențiale și
funcții de transfer
Pentru a analiza sistemele, este necesar să existe descrierea lor matematică. De obicei, acestea sunt ecuații diferențiale (DE). Dacă această ecuație folosește derivate ale cantităților de intrare și de ieșire, atunci este o ecuație dinamică. Dacă setăm derivatele semnalelor de intrare la zero, aceasta este o ecuație statică (descrierea sistemului în stare staționară). Aceste ecuații sunt compilate pe baza legilor fizice.
În cazul general, ecuațiile rezultate sunt neliniare. Pentru a simplifica analiza, se folosesc anumite metode de liniarizare, de exemplu, extinderea seriei Taylor.
În general, ecuația diferențială liniară are următoarea formă:
În teoria controlului automat a fost adoptată o formă standard de scriere a ecuațiilor diferențiale: – derivata este înlocuită de operator p, coeficientul valorii de ieșire trebuie să fie egal cu 1.
De exemplu, pentru o ecuație de ordinul doi:
Parametru K numit coeficient de transmisie (castig). Acesta este raportul dintre cantitatea de ieșire și cantitatea de intrare în stare staționară.
Parametru T- timpul constant.
Acest tip reprezintă prima formă de descriere a pistoalelor autopropulsate.
Pe lângă descrierea în domeniul timpului, sunt descrise sisteme funcții de transfer. Pentru a obține funcția de transfer trebuie să utilizați expansiunea Laplace
,
Unde p = c + jd- număr complex;
f(t) – original;
F(p) – imagine Laplace.
În consecință, ecuația diferențială poate fi transformată și scrisă în raport cu imaginile (vezi exemplul de mai sus):
Aceasta este a doua formă de descriere a pistoalelor autopropulsate.
Funcția de transmisie este raportul dintre imaginile cantităților de ieșire și de intrare, găsite din ecuația de mai sus:
.
Pentru a studia proprietățile de frecvență ale ACS, este utilizată funcția de transfer de frecvență. Pentru a-l obține se folosește transformata Fourier. În acest caz operatorul p = j w, iar funcția de transfer de frecvență este scrisă ca W(j w). Această reprezentare este a treia formă de descriere a sistemelor.
Caracteristicile tunurilor autopropulsate
Există diferite metode pentru studierea pistoalelor autopropulsate sau a unităților sale individuale. Una dintre ele este de a analiza răspunsul unui sistem sau legătura cu influențele externe.
Semnalele standard sunt folosite ca influențe externe. În teorie, ACS utilizează trei tipuri de semnale.
1. Acțiune cu o singură intrare 1( t) (Fig. 3).
Orez. 3. Acțiune de intrare unică
2. d-pulse – un semnal de lățime zero și amplitudine infinită – d( t), iar aria sa este egală cu 1 (Fig. 4)
.
Orez. 4. Puls delta
O astfel de funcție este o abstractizare matematică. În practică, un astfel de semnal este considerat a fi un impuls scurt de mare putere.
d-pulse este legat matematic de semnalul 1( t):
.
3. A sinw t, și pentru simplitate A = 1.
În consecință, la fiecare dintre aceste semnale standard există o anumită reacție a ACS.
1. Se numește răspunsul unui sistem sau al unei unități de control automat la o singură influență de intrare răspuns la pas sau funcția de tranziție h(t) (Fig. 5).
Orez. 6. Un exemplu de funcție de greutate a unui sistem de control automat
Folosind transformata Laplace obținem următoarele relații:
.
Transformarea Laplace a funcției de greutate este funcția de transfer.
Funcția de greutate și răspunsul de tranziție sunt legate printr-o relație simplă
.
Descrierea ACS în domeniul timp prin funcția de ponderare este echivalentă cu descrierea prin funcția de transfer în domeniul imaginii.
Puteți găsi răspunsul sistemului la un semnal de intrare arbitrar. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza integrala Duhamel sau integrala de convoluție
.
3. Dacă un semnal de intrare ca A sinw t, apoi vorbim despre caracteristicile de frecvență ale sistemului.
Caracteristicile frecvenței– acestea sunt expresii și dependențe grafice care exprimă răspunsul ACS studiat la un semnal de forma A sinw t la diferite valori ale frecvenței w.
La ieșirea ACS semnalul va arăta ca
Unde A(t) – amplitudinea semnalului, j( t) – schimbare de fază.
Funcția de transfer de frecvență pentru obținerea caracteristicilor de frecvență poate fi reprezentată astfel:
;
, (1)
Unde u(baghetă v(w) – părți reale și imaginare ale expresiei complexe.
Partea reală este formată din puteri pare de frecvență w, iar partea imaginară este formată din puteri impare.
Această funcție poate fi reprezentată grafic pe planul complex. Această imagine se numește odograf(Fig. 7) sau caracteristică amplitudine-fază. Curba se construiește obținând puncte pe plan prin specificarea anumitor valori ale frecvenței w și calculând u(w) și n(w).
Pentru a obține un grafic în cazul frecvențelor negative, este necesar să se realizeze o imagine în oglindă a caracteristicii existente în raport cu axa reală.
Orez. 7. Hodograf sau caracteristică amplitudine-fază a sistemului
Într-un mod similar, puteți construi grafice separate ale lungimii vectorului A(w) și unghiul de rotație j(w). Apoi obținem caracteristicile amplitudine-frecvență și fază-frecvență.
În practică, caracteristicile logaritmice sunt adesea folosite. Este logic să folosiți logaritmul natural
Cu toate acestea, în practică, logaritmii zecimali sunt utilizați și obțin amplitudine-frecvență logaritmică(LACHH) (Fig. 8) și fază-frecvență logaritmică(LFCHH) caracteristici(Fig. 9).
Orez. 9. Exemplu de sistem LFFC
Când se calculează caracteristica fază-frecvență logaritmică, se utilizează (1).
La construirea graficelor, frecvența este reprezentată pe axa absciselor pe o scară logaritmică. Deoarece atunci când se calculează valorile LFC, expresiile folosesc dependențe de gradul de w, graficul are o pantă standard care este un multiplu de 20 dB/dec. Dec – deceniu, adică modificarea frecvenței cu un ordin de mărime.
Teoretic, punctul w = 0 de pe axa frecvenței ar trebui să fie în stânga la infinit, dar pentru calcule practice axa ordonatelor este deplasată la dreapta.
Caracteristicile logaritmice au următoarele avantaje:
– ușurință în construcție;
– ușurința obținerii LFC-ului sistemului din LFC-ului legăturilor prin adunare geometrică;
– ușurința analizei ACS.
Legile de control
Acestea sunt algoritmi sau dependențe funcționale, în conformitate cu care se formează un efect de control (reglare).
u(t) = F(X(t), g(t), f(t)),
Unde X(t) - eroare;
g(t) – influența de stabilire;
f(t) – influență tulburătoare.
u(t) = F 1 (X) + F 2 (g) + F 3 (f),
Unde F 1 (X) – control prin abatere sau eroare;
F 2 (g) Și F 3 (f) – control în funcție de impactul corespunzător.
De obicei, legile liniare sunt considerate relativ la DE.
Există mai multe legi standard de control.
1. Control proporțional.
Circuitul de comandă conține un proporțional (static)
legătură
În stare de echilibru:
,
Unde K– câștigul general al sistemului;
y UST – valoarea constantă a mărimii de ieșire;
X 0 – valoare constantă de eroare.
Pentru un sistem de control automat în buclă închisă, găsim valoarea erorii la starea de echilibru folosind formula (3):
Unde g 0 – influență constantă de intrare;
x f UST – eroare la starea de echilibru datorată perturbării.
Analiza expresiei arată că eroarea la starea de echilibru a scăzut cu (1 + K) ori, dar în principiu nu este egal cu 0.
2. Control integral.
În acest caz, există o relație între eroare și rata de modificare a acțiunii de reglementare (control).
;
ACS trebuie să aibă legături de integrare.
Valoarea erorii la starea de echilibru este găsită folosind formula (3).
