Пример вычисления определенного интеграла методом трапеций. Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеций и методом Симпсона? Вычислить интеграл формуле трапеций пример
Учебно-воспитательные задачи:
- Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.
- Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое практическое и воспитательное значение. Наиболее просто к идее численного интегрирования можно подойти, опираясь на определение определённого интеграла как предела интегральных сумм. Например, если взять какое-либо достаточно мелкое разбиение отрезка [a ; b ] и построить для него интегральную сумму, то её значение можно приближённо принять за значение соответствующего интеграла. При этом важно быстро и правильно производить вычисления с привлечением вычислительной техники.
Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций.
Обеспечение занятия
- Раздаточный материал. Карточки-задания для самостоятельной работы.
- ТСО. Мультипроектор, ПК, ноутбуки.
- Оснащение ТСО. Презентации: “Геометрический смысл производной”, “Метод прямоугольников”, “Метод трапеций”. (Презентации можно взять у автора).
- Вычислительные средства: ПК, микрокалькуляторы.
- Методические рекомендации
Вид занятия. Интегрированное практическое.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально. Идея приближённого вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно “близкой” к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой можно использовать ту или иную приближённую формулу интегрирования.
Последовательность занятия.
- Формула прямоугольников.
- Формула трапеций.
- Решение упражнений.
План занятия
- Повторение опорных знаний учащихся.
Повторить с учащимися: основные формулы интегрирования, сущность изученных методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.
- Выполнение практической работы.
Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.
Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой, уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.
Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а друга - .
Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:
[Рисунок1]
то получим формулу:
Если с избытком
[Рисунок2],
то
Значения у 0 , у 1 ,..., у n
находят из
равенств ,
к
=
0, 1...,
n
.Эти
формулы называются формулами прямоугольников
и дают приближённый
результат. С увеличением n
результат становится более точным.
Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:
Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:
Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.
Разобьём отрезок [a,
b
] на несколько (например, на 6) равных
частей. Тогда а
=
0,
b =
3
,
х
k = a + k
х
х
0 = 2 + 0
= 2
х
1 = 2 + 1
= 2,5
х
2 = 2 + 2
=3
х
3 = 2 + 3
= 3
х
4 = 2 + 4
= 4
х
5 = 2 + 5
= 4,5
f
(x
0) = 2 2 = 4
f
(x
1)
= 2
,5
2
=
6,25
f
(x
2)
=
3 2
=
9
f
(x
3)
=
3,5 2
=
12,25
f
(x
4)
=
4 2
=
16
f
(x
5)
=
4,5 2
=
20,25.
х | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
у | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 20,25 |
По формуле (1):
Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:
Вычисления проходили долго и мы получили довольно-таки грубое округление. Чтобы вычислить этот интеграл с меньшим приближением, можно воспользоваться техническими возможностями компьютера.
Для нахождения определённого интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции f(x) в рабочую таблицу Excel в диапазоне х с заданным шагом х = 0,1.
- Составляем таблицу данных (х и f(x)). х f(x). Аргумент , а в ячейку В1 – слово Функция 2 2,1 ). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А32, до значения х=5 ).
- Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо
записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в
ячейку В2 и с клавиатуры ввести формулу =А2^2
(при английской
раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter
. В ячейке В2 появляется
4
. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2.
Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В32.
В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла. - Теперь в ячейке В33 может быть найдено приближённое значение интеграла. Для этого в ячейку В33 вводим формулу = 0,1*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В2:В31. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В33 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (37,955 ) .
Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла (39 ), можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна
=
|39 - 37
,
955| = 1
,045
Пример 2. Используя метод прямоугольников, вычислить с заданным шагом х = 0,05.
Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла
, можно
видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна
Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций
[Рисунок3]
Пример 3. Методом трапеций найти с шагом х = 0,1.
- Открываем чистый рабочий лист.
- Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец будет значениями х , а второй соответствующими показателями f(x). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент , а в ячейку В1 – слово Функция . В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая граница диапазона (0 ). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1 ). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=3,1 ).
- Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение (в примере синуса). Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции f(x) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию SIN . Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN . Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А ). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
- Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла по методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,1*((В2+В33)/2+, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В3:В32. Нажимаем кнопку ОК и ещё раз ОК. В ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (1,997 ) .
Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае вполне приемлемая для практики.
- Решение упражнений.
Пусть снова взято разбиение отрезка на части , . Приближённо заменим площадь под графиком , лежащую над промежутком разбиения , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть и (см. рис.).
Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,
Суммируя все площади , получаем квадратурную формулу трапеций :
Это та же формула, что была получена при комбинировании формул левых и правых прямоугольников, в которой мы обозначали правую часть через .
Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции достаточно вычислить значение функции лишь в одной новой точке -- в правом конце очередного промежутка , поскольку точка была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.
Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины , то формула трапеций приобретает вид
Все значения функции , кроме и , встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде
Пусть функция имеет вторую производную , сохраняющую знак на интервале . Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки этой квадратурной формулы таков: если , то есть если график является выпуклым кверху, то и, значит, ; если же и график имеет выпуклость книзу, то и .
Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок и противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибки и в зависимости от выбора шага . Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.
Метод Монте-Карло для вычисления одномерных интегралов обычно не применяется, так как для получения высокой точности более удобны квадратурные формулы. Этот метод оказывается более эффективным при вычислении кратных интегралов, когда кубатурные формулы для достижения малой погрешности слишком громоздки и требуют большого объема вычислений.
При использовании квадратурных или кубатурных формул, число операций быстро возрастает с ростом размерности интеграла. Например, если для вычисления одномерного интеграла методом трапеций с заданной точностью необходимо вычислить сумму порядка N слагаемых, то для вычисления двойного интеграла тем же методом необходимо сложить порядка N 2 слагаемых, а для тройного интеграла число слагаемых составляет порядка N 3 .
Число испытаний N , требующихся для достижения заданной точности ε приближенного значения, в методе Монте-Карло есть величина порядка ине зависит от размерности интеграла .
Применяется следующий критерий выбора между кубатурной формулой р -го порядка точности и методом Монте-Карло для вычисления с точностью ε кратного интеграла функции m переменных:
1) если число измерений m < 2р , лучше использовать кубатурные или квадратурные формулы ;
2) если m > 2р – метод Монте-Карло .
Например, если р = 1, тройные интегралы выгоднее вычислять методом Монте-Карло, а одномерные – квадратурными формулами.
Если р = 2, лучше вычислять методом Монте-Карло пятимерные интегралы, а одномерные, двойные и тройные – квадратурными или кубатурными формулами.
Рассмотрим конкретные формулы метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов, получающиеся способом, который применялся для вывода формулы (9.7).
Пусть требуется вычислить двойной интеграл
Проведем серию из N испытаний случайной точки (x i , y i ), где x i a , b ], a y i равномерно распределены на отрезке [с , d ]. Вычислим интеграл (9.9) по формуле
Для тройного интеграла аналогично получим формулу
где x i равномерно распределены на отрезке [a , b ], y i – на отрезке [с , d ], a z i – на отрезке [р , q ]; N – число испытаний.
Для m -кратного интеграла формула метода Монте-Карло имеет вид
Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.
Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл ∫ a b f (x) d x , подынтегральная функция которого y = f (x) непрерывна на отрезке [ a ; b ] . Для этого разделим отрезок [ a ; b ] на несколько равных интервалов длины h точками a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .
Найдем шаг разбиения: h = b - a n . Определим узлы из равенства x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n .
На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .
При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:
Выделим отрезки x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Заменим на каждом из графиков функцию y = f (x) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами x i - 1 ; f x i - 1 и x i ; f x i . Отметим их на рисунках синим цветом.
Возьмем выражение f (x i - 1) + f (x i) 2 · h в качестве приближенного значения интеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Т.е. примем ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h .
Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.
Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями f (x i - 1) , f (x i) высотой h . В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл ∫ x i - 1 x f (x) d x приближенно равен площади трапеции с основаниями - f (x i - 1) , - f (x i) и высотой h , которую необходимо взять со знаком « - ». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.
Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл ∫ a b f (x) d x в виде суммы интегралов вида ∫ x i - 1 x i f (x) d x на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h .
