Extinderea unui polinom de gradul 4. Cazuri complexe de factorizare a polinoamelor
Când se rezolvă ecuații și inegalități, este adesea necesar să se factorizeze un polinom al cărui grad este trei sau mai mare. În acest articol vom analiza cel mai simplu mod de a face acest lucru.
Ca de obicei, să apelăm la teorie pentru ajutor.
teorema lui Bezout afirmă că restul la împărțirea unui polinom la un binom este .
Dar ceea ce este important pentru noi nu este teorema în sine, ci corolar din aceasta:
Dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci polinomul este divizibil cu binom fără rest.
Ne confruntăm cu sarcina de a găsi cumva cel puțin o rădăcină a polinomului, apoi împărțind polinomul la , unde este rădăcina polinomului. Ca urmare, obținem un polinom al cărui grad este cu unul mai mic decât gradul celui original. Și apoi, dacă este necesar, puteți repeta procesul.
Această sarcină se împarte în două: cum să găsiți rădăcina unui polinom și cum să împărțiți un polinom la un binom.
Să aruncăm o privire mai atentă asupra acestor puncte.
1. Cum să găsiți rădăcina unui polinom.
Mai întâi, verificăm dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcini ale polinomului.
Următoarele fapte ne vor ajuta aici:
Dacă suma tuturor coeficienților unui polinom este zero, atunci numărul este rădăcina polinomului.
De exemplu, într-un polinom suma coeficienților este zero: . Este ușor să verificați care este rădăcina unui polinom.
Dacă suma coeficienților unui polinom la puteri pare este egală cu suma coeficienților la puteri impare, atunci numărul este rădăcina polinomului. Termenul liber este considerat un coeficient pentru un grad par, deoarece , a este un număr par.
De exemplu, într-un polinom suma coeficienților pentru puterile pare este: , iar suma coeficienților pentru puterile impare este: . Este ușor să verificați care este rădăcina unui polinom.
Dacă nici 1, nici -1 nu sunt rădăcini ale polinomului, atunci mergem mai departe.
Pentru un polinom redus de grad (adică un polinom în care coeficientul principal - coeficientul la - este egal cu unitatea), formula Vieta este valabilă:
Unde sunt rădăcinile polinomului.
Există și formule Vieta privind coeficienții rămași ai polinomului, dar ne interesează acesta.
Din această formulă Vieta rezultă că dacă rădăcinile unui polinom sunt numere întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este și un întreg.
Bazat pe acest lucru, trebuie să factorăm termenul liber al polinomului în factori și, secvenţial, de la cel mai mic la cel mai mare, să verificăm care dintre factori este rădăcina polinomului.
Luați în considerare, de exemplu, polinomul
Divizori ai termenului liber: ; ; ;
Suma tuturor coeficienților unui polinom este egală cu , prin urmare, numărul 1 nu este rădăcina polinomului.
Suma coeficienților pentru puteri pare:
Suma coeficienților pentru puteri impare:
Prin urmare, numărul -1 nu este, de asemenea, o rădăcină a polinomului.
Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului: prin urmare, numărul 2 este rădăcina polinomului. Aceasta înseamnă că, conform teoremei lui Bezout, polinomul este divizibil cu un binom fără rest.
2. Cum se împarte un polinom într-un binom.
Un polinom poate fi împărțit într-un binom printr-o coloană.
Împărțiți polinomul la un binom folosind o coloană:
Există o altă modalitate de a împărți un polinom la un binom - schema lui Horner.
Urmăriți acest videoclip pentru a înțelege cum să împărțiți un polinom cu un binom cu o coloană și folosind diagrama lui Horner.
Remarc că, dacă, atunci când împărțim pe o coloană, lipsește un anumit grad de necunoscut în polinomul original, scriem 0 în locul său - în același mod ca atunci când compilăm un tabel pentru schema lui Horner.
Deci, dacă trebuie să împărțim un polinom la un binom și ca rezultat al împărțirii obținem un polinom, atunci putem găsi coeficienții polinomului folosind schema lui Horner:
Putem folosi, de asemenea Schema Horner pentru a verifica dacă un anumit număr este rădăcina unui polinom: dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci restul la împărțirea polinomului la este egal cu zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al Diagrama lui Horner obținem 0.
Folosind schema lui Horner, „omorâm două păsări dintr-o singură piatră”: verificăm simultan dacă numărul este rădăcina unui polinom și împărțim acest polinom la un binom.
Exemplu. Rezolvați ecuația:
1. Să notăm divizorii termenului liber și să căutăm rădăcinile polinomului printre divizorii termenului liber.
Divizorii lui 24:
2. Să verificăm dacă numărul 1 este rădăcina polinomului.
Suma coeficienților unui polinom, prin urmare, numărul 1 este rădăcina polinomului.
3. Împărțiți polinomul original într-un binom folosind schema lui Horner.
A) Să notăm coeficienții polinomului original în primul rând al tabelului.
Întrucât termenul care îl conține lipsește, în coloana tabelului în care trebuie scris coeficientul scriem 0. În stânga scriem rădăcina găsită: numărul 1.
B) Completați primul rând al tabelului.
În ultima coloană, așa cum era de așteptat, am primit zero; am împărțit polinomul original la un binom fără rest. Coeficienții polinomului rezultat din împărțire sunt afișați cu albastru în al doilea rând al tabelului:
Este ușor să verificați că numerele 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului
B) Să continuăm masa. Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului:
Deci, gradul polinomului, care se obține ca urmare a împărțirii la unu, este mai mic decât gradul polinomului original, prin urmare, numărul de coeficienți și numărul de coloane sunt cu unul mai puțin.
În ultima coloană am obținut -40 - un număr care nu este egal cu zero, prin urmare, polinomul este divizibil cu un binom cu rest, iar numărul 2 nu este rădăcina polinomului.
C) Să verificăm dacă numărul -2 este rădăcina polinomului. Deoarece încercarea anterioară a eșuat, pentru a evita confuzia cu coeficienții, voi șterge linia corespunzătoare acestei încercări:
Grozav! Am primit zero ca rest, prin urmare, polinomul a fost împărțit într-un binom fără rest, prin urmare, numărul -2 este rădăcina polinomului. Coeficienții polinomului care se obțin prin împărțirea unui polinom la un binom sunt afișați cu verde în tabel.
Ca rezultat al împărțirii obținem un trinom pătratic , ale căror rădăcini pot fi găsite cu ușurință folosind teorema lui Vieta:
Deci, rădăcinile ecuației inițiale sunt:
{}
Răspuns: ( }
Pentru factorizare este necesară simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru a putea fi redus și mai mult. Expansiunea unui polinom are sens atunci când gradul său nu este mai mic de doi. Un polinom cu gradul I se numește liniar.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Articolul va acoperi toate conceptele de descompunere, fundamentele teoretice și metodele de factorizare a unui polinom.
Teorie
Teorema 1Când orice polinom cu gradul n, având forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, sunt reprezentate ca un produs cu un factor constant cu cel mai mare grad a n și n factori liniari (x - x i), i = 1, 2, ..., n, apoi P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , unde x i, i = 1, 2, …, n sunt rădăcinile polinomului.
Teorema este destinată rădăcinilor de tip complex x i, i = 1, 2, …, n și coeficienților complecși a k, k = 0, 1, 2, …, n. Aceasta este baza oricărei descompunere.
Când coeficienții de forma a k, k = 0, 1, 2, …, n sunt numere reale, atunci rădăcinile complexe vor apărea în perechi conjugate. De exemplu, rădăcinile x 1 și x 2 legate de un polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sunt considerate conjugate complexe, atunci celelalte rădăcini sunt reale, din care obținem că polinomul ia forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, unde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
cometariu
Rădăcinile unui polinom pot fi repetate. Să luăm în considerare demonstrarea teoremei algebrei, o consecință a teoremei lui Bezout.
Teorema fundamentală a algebrei
Teorema 2Orice polinom cu gradul n are cel puțin o rădăcină.
teorema lui Bezout
După împărțirea unui polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pe (x - s), atunci obținem restul, care este egal cu polinomul din punctul s, apoi obținem
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , unde Q n - 1 (x) este un polinom cu gradul n - 1.
Corolar al teoremei lui Bezout
Când rădăcina polinomului P n (x) este considerată s, atunci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Acest corolar este suficient atunci când este utilizat pentru a descrie soluția.
