Cum se trasează un vector dintr-un punct dat. Operatii asupra vectorilor si proprietatile acestora: adunare si inmultire
În cele din urmă, am pus mâna pe acest subiect vast și mult așteptat. geometrie analitică. În primul rând, puțin despre această secțiune de matematică superioară... Cu siguranță vă amintiți acum un curs de geometrie școlar cu numeroase teoreme, dovezile lor, desene etc. Ce să ascunzi, un subiect neiubit și adesea obscur pentru o proporție semnificativă de studenți. Geometria analitică, destul de ciudat, poate părea mai interesantă și mai accesibilă. Ce înseamnă adjectivul „analitic”? Imediat îmi vin în minte două fraze matematice clișee: „metoda soluției grafice” și „metoda soluției analitice”. Metoda grafica, desigur, este asociat cu construcția de grafice și desene. Analitic la fel metodă presupune rezolvarea problemelor în principal prin operatii algebrice. În acest sens, algoritmul pentru rezolvarea aproape a tuturor problemelor de geometrie analitică este simplu și transparent; de multe ori este suficient să aplicați cu atenție formulele necesare - iar răspunsul este gata! Nu, desigur, nu vom putea face asta fără desene deloc și, în plus, pentru o mai bună înțelegere a materialului, voi încerca să le citez dincolo de necesitate.
Cursul nou deschis de lecții de geometrie nu se pretinde a fi complet teoretic, ci se concentrează pe rezolvarea unor probleme practice. Voi include în prelegerile mele doar ceea ce, din punctul meu de vedere, este important din punct de vedere practic. Dacă aveți nevoie de ajutor mai complet cu privire la orice subsecțiune, vă recomand următoarea literatură destul de accesibilă:
1) Un lucru cu care, nu de glumă, mai multe generații sunt familiarizate: Manual școlar de geometrie, autori - L.S. Atanasyan și Compania. Acest umeraș pentru vestiar a școlii a trecut deja prin 20 (!) retipăriri, ceea ce, desigur, nu este limita.
2) Geometrie în 2 volume. Autorii L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Aceasta este literatură pentru liceu, vei avea nevoie primul volum. Sarcinile întâlnite rar îmi pot pierde din vedere, iar tutorialul va fi de un ajutor neprețuit.
Ambele cărți pot fi descărcate gratuit online. În plus, puteți folosi arhiva mea cu soluții gata făcute, care se găsesc pe pagină Descărcați exemple în matematică superioară.
Printre instrumente, îmi propun din nou propria dezvoltare - pachete softwareîn geometria analitică, care va simplifica foarte mult viața și va economisi mult timp.
Se presupune că cititorul este familiarizat cu conceptele și figurile geometrice de bază: punct, dreaptă, plan, triunghi, paralelogram, paralelipiped, cub etc. Este indicat să vă amintiți unele teoreme, cel puțin teorema lui Pitagora, salut repetitorilor)
Și acum vom lua în considerare secvențial: conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale. Recomand să citești mai departe cel mai important articol Produsul punctual al vectorilor, Si deasemenea Vector și produsul mixt al vectorilor. O sarcină locală - Divizarea unui segment în acest sens - nu va fi, de asemenea, de prisos. Pe baza informațiilor de mai sus, puteți stăpâni ecuația unei drepte într-un plan Cu cele mai simple exemple de soluții, ceea ce va permite invata sa rezolvi probleme de geometrie. De asemenea, sunt utile următoarele articole: Ecuația unui plan în spațiu, Ecuațiile unei drepte în spațiu, Probleme de bază pe o dreaptă și un plan, alte secțiuni de geometrie analitică. Desigur, sarcinile standard vor fi luate în considerare pe parcurs.
Concept de vector. Vector gratuit
Mai întâi, să repetăm definiția școlară a unui vector. Vector numit regizat un segment pentru care sunt indicate începutul și sfârșitul:
În acest caz, începutul segmentului este punctul, sfârșitul segmentului este punctul. Vectorul în sine este notat cu . Direcţie este esențial, dacă mutați săgeata la celălalt capăt al segmentului, obțineți un vector și acesta este deja vector complet diferit. Este convenabil să identifici conceptul de vector cu mișcarea unui corp fizic: trebuie să fii de acord, intrarea pe ușile unui institut sau părăsirea ușilor unui institut sunt lucruri complet diferite.
Este convenabil să luați în considerare punctele individuale ale unui plan sau spațiu ca așa-numitele vector zero. Pentru un astfel de vector, sfârșitul și începutul coincid.
!!! Notă: Aici și mai departe, puteți presupune că vectorii se află în același plan sau puteți presupune că sunt localizați în spațiu - esența materialului prezentat este valabilă atât pentru plan, cât și pentru spațiu.
Denumiri: Mulți au observat imediat bățul fără săgeată în denumire și au spus, există și o săgeată în partea de sus! Adevărat, îl poți scrie cu o săgeată: , dar este și posibil intrarea pe care o voi folosi în viitor. De ce? Aparent, acest obicei s-a dezvoltat din motive practice; împușcătorii mei de la școală și universitate s-au dovedit a fi de dimensiuni prea diferite și zdruncinați. În literatura educațională, uneori ei nu se deranjează deloc cu scrierea cuneiformă, ci evidențiază literele îngroșate: , implicând astfel că acesta este un vector.
Asta a fost stilistica și acum despre modalitățile de a scrie vectori:
1) Vectorii se pot scrie cu două litere mari latine: și așa mai departe. În acest caz, prima literă Neapărat indică punctul de început al vectorului, iar a doua literă indică punctul final al vectorului.
2) Vectorii se scriu și cu litere mici latine:
În special, vectorul nostru poate fi redesemnat pentru concizie printr-o literă latină mică.
Lungime sau modul un vector diferit de zero se numește lungimea segmentului. Lungimea vectorului zero este zero. Logic.
Lungimea vectorului este indicată prin semnul modulului: ,
Vom învăța cum să găsim lungimea unui vector (sau o vom repeta, în funcție de cine) puțin mai târziu.
Acestea erau informații de bază despre vectori, familiare tuturor școlarilor. În geometria analitică, așa-numita vector liber.
Să-l puneți pur și simplu - vectorul poate fi reprezentat din orice punct:
Suntem obișnuiți să numim astfel de vectori egali (definiția vectorilor egali va fi dată mai jos), dar din punct de vedere pur matematic, ei sunt ACEȘI VECTOR sau vector liber. De ce gratuit? Pentru că în cursul rezolvării problemelor, puteți „atașa” acest sau acel vector „școală” la ORICE punct al planului sau spațiului de care aveți nevoie. Aceasta este o caracteristică foarte cool! Imaginați-vă un segment direcționat de lungime și direcție arbitrară - poate fi „clonat” de un număr infinit de ori și în orice punct al spațiului, de fapt, există ORIUNDE. Există un astfel de student care spune: Fiecărui lector îi pasă de vector. La urma urmei, nu este doar o rimă plină de duh, totul este aproape corect - un segment regizat poate fi adăugat și acolo. Dar nu vă grăbiți să vă bucurați, elevii înșiși sunt cei care suferă adesea =)
Asa de, vector liber- Acest o multime de segmente dirijate identice. Definiția școlară a unui vector, dată la începutul paragrafului: „Un segment direcționat se numește vector...” implică specific un segment direcționat luat dintr-o mulțime dată, care este legat de un punct specific din plan sau spațiu.
Trebuie remarcat faptul că din punct de vedere al fizicii, conceptul de vector liber este în general incorect, iar punctul de aplicare contează. Într-adevăr, o lovitură directă cu aceeași forță pe nas sau pe frunte, suficientă pentru a-mi dezvolta exemplul stupid, atrage consecințe diferite. In orice caz, neliberă vectori se găsesc și în cursul vyshmat (nu mergeți acolo :)).
Acțiuni cu vectori. Coliniaritatea vectorilor
Un curs de geometrie școlară acoperă o serie de acțiuni și reguli cu vectori: adunarea după regula triunghiului, adunarea după regula paralelogramului, regula diferenței vectoriale, înmulțirea unui vector cu un număr, produsul scalar al vectorilor etc. Ca punct de plecare, să repetăm două reguli care sunt deosebit de relevante pentru rezolvarea problemelor de geometrie analitică.
Regula pentru adăugarea vectorilor folosind regula triunghiului
Luați în considerare doi vectori arbitrari nenuli și:
Trebuie să găsiți suma acestor vectori. Datorită faptului că toți vectorii sunt considerați liberi, vom pune deoparte vectorul din Sfârşit vector:
Suma vectorilor este vectorul. Pentru o mai bună înțelegere a regulii, este recomandabil să îi puneți un sens fizic: lăsați un corp să călătorească de-a lungul vectorului și apoi de-a lungul vectorului. Atunci suma vectorilor este vectorul drumului rezultat cu începutul în punctul de plecare și sfârșitul în punctul de sosire. O regulă similară este formulată pentru suma oricărui număr de vectori. După cum se spune, corpul își poate merge foarte slab de-a lungul unui zig-zag, sau poate pe pilot automat - de-a lungul vectorului rezultat al sumei.
Apropo, dacă vectorul este amânat de la a început vector, atunci obținem echivalentul regula paralelogramului adaos de vectori.
În primul rând, despre coliniaritatea vectorilor. Cei doi vectori sunt numiți coliniare, dacă se află pe aceeași linie sau pe drepte paralele. În linii mari, vorbim de vectori paraleli. Dar în legătură cu ele, se folosește întotdeauna adjectivul „coliniar”.
Imaginează-ți doi vectori coliniari. Dacă săgețile acestor vectori sunt îndreptate în aceeași direcție, atunci se numesc astfel de vectori co-regizat. Dacă săgețile indică în direcții diferite, atunci vectorii vor fi directii opuse.
Denumiri: coliniaritatea vectorilor este scrisă cu simbolul obișnuit de paralelism: , în timp ce detalierea este posibilă: (vectorii sunt co-direcționați) sau (vectorii sunt direcționați opus).
Munca un vector diferit de zero pe un număr este un vector a cărui lungime este egală cu , iar vectorii și sunt co-direcționați către și direcționați opus către .
Regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr este mai ușor de înțeles cu ajutorul unei imagini:
Să ne uităm la asta mai detaliat:
1) Direcția. Dacă multiplicatorul este negativ, atunci vectorul schimbă direcția spre opus.
2) Lungimea. Dacă multiplicatorul este conținut în sau , atunci lungimea vectorului scade. Deci, lungimea vectorului este jumătate din lungimea vectorului. Dacă modulul multiplicatorului este mai mare decât unu, atunci lungimea vectorului crește la timp.
3) Vă rugăm să rețineți că toți vectorii sunt coliniari, în timp ce un vector este exprimat prin altul, de exemplu, . Este adevărat și invers: dacă un vector poate fi exprimat prin altul, atunci astfel de vectori sunt în mod necesar coliniari. Prin urmare: dacă înmulțim un vector cu un număr, obținem coliniari(față de original) vector.
4) Vectorii sunt co-dirijați. Vectori și sunt, de asemenea, co-regizați. Orice vector al primului grup este direcționat opus față de orice vector al celui de-al doilea grup.
Ce vectori sunt egali?
Doi vectori sunt egali dacă sunt în aceeași direcție și au aceeași lungime. Rețineți că codirecționalitatea implică coliniaritatea vectorilor. Definiția ar fi inexactă (redundantă) dacă am spune: „Doi vectori sunt egali dacă sunt coliniari, codirecționali și au aceeași lungime”.
Din punctul de vedere al conceptului de vector liber, vectorii egali sunt același vector, așa cum sa discutat în paragraful anterior.
Coordonate vectoriale în plan și în spațiu
Primul punct este să luăm în considerare vectorii din plan. Să descriem un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene și să-l trasăm din originea coordonatelor singur vectori și:
Vectori și ortogonală. Ortogonal = Perpendicular. Vă recomand să vă obișnuiți încet cu termenii: în loc de paralelism și perpendicularitate, folosim cuvintele respectiv coliniaritateȘi ortogonalitatea.
Desemnare: Ortogonalitatea vectorilor se scrie cu simbolul obișnuit de perpendicularitate, de exemplu: .
Vectorii luați în considerare sunt numiți vectori de coordonate sau orts. Acești vectori se formează bază la suprafata. Ceea ce este o bază, cred, este intuitiv clar pentru mulți; informații mai detaliate pot fi găsite în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor Cu cuvinte simple, baza și originea coordonatelor definesc întregul sistem - acesta este un fel de fundație pe care fierbe o viață geometrică plină și bogată.
Uneori se numește baza construită ortonormal baza planului: „orto” - deoarece vectorii de coordonate sunt ortogonali, adjectivul „normalizat” înseamnă unitate, adică. lungimile vectorilor de bază sunt egale cu unu.
Desemnare: baza este de obicei scrisă între paranteze, în interiorul cărora în ordine strictă vectorii de bază sunt listați, de exemplu: . Vectori de coordonate este interzis rearanja.
Orice vector plan singura cale exprimat ca: , Unde - numere care sunt numite coordonate vectorialeîn această bază. Și expresia în sine
numit descompunere vectorialăpe baza .
Cina servita:
Să începem cu prima literă a alfabetului: . Desenul arată clar că atunci când se descompune un vector într-o bază, se folosesc cele discutate:
1) regula de înmulțire a unui vector cu un număr: și ;
2) adunarea vectorilor după regula triunghiului: .
Acum trasează mental vectorul din orice alt punct al planului. Este destul de evident că decăderea lui îl va „urma neîncetat”. Iată, libertatea vectorului - vectorul „poartă totul cu sine”. Această proprietate, desigur, este adevărată pentru orice vector. Este amuzant că vectorii de bază (liberi) înșiși nu trebuie să fie reprezentați de la origine; unul poate fi desenat, de exemplu, în stânga jos, iar celălalt în dreapta sus și nimic nu se va schimba! Adevărat, nu trebuie să faceți acest lucru, deoarece profesorul va arăta și originalitate și vă va atrage un „credit” într-un loc neașteptat.
Vectorii ilustrează exact regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr, vectorul este codirecțional cu vectorul de bază, vectorul este îndreptat opus vectorului de bază. Pentru acești vectori, una dintre coordonate este egală cu zero; o puteți scrie cu meticulozitate astfel:
Și vectorii de bază, apropo, sunt așa: (de fapt, ei sunt exprimați prin ei înșiși).
Și, în sfârșit: , . Apropo, ce este scăderea vectorială și de ce nu am vorbit despre regula scăderii? Undeva în algebra liniară, nu-mi amintesc unde, am observat că scăderea este un caz special de adunare. Astfel, expansiunile vectorilor „de” și „e” se scriu ușor ca o sumă: , . Urmăriți desenul pentru a vedea cât de clar funcționează vechea adunare a vectorilor conform regulii triunghiului în aceste situații.
Descompunerea considerată a formei numită uneori descompunere vectorială în sistemul ort(adică într-un sistem de vectori unitari). Dar aceasta nu este singura modalitate de a scrie un vector; următoarea opțiune este comună:
Sau cu semn egal:
Vectorii de bază înșiși sunt scriși după cum urmează: și
Adică, coordonatele vectorului sunt indicate în paranteze. În problemele practice, sunt utilizate toate cele trei opțiuni de notare.
Mă îndoiam dacă să vorbesc, dar o voi spune oricum: coordonatele vectoriale nu pot fi rearanjate. Strict pe primul loc notăm coordonata care corespunde vectorului unitar, strict pe locul doi notăm coordonata care corespunde vectorului unitar. Într-adevăr, și sunt doi vectori diferiți.
Ne-am dat seama de coordonatele din avion. Acum să ne uităm la vectorii din spațiul tridimensional, aproape totul este la fel aici! Va adăuga doar încă o coordonată. Este greu să faci desene tridimensionale, așa că mă voi limita la un vector, pe care pentru simplitate îl voi pune deoparte de origine:
Orice Vector spațial 3D singura cale se extinde pe o bază ortonormală: , unde sunt coordonatele vectorului (numărului) în această bază.
Exemplu din imagine: . Să vedem cum funcționează aici regulile vectoriale. În primul rând, înmulțind vectorul cu un număr: (săgeată roșie), (săgeată verde) și (săgeată zmeură). În al doilea rând, iată un exemplu de adăugare a mai multor, în acest caz trei, vectori: . Vectorul sumă începe în punctul inițial de plecare (începutul vectorului) și se termină în punctul final de sosire (sfârșitul vectorului).
În mod natural, toți vectorii spațiului tridimensional sunt, de asemenea, liberi; încercați să lăsați mental deoparte vectorul din orice alt punct și veți înțelege că descompunerea lui „va rămâne cu el”.
Similar cu carcasa plată, pe lângă scris sunt utilizate pe scară largă versiunile cu paranteze: fie .
Dacă unul (sau doi) vectori de coordonate lipsesc în expansiune, atunci se pun zerouri în locul lor. Exemple:
vector (minuțios ) - Hai să scriem ;
vector (minuțios ) - Hai să scriem ;
vector (minuțios ) - Hai să scriem .
Vectorii de bază se scriu după cum urmează:
Aceasta este, probabil, toate cunoștințele teoretice minime necesare pentru a rezolva probleme de geometrie analitică. Pot exista o mulțime de termeni și definiții, așa că recomand ca ceainicele să recitească și să înțeleagă din nou aceste informații. Și va fi util oricărui cititor să se refere din când în când la lecția de bază pentru a asimila mai bine materialul. Coliniaritate, ortogonalitate, bază ortonormală, descompunere vectorială - acestea și alte concepte vor fi adesea folosite în viitor. Observ că materialele de pe site nu sunt suficiente pentru a trece proba teoretică sau colocviul de geometrie, deoarece criptez cu atenție toate teoremele (și fără dovezi) - în detrimentul stilului științific de prezentare, dar un plus pentru înțelegerea dvs. subiectul. Pentru a primi informații teoretice detaliate, vă rugăm să vă înclinați în fața profesorului Atanasyan.
Și trecem la partea practică:
Cele mai simple probleme de geometrie analitică.
Acțiuni cu vectori în coordonate
Este foarte recomandabil să înveți cum să rezolvi sarcinile care vor fi luate în considerare complet automat și formulele memora, nici nu trebuie să-ți amintești intenționat, ei își vor aminti ei înșiși =) Acest lucru este foarte important, deoarece alte probleme de geometrie analitică se bazează pe cele mai simple exemple elementare și va fi enervant să petreci timp suplimentar mâncând pioni . Nu este nevoie să-ți închizi nasturii de sus pe cămașă; multe lucruri îți sunt familiare de la școală.
Prezentarea materialului va urma un curs paralel - atât pentru avion, cât și pentru spațiu. Din motivul că toate formulele... veți vedea singur.
Cum să găsești un vector din două puncte?
Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci vectorul are următoarele coordonate:
Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci vectorul are următoarele coordonate:
Acesta este, de la coordonatele capătului vectorului trebuie să scazi coordonatele corespunzătoare începutul vectorului.
Exercițiu: Pentru aceleași puncte, scrieți formulele pentru găsirea coordonatelor vectorului. Formule la sfârșitul lecției.
Exemplul 1
Având în vedere două puncte ale planului și . Găsiți coordonatele vectoriale
Soluţie: după formula corespunzătoare:
Alternativ, se poate folosi următoarea intrare:
Esteții vor decide acest lucru:
Personal, m-am obișnuit cu prima versiune a înregistrării.
Răspuns:
Conform condiției, nu a fost necesar să construim un desen (care este tipic pentru problemele de geometrie analitică), dar pentru a clarifica unele puncte pentru manechine, nu voi fi leneș:
Neapărat trebuie să înțelegi diferența dintre coordonatele punctului și coordonatele vectoriale:
Coordonatele punctului– acestea sunt coordonate obișnuite într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Cred că toată lumea știe să traseze puncte pe un plan de coordonate din clasa a V-a-6. Fiecare punct are un loc strict în avion și nu pot fi mutați nicăieri.
Coordonatele vectorului– aceasta este extinderea sa în funcție de bază, în acest caz. Orice vector este liber, așa că, dacă se dorește sau este necesar, îl putem îndepărta cu ușurință de un alt punct al planului (pentru a evita confuzia, redenimându-l, de exemplu, prin ). Este interesant că pentru vectori nu trebuie să construiți deloc axe sau un sistem de coordonate dreptunghiulare; aveți nevoie doar de o bază, în acest caz o bază ortonormală a planului.
Înregistrările de coordonate ale punctelor și coordonatele vectorilor par a fi similare: , și sensul coordonatelor absolut diferit, și ar trebui să fiți bine conștienți de această diferență. Această diferență, desigur, se aplică și spațiului.
Doamnelor și domnilor, să ne umplem mâinile:
Exemplul 2
a) Puncte și sunt date. Găsiți vectori și .
b) Se acordă puncte Și . Găsiți vectori și .
c) Puncte și sunt date. Găsiți vectori și .
d) Se acordă puncte. Găsiți vectori .
Poate că este suficient. Acestea sunt exemple pentru a vă decide singur, încercați să nu le neglijați, va plăti ;-). Nu este nevoie să faci desene. Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.
Ce este important atunci când rezolvați probleme de geometrie analitică? Este important să fii EXTREMAT ATENȚIE pentru a evita să faci greșeala magistrală „doi plus doi egal zero”. Îmi cer scuze imediat dacă am greșit undeva =)
Cum se află lungimea unui segment?
Lungimea, așa cum sa menționat deja, este indicată de semnul modulului.
Dacă sunt date două puncte ale planului și , atunci lungimea segmentului poate fi calculată folosind formula
Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată folosind formula
Notă: Formulele vor rămâne corecte dacă coordonatele corespunzătoare sunt schimbate: și , dar prima opțiune este mai standard
Exemplul 3
Soluţie: după formula corespunzătoare:
Răspuns:
Pentru claritate, voi face un desen
Segment de linie - acesta nu este un vectorși, desigur, nu îl poți muta nicăieri. În plus, dacă desenați la scară: 1 unitate. = 1 cm (două celule de caiet), apoi răspunsul rezultat poate fi verificat cu o riglă obișnuită prin măsurarea directă a lungimii segmentului.
Da, soluția este scurtă, dar mai sunt câteva puncte importante pe care aș dori să le clarific:
În primul rând, în răspuns punem dimensiunea: „unități”. Condiția nu spune CE este, milimetri, centimetri, metri sau kilometri. Prin urmare, o soluție corectă din punct de vedere matematic ar fi formularea generală: „unități” - abreviat ca „unități”.