Primul termen este egal cu 0, al doilea depinde de valoarea numărătorului, așa că îi aplicăm expresia
.
În absența unei influențe perturbatoare, valoarea totală a erorii la starea de echilibru este zero.
Sistemul este astatic în ceea ce privește influența de conducere sau are astatism de ordinul întâi. Totuși, dacă influența de referință este variabilă (rata de schimbare nu este egală cu 0), atunci eroarea în stare staționară va avea o valoare diferită de zero.
Pentru a elimina eroarea de viteză, este necesar să adăugați un alt integrator la ACS.
Această abordare are un dezavantaj: dacă există un număr mare de integratori, procesul de control încetinește și stabilitatea sistemului se modifică.
3. Controlul derivat (diferențial).
Procesul de control este descris de relațiile:
;
.
Procesul de control începe să funcționeze atunci când eroarea este încă 0, iar derivata sa este diferită de 0. În stare staționară, circuitul de control este întrerupt, prin urmare, această lege nu are sens independent. Folosit ca o completare a altora. Acesta asigură un răspuns rapid al pistoalelor autopropulsate în modul tranzitoriu.
4. Control izodromic.
Este posibil să folosiți toate legile de mai sus simultan. Legea controlului în acest caz are forma:
.
Un astfel de management combină avantajele tuturor legilor luate în considerare. De exemplu, cu o acțiune de intrare care variază liniar (Fig. 28), în momentul inițial (secțiunea I) funcționează controlul derivat, atunci controlul proporțional are o contribuție mai mare, după momentul de timp t 0 (secțiunea II) control în esență integral.
Orez. 28. Legi de control la tunurile autopropulsate
9. Procesul de management și cerințele pentru acesta
Procesul de control în timp este determinat prin rezolvarea ecuației diferențiale a dinamicii unui sistem în buclă închisă. În acest caz, este posibil să se determine cerințele pentru sistem în trei domenii principale.
1. Evaluarea fundamentală a posibilității ca sistemul să treacă la o anumită stare de echilibru sub orice influență externă. Aceasta este o evaluare a stabilității sistemului.
2. Evaluarea calității procesului de tranziție.
3. Estimarea preciziei sistemului în stare staționară.
Să ne uităm la fiecare dintre aceste puncte.
Criterii de stabilitate
Criteriile de stabilitate pot fi împărțite în două grupuri mari.
1. Algebric.
2. Frecvența.
Să le aruncăm o privire mai atentă.
Indicatori de calitate
Cerințele pentru calitatea procesului de control în fiecare caz specific pot fi diferite, dar, de regulă, natura procesului de tranziție sub efectul unui singur pas este evaluată (Fig. 40).
|
Orez. 40. Indicatori ai calității procesului de tranziție
Sunt utilizați următorii indicatori ai calității tranziției
proces.
1. t REG – timpul de reglare (durata procesului tranzitoriu), timpul în care, începând din momentul aplicării influenței de intrare, abaterea valorii de ieșire de la valoarea ei în regim de echilibru devine mai mică decât valoarea predeterminată ∆. De obicei ∆ = 5% din X UST.
2. Depășire:
.
3. Oscilație – numărul de oscilații complete ale valorii de ieșire în timpul de reglare.
4. Eroarea la starea de echilibru este diferența dintre influența de referință și valoarea la starea de echilibru a mărimii de ieșire.
metoda Solodovnikov
Aici este introdus conceptul de caracteristică reală trapezoidală unitară tipică. Înălțimea sa este 1, frecvența de tăiere (frecvența pozitivității) w p =1 (Fig. 41).
Orez. 41. Caracteristică reală trapezoidală unitară tipică
Pentru un anumit trapez, există tabele care raportează cantitatea de ieșire X(t) din coeficientul de pantă c = w a / w p.
Metoda constă în efectuarea următoarei secvențe de acțiuni.
1. Se construiește un grafic al părții reale a funcției de transfer de frecvență a sistemului în buclă închisă.
2. Graficul este împărțit în trapeze. Această procedură este prezentată în Fig. 42. În acest exemplu, au fost obținute trei trapeze tipice.
Orez. 42. Împărțirea graficului unei caracteristici reale în trapeze
3. Pentru fiecare trapez, valorile procesului de ieșire se găsesc în tabele X 1 (t), X 2 (t), X 3 (t).
4. Graficul rezultat al semnalului de ieșire se găsește prin adăugarea graficelor X 1 (t), X 2 (t), X 3 (t).
Deoarece tabelele sunt concepute pentru un singur trapez, atunci când se construiește procesul de tranziție pentru fiecare trapez, este necesar să se utilizeze regulile (formulele) pentru tranziția la valoarea reală a eșantioanelor de semnal de ieșire.
1. Obținerea unei valori de stare staționară P(0) = X(∞) = X UST.
2. Obținerea amplitudinii semnalului real
3. Schimbarea scalei de timp .
Indicatorii de calitate ai procesului tranzitoriu pot fi estimați aproximativ din răspunsul în frecvență real al sistemului în buclă închisă, fără a efectua calculele de mai sus. Toate tipurile de grafice ale acestei caracteristici sunt prezentate în Fig. 43.
Orez. 43. Vedere tipică a graficelor caracteristicilor reale
1 – graficul caracteristic are o „cocoașă”;
2 – nu există „cocoașă”, este derivat și capătă semnificații diferite;
3 – nu există „cocoașă” și scade monoton.
În cazul 1 proces tranzitoriu X(t) are depășire, iar valoarea sa este mai mare de 18%.
În cazul 2 procesul tranzitoriu X(t) are depășire, iar valoarea sa este mai mică de 18%.
În cazul 3, procesul de control este monoton.
Din grafic, puteți determina aproximativ timpul procesului de tranziție
,
unde w MF este intervalul de frecvențe semnificative. Caracteristică R(w) în acest interval depășește un anumit nivel de e. De obicei e = 5%.
Indicele de oscilație
Acest parametru este utilizat pentru a determina marja de stabilitate. Acesta poate fi calculat din modulul funcției de transfer de frecvență a sistemului în buclă închisă
.
Indicele de oscilație este egal cu raportul și este prezentat în Fig. 44.
Orez. 44. Modul funcţie de transfer de frecvenţă în buclă închisă
Aceasta este înălțimea relativă a vârfului rezonant. Pentru a simplifica calculele, se presupune că M(0) = 1. În acest caz M K = M MAX.
Din punct de vedere fizic, indicatorul de oscilație este raportul dintre valorile maxime ale semnalelor de ieșire și de intrare ale ACS.
Cu cât este mai mică marja de stabilitate a ACS, cu atât este mai mare tendința sistemului de a oscila, cu atât vârful rezonantului este mai mare. De obicei, indicele de oscilație se află în intervalul 1,1 ... 1,5.
M k poate fi determinată de tipul de răspuns în frecvență al sistemului în buclă deschisă, folosind funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă
.
Introducand W(j w) prin real Uși imaginar V părți, obținem:
;
Aceste relații descriu un cerc și CU– coordonata reală a centrului său; R– raza.
Pe plan complex se poate construi o familie de cercuri cu acești parametri în funcție de M. Hodograful sistemului în buclă deschisă este reprezentat pe acest grafic (Fig. 45).
Orez. 46 Trasarea unui grafic al modulului funcției de transfer de frecvență
sistem închis
Uneori este suficient să determinați valoarea maximă M MAX (prin atingerea AFC a cercului corespunzător).
Este posibil să se rezolve problema inversă: valoarea admisă a indicatorului este setată M ADIŢIONAL Sistemul trebuie proiectat în consecință.
Pentru a îndeplini această condiție, este necesar să se asigure că hodograful pistolului autopropulsat nu intră în zona limitată de un cerc cu o valoare dată. M(Fig. 47).