Формула метода трапеций
Вспомним пятое свойство определенного интеграла: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов ∫ x i - 1 x i f (x) d x подставить их приближенные значения: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 · h = = h 2 · (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Определение 1
Формула метода трапеций: ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Оценка абсолютной погрешности метода трапеций
Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:
Определение 2
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2
Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:
Примеры вычислений
Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:
- вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n;
- нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.
При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше n .
Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0 , 01 , то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0 , 0001 или 0 , 00001 . При больших n промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.
Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.
Итак, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .
Пример 1
Вычислим по методу трапеций определенный интеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x для n равным 10 .
Решение
Формула метода трапеций имеет вид ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)
Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг h по формуле h = b - a n , определить узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n , вычислить значения подынтегральной функции f (x) = 7 x 2 + 1 .
Шаг разбиения вычисляется следующим образом: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Для вычисления подынтегральной функции в узлах x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n будем брать четыре знака после запятой:
i = 0: x 0 = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692
Внесем результаты вычислений в таблицу:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
x i | 0 | 0 . 5 | 1 | 1 , 5 | 2 | 2 , 5 | 3 | 3 , 5 | 4 | 4 , 5 | 5 |
f (x i) | 7 | 5 , 6 | 3 , 5 | 2 , 1538 | 1 , 4 | 0 , 9655 | 0 , 7 | 0 , 5283 | 0 , 4117 | 0 , 3294 | 0 , 2692 |
Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 · 7 + 2 · 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117
Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.
Ответ: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117
Пример 2
Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x с точностью до 0 , 01 .
Решение
Согласно условию задачи a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δ n ≤ 0 , 01 .
Найдем n , которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения n , для которых будет выполняться неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . При данных n формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.
Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [ 1 ; 2 ] .
f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2
Вторая производная функция является квадратичной параболой f "" (x) = x 2 . Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке [ 1 ; 2 ] . В связи с этим m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .
В приведенном примере процесс нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .
Подставим полученное значение в неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01
4 · (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735
Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.
Вычислим шаг: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .
Найдем узлы x i = a + i · h , i = 1 , 0 , . . . , n , определим значения подынтегральной функции в этих узлах:
i = 0: x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 - 1 60 ≈ 0 , 5266 . . . i = 6: x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 - 1 60 ≈ 1 , 9833
Результаты вычислений запишем в виде таблицы:
i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
x i | 1 | 7 6 | 4 3 | 3 2 | 5 3 | 11 6 | 2 |
f x i | 0 , 4 | 0 , 5266 | 0 , 6911 | 0 , 9052 | 1 , 1819 | 1 , 5359 | 1 , 9833 |
Подставим полученные результаты в формулу трапеций:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 · 0 , 4 + 2 · 0 , 5266 + 0 , 6911 + 0 , 9052 + 1 , 1819 + 1 , 5359 + 1 , 9833 ≈ 1 , 0054
Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1
Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.
Ответ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1 , 0054
Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.
Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для n узлов, как I n . Выберем произвольное число n . По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном (n = 10) и удвоенном (n = 20) числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений I 20 - I 10 .
Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности I 20 - I 10 < δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.
Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов (n = 40) .
Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.
Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.
Пример 3
Необходимо вычислить определенный интеграл ∫ 0 2 x e x d x по методу трапеций с точностью до 0 , 001 .
Решение
Возьмем n равное 10 и 20 . По формуле трапеций получим I 10 = 8 , 4595380 , I 20 = 8 , 4066906 .
I 20 - I 10 = 8 , 4066906 - 8 , 4595380 = 0 , 0528474 > 0 , 001 , что требует продолжения вычислений.
Возьмем n равное 40: I 40 = 8 , 3934656 .
I 40 - I 20 = 8 , 3934656 - 8 , 4066906 = 0 , 013225 > 0 , 001 , что также требует продолжения вычислений.
Возьмем n равное 80: I 80 = 8 , 3901585 .
I 80 - I 40 = 8 , 3901585 - 8 , 3934656 = 0 , 0033071 > 0 , 001 , что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.
Возьмем n равное 160: I 160 = 8 , 3893317 .
I 160 - I 80 = 8 , 3893317 - 8 , 3901585 = 0 , 0008268 < 0 , 001
Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив I 160 = 8 , 3893317 до тысячных: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .
Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Требуемая точность достигнута.
Ответ: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389
Погрешности
Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.
Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .
Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.
В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.
Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter