Forma clasică a probabilității. Probabilitatea evenimentului
Definiția clasică a probabilității.
După cum am menționat mai sus, cu un număr mare n frecvența testului P*(A)=m/ n producerea unui eveniment A este stabilă și oferă o valoare aproximativă a probabilității unui eveniment A , adică .
Această împrejurare ne permite să găsim probabilitatea aproximativă a unui eveniment experimental. În practică, această metodă de a găsi probabilitatea unui eveniment nu este întotdeauna convenabilă. La urma urmei, trebuie să știm în avans probabilitatea unui eveniment, chiar înainte de experiment. Acesta este rolul euristic, predictiv al științei. Într-un număr de cazuri, probabilitatea unui eveniment poate fi determinată înainte de experiment folosind conceptul de echiprobabilitate a evenimentelor (sau echiposibilitate).
Cele două evenimente sunt numite la fel de probabil (sau la fel de posibil ), dacă nu există motive obiective pentru a crede că unul dintre ele poate apărea mai des decât celălalt.
Deci, de exemplu, apariția unei steme sau a unei inscripții la aruncarea unei monede sunt evenimente la fel de probabile.
Să ne uităm la un alt exemplu. Lasă-i să arunce zarurile. Datorită simetriei cubului, putem presupune că apariția oricăruia dintre numere 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 la fel de posibil (la fel de probabil).
Evenimente în acest experiment se formează grup complet , dacă cel puțin unul dintre ele ar trebui să apară în urma experimentului. Deci, în ultimul exemplu, grupul complet de evenimente este format din șase evenimente - apariția numerelor 1, 2, 3, 4, 5 Și 6.
Evident, orice eveniment A iar evenimentul său opus formează un grup complet.
Eveniment B numit favorabil eveniment A , dacă apariția unui eveniment B presupune producerea unui eveniment A . Astfel, dacă A - apariția unui număr par de puncte la aruncarea unui zar, apoi apariția numărului 4 reprezintă un eveniment care favorizează un eveniment A.
Lasă evenimentele în acest experiment formează un grup complet de evenimente la fel de probabile și incompatibile pe perechi. Să-i numim rezultate teste. Să presupunem că evenimentul A favorizează rezultatele procesului. Apoi probabilitatea evenimentului A în acest experiment se numește atitudine. Așa că ajungem la următoarea definiție.
Probabilitatea P(A) a unui eveniment dintr-un experiment dat este raportul dintre numărul de rezultate experimentale favorabile evenimentului A și numărul total de rezultate experimentale posibile care formează un grup complet de evenimente incompatibile la fel de probabile: .
Această definiție a probabilității este adesea numită clasic. Se poate arăta că definiția clasică satisface axiomele probabilității.
Exemplul 1.1. Un lot de la 1000 rulmenti. Am intrat în acest lot din întâmplare 30 rulmenți care nu respectă standardul. Determinați probabilitatea P(A) că un rulment luat la întâmplare se va dovedi a fi standard.
Soluţie: Numărul de rulmenți standard este 1000-30=970 . Vom presupune că fiecare rulment are aceeași probabilitate de a fi selectat. Apoi, grupul complet de evenimente constă din rezultate la fel de probabile, dintre care evenimentul A favorizează rezultatele. De aceea .
Exemplul 1.2.În urnă 10 bile: 3 alb şi 7 negru. Din urnă se iau două bile deodată. Care este probabilitatea R că ambele bile se dovedesc a fi albe?
Soluţie: Numărul tuturor rezultatelor testelor la fel de probabile este egal cu numărul de moduri în care 10 scoateți două bile, adică numărul de combinații din 10 elemente prin 2 (grup complet de evenimente):
Numărul de rezultate favorabile (din câte moduri se poate alege 3 alege bile 2) : . Prin urmare, probabilitatea necesară .
Privind în viitor, această problemă poate fi rezolvată în alt mod.
Soluţie: Probabilitatea ca la prima încercare (scoaterea unei mingi) să fie extrasă o minge albă este egală cu (total bile 10 , dintre ei 3 alb). Probabilitatea ca, în timpul celei de-a doua încercări, mingea albă să fie extrasă din nou este egală cu (numărul total de bile este acum 9, deoarece au scos unul, a devenit alb 2, deoarece L-au scos pe cel alb). În consecință, probabilitatea combinării evenimentelor este egală cu produsul probabilităților lor, i.e. .
Exemplul 1.3.În urnă 2 verde, 7 roșu, 5 maro și 10 bile albe. Care este probabilitatea ca o minge colorată să apară?
Soluţie: Găsim, respectiv, probabilitățile de apariție a bilelor verzi, roșii și maro: ; ; . Deoarece evenimentele luate în considerare sunt în mod evident incompatibile, atunci, folosind axioma de adunare, găsim probabilitatea apariției unei mingi colorate:
Sau, într-un alt fel. Probabilitatea ca o minge albă să apară este . Apoi probabilitatea apariției unei mingi non-albe (adică colorate), adică. probabilitatea evenimentului opus este egală cu .
Definiția geometrică a probabilității. Pentru a depăși dezavantajul definiției clasice a probabilității (nu este aplicabilă testelor cu un număr infinit de rezultate), se introduce o definiție geometrică a probabilității - probabilitatea ca un punct să cadă într-o regiune (segment, parte a unui plan, etc.).
Lăsați segmentul să facă parte din segment. Un punct este plasat la întâmplare pe un segment, ceea ce înseamnă că sunt îndeplinite următoarele ipoteze: punctul plasat poate fi în orice punct al segmentului, probabilitatea ca un punct să cadă pe segment este proporțională cu lungimea acestui segment și nu depinde de locația sa față de segment. Conform acestor ipoteze, probabilitatea ca un punct să cadă pe un segment este determinată de egalitate
Definiția clasică și statistică a probabilității
Pentru activitățile practice, este necesar să se poată compara evenimentele în funcție de gradul de posibilitate al apariției lor. Să luăm în considerare un caz clasic. În urnă sunt 10 bile, 8 dintre ele sunt albe, 2 sunt negre. Evident, evenimentul „din urnă va fi extrasă o bilă albă” și evenimentul „din urnă va fi extrasă o bilă neagră” au grade diferite de posibilitate de apariție. Prin urmare, pentru a compara evenimente, este nevoie de o anumită măsură cantitativă.
O măsură cantitativă a posibilității ca un eveniment să se producă este probabilitate . Cele mai utilizate definiții ale probabilității unui eveniment sunt clasice și statistice.
Definiție clasică probabilitatea este asociată cu conceptul de rezultat favorabil. Să ne uităm la asta mai detaliat.
Lăsați rezultatele unui test să formeze un grup complet de evenimente și să fie la fel de posibile, de ex. unic posibil, incompatibil și la fel de posibil. Astfel de rezultate se numesc rezultate elementare, sau cazuri. Se spune că testul se rezumă la schema de caz sau " schema de urne", deoarece Orice problemă de probabilitate pentru un astfel de test poate fi înlocuită cu o problemă echivalentă cu urne și bile de diferite culori.
Rezultatul se numește favorabil eveniment A, dacă apariția acestui caz atrage producerea evenimentului A.
Conform definiţiei clasice probabilitatea unui eveniment A este egal cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total de rezultate, adică
, | (1.1) |
Unde P(A)– probabilitatea evenimentului A; m– numărul de cazuri favorabile evenimentului A; n– numărul total de cazuri.
Exemplul 1.1. Când aruncați un zar, există șase rezultate posibile: 1, 2, 3, 4, 5, 6 puncte. Care este probabilitatea de a obține un număr par de puncte?
Soluţie. Toate n= 6 rezultate formează un grup complet de evenimente și sunt la fel de posibile, i.e. unic posibil, incompatibil și la fel de posibil. Evenimentul A - „apariția unui număr par de puncte” - este favorizat de 3 rezultate (cazuri) - pierderea a 2, 4 sau 6 puncte. Folosind formula clasică pentru probabilitatea unui eveniment, obținem
P(A) = = . ◄
Pe baza definiției clasice a probabilității unui eveniment, notăm proprietățile acestuia:
1. Probabilitatea oricărui eveniment se află între zero și unu, adică.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
3. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
După cum sa menționat mai devreme, definiția clasică a probabilității este aplicabilă numai pentru acele evenimente care pot apărea ca urmare a testelor care au simetrie a rezultatelor posibile, de exemplu. reductibilă la un tipar de cazuri. Cu toate acestea, există o clasă mare de evenimente ale căror probabilități nu pot fi calculate folosind definiția clasică.
De exemplu, dacă presupunem că moneda este aplatizată, atunci este evident că evenimentele „apariția unei steme” și „apariția capetelor” nu pot fi considerate la fel de posibile. Prin urmare, formula de determinare a probabilității conform schemei clasice nu este aplicabilă în acest caz.
Cu toate acestea, există o altă abordare pentru estimarea probabilității evenimentelor, bazată pe cât de des va avea loc un anumit eveniment în încercările efectuate. În acest caz, se utilizează definiția statistică a probabilității.
Probabilitate statisticăevenimentul A este frecvența relativă (frecvența) de apariție a acestui eveniment în n încercări efectuate, i.e.
, | (1.2) |
Unde P*(A)– probabilitatea statistică a unui eveniment A; w(A)– frecvența relativă a evenimentului A; m– numărul de încercări în care s-a produs evenimentul A; n– numărul total de teste.
Spre deosebire de probabilitatea matematică P(A), considerat în definiția clasică, probabilitate statistică P*(A) este o caracteristică cu experienta, experimental. Cu alte cuvinte, probabilitatea statistică a unui eveniment A este numărul în jurul căruia frecvența relativă este stabilizată (setată) w(A) cu o creștere nelimitată a numărului de teste efectuate în același set de condiții.
De exemplu, când se spune despre un trăgător că lovește ținta cu o probabilitate de 0,95, asta înseamnă că din sutele de focuri trase de el în anumite condiții (aceeași țintă la aceeași distanță, aceeași pușcă etc.). ), în medie sunt aproximativ 95 de reușite. Desigur, nu fiecare sută va avea 95 de lovituri reușite, uneori vor fi mai puține, alteori mai multe, dar în medie, cu mai multe repetări ale tragerii în aceleași condiții, acest procent de lovituri va rămâne neschimbat. Cifra de 0,95, care servește ca un indicator al îndemânării trăgătorului, este de obicei foarte grajd, adică procentul de lovituri în cele mai multe împușcături va fi aproape același pentru un anumit trăgător, doar în cazuri rare abatendu-se semnificativ de la valoarea sa medie.
Un alt dezavantaj al definiției clasice a probabilității ( 1.1 ) limitarea utilizării sale este că presupune un număr finit de rezultate posibile ale testului. În unele cazuri, acest dezavantaj poate fi depășit prin utilizarea unei definiții geometrice a probabilității, i.e. găsirea probabilității ca un punct să cadă într-o anumită zonă (segment, parte dintr-un plan etc.).
Lasă figura plată g face parte dintr-o figură plată G(Fig. 1.1). Potrivi G un punct este aruncat la întâmplare. Aceasta înseamnă că toate punctele din regiune G„drepturi egale” în ceea ce privește dacă un punct aruncat la întâmplare îl lovește. Presupunând că probabilitatea unui eveniment A– punctul aruncat lovește figura g– este proporțional cu aria acestei figuri și nu depinde de locația ei în raport cu G, nici din formă g, vom găsi
Teoria probabilității este o știință matematică care studiază tipare în fenomene aleatorii. Apariția teoriei datează de la mijlocul secolului al XVII-lea și este asociată cu numele lui Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli.
