Rezolvarea de ecuații de putere exponențială, algoritmi și exemple. Ecuații exponențiale
Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Ecuațiile de putere sau exponențiale sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri și baza este un număr. De exemplu:
Rezolvarea unei ecuații exponențiale se reduce la 2 pași destul de simpli:
1. Trebuie să verificați dacă bazele ecuației din dreapta și din stânga sunt aceleași. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivalăm gradele și rezolvăm noua ecuație rezultată.
Să presupunem că ni se dă o ecuație exponențială de următoarea formă:
Merită să începeți soluția acestei ecuații cu o analiză a bazei. Bazele sunt diferite - 2 și 4, dar pentru a rezolva trebuie să fie aceleași, așa că transformăm 4 folosind următoarea formulă -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]
Adăugăm la ecuația inițială:
Să-l scoatem din paranteze \
Să exprimăm \
Deoarece gradele sunt aceleași, le renunțăm:
Răspuns: \
Unde pot rezolva o ecuație exponențială folosind un rezolvator online?
Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.
Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.
În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.
Produsul unui număr A apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Putere sau ecuații exponențiale– acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.
Exemple de ecuații exponențiale:
În acest exemplu, numărul 6 este baza; este întotdeauna în partea de jos și variabila X grad sau indicator.
Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?
Să luăm o ecuație simplă:
2 x = 2 3
Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:
2 x = 2 3
x = 3
Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.
Acum să rezumam decizia noastră.
Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.
Acum să ne uităm la câteva exemple:
Să începem cu ceva simplu.
Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem renunța la baza și le putem echivala puterile.
x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2
În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:
Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Acum este clar că în partea stângă și în dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.
3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.
Să ne uităm la următorul exemplu:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adăugați la ecuație:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar ne deranjează alte numere 10 și 24. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Să calculăm expresia dintre paranteze:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Împărțim întreaga ecuație la 6:
Să ne imaginăm 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțiți-l la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.
Să rezolvăm ecuația:
9 x – 12*3 x +27= 0
Să convertim:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei. În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:
Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:
t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Revenind la variabilă X.
Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Acesta este,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.
Pe site poti adresa orice intrebari ai putea avea in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.
Alăturați-vă grupului
Ce este o ecuație exponențială? Exemple.
Deci, o ecuație exponențială... O nouă expoziție unică în expoziția noastră generală cu o mare varietate de ecuații!) Așa cum este aproape întotdeauna cazul, cuvântul cheie al oricărui termen matematic nou este adjectivul corespunzător care îl caracterizează. Deci este aici. Cuvântul cheie în termenul „ecuație exponențială” este cuvântul "indicativ". Ce înseamnă? Acest cuvânt înseamnă că necunoscutul (x) este localizat în ceea ce privește orice grade.Și numai acolo! Acest lucru este extrem de important.
De exemplu, aceste ecuații simple:
3 x +1 = 81
5 x + 5 x +2 = 130
4 2 2 x -17 2 x +4 = 0
Sau chiar acești monștri:
2 sin x = 0,5
Vă rugăm să acordați atenție imediat la un lucru important: motive grade (de jos) - doar numere. Dar în indicatori grade (mai sus) - o mare varietate de expresii cu un X. Absolut orice.) Totul depinde de ecuația specifică. Dacă, brusc, x apare în altă parte în ecuație, în plus față de indicator (să zicem, 3 x = 18 + x 2), atunci o astfel de ecuație va fi deja o ecuație tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Prin urmare, nu le vom lua în considerare în această lecție. Spre bucuria elevilor.) Aici vom lua în considerare doar ecuaţiile exponenţiale în forma lor „pură”.