Orez. 47. Zona acceptabilă a parametrilor ACS în funcție de indicele de oscilație
Sinteza tunurilor liniare autopropulsate
Metode de sintetizare a sistemelor automate de control
Obiectivele principale ale proiectării ACS sunt de a asigura stabilitatea sistemului și de a asigura calitatea necesară a procesului tranzitoriu.
Există două moduri de a atinge aceste obiective.
1. Modificarea parametrilor sistemului, adică modificarea parametrilor legăturilor (câștig, constantă de timp). În unele cazuri, această abordare nu duce la rezultatul dorit.
2. Schimbarea structurii sistemului. De obicei, aceasta este introducerea de dispozitive sau blocuri suplimentare (dispozitive corective).
Să aruncăm o privire mai atentă la a doua abordare.
În teoria ACS, există 4 tipuri de dispozitive corective.
1. Dispozitive de corecție secvențială (filtre de corecție).
2. Dispozitive de corectare paralele, de obicei sub formă de feedback local.
3. Dispozitive de corectare a influențelor externe.
4. Feedback principal non-unitate.
Exercițiu
Trebuie să faceți următoarele:
1. Descrieți funcționarea sistemului.
2. Determinați funcțiile de transfer ale elementelor sistemului.
3. Întocmește o diagramă bloc a sistemului.
4. Construiți caracteristicile logaritmice ale buclei deschise
sisteme.
5. Determinați stabilitatea și marja de stabilitate în amplitudine și fază.
6. Folosind criteriul Hurwitz, determinați valoarea critică a factorului de calitate al sistemului fără feedback.
7. Introduceți feedback de mare viteză.
8. Găsiți valoarea minimă a coeficientului de feedback al vitezei necesar pentru stabilitatea sistemului.
9. Găsiți valoarea optimă a coeficientului de feedback de mare viteză necesar pentru a asigura indicatorii de calitate ai procesului tranzitoriu al sistemului.
Schema originală a pistoalelor autopropulsate (Fig. 59):
|
Orez. 59. Diagrama inițială a sistemului
unde SP este o pereche selsyn;
R – cutie de viteze;
D – motor;
OU – obiect de control;
U – amplificator;
KO – axa de comandă;
IO – axa executivă;
α – unghiul de rotație al senzorului selsyn – aceasta este o acțiune de comandă;
β – unghiul de rotație a motorului;
γ – unghiul de rotație al cutiei de viteze – aceasta este acțiunea executivă;
U 1 – semnal de ieșire SP;
U 2 – semnal de ieșire U;
Parametrii SPG:
U MAX – tensiunea maximă la ieșirea transformatorului selsyn;
k U – câștig U;
T U – constanta de timp U;
UУ – tensiunea nominală pe bobina de comandă a motorului;
N XX – numărul de rotații pe minut la turația de ralanti a motorului și la tensiunea nominală a motorului;
T D – constanta de timp D;
i- raport de transmisie;
S TG – panta caracteristicii de ieșire a tahogeneratorului;
t REG – timp de reglare;
s – valoarea depășirii;
n– numărul de oscilații complete ale semnalului de ieșire.
Date inițiale:
k Y = 900;
T Y = 0,01 s;
T D = 0,052 s;
i= 1,2 × 10 3 ;
U MAX = 5 V;
U U = 30 V;
N XX = 10000 rpm;
S TG = 0,001 V × s/rad;
t REG 1 GBP;
n = 1,5.
Descrierea funcționării sistemului
Din diagrama sistemului prezentată în sarcină este clar (vezi Fig. 59) că dispozitivul principal este axa de comandă, rotită de un senzor sincronizat conform unei legi arbitrare α = α( t). Aceeași lege a unghiului de rotație în timp α( t) = γ( t) trebuie reprodus automat la ieșirea sistemului, adică la obiectul de control și la axa executivă. Dacă unghiurile de rotație ale axei de comandă și de control nu sunt egale, (α( t) ¹ γ( t)), atunci apare o tensiune de nepotrivire la ieșirea perechii de sincronizare U 1 . Magnitudinea U 1 depinde de mărimea unghiurilor de rotație ale axelor de comandă și executive. Voltaj U 1 este alimentat la intrarea amplificatorului, la ieșirea căruia apare tensiunea U 2, furnizat bobinei de control al motorului. Ca urmare a acestui fapt, rotorul motorului începe să se rotească în direcția scăderii erorii de nepotrivire (θ = α – γ) până când cele două axe sunt coordonate. Adică, rotația rotorului motorului prin cutia de viteze stabilește o nouă lege pentru unghiul de rotație al axei executive. Rotorul motorului se va roti până când eroarea de dezaliniere este redusă la zero, după care se va opri. Astfel, sistemul este acoperit de feedback negativ.
Procese aleatorii în sistemele automate de control
Noțiuni de bază
Mai sus, am studiat procesele de funcționare ale ACS atunci când semnalele deterministe sunt recepționate la intrarea acestuia.
În multe cazuri, semnalul de intrare poate lua valori aleatorii. În acest caz, pot fi evaluate numai caracteristicile probabilistice.
Un exemplu de efect accidental: un sistem de urmărire a contorului de viteză Doppler. Caracteristicile spectrale ale proceselor ACS în acest caz sunt prezentate în Fig. 66.
Frecvența Doppler W depinde nu numai de viteza obiectului, ci și de unghiul de incidență al fasciculului și de tipul suprafeței subiacente și, prin urmare, este aleatorie. În acest caz, caracteristica spectrală a semnalului primit are o amplitudine S W și lățimea Dw, variind aleatoriu.
Orez. 66. Caracteristicile spectrale ale proceselor ACS aleatoare
w 0 – frecvența emisă;
w П – frecvența recepționată;
Dw – lățimea spectrului.
Calcule minime de eroare
Dacă sistemul este afectat simultan de un semnal util și interferență, atunci problema calculării optime a sistemului poate fi rezolvată pentru a asigura cea mai mică eroare de sistem rezultată.
Criteriul este valoarea minimă a erorii de sistem rezultată determinată de semnal și zgomot. Pentru procesele aleatoare, se limitează de obicei la estimarea erorii pătratice medii. Este necesar să se asigure un minim al erorii pătratice medii cu acțiunea simultană a unui semnal și a zgomotului.
Criteriul arată astfel:
.
Indezirabilitatea unei erori este proporțională cu pătratul mărimii acesteia.
Există două formulări posibile ale acestei probleme.
1. Există un sistem de control automat al unei structuri date. Este necesar să se selecteze parametrii săi astfel încât să se asigure o abatere standard minimă pentru parametrii statistici dați ai semnalului și erorii.
Soluția se caută astfel: cunoscând densitatea spectrală a erorii, se găsește teoretic o expresie pentru calcularea dispersiei și a deviației standard. Această expresie depinde de parametrii sistemului, de semnalul dorit și de interferența. Se caută condiții pentru parametrii sistemului care să asigure un minim de dispersie. În cazuri simple, puteți aplica metode binecunoscute pentru găsirea extremului unei funcții prin diferențierea și echivalarea derivatelor parțiale cu zero.
2. Se pune întrebarea despre găsirea structurii optime a sistemului și a parametrilor legăturilor pentru a obține eroarea pătratică medie minimă teoretic pentru caracteristicile probabilistice date ale semnalului util și interferenței.
Soluția este următoarea: se găsește funcția de transfer teoretică a sistemului cu buclă închisă și se străduiesc pentru aceasta în timpul proiectării. Este posibil ca implementarea unui sistem de control automat cu o astfel de funcție de transfer optimă să fie plină de dificultăți semnificative.
Pistoale autopropulsate neliniare
Analiza sistemelor de control automat neliniar (NSAC) este o sarcină destul de dificilă. Când o rezolvă, ei se străduiesc să reducă un astfel de ACS la unul liniar cu anumite ipoteze și restricții.
Astfel de sisteme le includ pe acelea în care există cel puțin o legătură descrisă prin ecuații diferențiale neliniare.