În al doilea rând, să repetăm materialul școlar, care este util nu numai pentru sarcina luată în considerare:
fi atent la tehnica importanta – eliminând multiplicatorul de sub rădăcină. Ca rezultat al calculelor, avem un rezultat și un stil matematic bun implică eliminarea factorului de sub rădăcină (dacă este posibil). Mai detaliat procesul arată astfel: . Desigur, să lăsăm răspunsul așa cum este nu ar fi o greșeală - dar cu siguranță ar fi un neajuns și un argument serios pentru a dispute din partea profesorului.
Iată și alte cazuri comune:
Adesea rădăcina produce un număr destul de mare, de exemplu . Ce să faci în astfel de cazuri? Cu ajutorul calculatorului, verificăm dacă numărul este divizibil cu 4: . Da, a fost complet împărțit, astfel: . Sau poate numărul poate fi împărțit din nou la 4? . Prin urmare:
. Ultima cifră a numărului este impară, așa că împărțirea la 4 pentru a treia oară nu va funcționa în mod evident. Să încercăm să împărțim la nouă: . Ca urmare:
Gata.
Concluzie: dacă sub rădăcină obținem un număr care nu poate fi extras ca întreg, atunci încercăm să eliminăm factorul de sub rădăcină - folosind un calculator verificăm dacă numărul este divizibil cu: 4, 9, 16, 25, 36, 49 etc.
Când rezolvați diverse probleme, se întâlnesc adesea rădăcini; încercați întotdeauna să extrageți factori de sub rădăcină pentru a evita o notă mai mică și probleme inutile la finalizarea soluțiilor pe baza comentariilor profesorului.
Să repetăm, de asemenea, rădăcinile pătrate și alte puteri:
Regulile de operare cu puteri în formă generală pot fi găsite într-un manual de algebră școlară, dar cred că din exemplele date, totul sau aproape totul este deja clar.
Sarcina de soluție independentă cu un segment în spațiu:
Exemplul 4
Puncte și sunt date. Aflați lungimea segmentului.
Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.
Cum se află lungimea unui vector?
Dacă este dat un vector plan, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula.
Dacă este dat un vector spațial, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula .
Aceste formule (precum și formulele pentru lungimea unui segment) sunt ușor derivate folosind binecunoscuta teoremă a lui Pitagora.
Cunoștințele și abilitățile dobândite în această lecție vor fi utile studenților nu numai la lecțiile de geometrie, ci și la orele de alte științe. În timpul lecției, elevii vor învăța să traseze un vector dintr-un punct dat. Aceasta ar putea fi o lecție obișnuită de geometrie sau o clasă extracurriculară sau opțională de matematică. Această dezvoltare îl va ajuta pe profesor să-și economisească timp pregătindu-se pentru lecția cu tema „Întârzierea unui vector dintr-un punct dat”. Va fi suficient pentru el să joace lecția video în clasă și apoi să întărească materialul cu propria sa selecție de exerciții.
Durata lecției este de doar 1:44 minute. Dar acest lucru este suficient pentru a-i învăța pe școlari să traseze un vector dintr-un punct dat.
Lecția începe cu o demonstrație a unui vector, al cărui început este la un anumit punct. Ei spun că vectorul este amânat de la el. Apoi autorul își propune să se demonstreze împreună cu el afirmația conform căreia din orice punct este posibil să se traseze un vector egal cu cel dat și, în plus, unic. În timpul probei, autorul examinează fiecare caz în detaliu. În primul rând, se ia situația când vectorul dat este zero și, în al doilea rând, când vectorul este diferit de zero. În timpul probei se folosesc ilustrații sub formă de desene și construcții, notații matematice, care formează alfabetizarea matematică la școlari. Autorul vorbește încet, permițând elevilor să ia notițe în paralel în timp ce comentează. Construcția pe care autorul a efectuat-o în timpul dovedirii afirmației formulate anterior arată cum de la un anumit punct se poate construi un vector egal cu cel dat.
Dacă elevii urmăresc cu atenție lecția și iau note în același timp, vor învăța cu ușurință materialul. Mai mult, autorul povestește în detaliu, măsurat și destul de complet. Dacă dintr-un motiv oarecare nu ați auzit ceva, puteți să vă întoarceți și să vizionați din nou lecția.
După vizionarea lecției video, este recomandabil să începeți consolidarea materialului. Profesorului i se recomandă să selecteze sarcini pe această temă pentru a exersa deprinderea de a trasa un vector dintr-un punct dat.
Această lecție poate fi folosită pentru ca elevii să studieze în mod independent subiectul. Dar pentru a o consolida, trebuie să contactați profesorul, astfel încât să poată selecta sarcinile adecvate. La urma urmei, fără consolidarea materialului, este dificil să obții un rezultat pozitiv în învățare.
Definiție standard: „Un vector este un segment direcționat”. Aceasta este de obicei nivelul cunoștințelor unui absolvent despre vectori. Cine are nevoie de „segmente direcționale”?
Dar cu adevărat, ce sunt vectorii și pentru ce sunt aceștia?
Prognoza meteo. „Vânt de nord-vest, viteză 18 metri pe secundă.” De acord, atât direcția vântului (de unde suflă) cât și magnitudinea (adică valoarea absolută) vitezei sale contează.
Mărimile care nu au direcție se numesc scalare. Masa, munca, sarcina electrică nu sunt direcționate nicăieri. Ele sunt caracterizate doar de o valoare numerică - „câte kilograme” sau „câți jouli”.
Mărimile fizice care au nu numai o valoare absolută, ci și o direcție, se numesc mărimi vectoriale.
Viteză, forță, accelerație - vectori. Pentru ei, „cât” este important și „unde” este important. De exemplu, accelerația gravitației este îndreptată spre suprafața Pământului, iar valoarea acesteia este de 9,8 m/s 2. Impulsul, intensitatea câmpului electric, inducția câmpului magnetic sunt, de asemenea, mărimi vectoriale.