Vom numi rezultate necompunebile,..., ale unor evenimente experimentale elementare și totalitatea lor
(finit) spațiu al evenimentelor elementare sau spațiu al rezultatelor.
Exemplul 21. a) La aruncarea unui zar, spațiul evenimentelor elementare este format din șase puncte:
b) Aruncă o monedă de două ori la rând, apoi
unde G este „stema”, P este „zăbrele” și numărul total de rezultate
c) Aruncă o monedă până la prima apariție a „stemei”, apoi
În acest caz se numește spațiu discret al evenimentelor elementare.
De obicei, cineva este interesat nu de rezultatul specific care apare ca urmare a unui studiu, ci de dacă rezultatul aparține unuia sau altuia subset al tuturor rezultatelor. Toate acele submulțimi pentru care, conform condițiilor experimentale, este posibil un răspuns de unul din două tipuri: „rezultat” sau „rezultat”, le vom numi evenimente.
În exemplul 21 b) setul = (GG, GR, RG) este evenimentul în care apare cel puțin o „stemă”. Prin urmare, evenimentul constă din trei rezultate elementare ale spațiului
Suma a două evenimente este evenimentul constând în împlinirea unui eveniment sau eveniment.
Producția de evenimente este un eveniment care constă în executarea în comun a unui eveniment și a unui eveniment.
Opusul unui eveniment este un eveniment care constă în neapariție și, prin urmare, îl completează.
Un set se numește eveniment de încredere, un set gol este numit imposibil.
Dacă fiecare apariție a unui eveniment este însoțită de o apariție, atunci ei scriu și spun ceea ce precede sau implică.
Evenimentele și se spune că sunt echivalente dacă și.
Definiție. Probabilitatea unui eveniment este un număr egal cu raportul dintre numărul de rezultate elementare care alcătuiesc evenimentul și numărul tuturor rezultatelor elementare
Cazul unor evenimente la fel de probabile (numite „clasice”, deci probabilitatea
numită „clasică”.
Evenimentele elementare (rezultatele experienței) incluse în eveniment sunt numite „favorabile”.
Proprietăți ale probabilității clasice:
Dacă (și sunt evenimente incompatibile).
Exemplul 22 (problema Huygens). În urnă sunt 2 bile albe și 4 negre. Un jucător de noroc pariază cu altul că dintre cele 3 bile extrase va fi exact una albă. În ce raport sunt șansele disputanților?
Soluția 1 (tradițională). În acest caz, testul = (scoaterea a 3 bile), iar evenimentul este favorabil unuia dintre disputanți:
= (obține exact o minge albă).
Întrucât ordinea în care sunt extrase cele trei bile nu este importantă, atunci
Se poate obține o minge albă în cazuri și două negre - și apoi conform regulii de bază a combinatoriei. Prin urmare, și prin a cincea proprietate a probabilității Prin urmare,
Soluția 2. Să creăm un arbore probabilist al rezultatelor:
Exemplul 23. Luați în considerare o pușculiță în care au rămas patru monede - trei din 2 ruble fiecare. și unul pentru 5 ruble. Scoatem două monede.
Soluţie. a) Două extrageri consecutive (cu retur) pot duce la următoarele rezultate:
Care este probabilitatea fiecăruia dintre aceste rezultate?
Tabelul prezintă toate cele șaisprezece cazuri posibile.
Prin urmare,
Următorul arbore duce la aceleași rezultate:
b) Două extrageri consecutive (fără repetare) pot duce la următoarele trei rezultate:
Tabelul prezintă toate rezultatele posibile:
Prin urmare,
Arborele corespunzător conduce la aceleași rezultate:
Exemplul 24 (problema de Mere). Două persoane joacă un joc de aruncare cu până la cinci victorii. Jocul este oprit când primul a câștigat patru jocuri, iar al doilea a câștigat trei. Cum ar trebui împărțit pariul inițial în acest caz?