Legăturile neliniare pot fi de următoarele tipuri:
Tip releu;
Cu caracteristică liniară pe bucăți;
Cu o caracteristică curbilinie a oricărei forme;
Există un produs și alte combinații de variabile;
Legătură neliniară cu întârziere;
Legătură de impuls;
boolean;
Descris printr-o ecuație diferențială liniară pe bucăți.
Neliniaritățile pot fi statice și dinamice. Cele statice sunt descrise prin caracteristici statice neliniare, iar cele dinamice prin ecuații diferențiale neliniare.
Spațiul de fază
Pentru o reprezentare vizuală a proceselor sistemelor de control automat neliniare, este introdus conceptul de „spațiu de fază”, care este după cum urmează.
Ecuația diferențială a unui sistem în buclă închisă n de ordinul al-lea este înlocuit cu un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi.
,
Unde X 1 – valoarea de ieșire;
X 2 – x n sunt variabile auxiliare;
f, g– acțiuni de intrare (deranjante și de conducere);
X 10 = X 1 (t = 0), X 20 = X 2 (t= 0) ... – condiții inițiale.
Aceste ecuații diferențiale pot fi reprezentate geometric în n-spaţiul dimensional. De exemplu, când n= 3 (Fig. 75).
Orez. 75. Spațiu de fază tridimensional
Într-un proces real de control în fiecare moment de timp, cantitățile X 1 , X 2 , X 3 au semnificații bine definite. Aceasta corespunde unei poziții bine definite a punctului M in spatiu. Punct M numită reprezentând. În timp, valorile X 1 , X 2 , X 3 schimbare, punct M se deplasează pe o anumită traiectorie, arătând așa-numita traiectorie de fază. Prin urmare, traiectoria punctului M poate servi ca o ilustrare geometrică clară a comportamentului dinamic al sistemului de control automat în timpul procesului de control.
Să luăm în considerare un exemplu de traiectorii de fază ale unor sisteme de control automat liniare. Lasă-le să fie descrise de ecuație . În funcție de parametrii telecomenzii, sunt posibile mai multe cazuri. Unele dintre ele sunt prezentate în Fig. 76.
Orez. 76a corespunde rădăcinilor complexe cu o parte reală negativă (prezența unui proces de tranziție amortizat), cazul din Fig. 76b prezintă traiectoria de fază a unui proces amortizat aperiodic cu rădăcini reale negative ale ecuației caracteristice.
DE sunt expresii pentru proiecțiile vitezei punctului reprezentativ M pe axa de coordonate. Prin urmare, pe baza valorilor părților din dreapta ale ecuațiilor în fiecare moment de timp, se poate judeca mișcarea punctului M, și, în consecință, despre comportamentul unei NSAU reale în procesul de control.
Traiectoria fazei este o caracteristică calitativă a NSAU. Pentru a determina valorile cantitative ale semnalelor de ieșire, este necesar să se rezolve ecuații diferențiale în fiecare punct.
Dacă sunt compilate ecuații diferențiale pentru abaterile semnalului de ieșire de la valorile la starea de echilibru, atunci pentru un sistem stabil curba de fază va tinde spre origine.
|
A)
Orez. 76. Exemple de traiectorii de fază
Stabilitatea Lyapunov
În sistemele servo (Fig. 1.14, a), când arborele de antrenare este rotit printr-un anumit unghi, arborele de primire se rotește și el prin același unghi. Cu toate acestea, arborele de primire nu ocupă o nouă poziție instantaneu, ci cu o oarecare întârziere după încheierea procesului de tranziție. Procesul de tranziție poate fi aperiodic (Fig. 2.1, a) și oscilator cu oscilații amortizate (Fig. 2.1, b). Este posibil ca oscilațiile arborelui receptor să fie neamortizate (Fig. 2.1, c) sau să crească în amplitudine (Fig. 2.1, d). Ultimele două moduri sunt instabile.
Cum un anumit sistem va procesa această sau acea schimbare într-o influență de conducere sau perturbatoare, adică care este natura procesului de tranziție al sistemului, dacă sistemul va fi stabil sau instabil - aceste întrebări și altele similare sunt luate în considerare în dinamica sistemelor, control automat.
2.1. Legături dinamice ale sistemelor automate
Necesitatea de a reprezenta elementele sistemelor automate ca verigi dinamice. Definiția unei legături dinamice
Pentru a determina proprietățile dinamice ale unui sistem automat, este necesar să existe descrierea sa matematică, adică un model matematic al sistemului. Pentru a face acest lucru, este necesar să se întocmească ecuații diferențiale ale elementelor sistemului, cu ajutorul cărora sunt descrise procesele dinamice care au loc în ele.
Când se analizează elementele sistemelor automate, se dovedește că diferite elemente care diferă ca scop, design, principiu de funcționare și procese fizice sunt descrise prin aceleași ecuații diferențiale, adică sunt similare în proprietăți dinamice. De exemplu, într-un circuit electric și într-un sistem mecanic, în ciuda naturii lor fizice diferite, procesele dinamice pot fi descrise prin ecuații diferențiale similare.
Orez. 2.1. Reacții posibile ale sistemului de urmărire la o acțiune de comandă în pas.
În teoria controlului automat, elementele sistemelor automate din punct de vedere al proprietăților lor dinamice sunt reprezentate cu ajutorul unui număr mic de legături dinamice elementare. O legătură dinamică elementară este înțeleasă ca un model matematic al unei părți a sistemului izolată artificial, caracterizată printr-un algoritm simplu (descrierea matematică sau grafică a procesului).
O legătură elementară poate reprezenta uneori mai multe elemente ale unui sistem sau invers - un element poate fi reprezentat sub forma mai multor legături.
În funcție de direcția influenței, se disting intrarea și ieșirea și, în consecință, valorile de intrare și ieșire ale legăturii. Valoarea de ieșire a legăturii direcționale nu afectează valoarea de intrare. Ecuațiile diferențiale ale unor astfel de legături pot fi compilate separat și independent de alte legături. Deoarece ACS include diverse amplificatoare cu acțiune direcțională, ACS are capacitatea de a transmite influențe doar într-o singură direcție. Prin urmare, ecuația pentru dinamica întregului sistem poate fi obținută din ecuațiile pentru dinamica legăturilor sale, excluzând variabilele intermediare.
Legăturile dinamice elementare stau la baza construirii unui model matematic al unui sistem de orice complexitate.
Clasificarea și caracteristicile dinamice ale legăturilor
Tipul de legătură este determinat de algoritmul în conformitate cu care este convertită influența de intrare. În funcție de algoritm, se disting următoarele tipuri de legături dinamice elementare: proporționale (amplificare), aperiodice (inerțiale), oscilatorii, integratoare și diferențiatoare.
Fiecare legătură este caracterizată de următoarele caracteristici dinamice: ecuația dinamicii (mișcarea), funcția de transfer, funcțiile de tranziție și tranziție de impuls (greutate), caracteristicile frecvenței. Proprietățile unui sistem automat sunt, de asemenea, evaluate prin aceleași caracteristici dinamice. Să luăm în considerare caracteristicile dinamice folosind exemplul unei legături aperiodice,
Orez. 2.2. Circuitul electric, reprezentat printr-o legătură aperiodică, și reacția legăturii la influențe tipice de intrare: a - diagramă; b - impact într-un singur pas; c - funcţia de tranziţie a legăturii; - un singur impuls; d - funcția de tranziție a pulsului a legăturii.
care reprezintă circuitul electric prezentat în Fig. 2.2, a.
Ecuația dinamicii legăturii (sistemului). Ecuația dinamicii unui element (link) - o ecuație care determină dependența valorii de ieșire a unui element (link) de valoarea de intrare
Ecuația dinamicii poate fi scrisă în forme diferențiale și operaționale. Pentru a obține ecuația diferențială a unui element, ecuațiile diferențiale sunt compilate pentru mărimile de intrare și de ieșire ale acestui element. În raport cu circuitul electric (Fig. 2.2, a):
Ecuația diferențială a circuitului se obține din aceste ecuații prin eliminarea variabilei intermediare
unde este constanta de timp, s; - coeficientul de câștig al legăturii.