Vă amintiți că mărimile fizice sunt notate cu litere, latină sau greacă. Săgeata de deasupra literei indică faptul că cantitatea este vectorială:
Iată un alt exemplu.
O mașină se deplasează de la A la B. Rezultatul final este mișcarea sa din punctul A în punctul B, adică mișcarea unui vector .
Acum este clar de ce un vector este un segment direcționat. Vă rugăm să rețineți că sfârșitul vectorului este unde se află săgeata. Lungimea vectorului se numește lungimea acestui segment. Indicat prin: sau
Pana acum am lucrat cu marimi scalare, dupa regulile aritmeticii si algebrei elementare. Vectorii sunt un concept nou. Aceasta este o altă clasă de obiecte matematice. Au propriile lor reguli.
Odinioară nici nu știam nimic despre numere. Cunoașterea mea cu ei a început în școala elementară. S-a dovedit că numerele pot fi comparate între ele, adunate, scăzute, înmulțite și împărțite. Am învățat că există un număr unu și un număr zero.
Acum suntem introduși în vectori.
Conceptele de „mai mult” și „mai puțin” pentru vectori nu există - la urma urmei, direcțiile lor pot fi diferite. Numai lungimile vectorului pot fi comparate.
Dar există un concept de egalitate pentru vectori.
Egal se numesc vectori care au aceeasi lungime si aceeasi directie. Aceasta înseamnă că vectorul poate fi transferat paralel cu el însuși în orice punct din plan.
Singur este un vector a cărui lungime este 1. Zero este un vector a cărui lungime este zero, adică începutul său coincide cu sfârșitul.
Cel mai convenabil este să lucrați cu vectori într-un sistem de coordonate dreptunghiular - același în care desenăm grafice ale funcțiilor. Fiecare punct din sistemul de coordonate corespunde a două numere - coordonatele sale x și y, abscisă și ordonată.
Vectorul este specificat și de două coordonate:
Aici coordonatele vectorului sunt scrise între paranteze - în x și y.
Se găsesc simplu: coordonata sfârșitului vectorului minus coordonata începutului acestuia.
Dacă sunt date coordonatele vectoriale, lungimea acestuia este găsită prin formula
Adăugarea vectorului
Există două moduri de a adăuga vectori.
1 . Regula paralelogramului. Pentru a adăuga vectorii și , plasăm originile ambilor în același punct. Construim până la un paralelogram și din același punct desenăm o diagonală a paralelogramului. Aceasta va fi suma vectorilor și .
Îți amintești fabula despre lebădă, raci și știucă? Au încercat foarte mult, dar nu au mutat niciodată căruciorul. La urma urmei, suma vectorială a forțelor pe care le aplicau căruciorului a fost egală cu zero.
2. A doua modalitate de a adăuga vectori este regula triunghiului. Să luăm aceiași vectori și . Vom adăuga începutul celui de-al doilea la sfârșitul primului vector. Acum să conectăm începutul primului și sfârșitul celui de-al doilea. Aceasta este suma vectorilor și .
Folosind aceeași regulă, puteți adăuga mai mulți vectori. Le aranjam unul după altul și apoi conectăm începutul primului cu sfârșitul ultimului.
Imaginează-ți că mergi de la punctul A la punctul B, de la B la C, de la C la D, apoi la E și la F. Rezultatul final al acestor acțiuni este deplasarea de la A la F.
Când adunăm vectori și obținem:
Scădere vectorială
Vectorul este îndreptat opus vectorului. Lungimile vectorilor și sunt egale.
Acum este clar ce este scăderea vectorială. Diferența vectorială și este suma vectorului și a vectorului .
Înmulțirea unui vector cu un număr
Când un vector este înmulțit cu numărul k, se obține un vector a cărui lungime este de k ori diferită de lungimea . Este codirecțional cu vectorul dacă k este mai mare decât zero și opus dacă k este mai mic decât zero.
Produsul punctual al vectorilor
Vectorii pot fi înmulțiți nu numai cu numere, ci și între ei.
Produsul scalar al vectorilor este produsul dintre lungimile vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei.
Vă rugăm să rețineți că am înmulțit doi vectori, iar rezultatul a fost un scalar, adică un număr. De exemplu, în fizică, munca mecanică este egală cu produsul scalar a doi vectori - forță și deplasare:
Dacă vectorii sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero.
Și așa se exprimă produsul scalar prin coordonatele vectorilor și:
Din formula pentru produsul scalar puteți găsi unghiul dintre vectori:
Această formulă este deosebit de convenabilă în stereometrie. De exemplu, în problema 14 a examenului de stat Profil unificat la matematică, trebuie să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează sau dintre o dreaptă și un plan. Problema 14 este adesea rezolvată de câteva ori mai repede decât prin metoda clasică.
În programa școlară de matematică se predă numai produsul scalar al vectorilor.
Rezultă că, pe lângă produsul scalar, există și un produs vectorial, când rezultatul înmulțirii a doi vectori este un vector. Oricine susține examenul de stat unificat în fizică știe ce sunt forța Lorentz și forța Ampere. Formulele pentru găsirea acestor forțe includ produse vectoriale.
Vectorii sunt un instrument matematic foarte util. Veți vedea asta în primul an.
Vector – acesta este un segment de linie dreaptă direcționată, adică un segment având o anumită lungime și o anumită direcție. Lasă punctul A este începutul vectorului și punctul B – capătul său, atunci vectorul este notat cu simbolul sau . Vectorul este numit opus vector și poate fi desemnat .
Să formulăm o serie de definiții de bază.
Lungime sau modul vectorse numește lungimea segmentului și se notează. Se numește un vector de lungime zero (esența sa este un punct). zero și nu are direcție. Vector se numește lungimea unitățiisingur . Vector unitar a cărui direcție coincide cu direcția vectorului , numit orth a vectorului .
Vectorii sunt numiți coliniare , dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele, notați. Vectorii coliniari pot avea direcții coincidente sau opuse. Vectorul zero este considerat coliniar cu orice vector.
Se spune că vectorii sunt egali, dacă sunt coliniare, au aceeași direcție și au aceeași lungime.
Se numesc trei vectori din spațiu coplanare , dacă se află în același plan sau pe planuri paralele. Dacă dintre trei vectori cel puțin unul este zero sau doi sunt coliniari, atunci astfel de vectori sunt coplanari.
Considerăm în spațiu un sistem de coordonate dreptunghiular 0 xyz. Să selectăm 0 pe axele de coordonate X, 0y, 0z vectori unitari (sau vectori) si notati-i prinrespectiv. Să alegem un vector arbitrar al spațiului și să aliniem originea acestuia cu originea coordonatelor. Să proiectăm vectorul pe axele de coordonate și să notăm proiecțiile cu un x, Ay, a z respectiv. Atunci este ușor să arăți asta
.
(2.25)
Această formulă este de bază în calculul vectorial și se numește extinderea vectorului în vectori unitari ai axelor de coordonate . Numerele un x, Ay, a z sunt numite coordonate vectoriale . Astfel, coordonatele unui vector sunt proiecțiile sale pe axele de coordonate. Egalitatea vectorială (2.25) este adesea scrisă sub forma
Vom folosi notația vectorială în acolade pentru a face mai ușor din punct de vedere vizual distingerea între coordonatele vectoriale și coordonatele punctului. Folosind formula pentru lungimea unui segment, cunoscută din geometria școlii, puteți găsi o expresie pentru calcularea modulului vectorului:
,
(2.26)
adică modulul unui vector este egal cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale.
Să notăm unghiurile dintre vector și axele de coordonate ca α, β, γ respectiv. Cosinus aceste unghiuri sunt numite pentru vector ghiduri , iar pentru ei este valabilă următoarea relație:Valabilitatea acestei egalități poate fi arătată folosind proprietatea proiecției unui vector pe o axă, care va fi discutată în paragraful 4 de mai jos.
Fie dați vectorii în spațiul tridimensionalcu coordonatele tale. Pe ele au loc următoarele operații: liniare (adunarea, scăderea, înmulțirea cu un număr și proiecția unui vector pe o axă sau alt vector); neliniar – diverse produse ale vectorilor (scalari, vectoriali, mixti).
1. Plus doi vectori sunt produși în coordonate, adică dacă
Această formulă este valabilă pentru un număr finit arbitrar de termeni.
Din punct de vedere geometric, doi vectori se adună după două reguli:
A) regulă triunghi – vectorul rezultat al sumei a doi vectori leagă începutul primului dintre ei cu sfârșitul celui de-al doilea, cu condiția ca începutul celui de-al doilea să coincidă cu sfârșitul primului vector; pentru o sumă de vectori – vectorul rezultat al sumei leagă începutul primului dintre ei cu sfârșitul ultimului vector-termen, cu condiția ca începutul termenului următor să coincidă cu sfârșitul celui anterior;
b) regulă paralelogram (pentru doi vectori) – se construiește un paralelogram pe comenzile-vectori ca pe laturile reduse la aceeași origine; Diagonala unui paralelogram pornind de la originea lor comună este suma vectorilor.
2. Scădere doi vectori sunt executați în coordonate, similar cu adunarea, adică dacă, Acea
Geometric, se adaugă doi vectori conform regulii paralelogramului deja menționată, ținând cont că diferența dintre vectori este diagonala care leagă capetele vectorilor, iar vectorul rezultat este îndreptat de la capătul subtraendului până la capătul descăzut.
O consecință importantă a scăderii vectoriale este faptul că, dacă sunt cunoscute coordonatele începutului și sfârșitului vectorului, atunci pentru a calcula coordonatele unui vector, este necesar să se scadă coordonatele începutului său din coordonatele sfârșitului său
. Într-adevăr, orice vector al spațiuluipoate fi reprezentat ca diferența a doi vectori care emană de la origine:. Coordonatele vectorialeȘi coincid cu coordonatele punctelorAȘi ÎN, încă de la origineDESPRE(0;0;0). Astfel, conform regulii de scădere a vectorilor, ar trebui să scădeți coordonatele punctuluiAdin coordonatele punctuluiÎN.
3.
U
înmulțirea unui vector cu un număr λ
coordonată cu coordonată:.
La λ> 0 – vector co-regizat ; λ< 0 – vector direcție opusă ; | λ|> 1 – lungimea vectorului creste in λ o singura data;| λ|< 1 – lungimea vectorului scade cu λ o singura data.
4. Lasă o linie dreaptă direcționată (axa l), vectordate de coordonatele sfârşitului şi începutului. Să notăm proiecțiile punctelor AȘi B pe axă lîn consecinţă prin A’ Și B’ .
Proiecție vector pe axă lse numeste lungimea vectorului, luat cu semnul „+”, dacă vectorul si axa lco-regizat și cu semnul „–” dacăȘi ldirectii opuse.
Dacă ca axă l luați un alt vector, atunci obținem proiecția vectorului pe vector r.
Să ne uităm la câteva proprietăți de bază ale proiecțiilor:
1) proiecție vectorială pe axă legal cu produsul modulului vectoruluiprin cosinusul unghiului dintre vector și axă, adică;
2.) proiecția vectorului pe axă este pozitivă (negativă) dacă vectorul formează un unghi ascuțit (obtuz) cu axa și este egală cu zero dacă acest unghi este drept;
3) proiecția sumei mai multor vectori pe aceeași axă este egală cu suma proiecțiilor pe această axă.
