Un exemplu de calcul al unei integrale definite folosind metoda trapezoidală. Cum se calculează integrala definită folosind formula trapezoidală și metoda lui Simpson? Calculați integrala exemplului de formulă trapezoidală
Sarcini educaționale:
- Scopul didactic. Introduceți elevii în metodele de calcul aproximativ al unei integrale definite.
- Scop educativ. Tema acestei lecții are o mare importanță practică și educațională. Cel mai simplu mod de a aborda ideea de integrare numerică este să te bazezi pe definiția unei integrale definite ca limită a sumelor integrale. De exemplu, dacă luăm orice partiție suficient de mică a segmentului [ A; b] și construiți o sumă integrală pentru aceasta, atunci valoarea acesteia poate fi luată aproximativ ca valoare a integralei corespunzătoare. În același timp, este important să efectuați rapid și corect calculele folosind tehnologia computerizată.
Cunoștințe și abilități de bază. Să înțeleagă metodele aproximative pentru calcularea unei integrale definite folosind formulele dreptunghiurilor și trapezelor.
Furnizarea de cursuri
- Înmânează. Carduri-sarcini pentru munca independentă.
- OTS. Multi-proiector, PC, laptop-uri.
- Echipamente OTS. Prezentări: „Semnificația geometrică a derivatelor”, „Metoda dreptunghiurilor”, „Metoda trapezelor”. (Prezentarile pot fi obtinute de la autor).
- Echipamente de calcul: PC, microcalculatoare.
- Instrucțiuni
Tipul de lecție. Practic integrat.
Motivarea activității cognitive a elevilor. Foarte des este necesar să se calculeze integrale definite pentru care este imposibil să se găsească o antiderivată. În acest caz, se folosesc metode aproximative pentru calcularea integralelor definite. Uneori, metoda aproximativă este folosită și pentru integralele „luate”, dacă calculul folosind formula Newton-Leibniz nu este rațional. Ideea calculului aproximativ al integralei este că curba este înlocuită cu o nouă curbă care este suficient de „aproape” de ea. În funcție de alegerea noii curbe, poate fi utilizată una sau alta formulă de integrare aproximativă.
Secvența lecției.
- Formula dreptunghiulară.
- Formula trapezoidală.
- Rezolvarea exercițiilor.
Planul lecției
- Repetarea cunoștințelor de bază ale elevilor.
Repetați cu elevii: formulele de bază ale integrării, esența metodelor de integrare studiate, semnificația geometrică a unei integrale determinate.
- Făcând lucrări practice.
Rezolvarea multor probleme tehnice se rezumă la calcularea anumitor integrale, a căror exprimare exactă este complexă, necesită calcule lungi și nu este întotdeauna justificată în practică. Aici valoarea lor aproximativă este destul de suficientă.
De exemplu, trebuie să calculați aria delimitată de o dreaptă a cărei ecuație este necunoscută. În acest caz, puteți înlocui această linie cu una mai simplă, a cărei ecuație este cunoscută. Aria trapezului curbiliniu obținut în acest fel este luată ca valoare aproximativă a integralei dorite.
Cea mai simplă metodă aproximativă este metoda dreptunghiului. Geometric, ideea metodei de calcul a integralei definite folosind formula dreptunghiului este aceea că aria unui trapez curbiliniu ABCD se înlocuiește cu suma ariilor dreptunghiurilor, a căror latură este egală cu , iar cealaltă - .
Dacă însumăm ariile dreptunghiurilor care arată aria unui trapez curbat cu un dezavantaj [Figura 1], obținem formula:
[Imaginea 1]
atunci obținem formula:
Dacă în exces
[Figura 2],
Acea
Valori y 0, y 1,..., y n găsite din egalităţi , k = 0, 1..., n.Aceste formule se numesc formule dreptunghiulareși dați un rezultat aproximativ. Cu crestere n rezultatul devine mai precis.
Deci, pentru a găsi valoarea aproximativă a integralei, aveți nevoie de:
Pentru a găsi eroarea de calcul, trebuie să utilizați formulele:
Exemplul 1. Calculați folosind formula dreptunghiului. Aflați erorile absolute și relative ale calculelor.
Să împărțim segmentul [ A, b] în mai multe (de exemplu, 6) părți egale. Apoi a = 0, b = 3 ,
x k = a + k x
X 0 = 2 + 0
= 2
X 1 = 2 + 1
= 2,5
X 2 = 2 + 2
=3
X 3 = 2 + 3
= 3
X 4 = 2 + 4
= 4
X 5 = 2 + 5
= 4,5
f(X 0) = 2 2 = 4
f
(X
1)
= 2
,5
2
=
6,25
f
(X
2)
=
3 2
=
9
f
(X
3)
=
3,5 2
=
12,25
f
(X
4)
=
4 2
=
16
f
(X
5)
=
4,5 2
=
20,25.
X | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
la | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
Conform formulei (1):
Pentru a calcula eroarea relativă a calculelor, este necesar să găsiți valoarea exactă a integralei:
Calculele au durat mult și am ajuns la o rotunjire destul de grosolană. Pentru a calcula această integrală cu o aproximare mai mică, puteți utiliza capacitățile tehnice ale unui computer.
Pentru a găsi integrala definită folosind metoda dreptunghiului, trebuie să introduceți valorile integrandului f(x) la foaia de lucru Excel în interval X cu un pas dat X= 0,1.
- Realizarea unui tabel de date (XȘi f(x)). X f(x). Argument, iar în celula B1 - cuvântul Funcţie2 2,1 ). Apoi, selectând blocul de celule A2:A3, folosind completarea automată obținem toate valorile argumentului (tragem colțul din dreapta jos al blocului în celula A32, la valoarea x=5).
- În continuare, introducem valorile integrandului. În celula B2 trebuie să scrieți ecuația acesteia. Pentru a face acest lucru, plasați cursorul tabelului în celula B2 și introduceți formula de la tastatură =A2^2(cu tastatură engleză). Apăsați tasta introduce. În celula B2 apare 4
. Acum trebuie să copiați funcția din celula B2. Folosind completarea automată, copiați această formulă în intervalul B2:B32.
Rezultatul ar trebui să fie un tabel de date pentru găsirea integralei. - Acum, în celula B33 poate fi găsită valoarea aproximativă a integralei. Pentru a face acest lucru, introduceți formula în celula B33 = 0,1*, apoi apelați Expertul pentru funcții (făcând clic pe butonul Inserare funcție din bara de instrumente (f(x)). În caseta de dialog care apare, Function Wizard - pasul 1 din 2, din stânga în câmpul Categorie, selectați Matematică. În partea dreaptă a câmpului Funcție se află funcția Sum. apasa butonul BINE. Apare caseta de dialog Sume. Folosind mouse-ul, introduceți intervalul de însumare B2:B31 în câmpul de lucru. apasa butonul BINE.În celula B33, o valoare aproximativă a integralei dorite apare cu un dezavantaj ( 37,955 ) .
Compararea valorii aproximative obținute cu valoarea adevărată a integralei ( 39 ), se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiului în acest caz este egală cu
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
Exemplul 2. Folosind metoda dreptunghiului, calculați cu un pas dat X = 0,05.
Comparând valoarea aproximativă obținută cu valoarea adevărată a integralei , se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiului în acest caz este egală cu
Metoda trapezoidală oferă de obicei o valoare integrală mai precisă decât metoda dreptunghiulară. Trapezul curbat este înlocuit cu suma mai multor trapeze și valoarea aproximativă a integralei definite se găsește ca suma ariilor trapezelor.
[Figura 3]
Exemplul 3. Găsiți folosind metoda trapezoidală în pași X = 0,1.
- Deschideți o foaie de lucru goală.
- Realizarea unui tabel de date (XȘi f(x)). Fie prima coloană să fie valorile X, iar al doilea cu indicatorii corespunzători f(x). Pentru a face acest lucru, introduceți cuvântul în celula A1 Argument, iar în celula B1 - cuvântul Funcţie. Prima valoare a argumentului este introdusă în celula A2 - marginea din stânga a intervalului ( 0 ). A doua valoare a argumentului este introdusă în celula A3 - limita din stânga a intervalului plus pasul de construcție ( 0,1 ). Apoi, selectând blocul de celule A2:A3, utilizând completarea automată obținem toate valorile argumentului (tragem colțul din dreapta jos al blocului în celula A33, la valoarea x=3,1).
- În continuare, introducem valorile integrandului. În celula B2 trebuie să scrieți ecuația acesteia (în exemplul sinusului). Pentru a face acest lucru, cursorul tabelului trebuie plasat în celula B2. Aici ar trebui să existe o valoare sinus corespunzătoare valorii argumentului din celula A2. Pentru a obține valoarea sinusului, vom folosi o funcție specială: faceți clic pe butonul Insert Function din bara de instrumente f(x). În caseta de dialog care apare, Function Wizard - pasul 1 din 2, din stânga în câmpul Categorie, selectați Matematică. În dreapta în câmpul Funcție - funcție PĂCAT. apasa butonul BINE. Apare o casetă de dialog PĂCAT. Prin plasarea cursorului mouse-ului peste câmpul gri al ferestrei, cu butonul din stânga apăsat, mutați câmpul la dreapta pentru a deschide coloana de date ( A). Indicăm valoarea argumentului sinus făcând clic pe celula A2. apasa butonul BINE.În celula B2 apare un 0. Acum trebuie să copiați funcția din celula B2. Folosind completarea automată, copiați această formulă în intervalul B2:B33. Rezultatul ar trebui să fie un tabel de date pentru găsirea integralei.
- Acum, în celula B34, valoarea aproximativă a integralei poate fi găsită folosind metoda trapezoidală. Pentru a face acest lucru, introduceți formula în celula B34 = 0,1*((B2+B33)/2+, apoi apelați Expertul pentru funcții (făcând clic pe butonul Inserare funcție din bara de instrumente (f(x)). În caseta de dialog care apare, Function Wizard - pasul 1 din 2, din stânga în câmpul Categorie, selectați Matematică. În partea dreaptă a câmpului Funcție se află funcția Sum. apasa butonul BINE. Apare caseta de dialog Sume. Introduceți intervalul de însumare B3:B32 în câmpul de lucru cu mouse-ul. apasa butonul Bineîncă o dată BINE.În celula B34, o valoare aproximativă a integralei dorite apare cu un dezavantaj ( 1,997 ) .
Comparând valoarea aproximativă obținută cu valoarea adevărată a integralei, se poate observa că eroarea de aproximare a metodei dreptunghiului în acest caz este destul de acceptabilă pentru practică.
- Rezolvarea exercițiilor.
Să luăm din nou o partiție a segmentului în părți , . Să înlocuim aproximativ aria de sub grafic care se află deasupra intervalului de partiție cu aria trapezului, ale cărui baze paralele sunt segmentele care specifică valorile funcției la sfârșitul intervalului, adică și (vezi figura).
Atunci aria unui astfel de trapez este, evident, egală cu
Însumând toate zonele, obținem cuadratura formula trapezoidala:
Aceasta este aceeași formulă care a fost obținută prin combinarea formulelor dreptunghiurilor din stânga și din dreapta, în care am notat partea dreaptă cu .
Rețineți că atunci când calculați aria fiecărui trapez următor, este suficient să calculați valoarea funcției doar într-un punct nou - la capătul din dreapta al următorului interval, deoarece punctul era capătul drept al segmentului anterior și valoarea în acest punct a fost deja calculată la găsirea ariei trapezului anterior.
Dacă toate segmentele partiției sunt alese să aibă aceeași lungime, atunci formula trapezoidală ia forma
Toate valorile funcției, cu excepția și, apar în această formulă de două ori. Prin urmare, combinând termeni egali, putem scrie formula trapezoidală sub formă
Fie ca funcția să aibă o derivată a doua care menține semnul pe interval. După cum se vede cu ușurință din figura anterioară, natura erorii în această formulă de cuadratură este următoarea: dacă , adică dacă graficul este convex în sus, atunci și, prin urmare, ; dacă graficul este convex în jos, atunci .
Dacă comparăm acest lucru cu valorile de eroare ale formulei dreptunghiului central studiate mai sus, vedem că pentru funcțiile a căror derivată a doua își păstrează semnul pe segmentul de integrare, semnele erorilor și sunt opuse. Există dorința de a combina formula trapezelor și formula dreptunghiurilor centrale, astfel încât aceste erori să fie compensate cât mai mult posibil. Pentru a înțelege ce combinație de formule trebuie luată, trebuie să aflăm ce amploare au aceste erori și, în funcție de alegere Etapa. Aceste estimări de eroare au, de asemenea, semnificație independentă, deoarece fac posibilă aflarea preciziei valorii aproximative a integralei obținute prin aplicarea formulei de cuadratura corespunzătoare.
Metoda Monte Carlo pentru calcularea integralelor unidimensionale nu este de obicei utilizată, deoarece formulele în cuadratura sunt mai convenabile pentru a obține o precizie ridicată. Această metodă se dovedește a fi mai eficientă atunci când se calculează mai multe integrale, când formulele de cubatură sunt prea greoaie și necesită o cantitate mare de calcule pentru a obține o mică eroare.
Când se utilizează formule de cuadratură sau cubatură, numărul de operații crește rapid odată cu creșterea dimensiunii integralei. De exemplu, dacă pentru a calcula o integrală unidimensională folosind metoda trapezoidală cu o precizie dată, este necesar să se calculeze o sumă a ordinului N termeni, apoi pentru a calcula integrala dublă folosind aceeași metodă este necesar să se adauge aproximativ N 2 termeni, iar pentru o integrală triplă numărul de termeni este de aproximativ N 3 .
Numărul de teste N necesare pentru a atinge o precizie dată ε valoare aproximativă, în metoda Monte Carlo există o valoare de ordinul și nu depinde de dimensiunea integralei .
Se aplică următorul criteriu de alegere între formula de cubatură R de ordinul preciziei și metoda Monte Carlo pentru calcule cu precizie ε integrală multiplă a funcției m variabile:
1) dacă numărul de dimensiuni este m < 2R, este mai bine să folosiți formule de cubatură sau cuadratura;
2) dacă m > 2R – Metoda Monte Carlo.
De exemplu, dacă R= 1, este mai profitabil să se calculeze integrale triple folosind metoda Monte Carlo și integrale unidimensionale folosind formule de cuadratura.
Dacă R= 2, este mai bine să calculați integralele cinci-dimensionale folosind metoda Monte Carlo și integralele unidimensionale, duble și triple folosind formule de cuadratura sau cubatură.
Să luăm în considerare formule specifice ale metodei Monte Carlo pentru calcularea integralelor multiple, obținute în modul în care a fost folosit pentru a deriva formula (9.7).
Să presupunem că trebuie să calculăm integrala dublă
Să conducem o serie de N teste punctuale aleatorii ( x i, y eu), Unde x i A, b],A y eu distribuit uniform pe segment [ Cu, d]. Să calculăm integrala (9.9) folosind formula
Pentru integrala triplă, obținem în mod similar formula
Unde x i distribuit uniform pe segment [ A, b], y eu– pe segmentul [ Cu, d],A z i– pe segmentul [ R, q]; N– numărul de teste.
Pentru m-formula integrală multiplă a metodei Monte Carlo are forma
Astăzi ne vom familiariza cu o altă metodă de integrare numerică, metoda trapezoidală. Cu ajutorul lui, vom calcula integrale definite cu un anumit grad de precizie. În articol vom descrie esența metodei trapezului, vom analiza modul în care este derivată formula, vom compara metoda trapezului cu metoda dreptunghiului și vom scrie o estimare a erorii absolute a metodei. Vom ilustra fiecare secțiune cu exemple pentru o înțelegere mai profundă a materialului.
Să presupunem că trebuie să calculăm aproximativ integrala definită ∫ a b f (x) d x , al cărei integrand y = f (x) este continuu pe intervalul [ a ; b ] . Pentru a face acest lucru, împărțiți segmentul [a; b ] în mai multe intervale egale de lungime h cu punctele a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
Să găsim pasul de partiție: h = b - a n. Să determinăm nodurile din egalitatea x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n.
Pe segmentele elementare considerăm funcţia integrand x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . , n.
Pe măsură ce n crește la infinit, reducem toate cazurile la cele mai simple patru opțiuni:
Să selectăm segmentele x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n. Să înlocuim funcția y = f (x) pe fiecare dintre grafice cu un segment de dreaptă care trece prin punctele cu coordonatele x i - 1 ; f x i - 1 și x i ; f x i . Să le marchem cu albastru în imagini.
Să luăm expresia f (x i - 1) + f (x i) 2 · h ca valoare aproximativă a integralei ∫ x i - 1 x i f (x) d x. Acestea. să luăm ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .
Să vedem de ce metoda de integrare numerică pe care o studiem se numește metoda trapezoidală. Pentru a face acest lucru, trebuie să aflăm ce înseamnă egalitatea aproximativă scrisă din punct de vedere geometric.
Pentru a calcula aria unui trapez, este necesar să înmulțiți jumătate din sumele bazelor sale cu înălțimea sa. În primul caz, aria unui trapez curbat este aproximativ egală cu un trapez cu baze f (x i - 1), f (x i) înălțimea h. În al patrulea dintre cazurile pe care le luăm în considerare, integrala dată ∫ x i - 1 x f (x) d x este aproximativ egală cu aria trapezului cu baze - f (x i - 1), - f (x i) și înălțime h, care trebuie luat cu semnul „-”. Pentru a calcula valoarea aproximativă a integralei definite ∫ x i - 1 x i f (x) d x în al doilea și al treilea dintre cazurile luate în considerare, trebuie să găsim diferența în zonele regiunilor roșii și albastre, pe care le-am marcat cu haşurarea în figura de mai jos.
