Puncte staționare. Puncte critice pe graficul unei funcții
Punctele staționare ale unei funcții. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții
Prima condiție suficientă pentru un extremum local
A doua și a treia condiții suficiente pentru un extremum local
Cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe un segment
Funcții convexe și puncte de inflexiune
1. Puncte staţionare ale unei funcţii. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții
Definiția 1
. Lasă funcția să fie definită pe
. Punct se numește punctul staționar al funcției
, Dacă
diferentiat la un punct Și
.
Teorema 1 (condiția necesară pentru o extremă locală a unei funcții)
. Lasă funcția
determinat pe
si are la punct
extremă locală. Atunci este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
Astfel, pentru a găsi puncte care sunt suspecte de un extremum, este necesar să se găsească puncte staționare ale funcției și puncte în care derivata funcției nu există, dar care aparțin domeniului funcției.
Exemplu
. Lăsa
. Găsiți puncte pentru aceasta care sunt suspecte pentru un extremum. Pentru a rezolva problema, în primul rând, găsim domeniul funcției:
. Acum găsim derivata funcției:
Puncte în care derivata nu există:
. Puncte de funcționare staționare:
Pentru că și
, Și
aparțin domeniului definiției funcției, atunci ambele vor fi suspecte pentru un extremum. Dar pentru a concluziona dacă într-adevăr va exista un extremum, este necesar să se aplice condiții suficiente pentru extremum.
2. Prima condiție suficientă pentru un extremum local
Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru o extremă locală)
. Lasă funcția
determinat pe
și se diferențiază pe acest interval peste tot, cu excepția, eventual, la punct
, dar în acest moment funcţie
este continuu. Dacă există astfel de semivecinații din dreapta și din stânga unui punct , în fiecare dintre care
păstrează un anumit semn, atunci
1) funcția
are un extremum local la punct , Dacă
ia valori ale diferitelor semne în semi-cartierele corespunzătoare;
2) funcția
nu are un extremum local la punct , dacă la dreapta și la stânga punctului
are acelasi semn.
Dovada
. 1) Să presupunem că într-un semi-cartier
derivat
, si in
.
Astfel la punct funcţie
are un extremum local și anume un maxim local, care urma să fie demonstrat.
2) Să presupunem că la stânga și la dreapta punctului derivatul își păstrează semnul, de exemplu,
. Apoi
Și
funcţie
crescând strict monoton, adică:
Astfel extremul la punct funcţie
nu, ceea ce urma să fie dovedit.
Observație 1
. Dacă derivatul
la trecerea printr-un punct schimbă semnul din „+” în „-”, apoi la punctul funcţie
are un maxim local, iar dacă semnul se schimbă de la „-” la „+”, atunci un minim local.
Observația 2
. O condiție importantă este continuitatea funcției
la punct . Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci teorema 1 poate să nu fie valabilă.
Exemplu . Se ia în considerare funcția (Fig. 1):
Această funcție este definită pe și este continuă peste tot cu excepția punctului
, unde are o discontinuitate detașabilă. La trecerea printr-un punct
schimbă semnul din „-” în „+”, dar funcția nu are un minim local în acest moment, dar are un maxim local prin definiție. Într-adevăr, aproape de punct
este posibil să se construiască o astfel de vecinătate încât pentru toate argumentele din această vecinătate valorile funcției să fie mai mici decât valoarea
. Teorema 1 nu a funcționat pentru că în acel moment
funcția a avut o pauză.
Observația 3
. Prima condiție extremă locală suficientă nu poate fi utilizată atunci când derivata funcției
își schimbă semnul în fiecare semivecinație din stânga și din dreapta punctului .
Exemplu . Funcția luată în considerare este:
Deoarece
, Acea
, prin urmare
, Dar
. Prin urmare:
,
acestea. la punct
funcţie
are un minim local prin definiție. Să vedem dacă prima condiție suficientă pentru un extremum local funcționează aici.
Pentru
:
Pentru primul termen din partea dreaptă a formulei rezultate, avem:
,
şi deci într-o mică vecinătate a punctului
semnul derivatei este determinat de semnul celui de-al doilea termen, adică:
,
ceea ce înseamnă că în orice vecinătate a punctului
va lua atât valori pozitive, cât și negative. Într-adevăr, luați în considerare o vecinătate arbitrară a punctului
:
. Când
,
Acea
(Fig. 2) și își schimbă semnul aici de nenumărate ori. Astfel, prima condiție suficientă pentru un extremum local nu poate fi utilizată în exemplul de mai sus.
Definitii:
extremum denumește valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată.
punct extrem este punctul în care se atinge valoarea maximă sau minimă a funcției.
Punct maxim este punctul în care se atinge valoarea maximă a funcției.