În teoria controlului automat, se acceptă următoarea formă de scriere a ecuației: mărimea de ieșire și derivatele sale sunt în partea stângă, cu derivata de ordin superior pe primul loc; cantitatea de ieșire intră în ecuație cu un coeficient egal cu unu; cantitatea de intrare, precum și, mai general, derivatele sale și alți termeni (perturbații) sunt în partea dreaptă a ecuației. Ecuația (2.1) se scrie în conformitate cu această formă.
Un element al sistemului, al cărui proces este descris printr-o ecuație de forma (2.1), este reprezentat de o legătură aperiodică (legătură inerțială, statică de ordinul întâi).
Pentru a obține ecuația dinamicii în formă operațională (Laplace), funcțiile incluse în ecuația diferențială sunt înlocuite cu funcții transformate la Laplace, iar operațiile de diferențiere
iar integrarea în cazul condiţiilor iniţiale zero - prin înmulţirea şi împărţirea la o variabilă complexă a imaginilor funcţiilor din care este luată derivata sau integrala. Ca urmare a acestui fapt, are loc o tranziție de la o ecuație diferențială la una algebrică. În conformitate cu ecuația diferențială (2.1), ecuația pentru dinamica unei legături aperiodice în formă operațională pentru cazul condițiilor inițiale zero are forma:
unde este imaginea Laplace a funcției timp și este un număr complex.
Forma operațională (2.2) de scriere a ecuației nu trebuie confundată cu forma simbolică de scriere a ecuației diferențiale:
unde este simbolul de diferentiere. Nu este greu să distingem simbolul de diferențiere de o variabilă complexă: după simbolul de diferențiere există originalul, adică o funcție a, iar după variabila complexă există imaginea Laplace, adică. funcția de
Din formula (2.1) este clar că legătura aperiodică este descrisă printr-o ecuație de ordinul întâi. Alte unități elementare sunt descrise prin ecuații de ordinul zero, primul și maxim al doilea.
Funcția de transfer a unei legături (sistem) reprezintă raportul dintre imaginile Laplace ale ieșirii Xx și valorile de intrare la condiții inițiale zero:
Funcția de transfer a unei legături (sistem) poate fi determinată din ecuația legăturii (sistemului), scrisă în formă operațională. Pentru o legătură aperiodică în conformitate cu ecuația (2.2)
Din expresia (2.3) rezultă
adică cunoscând imaginea Laplace a acțiunii de intrare și funcția de transfer a legăturii (sistemului), puteți determina imaginea valorii de ieșire a acestei legături (sistem).
Imaginea valorii de ieșire a legăturii aperiodice în conformitate cu expresia (2.4) este următoarea:
Funcția de tranziție a unei legături (sistem) h(t) este reacția unei legături (sistem) la influența tipului de funcție a treptei unității (Fig. 2.2, b) în condiții inițiale zero. Funcția de tranziție poate fi determinată prin rezolvarea unei ecuații diferențiale folosind metode obișnuite sau operaționale. Pentru determinare
Folosind metoda operațională, înlocuim imaginea funcției pasului unitar în ecuația (2.5) și găsim imaginea funcției de tranziție
adică, imaginea funcției de tranziție este egală cu funcția de transfer împărțită la Funcția de tranziție se găsește ca transformată Laplace inversă a
Pentru a determina legătura aperiodică, înlocuim în ecuația (2.6) și găsim imaginea funcției de tranziție
Descompunem în fracții elementare în care și folosind tabelele de transformare Laplace găsim originalul
Graficul funcției de tranziție a legăturii aperiodice este prezentat în Fig. 2.2, c. Figura arată că procesul de tranziție al legăturii este de natură aperiodic. Valoarea de ieșire a legăturii nu își atinge valoarea imediat, ci treptat. În special, valoarea este atinsă prin .
Funcția de tranziție a impulsurilor (funcția de greutate) a unei legături (sistem) este reacția unei legături (sistem) la un singur impuls (impuls instantaneu cu amplitudine și unitate de suprafață infinit de mari, Fig. 2.2, d). Un impuls unitar se obţine prin diferenţierea unui salt unitar: sau sub formă operaţională: Prin urmare
adică, imaginea funcției de tranziție a impulsului este egală cu funcția de transfer a legăturii (sistemului). Rezultă că pentru a caracteriza proprietățile dinamice ale unei legături (sistem), atât funcția de transfer, cât și funcția de tranziție a impulsului pot fi utilizate în mod egal. După cum se poate observa din (2.8), pentru a obține funcția de tranziție de impuls, este necesar să se găsească originalul corespunzător funcției de transfer Funcția de tranziție de impuls a legăturii aperiodice
În conformitate cu (2.7) sau când se merge la originale, funcția de tranziție de impuls a unei legături (sistem) poate fi obținută și prin diferențierea funcției de tranziție. Funcția tranzitorie a pulsului aperiodic
(click pentru a vizualiza scanarea)
Orez. 2.3. Scheme schematice ale elementelor reprezentate printr-o legătură proporţională: a - divizor de tensiune; b - potențiometru; c - amplificator tranzistor; g - cutie de viteze.
După cum vedem, expresiile (2.9) și (2.10) coincid. Graficul funcției tranzitorii de impuls a legăturii aperiodice este prezentat în Fig. 2.2, d.
Din expresia (2.5) și exemplele luate în considerare, rezultă că pentru o acțiune de intrare dată, valoarea de ieșire este determinată de funcția de transfer. Prin urmare, cerințele tehnice pentru valoarea de ieșire a unei legături (sistem) pot fi exprimate prin cerințele corespunzătoare pentru funcția de transfer a acestei legături (sistem). În teoria controlului automat, metoda de cercetare și proiectare a sistemelor folosind funcția de transfer este una dintre principalele metode.
Legătură proporțională (de întărire). Ecuația de legătură are forma:
adică există o relație proporțională între valorile de ieșire și de intrare ale legăturii. Ecuația (2.11) în formă operațională
Din ecuația (2.12) se determină funcția de transfer a legăturii
adică funcția de transfer a legăturii proporționale este numeric egală cu câștigul. Exemple de astfel de legături pot fi un divizor de tensiune, un senzor potențiometric, o treaptă de amplificare electronică, o cutie de viteze ideală, ale cărei circuite sunt prezentate în Fig. 2.3, a, b, f, d, respectiv. Câștigul legăturii proporționale poate fi fie o valoare adimensională (divizor de tensiune, treaptă de amplificare, cutie de viteze) fie o valoare dimensională (senzor potențiometric).
Să evaluăm proprietățile dinamice ale legăturii proporționale. Când o legătură cu funcția de pas este aplicată intrării, cantitatea de ieșire (funcția de tranziție) datorată egalității (2.11) va fi, de asemenea, treptat (Tabelul 2.1), adică cantitatea de ieșire copiază modificarea intrării.
valori fără întârziere și distorsiune. Prin urmare, legătura proporțională este numită și fără inerție.
Funcție proporțională tranzitorie de impuls
adică este un impuls instantaneu de amplitudine infinit de mare, a cărui zonă
Legătură oscilativă. Ecuația legăturii:
sau în formă operațională
Atunci funcția de transfer a legăturii oscilatorii are forma
Proprietățile dinamice ale unei legături depind de rădăcinile ecuației sale caracteristice
Componentă gratuită a soluției
Soluția completă a ecuației (2.14) cu o acțiune de intrare în pas (funcția de tranziție a legăturii) are forma:
unde este frecvența unghiulară a oscilațiilor naturale; - faza iniţială a oscilaţiilor; - scaderea amortizarii; - coeficientul relativ de atenuare.
Legături statice și dinamice.
Când se studiază tunurile autopropulsate, acestea sunt de obicei împărțite în unități separate. Legăturile incluse în ACS pot fi statice și dinamice. Legăturile statice sunt legături în care relația dintre intrarea x intrarea și coordonatele de ieșire x este determinată de ecuația algebrică
Dacă funcția este liniară, i.e. x=k* x intrare,
atunci o astfel de legătură statică este liniară. În toate celelalte cazuri, nu este liniară.