În general, nu toate și nu întotdeauna ecuațiile exponențiale pure pot fi rezolvate clar. Dar, printre toată varietatea bogată de ecuații exponențiale, există anumite tipuri care pot și ar trebui rezolvate. Aceste tipuri de ecuații sunt pe care le vom lua în considerare. Și cu siguranță vom rezolva exemplele.) Așa că haideți să ne simțim confortabil și să plecăm! Ca și în shooterele pe computer, călătoria noastră se va desfășura prin niveluri.) De la elementar la simplu, de la simplu la intermediar și de la intermediar la complex. Pe parcurs, te va aștepta și un nivel secret - tehnici și metode de rezolvare a exemplelor non-standard. Cele despre care nu le vei citi în majoritatea manualelor școlare... Ei bine, și la sfârșit, desigur, șeful final te așteaptă sub formă de teme.)
Nivelul 0. Care este cea mai simplă ecuație exponențială? Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple.
În primul rând, să ne uităm la câteva lucruri elementare sincere. Trebuie să începi de undeva, nu? De exemplu, această ecuație:
2 x = 2 2
Chiar și fără teorii, prin simplă logică și bun simț este clar că x = 2. Nu există altă cale, nu? Nicio altă semnificație a lui X nu este potrivită... Și acum să ne îndreptăm atenția asupra dosarul deciziei această ecuație exponențială grozavă:
2 x = 2 2
X = 2
Ce s-a întâmplat cu noi? Și s-au întâmplat următoarele. De fapt l-am luat și... pur și simplu am aruncat aceleași baze (doi)! Complet aruncat afară. Și, vestea bună este că ne-am lovit de ochi de taur!
Da, într-adevăr, dacă într-o ecuație exponențială există stânga și dreapta aceeași numere în orice putere, atunci aceste numere pot fi aruncate și pur și simplu echivalează exponenții. Matematica permite.) Și apoi puteți lucra separat cu indicatorii și puteți rezolva o ecuație mult mai simplă. Grozav, nu?
Iată ideea cheie pentru rezolvarea oricărei ecuații exponențiale (da, exact oricare!): folosind transformări identice, este necesar să se asigure că părțile stânga și dreapta ale ecuației sunt aceeași numere de bază în diferite puteri. Și apoi puteți elimina în siguranță aceleași baze și echivalați exponenții. Și lucrați cu o ecuație mai simplă.
Acum să ne amintim de regula de fier: este posibil să se elimine baze identice dacă și numai dacă numerele din stânga și din dreapta ecuației au numere de bază în singurătate mândră.
Ce înseamnă, într-o izolare splendidă? Aceasta înseamnă fără vecini și coeficienți. Lasă-mă să explic.
De exemplu, în Eq.
3 3 x-5 = 3 2 x +1
Trei nu pot fi eliminate! De ce? Pentru că în stânga nu avem doar un singur trei la grad, dar muncă 3·3 x-5. În plus, trei interferează: coeficientul, înțelegi.)
Același lucru se poate spune despre ecuație
5 3 x = 5 2 x +5 x
Și aici, toate bazele sunt aceleași - cinci. Dar în dreapta nu avem o singură putere de cinci: există o sumă de puteri!
Pe scurt, avem dreptul de a elimina baze identice numai atunci când ecuația noastră exponențială arată așa și numai așa:
Af (X) = a g (X)
Acest tip de ecuație exponențială se numește cel mai simplu. Sau, științific, canonic . Și indiferent de ce ecuație întortocheată avem în fața noastră, o vom reduce, într-un fel sau altul, tocmai la această formă (canonică) cea mai simplă. Sau, în unele cazuri, să totalitate ecuatii de acest tip. Atunci cea mai simplă ecuație a noastră poate fi rescrisă în formă generală astfel:
F(x) = g(x)
Asta e tot. Aceasta ar fi o conversie echivalentă. În acest caz, f(x) și g(x) pot fi absolut orice expresii cu un x. Tot ceea ce.