Să rezumam. Esența metodei trapezoidale este următoarea: putem reprezenta o integrală definită ∫ a b f (x) d x ca sumă de integrale de forma ∫ x i - 1 x i f (x) d x pe fiecare segment elementar și în înlocuirea ulterioară aproximativă ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.
Formula metodei trapezoid
Să ne amintim a cincea proprietate a integralei definite: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Pentru a obține formula metodei trapezoidale, este necesar să se înlocuiască valorile lor aproximative în locul integralelor ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Definiția 1
Formula metodei trapezoidale:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Estimarea erorii absolute a metodei trapezoidale
Să estimăm eroarea absolută a metodei trapezoidale după cum urmează:
Definiția 2
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2
O ilustrare grafică a metodei trapezoidale este prezentată în figură:
Exemple de calcul
Să ne uităm la exemple de utilizare a metodei trapezoidale pentru calculul aproximativ al integralelor definite. Vom acorda o atenție deosebită două tipuri de sarcini:
- calculul unei integrale definite prin metoda trapezoidală pentru un număr de partiție dat al unui segment n;
- găsirea unei valori aproximative a unei integrale definite cu o precizie specificată.
Pentru un n dat, toate calculele intermediare trebuie efectuate cu un grad suficient de mare de precizie. Precizia calculelor ar trebui să fie mai mare, cu cât n este mai mare.
Dacă avem o precizie dată în calcularea unei anumite integrale, atunci toate calculele intermediare trebuie efectuate cu două sau mai multe ordine de mărime mai precis. De exemplu, dacă precizia este setată la 0,01, atunci efectuăm calcule intermediare cu o precizie de 0,0001 sau 0,00001. Pentru n mare, calculele intermediare trebuie efectuate cu o precizie și mai mare.
Să ne uităm la regula de mai sus cu un exemplu. Pentru a face acest lucru, comparați valorile integralei definite calculate folosind formula Newton-Leibniz și obținute prin metoda trapezoidală.
Deci, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.
Exemplul 1
Folosind metoda trapezoidală, calculăm integrala definită ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x pentru n egal cu 10.
Soluţie
Formula pentru metoda trapezoidală este ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Pentru a aplica formula, trebuie să calculăm pasul h folosind formula h = b - a n, să determinăm nodurile x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, calculați valorile funcției integrand f (x) = 7 x 2 + 1.
Etapa de partiționare se calculează după cum urmează: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5 . Pentru a calcula integrandul la nodurile x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n vom lua patru zecimale:
i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692
Să introducem rezultatele calculului în tabel:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
Să substituim valorile obținute în formula metodei trapezoidale: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5,6 + 3,5 + 2,1538 + 1,4 + 0,9655 + 0,7 + 0,5283 + 0,4117 + 0,3294 + 0,2692 = 9,6117
Să comparăm rezultatele noastre cu rezultatele calculate folosind formula Newton-Leibniz. Valorile obținute coincid cu sutimi.
Răspuns:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
Exemplul 2
Folosind metoda trapezoidală, calculăm valoarea integralei definite ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x cu o precizie de 0,01.
Soluţie
După condiția problemei a = 1; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; 5n ≤ 0,01.
Să găsim n, care este egal cu numărul de puncte de partiție a segmentului de integrare, folosind inegalitatea pentru estimarea erorii absolute δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Vom face acest lucru în felul următor: vom găsi valorile lui n pentru care inegalitatea m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01. Dat n, formula trapezoidală ne va oferi o valoare aproximativă a integralei definite cu o precizie dată.
Mai întâi, să găsim cea mai mare valoare a modulului derivatei a doua a funcției pe intervalul [ 1 ; 2].
f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
Funcția derivată a doua este o parabolă pătratică f "" (x) = x 2 . Din proprietățile sale știm că este pozitivă și crește pe intervalul [1; 2]. În acest sens, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
În exemplul dat, procesul de găsire a m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) s-a dovedit a fi destul de simplu. În cazuri complexe, puteți utiliza cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pentru a efectua calcule. După ce luăm în considerare acest exemplu, vom prezenta o metodă alternativă de găsire a m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
Să substituim valoarea rezultată în inegalitatea m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01
4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0,01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5,7735
Numărul de intervale elementare în care se împarte segmentul de integrare n este un număr natural. Pentru comportamentul de calcul, luăm n egal cu șase. Această valoare a lui n ne va permite să obținem precizia specificată a metodei trapezoidale cu un minim de calcule.
