Definirea corectă a mediei armonice. Media aritmetică și media armonică
Media armonică este media aritmetică, calculată din valorile reciproce ale caracteristicilor medii. În funcție de natura materialului disponibil, este utilizat atunci când ponderile trebuie împărțite în opțiuni, mai degrabă decât multiplicate, sau, ceea ce este același lucru, înmulțite cu valoarea lor inversă. Astfel, media armonică este calculată atunci când sunt cunoscute caracteristicile de volum (W=xf)și valorile atributelor individuale (x) și ponderi necunoscute (φ). Deoarece volumele caracteristicilor sunt produsul valorilor caracteristicilor (X) la frecvența f, atunci frecvența f este determinată de amovibil = W: x.
Formulele medii armonice simple și ponderate sunt:
După cum puteți vedea, media armonică este o formă transformată a mediei aritmetice. În loc de media armonică, puteți calcula oricând media aritmetică determinând mai întâi ponderile valorilor atributelor individuale. La calcularea mediei armonice, ponderile sunt volumele caracteristicilor.
Media armonică simplă este utilizată în cazurile în care volumele de fenomene pentru fiecare nivel de atribut.
De exemplu, trei operatori de combine lucrează pentru a recolta cereale. Prima combină a petrecut 35 de minute recoltând 1 hectar într-o tură de 7 ore, a doua - 31 de minute, a treia - 33 de minute. Este necesar să se determine costul mediu al forței de muncă pentru recoltarea a 1 hectar de cereale.
Calcularea timpului mediu petrecut cu recoltarea a 1 hectar de cereale folosind formula medie aritmetică simplă ar fi corectă
apoi, când toți operatorii de combine au recoltat 1 hectar sau același număr de hectare de cereale în timpul unei ture. Cu toate acestea, în timpul schimbului, diferite zone de culturi de cereale au fost recoltate de către operatori individuali de combine.
Inadecvarea utilizării formulei mediei aritmetice se explică și prin faptul că indicatorul costului forței de muncă pe unitatea de muncă (recoltarea a 1 hectar de culturi de cereale) este inversul indicatorului de productivitate a muncii (recoltarea culturilor de cereale pe unitatea de timp) .
Timpul mediu necesar recoltării a 1 hectar de cereale pentru toate combinele va fi determinat ca raportul dintre timpul petrecut de toate combinele și numărul total de hectare recoltate. În exemplul nostru, nu există informații despre numărul de hectare recoltate efectiv de fiecare operator de combine. Cu toate acestea, aceste valori pot fi calculate folosind următoarea relație:
unde timpul total petrecut pentru fiecare operator de combine va fi de 420 de minute (7 ani sau 60 de minute).
Apoi, timpul mediu petrecut cu recoltarea a 1 hectar de cereale poate fi determinat prin formula:
Calculele pot fi foarte simplificate dacă utilizați formula primelor medii armonice:
Deci, pentru acest set de operatori de combine, este nevoie în medie de 32,9 minute pentru a recolta 1 hectar de cereale.
Vom lua în considerare procedura de calcul a mediei armonice ponderate folosind următorul exemplu (Tabelul 4.3).
Tabelul 4.3. Date pentru calcularea mediei armonice ponderate
Deoarece randamentul mediu este raportul dintre recolta brută și suprafața însămânțată, determinăm mai întâi suprafața însămânțată cu cartofi pentru fiecare fermă, apoi randamentul mediu:
Conform uneia dintre proprietăți, media armonică nu se va schimba dacă volumele fenomenelor, care sunt ponderile opțiunilor individuale, sunt înmulțite sau împărțite cu orice număr arbitrar. Acest lucru face posibilă utilizarea nu indicatorilor absoluti, ci a ponderilor lor specifice atunci când se calculează. Să presupunem că trebuie să determinați prețul mediu de vânzare al cartofilor folosind următoarele date (Tabelul 4.4).
Tabelul 4.4. Date pentru calcularea prețului mediu de vânzare al cartofilor
În exemplul dat, nu există date privind veniturile din vânzarea soiurilor individuale de cartofi, care este produsul dintre prețul de vânzare de 1 cent în numărul de cartofi vânduți. Prin urmare, în loc de volumele de evenimente, puteți folosi raportul acestora, adică ponderea soiurilor individuale de cartofi în veniturile totale. Folosind datele din tabel, determinăm prețul mediu de vânzare al cartofilor:
Media armonică este utilizată și pentru a determina randamentul mediu pentru un grup de culturi omogene, dacă se cunosc recolta brută și randamentul culturilor individuale, pentru a calcula procentul mediu de implementare a planului de producție și vânzările de produse pentru o populație omogenă, dacă se cunosc date despre produsele efectiv produse sau vândute și procentul de implementare a planului.obiecte individuale etc.