Factorizarea unui trinom pătratic
Un trinom pătrat de forma a x 2 + b x + c poate fi factorizat în factori liniari. atunci obținem că a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , unde x 1 și x 2 sunt rădăcini (complexe sau reale).
Aceasta arată că expansiunea în sine se reduce la rezolvarea ulterior a ecuației pătratice.
Exemplul 1
Factorizați trinomul pătratic.
Soluţie
Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea discriminantului folosind formula, apoi obținem D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. De aici avem asta
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Din aceasta obținem că 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Pentru a efectua verificarea, trebuie să deschideți parantezele. Apoi obținem o expresie de forma:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
După verificare, ajungem la expresia originală. Adică putem concluziona că descompunerea a fost efectuată corect.
Exemplul 2
Factorizați trinomul pătratic de forma 3 x 2 - 7 x - 11 .
Soluţie
Constatăm că este necesar să se calculeze ecuația pătratică rezultată de forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Pentru a găsi rădăcinile, trebuie să determinați valoarea discriminantului. Înțelegem asta
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Din aceasta obținem că 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Exemplul 3
Factorizați polinomul 2 x 2 + 1.
Soluţie
Acum trebuie să rezolvăm ecuația pătratică 2 x 2 + 1 = 0 și să îi găsim rădăcinile. Înțelegem asta
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Aceste rădăcini sunt numite conjugate complexe, ceea ce înseamnă că expansiunea în sine poate fi descrisă ca 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Exemplul 4
Descompuneți trinomul pătratic x 2 + 1 3 x + 1 .
Soluţie
Mai întâi trebuie să rezolvați o ecuație pătratică de forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
După ce au obținut rădăcinile, scriem
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
cometariu
Dacă valoarea discriminantă este negativă, atunci polinoamele vor rămâne polinoame de ordinul doi. De aici rezultă că nu le vom extinde în factori liniari.
Metode de factorizare a unui polinom de grad mai mare de doi
La descompunere, se presupune o metodă universală. Majoritatea cazurilor se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați valoarea rădăcinii x 1 și să reduceți gradul acesteia prin împărțirea la un polinom la 1 prin împărțirea la (x - x 1). Polinomul rezultat trebuie să găsească rădăcina x 2, iar procesul de căutare este ciclic până când obținem o expansiune completă.
Dacă rădăcina nu este găsită, atunci se folosesc alte metode de factorizare: grupare, termeni suplimentari. Acest subiect implică rezolvarea ecuațiilor cu puteri mai mari și coeficienți întregi.
Scoaterea factorului comun din paranteze
Luați în considerare cazul în care termenul liber este egal cu zero, atunci forma polinomului devine P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Se poate observa că rădăcina unui astfel de polinom va fi egală cu x 1 = 0, atunci polinomul poate fi reprezentat ca expresia P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Se consideră că această metodă elimină factorul comun din paranteze.
Exemplul 5
Factorizați polinomul de gradul al treilea 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Soluţie
Vedem că x 1 = 0 este rădăcina polinomului dat, apoi putem elimina x din parantezele întregii expresii. Primim:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Să trecem la găsirea rădăcinilor trinomului pătrat 4 x 2 + 8 x - 1. Să găsim discriminantul și rădăcinile:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Apoi rezultă că
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Pentru început, să luăm în considerare o metodă de descompunere care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, unde coeficientul de cel mai înalt grad este 1.
Când un polinom are rădăcini întregi, atunci ele sunt considerate divizori ai termenului liber.
Exemplul 6
Descompuneți expresia f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Soluţie
Să ne gândim dacă există rădăcini complete. Este necesar să scrieți divizorii numărului - 18. Obținem că ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Rezultă că acest polinom are rădăcini întregi. Puteți verifica folosind schema lui Horner. Este foarte convenabil și vă permite să obțineți rapid coeficienții de expansiune ai unui polinom:
Rezultă că x = 2 și x = - 3 sunt rădăcinile polinomului original, care poate fi reprezentat ca produs de forma:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Se trece la extinderea unui trinom pătratic de forma x 2 + 2 x + 3.
Deoarece discriminantul este negativ, înseamnă că nu există rădăcini reale.
Răspuns: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
cometariu
Este permisă folosirea selecției rădăcinilor și împărțirea unui polinom cu un polinom în locul schemei lui Horner. Să trecem la considerarea expansiunii unui polinom care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dintre care cel mai mare este egal cu unu.
Acest caz apare pentru fracțiile raționale.
Exemplul 7
Factorizează f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Soluţie
Este necesar să înlocuiți variabila y = 2 x, ar trebui să treceți la un polinom cu coeficienți egali cu 1 la cel mai înalt grad. Trebuie să începeți prin înmulțirea expresiei cu 4. Înțelegem asta
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Când funcția rezultată de forma g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 are rădăcini întregi, atunci locația lor este printre divizorii termenului liber. Intrarea va arăta astfel:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Să trecem la calcularea funcției g (y) în aceste puncte pentru a obține zero ca rezultat. Înțelegem asta
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Constatăm că y = - 5 este rădăcina unei ecuații de forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ceea ce înseamnă că x = y 2 = - 5 2 este rădăcina funcției inițiale.
Exemplul 8
Este necesar să împărțiți cu o coloană 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 cu x + 5 2.
Soluţie
Să o scriem și să obținem:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Verificarea divizorilor va dura mult timp, deci este mai profitabilă factorizarea trinomului pătratic rezultat de forma x 2 + 7 x + 3. Echivalând cu zero găsim discriminantul.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Rezultă că
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Tehnici artificiale pentru factorizarea unui polinom
Rădăcinile raționale nu sunt inerente în toate polinoamele. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați metode speciale pentru a găsi factori. Dar nu toate polinoamele pot fi extinse sau reprezentate ca un produs.
Metoda de grupare
Există cazuri în care puteți grupa termenii unui polinom pentru a găsi un factor comun și a-l scoate din paranteze.
Exemplul 9
Factorizați polinomul x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Soluţie
Deoarece coeficienții sunt numere întregi, atunci rădăcinile pot fi, probabil, și numere întregi. Pentru a verifica, luați valorile 1, - 1, 2 și - 2 pentru a calcula valoarea polinomului în aceste puncte. Înțelegem asta
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Acest lucru arată că nu există rădăcini; este necesar să se folosească o altă metodă de expansiune și soluție.
Este necesar să grupați:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
După gruparea polinomului inițial, trebuie să îl reprezentați ca produsul a două trinoame pătrate. Pentru a face acest lucru trebuie să factorizăm. înţelegem asta
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
cometariu
Simplitatea grupării nu înseamnă că alegerea termenilor este destul de ușoară. Nu există o metodă specifică de rezolvare, deci este necesar să folosiți teoreme și reguli speciale.
Exemplul 10
Factorizați polinomul x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Soluţie
Polinomul dat nu are rădăcini întregi. Termenii trebuie grupați. Înțelegem asta
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
După factorizare obținem asta
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Folosind formule de înmulțire abreviate și binomul lui Newton pentru a factoriza un polinom
Aspectul adesea nu indică întotdeauna clar ce metodă trebuie utilizată în timpul descompunerii. După ce transformările au fost făcute, puteți construi o linie formată din triunghiul lui Pascal, altfel se numesc binomul lui Newton.
Exemplul 11
Factorizați polinomul x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Soluţie
Este necesar să convertiți expresia în formă
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Secvența de coeficienți ai sumei din paranteze este indicată prin expresia x + 1 4 .
Aceasta înseamnă că avem x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
După aplicarea diferenței de pătrate, obținem
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Luați în considerare expresia care se află în a doua paranteză. Este clar că nu există cavaleri acolo, așa că ar trebui să aplicăm din nou formula diferenței de pătrate. Obținem o expresie a formei
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Exemplul 12
Factorizează x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Soluţie
Să începem să transformăm expresia. Înțelegem asta
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi. Primim:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
O metodă pentru înlocuirea unei variabile la factorizarea unui polinom
La înlocuirea unei variabile, gradul este redus și polinomul este factorizat.
Exemplul 13
Factorizați polinomul de forma x 6 + 5 x 3 + 6 .
Soluţie
Conform condiției, este clar că este necesar să se facă înlocuirea y = x 3. Primim:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Rădăcinile ecuației pătratice rezultate sunt y = - 2 și y = - 3, atunci
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Obținem expresii de forma:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Adică am obținut descompunerea dorită.