Poate că un student deosebit de curios se va întreba: de ce naiba aruncăm atât de ușor și pur și simplu aceleași baze din stânga și din dreapta și echivalăm exponenții? Intuiția este intuiție, dar ce se întâmplă dacă, într-o ecuație și dintr-un motiv oarecare, această abordare se dovedește a fi incorectă? Este întotdeauna legal să arunci aceleași motive? Din păcate, pentru un răspuns matematic riguros la această întrebare interesantă, trebuie să vă scufundați destul de profund și serios în teoria generală a structurii și comportamentului funcțiilor. Și puțin mai specific - în fenomen monotonie strictă.În special, monotonie strictă functie exponentialay= un x. Deoarece funcția exponențială și proprietățile ei sunt cele care stau la baza soluției ecuațiilor exponențiale, da.) Un răspuns detaliat la această întrebare va fi dat într-o lecție specială separată dedicată rezolvării ecuațiilor complexe non-standard folosind monotonitatea diferitelor funcții.)
Explicarea acestui punct în detaliu acum nu ar face decât să sufle mințile elevului obișnuit și să-l sperie din timp cu o teorie seacă și grea. nu voi face asta.) Deoarece principalul nostru acest moment sarcina - invata sa rezolvi ecuatii exponentiale! Cele mai simple! Prin urmare, să nu ne facem încă griji și să aruncăm cu îndrăzneală aceleași motive. Acest Poate sa, credeți-mă pe cuvânt!) Și apoi rezolvăm ecuația echivalentă f(x) = g(x). De regulă, mai simplu decât exponențialul original.
Se presupune, desigur, că oamenii știu deja să rezolve cel puțin , și ecuații, fără x în exponenți.) Pentru cei care încă nu știu cum, nu ezitați să închideți această pagină, urmați linkurile relevante și completați vechile goluri. Altfel o sa va fie greu, da...
Nu vorbesc despre ecuații iraționale, trigonometrice și alte ecuații brutale care pot apărea și în procesul de eliminare a fundațiilor. Dar nu vă alarmați, nu vom lua în considerare cruzimea totală în termeni de grade deocamdată: este prea devreme. Ne vom antrena doar pe cele mai simple ecuații.)
Acum să ne uităm la ecuațiile care necesită un efort suplimentar pentru a le reduce la cele mai simple. De dragul distincției, să le numim ecuații exponențiale simple. Deci, să trecem la următorul nivel!
Nivelul 1. Ecuații exponențiale simple. Să recunoaștem diplomele! Indicatori naturali.
Regulile cheie în rezolvarea oricăror ecuații exponențiale sunt reguli de abordare a diplomelor. Fără aceste cunoștințe și abilități nimic nu va funcționa. Vai. Deci, dacă există probleme cu diplomele, atunci mai întâi ești binevenit. În plus, vom avea nevoie și de . Aceste transformări (două dintre ele!) stau la baza rezolvării tuturor ecuațiilor matematice în general. Și nu numai demonstrative. Deci, cine a uitat, aruncați o privire și pe link: nu le pun doar acolo.
Dar operațiunile cu puteri și transformări de identitate nu sunt suficiente. De asemenea, sunt necesare observație personală și ingeniozitate. Avem nevoie de aceleași motive, nu-i așa? Așa că examinăm exemplul și le căutăm într-o formă explicită sau deghizată!
De exemplu, această ecuație:
3 2 x – 27 x +2 = 0
Prima privire la temeiuri. Sunt diferite! Trei și douăzeci și șapte. Dar este prea devreme pentru a intra în panică și a dispera. Este timpul să ne amintim asta
27 = 3 3
Numerele 3 și 27 sunt rude după grad! Și cei apropiați.) Prin urmare, avem tot dreptul să scriem:
27 x +2 = (3 3) x+2
Acum să ne conectăm cunoștințele despre acţiuni cu grade(si te-am avertizat!). Există o formulă foarte utilă acolo:
(a m) n = a mn
Dacă îl puneți acum în acțiune, funcționează grozav:
27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)
Exemplul original arată acum astfel:
3 2 x – 3 3(x +2) = 0
Grozav, bazele gradelor s-au nivelat. Asta ne-am dorit. Jumătate din bătălie este încheiată.) Acum lansăm transformarea de bază a identității - mutați 3 3(x +2) la dreapta. Nimeni nu a anulat operațiile elementare ale matematicii, da.) Obținem:
3 2 x = 3 3(x +2)
Ce ne oferă acest tip de ecuație? Și faptul că acum ecuația noastră este redusă la forma canonică: în stânga și în dreapta sunt aceleași numere (trei) în puteri. Mai mult, ambii trei sunt într-o izolare splendidă. Simțiți-vă liber să eliminați triplele și să obțineți:
2x = 3(x+2)
Rezolvăm asta și obținem:
X = -6
Asta este. Acesta este răspunsul corect.)
Acum să ne gândim la soluție. Ce ne-a salvat în acest exemplu? Cunoașterea puterilor celor trei ne-a salvat. Cum anume? Noi identificat numărul 27 conține un trei criptat! Acest truc (codificarea aceleiași baze sub numere diferite) este unul dintre cele mai populare în ecuațiile exponențiale! Doar dacă nu este cel mai popular. Da, și în același mod, de altfel. Acesta este motivul pentru care observația și capacitatea de a recunoaște puterile altor numere în numere sunt atât de importante în ecuațiile exponențiale!
Sfaturi practice:
Trebuie să cunoașteți puterile numerelor populare. În față!
Desigur, oricine poate ridica doi la puterea a șaptea sau trei la puterea a cincea. Nu în mintea mea, dar cel puțin într-o schiță. Dar în ecuațiile exponențiale, mult mai des nu este necesar să ridicați la o putere, ci mai degrabă să aflați ce număr și ce putere se ascunde în spatele numărului, să zicem, 128 sau 243. Și acest lucru este mai complicat decât simpla creștere, vei fi de acord. Simțiți diferența, așa cum se spune!
Deoarece capacitatea de a recunoaște grade în persoană va fi utilă nu numai la acest nivel, ci și la următoarele, iată o mică sarcină pentru tine:
Stabiliți ce puteri și ce numere sunt numerele:
4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.
Răspunsuri (aleatoriu, desigur):
27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .
Da Da! Nu fi surprins că există mai multe răspunsuri decât sarcini. De exemplu, 2 8, 4 4 și 16 2 sunt toate 256.
Nivelul 2. Ecuații exponențiale simple. Să recunoaștem diplomele! Indicatori negativi și fracționari.
La acest nivel ne folosim deja la maximum cunoștințele despre grade. Și anume, implicăm indicatori negativi și fracționali în acest proces fascinant! Da Da! Trebuie să ne creștem puterea, nu?
De exemplu, această ecuație teribilă:
Din nou, prima privire este asupra fundațiilor. Motivele sunt diferite! Și de data aceasta nu se aseamănă nici pe departe unul cu celălalt! 5 și 0,04... Și pentru a elimina bazele, sunt necesare aceleași... Ce să faci?
E bine! De fapt, totul este la fel, doar că legătura dintre cele cinci și 0,04 este puțin vizibilă vizual. Cum putem ieși? Să trecem la numărul 0,04 ca o fracție obișnuită! Și apoi, vezi tu, totul se va rezolva.)
0,04 = 4/100 = 1/25
Wow! Se pare că 0,04 este 1/25! Ei bine, cine ar fi crezut!)
Așa cum? Este acum mai ușor să vezi legătura dintre numerele 5 și 1/25? Asta este...