Media armonică - este utilizată atunci când informațiile statistice nu conțin date despre ponderi pentru variante individuale ale populației, dar sunt cunoscute produsele valorilor unei caracteristici diferite de ponderile corespunzătoare.
Formula generală pentru media armonică ponderată este următoarea:
x – valoarea caracteristicii variabile,
w – produsul dintre valoarea unei caracteristici variabile și greutatea acesteia (xf)
În cazul în care volumele totale de fenomene, i.e. produsele valorilor caracteristicilor și greutățile lor sunt egale, atunci se aplică media simplă armonică:
x – valorile individuale ale caracteristicii (opțiuni),
n – numărul total de opțiuni.
Media armonică este utilizată pentru calcule atunci când nu unitățile populației - purtătorii caracteristicii - sunt folosite ca ponderi, ci produsul acestor unități prin valorile caracteristicii (adică m = Xf). Ar trebui să se recurgă la armonica medie simplă în cazurile de determinare, de exemplu, a costului mediu al forței de muncă, timpului, materialelor pe unitatea de producție, pe o parte pentru două (trei, patru etc.) întreprinderi, lucrători angajați în producție. din același tip de produs, aceeași piesă, produs.
Media geometrică și media cronologică.
Medie geometrică
Dacă există n coeficienți de creștere, atunci formula pentru coeficientul mediu este:
Aceasta este formula medie geometrică.
Media geometrică este egală cu rădăcina gradului n din produsul coeficienților de creștere care caracterizează raportul dintre valoarea fiecărei perioade ulterioare și valoarea celei anterioare.
Media cronologică este o medie calculată din valori care se modifică în timp. Folosit pentru a calcula nivelul mediu al seriei de momente. În cazul în care datele disponibile se referă la momente fixe în timp la intervale egale, atunci se utilizează următoarea formulă:
X este valoarea nivelurilor seriei,
n – numărul de indicatori disponibili.
Nivelul mediu al seriei de momente de dinamică cu date distanțate inegal este determinat de formula medie ponderată cronologică:
=
Unde sunt nivelurile seriei de dinamică
— durata intervalului de timp dintre niveluri
Medie pătrată. Relația dintre mediile puterii.
Dacă valorile exprimate sub formă de funcții pătratice sunt supuse medierii, se aplică media pătratică. De exemplu, folosind rădăcina pătrată medie, puteți determina diametrele țevilor, roților etc.
Pătratul mediu simplu se determină luând rădăcina pătrată a coeficientului de împărțire a sumei pătratelor valorilor individuale ale atributului la numărul lor.
Pătratul mediu ponderat este egal cu:
Concept de moda. Calculul modului pentru serii de distribuție discretă și pe intervale.
Pentru a caracteriza structura unei populații statistice se folosesc indicatori denumiți medii structurale. Acestea includ modul și mediana.
Moda (Mo) este cea mai comună opțiune. Modul este valoarea atributului care corespunde punctului maxim al curbei de distribuție teoretică.
Moda reprezintă sensul cel mai frecvent sau tipic.
Moda este folosită în practica comercială pentru a studia cererea consumatorilor și pentru a înregistra prețurile.
Într-o serie discretă, modul este varianta cu cea mai mare frecvență. Într-o serie de variații de interval, modul este considerat a fi varianta centrală a intervalului, care are cea mai mare frecvență (particularitate).
În interval, trebuie să găsiți valoarea atributului care este modul.
unde xo este limita inferioară a intervalului modal;
h – valoarea intervalului modal;
fm – frecvența intervalului modal;
ft-1 – frecvența intervalului premergător celui modal;
fm+1 – frecvența intervalului următor celui modal.
Modul depinde de mărimea grupurilor și de poziția exactă a limitelor grupului.
Modul este un număr care apare de fapt cel mai des (este valoarea lui
nnaya), în practică are cea mai largă aplicație (cel mai comun tip de cumpărător).
Mijloace armonică— ϶ᴛᴏ reciproca mediei aritmetice, ᴛ.ᴇ. constă din valorile inverse ale caracteristicii.
Exemplul 5. Calculul procentului mediu de finalizare a planului. Următoarele date sunt disponibile:
În exemplu, indicatorii gradului de implementare a planului (opțiuni) acționează ca o caracteristică variabilă, iar planul ia ponderi (frecvențe). În acest caz, media se obține ca medie aritmetică ponderată:
Dacă, atunci când determinăm gradul mediu de îndeplinire a planului, nu luăm sarcina ca pondere, ci implementarea ei efectivă, atunci media aritmetică în acest caz va da un rezultat greșit:
Rezultatul corect la cântărire în funcție de îndeplinirea efectivă a sarcinii va fi dat de media ponderată armonică:
Unde w— ponderi ale mediei ponderate armonice.
Condiții de utilizare a mediei armonice
Media armonică este utilizată atunci când nu unitățile populației (purtători ai caracteristicii) sunt folosite ca ponderi, ci produsele acestor unități prin valorile caracteristicii, ᴛ.ᴇ. .
Din această regulă rezultă că media armonică în statistică este în esență o medie aritmetică transformată, care este utilizată atunci când dimensiunea populației este necunoscută și este necesară cântărirea opțiunilor după volumul caracteristicii.
2. Dacă valorile absolute sunt utilizate ca ponderi, orice acțiune intermediară la calcularea mediei ar trebui să dea rezultate semnificative din punct de vedere economic.
De exemplu, atunci când calculăm procentul mediu de finalizare a planului, înmulțim indicatorul de finalizare a planului cu ținta planului și obținem finalizarea reală a planului. Dacă indicatorul implementării planului este înmulțit cu implementarea sa efectivă, atunci din punct de vedere economic rezultatul va fi absurd. Aceasta înseamnă că forma din mijloc a fost aplicată incorect).
Citeste si
Când informațiile statistice nu conțin frecvențe pentru variante individuale ale populației, ci sunt prezentate ca produsul lor, i.e. frecvența trebuie calculată separat pe baza variantei cunoscute X și a produsului X f, se utilizează media armonică. Medie... [citește mai mult].
Media armonică este o formă primitivă a mediei aritmetice. Se calculează în cazurile în care ponderile fi nu sunt specificate direct, dar sunt incluse ca factor într-unul dintre indicatorii disponibili. La fel ca media aritmetică, media armonică poate fi... [citește mai mult].
Alături de media aritmetică, statistica folosește media armonică, inversul mediei aritmetice a valorilor inverse ale atributului. La fel ca media aritmetică, aceasta poate fi simplă și ponderată. Caracteristicile seriei de variații, împreună cu... [citește mai mult].
Media aritmetică ponderată Se aplică atunci când indicatorii cantității de mărfuri în termeni fizici sunt utilizați ca ponderi; unde pq este cifra de afaceri comercială în ruble. Este folosit când datele de vânzări sunt folosite ca ponderi...
Valori medii și indicatori de variație
Alături de media aritmetică, statistica folosește media armonică, inversul mediei aritmetice a valorilor inverse ale atributului. La fel ca media aritmetică, aceasta poate fi simplă și ponderată. Astfel, formula de calcul a mediei... [citește mai mult].
Esența și semnificația valorilor medii, tipurile lor Cea mai comună formă de indicator statistic este valoarea medie. Un indicator sub forma unei valori medii exprimă nivelul tipic al unei caracteristici în agregat. Utilizarea pe scară largă a mediilor... [citește mai mult].
Alături de media aritmetică, statistica folosește media armonică, inversul mediei aritmetice a valorilor inverse ale atributului. La fel ca media aritmetică, aceasta poate fi simplă și ponderată. … [citeşte mai mult].
La rezolvarea problemelor, calcularea valorii medii începe cu întocmirea relației inițiale - formula verbală logică a mediei. Este compilat pe baza analizei teoretice și logice. Uneori media aritmetică nu poate fi folosită. În acest caz, în... [citește mai mult].
Dacă, conform condițiilor problemei, este necesar ca suma valorilor reciproce cu valorile individuale ale unei caracteristici să rămână neschimbată în timpul medierii, atunci valoarea medie este o medie armonică. Formula pentru medie armonică este: De exemplu, o mașină cu... [citește mai mult].
70. Mijloc armonic
Media armonică a numerelor pozitive o, b este un număr a cărui inversă este media aritmetică dintre , i.e. număr
Problema 358. Demonstrați că media armonică nu depășește media geometrică.
Valori medii în statistici: esență, proprietăți, tipuri. Exemple de rezolvare a problemelor
Inversul mediei armonice este media aritmetică a numerelor; inversul mediei geometrice este media geometrică a numerelor, așa că rămâne să ne referim la inegalitatea despre media aritmetică și geometrică.
Problema 359. Numerele sunt pozitive. Demonstrează asta
Soluţie. Inegalitatea necesară poate fi rescrisă sub formă
adică este necesar să se demonstreze că media aritmetică a numerelor este mai mare sau egală cu media lor armonică. Acest lucru devine clar dacă inserăm media geometrică între ele:
ultima inegalitate se reduce la o inegalitate despre media aritmetică și geometrică a numerelor.
O altă soluție folosește următorul truc. Vom demonstra o inegalitate mai generală (numită inegalitatea Cauci-Bunyakovsky)
(dacă îl înlocuim în el obținem ceea ce ne trebuie).
Pentru a demonstra inegalitatea Cauci-Bunyakovsky, luăm în considerare trinomul pătratic
Deschizând parantezele din el și grupând termenii după puterile lui x, obținem trinomul
Pentru orice x, acest trinom este nenegativ - la urma urmei, este o sumă de pătrate. Aceasta înseamnă că discriminantul său nu este mai mare decât zero, adică.
Cum ți-a plăcut acest truc?
Exemplu : Este necesar să se determine vârsta medie a unui student cu fracțiune de normă folosind datele specificate în următorul tabel:
Vârsta studenților, ani ( X) |
Număr de studenți, persoane ( f) |
valoarea medie a intervalului (x’,xcentral) |
xi*fi |
26 și peste |
|||
Total: |
Pentru a calcula media în seria de intervale, mai întâi determinați valoarea medie a intervalului ca jumătate de sumă a limitelor superioare și inferioare, apoi calculați media utilizând formula medie ponderată aritmetică.
Mai sus este un exemplu cu intervale egale, primul și ultimul fiind deschis.
.
Răspuns: Vârsta medie a studenților este de 22,6 ani, sau aproximativ 23 de ani.
Mijloace armonică are o structură mai complexă decât media aritmetică. Folosit în cazurile în care informațiile statistice nu conțin frecvențe pentru individ valorile atributului și este reprezentată de produsul valorii atributului prin frecvență . Media armonică ca tip de medie de putere arată astfel:
În funcție de forma de prezentare a datelor sursă, media armonică poate fi calculată ca simplă sau ponderată. Dacă datele sursă nu sunt grupate, atunci in medie armonic simplu :
Se utilizează în cazurile de determinare, de exemplu, a costului mediu al forței de muncă, materialelor etc.
Armonic înseamnă simplu și ponderat
pe unitate de producție în mai multe întreprinderi.
Când lucrați cu date grupate, utilizați medie armonică ponderată:
Medie geometricăse aplică în cazurile în care când volumul total al caracteristicii medii este o mărime multiplicativă,acestea. se determină nu prin însumare, ci prin înmulțirea valorilor individuale ale caracteristicii.
Forma mediei ponderate geometrice în calcule practice nu se aplică .
Medie pătrată utilizat în cazurile în care, la înlocuirea valorilor individuale ale unei caracteristici cu o valoare medie, este necesar să se păstreze neschimbată suma pătratelor valorilor inițiale .
Acasă domeniul de utilizare al acestuia – măsurarea gradului de fluctuație a valorilor individuale ale unei caracteristici în raport cu media aritmetică(deviație standard). În plus, pătratul mediu este utilizat în cazurile în care este necesar să se calculeze valoarea medie a unei caracteristici exprimată în unități de măsură pătrate sau cubice (la calcularea valorii medii a secțiunilor pătrate, a diametrelor medii ale țevilor, trunchiurilor etc.) .
Pătratul mediu este calculat sub două forme:
Toate mijloacele de putere diferă unele de altele prin valorile exponentului.în care, cu cât exponentul este mai mare, cu atât mai multvaloarea cantitativă a mediei:
Această proprietate a mediilor de putere se numește proprietatea majoranţei mediilor.
Valoarea medie armonică
Cu condiția ca valorile k = –1 să fie înlocuite în formula generală (6.1), putem obține valoarea medie armonică, care are o formă simplă și ponderată.
Pentru seria clasată se utilizează media armonică simplu o valoare care poate fi scrisă după cum urmează.
unde n este numărul total de opțiuni; – opțiuni cu sens invers.
Să presupunem că există dovezi că atunci când transportați cartofi, viteza unei mașini cu încărcătură este de 30 km/h, fără încărcătură – 60 km/h. Trebuie să găsiți viteza medie a mașinii. La prima vedere, pare o soluție complet simplă a problemei: aplicați metoda mediei aritmetice a unei valori simple, i.e.
Totuși, dacă ținem cont de faptul că viteza de deplasare este egală cu distanța parcursă împărțită la timpul petrecut, atunci este destul de evident că rezultatul (45 km/h) se dovedește a fi inexact, deoarece este nevoie de o mașină cu și fără o încărcătură care să parcurgă aceeași cale (dus-întors) timpul necesar va varia semnificativ. În consecință, o viteză medie mai precisă a unui vehicul cu și fără sarcină poate fi calculată folosind valoarea medie simplă armonică:
Astfel, viteza medie a unei mașini cu și fără marfă nu este de 45, ci de 40 km/h.
În serii discrete sau de intervale, se utilizează media armonică ponderat mărimea:
unde W este produsul dintre opțiuni și frecvență (opțiune ponderată, xf).
Sa luam in considerare exemplu. Intensitatea muncii pentru producerea a 1 tonă de cartofi în prima divizie a organizației agricole este de 10 ore-om, în a doua - 30 ore-om. În ambele divizii, s-au cheltuit 30 de mii de ore-om pentru producția de cartofi. Este necesar să se calculeze intensitatea medie de muncă aritmetică a cartofilor într-o organizație agricolă. Se pare că intensitatea medie a muncii este ușor de găsit ca jumătate din suma intensității muncii a cartofilor în două divizii, adică folosind metoda mediei simple aritmetice:
Cu toate acestea, această soluție face două greșeli. Prima greșeală, fundamentală, este că atunci când se calculează intensitatea medie a muncii folosind metoda mediei simple aritmetice, esența intensității muncii în sine, care se găsește ca raportul dintre costurile directe ale muncii și volumul producției, nu este luată în considerare. A doua greșeală este că soluția nu a ținut cont de volumul specific al costurilor forței de muncă pentru producția de cartofi dat în funcție de condițiile problemei (30 mii fiecare).
Mijloace armonică
oră persoană în ambele departamente). Acest lucru permite să se calculeze frecvențele (greutățile) pentru intensitatea muncii la cartofi și astfel să se găsească media aritmetică a intensității muncii ponderate, care va fi înlocuită cu succes prin aplicarea mediei ponderate armonice:
Astfel, intensitatea medie de muncă a cartofilor într-o organizație agricolă nu este de 20, așa cum s-a calculat mai sus, ci de 15 persoane. h/t.
Valoarea medie armonică este utilizată mai ales în cazurile în care variantele seriei sunt reprezentate prin valori inverse, iar frecvențele (greutățile) sunt ascunse în volumul total al caracteristicii studiate.
Medii structurale
În unele cazuri, pentru a obține o caracteristică generală a unei populații statistice pentru orice criteriu, este necesar să se folosească așa-numitul medie structurală. Acestea includ ModăȘi median.
Modă reprezintă varianta întâlnită cel mai des într-o anumită populaţie statistică. Într-o serie clasată, modul, de regulă, nu este determinat, deoarece fiecare opțiune corespunde unei frecvențe egale cu unitatea.
Modul într-o serie discretă corespunde variantei cu cea mai mare frecvență, în timp ce o variabilă aleatorie poate avea mai multe moduri. Dacă unul dintre ele este prezent, de obicei se numește distribuția populației statistice unimodal, în prezența a două moduri - bimodal, trei sau mai multe moduri - multimodal. Prezența mai multor moduri înseamnă adesea combinarea de unități statistice de calitate diferită într-un singur set.
Modul pentru o serie de intervale cu intervale egale este calculat prin formula
(6.12)
unde xmo sub> este limita inferioară a intervalului modal; i mo – valoarea intervalului;
f mo – frecvența intervalului modal; f dmo – frecvența intervalului premodal; f zmo – frecvența intervalului submodal.
Să presupunem că prețurile de piață pentru merele din centrele regionale ale regiunii sunt după cum urmează (Tabelul 6.8). Folosind aceste date, este necesar să se calculeze tendința prețurilor de piață pentru cartofi.
Tabelul 6.8. Prețurile de piață pentru mere
Din datele din tabel. 6.8 arată că numărul maxim de piețe este concentrat în al treilea interval, iar distribuția populației statistice este unimodală. Pentru a calcula moda prețurilor de piață pentru mere, folosim formula (6.12):
Astfel, prețul modal de piață pentru merele din centrele regionale ale regiunii este de 1690 de ruble/kg.
Opțiunea modală la caracterizarea unei populații statistice poate fi utilizată în cazurile în care calcularea valorii medii este dificilă sau imposibilă, de exemplu, în condițiile de piață când se studiază cererea și oferta, nivelurile prețurilor etc.
Median– opțiuni situate la mijlocul seriei de variații. Mediana din seria clasată se găsește după cum urmează. Mai întâi, calculați numărul de opțiuni mediane:
unde n me este numărul de opțiuni mediane; n este numărul total de opțiuni din serie.
În al doilea rând, în seria clasată se determină valoarea medianei opțiunilor: dacă numărul total de opțiuni este impar, atunci mediana corespunde numărului calculat prin formula (6.13).
Să presupunem că seria clasată este formată din 99 de unități distribuite după randamentul sfeclei de zahăr. Numărul mediu de opțiuni este găsit folosind formula (6.13): .
Aceasta înseamnă că numărul 50 este randamentul mediu dorit, care este egal cu, de exemplu, 500 c/ha.
Dacă numărul total de variante este par, atunci mediana este egală cu jumătate din suma a două variante mediane adiacente. De exemplu, în seria clasată există 100 de unități statistice, din nou distribuite după randamentul sfeclei de zahăr. În consecință, într-o astfel de serie există două numere mediane, după cum se poate observa din următorul calcul folosind formula (6.13):
Aceasta înseamnă că, în acest caz, numerele 50 și 51 sunt considerate medii, iar randamentul median al sfeclei de zahăr, de exemplu, poate fi calculat ca următoarea jumătate de sumă a două randamente adiacente, i.e.
Pentru o serie de distribuție discretă, mediana este calculată din frecvențele acumulate: mai întâi, se găsește jumătatea sumei frecvențelor acumulate; în al doilea rând, ei determină dacă această jumătate de sumă corespunde unei anumite opțiuni, care va fi mediana.
De exemplu, producția anuală de lapte a vacilor este distribuită sub forma unei serii discrete în care suma frecvențelor acumulate este de 200 de unități și, în consecință, jumătatea sumei este de 100 de unități.
Acest număr mediu se află în grupul unităților statistice ale unei serii discrete și corespunde producției anuale de lapte a vacilor de 5000 kg lapte, care este mediana seriei discrete.
Într-o serie de variații de interval, mediana este calculată folosind formula
, (6.14)
unde M e este mediana seriei de intervale; x me – limita inferioară a intervalului median; i me – valoarea intervalului median; Σf – suma frecvențelor acumulate în seria de intervale; f n – frecvența acumulată a intervalului pre-median; f me – frecvența intervalului median.
Pentru a calcula mediana într-o serie de intervale, vom folosi următoarele date (Tabelul 6.9).
Tabelul 6.9.
Randamentul cartofilor în parcele personale
Gospodăriile
Din datele din tabel. 6.9, în primul rând, este clar că al patrulea interval este mediana. În plus, un calcul simplu arată că suma frecvențelor acumulate (numărul total de ferme) este de 200 de unități, iar frecvența acumulată a intervalului pre-median este de 90 de unități.
Să folosim formula (6.14) și să calculăm randamentul mediu de cartofi:
Astfel, randamentul mediu de cartofi în parcelele gospodărești private este de 256 c/ha.
Utilizarea medianei are un caracter specific. Astfel, dacă seria de variații este relativ mică, atunci valoarea mediei aritmetice poate fi influențată de fluctuații aleatorii ale variantelor extreme, care nu vor afecta mărimea mediei.
Înapoi45678910111213141516171819Următorul
Cea mai comună formă de indicator statistic este in mediemagnitudinea. Un indicator sub forma unei valori medii exprimă nivelul tipic al unei caracteristici în agregat. Utilizarea pe scară largă a valorilor medii se explică prin faptul că acestea permit compararea valorilor unei caracteristici între unitățile aparținând diferitelor populații. De exemplu, puteți compara durata medie a unei zile de lucru, categoria salarială medie a lucrătorilor, nivelul salarial mediu pentru diferite întreprinderi.
Esența valorilor medii este că anulează abaterile în valorile unei caracteristici în unitățile individuale ale populației, cauzate de acțiunea unor factori aleatori. Prin urmare, valorile medii trebuie calculate pentru populații suficient de mari (în conformitate cu legea numerelor mari). Fiabilitatea valorilor medii depinde și de variabilitatea valorilor atributelor în agregat. În general, cu cât variația unei caracteristici este mai mică și cu cât este mai mare populația din care se determină valoarea medie, cu atât aceasta este mai fiabilă.
Tipicitatea valorii medii este, de asemenea, direct legată de omogenitatea populaţiei statistice. Valoarea medie va reflecta doar nivelul tipic al atributului atunci când este calculată dintr-o populație omogenă calitativ. În caz contrar, metoda medie este utilizată în combinație cu metoda grupării. Dacă populația este eterogenă, atunci mediile generale sunt înlocuite sau completate cu medii de grup calculate pentru grupuri omogene calitativ.
Selectarea tipului de medii este determinată de conținutul economic al indicatorului studiat și de datele sursă. Următoarele tipuri de medii sunt cel mai des folosite în statistică: medii de putere (aritmetice, armonice, geometrice, pătratice, cubice etc.), media cronologică și medii structurale (mod și mediană).
Media aritmetică cel mai des întâlnit în cercetarea socio-economică. Media aritmetică este utilizată sub forma unei medii simple și a unei medii ponderate.
Calculat din date negrupate pe baza formulei (4.1):
Unde X- valorile individuale ale caracteristicii (opțiuni);
n- numarul de unitati din populatie.
Exemplu. Se cere să se afle producția medie a unui muncitor într-o brigadă formată din 15 persoane, dacă se cunoaște numărul de produse produse de un muncitor (bucăți): 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
Media aritmetică simplă calculat din date negrupate pe baza formulei (4.2):
unde f este frecvența de repetare a valorii corespunzătoare a atributului (variantei);
∑f este numărul total de unități de populație (∑f = n).
Exemplu. Pe baza datelor disponibile privind distribuția lucrătorilor într-o echipă în funcție de numărul de produse pe care le produc, este necesar să se afle producția medie a unui muncitor din echipă.
Nota 1. Valoarea medie a unei caracteristici în agregat poate fi calculată atât pe baza valorilor individuale ale caracteristicii, cât și pe baza mediilor de grup (private) calculate pentru anumite părți ale populației. În acest caz, se utilizează formula medie ponderată aritmetică și mediile de grup (parțiale) ( x j).
Exemplu. Există date despre vechimea medie a lucrătorilor din atelierele fabricii. Este necesar să se determine durata medie de muncă a lucrătorilor pentru unitatea în ansamblu.
Nota 2.În cazul în care valorile caracteristicii care se face media sunt specificate sub formă de intervale, la calcularea valorii medii aritmetice, valorile medii ale acestor intervale sunt luate ca valori ale caracteristicii în grupuri ( X’). Astfel, seria de intervale este convertită într-o serie discretă. În acest caz, valoarea intervalelor deschise, dacă există (de regulă, acestea sunt primele și ultimele), este echivalată condiționat cu valoarea intervalelor adiacente acestora.
Exemplu. Există date despre distribuția lucrătorilor întreprinderii pe nivel de salarizare.
Valoarea medie armonică este o modificare a mediei aritmetice. Este utilizat în cazurile în care sunt cunoscute valori individuale ale unei caracteristici, adică variante ( X), și produsul variantei și frecvența (xf = M), dar frecvențele în sine sunt necunoscute ( f).
Media armonică ponderată este calculată folosind formula (4.3):
Exemplu. Este necesar să se determine salariul mediu al angajaților unei asociații formată din trei întreprinderi, dacă se cunosc fondul de salarii și salariile medii ale angajaților pentru fiecare întreprindere.
Media armonică, care este simplă în practica statisticii, este folosită extrem de rar. În cazurile în care xf = Mm = const, media armonică ponderată se transformă într-o medie armonică simplă (4.4):
Exemplu. Două mașini au parcurs același traseu. În același timp, unul dintre ei se deplasa cu o viteză de 60 km/h, al doilea - cu o viteză de 80 km/h. Este necesar să se determine viteza medie a mașinilor pe parcurs.
Alte tipuri de medii de putere. Cronologic mediu
Media geometrică este utilizată pentru a calcula dinamica medie. Media geometrică este utilizată sub forma unei medii simple (pentru datele negrupate) și a unei medii ponderate (pentru datele grupate).
Media geometrică simplă (4,5):
unde n este numărul de valori ale atributelor;
P este semnul produsului.
Media geometrică ponderată(4.6):
Valoarea pătratică medie utilizat la calcularea indicilor de variație. Este folosit într-o formă simplă și ponderată.
Pătrat mediu simplu (4,7):
Pătrat mediu ponderat (4,8):
Media cubică este utilizată în calculul asimetriei și curtozei. Se folosește sub formă cântărită simplă.
Cubic mediu simplu (4,9):
Cubic mediu ponderat (4,10):
Valoarea medie cronologică este utilizată pentru a calcula nivelul mediu al seriei de timp (4.11):
Medii structurale
Pe lângă valorile medii discutate mai sus, statisticile utilizează medii structurale, care includ modul și mediana.
Modă(Mo) este valoarea caracteristicii studiate (varianta), care se găsește cel mai adesea în agregat. Într-o serie discretă Modul este determinat destul de simplu - de indicatorul de frecvență maximă. Într-o serie de variații de interval, modul corespunde aproximativ centrului intervalului modal, adică intervalului care are o frecvență (frecvență) înaltă.
Valoarea modului specific este calculată folosind formula (4.12):
unde este limita inferioară a intervalului modal;
lățimea intervalului modal;
frecvența corespunzătoare intervalului modal;
frecvența intervalului premergător modalului;
frecvenţa intervalului după modal.
Mediana (Me) este valoarea atributului situat la mijlocul seriei clasate. Prin clasat înțelegem o serie ordonată în ordine crescătoare sau descrescătoare a valorilor atributelor. Mediana împarte seria clasată în două părți, dintre care una are valori ale atributelor nu mai mari decât mediana, iar cealaltă nu mai puțin.
Pentru o serie clasată cu un număr impar de membri, mediana este opțiunea situată în centrul seriei. Poziția medianei este determinată de numărul de serie al unității din serie în conformitate cu formula (4.13):
unde n este numărul de membri ai seriei clasate.
Pentru o serie clasată cu un număr par de membri, mediana este media aritmetică a două valori adiacente situate în centrul seriei.
Într-o serie de variații de interval, se utilizează următoarea formulă (4.14) pentru a găsi mediana:
unde este limita inferioară a intervalului median;
lățimea intervalului median;
frecvența acumulată a intervalului care precede mediana;
frecvența intervalului median.
Exemplu. Echipa de lucru formata din 9 oameni, au următoarele tarife cifre: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Este necesar să se determine valorile modale și mediane ale categoriei tarifare.
Deoarece această brigadă are cei mai mulți muncitori din categoria a 3-a, această categorie va fi modală, adică Mo = 3.
Pentru a determina mediana Să clasificăm seria originală în ordinea crescătoare a valorilor atributelor:
2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.
Valoarea centrală din această serie este a cincea valoare a atributului. În consecință, Me = 4.
Exemplu.Este necesară determinarea categoriei tarifare modale și mediane a lucrătorilor din fabrică pe baza datelor din seria de distribuție următoare.