Punct scăzut este punctul în care se atinge valoarea minimă a funcției.
Explicaţie.
În figură, în vecinătatea punctului x = 3, funcția atinge valoarea sa maximă (adică în vecinătatea acestui punct anume nu există un punct superior). În vecinătatea lui x = 8, are din nou o valoare maximă (din nou, să lămurim: în această vecinătate nu există niciun punct mai sus). În aceste puncte, creșterea este înlocuită cu o scădere. Sunt puncte maxime:
xmax = 3, xmax = 8.
În vecinătatea punctului x = 5 se atinge valoarea minimă a funcției (adică în vecinătatea lui x = 5 nu există niciun punct dedesubt). În acest moment, scăderea este înlocuită cu o creștere. Este punctul minim:
Punctele maxime și minime sunt punctele extreme ale funcției, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extreme.
Punctele critice și staționare ale funcției:
Condiție necesară pentru un extremum:
Condiție suficientă pentru un extremum:
Pe segment, funcția y = f(X) poate atinge valoarea minimă sau maximă fie în punctele critice , fie la capetele segmentului .
Algoritm pentru studierea unei funcții continuey = f(X) pentru monotonitate și extreme:
Procesul de examinare a unei funcții pentru prezența punctelor staționare, precum și găsirea acestora este unul dintre elementele importante în construirea unui grafic al unei funcții. Puteți găsi punctele staționare ale unei funcții dacă aveți un anumit set de cunoștințe matematice.
Vei avea nevoie
- - functia de investigat pentru prezenta punctelor stationare;
- - definirea punctelor staţionare: punctele staţionare ale unei funcţii sunt puncte (valori argument) la care derivata funcţiei de ordinul întâi dispare.
Instruire
- Folosind tabelul de derivate și formulele de diferențiere a funcțiilor, este necesar să se găsească derivata funcției. Acest pas este cel mai dificil și responsabil în cursul sarcinii. Dacă faceți o greșeală în această etapă, alte calcule nu vor avea sens.
- Verificați dacă derivata unei funcții depinde de argument. Dacă derivata găsită nu depinde de argument, adică este un număr (de exemplu, f "(x) \u003d 5), atunci în acest caz funcția nu are puncte staționare. O astfel de soluție este posibilă numai dacă funcția studiată este o funcție liniară de ordinul întâi (de exemplu, f(x) = 5x+1) Dacă derivata funcției depinde de argument, atunci treceți la ultimul pas.
- Compuneți ecuația f "(x) \u003d 0 și rezolvați-o. Ecuația poate să nu aibă soluții - în acest caz, funcția nu are puncte staționare. Dacă ecuația are soluții, atunci acestea sunt valorile găsite ale argumentului acestea vor fi punctele staționare ale funcției.Pe aceasta În etapa următoare, soluția ecuației trebuie verificată prin metoda substituției argumentelor.
Puncte critice sunt punctele în care derivata funcției este egală cu zero sau nu există. Dacă derivata este 0, atunci funcția din acel punct ia minim sau maxim local. Pe grafic în astfel de puncte, funcția are o asimptotă orizontală, adică tangenta este paralelă cu axa Ox.
Se numesc astfel de puncte staționar. Dacă vedeți o „cocoașă” sau „găuri” pe o diagramă cu funcții continue, amintiți-vă că maximul sau minimul este atins în punctul critic. Luați în considerare următoarea sarcină ca exemplu.
Exemplul 1 Aflați punctele critice ale funcției y=2x^3-3x^2+5 .
Soluţie. Algoritmul pentru găsirea punctelor critice este următorul:
Deci funcția are două puncte critice.
În plus, dacă trebuie să studiați funcția, atunci determinăm semnul derivatei la stânga și la dreapta punctului critic. Dacă derivata își schimbă semnul de la „-” la „+” atunci când trece printr-un punct critic, atunci funcția ia minim local. Dacă de la „+” la „-” ar trebui maxim local.
Al doilea tip de puncte critice acestea sunt zerourile numitorului funcțiilor fracționale și iraționale
Funcții cu logaritmi și trigonometrii care nu sunt definite în aceste puncte
Al treilea tip de puncte critice au funcții și module continue pe bucăți.
De exemplu, orice funcție-modul are un minim sau maxim la un punct de întrerupere.
De exemplu, modulul y = | x -5 | în punctul x = 5 are un minim (punct critic).
Derivata nu există în ea, dar în dreapta și în stânga ia valoarea 1 și respectiv -1.
Încercați să identificați punctele critice ale funcțiilor
1)
2)
3)
4)
5)
Dacă ca răspuns primești valoarea
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
atunci știi deja cum să găsiți punctele criticeși să poată face față unui simplu control sau testări.