Legăturile dinamice sunt legături în care conexiunea dintre ieșirea și intrarea legăturii este descrisă printr-o ecuație diferențială.În cursul nostru, aceasta este o ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți.
Funcțiile de transfer ale sistemelor de control automat liniare sunt funcții fracționale-raționale ale variabilei „p” cu coeficienți reali. Astfel de polinoame (atât la numărător, cât și la numitor) au rădăcini conjugate reale sau complexe. La factorizarea polinoamelor în factori elementari, o rădăcină reală dă un factor sub forma unui binom liniar, iar o pereche de rădăcini conjugate complexe dă un factor sub forma unui trinom pătrat în raport cu „p”. Rădăcina zero va da un factor suplimentar p. În consecință, funcția de transfer a oricărui sistem liniar staționar poate fi redusă la produsul unor funcții de transfer. În aceste funcții de transfer elementare, puterea maximă p nu depășește două. Vom numi legăturile corespunzătoare acestor funcții de transfer standard.
Să luăm în considerare părțile tipice ale ecuației și caracteristicile lor.
Legătură fără inerție (întărire).
1. Legătură fără inerție (întărire).
Ecuația legăturii
unde x este intrarea, f este variabilele de ieșire.
Funcția de transmisie
Funcția de tranziție
Caracteristica de greutate w(t)=kδ(t).
Răspunsul în frecvență al legăturii W(jw)=k, de unde obținem
LFC H(w)=20log k, φ(w)=0 (vezi Fig. 47)
de unde rezultă că P(w)=0, Q(w)= - k / w, A(w)= k / w, φ(w)=-90 0. Hodograful răspunsului în frecvență pe planul complex din Fig. 48 .
LACCH-ul link-ului are forma
acestea. LFC al legăturii de integrare are o pantă negativă
20 dB/dec, luând la logw=0 (w=1) valoarea 20 log k. Caracteristica de fază a legăturii de integrare este o linie dreaptă φ= - 90 0 (vezi Fig. 49).
|
Fig.49.
Legatura aperiodica.
3.Legatura aperiodica. Acesta este un link a cărui funcție de transfer are forma
(45)
aici K este coeficientul de transmisie, T este constanta de timp a legăturii aperiodice. Funcția de transfer poate fi, de asemenea, redusă la această formă
Funcția de transfer (45) corespunde următoarei ecuații diferențiale:
Soluția sa cu f(t)=1(t) și condiția inițială zero x(0)=0 dă caracteristica de tranziție
(46)
|
Graficul h(t) este prezentat în Fig.50.
Din dependența (46) este clar că valoarea staționară a semnalului de ieșire cu o acțiune de intrare cu o singură treaptă este egală cu K. Timpul de control, determinat de momentul intrării, o abatere de 5% de la valoarea staționară este 3T
Funcția de tranziție de impuls a unei legături este obținută ca transformată Laplace inversă a funcției sale de transfer, i.e.
Pentru a determina răspunsul în frecvență, să setăm p=jw. Apoi
Formulele pentru răspunsul în frecvență și răspunsul de fază au forma
iar pentru LAC – forma
În Fig.51. Este prezentat hodograful răspunsului în frecvență al unei legături aperiodice, corespunzătoare variației în w de la 0 la ∞ (k>0, T>0). Este un semicerc cu raza k/2 cu centrul în punctul (k/2, 0)
Toate elementele sistemului, indiferent de designul și scopul lor, în funcție de proprietățile lor dinamice, pot fi împărțite într-un număr limitat de elemente dinamice tipice. O legătură dinamică tipică este înțeleasă ca un element al unui sistem de acțiune direcțională, descris în dinamică printr-o ecuație diferențială de ordinul doi sau printr-o ecuație algebrică. Legăturile sunt clasificate în funcție de tipul de ecuație dinamică.
Toate legăturile pot fi împărțite în două tipuri: fază minimă și fază non-minimă.
O legătură este fază neminimă dacă funcția sa de transfer are zerouri sau poli pozitivi; pentru astfel de legături, caracteristica de fază nu corespunde ecuației diferențiale. Pentru legăturile de fază minimă, caracteristica fază-frecvență este determinată în mod unic de caracteristica amplitudine-frecvență.
Legăturile dinamice pot fi stabile dacă, după aplicarea și eliminarea unui impact, variabila sa de ieșire tinde către valoarea înainte de aplicarea impactului (adică, revine la starea inițială); neutru (astatic), dacă sub acțiune în trepte variabila de ieșire se modifică la o viteză constantă (astatism de ordinul întâi) sau accelerație constantă (astatism de ordinul doi); iar după aplicarea și îndepărtarea influenței revine la o nouă stare stabilă; instabil dacă variabila de ieșire, după aplicarea și eliminarea unei perturbări, se modifică fără a ajunge la o stare stabilă.
Să luăm în considerare legăturile minime de fază. Pe baza tipului de ecuații dinamice, acestea pot fi clasificate după cum urmează.
Cele mai simple legături: a) fără inerție (întărire, proporțională); b) ideal-integrator, ideal-diferenţiator;
Legături de ordinul întâi: a) legătură inerțială de ordinul întâi (aperiodic); b) legătura de forțare; c) o verigă diferenţiatoare reală de ordinul întâi; d) integro-diferenţiere (inerţial-forţare) de ordinul întâi.
Legături de ordinul doi: a) legături de ordinul doi aperiodice (inerțiale); b) oscilatoare; c) conservatoare.
Legături speciale: legături întârziate și legături iraționale.
Să luăm în considerare legăturile tipice, ecuațiile lor de dinamică, funcțiile de transfer și caracteristicile.
§1. Cele mai simple link-uri.
1) Legătură fără inerție.
Semnalul de ieșire al acestei legături este similar ca formă cu semnalul de intrare. Ecuație dinamică
K - coeficient de proporționalitate, care poate fi determinat din caracteristica statică
Ecuația de legătură în imagini
și funcția de transfer
Obținem acest lucru prin înlocuirea operatorului Laplace p în expresia funcției de transfer cu operatorul Fourier jш.
(reacție la semnalul de pas)
Figura 3.1
Reacția la impuls
Legătura este stabilă.
Obținem AFC schimbând frecvența de la zero la infinit. Din expresia W(jш) este clar că câștigul complex nu depinde de frecvență și nu va exista nicio deplasare a vectorului W(jш). Astfel, AFC-ul acestei legături este un punct pe axa reală, distanțat la o distanță K de la originea coordonatelor.
Figura 3.2
Amplitudinea logaritmică și caracteristicile frecvenței de fază:
Astfel, LFC va trece paralel cu axa de frecvență la o distanță de aceasta (20 Lg K) determinată de coeficientul de transmisie, defazajul în întregul interval de frecvență este zero.
Figura 3.3
Exemple de legături fără inerție: transmisie cu angrenaje, transmisie cu pârghie, divizor de tensiune, amplificator.
2) Legătură ideală de integrare.
Semnalul de ieșire al acestei legături este egal cu integrala intrării, ecuația dinamicii are următoarea formă:
Unde este timpul de integrare.
Functie de transfer link
Să trecem la expresia coeficientului de transmisie complex:
Caracteristici de sincronizare:
a) funcţia şi caracteristica de tranziţie
Figura 3.4
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls
Figura 3.5
Din răspunsul tranzitoriu la impuls este clar că legătura este astatică (astatism de ordinul întâi); după ce perturbarea este eliminată, variabila de ieșire ajunge la o nouă valoare de stare staționară.
Caracteristicile frecvenței.
Răspuns în frecvență amplitudine-fază
reprezintă un segment negativ al semiaxei imaginare.
Figura 3.6
Caracteristicile frecvenței logaritmice.