Deoarece seria de distribuție originală este discretă, valoarea modală este determinată de indicatorul de frecvență maximă. În acest exemplu, fabrica are cei mai mulți lucrători din categoria a 3-a (f max = 30), adică. această descărcare este modală (Mo = 3).
Să determinăm poziția medianei. Seria de distribuție inițială este construită pe baza unei serii clasificate, ordonate după valori crescătoare ale atributului. Mijlocul seriei se află între al 50-lea și al 51-lea numere de serie ale valorilor atributelor. Să aflăm din care grup fac parte muncitorii cu aceste numere de serie. Pentru a face acest lucru, să calculăm frecvențele acumulate. Frecvențele acumulate indică faptul că valoarea mediană a categoriei tarifare este egală cu trei (Me = 3), deoarece valorile caracteristicii cu numere de serie de la 39 la 68, inclusiv 50 și 51, sunt egale cu 3.
Exemplu. Este necesar să se determine salariile modale și medii ale lucrătorilor din fabrică pe baza datelor din următoarea serie de distribuție.
Deoarece seria de distribuție inițială este interval, valoarea modală a salariilor este calculată folosind formula. În acest caz, intervalul modal este 360-420 cu o frecvență maximă de 30.
Valoarea mediană a salariului se calculează și cu ajutorul formulei. În acest caz, mediana este intervalul 360-420, a cărui frecvență acumulată este 70, în timp ce frecvența acumulată a intervalului anterior a fost de numai 40 cu un număr total de unități egal cu 100.
Mijloace armonică
Nume parametru | Sens |
Subiect articol: | Mijloace armonică |
Rubrica (categoria tematica) | Cultură |
Mijloace armonică- ϶ᴛᴏ reciproca mediei aritmetice, ᴛ.ᴇ. constă din valorile inverse ale caracteristicii.
Exemplul 5. Calculul procentului mediu de finalizare a planului. Următoarele date sunt disponibile:
În exemplu, indicatorii gradului de implementare a planului (opțiuni) acționează ca o caracteristică variabilă, iar planul ia ponderi (frecvențe). În acest caz, media se obține ca medie aritmetică ponderată:
Dacă, atunci când determinăm gradul mediu de îndeplinire a planului, nu luăm sarcina ca pondere, ci implementarea ei efectivă, atunci media aritmetică în acest caz va da un rezultat greșit:
Rezultatul corect la cântărire în funcție de îndeplinirea efectivă a sarcinii va fi dat de media ponderată armonică:
Unde w- ponderi ale mediei ponderate armonice.
Condiții de utilizare a mediei armonice
1. Media armonică este utilizată atunci când nu unitățile populației (purtători ai caracteristicii) sunt folosite ca greutăți, ci produsele acestor unități prin valorile caracteristicii, ᴛ.ᴇ. .
Din această regulă rezultă că media armonică în statistică este în esență o medie aritmetică transformată, care este utilizată atunci când dimensiunea populației este necunoscută și este necesară cântărirea opțiunilor după volumul caracteristicii.
2. Dacă valorile absolute sunt utilizate ca ponderi, orice acțiune intermediară la calcularea mediei ar trebui să dea rezultate semnificative din punct de vedere economic.
De exemplu, atunci când calculăm procentul mediu de finalizare a planului, înmulțim indicatorul de finalizare a planului cu ținta planului și obținem finalizarea reală a planului. Dacă indicatorul implementării planului este înmulțit cu implementarea sa efectivă, atunci din punct de vedere economic rezultatul va fi absurd. Aceasta înseamnă că forma din mijloc a fost aplicată incorect).
Mijloc armonic - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „armonică medie” 2017, 2018.
Media armonică este o formă primitivă a mediei aritmetice. Se calculează în cazurile în care ponderile fi nu sunt specificate direct, dar sunt incluse ca factor într-unul dintre indicatorii disponibili. La fel ca media aritmetică, media armonică poate fi... .
Alături de media aritmetică, statistica folosește media armonică, inversul mediei aritmetice a valorilor inverse ale atributului. La fel ca media aritmetică, aceasta poate fi simplă și ponderată. Caracteristicile seriei de variații, împreună cu... .
Media aritmetică ponderată Se aplică atunci când indicatorii cantității de mărfuri în termeni fizici sunt utilizați ca ponderi; unde pq este cifra de afaceri comercială în ruble. Este folosit când datele de vânzări sunt folosite ca ponderi... .
Alături de media aritmetică, statistica folosește media armonică, inversul mediei aritmetice a valorilor inverse ale atributului. La fel ca media aritmetică, aceasta poate fi simplă și ponderată. Astfel, formula de calcul a mediei... .
Esența și semnificația valorilor medii, tipurile lor Cea mai comună formă de indicator statistic este valoarea medie. Un indicator sub forma unei valori medii exprimă nivelul tipic al unei caracteristici în agregat. Aplicare largă de mediu...