Și acum după regulile de acțiuni cu grade cu indicator negativ Puteți scrie cu o mână fermă:
Asta e grozav. Așa că am ajuns la aceeași bază - cinci. Acum înlocuim numărul incomod 0,04 din ecuație cu 5 -2 și obținem:
Din nou, conform regulilor de operații cu grade, acum putem scrie:
(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)
Pentru orice eventualitate, vă reamintesc (în cazul în care cineva nu știe) că regulile de bază pentru tratarea diplomelor sunt valabile pentru orice indicatori! Inclusiv pentru cele negative.) Deci, nu ezitați să luați și să înmulțiți indicatorii (-2) și (x-1) conform regulii corespunzătoare. Ecuația noastră devine din ce în ce mai bună:
Toate! În afară de cei cinci singuratici, nu există nimic altceva în puterile din stânga și din dreapta. Ecuația este redusă la formă canonică. Și apoi - de-a lungul pistei moletate. Înlăturăm cincisele și echivalăm indicatorii:
X 2 –6 X+5=-2(X-1)
Exemplul este aproape rezolvat. Tot ce a mai rămas este matematica de gimnaziu - deschideți (corect!) parantezele și colectați tot ce este din stânga:
X 2 –6 X+5 = -2 X+2
X 2 –4 X+3 = 0
Rezolvăm asta și obținem două rădăcini:
X 1 = 1; X 2 = 3
Asta e tot.)
Acum să ne gândim din nou. În acest exemplu, a trebuit din nou să recunoaștem același număr în grade diferite! Și anume, pentru a vedea un cinci criptat în numărul 0.04. Și de data asta - în grad negativ! Cum am făcut asta? Imediat, în niciun caz. Dar după ce am trecut de la fracția zecimală 0,04 la fracția comună 1/25, totul a devenit clar! Și apoi întreaga decizie a mers ca un ceas.)
Prin urmare, un alt sfat practic verde.
Dacă o ecuație exponențială conține fracții zecimale, atunci trecem de la fracții zecimale la fracții obișnuite. Este mult mai ușor să recunoști puterile multor numere populare în fracții! După recunoaștere, trecem de la fracții la puteri cu exponenți negativi.
Rețineți că acest truc apare foarte, foarte des în ecuațiile exponențiale! Dar persoana nu este în subiect. Se uită, de exemplu, la numerele 32 și 0,125 și se supără. Fără să știe el, acesta este unul și același doi, doar în grade diferite... Dar ești deja în știință!)
Rezolvați ecuația:
În! Pare o groază liniștită... Cu toate acestea, aparențele sunt înșelătoare. Aceasta este cea mai simplă ecuație exponențială, în ciuda aspectului său intimidant. Și acum ți-o voi arăta.)
Mai întâi, să ne uităm la toate numerele din baze și coeficienți. Sunt, desigur, diferiți, da. Dar totuși ne vom asuma un risc și vom încerca să le facem identic! Să încercăm să ajungem la același număr în puteri diferite. Mai mult decât atât, de preferință, cifrele sunt cât mai mici. Deci, să începem decodarea!
Ei bine, cu cele patru totul este imediat clar - este 2 2. Bine, asta e deja ceva.)
Cu o fracțiune de 0,25 - încă nu este clar. Trebuie verificat. Să folosim sfaturi practice - treceți de la o fracție zecimală la o fracție obișnuită:
0,25 = 25/100 = 1/4
Deja mult mai bine. Pentru că acum este clar că 1/4 este 2 -2. Grozav, iar numărul 0,25 este, de asemenea, asemănător cu doi.)
Până acum, bine. Dar cel mai rău număr dintre toate rămâne - rădăcină pătrată a doi! Ce să faci cu acest ardei? Poate fi reprezentată și ca o putere a doi? Si cine stie...
Ei bine, să ne aruncăm din nou în tezaurul nostru de cunoștințe despre diplome! De data aceasta, ne conectăm în plus cunoștințele despre rădăcini. De la cursul de clasa a IX-a, tu și cu mine ar fi trebuit să învățăm că orice rădăcină, dacă se dorește, poate fi întotdeauna transformată într-un grad cu un indicator fracţional.
Ca aceasta:
În cazul nostru:
Wow! Se pare că rădăcina pătrată a lui doi este 2 1/2. Asta este!