LFC este determinat de expresie
și este o dreaptă cu pantă negativă. Când u=1, punctul de intersecție cu axa lg corespunde ecuației
20lgK - 20lg = 0, lg = lg K, adică. = K.
Prin urmare, se poate construi calculând valoarea L(= 1) = 20lgK și prin acest punct se trasează o dreaptă cu o pantă de -20 dB/dec, sau prin punctul lg=lgK.
Figura 3.7
Ecuația caracteristică a fazei, adică defazatul este constant și nu depinde de frecvență, iar caracteristica de răspuns la fază este paralelă cu axa frecvenței.
Panta LFC de -20 dB/dec înseamnă că, cu o creștere a frecvenței de 10 ori (1 deceniu), mărimea caracteristicii de amplitudine scade cu 20 dB (de 10 ori).
Exemple de link-uri:
3) Legătură de diferențiere ideală.
Semnalul de ieșire al acestei legături este proporțional cu rata de schimbare a semnalului de intrare și ecuația legăturii
Ecuația în imagini
Functie de transfer link
Coeficient de transmisie complex
Caracteristici de sincronizare
a) funcţia şi caracteristica de tranziţie
Figura 3.9
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls
Două impulsuri de polaritate opusă.
Caracteristicile frecvenței.
AFC este construit conform expresiei și reprezintă un segment pozitiv al axei imaginare. .
Figura 3.10
Caracteristici logaritmice
LFC este construit conform expresiei și este o linie dreaptă cu un coeficient unghiular pozitiv; intersectează axa log în punctul
La frecventa u=1 L(u) = 20lgK.
Astfel, LACHX poate fi construit calculând punctul și punându-l pe axa log și trasând o dreaptă cu o pantă de +20 dB/dec sau prin punctul (la φ = 1) 20 log K cu aceeași pantă.
Figura 3.11
pantă +20dB/dec înseamnă că, cu o creștere a frecvenței de 10 ori, mărimea caracteristicii de amplitudine crește cu 20dB (de 10 ori).
Ecuația caracteristică a fazei - i.e. schimbarea de fază nu depinde de frecvență și răspunsul de fază este paralel cu axa logului prin marcajul +90°.
§2. Link-uri pentru prima comandă.
Legătură aperiodică (inerțială) de ordinul întâi.
Această legătură în dinamică este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul întâi.
unde T este constanta de timp care caracterizează proprietățile inerțiale ale legăturii;
K - coeficient de proporţionalitate, caracterizează etatismul legăturii (coeficientul de statism).
Să scriem ecuația în imagini
Funcția de transmisie;
Înlocuind p cu jш trecem la coeficientul de transmisie complex
Caracteristicile temporale ale legăturii
a) Funcția și caracteristica de tranziție
Ecuația exponentului;
Rădăcina ecuației caracteristice > Tp +1 = 0
Figura 3.13
Conform ecuației răspunsului tranzitoriu h(t=T)=0,63K, i.e. într-un timp egal cu o constantă de timp, variabila de ieșire atinge 0,63 din valoarea staționară h(?).
h(t=3T) = 0,95 h(a); h(t=4T) = 0,98 h(a), adică Procesul de tranziție pentru un timp egal cu 4T poate fi considerat finalizat (tper=(3h4)T).
Constanta de timp poate fi determinată din graficul h(t) (așa cum se arată în figură) folosind proprietatea exponențialului - proiecția sub tangentă pe linia valorii constante este egală cu constanta de timp sau prin determinarea timpului. timp în care h(t) atinge valoarea de 0,63 h(?).
Figura 3.14
În conformitate cu tipul de caracteristici temporare, legătura este stabilă.
Caracteristicile frecvenței.
Răspunsul în frecvență amplitudine-fază este construit folosind expresia când frecvența se modifică 0< щ < ?. АФЧХ этого звена согласно уравнению, представляет собой полуокружность диаметром K, расположенную в четвертом квадранте.
Figura 3.15
Pe măsură ce frecvența crește, vectorul W(jш) se deplasează în sensul acelor de ceasornic și defazarea se schimbă de la zero la -90є.
Caracteristici logaritmice.
De obicei, se construiesc LFC-uri asimptotice, care sunt linii întrerupte și sunt foarte ușor de calculat. La frecvențe joase, al doilea termen din expresia (*) este foarte mic și poate fi ignorat; la frecvențe joase, al doilea termen dă valoarea 10lg2 = 3,01, iar pe măsură ce frecvența crește, contribuția acesteia crește.
Prin urmare, LFC asimptotic este construit după cum urmează:
pentru frecvență conform ecuației - o linie dreaptă este paralelă cu axa frecvenței;
pentru o linie înclinată cu o pantă de -20 dB/dec. Eroarea la frecvență este de 3dB, adică L(u) exact la această frecvență este cu 3 dB mai mic (indicat de linia punctată).
Figura 3.16
Caracteristica fazei
Exemple de link-uri:
O ecuație diferențială de ordinul întâi descrie procesele tranzitorii într-un amplificator magnetic (amplificator inerțial), procesele termice, procesele de dizolvare și precipitare și alte procese tehnologice.
Legăturile rămase de ordinul întâi pot fi considerate ca conexiuni ale celor mai simple legături și o legătură aperiodică sau ca o legătură a celor mai simple legături.
Forțarea legăturii.
Figura 3.19
K1 - coeficient dimensional (sec.), K2 - adimensional.
acestea. semnalul de ieșire este proporțional cu semnalul de intrare și cu rata de schimbare a acestuia.
Coeficient de transmisie complex
Caracteristicile temporale ale legăturii
a) funcţia şi caracteristica de tranziţie
Figura 3.20
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls
Figura 3.21
Legătură stabilă
Caracteristicile frecvenței
Răspunsul în frecvență amplitudine-fază este construit folosind expresia
la schimbarea frecvenței 0< щ < ? и представляет собой вертикальную прямую отстоящую от начала коорлинат на величину K.
Figura 3.22
Răspuns logaritmic amplitudine-frecvență >
LFC asimptotic este o linie întreruptă, în prima secțiune până la - o linie dreaptă paralelă cu axa frecvenței și distanțată de aceasta la o distanță de 20lgK, la frecvență are loc o pauză și apoi caracteristica trece cu o pantă de + 20 dB/dec.
Figura 3.23
Legătură reală de diferențiere
Această legătură poate fi considerată ca o conexiune în serie a unei legături de diferențiere ideală și a unei legături aperiodice de ordinul întâi, sau ca o conexiune anti-paralelă a unei legături fără inerție și integratoare ideală.
Ecuație diferențială de legătură
Ecuație în imagini și funcție de transfer
Coeficient de transmisie complex
Caracteristicile de timp ale legăturii
a) funcţia şi caracteristica de tranziţie
acestea. este similară cu funcția de greutate a unei legături aperiodice de ordinul întâi.
Figura 3.26
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls.
Figura 3.27
Caracteristicile frecvenței.
Răspunsul în frecvență amplitudine-fază la 0< щ < ?, представляет собой полуокружность диаметром в первом квадранте.
Figura 3.28
Caracteristica logaritmică amplitudine-frecvență asimptotică este o linie întreruptă, până la - o pantă de +20 dB/dec, apoi o linie dreaptă paralelă cu axa frecvenței.
și poate fi obținută ca sumă a LFC a două legături aperiodice și diferențiate ideal conectate în serie.
Figura 3.29
Legătură de forțare inerțială (integrată-diferențiere).
Poate fi obținută ca o conexiune în serie a unui element aperiodic de ordinul întâi și a unui element de forțare sau o conexiune spate în spate a unui amplificator și a unui element aperiodic de ordinul întâi.
Legă ecuație diferențială:
Ecuație în imagini și funcție de transfer
Coeficient de transmisie complex
Proprietățile acestei legături depind de raportul constantelor de timp, dacă< 1 то звено по своим свойствам приближается к инерционному звену, а если >1 - la diferențiere.
Caracteristicile temporale ale legăturii.
a) funcția și caracteristicile de tranziție.