Cazurile discutate mai sus vor ajuta la luarea în considerare și factorizarea unui polinom în moduri diferite.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Factorizarea polinoamelor este o transformare de identitate, în urma căreia un polinom este transformat în produsul mai multor factori - polinoame sau monomii.
Există mai multe moduri de factorizare a polinoamelor.
Metoda 1. Scoaterea factorului comun din paranteze.
Această transformare se bazează pe legea distributivă a înmulțirii: ac + bc = c(a + b). Esența transformării este de a izola factorul comun din cele două componente luate în considerare și de a-l „scoate” dintre paranteze.
Să factorizăm polinomul 28x 3 – 35x 4.
Soluţie.
1. Găsiți un divizor comun pentru elementele 28x3 și 35x4. Pentru 28 și 35 va fi 7; pentru x 3 și x 4 – x 3. Cu alte cuvinte, factorul nostru comun este 7x 3.
2. Reprezentăm fiecare dintre elemente ca un produs de factori, dintre care unul
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Scoatem factorul comun din paranteze
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Metoda 2. Utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate. „Maiestria” folosirii acestei metode este de a observa una dintre formulele de multiplicare abreviate din expresie.
Să factorizăm polinomul x 6 – 1.
Soluţie.
1. Putem aplica formula diferenței de pătrate acestei expresii. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă x 6 ca (x 3) 2 și 1 ca 1 2, adică. 1. Expresia va lua forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Putem aplica formula pentru suma și diferența de cuburi la expresia rezultată:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Asa de,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Gruparea. Metoda grupării este de a combina componentele unui polinom în așa fel încât să fie ușor de efectuat operații asupra lor (adunare, scădere, scădere a unui factor comun).
Să factorizăm polinomul x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Soluţie.
1. Să grupăm componentele astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. În expresia rezultată, scoatem factorii comuni din paranteze: x 2 în primul caz și 5 în al doilea.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Luăm factorul comun x – 3 din paranteze și obținem:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Asa de,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).
Să asigurăm materialul.
Factorizați polinomul a 2 – 7ab + 12b 2 .
Soluţie.
1. Să reprezentăm monomul 7ab ca sumă 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.
Să deschidem parantezele și să obținem:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Să grupăm componentele polinomului astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea. Primim:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Să luăm factorii comuni din paranteze:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Să luăm factorul comun (a – 3b) din paranteze:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Asa de,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
Orice polinom algebric de gradul n poate fi reprezentat ca un produs al factorilor n-liniari de forma și un număr constant, care este coeficienții polinomului la gradul cel mai înalt x, adică.
Unde - sunt rădăcinile polinomului.
Rădăcina unui polinom este numărul (real sau complex) care face ca polinomul să dispară. Rădăcinile unui polinom pot fi fie rădăcini reale, fie rădăcini complexe conjugate, apoi polinomul poate fi reprezentat sub următoarea formă:
Să luăm în considerare metodele de descompunere a polinoamelor de gradul „n” în produsul factorilor de gradul I și II.
Metoda numărul 1.Metoda coeficienților nedeterminați.
Coeficienții unei astfel de expresii transformate sunt determinați prin metoda coeficienților nedeterminați. Esența metodei este că tipul de factori în care este descompus un anumit polinom este cunoscut în prealabil. Când se utilizează metoda coeficienților incerti, următoarele afirmații sunt adevărate:
P.1. Două polinoame sunt identic egale dacă coeficienții lor sunt egali pentru aceleași puteri ale lui x.
P.2. Orice polinom de gradul al treilea este descompus în produsul factorilor liniari și pătratici.
P.3. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi descompus în produsul a două polinoame de gradul doi.
Exemplul 1.1. Este necesară factorizarea expresiei cubice:
P.1. În conformitate cu afirmațiile acceptate, egalitatea identică este valabilă pentru expresia cubică:
P.2. Partea dreaptă a expresiei poate fi reprezentată ca termeni după cum urmează:
P.3. Compunem un sistem de ecuații din condiția de egalitate a coeficienților la puterile corespunzătoare expresiei cubice.