Asta e bine! Toate numerele noastre incomode s-au dovedit de fapt a fi două criptate.) Nu mă cert, undeva criptate foarte sofisticat. Dar ne îmbunătățim și profesionalismul în rezolvarea unor astfel de cifruri! Și atunci totul este deja evident. În ecuația noastră înlocuim numerele 4, 0,25 și rădăcina lui doi cu puteri a lui doi:
Toate! Bazele tuturor gradelor din exemplu au devenit aceleași - două. Și acum sunt folosite acțiuni standard cu grade:
a mun n = a m + n
a m:a n = a m-n
(a m) n = a mn
Pentru partea stângă obțineți:
2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)
Pentru partea dreaptă va fi:
Și acum ecuația noastră rea arată astfel:
Pentru cei care nu și-au dat seama exact cum a apărut această ecuație, atunci întrebarea de aici nu este despre ecuațiile exponențiale. Întrebarea este despre acțiuni cu grade. V-am rugat sa o repetati urgent celor care au probleme!
Iată linia de sosire! Forma canonică a ecuației exponențiale a fost obținută! Așa cum? Te-am convins că nu totul este atât de înfricoșător? ;) Îndepărtăm cei doi și echivalăm indicatorii:
Tot ce rămâne este să rezolvi această ecuație liniară. Cum? Cu ajutorul transformărilor identice, desigur.) Decideți ce se întâmplă! Înmulțiți ambele părți cu două (pentru a elimina fracția 3/2), mutați termenii cu X la stânga, fără X la dreapta, aduceți-i pe alții asemănători, numărați - și veți fi fericit!
Totul ar trebui să iasă frumos:
X=4
Acum să ne gândim din nou la soluție. În acest exemplu, am fost ajutați de trecerea de la rădăcină pătrată La grad cu exponent 1/2. Mai mult decât atât, doar o astfel de vicleană transformare ne-a ajutat să ajungem la aceeași bază (două) peste tot, ceea ce a salvat situația! Și, dacă nu ar fi, atunci am avea toate șansele să înghețăm pentru totdeauna și să nu ne descurcăm niciodată cu acest exemplu, da...
Prin urmare, nu neglijăm următorul sfat practic:
Dacă o ecuație exponențială conține rădăcini, atunci trecem de la rădăcini la puteri cu exponenți fracționari. De foarte multe ori, doar o astfel de transformare clarifică situația ulterioară.
Desigur, puterile negative și fracționale sunt deja mult mai complexe decât puterile naturale. Cel puțin din punct de vedere al percepției vizuale și, mai ales, al recunoașterii de la dreapta la stânga!
Este clar că ridicarea directă, de exemplu, a doi la puterea lui -3 sau a patru la puterea lui -3/2 nu este o problemă atât de mare. Pentru cei care cunosc.)
Dar du-te, de exemplu, realizezi imediat asta
0,125 = 2 -3
Sau
Aici, doar practica și experiența bogată domnesc, da. Și, desigur, o idee clară, Ce este un grad negativ și fracționar?Și, de asemenea, sfaturi practice! Da, da, aceleași verde.) Sper că vă vor ajuta în continuare să navigați mai bine în întreaga varietate diversă de grade și să vă sporească semnificativ șansele de succes! Deci să nu le neglijăm. Nu degeaba scriu uneori în verde.)
Dar dacă ajungeți să vă cunoașteți chiar și cu puteri atât de exotice precum cele negative și fracționale, atunci capacitățile voastre de rezolvare a ecuațiilor exponențiale se vor extinde enorm și veți putea gestiona aproape orice tip de ecuații exponențiale. Ei bine, dacă nu oricare, atunci 80 la sută din toate ecuațiile exponențiale - cu siguranță! Da, da, nu glumesc!
Deci, prima noastră parte a introducerii noastre în ecuațiile exponențiale a ajuns la concluzia sa logică. Și, ca antrenament intermediar, sugerez în mod tradițional să faceți puțină auto-reflecție.)
Exercitiul 1.
Pentru ca cuvintele mele despre descifrarea puterilor negative și fracționale să nu meargă în zadar, vă sugerez să jucați un mic joc!
Exprimă numere ca puteri a doi:
Răspunsuri (în dezordine):
S-a întâmplat? Grozav! Apoi facem o misiune de luptă - rezolvă cele mai simple și mai simple ecuații exponențiale!
Sarcina 2.
Rezolvați ecuațiile (toate răspunsurile sunt o mizerie!):
5 2x-8 = 25
2 5x-4 – 16 x+3 = 0
Raspunsuri:
x = 16
X 1 = -1; X 2 = 2
X = 5
S-a întâmplat? Într-adevăr, este mult mai simplu!
Apoi rezolvăm următorul joc:
(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4
35 1-x = 0,2 - x ·7 x
Raspunsuri:
X 1 = -2; X 2 = 2
X = 0,5
X 1 = 3; X 2 = 5
Și aceste exemple au rămas unul? Grozav! Crești! Apoi, iată câteva exemple pe care să le gustați:
Raspunsuri:
X = 6
X = 13/31
X = -0,75
X 1 = 1; X 2 = 8/3
Și asta se hotărăște? Ei bine, respect! Îmi scot pălăria.) Asta înseamnă că lecția nu a fost în zadar, iar nivelul inițial de rezolvare a ecuațiilor exponențiale poate fi considerat stăpânit cu succes. Următoarele niveluri și ecuații mai complexe urmează! Și noi tehnici și abordări. Și exemple non-standard. Și noi surprize.) Toate acestea sunt în lecția următoare!
A mers ceva prost? Aceasta înseamnă că cel mai probabil problemele sunt în . Sau în . Sau ambele deodată. Sunt neputincios aici. Pot să sugerez încă o dată un singur lucru - nu fi leneș și urmărește linkurile.)
Va urma.)
Exemple:
\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)
Cum se rezolvă ecuații exponențiale
Când rezolvăm orice ecuație exponențială, ne străduim să o aducem la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\), și apoi facem tranziția la egalitatea exponenților, adică:
\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)
De exemplu:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)
Important! Din aceeași logică, urmează două cerințe pentru o astfel de tranziție:
- număr în stânga și dreapta ar trebui să fie la fel;
- gradele din stânga și din dreapta trebuie să fie „pure”, adică să nu existe înmulțiri, împărțiri etc.
De exemplu:
Pentru a reduce ecuația la forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) și sunt utilizate.
Exemplu
. Rezolvați ecuația exponențială \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Soluţie:
\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Știm că \(27 = 3^3\). Ținând cont de acest lucru, transformăm ecuația. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) |
Prin proprietatea rădăcinii \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) obținem că \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Apoi, folosind proprietatea gradului \((a^b)^c=a^(bc)\), obținem \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
De asemenea, știm că \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Aplicând aceasta în partea stângă, obținem: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\) |
Acum amintiți-vă că: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Această formulă poate fi folosită și în direcția opusă: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Apoi \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\) |
Aplicând proprietatea \((a^b)^c=a^(bc)\) în partea dreaptă, obținem: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\) |
Și acum bazele noastre sunt egale și nu există coeficienți de interferență etc. Deci putem face tranziția. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Exemplu
. Rezolvați ecuația exponențială \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
Răspuns : \(-1; 1\). Întrebarea rămâne - cum să înțelegeți când să folosiți ce metodă? Acest lucru vine cu experiență. Până când l-ați dezvoltat, utilizați recomandarea generală pentru rezolvarea problemelor complexe - „dacă nu știi ce să faci, fă ce poți”. Adică, căutați cum puteți transforma ecuația în principiu și încercați să o faceți - ce se întâmplă dacă ce se întâmplă? Principalul lucru este să faci doar transformări bazate pe matematică. Ecuații exponențiale fără soluțiiSă ne uităm la încă două situații care deseori îi încurcă pe elevi: Să încercăm să rezolvăm prin forță brută. Dacă x este un număr pozitiv, atunci pe măsură ce x crește, întreaga putere \(2^x\) va crește doar: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=0\); \(2^0=1\) De asemenea de către. X-urile