Figura 3.34
b) funcția de greutate și răspunsul la impuls.
Figura 3.35
Caracteristicile de frecvență ale legăturii.
Caracteristica frecvenței amplitudine-fază este construită în funcție de expresia când frecvența se schimbă de la zero la infinit, iar forma sa depinde și de raport.
Figura 3.36
Caracteristicile logaritmice, amplitudinea asimptotică, reprezintă, de asemenea, linii întrerupte și depind de coeficientul b.
Figura 3.37
Legături de fază non-minimale
O legătură este o legătură de fază non-minimă dacă schimbarea de fază la 0< щ < ? превышает максимально возможное значение для данного типа уравнения динамики.
O legătură este fază neminimă dacă W(p) are un zero sau pol pozitiv (rădăcina polinomului numărătorului sau numitorului). Același răspuns în frecvență al unei legături poate corespunde unor răspunsuri de fază diferite.
Legătură inerțială stabilă fără fază minimă de ordinul întâi
Ecuația:
avem zero pozitiv
Rădăcina este un număr pozitiv.
la 0< щ < ?, ц(щ) меняется от 0 до -180є.
Caracteristici temporale.
la T2 > T1
Figura 3.38
Caracteristici de frecvență: AFC T2 > T1
Figura 3.39
LACHH - - ecuația este aceeași cu cea a legăturii de impuls inerțial.
Figura 3.40
Legătură de fază non-minimă instabilă aperiodic.
Ecuația:
Începeți în al treilea cadran.
Figura 3.41
LACCH - - ca într-un stabil aperiodic.
Figura 3.42
Legătură instabilă de fază non-minimă de ordinul doi.
Ecuația:
Caracteristici de frecvență – oscilații divergente.
Figura 3.43
LACHH - ecuația este ca cea a unei legături oscilatorii.
Figura 3.44
O< 0,3 - использовать номограммы поправок.
Legăturile de fază non-minimale includ:
Instabil
Instabil
Durabil
si altii.
Legătură specială (de asemenea, fază non-minimă)
Legătură de întârziere (întârziere pură)
Ecuația:
Nu depinde de
c(u) se modifică de la 0 la -? când se schimbă frecvența.
Caracteristici temporale. Legătura repetă semnalul de intrare fără distorsiuni, dar cu o schimbare de timp:
Figura 3.45
Caracteristici de frecventa:
AFFC - cerc al primei raze.
Figura 3.46
LACCH - - coincide cu axa frecvenței, iar c(u) - de la 0 la -?.
Figura 3.47
Exemple de legături: dispozitive de citire și scriere a informațiilor, linii electrice lungi, conducte hidraulice, linii de transport.
Ce este o legătură dinamică? În lecțiile anterioare, ne-am uitat la părțile individuale ale sistemului de control automat și le-am numit elemente sisteme automate de control. Elementele pot avea aspect fizic și design diferit. Principalul lucru este că astfel de elemente sunt furnizate cu unele semnal de intrare x( t ) , iar ca răspuns la acest semnal de intrare, elementul sistemului de control generează unele semnal de ieșire y( t ) . Am stabilit în continuare că relația dintre semnalele de ieșire și de intrare este determinată de proprietăți dinamice elemente de control, care pot fi reprezentate ca funcție de transfer W(e). Deci aici este o legătură dinamică este orice element al unui sistem de control automat care are o anumită descriere matematică, adică pentru care se cunoaşte funcţia de transfer.
Orez. 3.4. Elementul (a) și legătura dinamică (b) ale tunului autopropulsat.
Legături dinamice tipice– acesta este setul minim necesar de legături pentru a descrie un sistem de control de orice tip. Linkurile tipice includ:
legătură proporțională;
legătură aperiodică de ordinul întâi;
legatura aperiodica de ordinul doi;
legătură oscilativă;
legătură de integrare;
legătură ideală de diferențiere;
Legătura de forțare de ordinul 1;
legătură de forțare de ordinul doi;
legătură cu pură întârziere.
Legătură proporțională
Legătura proporțională se mai numește fără inerție .
1. Funcția de transfer.
Funcția de transfer a legăturii proporționale are forma:
W(s) = K unde K este câștigul.
Legătura proporțională este descrisă de ecuația algebrică:
y(t) = K· X(t)
Exemple de astfel de legături proporționale includ un mecanism de pârghie, o transmisie mecanică rigidă, o cutie de viteze, un amplificator de semnal electronic la frecvențe joase, un divizor de tensiune etc.
4. Funcția de tranziție .
Funcția de tranziție a legăturii proporționale are forma:
h(t) = L -1 = L -1 = K· 1(t)
5. Funcția de greutate.
Funcția de ponderare a legăturii proporționale este egală cu:
w(t) = L -1 = K·δ(t)
Orez. 3.5. Funcție de tranziție, funcție de greutate, AFC și răspuns în frecvență proporțional .
6. Caracteristicile frecvenței .
Să găsim AFC, AFC, PFC și LAC ale legăturii proporționale:
W(jω ) = K = K +0·j
A(ω
)
=
= K
φ(ω) = arctan(0/K) = 0
L(ω) = 20 lg = 20 lg(K)
După cum rezultă din rezultatele prezentate, amplitudinea semnalului de ieșire nu depinde de frecvență. În realitate, nicio legătură nu este capabilă să treacă uniform toate frecvențele de la 0 la ¥; de regulă, la frecvențe înalte, câștigul devine mai mic și tinde spre zero ca ω → ∞. Prin urmare, modelul matematic al legăturii proporționale este o oarecare idealizare a legăturilor reale .
Legatura aperiodica eu -a ordine
Legăturile aperiodice se mai numesc inerțială .
1. Funcția de transfer.
Funcția de transfer a legăturii aperiodice de ordinul întâi are forma:
W(s) = K/(T· s + 1)
unde K este câștigul; T – constanta de timp care caracterizeaza inertia sistemului, i.e. durata procesului de tranziție în acesta. Deoarece constanta de timp caracterizează un anumit interval de timp , atunci valoarea sa trebuie să fie întotdeauna pozitivă, adică. (T > 0).
2. Descrierea matematică a legăturii.
O legătură aperiodică de ordinul întâi este descrisă de o ecuație diferențială de ordinul întâi:
T· dy(t)/ dt+ y(t) = K·X(t)
3. Implementarea fizică a legăturii.
Exemple de legături aperiodice de ordinul întâi pot fi: un filtru electric RC; convertor termoelectric; rezervor de gaz comprimat etc.
4. Funcția de tranziție .
Funcția de tranziție a legăturii aperiodice de ordinul întâi are forma:
h(t) = L -1 = L -1 = K – K e -t/T = K (1 – e -t/T )
Orez. 3.6. Caracteristica de tranziție a unei legături aperiodice de ordinul I.
Procesul de tranziție al verigii aperiodice de ordinul întâi are o formă exponențială. Valoarea în regim staționar este: h set = K. Tangenta în punctul t = 0 intersectează linia valorii în regim staționar în punctul t = T. În momentul t = T, funcția de tranziție ia valoarea: h(T) ≈ 0,632·K, adică în timpul T răspunsul tranzitoriu câștigă doar aproximativ 63% din valoarea de stare staționară.
Să definim timp de reglementare T la pentru o legătură aperiodică de ordinul întâi. După cum se știe din prelegerea anterioară, timpul de control este timpul după care diferența dintre valorile curente și cele constante nu va depăși o anumită valoare mică specificată Δ. (De obicei, Δ este setat la 5% din valoarea staționară.)
h(T y) = (1 – Δ) h gura = (1 – Δ) K = K (1 – e - T y/ T), deci e - T y/ T = Δ, apoi T y / T = - ln(Δ), Ca rezultat, obținem T y = [-ln(Δ)]·T.
La Δ = 0,05 T y = - ln(0,05) T ≈ 3 T.
Cu alte cuvinte, timpul procesului de tranziție al legăturii aperiodice de ordinul întâi este de aproximativ 3 ori constanta de timp.