Să calculăm pasul: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
Să găsim nodurile x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , determinăm valorile integrandului la aceste noduri:
i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1,9833
Scriem rezultatele calculului sub forma unui tabel:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
Să înlocuim rezultatele obținute în formula trapezoidală:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0, 4 + 2 0,5266 + 0,6911 + 0,9052 + 1,1819 + 1,5359 + 1,9833 ≈ 1,0054
Pentru a face o comparație, calculăm integrala originală folosind formula Newton-Leibniz:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
După cum puteți vedea, am obținut precizia de calcul obținută.
Răspuns: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1,0054
Pentru integranții de formă complexă, găsirea numărului n din inegalitatea pentru estimarea erorii absolute nu este întotdeauna ușoară. În acest caz, următoarea metodă va fi adecvată.
Să notăm valoarea aproximativă a integralei definite, care a fost obținută folosind metoda trapezoidală pentru n noduri, ca I n. Să alegem un număr arbitrar n. Folosind formula metodei trapezoidale, calculăm integrala inițială pentru un număr simplu (n = 10) și dublu (n = 20) de noduri și găsim valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute I 20 - eu 10.
Dacă valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute este mai mică decât precizia necesară I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
Dacă valoarea absolută a diferenței dintre cele două valori aproximative obținute este mai mare decât precizia necesară, atunci este necesar să repetați pașii cu dublul numărului de noduri (n = 40).
Această metodă necesită o cantitate mare de calcule, așa că este înțelept să folosiți tehnologia computerizată pentru a economisi timp.
Să rezolvăm problema folosind algoritmul de mai sus. Pentru a economisi timp, vom omite calculele intermediare folosind metoda trapezoidală.
Exemplul 3
Este necesar să se calculeze integrala definită ∫ 0 2 x e x d x folosind metoda trapezoidală cu o precizie de 0,001.
Soluţie
Să luăm n egal cu 10 și 20. Folosind formula trapezoidală, obținem I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906.
I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, ceea ce necesită calcule suplimentare.
Să luăm n egal cu 40: I 40 = 8, 3934656.
I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, care necesită și calcule continue.
Să luăm n egal cu 80: I 80 = 8, 3901585.
I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, ceea ce necesită încă o dublare a numărului de noduri.
Să luăm n egal cu 160: I 160 = 8, 3893317.
I 160 - I 80 = 8,3893317 - 8,3901585 = 0,0008268< 0 , 001
Valoarea aproximativă a integralei inițiale poate fi obținută prin rotunjirea I 160 = 8, 3893317 la miimi: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.
Pentru comparație, să calculăm integrala definită inițială folosind formula Newton-Leibniz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Precizia cerută a fost atinsă.
Răspuns: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389
Erori
Calculele intermediare pentru determinarea valorii unei integrale definite sunt în mare parte efectuate aproximativ. Aceasta înseamnă că pe măsură ce n crește, eroarea de calcul începe să se acumuleze.
Să comparăm estimările erorilor absolute ale metodei trapezoidale și ale metodei dreptunghiului mediu:
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .
Metoda dreptunghiului pentru un n dat cu aceeași cantitate de lucru de calcul dă jumătate din eroare. Acest lucru face ca metoda să fie mai preferată în cazurile în care sunt cunoscute valorile funcției din segmentele mijlocii ale segmentelor elementare.
În cazurile în care funcțiile de integrat nu sunt specificate analitic, ci ca un set de valori la noduri, putem folosi metoda trapezoidală.
Dacă comparăm precizia metodei trapezului și metoda dreptunghiului din dreapta și din stânga, atunci prima metodă este superioară celei de-a doua în acuratețea rezultatului.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
- „Cronicile lui Amber”. Cărți în ordine. Recenzii. Roger Zelazny „Cronicile lui Amber Roger Zelazny Cei nouă prinți ai chihlimbarului a continuat
- Ciupercă de orez: beneficii și daune
- Energia umană: cum să vă aflați potențialul energetic Energia vitală umană după data nașterii
- Semne zodiacale pe elemente - Horoscop