Acest sistem de ecuații poate fi rezolvat prin selectarea coeficienților (dacă este o problemă academică simplă) sau pot fi folosite metode de rezolvare a sistemelor neliniare de ecuații. Rezolvând acest sistem de ecuații, constatăm că coeficienții nesiguri sunt determinați după cum urmează:
Astfel, expresia originală este factorizată în următoarea formă:
Această metodă poate fi folosită atât în calcule analitice, cât și în programarea computerelor pentru a automatiza procesul de găsire a rădăcinii unei ecuații.
Metoda numărul 2.formule Vieta
Formulele lui Vieta sunt formule care leagă coeficienții ecuațiilor algebrice de gradul n și rădăcinile sale. Aceste formule au fost prezentate implicit în lucrările matematicianului francez François Vieta (1540 - 1603). Datorită faptului că Vieth a considerat doar rădăcini reale pozitive, el nu a avut, prin urmare, posibilitatea de a scrie aceste formule într-o formă generală explicită.
Pentru orice polinom algebric de grad n care are n rădăcini reale,
Sunt valabile următoarele relații care leagă rădăcinile unui polinom cu coeficienții săi:
Formulele lui Vieta sunt convenabile de utilizat pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinilor unui polinom, precum și pentru a construi un polinom din rădăcini date.
Exemplul 2.1. Să luăm în considerare modul în care rădăcinile unui polinom sunt legate de coeficienții săi folosind exemplul unei ecuații cubice
În conformitate cu formulele lui Vieta, relația dintre rădăcinile unui polinom și coeficienții săi are următoarea formă:
Relații similare se pot face pentru orice polinom de gradul n.
Metoda nr. 3. Factorizarea unei ecuații pătratice cu rădăcini raționale
Din ultima formulă a lui Vieta rezultă că rădăcinile unui polinom sunt divizori ai termenului său liber și ai coeficientului de conducere. În acest sens, dacă enunțul problemei specifică un polinom de grad n cu coeficienți întregi
atunci acest polinom are o rădăcină rațională (fracție ireductibilă), unde p este divizorul termenului liber și q este divizorul coeficientului conducător. În acest caz, un polinom de grad n poate fi reprezentat ca (teorema lui Bezout):
Un polinom, al cărui grad este cu 1 mai mic decât gradul polinomului inițial, este determinat prin împărțirea unui polinom de grad n binom, de exemplu, folosind schema lui Horner sau în cel mai simplu mod - „coloană”.
Exemplul 3.1. Este necesar să factorizezi polinomul
P.1. Datorită faptului că coeficientul celui mai mare termen este egal cu unu, rădăcinile raționale ale acestui polinom sunt divizori ai termenului liber al expresiei, i.e. pot fi numere întregi . Înlocuim fiecare dintre numerele prezentate în expresia originală și aflăm că rădăcina polinomului prezentat este egală cu .
Să împărțim polinomul original la un binom:
Să folosim schema lui Horner
Coeficienții polinomului original sunt stabiliți în linia de sus, în timp ce prima celulă a liniei de sus rămâne goală.
În prima celulă a celei de-a doua rânduri, se scrie rădăcina găsită (în exemplul luat în considerare, se scrie numărul „2”), iar următoarele valori din celule sunt calculate într-un anumit mod și sunt coeficienții a polinomului, care se obține prin împărțirea polinomului la binom. Coeficienții necunoscuți se determină după cum urmează:
Valoarea din celula corespunzătoare din primul rând este transferată în a doua celulă a celui de-al doilea rând (în exemplul luat în considerare, este scris numărul „1”).
A treia celulă din al doilea rând conține valoarea produsului primei celule și a doua celulă a celui de-al doilea rând plus valoarea din a treia celulă a primului rând (în exemplul luat în considerare 2 ∙ 1 -5 = -3 ).
A patra celulă din al doilea rând conține valoarea produsului primei celule și a treia celulă a celui de-al doilea rând plus valoarea din a patra celulă a primului rând (în exemplul luat în considerare 2 ∙ (-3) +7 = 1).
Astfel, polinomul original este factorizat:
Metoda numărul 4.Folosind formule de înmulțire prescurtate
Formulele de înmulțire prescurtate sunt folosite pentru a simplifica calculele, precum și pentru factorizarea polinoamelor. Formulele de înmulțire prescurtate vă permit să simplificați rezolvarea problemelor individuale.