negative rămân. Reamintind proprietatea \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), verificăm: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) În ciuda faptului că numărul devine mai mic cu fiecare pas, nu va ajunge niciodată la zero. Deci gradul negativ nu ne-a salvat. Ajungem la o concluzie logica: Un număr pozitiv în orice grad va rămâne un număr pozitiv.Astfel, ambele ecuații de mai sus nu au soluții. Ecuații exponențiale cu baze diferiteÎn practică, uneori întâlnim ecuații exponențiale cu baze diferite care nu sunt reductibile între ele și, în același timp, cu aceiași exponenți. Ele arată astfel: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), unde \(a\) și \(b\) sunt numere pozitive. De exemplu: \(7^(x)=11^(x)\) Astfel de ecuații pot fi rezolvate cu ușurință prin împărțirea la oricare dintre laturile ecuației (de obicei împărțită la partea dreaptă, adică la \(b^(f(x)))\). Puteți împărți în acest fel deoarece un număr pozitiv este pozitivă pentru orice putere (adică nu împărțim la zero) obținem: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Exemplu
. Rezolvați ecuația exponențială \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Răspuns : \(-7\). Uneori, „asemănarea” exponenților nu este evidentă, dar utilizarea pricepută a proprietăților exponenților rezolvă această problemă. Exemplu
. Rezolvați ecuația exponențială \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Răspuns : \(2\). |
Acesta este numele pentru ecuațiile de forma în care necunoscutul este atât în exponent, cât și în baza puterii.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image018.png)
Puteți specifica un algoritm complet clar pentru rezolvarea unei ecuații de formă. Pentru a face acest lucru, trebuie să acordați atenție faptului că atunci când Oh) nu este egal cu zero, unu și minus unu, egalitatea de grade cu aceleași baze (fie ea pozitivă sau negativă) este posibilă numai dacă exponenții sunt egali, adică toate rădăcinile ecuației vor fi rădăcinile ecuației f(x) = g(x) Afirmația inversă nu este adevărată, când Oh)< 0 și valori fracționale f(x)Și g(x) expresii Oh) f(x) Și
Oh) g(x) își pierd sensul. Adică la trecerea de la la f(x) = g(x)(pot apărea pentru și rădăcini străine, care trebuie excluse prin verificarea cu ecuația originală. Și cazuri a = 0, a = 1, a = -1 trebuie luate în considerare separat.
Deci, pentru a rezolva complet ecuația, luăm în considerare cazurile:
a(x) = O f(x)Și g(x) vor fi numere pozitive, atunci aceasta este soluția. Altfel, nu
a(x) = 1. Rădăcinile acestei ecuații sunt și rădăcinile ecuației originale.
a(x) = -1. Dacă, pentru o valoare a lui x care satisface această ecuație, f(x)Și g(x) sunt numere întregi de aceeași paritate (fie ambele pare, fie ambele impare), atunci aceasta este soluția. Altfel, nu
Când și rezolvăm ecuația f(x)= g(x) iar prin substituirea rezultatelor obținute în ecuația originală tăiem rădăcinile străine.
Exemple de rezolvare a ecuațiilor de putere exponențială.
Exemplul nr. 1.
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image019.png)
1) x - 3 = 0, x = 3. deoarece 3 > 0 și 3 2 > 0, atunci x 1 = 3 este soluția.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Ambii indicatori sunt pari. Această soluție este x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 și x? ± 1. x = x 2, x = 0 sau x = 1. Pentru x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - această soluție este corectă: x 4 = 0. Pentru x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - această soluție este corectă x 5 = 1.
Răspuns: 0, 1, 2, 3, 4.
Exemplul nr. 2.
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image020.png)
Prin definiția unei rădăcini pătrate aritmetice: x - 1? 0, x ? 1.
1) x - 1 = 0 sau x = 1, = 0, 0 0 nu este o soluție.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 nu se încadrează în ODZ.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image022.png)
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image023.png)
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image024.png)
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/236262/image025.png)
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - nu există rădăcini.