Soluţie. Let event = (fii primul jucător care câștigă un premiu). Apoi, arborele probabilistic al câștigurilor pentru primul jucător este următorul:
Prin urmare, trei părți din pariu ar trebui date primului jucător și o parte celui de-al doilea.
Să demonstrăm eficacitatea rezolvării problemelor probabilistice folosind grafice folosind următorul exemplu, pe care l-am considerat în §1 (exemplul 2).
Exemplul 25. Este corectă alegerea folosind „masa de numărare”?
Soluţie. Să creăm un arbore probabilistic al rezultatelor:
și, prin urmare, atunci când joci „jocuri de numărare” este mai profitabil să stai pe locul doi.
Ultima soluție folosește interpretări grafice ale teoremelor de adunare și înmulțire a probabilităților:
si in special
Dacă și sunt evenimente incompatibile
și, dacă și - evenimente independente.
Probabilitate statică
Definiția clasică, atunci când se iau în considerare probleme complexe, întâmpină dificultăți de natură insurmontabilă. În special, în unele cazuri este posibil să nu fie posibil să se identifice cazuri la fel de probabile. Chiar și în cazul unei monede, după cum știm, există o posibilitate clar nu la fel de probabilă ca „marginea” să cadă, care din considerente teoretice nu poate fi evaluată (se poate spune doar că este puțin probabil și că această considerație este mai degrabă practic). Prin urmare, chiar și în zorii formării teoriei probabilităților, a fost propusă o definiție alternativă de „frecvență” a probabilității. Și anume, din punct de vedere formal, probabilitatea poate fi definită ca limita a frecvenței observațiilor evenimentului A, presupunând omogenitatea observațiilor (adică asemănarea tuturor condițiilor de observație) și independența lor una față de alta:
unde este numărul de observații și este numărul de apariții ale evenimentului.
În ciuda faptului că această definiție indică mai degrabă o modalitate de a estima o probabilitate necunoscută - printr-un număr mare de observații omogene și independente - totuși, această definiție reflectă conținutul conceptului de probabilitate. Și anume, dacă unui eveniment i se atribuie o anumită probabilitate ca măsură obiectivă a posibilității sale, atunci aceasta înseamnă că în condiții fixe și repetări repetate ar trebui să obținem o frecvență a apariției acestuia apropiată (cu cât mai aproape, cu atât există mai multe observații). De fapt, acesta este sensul original al conceptului de probabilitate. Se bazează pe o viziune obiectivistă asupra fenomenelor naturale. Mai jos vom lua în considerare așa-numitele legi ale numerelor mari, care oferă o bază teoretică (în cadrul abordării axiomatice moderne prezentate mai jos), inclusiv pentru estimarea în frecvență a probabilității.
Pentru a compara cantitativ evenimentele între ele după gradul de posibilitate al acestora, evident, este necesar să se asocieze un anumit număr fiecărui eveniment, care este mai mare, cu atât evenimentul este mai posibil. Vom numi acest număr probabilitatea unui eveniment. Prin urmare, probabilitatea unui eveniment este o măsură numerică a gradului de posibilitate obiectivă a acestui eveniment.
Prima definiție a probabilității ar trebui considerată cea clasică, care a apărut din analiza jocurilor de noroc și a fost aplicată inițial intuitiv.
Metoda clasică de determinare a probabilității se bazează pe conceptul de evenimente la fel de posibile și incompatibile, care sunt rezultatele unei experiențe date și formează un grup complet de evenimente incompatibile.
Cel mai simplu exemplu de evenimente la fel de posibile și incompatibile care formează un grup complet este apariția uneia sau alteia mingi dintr-o urnă care conține mai multe bile de aceeași dimensiune, greutate și alte caracteristici tangibile, care diferă doar prin culoare, bine amestecate înainte de a fi îndepărtate.
Prin urmare, un test ale cărui rezultate formează un grup complet de evenimente incompatibile și la fel de posibile se spune că este reductibil la un model de urne, sau un model de cazuri sau se încadrează în modelul clasic.
Evenimentele la fel de posibile și incompatibile care alcătuiesc un grup complet vor fi numite pur și simplu cazuri sau șanse. Mai mult, în fiecare experiment, alături de cazuri, pot apărea evenimente mai complexe.
Exemplu: Când aruncăm un zar, împreună cu cazurile A i - pierderea punctelor i din partea superioară, putem considera evenimente precum B - pierderea unui număr par de puncte, C - pierderea unui număr de puncte. puncte care sunt multiplu de trei...
În raport cu fiecare eveniment care poate apărea în timpul experimentului, cazurile sunt împărțite în favorabil, în care se produce acest eveniment, și nefavorabile, în care evenimentul nu are loc. În exemplul anterior, evenimentul B este favorizat de cazurile A 2, A 4, A 6; eveniment C - cazurile A 3, A 6.
Probabilitate clasică apariția unui anumit eveniment se numește raportul dintre numărul de cazuri favorabile apariției acestui eveniment și numărul total de cazuri la fel de posibile, incompatibile, care alcătuiesc grupul complet dintr-un experiment dat:
Unde P(A)- probabilitatea apariţiei evenimentului A; m- numărul de cazuri favorabile evenimentului A; n- numărul total de cazuri.
Exemple:
1) (vezi exemplul de mai sus) P(B)= , P(C) =.
2) Urna conține 9 bile roșii și 6 albastre. Găsiți probabilitatea ca una sau două bile extrase la întâmplare să devină roșii.
A- o bila rosie extrasa la intamplare:
m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=
B- două bile roșii extrase la întâmplare:
Următoarele proprietăți rezultă din definiția clasică a probabilității (arată-te):
1) Probabilitatea unui eveniment imposibil este 0;
2) Probabilitatea unui eveniment de încredere este 1;
3) Probabilitatea oricărui eveniment se situează între 0 și 1;
4) Probabilitatea unui eveniment opus evenimentului A,
Definiția clasică a probabilității presupune că numărul de rezultate ale unui proces este finit. În practică, de foarte multe ori există teste, al căror număr de cazuri posibile este infinit. În plus, slăbiciunea definiției clasice este că de foarte multe ori este imposibil să se reprezinte rezultatul unui test sub forma unui set de evenimente elementare. Este și mai dificil de indicat motivele pentru care se consideră că rezultatele elementare ale unui test sunt la fel de posibile. De obicei, echiposibilitatea rezultatelor testelor elementare este concluzionată din considerente de simetrie. Cu toate acestea, astfel de sarcini sunt foarte rare în practică. Din aceste motive, alături de definiția clasică a probabilității, sunt utilizate și alte definiții ale probabilității.
Probabilitate statistică evenimentul A este frecvența relativă de apariție a acestui eveniment în testele efectuate:
unde este probabilitatea de apariție a evenimentului A;
Frecvența relativă de apariție a evenimentului A;
Numărul de încercări în care a apărut evenimentul A;
Numărul total de încercări.
Spre deosebire de probabilitatea clasică, probabilitatea statistică este o caracteristică experimentală.
Exemplu: Pentru a controla calitatea produselor dintr-un lot, au fost selectate aleatoriu 100 de produse, dintre care 3 produse s-au dovedit a fi defecte. Determinați probabilitatea căsătoriei.
.
Metoda statistică de determinare a probabilității este aplicabilă numai acelor evenimente care au următoarele proprietăți:
Evenimentele luate în considerare ar trebui să fie doar rezultatele acelor teste care pot fi reproduse de un număr nelimitat de ori în același set de condiții.
Evenimentele trebuie să aibă stabilitate statistică (sau stabilitate a frecvențelor relative). Aceasta înseamnă că în diferite serii de teste frecvența relativă a evenimentului se modifică puțin.
Numărul de încercări care rezultă în evenimentul A trebuie să fie destul de mare.
Este ușor de verificat că proprietățile probabilității care decurg din definiția clasică sunt păstrate și în definiția statistică a probabilității.