Să formulăm definiții și teoreme despre produsele vectorilor reprezentând operații neliniare pe vectori.
5. Produs punctual vectori şieste un număr (scalar) egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiuluiφ între ei, adică
.
(2.27)
Evident, pătratul scalar al oricărui vector diferit de zero este egal cu pătratul lungimii acestuia, deoarece în acest caz unghiul , deci cosinusul său (în 2.27) este 1.
Teorema 2.2.O condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a doi vectori este ca produsul lor scalar să fie egal cu zero
Consecinţă. Produsele scalare perechi ale vectorilor unitari sunt egale cu zero, adică
Teorema 2.3. Produsul scalar a doi vectori, dat de coordonatele lor, este egal cu suma produselor coordonatelor lor cu același nume, adică
(2.28)
Folosind produsul scalar al vectorilor, puteți calcula unghiulîntre ele. Dacă doi vectori nenuli sunt dați cu coordonatele lor, apoi cosinusul unghiuluiφ între ele:
(2.29)
Aceasta implică condiția de perpendicularitate a vectorilor nenuliȘi :
(2.30)
Găsirea proiecției unui vectorla direcția specificată de vector , poate fi efectuată conform formulei
(2.31)
Folosind produsul scalar al vectorilor, se găsește munca efectuată de o forță constantăpe o porțiune dreaptă a potecii.
Să presupunem că sub influența unei forțe constante un punct material se deplasează rectiliniu din poziție A a pozitiona B. Vector de forță formează un unghi φ cu vector de deplasare (Fig. 2.14). Fizica spune că munca forței la deplasare egal cu .
Exemplul 2.9.Folosind produsul scalar al vectorilor, găsiți unghiul vârfuluiAparalelogramABCD, construit bazate pe vectori
Soluţie. Să calculăm modulele vectorilor și produsul lor scalar folosind teorema (2.3):
De aici, conform formulei (2.29), obținem cosinusul unghiului dorit
Exemplul 2.10.Costurile materiilor prime și resurselor materiale utilizate pentru producerea unei tone de brânză de vaci sunt prezentate în Tabelul 2.2 (frec.).
Care este prețul total al acestor resurse cheltuite pentru a produce o tonă de brânză de vaci?Tabelul 2.2
Apoi .Prețul total al resursei
, care este produsul scalar al vectorilor. Să o calculăm folosind formula (2.28) conform teoremei 2.3:
Notă. Acțiunile cu vectori efectuate în exemplul 2.10 pot fi efectuate pe un computer personal. Pentru a găsi produsul scalar al vectorilor în MS Excel, utilizați funcția SUMPRODUCT(), unde adresele intervalelor de elemente de matrice a căror sumă de produse trebuie găsită sunt specificate ca argumente. În MathCAD, produsul scalar a doi vectori este realizat folosind operatorul corespunzător din bara de instrumente Matrix
Exemplul 2.11. Calculați munca efectuată de forță
, dacă punctul aplicării sale se mișcă liniar din poziție A(2;4;6) la poziție A(4;2;7). În ce unghi să AB forța este direcționată ?Soluţie. Găsiți vectorul deplasare scăzând din coordonatele capătului săucoordonatele originii
. Conform formulei (2.28)(unități de lucru).
Colţ φ intre si găsim prin formula (2.29), adică
6. Trei vectori necoplanari, luate în ordinea indicată, formulardreapta trei, dacă la observarea de la capătul celui de-al treilea vectorcea mai scurtă rotație de la primul vectorla al doilea vectorse face în sens invers acelor de ceasornic șistânga , dacă în sensul acelor de ceasornic.
Opera de artă vectorială vector la vector numit vector , îndeplinesc următoarele condiții:
– perpendicular pe vectoriȘi ;
– are lungimea egală cu, Unde φ
– unghiul format de vectoriȘi ;
– vectori formează un drept trei (Fig. 2.15).
Teorema 2.4.O condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea a doi vectori este ca produsul lor vectorial să fie egal cu zero
Teorema 2.5. Produs vectorial al vectorilor, dat de coordonatele sale, este egal cu determinantul de ordinul trei al formei
(2.32)
Notă. Determinant (2.25) se extinde în funcție de proprietatea a 7 determinanți
Corolarul 1.O condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea a doi vectori este proporționalitatea coordonatelor corespunzătoare
Corolarul 2. Produsele vectoriale ale vectorilor unitari sunt egale
Corolarul 3.Pătratul vectorial al oricărui vector este zero
Interpretarea geometrică a produsului încrucișat
este că lungimea vectorului rezultat este numeric egală cu aria S un paralelogram construit pe vectori factori ca laturi reduse la aceeași origine. Într-adevăr, conform definiției, modulul produsului vectorial al vectorilor este egal cu.
Pe de altă parte, aria unui paralelogram construit folosind vectoriși , este, de asemenea, egală
. Prin urmare,
.
(2.33)
De asemenea, folosind produsul vectorial, puteți determina momentul de forță relativ la un punct și liniarul viteza de rotatie.
Lasă la punct A forta aplicata lăsați-l să plece O – un punct din spațiu (Fig. 2.16). Din cursul de fizică se știe că moment de forta relativ la punct Onumit vector , care trece prin punctOsi indeplineste urmatoarele conditii:
Perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;
Modulul său este numeric egal cu produsul forței exercitate de braț.
- formează un triplu din dreapta cu vectoriiȘi.
Prin urmare, momentul forței relativ la punctOeste un produs vectorial
. (2.34)
punctul axului (Fig. 2.17).
Exemplul 2.12. Găsiți aria unui triunghi folosind produsul încrucișat ABC, construit pe vectori, redus la un început.