Formule folosite pentru factorizare
În această lecție, vom aminti toate metodele studiate anterior de factorizare a unui polinom și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestora, în plus, vom studia o nouă metodă - metoda de a izola un pătrat complet și vom învăța cum să-l folosim în rezolvarea diferitelor probleme. .
Subiect:Factorizarea polinoamelor
Lecţie:Factorizarea polinoamelor. Metoda de selectare a unui pătrat complet. Combinație de metode
Să ne amintim metodele de bază de factorizare a unui polinom care au fost studiate mai devreme:
Metoda de a scoate un factor comun dintre paranteze, adică un factor care este prezent în toți termenii polinomului. Să ne uităm la un exemplu:
Amintiți-vă că un monom este produsul dintre puteri și numere. În exemplul nostru, ambii termeni au unele elemente comune, identice.
Deci, să scoatem factorul comun din paranteze:
;
Să vă reamintim că înmulțind factorul scos cu o paranteză, puteți verifica corectitudinea factorului scos.
Metoda de grupare. Nu este întotdeauna posibil să se extragă un factor comun într-un polinom. În acest caz, trebuie să-i împărțiți membrii în grupuri, astfel încât în fiecare grup să puteți scoate un factor comun și să încercați să-l descompuneți astfel încât, după eliminarea factorilor din grupuri, să apară un factor comun în întreaga expresie și puteți continua descompunerea. Să ne uităm la un exemplu:
Să grupăm primul termen cu al patrulea, al doilea cu al cincilea și al treilea cu al șaselea:
Să scoatem factorii comuni din grupuri:
Expresia are acum un factor comun. Hai să-l scoatem:
Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate. Să ne uităm la un exemplu:
;
Să scriem expresia în detaliu:
Evident, avem în față formula diferenței pătrate, deoarece este suma pătratelor a două expresii și din ea se scade produsul lor dublu. Să folosim formula:
Astăzi vom învăța o altă metodă - metoda de selectare a unui pătrat complet. Se bazează pe formulele pătratului sumei și pătratului diferenței. Să le reamintim:
Formula pentru pătratul sumei (diferența);
Particularitatea acestor formule este că conțin pătratele a două expresii și produsul lor dublu. Să ne uităm la un exemplu:
Să notăm expresia:
Deci, prima expresie este , iar a doua este .
Pentru a crea o formulă pentru pătratul unei sume sau diferențe, nu este suficient de două ori produsul expresiilor. Trebuie adăugat și scăzut:
Să completăm pătratul sumei:
Să transformăm expresia rezultată:
Să aplicăm formula pentru diferența de pătrate, reamintim că diferența de pătrate a două expresii este produsul și suma diferenței lor:
Deci, această metodă constă, în primul rând, în identificarea expresiilor a și b care sunt la pătrat, adică în determinarea care expresii sunt pătrate în acest exemplu. După aceasta, trebuie să verificați prezența unui produs dublu și, dacă nu este acolo, adăugați și scădeți, acest lucru nu va schimba sensul exemplului, dar polinomul poate fi factorizat folosind formulele pentru pătratul lui. suma sau diferența și diferența de pătrate, dacă este posibil.
Să trecem la rezolvarea exemplelor.
Exemplul 1 - factorizați:
Să găsim expresii care sunt la pătrat:
Să scriem care ar trebui să fie produsul lor dublu:
Să adunăm și să scădem dublu produs:
Să completăm pătratul sumei și să dăm altele similare:
Să o scriem folosind formula diferenței de pătrate:
Exemplul 2 - rezolvați ecuația:
;
În partea stângă a ecuației este un trinom. Trebuie să o ponderi în factori. Folosim formula diferenței pătrate:
Avem pătratul primei expresii și produsul dublu, lipsește pătratul celei de-a doua expresii, să adunăm și să scădem:
Să îndoim un pătrat complet și să dăm termeni similari:
Să aplicăm formula diferenței de pătrate:
Deci avem ecuația
Știm că un produs este egal cu zero doar dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Să creăm următoarele ecuații pe baza acestui lucru:
Să rezolvăm prima ecuație:
Să rezolvăm a doua ecuație:
Răspuns: sau
;
Procedăm în mod similar cu exemplul anterior - selectați pătratul diferenței.